Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Numeroiden maailma on hyvin salaperäinen ja mielenkiintoinen. Numerot ovat erittäin tärkeitä maailmassamme. Haluan oppia mahdollisimman paljon numeroiden alkuperästä, niiden merkityksestä elämässämme. Kuinka soveltaa niitä ja mikä rooli niillä on elämässämme?

Viime vuonna matematiikan tunneilla aloimme tutkia aihetta "Positiiviset ja negatiiviset luvut". Minulla oli kysymys, milloin negatiiviset luvut ilmestyivät, missä maassa, mitkä tiedemiehet käsittelivät tätä asiaa. Luin Wikipediasta, että negatiivinen luku on negatiivisten lukujen joukon elementti, joka (yhdessä nollan kanssa) esiintyi matematiikassa, kun luonnollisten lukujen joukkoa laajennettiin. Laajennuksen tarkoituksena on tarjota vähennystoiminto mille tahansa numerolle. Laajennuksen tuloksena saadaan kokonaislukujen joukko (rengas), joka koostuu positiivisista (luonnollisista) luvuista, negatiivisista luvuista ja nollasta.

Tämän seurauksena päätin tutkia negatiivisten lukujen historiaa.

Tämän työn tarkoituksena on tutkia negatiivisten ja positiivisten lukujen syntyhistoriaa.

Tutkimuskohde - negatiiviset luvut ja positiiviset luvut

Positiivisten ja negatiivisten lukujen historia

Ihmiset eivät voineet tottua negatiivisiin lukuihin pitkään aikaan. Negatiiviset luvut tuntuivat heistä käsittämättömiltä, ​​niitä ei käytetty, he eivät yksinkertaisesti nähneet niissä paljon merkitystä. Nämä luvut ilmestyivät paljon myöhemmin kuin luonnolliset luvut ja tavalliset murtoluvut.

Ensimmäiset tiedot negatiivisista luvuista löytyvät kiinalaisilta matemaatikoilta 2. vuosisadalla eKr. eKr e. ja sitten tiedettiin vain positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteen- ja vähennyssäännöt; kerto- ja jakosääntöjä ei sovellettu.

Kiinan matematiikan positiivisia suureita kutsuttiin "cheniksi", negatiivisia - "fu"; ne kuvattiin eri väreillä: "chen" - punainen, "fu" - musta. Tämä näkyy kirjassa Aritmetic in Nine Chapters (Kirjoittaja Zhang Can). Tätä esitystapaa käytettiin Kiinassa 1100-luvun puoliväliin asti, kunnes Li Ye ehdotti kätevämpää merkintää negatiivisille luvuille - negatiivisia lukuja kuvaavat numerot ylitettiin viivalla vinosti oikealta vasemmalle.

Vasta 700-luvulla Intialaiset matemaatikot alkoivat käyttää laajasti negatiivisia lukuja, mutta suhtautuivat niihin jonkin verran epäluottamuksella. Bhashara kirjoitti suoraan: "Ihmiset eivät hyväksy abstrakteja negatiivisia lukuja ...". Näin intialainen matemaatikko Brahmagupta esitti yhteen- ja vähennyssäännöt: "omaisuus ja omaisuus ovat omaisuutta, kahden velan summa on velkaa; ominaisuuden ja nollan summa on omaisuus; kahden nollan summa on nolla... Velasta, joka vähennetään nollasta, tulee omaisuutta ja omaisuudesta tulee velkaa. Jos on tarpeen ottaa omaisuutta velasta ja velkaa omaisuudesta, he ottavat summansa. "Kahden kiinteistön summa on omaisuutta."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Intiaanit kutsuivat positiivisia lukuja "dhana" tai "swa" (omaisuus) ja negatiivisia - "rina" tai "kshaya" (velka). Intialaiset tiedemiehet yrittäessään löytää esimerkkejä tällaisesta vähentämisestä elämässä, tulivat tulkitsemaan sitä kaupan laskelmien näkökulmasta. Jos kauppiaalla on 5000 r. ja ostaa tavaroita 3000 ruplaa, hänellä on 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jos hänellä on 3 000 ruplaa ja hän ostaa 5 000 ruplaa, hän on velkaa 2 000 ruplaa. Tämän mukaisesti uskottiin, että tässä tehdään 3000 - 5000 vähennys, mutta tuloksena on luku 2000, jonka yläosassa on piste, mikä tarkoittaa "kaksituhatta velkaa". Tämä tulkinta oli keinotekoinen, kauppias ei koskaan löytänyt velan määrää vähentämällä 3000 - 5000, vaan aina 5000 - 3000.

Hieman myöhemmin, muinaisessa Intiassa ja Kiinassa, he arvasivat sanojen "velka 10 yuania" sijaan yksinkertaisesti kirjoittaa "10 yuania", mutta piirtävät nämä hieroglyfit mustalla musteella. Ja merkit "+" ja "-" muinaisina aikoina eivät olleet numeroita tai toimia varten.

Kreikkalaiset eivät myöskään aluksi käyttäneet kylttejä. Muinainen kreikkalainen tiedemies Diophantus ei tunnistanut negatiivisia lukuja ollenkaan, ja jos yhtälön ratkaisemisessa saatiin negatiivinen juuri, hän hylkäsi sen "pääsemättömänä". Ja Diophantus yritti muotoilla ongelmia ja tehdä yhtälöitä negatiivisten juurien välttämiseksi, mutta pian Diophantus Aleksandrialainen alkoi merkitä vähennystä merkillä.

Egyptissä ehdotettiin sääntöjä positiivisten ja negatiivisten lukujen käsittelemiseksi jo 3. vuosisadalla. Negatiivisten määrien käyttöönotto tapahtui ensimmäisen kerran Diophantuksella. Hän jopa käytti niihin erityistä hahmoa. Samaan aikaan Diophantos käyttää sellaisia ​​puheenkäänteitä kuin "Lisätään negatiivinen molemmille puolille" ja jopa muotoilee merkkisäännön: "Negatiivi kerrottuna negatiivisella antaa positiivisen, kun taas negatiivinen kerrottuna positiivisella antaa negatiivinen."

Euroopassa negatiivisia lukuja alettiin käyttää 1100-1300-luvuilla, mutta aina 1500-luvulle asti. useimmat tutkijat pitivät niitä "väärinä", "kuvitteellisina" tai "absurteina", toisin kuin positiiviset luvut - "totta". Positiiviset luvut tulkittiin myös "omaisuudeksi" ja negatiiviset luvut - "velkaksi", "pulaksi". Jopa kuuluisa matemaatikko Blaise Pascal väitti, että 0 − 4 = 0, koska mikään ei voi olla vähempää kuin ei mitään. Euroopassa Leonardo Fibonacci Pisasta tuli tarpeeksi lähelle ajatusta negatiivisesta suuresta 1200-luvun alussa. Kilpailussa ongelmien ratkaisemisesta Fredrik II:n hovimatemaatikoiden kanssa Pisalaista Leonardoa pyydettiin ratkaisemaan ongelma: hänen oli löydettävä useiden henkilöiden pääoma. Fibonacci on negatiivinen. "Tämä tapaus", sanoi Fibonacci, "on mahdoton, paitsi hyväksyä, ettei hänellä ollut pääomaa, vaan velkaa." Ranskalainen matemaatikko Shuquet käytti kuitenkin eksplisiittisesti negatiivisia lukuja ensimmäisen kerran 1400-luvun lopulla. Käsinkirjoitetun aritmetiikkaa ja algebraa käsittelevän tutkielman The Science of Numbers in Three Parts kirjoittaja. Schücken symboliikka lähestyy modernia.

Ranskalaisen matemaatikon, fyysikon ja filosofin René Descartesin työ vaikutti negatiivisten lukujen tunnistamiseen. Hän ehdotti positiivisten ja negatiivisten lukujen geometrista tulkintaa - hän esitteli koordinaattiviivan. (1637).

Positiiviset luvut on kuvattu numeroakselilla pisteillä, jotka sijaitsevat origosta 0 oikealla, negatiiviset luvut - vasemmalla. Positiivisten ja negatiivisten lukujen geometrinen tulkinta vaikutti niiden tunnistamiseen.

Vuonna 1544 saksalainen matemaatikko Michael Stiefel pitää negatiivisia lukuja ensimmäistä kertaa nollaa pienempinä lukuina (eli "vähemmän kuin ei mitään"). Siitä hetkestä lähtien negatiivisia lukuja ei pidetä enää velana, vaan täysin uudella tavalla. Stiefel itse kirjoitti: "Nolla on tosi ja absurdien lukujen välissä..."

Melkein samanaikaisesti Stiefelin kanssa Bombelli Raffaele (noin 1530-1572), italialainen matemaatikko ja insinööri, joka löysi uudelleen Diophantuksen työn, puolusti ajatusta negatiivisista luvuista.

Samoin Girard piti negatiivisia lukuja varsin hyväksyttävinä ja hyödyllisinä, erityisesti osoittamaan jonkin puuttumista.

Jokainen fyysikko käsittelee jatkuvasti numeroita: hän mittaa aina jotain, laskee, laskee. Kaikkialla hänen papereissaan - numeroita, numeroita ja numeroita. Jos katsot tarkasti fyysikon asiakirjoja, huomaat, että hän käyttää lukuja kirjoittaessaan usein merkkejä "+" ja "-". (Esimerkiksi: lämpömittari, syvyys- ja korkeusasteikko)

Vasta XIX vuosisadan alussa. negatiivisten lukujen teoria on saattanut kehityksensä päätökseen ja "absurdit luvut" ovat saaneet yleismaailmallista tunnustusta.

Numeron käsitteen määritelmä

Nykymaailmassa ihminen käyttää jatkuvasti numeroita, edes ajattelematta niiden alkuperää. Ilman tietoa menneestä on mahdotonta ymmärtää nykyisyyttä. Luku on yksi matematiikan peruskäsitteistä. Numeron käsite kehittyi läheisessä yhteydessä suuruustutkimuksen kanssa; tämä yhteys jatkuu tähän päivään asti. Kaikilla modernin matematiikan aloilla on otettava huomioon erilaisia ​​suureita ja käytettävä lukuja. Numero on abstraktio, jota käytetään objektien kvantifiointiin. Palattuaan alkukantaisessa yhteiskunnassa laskennan tarpeista luvun käsite muuttui ja rikastui ja muuttui tärkeimmäksi matemaattiseksi käsitteeksi.

Termille "numero" on monia määritelmiä.

Ensimmäisen tieteellisen luvun määritelmän antoi Eukleides teoksessaan Elements, jonka hän ilmeisesti peri maanmieheltään Eudoxukselta Knidukselta (noin 408 - noin 355 eKr.): "Yksikkö on se, jonka mukaan jokainen olemassa oleva asia on ns. yksi. Numero on joukko, joka koostuu yksiköistä. Näin määritteli luvun käsitteen venäläinen matemaatikko Magnitski teoksessaan Aritmetiikka (1703). Jo ennen Euklidista Aristoteles antoi seuraavan määritelmän: "Luku on joukko, joka mitataan yksiköiden avulla." Suuri englantilainen fyysikko, mekaanikko, tähtitieteilijä ja matemaatikko Isaac Newton kirjoittaa teoksessaan "Yleinen aritmetiikka" (1707): "Luvulla emme tarkoita niinkään yksiköiden joukkoa, vaan jonkin suuren abstraktia suhdetta saman suureen toiseen suureen. laji, yksikkönä otettuna. On olemassa kolmenlaisia ​​lukuja: kokonaisluku, murtoluku ja irrationaalinen. Kokonaisluku on se, joka mitataan yksiköllä; murtoluku - yksikön kerrannainen, irrationaalinen - luku, joka ei ole oikeassa suhteessa yksikköön.

Mariupolin matemaatikko S.F. Klyuykov osallistui myös luvun käsitteen määrittelyyn: "Luvut ovat todellisen maailman matemaattisia malleja, jotka ihminen on keksinyt tietämyksensä vuoksi." Hän lisäsi myös niin sanotut "funktionaaliset luvut" perinteiseen numeroluokitukseen, mikä tarkoittaa sitä, mitä yleensä kutsutaan funktioiksi kaikkialla maailmassa.

Luonnolliset luvut syntyivät esineitä laskettaessa. Opin tämän 5. luokalla. Sitten opin, että ihmisen tarve mitata määriä ei aina ilmaista kokonaislukuna. Luonnollisten lukujen joukon laajentamisen jälkeen murtolukuihin tuli mahdolliseksi jakaa mikä tahansa kokonaisluku toisella kokonaisluvulla (paitsi nollalla jakamista). On murtolukuja. Kokonaisluvun vähentäminen toisesta kokonaisluvusta, kun vähennetty on suurempi kuin vähennetty, tuntui pitkään mahdottomalta. Mielenkiintoista oli minulle se, että monet matemaatikot eivät pitkään aikaan tunnistaneet negatiivisia lukuja, koska he uskoivat, että ne eivät vastanneet mitään todellista ilmiötä.

Sanojen "plus" ja "miinus" alkuperä

Termit tulevat sanoista plus - "enemmän", miinus - "vähemmän". Aluksi toimintoja merkittiin ensimmäisillä kirjaimilla p; m. Monet matemaatikot suosivat tai Nykyaikaisten merkkien "+", "-" syntyminen ei ole täysin selvää. "+"-merkki tulee luultavasti lyhenteestä et, ts. "ja". Se saattoi kuitenkin johtua kaupallisesta käytännöstä: myydyt viinimitat merkittiin tynnyriin "-", ja varaston palautuessa ne yliviivattiin ja saatiin "+" -merkki.

Italiassa lainanantajat laittoivat rahaa lainaaessaan velallisen nimen eteen velan määrän ja viivan, kuten meidän miinuksen, ja kun velallinen palautti rahat, he ylittivät sen, jotenkin plussamme.

Nykyaikaiset merkit "+" ilmestyivät Saksaan 1400-luvun viimeisellä vuosikymmenellä. Widmannin kirjassa, joka oli opas kauppiaiden tilille (1489). Tšekkiläinen Jan Widman kirjoitti jo "+" ja "-" yhteen- ja vähennyslaskua varten.

Hieman myöhemmin saksalainen tutkija Michel Stiefel kirjoitti Täydellisen aritmeettisen, joka julkaistiin vuonna 1544. Se sisältää seuraavat numerot: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Ensimmäisen tyyppisiä numeroita hän kutsui "vähemmän kuin ei mitään" tai "alempi kuin ei mitään". Toisen tyypin numerot hän kutsui "enemmän kuin ei mitään" tai "korkeampi kuin ei mitään". Tietenkin ymmärrät nämä nimet, koska "ei mikään" on 0.

Negatiiviset luvut Egyptissä

Tällaisista epäilyistä huolimatta Egyptissä ehdotettiin sääntöjä positiivisten ja negatiivisten lukujen käsittelemiseksi jo 3. vuosisadalla. Negatiivisten määrien käyttöönotto tapahtui ensimmäisen kerran Diophantuksella. Hän jopa käytti niille erikoismerkkiä (nyt käytämme siihen miinusmerkkiä). Totta, tutkijat väittävät, tarkoittiko Diophantuksen symboli juuri negatiivista lukua vai yksinkertaisesti vähennyslaskua, koska Diophantuksella negatiiviset luvut eivät esiinny erikseen, vaan vain positiivisten erojen muodossa; ja hän pitää ongelmien vastauksina vain rationaalisia positiivisia lukuja. Mutta samaan aikaan Diophantos käyttää sellaisia ​​puheenkäänteitä kuin "Lisätään negatiivinen molemmille puolille" ja jopa muotoilee merkkisäännön: "Negatiivinen kerrottuna negatiivisella antaa positiivisen, kun taas negatiivinen kerrottuna positiivisella antaa negatiivisen" (se, joka nykyään yleensä muotoillaan: "Miinus miinuksella antaa plussan, miinus plus antaa miinuksen").

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Negatiiviset luvut muinaisessa Aasiassa

Kiinan matematiikan positiivisia suureita kutsuttiin "cheniksi", negatiivisia - "fu"; ne kuvattiin eri väreillä: "chen" - punainen, "fu" - musta. Tätä esitystapaa käytettiin Kiinassa 1100-luvun puoliväliin asti, kunnes Li Ye ehdotti kätevämpää merkintää negatiivisille luvuille - negatiivisia lukuja kuvaavat numerot ylitettiin viivalla vinosti oikealta vasemmalle. Intialaiset tiedemiehet yrittäessään löytää esimerkkejä tällaisesta vähentämisestä elämässä, tulivat tulkitsemaan sitä kaupan laskelmien näkökulmasta.

Jos kauppiaalla on 5000 r. ja ostaa tavaroita 3000 ruplaa, hänellä on 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jos hänellä on 3 000 ruplaa ja hän ostaa 5 000 ruplaa, hän on velkaa 2 000 ruplaa. Tämän mukaisesti uskottiin, että tässä tehdään 3000 - 5000 vähennys, mutta tuloksena on luku 2000, jonka yläosassa on piste, mikä tarkoittaa "kaksituhatta velkaa".

Tämä tulkinta oli luonteeltaan keinotekoinen, kauppias ei koskaan löytänyt velan määrää vähentämällä 3000 - 5000, vaan aina 5000 - 3000. Lisäksi tältä pohjalta oli mahdollista selittää venyvästi vain yhteen- ja vähennyssäännöt. "luvut pisteillä", mutta ei millään tavalla selittänyt kerto- tai jakolasääntöjä.

V-VI-luvuilla negatiiviset luvut ilmestyvät ja ovat hyvin laajalle levinneitä Intian matematiikassa. Intiassa negatiivisia lukuja käytettiin systemaattisesti samalla tavalla kuin nytkin. Intialaiset matemaatikot ovat käyttäneet negatiivisia lukuja 700-luvulta lähtien. n. e .: Brahmagupta muotoili heidän kanssaan säännöt aritmeettisille operaatioille. Hänen työssään luemme: "omaisuus ja omaisuus ovat omaisuutta, kahden velan summa on velkaa; ominaisuuden ja nollan summa on omaisuus; kahden nollan summa on nolla... Velasta, joka vähennetään nollasta, tulee omaisuutta ja omaisuudesta tulee velkaa. Jos on tarpeen ottaa omaisuutta velasta ja velkaa omaisuudesta, he ottavat summansa.

Intiaanit kutsuivat positiivisia lukuja "dhana" tai "swa" (omaisuus) ja negatiivisia - "rina" tai "kshaya" (velka). Intiassa oli kuitenkin ongelmia negatiivisten lukujen ymmärtämisessä ja hyväksymisessä.

Negatiiviset luvut Euroopassa

Eurooppalaiset matemaatikot eivät hyväksyneet niitä pitkään aikaan, koska "omaisuusvelan" tulkinta aiheutti hämmennystä ja epäilyksiä. Todellakin, kuinka omaisuutta ja velkoja voidaan "lisää" tai "vähentää", mikä todellinen merkitys voi olla "kerroilla" tai "jakamalla" omaisuuden velalla? (G.I. Glazer, Matematiikan historia koululuokilla IV-VI. Moskova, Koulutus, 1981)

Tästä syystä negatiiviset luvut ovat voittanut paikkansa matematiikassa suurilla vaikeuksilla. Euroopassa Leonardo Fibonacci Pisasta tuli tarpeeksi lähelle negatiivisen suuren ideaa 1200-luvun alussa, mutta ranskalainen matemaatikko Shuquet käytti negatiivisia lukuja ensimmäisen kerran 1400-luvun lopulla. Käsinkirjoitetun aritmetiikkaa ja algebraa käsittelevän tutkielman The Science of Numbers in Three Parts kirjoittaja. Schuken symboliikka lähestyy modernia (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Negatiivisten lukujen nykyaikainen tulkinta

Vuonna 1544 saksalainen matemaatikko Michael Stiefel pitää negatiivisia lukuja ensimmäistä kertaa nollaa pienempinä lukuina (eli "vähemmän kuin ei mitään"). Siitä hetkestä lähtien negatiivisia lukuja ei pidetä enää velana, vaan täysin uudella tavalla. Stiefel itse kirjoitti: "Nolla on tosi ja absurdien lukujen välissä..." (G.I. Glazer, Historia of Mathematics in grades IV-VI. Moskova, Education, 1981)

Sen jälkeen Stiefel omistaa työnsä kokonaan matematiikalle, jossa hän oli loistava itseoppinut. Yksi ensimmäisistä Euroopassa sen jälkeen, kun Nikola Shuke alkoi toimia negatiivisilla luvuilla.

Kuuluisa ranskalainen matemaatikko René Descartes Geometriassa (1637) kuvaa positiivisten ja negatiivisten lukujen geometrista tulkintaa; positiiviset luvut on kuvattu numeroakselilla pisteillä, jotka sijaitsevat origosta 0 oikealla, negatiiviset - vasemmalla. Positiivisten ja negatiivisten lukujen geometrinen tulkinta johti selvempään ymmärtämiseen negatiivisten lukujen luonteesta ja vaikutti niiden tunnistamiseen.

Melkein samanaikaisesti Stiefelin kanssa R. Bombelli Raffaele (noin 1530-1572), italialainen matemaatikko ja insinööri, joka löysi uudelleen Diophantuksen työn, puolusti ajatusta negatiivisista luvuista.

Bombelli ja Girard päinvastoin pitivät negatiivisia lukuja varsin hyväksyttävinä ja hyödyllisinä erityisesti osoittamaan jonkin puuttumista. Saksalainen matemaatikko Widman käytti positiivisten ja negatiivisten lukujen nykyaikaista nimitystä merkillä "+" ja "-". Ilmaus "alempi kuin ei mitään" osoittaa, että Stiefel ja jotkut muut kuvittelivat henkisesti positiiviset ja negatiiviset luvut pisteinä pystyasteikolla (kuten lämpömittarin asteikolla). Matemaatikko A. Girardin myöhemmin kehittämä ajatus negatiivisista luvuista tietyn suoran pisteinä, jotka sijaitsevat nollan toisella puolella kuin positiivisia, osoittautui ratkaisevaksi annettaessa näille luvuille kansalaisoikeudet, erityisesti sen seurauksena, että P. Fermatin ja R. Descartesin koordinaattimenetelmän kehittäminen .

Johtopäätös

Työssäni tutkin negatiivisten lukujen historiaa. Tutkimukseni aikana päätin:

Nykytiede kohtaa niin monimutkaisia ​​määriä, että niiden tutkimista varten on tarpeen keksiä uudentyyppisiä lukuja.

Uusia numeroita otettaessa käyttöön kaksi asiaa ovat erittäin tärkeitä:

a) niitä koskevien toimintasääntöjen on oltava täysin määriteltyjä, eivätkä ne saa johtaa ristiriitaan;

b) uusien lukujärjestelmien tulisi joko edistää uusien ongelmien ratkaisemista tai parantaa jo tunnettuja ratkaisuja.

Tähän mennessä on olemassa seitsemän yleisesti hyväksyttyä lukujen yleistystasoa: luonnolliset, rationaaliset, reaaliset, kompleksiset, vektori-, matriisi- ja äärelliset luvut. Jotkut tutkijat ehdottavat funktioiden pitämistä funktionaalisina lukuina ja numeroiden yleistysasteen laajentamista kahdelletoista tasolle.

Yritän tutkia kaikkia näitä lukujoukkoja.

Liite

RUNO

"Negatiivisten lukujen ja eri etumerkillä varustettujen lukujen lisääminen"

Jos haluat kipata

Luvut ovat negatiivisia, ei ole mitään valitettavaa:

Meidän on nopeasti selvitettävä moduulien summa,

Ota sitten miinusmerkki ja lisää se siihen.

Jos annetaan lukuja eri merkillä,

Löytääksemme heidän summansa, olemme kaikki paikalla.

Isompi moduuli on nopeasti valittavissa.

Siitä vähennetään pienempi.

Tärkeintä ei ole unohtaa merkkiä!

Kumman laitat? - haluamme kysyä

Paljastamme sinulle salaisuuden, se ei ole helpompaa,

Merkki, jossa moduuli on suurempi, kirjoita vastaukseen.

Positiivisten ja negatiivisten lukujen lisäämissäännöt

Lisää miinus miinuksella,

Voit saada miinuksen.

Jos lisäät miinuksen, plus

Siitäkö tulee noloa?!

Valitse numeron merkki

Mikä on vahvempaa, älä haukottele!

Ota pois heidän moduulinsa

Kyllä, tee rauha kaikkien numeroiden kanssa!

Kertoussäännöt voidaan tulkita myös näin:

"Ystäväni ystävä on ystäväni": + ∙ + = + .

"Viholliseni vihollinen on ystäväni": ─ ∙ ─ = +.

"Viholliseni ystävä on viholliseni": + ∙ ─ = ─.

"Ystäväni vihollinen on viholliseni": ─ ∙ + = ─.

Kertomerkki on piste, siinä on kolme merkkiä:

Peitä niistä kaksi, kolmas antaa vastauksen.

Esimerkiksi.

Miten määritetään tuotteen etumerkki 2∙(-3)?

Suljetaan plus- ja miinusmerkit käsillämme. Siellä on miinusmerkki

Bibliografia

"Muinaisen maailman historia", luokka 5. Kolpakov, Selunskaja.

"Antiikin matematiikan historia", E. Kolman.

"Opiskelijan käsikirja". Kustantaja VES, Pietari. 2003

Suuri matemaattinen tietosanakirja. Yakusheva G.M. jne.

Vigasin A.A., Goder G.I., "Muinaisen maailman historia", 5. luokan oppikirja, 2001

Wikipedia. Ilmainen tietosanakirja.

Matemaattisen tieteen synty ja kehitys: Kirja. Opettajan puolesta. - M.: Enlightenment, 1987.

Gelfman E.G. "Positiiviset ja negatiiviset luvut", matematiikan oppikirja 6. luokalle, 2001.

Pää. toim. M. D. Aksjonova. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. "Matematiikan historia koulussa", Moskova, "Prosveshchenie", 1981

Lasten tietosanakirja "Tiedän maailman", Moskova, "Enlightenment", 1995.

Matematiikan historia koulussa, IV-VI luokka. G.I. Glazer, Moskova, koulutus, 1981.

Moskova: Philol. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Matemaattinen tietosanakirja. M., Sov. tietosanakirja, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematiikka Grade 6", Moskova, "Enlightenment", 1989

Oppikirja 5. luokka. Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M. "Studying Mathematics", koulutuspainos, 1994

ESIMERKIKSI. Gelfman et al., Positiiviset ja negatiiviset numerot Pinocchio-teatterissa. Matematiikan oppikirja 6 luokalle. 3. painos, korjattu, - Tomsk: Tomsk University Publishing House, 1998.

Tietosanakirja lapsille. T.11. Matematiikka

Positiiviset ja negatiiviset luvut
Koordinaattiviiva
Mennään suoraan. Merkitsemme siihen pisteen 0 (nolla) ja otamme tämän pisteen origoksi.

Merkitään nuolella liikkeen suunta origosta oikealla olevaa suoraa pitkin. Tähän suuntaan pisteestä 0 siirrämme positiivisia lukuja.

Eli meille jo tuntemia lukuja nollaa lukuun ottamatta kutsutaan positiivisiksi.

Joskus positiiviset luvut kirjoitetaan "+"-merkillä. Esimerkiksi "+8".

Lyhyyden vuoksi "+"-merkki positiivisen luvun edessä jätetään yleensä pois ja "+8":n sijaan kirjoitetaan yksinkertaisesti 8.

Siksi "+3" ja "3" ovat sama numero, mutta ne on merkitty eri tavalla.

Valitaan jokin segmentti, jonka pituuden otamme yksiköksi ja laitamme sen sivuun useita kertoja pisteen 0 oikealle puolelle. Ensimmäisen janan loppuun kirjoitetaan numero 1, toisen loppuun - numero 2 jne.

Asettamalla yhden segmentin origosta vasemmalle, saamme negatiiviset luvut: -1; -2; jne.

Negatiiviset luvut käytetään merkitsemään erilaisia ​​​​suureita, kuten: lämpötila (alle nolla), virtaus - eli negatiivinen tulo, syvyys - negatiivinen korkeus ja muut.

Kuten kuvasta voidaan nähdä, negatiiviset luvut ovat meille jo tuntemia lukuja, vain miinusmerkillä: -8; -5.25 jne.

• Luku 0 ei ole positiivinen eikä negatiivinen.

Numeerinen akseli sijoitetaan yleensä vaaka- tai pystysuoraan.

Jos koordinaattiviiva on pystysuora, suuntaa ylöspäin origosta pidetään yleensä positiivisena ja alaspäin origosta negatiivisena.

Nuoli osoittaa positiivisen suunnan.

Suora viiva merkitty:
. vertailupiste (piste 0);
. yksi segmentti;
. nuoli osoittaa positiivisen suunnan;
nimeltään koordinaattiviiva tai numeroviiva.

Vastakkaiset numerot koordinaattiviivalla
Merkitään koordinaattiviivalle kaksi pistettä A ja B, jotka sijaitsevat samalla etäisyydellä pisteestä 0 oikealle ja vasemmalle.

Tässä tapauksessa segmenttien OA ja OB pituudet ovat samat.

Tämä tarkoittaa, että pisteiden A ja B koordinaatit eroavat vain etumerkistä.


Pisteiden A ja B sanotaan myös olevan symmetrisiä origon suhteen.
Pisteen A koordinaatti on positiivinen "+2", pisteen B koordinaatilla on miinusmerkki "-2".
A (+2), B (-2).

• Lukuja, jotka eroavat vain etumerkillä, kutsutaan vastakkaisiksi luvuiksi. Numeerisen (koordinaatti-) akselin vastaavat pisteet ovat symmetrisiä origon suhteen.

Jokainen numero on yksi vastakkainen numero. Vain numerolla 0 ei ole vastakohtaa, mutta voimme sanoa, että se on vastakohta itselleen.

Merkintä "-a" tarkoittaa "a":n vastakohtaa. Muista, että kirjain voi piilottaa sekä positiivisen että negatiivisen luvun.

Esimerkki:
-3 on 3:n vastakohta.

Kirjoitamme sen ilmaisuna:
-3 = -(+3)

Esimerkki:
-(-6) - negatiivista lukua -6 vastapäätä oleva luku. Joten -(-6) on positiivinen luku 6.

Kirjoitamme sen ilmaisuna:
-(-6) = 6

Negatiivisten lukujen lisääminen
Positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteenlasku voidaan jäsentää numerorivin avulla.

Absoluuttisesti arvoltaan pienten lukujen yhteenlasku suoritetaan kätevästi koordinaattiviivalla kuvitellen, että lukua ilmaiseva piste liikkuu numeroakselia pitkin.

Otetaan jokin luku, esimerkiksi 3. Merkitään se numeroakselille pisteellä A.

Lisätään numeroon positiivinen luku 2. Tämä tarkoittaa, että pistettä A on siirrettävä kaksi yksikkösegmenttiä positiiviseen suuntaan eli oikealle. Tuloksena saamme pisteen B koordinaatilla 5.
3 + (+ 2) = 5

Negatiivisen luvun (-5) lisäämiseksi positiiviseen, esimerkiksi 3:een, pistettä A on siirrettävä 5 pituusyksikköä negatiiviseen suuntaan eli vasemmalle.

Tässä tapauksessa pisteen B koordinaatti on -2.

Joten järjestys, jossa rationaaliset numerot lisätään numeroakselilla, on seuraava:
. merkitse koordinaattiviivalle piste A koordinaatilla, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi;
. siirrä sitä etäisyys, joka on yhtä suuri kuin toisen termin moduuli suuntaan, joka vastaa merkkiä toisen numeron edessä (plus - siirrä oikealle, miinus - vasemmalle);
. akselilta saadulla pisteellä B on koordinaatti, joka on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa.

Esimerkki.
- 2 + (- 6) =

Siirtymällä pisteestä - 2 vasemmalle (koska 6:n edessä on miinusmerkki), saamme - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Numeroiden lisääminen samoilla merkeillä
Rationaalilukujen lisääminen on helpompaa, jos käytät moduulin käsitettä.

Oletetaan, että meidän on lisättävä numeroita, joilla on samat merkit.
Tätä varten hylkäämme numeroiden merkit ja otamme näiden numeroiden moduulit. Lisäämme moduulit ja laitamme merkin summan eteen, joka oli yhteinen näille luvuille.

Esimerkki.

Esimerkki negatiivisten lukujen lisäämisestä.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Jos haluat lisätä saman merkin numeroita, sinun on lisättävä niiden moduulit ja asetettava merkki sen summan eteen, joka oli ehtojen edessä.

Numeroiden lisääminen eri merkillä
Jos numeroilla on eri merkit, toimimme hieman eri tavalla kuin kun lisäämme numeroita samoilla etumerkeillä.
. Hylkäämme merkit numeroiden edessä, eli otamme niiden moduulit.
. Vähennä pienempi isommasta.
. Ennen eroa laitimme sen merkin, jolla on suurempi moduuli.

Esimerkki negatiivisen ja positiivisen luvun lisäämisestä.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Esimerkki sekalukujen lisäämisestä.

Erilaisten merkkien numeroiden lisääminen:
. vähennä pienempi moduuli suuremmasta moduulista;
. ennen tuloksena olevaa erotusta laita sen luvun etumerkki, jolla on suurempi moduuli.

Negatiivisten lukujen vähentäminen
Kuten tiedät, vähentäminen on yhteenlaskemisen vastakohta.
Jos a ja b ovat positiivisia lukuja, luvun b vähentäminen luvusta a tarkoittaa luvun c löytämistä, joka, kun se lisätään numeroon b, antaa luvun a.
a - b = c tai c + b = a

Vähennyksen määritelmä pätee kaikkiin rationaalilukuihin. Eli positiivisten ja negatiivisten lukujen vähentäminen voidaan korvata lisäyksellä.

• Jos haluat vähentää yhdestä luvusta toisen, sinun on lisättävä vastakkainen luku minuendiin.

Tai toisella tavalla voimme sanoa, että luvun b vähennys on sama summa, mutta luvun b vastakkaisella luvulla.
a - b = a + (- b)

Esimerkki.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Esimerkki.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Alla olevat ilmaisut kannattaa muistaa.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Negatiivisten lukujen vähentämissäännöt
Kuten yllä olevista esimerkeistä näet, luvun b vähennys on yhteenlasku luvun b vastakkaisella luvulla.
Tämä sääntö säilyy paitsi vähennettäessä pienempää lukua suuremmasta numerosta, vaan voit myös vähentää suuremman luvun pienemmästä numerosta, eli voit aina löytää eron kahden luvun välillä.

Ero voi olla positiivinen luku, negatiivinen luku tai nolla.

Esimerkkejä negatiivisten ja positiivisten lukujen vähentämisestä.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
On kätevää muistaa merkkisääntö, jonka avulla voit vähentää hakasulkeiden määrää.
Plus-merkki ei muuta numeron etumerkkiä, joten jos hakasulkeen edessä on plus, suluissa oleva merkki ei muutu.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Hakasulkeiden edessä oleva miinusmerkki kääntää suluissa olevan luvun merkin.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Yhtälöistä voidaan nähdä, että jos suluissa ja sisällä on identtiset merkit, niin saadaan "+", ja jos merkit ovat erilaiset, niin "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Etumerkkisääntö säilyy myös, jos suluissa ei ole yhtä lukua, vaan lukujen algebrallinen summa.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Huomaa, että jos suluissa on useita numeroita ja suluissa on miinusmerkki, kaikkien näiden suluissa olevien numeroiden edessä olevien merkit on vaihdettava.

Merkkien säännön muistamiseksi voit tehdä taulukon numeron merkkien määrittämiseksi.
Merkintäsääntö numeroille

Tai opettele yksinkertainen sääntö.

• Kaksi negatiivista tekee myönteisen,
• Plus kertaa miinus on yhtä kuin miinus.

Negatiivisten lukujen kertolasku
Käyttämällä luvun moduulin käsitettä muotoilemme säännöt positiivisten ja negatiivisten lukujen kertomiselle.

Lukujen kertominen samoilla etumerkeillä
Ensimmäinen tapaus, jonka saatat kohdata, on lukujen kertominen samalla merkillä.
Voit kertoa kaksi numeroa samalla merkillä:
. moninkertaistaa moduulit numerot;
. laita "+" merkki ennen tuloksena olevaa tuotetta (vastausta kirjoitettaessa plusmerkki ennen ensimmäistä numeroa vasemmalla voidaan jättää pois).

Esimerkkejä negatiivisten ja positiivisten lukujen kertomisesta.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Lukujen kertominen eri etumerkeillä
Toinen mahdollinen tapaus on lukujen kertominen eri etumerkeillä.
Kahden eri etumerkillä varustetun luvun kertominen:
. moninkertaistaa moduulit numerot;
. laita "-"-merkki tuloksena olevan työn eteen.
Esimerkkejä negatiivisten ja positiivisten lukujen kertomisesta.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Säännöt kertolaskumerkeille
Kertoamismerkkien säännön muistaminen on hyvin yksinkertaista. Tämä sääntö on sama kuin sulkeiden laajennussääntö.

• Kaksi negatiivista tekee myönteisen,
• Plus kertaa miinus on yhtä kuin miinus.

"Pitkissä" esimerkeissä, joissa on vain kertolasku, tuotteen etumerkki voidaan määrittää negatiivisten tekijöiden lukumäärällä.

klo jopa useita negatiivisia tekijöitä, tulos on positiivinen, ja kanssa outo määrä on negatiivinen.
Esimerkki.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

Esimerkissä on viisi negatiivista kerrointa. Joten tuloksen merkki on miinus.
Nyt laskemme moduulien tulon huomioimatta merkkejä.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Alkuperäisten lukujen kertomisen lopputulos on:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Kertominen nollalla ja yhdellä
Jos tekijöiden joukossa on luku nolla tai positiivinen, niin kertolasku suoritetaan tunnettujen sääntöjen mukaan.
. 0 . a = 0
. a. 0 = 0
. a. 1 = a
Esimerkkejä:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Erityinen rooli rationaalisten lukujen kertomisessa on negatiivisella yksiköllä (-1).

• Kun kerrotaan (-1), luku käännetään.

Kirjaimellisesti tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa:
a. (-1) = (-1) . a = - a

Kun rationaalilukuja lasketaan yhteen, vähennetään ja kerrotaan, positiivisille luvuille ja nollalle määritetty operaatiojärjestys säilyy.

Esimerkki negatiivisten ja positiivisten lukujen kertomisesta.

Negatiivisten lukujen jako
Negatiivisten lukujen jakaminen on helppo ymmärtää, kun muistaa, että jako on kertolaskujen käänteinen.

Jos a ja b ovat positiivisia lukuja, luvun a jakaminen luvulla b tarkoittaa luvun c löytämistä, joka kerrottuna b:llä antaa luvun a.

Tämä jaon määritelmä pätee kaikille rationaalisille luvuille niin kauan kuin jakajat ovat nollasta poikkeavat.

Siksi esimerkiksi luvun (-15) jakaminen luvulla 5 tarkoittaa luvun löytämistä, joka luvulla 5 kerrottuna antaa luvun (-15). Tämä luku on (-3), koska
(- 3) . 5 = - 15

tarkoittaa

(- 15) : 5 = - 3

Esimerkkejä rationaalilukujen jaosta.
1. 10: 5 = 2 alkaen 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 koska 2 . (-2) = -4
3. (- 18) : 3 = - 6 koska (- 6) . 3 = -18
4. 12: (- 4) = - 3, koska (- 3) . (-4) = 12

Esimerkeistä voidaan nähdä, että kahden samanmerkkisen luvun osamäärä on positiivinen luku (esimerkit 1, 2) ja kahden erimerkkisen luvun osamäärä on negatiivinen luku (esimerkit 3,4).

Säännöt negatiivisten lukujen jakamiseen
Osamäärän moduulin löytämiseksi sinun on jaettava osingon moduuli jakajan moduulilla.
Joten, jotta voit jakaa kaksi numeroa samoilla merkeillä, tarvitset:

. ennen tulosta "+"-merkillä.
Esimerkkejä lukujen jakamisesta samoilla merkeillä:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Kahden luvun jakaminen eri merkillä:
. jaa osingon moduuli jakajan moduulilla;
. ennen tulosta "-"-merkillä.
Esimerkkejä lukujen jakamisesta eri merkillä:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Voit myös käyttää seuraavaa taulukkoa osamäärämerkin määrittämiseen.
Merkkien sääntö jaettaessa

Laskettaessa "pitkiä" lausekkeita, joissa esiintyy vain kerto- ja jakolasku, on erittäin kätevää käyttää merkkisääntöä. Esimerkiksi murto-osan laskemiseen

Voit kiinnittää huomiota siihen, että osoittajassa on 2 "miinus" -merkkiä, jotka kerrottuna antavat "plussan". Nimittäjässä on myös kolme miinusmerkkiä, jotka kertomalla saadaan miinus. Siksi lopputulos on miinusmerkki.

Murtolukuvähennys (lisätoimenpiteet lukumoduuleilla) suoritetaan samalla tavalla kuin aiemmin:

• Nollan jakaminen nollasta poikkeavalla luvulla osamäärä on nolla.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• ÄLÄ jaa nollalla!

Kaikki aiemmin tunnetut säännöt yhdellä jakamisesta pätevät myös rationaalilukujen joukkoon.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
missä a on mikä tahansa rationaalinen luku.

Kerto- ja jakolaskutulosten väliset riippuvuudet, jotka tunnetaan positiivisista luvuista, säilyvät myös kaikille rationaalisille luvuille (lukuun ottamatta lukua nolla):
. jos . b = c; a = c: b; b = c: a;
. jos a: b = c; a = s. b; b=a:c
Näitä riippuvuuksia käytetään tuntemattoman kertoimen, osingon ja jakajan etsimiseen (yhtälöitä ratkaistaessa) sekä kerto- ja jakolaskutulosten tarkistamiseen.

Esimerkki tuntemattoman löytämisestä.
x . (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

Miinusmerkin murtoluvut
Jaa luku (-5) 6:lla ja luku 5 (-6).

Muistutamme, että tavallisen murtoluvun merkintäviiva on sama jakomerkki, ja kirjoitamme jokaisen näiden toimintojen osamäärän negatiiviseksi murtoluvuksi.

Näin ollen miinusmerkki murtoluvussa voi olla:
. ennen murto-osaa
. osoittajassa;
. nimittäjässä.

• Negatiivisia murtolukuja kirjoitettaessa voit laittaa miinusmerkin murtoluvun eteen, siirtää sen osoittajasta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan.

Tätä käytetään usein suoritettaessa operaatioita murtoluvuille, mikä helpottaa laskemista.

Esimerkki. Huomaa, että kun miinusmerkki on asetettu hakasulkeen eteen, vähennämme pienemmän suuremmasta moduulista erimerkkisten numeroiden lisäämissääntöjen mukaisesti.


Kuvattua etumerkkien siirtoominaisuutta murtoluvuissa käyttämällä voit toimia selvittämättä kumpi näistä murtolukuista on suurempi.

Koostuu positiivisista (luonnollisista) luvuista, negatiivisista luvuista ja nollasta.

Kaikki negatiiviset luvut, ja vain ne, ovat pienempiä kuin nolla. Numeroakselilla negatiiviset luvut sijaitsevat nollan vasemmalla puolella. Niille, samoin kuin positiivisille luvuille, määritellään järjestyssuhde, jonka avulla voit verrata yhtä kokonaislukua toiseen.

Jokaiselle luonnolliselle luvulle n on yksi ja vain yksi negatiivinen luku, joka on merkitty -n, joka täydentää n nollaan:

Täydellinen ja melko tiukka teoria negatiivisista luvuista luotiin vasta 1800-luvulla (William Hamilton ja Hermann Grassmann).

Kuuluisia negatiivisia lukuja

Katso myös

Kirjallisuus

• Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. - M .: Koulutus, 1964. - 376 s.

Huomautuksia

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Kivi
• Otsoni (täsmennys)

Katso, mikä "negatiivinen luku" on muissa sanakirjoissa:

NEGATIIVINEN NUMERO- reaaliluku a pienempi kuin nolla, ts. tyydyttää epäyhtälön a ... Suuri ammattikorkeakoulun tietosanakirja- 1,50. negatiivinen binomijakauma Diskreetin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma siten, että kun x = 0, 1, 2, ... ja parametreille c > 0 (positiivinen kokonaisluku), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

Susi numero- (W) auringon aktiivisuusasteen kvantitatiivinen ominaisuus; edustaa auringonpilkkujen ja niiden ryhmien määrää, ilmaistuna ehdollisen indikaattorin muodossa: W \u003d k (m + 10n), missä m on kaikkien ryhmiin järjestettyjen tai sijaitsevien auringonpilkkujen kokonaismäärä ... ... ihmisen ekologia

Negatiiviset luvut ovat numeroita, joissa on miinusmerkki (-), esimerkiksi -1, -2, -3. Lukee näin: miinus yksi, miinus kaksi, miinus kolme.

Sovellusesimerkki negatiivisia lukuja on lämpömittari, joka näyttää kehon, ilman, maaperän tai veden lämpötilan. Talvella, kun ulkona on erittäin kylmä, lämpötila on negatiivinen (tai, kuten ihmiset sanovat, "miinus").

Esimerkiksi -10 astetta pakkasta:

Tavallisia lukuja, joita tarkastelimme aiemmin, kuten 1, 2, 3, kutsutaan positiivisiksi. Positiiviset luvut ovat numeroita, joissa on plusmerkki (+).

Positiivisia lukuja kirjoitettaessa +-merkkiä ei kirjoiteta muistiin, minkä vuoksi näemme meille tutut luvut 1, 2, 3. Mutta on syytä muistaa, että nämä positiiviset luvut näyttävät tältä: +1, + 2, +3.

Oppitunnin sisältö

Tämä on suora viiva, jolla kaikki luvut sijaitsevat: sekä negatiiviset että positiiviset. Seuraavasti:

Tässä näytetään numeroita -5:stä 5:een. Itse asiassa koordinaattiviiva on ääretön. Kuvassa näkyy vain pieni osa siitä.

Koordinaattiviivalla olevat numerot on merkitty pisteinä. Kuvassa lihavoitu musta piste on aloituskohta. Lähtölaskenta alkaa nollasta. Vertailupisteen vasemmalle puolelle on merkitty negatiiviset luvut ja oikealle positiiviset luvut.

Koordinaattiviiva jatkuu loputtomasti molemmilla puolilla. Matematiikan ääretöntä merkitään symbolilla ∞. Negatiivinen suunta merkitään symbolilla −∞ ja positiivinen symbolilla +∞. Sitten voidaan sanoa, että kaikki luvut miinus äärettömyydestä plus äärettömyyteen sijaitsevat koordinaattiviivalla:

Jokaisella koordinaattiviivan pisteellä on oma nimi ja koordinaatti. Nimi on mikä tahansa latinalainen kirjain. Koordinoi on numero, joka ilmaisee pisteen sijainnin tällä viivalla. Yksinkertaisesti sanottuna koordinaatti on sama numero, jonka haluamme merkitä koordinaattiviivalle.

Esimerkiksi piste A(2) kuuluu seuraavasti "piste A koordinaatilla 2" ja se merkitään koordinaattiviivalla seuraavasti:

Tässä A on pisteen nimi, 2 on pisteen koordinaatti A.

Esimerkki 2 Kohta B(4) kuuluu seuraavasti "piste B koordinaatissa 4"

Tässä B on pisteen nimi, 4 on pisteen koordinaatti b.

Esimerkki 3 Piste M(−3) luetaan muodossa "piste M koordinaatilla miinus kolme" ja se merkitään koordinaattiviivalla seuraavasti:

Tässä M on pisteen nimi, −3 on pisteen M koordinaatti .

Pisteet voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella. Mutta on yleisesti hyväksyttyä merkitä ne isoilla latinalaisilla kirjaimilla. Lisäksi raportin alku, jota muuten kutsutaan alkuperä merkitään yleensä isolla O-kirjaimella

On helppo nähdä, että negatiiviset luvut ovat origon vasemmalla puolella ja positiiviset luvut oikealla.

On lauseita, kuten "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" ja "mitä enemmän oikealle, sitä enemmän". Luultavasti arvasit jo, mistä puhumme. Jokaisella askeleella vasemmalle numero pienenee alaspäin. Ja jokaisella askeleella oikealle, määrä kasvaa. Oikealle osoittava nuoli osoittaa laskennan positiivisen suunnan.

Negatiivisten ja positiivisten lukujen vertailu

Sääntö 1 Mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku.

Verrataan esimerkiksi kahta lukua: −5 ja 3. Miinus viisi pienempi kuin kolme, huolimatta siitä, että viisi kiinnittää huomion ensiksikin, koska luku on suurempi kuin kolme.

Tämä johtuu siitä, että −5 on negatiivinen ja 3 on positiivinen. Koordinaattiviivalla näet, missä numerot −5 ja 3 sijaitsevat

Voidaan nähdä, että −5 on vasemmalla ja 3 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Tästä seuraa siis

−5 < 3

"Miinus viisi on vähemmän kuin kolme"

Sääntö 2 Kahdesta negatiivisesta luvusta pienempi on koordinaattiviivan vasemmalla puolella oleva.

Verrataan esimerkiksi lukuja -4 ja -1. miinus neljä pienempi kuin miinus yksi.

Tämä taas johtuu siitä, että koordinaattiviivalla −4 sijaitsee enemmän vasemmalla kuin −1

Voidaan nähdä, että -4 on vasemmalla ja -1 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että kahdesta negatiivisesta luvusta koordinaattiviivan vasemmalla puolella oleva on pienempi. Tästä seuraa siis

Miinus neljä on pienempi kuin miinus yksi

Sääntö 3 Nolla on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku.

Verrataan esimerkiksi arvoja 0 ja −3. Nolla lisää kuin miinus kolme. Tämä johtuu siitä, että koordinaattiviivalla 0 sijaitsee oikealla kuin −3

Voidaan nähdä, että 0 on oikealla ja −3 vasemmalla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän oikealle, sitä enemmän" . Ja sääntö sanoo, että nolla on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku. Tästä seuraa siis

Nolla on suurempi kuin miinus kolme

Sääntö 4 Nolla on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku.

Vertaa esimerkiksi 0 ja 4. Nolla pienempi kuin 4. Periaatteessa tämä on selvää ja totta. Mutta yritämme nähdä sen omin silmin, jälleen koordinaattiviivalla:

Voidaan nähdä, että koordinaattiviivalla 0 sijaitsee vasemmalla ja 4 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että nolla on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Tästä seuraa siis

Nolla on pienempi kuin neljä

Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte-ryhmäämme ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista

Erikoisnumerona siinä ei ole merkkiä.

Esimerkkejä numeroiden kirjoittamisesta: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Viimeisellä numerolla ei ole etumerkkiä, joten se on positiivinen.

Huomaa, että plus- ja miinusmerkit osoittavat numeroiden etumerkkiä, mutta eivät kirjaimellisia muuttujia tai algebrallisia lausekkeita. Esimerkiksi kaavoissa −t; a + b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) plus- ja miinussymbolit eivät määrittele niitä edeltävän lausekkeen etumerkkiä, vaan aritmeettisen operaation etumerkkiä, joten tuloksen etumerkki voi olla mikä tahansa, se määritetään vasta lausekkeen evaluoinnin jälkeen.

Aritmetiikan lisäksi merkin käsitettä käytetään muilla matematiikan aloilla, myös ei-numeerisissa matemaattisissa objekteissa (katso alla). Merkin käsite on tärkeä myös niillä fysiikan aloilla, joissa fyysiset suureet jaetaan kahteen luokkaan, joita kutsutaan ehdollisesti positiivisiksi ja negatiivisiksi - esimerkiksi sähkövaraukset, positiivinen ja negatiivinen palaute, erilaiset veto- ja hylkimisvoimat.

Numeromerkki

Positiiviset ja negatiiviset luvut

Nollalle ei ole annettu mitään merkkiä + 0 (\displaystyle +0) ja − 0 (\displaystyle -0) on sama luku aritmeettisesti. Matemaattisessa analyysissä symbolien merkitys + 0 (\displaystyle +0) ja − 0 (\displaystyle -0) voi vaihdella, katso siitä Negatiivinen ja positiivinen nolla ; tietojenkäsittelytieteessä kahden nollan tietokonekoodaus (kokonaislukutyyppi) voi vaihdella, katso suora koodi.

Yllä olevan yhteydessä esitellään muutama hyödyllinen termi:

• Määrä ei-negatiivinen jos se on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
• Määrä ei-positiivinen jos se on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla.
• Positiivisia nollasta poikkeavia lukuja ja negatiivisia nollasta poikkeavia lukuja kutsutaan joskus (korostamaan, että ne ovat nollasta poikkeavia) "tiukasti positiivisiksi" ja "tiukasti negatiivisiksi".

Samaa terminologiaa käytetään joskus todellisiin toimintoihin. Esimerkiksi funktiota kutsutaan positiivinen jos kaikki sen arvot ovat positiivisia, ei-negatiivinen, jos kaikki sen arvot eivät ole negatiivisia jne. He myös sanovat, että funktio on positiivinen/negatiivinen määrityksensä tietyllä aikavälillä.

Katso esimerkki funktion käytöstä artikkelista Neliöjuuri#Kompleksiluvut .

Luvun moduuli (absoluuttinen arvo).

Jos numero x (\displaystyle x) pudota merkki, tuloksena olevaa arvoa kutsutaan moduuli tai absoluuttinen arvo numeroita x (\displaystyle x), se on merkitty | x | . (\displaystyle |x|.) Esimerkkejä: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Kaikille reaaliluvuille a , b (\näyttötyyli a,b) seuraavat ominaisuudet ovat voimassa.

Ei-numeeristen objektien merkki

Kulman merkki

Kulman arvo tasossa katsotaan positiiviseksi, jos se mitataan vastapäivään, muuten se on negatiivinen. Kaksi kiertotapausta luokitellaan samalla tavalla:

• kierto tasossa - esimerkiksi kierto (–90°) on myötäpäivään;
• kierto avaruudessa orientoidun akselin ympäri katsotaan pääsääntöisesti positiiviseksi, jos "kierresääntö" täyttyy, muuten sitä pidetään negatiivisena.

suuntamerkki

Analyyttisessä geometriassa ja fysiikassa edistyminen tiettyä suoraa tai käyrää pitkin jaetaan usein ehdollisesti positiivisiin ja negatiivisiin. Tällainen jako voi riippua ongelman muotoilusta tai valitusta koordinaattijärjestelmästä. Esimerkiksi käyrän kaaren pituutta laskettaessa on usein kätevää antaa tälle pituudelle miinusmerkki jommassakummassa kahdesta mahdollisesta suunnasta.

Kirjaudu sisään tietokoneeseen

merkittävin kohta
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Useimmat tietokoneet käyttävät edustamaan kokonaisluvun merkkiä