Kun tutkitaan numeeristen, kirjaimellisten lausekkeiden ja muuttujalausekkeiden aihetta, on kiinnitettävä huomiota käsitteeseen lausekkeen arvo. Tässä artikkelissa vastaamme kysymykseen, mikä on numeerisen lausekkeen arvo ja mitä kutsutaan kirjaimellisen lausekkeen arvoksi ja lausekkeeksi muuttujien valituille arvoille. Näiden määritelmien selventämiseksi annamme esimerkkejä.

Sivulla navigointi.

Mikä on numeerisen lausekkeen arvo?

Numeerisiin lausekkeisiin tutustuminen alkaa melkein ensimmäisistä matematiikan tunneista koulussa. Melkein välittömästi otetaan käyttöön käsite "numeerisen lausekkeen arvo". Se viittaa lausekkeisiin, jotka muodostuvat aritmeettisilla etumerkeillä yhdistetyistä luvuista (+, −, ·, :). Antakaamme sopiva määritelmä.

Määritelmä.

Numeerisen lausekkeen arvo- tämä on luku, joka saadaan, kun kaikki toiminnot on suoritettu alkuperäisessä numeerisessa lausekkeessa.

Tarkastellaan esimerkiksi numeerista lauseketta 1+2 . Suorituksen jälkeen saadaan luku 3, se on numeerisen lausekkeen 1+2 arvo.

Usein lauseessa "numeerisen lausekkeen arvo" sana "numeerinen" jätetään pois, ja he sanovat yksinkertaisesti "lausekkeen arvo", koska on silti selvää, mitä lauseketta tarkoitetaan.

Yllä oleva ilmaisun merkityksen määritelmä koskee myös monimutkaisemman muotoisia numeerisia lausekkeita, joita opiskellaan lukiossa. Tässä on huomioitava, että voi kohdata numeerisia lausekkeita, joiden arvoja ei voida määrittää. Tämä johtuu siitä, että joissakin lausekkeissa on mahdotonta suorittaa tallennettuja toimintoja. Siksi emme voi esimerkiksi määrittää lausekkeen 3:(2−2) arvoa. Tällaisia ​​numeerisia lausekkeita kutsutaan ilmaisuja, joissa ei ole järkeä.

Usein käytännössä ei kiinnosta niinkään numeerinen lauseke kuin sen arvo. Eli syntyy tehtävä, joka koostuu tämän lausekkeen arvon määrittämisestä. Tässä tapauksessa he yleensä sanovat, että sinun on löydettävä lausekkeen arvo. Tässä artikkelissa analysoidaan yksityiskohtaisesti erityyppisten numeeristen lausekkeiden arvon löytämisprosessia ja tarkastellaan paljon esimerkkejä yksityiskohtaisilla ratkaisukuvauksilla.

Kirjaimellisten ja muuttuvien ilmaisujen merkitys

Numeeristen ilmaisujen lisäksi he tutkivat kirjaimellisia lausekkeita eli lausekkeita, joissa numeroiden kanssa on yksi tai useampi kirjain. Kirjaimellisen lausekkeen kirjaimet voivat tarkoittaa eri numeroita, ja jos kirjaimet korvataan näillä numeroilla, kirjaimellisesta lausekkeesta tulee numeerinen.

Määritelmä.

Numeroita, jotka korvaavat kirjaimet kirjaimellisessa lausekkeessa, kutsutaan näiden kirjainten merkitykset, ja tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvoa kutsutaan kirjaimellisen lausekkeen arvo kirjainten arvoilla.

Joten kirjaimellisten ilmaisujen kohdalla ei puhuta vain kirjaimellisen ilmaisun merkityksestä, vaan myös kirjaimellisen ilmaisun merkityksestä kirjainten annetuille (annetuille, osoitetuille jne.) arvoille.

Otetaan esimerkki. Otetaan kirjaimellinen lauseke 2·a+b . Anna kirjainten a ja b arvot esimerkiksi a=1 ja b=6 . Korvaamalla alkuperäisen lausekkeen kirjaimet niiden arvoilla, saadaan numeerinen lauseke muotoa 2 1+6 , jonka arvo on 8 . Luku 8 on siis kirjaimellisen lausekkeen 2·a+b arvo kirjainten a=1 ja b=6 arvoilla. Jos annettaisiin muita kirjainarvoja, saamme näiden kirjainarvojen kirjaimellisen lausekkeen arvon. Esimerkiksi, kun a=5 ja b=1, meillä on arvo 2 5+1=11 .

Lukiossa algebraa opiskellessa kirjaimellisten lausekkeiden kirjaimet saavat saada erilaisia ​​merkityksiä, tällaisia ​​kirjaimia kutsutaan muuttujiksi ja kirjaimellisia lausekkeita muuttujilla varustettuja lausekkeita. Näille lausekkeille muuttujien valituille arvoille otetaan käyttöön muuttujien arvon käsite. Selvitetään mikä se on.

Määritelmä.

Muuttujia sisältävän lausekkeen arvo muuttujien valituille arvoille kutsutaan numeerisen lausekkeen arvoa, joka saadaan, kun muuttujien valitut arvot on korvattu alkuperäisellä lausekkeella.

Selvitetään kuultava määritelmä esimerkin avulla. Tarkastellaan lauseketta, jonka muuttujat x ja y ovat muotoa 3·x·y+y . Otetaan x=2 ja y=4 , korvataan nämä muuttujan arvot alkuperäiseen lausekkeeseen, saadaan numeerinen lauseke 3 2 4+4 . Lasketaan tämän lausekkeen arvo: 3 2 4+4=24+4=28 . Löytynyt arvo 28 on alkuperäisen lausekkeen arvo muuttujilla 3·x·y+y muuttujien x=2 ja y=4 valituilla arvoilla.

Jos valitset muut muuttujien arvot, esimerkiksi x=5 ja y=0, niin nämä valitut muuttujien arvot vastaavat lausekkeen arvoa, jonka muuttujat ovat 3 5 0+0=0 .

Voidaan huomata, että joskus eri valituille muuttujien arvoille voidaan saada samat lausekkeen arvot. Esimerkiksi kohdissa x=9 ja y=1 lausekkeen 3 x y+y arvo on 28 (koska 3 9 1+1=27+1=28 ), ja yllä osoitimme, että sama arvo on lauseke muuttujien kohdalla x=2 ja y=4 .

Muuttuvat arvot voidaan valita vastaavista hyväksyttävien arvojen vaihteluvälit. Muuten näiden muuttujien arvojen korvaaminen alkuperäisellä lausekkeella johtaa numeeriseen lausekkeeseen, jossa ei ole järkeä. Jos esimerkiksi valitset x=0 ja korvaat sen arvon lausekkeella 1/x, saat numeerisen lausekkeen 1/0, mikä ei ole järkevää, koska nollalla jakamista ei ole määritetty.

On vain lisättävä, että on lausekkeita, joissa on muuttujia, joiden arvot eivät riipu niiden muodostavien muuttujien arvoista. Esimerkiksi lausekkeen arvo, jonka muuttuja x on muotoa 2+x−x, ei riipu tämän muuttujan arvosta, se on yhtä suuri kuin 2 mille tahansa muuttujan x valitulle arvolle sen kelvollisten arvojen alueelta, joka tässä tapauksessa on kaikkien reaalilukujen joukko.

Bibliografia.

• Matematiikka: opinnot. 5 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Kaava

Yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku - aritmeettiset operaatiot (tai aritmeettiset operaatiot). Nämä aritmeettiset operaatiot vastaavat aritmeettisten operaatioiden merkkejä:

+ (lukea " Plussa") - lisäysoperaation merkki,

- (lukea " miinus") - vähennyslaskuoperaation etumerkki,

∙ (lukea " moninkertaistaa") - kertolaskuoperaation merkki,

: (lukea " jakaa") on jakotoiminnan merkki.

Kutsutaan tietuetta, joka koostuu luvuista, jotka on liitetty toisiinsa aritmeettisten operaatioiden etumerkeillä numeerinen lauseke. Numeerisessa lausekkeessa voi olla myös sulkeita, esimerkiksi merkintä 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) on numeerinen lauseke.

Numeerisessa lausekkeessa oleville luvuille suoritettujen operaatioiden tulosta kutsutaan numeerisen lausekkeen arvo. Näiden toimien suorittamista kutsutaan numeerisen lausekkeen arvon laskemiseksi. Aseta ennen numeerisen lausekkeen arvon kirjoittamista yhtäläisyysmerkki"=". Taulukossa 1 on esimerkkejä numeerisista lausekkeista ja niiden merkityksistä.

Tietue, joka koostuu latinalaisten aakkosten numeroista ja pienistä kirjaimista, jotka on yhdistetty aritmeettisten operaatioiden merkeillä, on ns. kirjaimellinen ilmaus. Tämä merkintä voi sisältää sulkeita. Esimerkiksi merkintä +b - 3 ∙c on kirjaimellinen ilmaus. Kirjaimellisten lausekkeiden kirjainten sijasta voit korvata erilaisia ​​numeroita. Tässä tapauksessa kirjainten merkitys voi muuttua, joten myös kirjaimellisen lausekkeen kirjaimia kutsutaan muuttujia.

Korvaamalla numeroita kirjainten sijaan kirjaimelliseen lausekkeeseen ja laskemalla tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvon he löytävät kirjaimellisen lausekkeen arvo kirjainten arvoilla(muuttujien annetuille arvoille). Taulukossa 2 on esimerkkejä kirjaimellisista lausekkeista.

Kirjaimellisella lausekkeella ei välttämättä ole arvoa, jos kirjainten arvot korvaamalla saadaan numeerinen lauseke, jonka arvoa luonnollisille numeroille ei löydy. Tällaista numeerista lauseketta kutsutaan väärä luonnollisille luvuille. He sanovat myös, että tällaisen ilmaisun merkitys " määrittelemätön" luonnollisille luvuille ja itse lausekkeelle "ei ole järkeä". Esimerkiksi kirjaimellinen ilmaus a-b ei ole väliä, kun a = 10 ja b = 17. Luonnollisten lukujen minuutti ei todellakaan voi olla pienempi kuin osaluku. Esimerkiksi, jos sinulla on vain 10 omenaa (a = 10), et voi antaa niistä 17 pois (b = 17)!

Taulukossa 2 (sarake 2) on esimerkki kirjaimellisesta lausekkeesta. Vastaavasti täytä taulukko kokonaan.

Luonnollisille luvuille lauseke 10 -17 väärin (ei järkeä), eli eroa 10 -17 ei voida ilmaista luonnollisena lukuna. Toinen esimerkki: et voi jakaa nollalla, joten minkä tahansa luonnollisen luvun b osalta osamäärä b:0 määrittelemätön.

Matemaattiset lait, ominaisuudet, jotkut säännöt ja suhteet kirjoitetaan usein kirjaimellisesti (eli kirjaimellisen lausekkeen muodossa). Näissä tapauksissa kirjaimellista lauseketta kutsutaan kaava. Esimerkiksi jos seitsemänkulmion sivut ovat yhtä suuret a,b,c,d,e,f,g, sitten kaava (kirjaimellinen lauseke) sen kehän laskemiseksi s näyttää:

p=+b+c +d+e +f +g

Jos a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, seitsemänkulmion ympärysmitta on p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Jos a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, toisen seitsemänkulmion ympärysmitta on p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Lohko 1. Sanakirja

Tee kappaleesta sanakirja uusista termeistä ja määritelmistä. Voit tehdä tämän kirjoittamalla tyhjiin soluihin sanat alla olevasta termiluettelosta. Merkitse taulukossa (lohkon lopussa) termien numerot kehysten numeroiden mukaisesti. On suositeltavaa lukea kappale huolellisesti ennen sanakirjan solujen täyttämistä.

1. Operaatiot: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku.

2. Merkit "+" (plus), "-" (miinus), "∙" (kerroin, " : " (jakaa).

3. Tietue, joka koostuu luvuista, jotka on liitetty toisiinsa aritmeettisten operaatioiden etumerkeillä ja joissa voi olla myös hakasulkuja.

4. Tulos operaatioiden suorittamisesta numeroille numeerisesti.

5. Numeerisen lausekkeen arvon edessä oleva etumerkki.

6. Tietue, joka koostuu latinalaisten aakkosten numeroista ja pienistä kirjaimista, jotka on yhdistetty toisiinsa aritmeettisten operaatioiden merkeillä (myös suluissa voi olla).

7. Kirjaimellisen lausekkeen kirjainten yleinen nimi.

8. Numeerisen lausekkeen arvo, joka saadaan korvaamalla muuttujat kirjaimelliseksi lausekkeeksi.

9. Numeerinen lauseke, jonka arvoa luonnollisille luvuille ei löydy.

10. Numeerinen lauseke, jonka arvo luonnollisille luvuille löytyy.

11. Matemaattiset lait, ominaisuudet, joitain sääntöjä ja suhteita kirjaimellisesti kirjoitettuna.

12. Aakkoset, joiden pieniä kirjaimia käytetään kirjaimellisten ilmaisujen kirjoittamiseen.

Lohko 2. Ottelu

Yhdistä vasemman sarakkeen tehtävä oikeanpuoleisen ratkaisun kanssa. Kirjoita vastaus muistiin muodossa: 1a, 2d, 3b ...

Lohko 3. Fasettesti. Numeeriset ja aakkoslliset lausekkeet

Fasetoidut testit korvaavat matematiikan tehtäväkokoelmia, mutta verrataan niihin suotuisasti siinä mielessä, että ne voidaan ratkaista tietokoneella, tarkistaa ratkaisut ja saada välittömästi selville työn tulos. Tämä testi sisältää 70 tehtävää. Mutta voit ratkaista ongelmia valinnalla, tätä varten on arviointitaulukko, jossa luetellaan yksinkertaiset ja vaikeammat tehtävät. Alla on testi.

1. Annettu kolmio, jossa on sivut c,d,m, ilmaistuna cm
2. Annettu nelikulmio, jossa on sivut b,c,d,m ilmaistuna m
3. Auton nopeus km/h on b, matka-aika tunneissa on d
4. Turistin matkustama matka m tuntia, on Kanssa km
5. Nopeudella liikkuvan turistin kulkema matka m km/h on b km
6. Kahden luvun summa on 15:llä suurempi kuin toinen luku
7. Ero on pienempi kuin 7:llä vähennetty
8. Matkustajalaivassa on kaksi kantta, joissa on sama määrä matkustajapaikkoja. Jokaisessa kansirivissä m istuimet, rivit kannella n enemmän kuin paikkoja peräkkäin
9. Petya on m-vuotias Masha on n-vuotias ja Katya on k vuotta nuorempi kuin Petya ja Masha yhdessä
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Tämän lausekkeen arvo
2. Kehyksen kirjaimellinen lauseke on
3. Kehä ilmaistuna senttimetreinä
4. Autolla kuljetun matkan kaava
5. Nopeuskaava v, turistiliikkeet
6. Aikakaava t, turistiliikkeet
7. Autolla ajettu matka kilometreissä
8. Turistinopeus kilometreinä tunnissa
9. Matka-aika tunteina
10. Ensimmäinen numero on...
11. Vähennetty yhtä suuri….
12. Lauseke suurimmalle matkustajamäärälle, jonka linjalentokone voi kuljettaa k lennot
13. Suurin matkustajamäärä, jonka lentokone voi kuljettaa k lennot
14. Katjan iän kirjainilmaisu
15. Katjan ikä
16. Pisteen B koordinaatti, jos pisteen C koordinaatti on t
17. Pisteen D koordinaatti, jos pisteen C koordinaatti on t
18. Pisteen A koordinaatti, jos pisteen C koordinaatti on t
19. Janan BD pituus numeroviivalla
20. Janan CA pituus numeroviivalla
21. Janan DA pituus numeroviivalla

Numeerinen lauseke on tietue numeroista yhdessä aritmeettisten operaatioiden ja hakasulkeiden kanssa. Kun lausekkeessa käytetään muuttujia yhdessä numeroiden kanssa ja koko lauseke muodostuu merkityksestä, sitä kutsutaan algebralliseksi (kirjaimelliseksi) lausekkeeksi. Jos lauseke sisältää suoria, johdannaisia, käänteisiä ja muita trigonometrisiä funktioita, lauseketta kutsutaan trigonometriseksi. Lukuisia esimerkkejä ja tehtäviä eri ilmaisuilla on kuvattu koulun matematiikan kurssilla.

Tärkeimmät asiat, jotka kannattaa muistaa:

1. Numeerisen lausekkeen arvo on luku, joka saadaan suorittamalla aritmeettisia operaatioita tässä lausekkeessa. Tärkeintä on suorittaa johdonmukaisesti aritmeettisia operaatioita. Koko toiminnan yksinkertaistamiseksi vaiheet voidaan numeroida. Jos lauseke sisältää hakasulkeet, suoritamme ensin suluissa olevaa merkkiä vastaavan toiminnon. Eksponentti on seuraava askel. Seuraavaksi suoritamme kerto- tai jakolaskun, ja vasta lopussa yhteen- ja vähennyslasku.

Etsitään nyt numeerisen lausekkeen 5+20*(60-45) arvo. Luovutetaan ensin sulut. Suorittamalla toiminnon saamme 60-45=15. Nyt meillä on 5+20*15. Seuraava toiminto on kertolasku 20*15=300. Ja viimeinen toimenpide on lisääminen, suoritamme sen ja saamme lopputuloksen 5 + 300 = 305.

2. Tunnetussa kulmassa? Kun työskentelet trigonometristen lausekkeiden kanssa, tarvitset tietoa trigonometrisista peruskaavoista, jotka auttavat yksinkertaistamaan lauseketta. Etsitään lausekkeen cos 12 arvo? cos 18? - sin 12? synti 18?. Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi käytämme kaavaa cos (? +?) = cos? cos? - synti? synti?, niin saamme cos 12? cos 18? - sin 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Muuttujia sisältävät lausekkeet. On muistettava, että algebrallisen lausekkeen arvo riippuu suoraan muuttujasta. Muuttujat voidaan merkitä kreikkalaisten tai latinalaisten aakkosten kirjaimilla. Kun meillä on algebrallisen lausekkeen annetut parametrit, meidän on ensin yksinkertaistettava se. Sen jälkeen on tarpeen korvata annetut muuttujat ja suorittaa aritmeettisia operaatioita. Tuloksena annetuilla muuttujilla saamme luvun, joka on algebrallisen lausekkeen arvo. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa sinun on löydettävä lausekkeen 3(a+y)+2(3a+2y) arvo, jossa a=4 ja y=5. Yksinkertaista tätä lauseketta ja saat 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Nyt sinun on korvattava muuttujien arvo ja laskettava, saatu tulos on lausekkeen arvo. Joten meillä on 9a+7y, jossa a=4 ja y=5, saamme 36+35=71. Huomaa, että algebralliset lausekkeet eivät aina ole järkeviä. Esimerkiksi lauseke 15:(b-4) on järkevä millä tahansa muulla b:llä kuin b =4.

Tässä artikkelissa käsitellään matemaattisten lausekkeiden arvojen löytämistä. Aloitetaan yksinkertaisilla numeerisilla lausekkeilla ja sitten tarkastellaan tapauksia niiden monimutkaisuuden kasvaessa. Lopuksi annamme lausekkeen, joka sisältää kirjainmerkinnät, hakasulkeet, juuret, erityiset matemaattiset merkit, asteet, funktiot jne. Koko teoria on perinteen mukaan varustettu runsain ja yksityiskohtaisin esimerkein.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kuinka löytää numeerisen lausekkeen arvo?

Numeeriset lausekkeet auttavat muun muassa kuvaamaan ongelman tilaa matemaattisella kielellä. Yleisesti ottaen matemaattiset lausekkeet voivat olla joko hyvin yksinkertaisia, jotka koostuvat lukuparista ja aritmeettisista etumerkeistä, tai erittäin monimutkaisia, sisältäen funktioita, asteita, juuria, hakasulkuja jne. Osana tehtävää on usein tarpeen löytää lausekkeen arvo. Miten tämä tehdään, keskustellaan alla.

Yksinkertaisimmat tapaukset

Nämä ovat tapauksia, joissa lauseke sisältää vain numeroita ja aritmetiikkaa. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytämiseksi onnistuneesti tarvitset tietoa järjestyksestä, jossa aritmeettiset toiminnot suoritetaan ilman sulkuja, sekä kykyä suorittaa operaatioita eri numeroilla.

Jos lauseke sisältää vain numeroita ja aritmeettisia etumerkkejä " + " , " · " , " - " , " ÷ " , niin operaatiot suoritetaan vasemmalta oikealle seuraavassa järjestyksessä: ensin kerto- ja jakolasku, sitten yhteen- ja vähennyslasku. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki 1. Numeerisen lausekkeen arvo

Olkoon tarpeen löytää lausekkeen 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 arvot.

Tehdään ensin kerto- ja jakolasku. Saamme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Nyt vähennetään ja saadaan lopputulos:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esimerkki 2. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Ensin muunnetaan murtoluvut, jako ja kertolasku:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Tehdään nyt yhteen- ja vähennyslasku. Ryhmitetään murtoluvut ja tuodaan ne yhteiseen nimittäjään:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Haluttu arvo löytyy.

Lausekkeet suluilla

Jos lauseke sisältää hakasulkeet, ne määrittävät toimintojen järjestyksen tässä lausekkeessa. Ensin suoritetaan suluissa olevat toiminnot ja sitten kaikki loput. Osoitetaan tämä esimerkillä.

Esimerkki 3. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo 0. 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Lauseke sisältää hakasulkeet, joten ensin tehdään suluissa vähennyslasku ja vasta sitten kertolasku.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Hakasulkeet sisältävien lausekkeiden arvo löytyy saman periaatteen mukaan.

Esimerkki 4. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan arvo 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Suoritamme toimintoja alkaen sisimmistä suluista siirtyen ulompiin.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Hakasulkeilla olevien lausekkeiden arvojen löytämisessä tärkeintä on seurata toimintojen järjestystä.

Ilmaisuja juurilla

Matemaattiset lausekkeet, joiden arvot meidän on löydettävä, voivat sisältää juurimerkkejä. Lisäksi itse lauseke voi olla juuren merkin alla. Kuinka olla siinä tapauksessa? Ensin sinun on löydettävä lausekkeen arvo juuren alta ja sitten erotettava juuri tuloksena olevasta numerosta. Jos mahdollista, on parempi luopua juurista numeerisissa lausekkeissa korvaamalla numero numeroarvoilla.

Esimerkki 5. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lausekkeen arvo juurilla - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Ensin lasketaan radikaalilausekkeet.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nyt voimme laskea koko lausekkeen arvon.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Usein juuria sisältävän lausekkeen arvon löytämiseksi on usein ensin muutettava alkuperäinen lauseke. Selitetään tämä toisella esimerkillä.

Esimerkki 6. Numeerisen lausekkeen arvo

Mikä on 3 + 1 3 - 1 - 1

Kuten näet, meillä ei ole mahdollisuutta korvata juuria tarkalla arvolla, mikä vaikeuttaa laskentaprosessia. Tässä tapauksessa voit kuitenkin käyttää lyhennettyä kertolaskua.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tällä tavalla:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ilmaisuja, joilla on voimia

Jos lauseke sisältää tehoja, niiden arvot on laskettava ennen kuin ryhdytään muihin toimiin. Tapahtuu, että eksponentti itse tai asteen kanta ovat lausekkeita. Tässä tapauksessa lasketaan ensin näiden lausekkeiden arvo ja sitten asteen arvo.

Esimerkki 7. Numeerisen lausekkeen arvo

Selvitä lausekkeen arvo 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Aloitamme laskemisen järjestyksessä.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Jää vain suorittaa lisäystoiminto ja selvittää lausekkeen arvo:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Usein on myös suositeltavaa yksinkertaistaa lauseketta käyttämällä asteen ominaisuuksia.

Esimerkki 8. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan seuraavan lausekkeen arvo: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponentit ovat taas sellaisia, ettei niiden tarkkoja numeerisia arvoja voida saada. Yksinkertaista alkuperäinen lauseke löytääksesi sen arvon.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Lausekkeet murtoluvuilla

Jos lauseke sisältää murto-osia, niin tällaista lauseketta laskettaessa kaikki siinä olevat murtoluvut on esitettävä tavallisina murtolukuina ja laskettava niiden arvot.

Jos murto-osan osoittajassa ja nimittäjässä on lausekkeita, lasketaan ensin näiden lausekkeiden arvot ja itse murto-osan lopullinen arvo kirjataan. Aritmeettiset operaatiot suoritetaan normaalissa järjestyksessä. Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki 9. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsitään murtolukuja sisältävän lausekkeen arvo: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Kuten näet, alkuperäisessä lausekkeessa on kolme murtolukua. Lasketaan ensin niiden arvot.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Kirjoitetaan lausekkeemme uudelleen ja lasketaan sen arvo:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Usein lausekkeiden arvoja löydettäessä on kätevää pienentää murtolukuja. On olemassa lausumaton sääntö: ennen sen arvon löytämistä, on parasta yksinkertaistaa mikä tahansa lauseke maksimiin ja vähentää kaikki laskelmat yksinkertaisimpiin tapauksiin.

Esimerkki 10. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lauseke 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Emme voi täysin poimia viiden juuria, mutta voimme yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta muunnoksilla.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Alkuperäinen ilmaisu saa muotoa:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lasketaan tämän lausekkeen arvo:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Lausekkeet logaritmeilla

Kun lausekkeessa on logaritmeja, niiden arvo lasketaan, mikäli mahdollista, alusta alkaen. Esimerkiksi lausekkeeseen log 2 4 + 2 4 voit kirjoittaa välittömästi tämän logaritmin arvon log 2 4:n sijaan ja suorittaa sitten kaikki toiminnot. Saamme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Numeeriset lausekkeet löytyvät myös logaritmin merkin alta ja sen tyvestä. Tässä tapauksessa ensimmäinen askel on löytää heidän arvonsa. Otetaan lauseke log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Meillä on:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Jos logaritmin tarkkaa arvoa ei voida laskea, lausekkeen yksinkertaistaminen auttaa löytämään sen arvon.

Esimerkki 11. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Logaritmien ominaisuuden mukaan:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Jälleen logaritmien ominaisuuksia soveltaen lausekkeen viimeiselle murtoluvulle saadaan:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Nyt voit siirtyä alkuperäisen lausekkeen arvon laskemiseen.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Lausekkeet trigonometrisilla funktioilla

Tapahtuu, että lausekkeessa on sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin trigonometrisiä funktioita sekä funktioita, jotka ovat käänteisiä niille. Arvosta lasketaan ennen kuin kaikki muut aritmeettiset operaatiot suoritetaan. Muussa tapauksessa ilmaisu yksinkertaistuu.

Esimerkki 12. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Ensin lasketaan lausekkeeseen sisältyvien trigonometristen funktioiden arvot.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Korvaa lausekkeen arvot ja laske sen arvo:

tg 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Lausekkeen arvo löytyy.

Usein trigonometristen funktioiden lausekkeen arvon löytämiseksi se on ensin muunnettava. Selitetäänpä esimerkillä.

Esimerkki 13. Numeerisen lausekkeen arvo

On tarpeen löytää lausekkeen cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 arvo.

Muunnokseen käytetään trigonometrisiä kaavoja kaksoiskulman kosinille ja summan kosinille.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 4 - 1 π 1-1 = 0.

Numeerisen lausekkeen yleinen tapaus

Yleisessä tapauksessa trigonometrinen lauseke voi sisältää kaikki edellä kuvatut elementit: hakasulkeet, asteet, juuret, logaritmit, funktiot. Muotoillaan yleinen sääntö tällaisten lausekkeiden arvojen löytämiseksi.

Kuinka löytää lausekkeen arvo

1. Juuret, potenssit, logaritmit jne. korvataan niiden arvoilla.
2. Suluissa olevat toiminnot suoritetaan.
3. Loput vaiheet suoritetaan järjestyksessä vasemmalta oikealle. Ensin - kerto- ja jakolasku, sitten - yhteen- ja vähennyslasku.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki 14. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan mikä on lausekkeen arvo - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Ilmaisu on melko monimutkainen ja hankala. Ei ole sattumaa, että valitsimme juuri tällaisen esimerkin yrittäen sovittaa siihen kaikki edellä kuvatut tapaukset. Kuinka löytää tällaisen lausekkeen arvo?

Tiedetään, että laskettaessa monimutkaisen murtomuodon arvoa, ensin löydetään murtoluvun osoittajan ja nimittäjän arvot erikseen. Muutamme ja yksinkertaistamme tätä ilmaisua peräkkäin.

Ensin lasketaan radikaalilausekkeen 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 arvo. Tätä varten sinun on löydettävä sinin arvo ja lauseke, joka on trigonometrisen funktion argumentti.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nyt voit selvittää sinin arvon:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Laskemme radikaalilausekkeen arvon:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Murtoluvun nimittäjällä kaikki on helpompaa:

Nyt voimme kirjoittaa koko murtoluvun arvon:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Tätä silmällä pitäen kirjoitamme koko lausekkeen:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Lopullinen tulos:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Tässä tapauksessa pystyimme laskemaan tarkat arvot juurille, logaritmeille, sineille ja niin edelleen. Jos tämä ei ole mahdollista, voit yrittää päästä eroon niistä matemaattisilla muunnoksilla.

Lausekkeiden laskeminen rationaalisilla tavoilla

Numeeriset arvot on laskettava johdonmukaisesti ja tarkasti. Tätä prosessia voidaan järkeistää ja nopeuttaa käyttämällä lukuisten operaatioiden erilaisia ​​ominaisuuksia. Tiedetään esimerkiksi, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla. Tämän ominaisuuden perusteella voimme heti sanoa, että lauseke 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 on yhtä suuri kuin nolla. Tässä tapauksessa ei ole lainkaan tarpeen suorittaa vaiheita yllä olevassa artikkelissa kuvatussa järjestyksessä.

On myös kätevää käyttää yhtäläisten lukujen vähennysominaisuutta. Ilman mitään toimenpiteitä voidaan määrätä, että lausekkeen 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 arvo on myös nolla.

Toinen tekniikka, jonka avulla voit nopeuttaa prosessia, on käyttää identtisiä muunnoksia, kuten termien ja tekijöiden ryhmittelyä ja yhteisen tekijän poistamista suluista. Rationaalinen lähestymistapa murtolukuja sisältävien lausekkeiden laskemiseen on vähentää samoja lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä.

Otetaan esimerkiksi lauseke 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Suorittamatta toimintoja suluissa, vaan pienentämällä murtolukua, voidaan sanoa, että lausekkeen arvo on 1 3 .

Muuttuvien lausekkeiden arvojen löytäminen

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvo löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille.

Muuttuvien lausekkeiden arvojen löytäminen

Löytääksesi kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujia sisältävän lausekkeen arvon, sinun on korvattava annetut kirjainten ja muuttujien arvot alkuperäisellä lausekkeella ja laskettava sitten tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvo.

Esimerkki 15. Muuttujia sisältävän lausekkeen arvo

Laske lausekkeen 0, 5 x-y arvo, kun x = 2, 4 ja y = 5.

Korvaamme muuttujien arvot lausekkeeseen ja laskemme:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8 .

Joskus on mahdollista muuttaa lauseke siten, että sen arvo saadaan riippumatta siihen sisältyvien kirjainten ja muuttujien arvoista. Tätä varten on tarpeen päästä eroon lausekkeen kirjaimista ja muuttujista, jos mahdollista, käyttämällä identtisiä muunnoksia, aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia ja kaikkia muita mahdollisia menetelmiä.

Esimerkiksi lausekkeen x + 3 - x arvo on ilmeisesti 3, eikä x:n arvoa tarvitse tietää tämän arvon laskemiseksi. Tämän lausekkeen arvo on kolme kaikille muuttujan x arvoille sen kelvollisten arvojen alueelta.

Vielä yksi esimerkki. Lausekkeen x x arvo on yhtä suuri kuin yksi kaikille positiivisille x:ille.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Vanhempana joudut usein lapsesi opettamisen yhteydessä tarvitsemaan apua kotitehtävien ratkaisemisessa matematiikan, algebran ja geometrian aloilla. Ja yksi perustaidoista, jotka sinun on opittava, on kuinka löytää ilmaisun arvo. Monet pysähtyvät, koska kuinka monta vuotta on kulunut siitä, kun olimme 3-5 luokalla? Paljon on jo unohdettu, mutta jotain ei ole opittu. Itse matemaattisten operaatioiden säännöt ovat yksinkertaiset ja voit helposti muistaa ne. Aloitetaan matemaattisen lausekkeen perusasioista.

Ilmaisun määritelmä

Matemaattinen lauseke - joukko numeroita, toimintamerkkejä (=, +, -, *, /), sulkuja, muuttujia. Lyhyesti sanottuna tämä on kaava, jonka arvo on löydettävä. Tällaisia ​​kaavoja löytyy vain matematiikan kurssista koulusta lähtien, ja sitten ne vainoavat opiskelijoita, jotka ovat valinneet tarkkoihin tieteisiin liittyviä erikoisuuksia. Matemaattiset lausekkeet on jaettu trigonometrisiin, algebrallisiin ja niin edelleen, emme törmää kovin "villiin".

1. Suorita laskutoimitukset ensin luonnokselle ja kirjoita se sitten uudelleen työkirjaan. Näin vältyt tarpeettomilta yliviivauksilta ja lialta;
2. Laske uudelleen lausekkeessa suoritettavien matemaattisten operaatioiden kokonaismäärä. Huomaa, että sääntöjen mukaan suluissa olevat operaatiot suoritetaan ensin, sitten jako ja kertominen ja aivan lopussa vähennys- ja yhteenlasku. Suosittelemme, että korostat kaikki toiminnot lyijykynällä ja laitat numerot toimintojen yläpuolelle siinä järjestyksessä, jossa ne suoritetaan. Tässä tapauksessa sinun ja lapsen on helpompi navigoida;
3. Aloita laskelmien tekeminen tiukasti toimintojen suoritusjärjestyksen mukaisesti. Anna lapsen, jos laskelma on yksinkertainen, yrittää tehdä se mielessään, mutta jos se on vaikeaa, laita lausekkeen sarjanumeroa vastaava numero lyijykynällä ja suorita laskutoimitus kirjallisesti kaavan alla;
4. Pääsääntöisesti yksinkertaisen lausekkeen arvon löytäminen ei ole vaikeaa, jos kaikki laskelmat suoritetaan sääntöjen ja oikeassa järjestyksessä. Useimmat kohtaavat ongelman tässä vaiheessa löytää ilmaisun arvo, joten ole varovainen ja älä tee virheitä;
5. Estä laskin. Itse matemaattiset kaavat ja tehtävät eivät välttämättä ole lapsellesi hyödyllisiä, mutta tämä ei ole aiheen opiskelun tarkoitus. Pääasia on loogisen ajattelun kehittäminen. Jos käytät laskimia, kaiken merkitys menetetään;
6. Sinun tehtäväsi vanhempana ei ole ratkaista ongelmia lapsen puolesta, vaan auttaa häntä tässä, ohjata häntä. Anna hänen tehdä kaikki laskelmat itse, ja varmista, että hän ei tee virheitä, selitä, miksi sinun on tehtävä se näin eikä toisin.
7. Kun vastaus lausekkeeseen on löytynyt, kirjoita se "="-merkin jälkeen;
8. Avaa matematiikan oppikirjasi viimeinen sivu. Yleensä kirjassa on vastaukset jokaiseen harjoitukseen. Se ei häiritse sen tarkistamista, onko kaikki laskettu oikein.

Lausekkeen arvon löytäminen on toisaalta yksinkertainen toimenpide, tärkeintä on muistaa perussäännöt, jotka kävimme läpi koulun matematiikan kurssilla. Mutta toisaalta, kun sinun on autettava vauvaasi selviytymään äidinmaidonkorvikkeista ja ongelmanratkaisusta, ongelmasta tulee monimutkaisempi. Loppujen lopuksi et ole nyt opiskelija, vaan opettaja, ja tulevan Einsteinin kasvatus on harteillasi.

Toivomme, että artikkelimme auttoi sinua löytämään vastauksen kysymykseen, kuinka löytää lausekkeen arvo, ja voit helposti selvittää minkä tahansa kaavan!