Osien rakentaminen monitahoinen

Stereometria 10 luokka

Matematiikan opettajan suorittama

MBOU "Molodkovskaja lukio"

Stepchenko M.A.

Oppitunnin tarkoitus:

Kehittää taitoja ratkaista ongelmia, jotka liittyvät tetraedrin ja suuntaissärmiön osien rakentamiseen

"Kerro minulle, niin unohdan. Näytä minulle, niin muistan..."

Muinainen kiinalainen

sananlasku

Tämä on mielenkiintoista!

Monet taiteilijat, jotka vääristävät perspektiivin lakeja, maalaavat epätavallisia kuvia. Muuten, nämä piirustukset ovat erittäin suosittuja matemaatikoiden keskuudessa. Internetistä löytyy monia sivustoja, joissa näitä mahdottomia esineitä julkaistaan.

Suositut taiteilijat Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey ja muut yllättivät matemaatikot maalauksillaan.

"Tämän voi piirtää vain joku, joka tekee suunnittelun näkemättä perspektiiviä..."

Jos de Mey

Geometrian lakeja rikotaan usein tietokonepeleissä.

Kiipeämällä näille tikkaille pysymme samassa kerroksessa.

A 2 . Jos kaksi pistettä ovat suoralla

makaa tasossa, sitten kaikki pisteet

suorat viivat ovat tässä tasossa.

Geometria: Oppikirja. 10-11 luokalle. Yleissivistävä koulutus laitokset / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja muut - 9. painos, muutettuna. – M.: Enlightenment, 2000. – 206 s.: ill. – ISBN 5-09-008612-5.

Täällä ei voi olla tikkaita!

A

"Ne, jotka rakastuvat käytäntöön ilman teoriaa, ovat kuin merimies, joka astuu laivaan ilman peräsintä tai kompassia ja siksi ei koskaan tiedä, missä purjehtii."

Leonardo da Vinci

http://blogs.nnm.ru/page6/

AXIOMS

planimetria

stereometria

Kuvaile pisteiden ja viivojen suhteellista sijaintia

A1. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla viivalla, taso kulkee ja vain yksi

1. Jokaisella rivillä on vähintään kaksi pistettä

A2. Jos kaksi suoran pistettä ovat tasossa, niin kaikki suoran pisteet ovat tässä tasossa

2. On vähintään kolme pistettä, jotka eivät ole samalla viivalla

3. Suora kulkee minkä tahansa kahden pisteen kautta ja vain yhden.

A3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on yhteinen viiva, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Geometrian peruskäsite on "makaa välissä"

4. Kolmesta suoran pisteestä yksi ja vain yksi on kahden muun välissä.

Lentokone (mukaan lukien sekantti) voidaan määrittää Seuraava tapa

Yksi leikkauspiste

Ei risteyspisteitä

Ylittämällä

On kone

Ylittämällä

on segmentti

Leikkauskone suuntaissärmiö (tetraedri) on mikä tahansa taso, jonka molemmilla puolilla on tietyn suuntaissärmiön (tetraedrin) pisteitä.

Monitahoisen osan rakentaminen tasolla tarkoittaa leikkaustason ja polyhedronin reunojen leikkauspisteiden osoittamista ja näiden pisteiden yhdistämistä monitahoisen pinnoille kuuluviin segmentteihin.

Jos haluat rakentaa osan monitahoisesta tasosta, sinun on ilmoitettava kunkin pinnan tasossa 2 osaan kuuluvat pisteet, yhdistä ne suoralla viivalla ja etsi tämän suoran leikkauspisteet monitahoisen reunojen kanssa.

Viiteopas lukion matematiikan ongelmien ratkaisumenetelmiin. Tsypkin A.G., Pinsky A.I. / Under. Toimittanut V.I. Blagodatskikh. – M.: Tiede. Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden päätoimitus, 1983. – 416 s.

Leikkauskone leikkaa tetraedrin (rinnakkaisputkien) pinnat pitkin segmenttejä.

L

Monikulmio joiden sivut nämä segmentit ovat, kutsutaan poikkileikkaus tetraedri ((rinnakkaisputki).

Leikkauskone

Leikkaustaso leikkaa tetraedrin pinnat segmenttejä pitkin.

Monikulmio, jonka sivut ovat nämä segmentit, on tetraedrin leikkaus .

Monien geometristen ongelmien ratkaisemiseksi on välttämätöntä rakentaa ne osiot eri lentokoneita.

Leikkauksen rakentamiseksi sinun on rakennettava leikkaustason leikkauspisteet reunojen kanssa ja yhdistettävä ne segmenteillä.

Seuraavat asiat on otettava huomioon:

1. Voit yhdistää vain kaksi pistettä makaamalla

yhden kasvon tasossa.

2. Leikkaustaso leikkaa yhdensuuntaiset pinnat yhdensuuntaisia ​​segmenttejä pitkin.

3. Jos pintatasoon on merkitty vain yksi piste, joka kuuluu leikkaustasoon, on rakennettava lisäpiste. Tätä varten on tarpeen löytää jo muodostettujen viivojen leikkauspisteet muiden samoilla pinnoilla olevien viivojen kanssa.

Mitä monikulmioita voi saada osasta?

Tetraedrillä on 4 pintaa

Osat voivat näyttää tältä:

• Nelikulmat

• Kolmiot

Suuntaissärmiössä on 6 pintaa

• Pentagonit

• Kolmiot

Sen osioissa

voi osoittautua:

• Kuusikulmat

• Nelikulmat

Blitz - kysely

• Blitz-kyselyn tehtävänä on vastata kysymyksiin ja perustella vastaus aksioomien, lauseiden ja yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuksien avulla.

Blitz-kysely.

D 1

KANSSA 1

Uskotko, että suorat NK ja BB 1 leikkaavat?

A 1

B 1

Blitz-kysely.

D 1

KANSSA 1

A 1

Uskotko sitä

suora NK ja BB 1

leikkaavat?

B 1

Blitz-kysely.

D 1

KANSSA 1

Uskotko, että suora NK ja MR menevät päällekkäin?

A 1

B 1

Piirustuksessa on

toinen virhe!

Uskotko, että suorat H R ja NK

leikkaavat?

Blitz-kysely.

KANSSA 1

D 1

A 1

B 1

Piirustuksessa on

toinen virhe!

Leikkaavatko suorat H R ja A 1 B 1?

Blitz-kysely.

Leikkaavatko suorat H R ja C 1 D 1?

D 1

KANSSA 1

A 1

B 1

Leikkaavatko ne?

suora NK ja DC?

Leikkaavatko ne?

suorat NK ja A D?

Uskotko

jotka ohjaavat MO ja AC

leikkaavat?

Blitz-kysely.

Suora MO ja AB leikkaavat, koska ovat samassa tasossa (A D C). Suora MO ja AB eivät leikkaa toisiaan, koska sijaitsevat eri tasoissa (A D C) ja (A D B) - nämä tasot leikkaavat suoraa A D pitkin, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Uskotko

jotka ohjaavat MO ja AB

leikkaavat?

Taito ratkaista ongelmia on käytännöllistä taidetta, kuten uinti tai hiihto...: sen voi oppia vain matkimalla valittuja malleja ja jatkuvasti harjoittelemalla...

D. Polya

Omaisuus

yhdensuuntaiset tasot.

Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa

ylittää kolmas,

sitten niiden leikkausviivat

rinnakkain.

A

b

Tämä ominaisuus auttaa meitä

osia rakennettaessa.

Yksinkertaisimmat tehtävät.

D 1

KANSSA 1

B 1

A 1

Yhdistämme 2 pistettä, jotka kuuluvat monitahoisen samaan pintaan segmenteillä. Jos leikkaat pyramidin huipun, saat katkaistun pyramidin.

Yksinkertaisimmat tehtävät.

Diagonaaliset osat.

D 1

KANSSA 1

D 1

KANSSA 1

A 1

B 1

A 1

B 1

Yhdistämme 2 pistettä, jotka kuuluvat monitahoisen samaan pintaan segmenteillä. Diagonaaliset osat.

D 1

KANSSA 1

A 1

B 1

Aksiomaattinen menetelmä

Jäljitysmenetelmä

• Jäljitysmenetelmä

Menetelmän ydin on apuviivan rakentaminen, joka on kuva leikkaustason leikkausviivasta kuvion minkä tahansa pinnan tason kanssa. On kätevintä rakentaa kuva leikkaustason ja alemman alustan tason leikkauslinjasta. Tätä viivaa kutsutaan leikkaustason jäljeksi. Jäljen avulla on helppo rakentaa kuvia sivureunoilla sijaitsevista leikkaustason pisteistä tai hahmon reunoja.

1. Muodosta osia suuntaissärmiöstä, jonka taso kulkee pisteiden B 1, M, N kautta

7. Jatketaan MN:llä ja BD:llä.

2.Jatka MN,BA

5. B 1 O ∩ A 1 A=K

10. B 1 E ∩ D 1 D=P, PN

Muodosta monitahoisen poikkileikkaus, jonka taso kulkee pisteiden läpi M, R, K, jos K kuuluu tasoon a.

Ratkaisut vaihtoehtoon 1.

Ratkaisut vaihtoehdolle 2.

Itsehillinnän säännöt:

• Leikkauksen kärjet sijaitsevat vain reunoilla.

• Leikkauksen sivut ovat vain monitahoisen reunalla.

• Leikkaustaso leikkaa pinnan tai pintatason vain kerran.

Jos haluat oppia uimaan, mene rohkeasti veteen, ja jos haluat oppia ratkaisemaan ongelmia, ratkaise ne

(D. Polya)

• Atanasyan L.S. et ai., Geometry 10-11. – M.: Koulutus, 2008.
• Litvinenko V.N., Polyhedra. Ongelmia ja ratkaisuja. – M.: Vita-Press, 1995.
• Smirnov V.A., Smirnova I.M., Unified State Examination 100 pistettä. Geometria. Poikkileikkaus polyhedraista. – M.: Tentti, 2011.
• Koulutus- ja metodologinen liite sanomalehden "First of September" "Mathematics". Fedotova O., Kabakova T. Integroitu oppitunti "Prisman osien rakentaminen", 9/2010.

• Ziv B.G. Geometrian didaktiset materiaalit luokalle 10. – M., Koulutus, 1997.
• Sähköinen painos "1C: Koulu. Matematiikka, 5-11 luokka. Työpaja"

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

Chudaeva Elena Vladimirovna, matematiikan opettaja,

Kunnallinen oppilaitos "Insarskaya lukio nro 1",

Insar, Mordovian tasavalta

Polyhedra-osien rakentaminen

Opetus- ja metodologinen tuki: Atanasyan L.S. ja muut Geometria luokat 10-11.

Varusteet ja materiaalit oppitunnille: tietokone, projektori, näyttö, esitys oppitunnin ohessa, oppilaiden monisteet.

Oppitunnin tarkoitus: hankitun tiedon syventäminen, yleistäminen, systematisointi, konsolidointi ja niiden kehitystä tulevaisuudessa (tutkimaan jäljitysmenetelmää)

Oppitunnin tavoitteet:

1. Luoda koululaisten motivaatiota opiskella tätä aihetta.

2. Kehittää opiskelijoissa kykyä käyttää perustietoja uuden tiedon hankkimiseen.

3. Kehittää opiskelijoiden ajattelua (kyky tunnistaa olennaiset piirteet ja tehdä yleistyksiä).

4. Kehittää opiskelijoissa luovan lähestymistavan taitoja ongelmien ratkaisemiseen ja ongelman tutkimustyön taitoja.

Tiedot, kyvyt, taidot ja ominaisuudet, joita opiskelijat vahvistavat oppitunnin aikana:

kyky käyttää perustietoja uuden tiedon hankkimiseksi;

kyky tunnistaa olennaiset piirteet ja tehdä yleistyksiä;

luovan lähestymistavan taidot osien rakentamiseen liittyvien ongelmien ratkaisemiseen

Tuntisuunnitelma:

1. Motivaatio koululaisten keskuudessa opiskella tätä aihetta.

2. Kotitehtävien tarkistaminen. Historiallista tietoa.

3. Perustiedon toisto (aksiomatiikka, tason määrittelytavat).

4. Tiedon soveltaminen standarditilanteessa.

5. Uuden aineiston tutkiminen ja konsolidointi: jäljitysmenetelmä.

6. Itsenäinen työskentely.

7. Oppitunnin yhteenveto.

8. Kotitehtävät.

Tuntien aikana: minä vaihe – Alkukeskustelu.

Kotitehtävien tarkistaminen. (6-7 min)

Työn muodot ja menetelmät

Aktiviteetit

opiskelijat

1. Motivaatio

Alkukeskustelu (1 min)

Opettajat kuuntelevat

2. Kotitehtävien tarkistaminen

Kommentteja opiskelijoiden minipuheista

Kuuntele heidän tovereidensa puheita, kysy kysymyksiä

II vaiheessa– Tietojen päivittäminen (10 min)

(teoreettisen materiaalin toistoa)

Työn muodot ja menetelmät

Aktiviteetit

opiskelijat

1. Stereometrian aksioomien toisto

2. Toisto: viivojen ja tasojen suhteellinen sijainti avaruudessa

3. Teorian yleistäminen

Johtopäätös tason määrittelymenetelmistä

Tulosteen tallentaminen muistikirjaan

4. Monitahoisen käsitteen ja monitahoisen poikkileikkauksen toisto tason verran

Opiskelijakysely

Suulliset vastaukset opettajan kysymyksiin

III vaiheessa– Tiedon soveltaminen standarditilanteessa (6-7 min)

(työskentely valmiiden piirustusten mukaan)

Työn muodot ja menetelmät

Aktiviteetit

opiskelijat

Tyypillisten tehtävien ratkaiseminen valmiilla piirustuksilla (jokaiselle opiskelijalle annetaan tehtävätaulukko, jossa on tehtävän ehdot ja piirros osan rakentamista varten).

Ensimmäisen tehtävän yhteisratkaisu (ratkaisun vaiheiden yksityiskohtainen kommentoiminen ja suunnittelun kirjaaminen taulukkoon).

Ongelman olosuhteiden tutkiminen, valmiiden piirustusten työstäminen, jonka jälkeen ratkaisun analysointi dioista.

IV vaiheessa–KANSSAyhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet (6 min)

Opettajatyön muodot ja menetelmät

Opiskelijatoiminnan tyypit

1. Aiheen "Tasojen rinnakkaisuus" toisto.

2. Ongelmanratkaisu

Valmiiden diojen työstäminen (opiskelijoiden etukysely)

Tehtävän oikeellisuuden tarkistaminen

Suulliset vastaukset opettajan kysymyksiin

Osien rakentaminen laskentataulukkoon.

Vastaukset ovat taululla.

Vaihe V - Pääsy uuteen tietoon: "Jälkien menetelmä" (6 min)

Työn muodot ja menetelmät

Aktiviteetit

opiskelijat

1. Uuden materiaalin oppiminen

2. Uuden materiaalin yhdistäminen

Uuden materiaalin selitys. Näytetään opetusfragmentti opetuselokuvasta "Kuinka rakentaa kuution poikkileikkaus?"

Työskentele valmiista piirustuksista taululla (ja myöhemmin kommentoimalla osion rakentamisen vaiheita dialle)

Kuuntele opettajan selitys. Opetuselokuvan katselu, videokatkelmien analyysi, näyteratkaisun tallentaminen.

Kaksi oppilasta ratkaisee taululla, loput laskentataulukolla

VI vaihe - Itsenäinen työskentely (4-5 min)

Työn muodot ja menetelmät

Aktiviteetit

opiskelijat

Itsenäinen koulutustyö

Selvitys tehtävästä työstä.

Tehtävän suorittamisen tarkistaminen.

Itsenäisen työn suorittaminen (valmiiden piirustusten avulla).

Itsetestaus valmiilla dioilla.

VII vaiheessa– oppitunnin yhteenveto (4 min)

Työn muodot ja menetelmät

Aktiviteetit

opiskelijat

1. Yhteenveto

2. Luovat kotitehtävät

Oppitunnin jälkeinen keskustelu diojen avulla

Projisoitu näytölle

Suulliset vastaukset opettajan kysymyksiin

Merkintä päiväkirjoihin

TUTKIEN AIKANA

Alkukeskustelu. Historiallista tietoa.

Opettaja: Hei kaverit! Oppituntimme aiheena on "Poliedrien osien rakentaminen aksiomatiikassa". Oppitunnilla teemme yhteenvedon ja systematisoimme käsitellyn teoreettisen materiaalin ja sovellamme sitä käytännön ongelmiin osien rakentamisessa saavuttaen uuden, monimutkaisemman tehtävän vaikeustason.

päätavoite oppituntimme hankitun tiedon syventämisestä, systematisoinnista, lujittamisesta ja niiden kehitystä tulevaisuudessa.

Kotitehtävänä sinua pyydettiin kirjoittamaan esseitä tai lyhyitä puheita geometrian kehityksen historiasta, suurten matemaatikoiden elämästä, heidän kuuluisista löydöistään ja teoreemoistaan. Raportit ja tiivistelmät osoittautuivat erittäin mielenkiintoisiksi, mutta oppitunnin aikana kuulemme vain kolme minipuhetta, jotka vastaavat kysymykseen: mitä stereometria tutkii, miten se syntyi ja kehittyi ja missä sitä käytetään?

1 opiskelija. Stereometrian käsite, jota tutkitaan. (2 minuuttia)

2 opiskelijaa. Euclid - geometrian, kreikkalaisen arkkitehtuurin perustaja. (2 minuuttia)

3 opiskelijaa. Maalauksen matemaattinen teoria. "Kultainen suhde" on kaava täydelliselle ihmiskeholle Leonardo da Vincin mukaan. (2–3 min)

SISÄÄN stereometria kauniita matemaattisia esineitä tutkitaan. Niiden muodot löytävät sovelluksensa taiteessa, arkkitehtuurissa ja rakentamisessa. "Ei ole sattumaa, että he sanovat, että Cheops-pyramidi on hiljainen tutkielma geometriasta, ja kreikkalainen arkkitehtuuri on Eukleideen geometrian ulkoinen ilmentymä", kirjoitti arkkitehti Corbusier.

Vuosisatoja on kulunut, mutta geometrian rooli ei ole muuttunut. Se on edelleen "arkkitehdin kielioppi". Geometriset muodot löytävät käyttönsä taiteessa, arkkitehtuurissa ja rakentamisessa.

Maalauksen matemaattinen teoria - Tämä on perspektiiviteoria, joka edustaa Leonardo da Vincin sanoin "hienoin matematiikan tutkimukseen perustuvaa tutkimusta ja keksintöä, joka viivojen voimalla sai sen, mikä oli lähellä, näyttämään kaukaiselta ja mikä oli pieni, suuri." Renessanssin aikana kehittynyt teknisten rakenteiden rakentaminen elvytti ja laajensi muinaisessa maailmassa käytettyjä projektiokuvatekniikoita. Arkkitehdit ja kuvanveistäjät kohtasivat tarpeen luoda kuvallisen perspektiivin oppi geometriseltä pohjalta. Loistavan italialaisen taiteilijan ja erinomaisen tiedemiehen töissä on lukuisia esimerkkejä perspektiivikuvien rakentamisesta Leonardo da Vinci. Ensimmäistä kertaa hän puhuu kuvan syvyyksiin vajoavien eri segmenttien mittakaavan pienentämisestä, luo pohjan panoraamaperspektiiville, osoittaa varjojen jakautumisen säännöt ja ilmaisee luottamusta tietyn matemaattisen kaavan olemassaoloon. ihmiskehon kokosuhteen kauneus - "kultaisen suhteen" kaava.

Näin ollen lähestyimme sujuvasti oppituntimme aihetta, ja silta sen seuraavaan vaiheeseen ovat Leonardo da Vincin sanat:

"Ne, jotka rakastuvat käytäntöön ilman teoriaa, ovat kuin merimies, joka astuu laivaan ilman peräsintä tai kompassia ja siksi ei koskaan tiedä, missä purjehtii."

Tämä lausunto määrittelee oppituntimme seuraavan vaiheen: teoreettisen materiaalin toiston.

II. Tietojen päivittäminen (teoreettisen materiaalin toisto)

2.1. Stereometrian aksioomat (taulukot jätetään opiskelijoiden työstettäväksi).

a) selittää aksioomien sisältö ja havainnollistaa niitä mallilla;

b) opiskelijat lukevat aksioomien tekstiä;

c) piirustuksen toteuttaminen;

2.2. Seurauksia stereometrian aksioomista.

2.3. Suorien viivojen ja tasojen suhteellinen sijainti avaruudessa.

a) kaksi suoraa (suorat ovat yhdensuuntaisia, leikkaavat, leikkaavat)

b) suora ja taso (suora on tasossa, leikkaa tason, on yhdensuuntainen tason kanssa)

c) kaksi tasoa (tasot leikkaavat tai ovat yhdensuuntaisia).

Keskustelun aikana nostetaan esille teorian oleelliset kohdat:

a) Merkki yhdensuuntaisuudesta suoran ja tason välillä: Jos suora, joka ei ole tietyssä tasossa, on yhdensuuntainen jonkin tässä tasossa olevan suoran kanssa, niin se on yhdensuuntainen annetun tason kanssa.

b) Yhdensuuntaisten tasojen merkki: Jos yhden tason kaksi leikkaavaa suoraa ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​toisen tason kahden leikkaavan suoran kanssa, niin nämä tasot ovat yhdensuuntaisia.

Opettaja: Yhteenvetona kaikesta sanotusta tulemme johtopäätökseen tason määrittelymenetelmistä.

2.5. Polyhedran käsite. osio.

Polyhedron on kappale, jota rajoittaa äärellinen määrä tasoja. Monitahoisen pinta koostuu äärellisestä määrästä polygoneja.

M
kutsutaan monitahoa, joka saadaan leikkaamalla monitaho ja taso poikkileikkaus monitahoinen ilmoitetun tason mukaan .

III. Tiedon soveltaminen standarditilanteessa.

Käytämme hankittua tietoa hyödyntäen sitä aksiomatiikkaan perustuvien monitahoisten osien rakentamisessa.

Esimerkkejä ja niiden ratkaisuja antavat opiskelijat (opettajan ohjauksessa).

IV. Leikkausten rakentaminen yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuksilla.

Opettaja: Seuraavan ongelmaryhmän ratkaisemiseksi meidän on toistettava yhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet.

V. Tapa saada uutta tietoa: "Trace Method".

Opetuselokuvan katsominen.

Sähköinen painos

Hankitun tiedon soveltaminen (opiskelijat ratkaisevat kaksi tehtävää taululla ja katsovat sitten oikean ratkaisun ja tallentavat suunnittelun).

VI- Itsenäinen työ

jota seuraa molemminpuolinen todentaminen (käyttämällä diaa valmiin liuoksen kanssa).

VII. Yhteenveto oppitunnista

1. Mitä uutta opit tunnilla?

2. Miten tetraedrin poikkileikkaus rakennetaan?

3. Mitkä monikulmiot voivat olla tetraedrin leikkaus?

4. Mitä monikulmioita voidaan saada suuntaissärmiön leikkauksessa?

5. Mitä voit sanoa jäljitysmenetelmästä?

Luovat kotitehtävät. Laadi kaksi tehtävää monitahoisten osien rakentamiseen käyttämällä hankittua tietoa.

Käytetyt lähteet

Tämän oppitunnin prototyyppi oli kirjoittajan oppitunti Legkoshur Irina Mikhailovna , lisäykset ja esitys oppitunnille tehtiin hänen luvalla vuonna 2008. Linkki:

Atanasyan L.S. ja muut Geometria luokat 10-11. Opastus.

Sähköinen painos "1C: Koulu. Matematiikka, 5-11 luokka. Työpaja"

Sähköinen painos" Geometrian työkirja. Opas hakijoille. Koko kurssi luokille 7-11"

Tehtäviä osien rakentamiseen

Määritelmät. 1. Tetraedrin (parallepiped) leikkaustaso on mikä tahansa taso, jonka molemmilla puolilla on tietyn tetraedrin (parallepiped) pisteitä. 2. Monikulmiota, jonka sivut ovat segmenttejä, jotka leikkaavat tetraedrin (parallepiped) pinnat, kutsutaan tetraedrin (parallepiped) osaksi.

Tetraedrin ja suuntaissärmiön osat

A B C S Tehtävä 1. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee annettujen pisteiden D, E, K kautta. D E K M F Rakenne: 2. EK 3. EK ∩ AC = F 4 . FD 5. FD ∩ B C = M 6. KM 1. DE D E K M – pakollinen osa

Selitykset rakenteelle: 1. Yhdistä samaan tasoon kuuluvat pisteet K ja F A 1 B 1 C 1 D 1. A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 2. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee annettujen pisteiden E, F, K kautta. K L M Rakenne: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ A B = L EFKNM – tarvittava osa F E N 4 . LN ║ FK 6. EM 5. LN ∩ AD = M 7 . KN Rakentamisen selitykset: 2. Yhdistä samaan tasoon AA 1 B 1 B kuuluvat pisteet F ja E. Rakentamisen selitykset: 3. Samassa tasossa AA 1 B 1 B olevat suorat FE ja AB leikkaavat pisteessä L . Selitykset rakentamiselle: 4. Piirrämme FK:n suuntaisen suoran LN (jos leikkaustaso leikkaa vastakkaiset pinnat, niin se leikkaa ne yhdensuuntaisia ​​segmenttejä pitkin). Rakentamisen selitykset: 5. Suora LN leikkaa reunan AD pisteessä M. Rakentamisen selitykset: 6. Yhdistämme samaan tasoon AA 1 D 1 D kuuluvat pisteet E ja M. Selitykset rakentamiselle: 7. Yhdistämme pisteet K ja N, jotka kuuluvat samaan tasoon ВСС 1 В 1.

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 3. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden K, L, M kautta. K L M Rakenne: 1. ML 2. ML ∩ D 1 A 1 = E 3. EK M LFKPG – vaadittu leikkaus SUOMI 4 . EK ∩ A 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7. E K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11. PK

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden T, H, M, M∈AB kautta. N T M Rakenne: 1. NM 1. MT 1. N T Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden T, H, M, M∈AB kautta. N T M Rakenne: 1. NM Kommentit: Nämä pisteet kuuluvat eri puolille! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden T, H, M, M∈AB kautta. N T M Rakenne: 1. M T Kommentit: Nämä pisteet kuuluvat eri puolille! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E 2. NT ∩ B C = E Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ BC = E Takaisin Kommentit: Nämä suorat leikkaavat ! Ne eivät voi leikkiä!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3. ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B C = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 3. ME ∩ AA 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Takaisin Kommentit: Nämä suorat on ylitetty! Ne eivät voi leikkiä!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 3. ME ∩ CC 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Takaisin Kommentit: Nämä suorat on ylitetty! Ne eivät voi leikkiä!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. N F 4. T F 4. MT Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Kommentit: Nämä pisteet kuuluvat eri kasvoille! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Kommentit: Nämä pisteet kuuluvat eri kasvoille! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K 5. T F ∩ B 1 B = K Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K Kommentit: Nämä suorat risteävät! Ne eivät voi leikkiä! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L 6. N K ∩ A D = L 6. T K ∩ A D = L Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. N K ∩ A D = L Kommentit: Nämä suorat on ylitetty! Ne eivät voi leikkiä! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. T K ∩ A D = L Kommentit: Nämä suorat on ylitetty! Ne eivät voi leikkiä! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Valitse oikea vaihtoehto:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L T Kommentit: Nämä pisteet kuuluvat eri pinnoille! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LF Kommentit: Nämä pisteet kuuluvat eri pinnoille! Takaisin

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Tehtävä 4. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee pisteiden H, M, T kautta. N T M Rakenne: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L N NT F M L – vaadittu osa

A B C S Tehtävä 5. Muodosta leikkaus, jonka taso kulkee annettujen pisteiden K, M, P, P∈ABC K M P kautta.

A B C S Tehtävä 5. Muodosta leikkaus tasosta, joka kulkee annettujen pisteiden K, M, P, P∈ABC K M R E N F Rakenne: 1. KM 2. KM ∩ CA = E 3. E P 4 . EP ∩ AB = F EP ∩ B C = N 5 . M F 6. N K KM FN – pakollinen osa

Kiitos huomiostasi!

Monet taiteilijat, jotka vääristävät perspektiivin lakeja, maalaavat epätavallisia kuvia. Muuten, nämä piirustukset ovat erittäin suosittuja matemaatikoiden keskuudessa. Internetistä löytyy monia sivustoja, joissa näitä mahdottomia esineitä julkaistaan. Suositut taiteilijat Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey ym. yllättivät matemaatikot maalauksillaan. Tämä on mielenkiintoista!

Jos de Mey "Tämän voi piirtää vain joku, joka tekee suunnittelun tietämättä perspektiiviä..."

"Ne, jotka rakastuvat käytäntöön ilman teoriaa, ovat kuin merimies, joka astuu laivaan ilman peräsintä tai kompassia ja siksi ei koskaan tiedä, missä purjehtii." Leonardo da Vinci

Monitahoisen osan rakentaminen tasolla tarkoittaa leikkaustason ja polyhedronin reunojen leikkauspisteiden osoittamista ja näiden pisteiden yhdistämistä monitahoisen pinnoille kuuluviin segmentteihin. Jos haluat rakentaa monitahoisen osan, jossa on taso, sinun on osoitettava kunkin pinnan tasossa 2 pistettä, jotka kuuluvat osaan, yhdistettävä ne suoralla viivalla ja löydettävä tämän suoran leikkauspisteet monitahoisen reunojen kanssa. .

AXIOMS-planimetry stereometria 1. Jokainen suora sisältää vähintään kaksi pistettä 2. On vähintään kolme pistettä, jotka eivät ole samalla viivalla 3. Suora kulkee minkä tahansa kahden pisteen kautta ja vain yhden. Kuvaile pisteiden ja suorien suhteellista sijaintia Geometrian peruskäsite on "makaa välissä" 4. Suoran kolmesta pisteestä yksi ja vain yksi on kahden muun välissä. A1. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla viivalla, kulkee taso, ja lisäksi vain yksi A2. Jos kaksi suoran pistettä ovat tasossa, niin kaikki suoran pisteet ovat tällä tasolla A3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niin niillä on yhteinen suora, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Tässä tapauksessa on otettava huomioon seuraavat asiat: 1. Voit yhdistää vain kaksi pistettä, jotka ovat yhden pinnan tasossa. Leikkauksen rakentamiseksi sinun on rakennettava leikkaustason leikkauspisteet reunojen kanssa ja yhdistettävä ne segmenteillä. 2. Leikkaustaso leikkaa yhdensuuntaiset pinnat yhdensuuntaisia ​​segmenttejä pitkin. 3. Jos pintatasoon on merkitty vain yksi piste, joka kuuluu leikkaustasoon, on rakennettava lisäpiste. Tätä varten on tarpeen löytää jo muodostettujen viivojen leikkauspisteet muiden samoilla pinnoilla olevien viivojen kanssa.

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 N H K Yksinkertaisimmat ongelmat D R O M A B C

O A B C D O A B C D

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Diagonaaliset leikkaukset A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1

Aksiomaattinen menetelmä Jälkien menetelmä Menetelmän ydin on apuviivan rakentaminen, joka on kuva leikkaustason ja kuvion minkä tahansa pinnan tason leikkausviivasta. On kätevintä rakentaa kuva leikkaustason ja alemman alustan tason leikkauslinjasta. Tätä viivaa kutsutaan leikkaustason jäljeksi. Jäljen avulla on helppo rakentaa kuvia leikkaustason pisteistä, jotka sijaitsevat kuvion sivureunoilla tai pinnoilla.

A B C D K L M N F G Piirrä suora FO pisteiden F ja O kautta. O Segmentti FO on pinnan KLBA leikkaus leikkaustasolla. Samoin segmentti FG on kasvojen LMCB leikkaus. Aksiooma Jos kahdella eri tasolla on yhteinen piste, ne leikkaavat tämän pisteen kautta kulkevaa suoraa (ja meillä on jopa 2 pistettä). Lause Jos kaksi suoran pistettä kuuluu tasoon, niin koko suora kuuluu tähän tasoon. Miksi olemme varmoja, että teimme leikkauksia reunoihin? Muodosta pisteiden O, F, G kautta kulkeva osa prismasta. Vaihe 1: leikkaa pinnat KLBA ja LMCB

A B C D K L M N F G Vaihe 2: etsi leikkaustason jälki pohjatasosta Piirrä suora AB, kunnes se leikkaa suoran FO:n. O Saadaan piste H, joka kuuluu sekä leikkaustasoon että kantatasoon. Samalla tavalla saadaan piste R. Aksiooma Jos kahdella eri tasolla on yhteinen piste, niin ne leikkaavat tämän pisteen läpi kulkevaa suoraa pitkin (ja meillä on jopa 2 pistettä). Lause Jos kaksi suoran pistettä kuuluu tasoon, niin koko suora kuuluu tähän tasoon. H R Piirretään pisteiden H ja R kautta suora HR - leikkaustason jälki. Miksi olemme varmoja, että suora HR on leikkaustason jälki perustasolla?

E S A B C D K L M N F G Vaihe 3: tee leikkaukset muille pinnoille Koska suora HR leikkaa monitahoisen alapinnan, saadaan piste E tuloon ja piste S lähtöön. O Siten jana ES on pinnan ABCD leikkaus. Aksiooma Jos kahdella eri tasolla on yhteinen piste, ne leikkaavat tämän pisteen kautta kulkevaa suoraa (ja meillä on jopa 2 pistettä). Lause Jos kaksi suoran pistettä kuuluu tasoon, niin koko suora kuuluu tähän tasoon. H R Piirretään segmentit OE (leikkaus KNDA-pinnasta) ja GS (leikkaus MNDC-pinnasta). Miksi olemme varmoja, että teemme kaiken oikein?

A1A1 A B B1B1 C C1C1 D D1D1 M N 1. Muodosta suuntaissärmiön poikkileikkaukset tasossa, joka kulkee pisteiden B 1, M, N O K E P kautta. Säännöt 1. MN 2. Jatka MN, BA 4. B 1 O 6. KM 7. Jatka MN ja BD. 9. B 1 E 5. B 1 O A 1 A=K 8. MN BD=E 10. B 1 E D 1 D=P, PN 3. MN BA=O

Itsehallinnan säännöt: Leikkauksen kärjet sijaitsevat vain reunoilla. Leikkauksen sivut ovat vain monitahoisen reunalla. Leikkaustaso leikkaa pinnan tai pintatason vain kerran.

44 1. Atanasyan L.S. et ai. Geometry - M.: Enlightenment, Litvinenko V.N., Polyhedra. Ongelmia ja ratkaisuja. – M.: Vita-Press, Smirnov V.A., Smirnova I.M., Unified State Examination 100 pistettä. Geometria. Poikkileikkaus polyhedraista. – M.: Tentti, Kasvatus- ja metodologinen liite sanomalehti "First of September" "Mathematics". Fedotova O., Kabakova T. Integroitu oppitunti "Prisman osien rakentaminen", 9/ Ziv B.G. Geometrian didaktiset materiaalit luokalle 10. – M., Koulutus, Sähköinen julkaisu “1C: School. Matematiikka, 5-11 luokka. Workshop" 7. ml