Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat yhtälöitä, joissa on vähintään yksi, jonka nimittäjässä on muuttuja.

Esimerkiksi:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Esimerkki ei murto-rationaaliset yhtälöt:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Miten murto-rationaaliset yhtälöt ratkaistaan?

Tärkein asia, joka on muistettava murto-rationaalisissa yhtälöissä, on, että sinun on kirjoitettava niihin. Ja kun olet löytänyt juuret, muista tarkistaa niiden hyväksyttävyys. Muuten voi ilmaantua vieraita juuria, ja koko ratkaisua pidetään virheellisenä.

Algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi:

Kirjoita ja "ratkaise" ODZ.

Kerro yhtälön jokainen termi yhteisellä nimittäjällä ja pienennä tuloksena olevia murtolukuja. Nimittäjät katoavat.

Kirjoita yhtälö avaamatta sulkuja.

Ratkaise tuloksena oleva yhtälö.

Tarkista löydetyt juuret ODZ:lla.

Kirjoita vastaukseksi ylös juuret, jotka läpäisivät testin vaiheessa 7.

Älä muista algoritmia, 3-5 ratkaistua yhtälöä - ja se muistaa itsestään.

Esimerkki . Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Päätös:

Vastaus: \(3\).

Esimerkki . Etsi murto-rationaalisen yhtälön \(=0\) juuret

Päätös:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kirjoitamme ylös ja "ratkaisemme" ODZ:n. Laajenna \(x^2+7x+10\) kaavaan: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Onneksi \(x_1\) ja \(x_2\) olemme jo löytäneet.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ilmeisesti murtolukujen yhteinen nimittäjä: \((x+2)(x+5)\). Kerromme koko yhtälön sillä.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Vähennämme murto-osia
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Kiinnikkeiden avaaminen
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Annamme samanlaiset ehdot
\(2x^2+9x-5=0\)		Yhtälön juurten löytäminen
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Yksi juurista ei mahdu ODZ:n alle, joten vastauksena kirjoitamme vain toisen juuren.

Vastaus: \(\frac(1)(2)\).

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisen edun mukaisiin tarkoituksiin.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelma:

• murto-osien rationaalisten yhtälöiden käsitteen muodostaminen;
• pohtia erilaisia ​​tapoja ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä;
• harkita algoritmia murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, mukaan lukien ehto, että murtoluku on nolla;
• opettaa murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisua algoritmin mukaisesti;
• aiheen assimilaatiotason tarkistaminen koetyön avulla.

Kehitetään:

• kehittää kykyä toimia oikein hankitulla tiedolla, ajatella loogisesti;
• älyllisten taitojen ja henkisten toimintojen kehittäminen - analyysi, synteesi, vertailu ja yleistäminen;
• aloitekyvyn kehittäminen, kyky tehdä päätöksiä, ei lopu tähän;
• kriittisen ajattelun kehittäminen;
• tutkimustaitojen kehittäminen.

Hoito:

• kognitiivisen kiinnostuksen koulutus aihetta kohtaan;
• itsenäisyyden kasvattaminen koulutusongelmien ratkaisemisessa;
• tahtoa ja sinnikkyyttä lopputulosten saavuttamiseksi.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti - uuden materiaalin selitys.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Hei kaverit! Yhtälöt on kirjoitettu taululle, katso niitä huolellisesti. Voitko ratkaista kaikki nämä yhtälöt? Mitkä eivät ole ja miksi?

Yhtälöitä, joissa vasen ja oikea puoli ovat murto-rationaalisia lausekkeita, kutsutaan murto-rationaalisiksi yhtälöiksi. Mitä luulet opiskelevan tänään oppitunnilla? Muotoile oppitunnin aihe. Joten avaamme muistikirjoja ja kirjoitamme oppitunnin aiheen "Rationaliaalisten yhtälöiden ratkaisu".

2. Tiedon toteuttaminen. Frontaalinen kysely, suullinen työskentely luokan kanssa.

Ja nyt toistamme tärkeimmän teoreettisen materiaalin, jota tarvitsemme uuden aiheen tutkimiseen. Ole hyvä ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

1. Mikä on yhtälö? ( Tasa-arvo muuttujan tai muuttujien kanssa.)
2. Mikä on yhtälön #1 nimi? ( Lineaarinen.) Menetelmä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. ( Siirrä kaikki tuntematon yhtälön vasemmalle puolelle, kaikki luvut oikealle. Tuo samanlaiset ehdot. Etsi tuntematon kerroin).
3. Mikä on yhtälön 3 nimi? ( Neliö.) Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. ( Täysneliön valinta kaavoilla Vieta-lauseen avulla ja sen seuraukset.)
4. Mikä on osuus? ( Kahden suhteen tasa-arvo.) Suhteen pääominaisuus. ( Jos suhde on tosi, niin sen ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo.)
5. Mitä ominaisuuksia käytetään yhtälöiden ratkaisemiseen? ( 1. Jos yhtälössä siirretään termi osasta toiseen muuttamalla sen etumerkkiä, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. 2. Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua.)
6. Milloin murtoluku on nolla? ( Murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä on nollasta poikkeava.)

3. Uuden materiaalin selitys.

Ratkaise yhtälö nro 2 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 10.

Mitä rationaalista murtoyhtälöä voit yrittää ratkaista suhteuden perusominaisuuden avulla? (nro 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Ratkaise yhtälö nro 4 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 1,5.

Minkä murto-rationaalisen yhtälön voit yrittää ratkaista kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjällä? (nro 6).

x 2 -7x+12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Vastaus: 3;4.

Yritä nyt ratkaista yhtälö #7 jollakin tavoista.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x (x-5) (x+5)
(x2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5 = x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5 = 0
x(x-5)(x 2 -3x-10) = 0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Vastaus: 0;5;-2.			Vastaus: 5;-2.

Selitä miksi näin tapahtui? Miksi yhdessä tapauksessa on kolme juurta ja toisessa kaksi? Mitkä luvut ovat tämän murto-rationaalisen yhtälön juuret?

Toistaiseksi opiskelijat eivät ole tavanneet vieraan juuren käsitettä, heidän on todella vaikea ymmärtää miksi näin tapahtui. Jos kukaan luokassa ei pysty antamaan selkeää selitystä tästä tilanteesta, opettaja kysyy ohjaavia kysymyksiä.

• Miten yhtälöt 2 ja 4 eroavat yhtälöistä 5,6,7? ( Yhtälöissä nro 2 ja 4 luvun nimittäjässä, nro 5-7 - lausekkeet, joissa on muuttuja.)
• Mikä on yhtälön juuri? ( Sen muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee todellinen yhtälö.)
• Kuinka selvittää, onko luku yhtälön juuri? ( Tee sekki.)

Testiä tehdessään jotkut opiskelijat huomaavat, että heidän täytyy jakaa nollalla. He päättelevät, että luvut 0 ja 5 eivät ole tämän yhtälön juuria. Herää kysymys: onko olemassa tapaa ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä, joka eliminoi tämän virheen? Kyllä, tämä menetelmä perustuu siihen, että murto-osa on nolla.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Jos x=5, niin x(x-5)=0, joten 5 on ulkopuolinen juuri.

Jos x=-2, niin x(x-5)≠0.

Vastaus: -2.

Yritetään muotoilla algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tällä tavalla. Lapset muotoilevat algoritmin itse.

Algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki vasemmalle.
2. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään.
3. Muodosta järjestelmä: murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.
4. Ratkaise yhtälö.
5. Tarkista epätasa-arvo, jotta voit sulkea pois vieraat juuret.
6. Kirjoita vastaus ylös.

Keskustelu: kuinka muotoillaan ratkaisu, jos käytetään suhteellisuuden perusominaisuutta ja yhtälön molempien puolten kertomista yhteisellä nimittäjällä. (Täydennä ratkaisua: poista sen juurista ne, jotka kääntävät yhteisen nimittäjän nollaan).

4. Uuden materiaalin ensisijainen ymmärtäminen.

Työskennellä pareittain. Opiskelijat valitsevat itse, miten yhtälön ratkaistaan ​​yhtälön tyypistä riippuen. Tehtävät oppikirjasta "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nro 600 (b, c, i); nro 601(a, e, g). Opettaja ohjaa tehtävän suorittamista, vastaa esiin tulleisiin kysymyksiin ja auttaa huonosti suoriutuneita opiskelijoita. Itsetestaus: Vastaukset kirjoitetaan taululle.

b) 2 on vieras juuri. Vastaus: 3.

c) 2 on vieras juuri. Vastaus: 1.5.

a) Vastaus: -12.5.

g) Vastaus: 1; 1.5.

5. Lausunto kotitehtävistä.

1. Lue oppikirjan kohta 25, analysoi esimerkit 1-3.
2. Opi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemisen algoritmi.
3. Ratkaise vihkoissa nro 600 (a, d, e); nro 601 (g, h).
4. Yritä ratkaista #696(a) (valinnainen).

6. Tarkastustehtävän suorittaminen tutkitusta aiheesta.

Työt tehdään levyillä.

Esimerkki työstä:

A) Mitkä yhtälöistä ovat murto-rationaalisia?

B) Murtoluku on nolla, kun osoittaja on __________________________ ja nimittäjä ___________________________.

K) Onko luku -3 yhtälön #6 juuri?

D) Ratkaise yhtälö nro 7.

Tehtävän arviointikriteerit:

• "5" annetaan, jos opiskelija suoritti yli 90 % tehtävästä oikein.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" annetaan opiskelijalle, joka on suorittanut alle 50 % tehtävästä.
• Arvosanaa 2 ei kirjata päiväkirjaan, 3 on valinnainen.

7. Heijastus.

Laita itsenäisen työn esitteisiin:

• 1 - jos oppitunti oli mielenkiintoinen ja ymmärrettävä sinulle;
• 2 - mielenkiintoinen, mutta ei selkeä;
• 3 - ei kiinnostavaa, mutta ymmärrettävää;
• 4 - ei kiinnostavaa, ei selkeää.

8. Oppitunnin yhteenveto.

Joten tänään tunnilla tutustuimme murto-rationaalisiin yhtälöihin, opimme ratkaisemaan näitä yhtälöitä eri tavoin, testasimme tietomme koulutuksellisen itsenäisen työn avulla. Opit itsenäisen työn tulokset seuraavalla oppitunnilla, kotona sinulla on mahdollisuus lujittaa saatuja tietoja.

Mikä menetelmä murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on mielestäsi helpompi, helposti saatavilla oleva, rationaalisempi? Mitä ei pidä unohtaa murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmästä riippumatta? Mikä on murto-rationaalisten yhtälöiden "oveluus"?

Kiitos kaikille, oppitunti on ohi.

"Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu"

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelma:

murto-osien rationaalisten yhtälöiden käsitteen muodostaminen; pohtia erilaisia ​​tapoja ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä; harkita algoritmia murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, mukaan lukien ehto, että murtoluku on nolla; opettaa murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisua algoritmin mukaisesti; aiheen assimilaatiotason tarkistaminen koetyön avulla.

Kehitetään:

kehittää kykyä toimia oikein hankitulla tiedolla, ajatella loogisesti; älyllisten taitojen ja henkisten toimintojen kehittäminen - analyysi, synteesi, vertailu ja yleistäminen; aloitekyvyn kehittäminen, kyky tehdä päätöksiä, ei lopu tähän; kriittisen ajattelun kehittäminen; tutkimustaitojen kehittäminen.

Hoito:

kognitiivisen kiinnostuksen koulutus aihetta kohtaan; itsenäisyyden kasvattaminen koulutusongelmien ratkaisemisessa; tahtoa ja sinnikkyyttä lopputulosten saavuttamiseksi.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti - uuden materiaalin selitys.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki.

Hei kaverit! Yhtälöt on kirjoitettu taululle, katso niitä huolellisesti. Voitko ratkaista kaikki nämä yhtälöt? Mitkä eivät ole ja miksi?

Yhtälöitä, joissa vasen ja oikea puoli ovat murto-rationaalisia lausekkeita, kutsutaan murto-rationaalisiksi yhtälöiksi. Mitä luulet opiskelevan tänään oppitunnilla? Muotoile oppitunnin aihe. Joten avaamme muistikirjoja ja kirjoitamme oppitunnin aiheen "Rationaliaalisten yhtälöiden ratkaisu".

2. Tiedon toteuttaminen. Frontaalinen kysely, suullinen työskentely luokan kanssa.

Ja nyt toistamme tärkeimmän teoreettisen materiaalin, jota tarvitsemme uuden aiheen tutkimiseen. Ole hyvä ja vastaa seuraaviin kysymyksiin:

1. Mikä on yhtälö? ( Tasa-arvo muuttujan tai muuttujien kanssa.)

2. Mikä on yhtälön #1 nimi? ( Lineaarinen.) Menetelmä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. ( Siirrä kaikki tuntematon yhtälön vasemmalle puolelle, kaikki luvut oikealle. Tuo samanlaiset ehdot. Etsi tuntematon kerroin).

3. Mikä on yhtälön #3 nimi? ( Neliö.) Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. ( Täysneliön valinta kaavoilla Vieta-lauseen avulla ja sen seuraukset.)

4. Mikä on osuus? ( Kahden suhteen tasa-arvo.) Suhteen pääominaisuus. ( Jos suhde on tosi, niin sen ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo.)

5. Mitä ominaisuuksia käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa? ( 1. Jos yhtälössä siirretään termi osasta toiseen muuttamalla sen etumerkkiä, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. 2. Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua.)

6. Milloin murto-osa on nolla? ( Murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä on nollasta poikkeava.)

3. Uuden materiaalin selitys.

Ratkaise yhtälö nro 2 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 10.

Mitä rationaalista murtoyhtälöä voit yrittää ratkaista suhteuden perusominaisuuden avulla? (nro 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Ratkaise yhtälö nro 4 vihkoissa ja taululla.

Vastaus: 1,5.

Minkä murto-rationaalisen yhtälön voit yrittää ratkaista kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjällä? (nro 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Vastaus: 3;4.

Yritä nyt ratkaista yhtälö #7 jollakin tavoista.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Vastaus: 0;5;-2.			Vastaus: 5;-2.

Selitä miksi näin tapahtui? Miksi yhdessä tapauksessa on kolme juurta ja toisessa kaksi? Mitkä luvut ovat tämän murto-rationaalisen yhtälön juuret?

Toistaiseksi opiskelijat eivät ole tavanneet vieraan juuren käsitettä, heidän on todella vaikea ymmärtää miksi näin tapahtui. Jos kukaan luokassa ei pysty antamaan selkeää selitystä tästä tilanteesta, opettaja kysyy ohjaavia kysymyksiä.

Miten yhtälöt 2 ja 4 eroavat yhtälöistä 5,6,7? ( Yhtälöissä nro 2 ja 4 luvun nimittäjässä, nro 5-7 - lausekkeet, joissa on muuttuja.) Mikä on yhtälön juuri? ( Sen muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee todellinen yhtälö.) Kuinka selvittää, onko luku yhtälön juuri? ( Tee sekki.)

Testiä tehdessään jotkut opiskelijat huomaavat, että heidän täytyy jakaa nollalla. He päättelevät, että luvut 0 ja 5 eivät ole tämän yhtälön juuria. Herää kysymys: onko olemassa tapaa ratkaista murto-rationaaliyhtälöitä, joka eliminoi tämän virheen? Kyllä, tämä menetelmä perustuu siihen, että murto-osa on nolla.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jos x=5, niin x(x-5)=0, joten 5 on ulkopuolinen juuri.

Jos x=-2, niin x(x-5)≠0.

Vastaus: -2.

Yritetään muotoilla algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tällä tavalla. Lapset muotoilevat algoritmin itse.

Algoritmi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Siirrä kaikki vasemmalle puolelle.

2. Tuo murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

3. Tee järjestelmä: murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla, ja nimittäjä ei ole nolla.

4. Ratkaise yhtälö.

5. Tarkista epäyhtälö sulkeaksesi pois vieraat juuret.

6. Kirjoita vastaus muistiin.

Keskustelu: kuinka muotoillaan ratkaisu, jos käytetään suhteellisuuden perusominaisuutta ja yhtälön molempien puolten kertomista yhteisellä nimittäjällä. (Täydennä ratkaisua: poista sen juurista ne, jotka kääntävät yhteisen nimittäjän nollaan).

4. Uuden materiaalin ensisijainen ymmärtäminen.

Työskennellä pareittain. Opiskelijat valitsevat itse, miten yhtälön ratkaistaan ​​yhtälön tyypistä riippuen. Tehtävät oppikirjasta "Algebra 8", 2007: nro 000 (b, c, i); 000(a, e, g). Opettaja ohjaa tehtävän suorittamista, vastaa esiin tulleisiin kysymyksiin ja avustaa huonosti suoriutuneita opiskelijoita. Itsetestaus: Vastaukset kirjoitetaan taululle.

b) 2 on vieras juuri. Vastaus: 3.

c) 2 on vieras juuri. Vastaus: 1.5.

a) Vastaus: -12.5.

g) Vastaus: 1; 1.5.

5. Lausunto kotitehtävistä.

2. Opi murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisualgoritmi.

3. Ratkaise vihkoissa nro 000 (a, d, e); Nro 000 (g, h).

4. Yritä ratkaista nro 000(a) (valinnainen).

6. Tarkastustehtävän suorittaminen tutkitusta aiheesta.

Työt tehdään levyillä.

Esimerkki työstä:

A) Mitkä yhtälöistä ovat murto-rationaalisia?

B) Murtoluku on nolla, kun osoittaja on __________________________ ja nimittäjä ___________________________.

K) Onko luku -3 yhtälön #6 juuri?

D) Ratkaise yhtälö nro 7.

Tehtävän arviointikriteerit:

"5" annetaan, jos opiskelija suoritti yli 90 % tehtävästä oikein. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" annetaan opiskelijalle, joka on suorittanut alle 50% tehtävästä. Arvosanaa 2 ei kirjata päiväkirjaan, 3 on valinnainen.

7. Heijastus.

Laita itsenäisen työn esitteisiin:

1 - jos oppitunti oli mielenkiintoinen ja ymmärrettävä sinulle; 2 - mielenkiintoinen, mutta ei selkeä; 3 - ei kiinnostavaa, mutta ymmärrettävää; 4 - ei kiinnostavaa, ei selkeää.

8. Oppitunnin yhteenveto.

Joten tänään tunnilla tutustuimme murto-rationaalisiin yhtälöihin, opimme ratkaisemaan näitä yhtälöitä eri tavoin, testasimme tietomme koulutuksellisen itsenäisen työn avulla. Opit itsenäisen työn tulokset seuraavalla oppitunnilla, kotona sinulla on mahdollisuus lujittaa saatuja tietoja.

Mikä menetelmä murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on mielestäsi helpompi, helposti saatavilla oleva, rationaalisempi? Mitä ei pidä unohtaa murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmästä riippumatta? Mikä on murto-rationaalisten yhtälöiden "oveluus"?

Kiitos kaikille, oppitunti on ohi.

Jatkamme keskustelua yhtälöiden ratkaisu. Tässä artikkelissa keskitymme rationaaliset yhtälöt ja periaatteet rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla. Ensin selvitetään, millaisia ​​yhtälöitä kutsutaan rationaalisiksi, määritetään kokonaislukuiset rationaaliset ja murto-rationaaliset yhtälöt ja annamme esimerkkejä. Lisäksi hankimme algoritmeja rationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi ja tietysti harkitsemme tyypillisten esimerkkien ratkaisuja kaikkiin tarvittaviin selityksiin.

Sivulla navigointi.

Äänitettyjen määritelmien perusteella annamme useita esimerkkejä rationaalisista yhtälöistä. Esimerkiksi x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ovat kaikki rationaalisia yhtälöitä.

Esitetyistä esimerkeistä voidaan nähdä, että rationaaliset yhtälöt, kuten myös muun tyyppiset yhtälöt, voivat olla joko yhdellä muuttujalla tai kahdella, kolmella jne. muuttujia. Seuraavissa kappaleissa puhumme rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta yhdessä muuttujassa. Yhtälöiden ratkaiseminen kahdella muuttujalla ja niiden suuri määrä ansaitsee erityistä huomiota.

Sen lisäksi, että rationaaliset yhtälöt jaetaan tuntemattomien muuttujien lukumäärällä, ne jaetaan myös kokonaislukuihin ja murtolukuihin. Annetaan vastaavat määritelmät.

Määritelmä.

Rationaalista yhtälöä kutsutaan koko, jos sen vasen ja oikea osa ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita.

Määritelmä.

Jos ainakin yksi rationaalisen yhtälön osista on murtoluku, niin yhtälöä kutsutaan murto-osa rationaalista(tai murto-rationaalinen).

On selvää, että kokonaislukuyhtälöt eivät sisällä jakoa muuttujalla, päinvastoin, murto-rationaaliset yhtälöt sisältävät välttämättä jakoa muuttujalla (tai muuttujalla nimittäjässä). Joten 3 x+2=0 ja (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 ovat kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä, joiden molemmat osat ovat kokonaislukulausekkeita. A ja x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ovat esimerkkejä murto-rationaalisista yhtälöistä.

Tämän kappaleen lopuksi kiinnittäkäämme huomiota siihen, että tällä hetkellä tunnetut lineaariyhtälöt ja toisen asteen yhtälöt ovat kokonaisia ​​rationaaliyhtälöitä.

Kokonaislukuyhtälöiden ratkaiseminen

Yksi tärkeimmistä lähestymistavoista kokonaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on niiden pelkistäminen ekvivalentiksi algebralliset yhtälöt. Tämä voidaan aina tehdä suorittamalla seuraavat yhtälön vastaavat muunnokset:

• ensin, lauseke alkuperäisen kokonaislukuyhtälön oikealta puolelta siirretään vasemmalle puolelle päinvastaisella merkillä, jotta oikealle puolelle saadaan nolla;
• sen jälkeen yhtälön vasemmalla puolella tuloksena oleva vakiomuoto.

Tuloksena on algebrallinen yhtälö, joka vastaa alkuperäistä koko yhtälöä. Joten yksinkertaisimmissa tapauksissa kokonaisten yhtälöiden ratkaisu pelkistetään lineaaristen tai toisen asteen yhtälöiden ratkaisuksi ja yleisessä tapauksessa - n-asteen algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Selvyyden vuoksi analysoidaan esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Etsi koko yhtälön juuret 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Päätös.

Pelkistetään tämän yhtälön ratkaisu vastaavan algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Tätä varten siirrämme ensin lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle, minkä seurauksena pääsemme yhtälöön 3 (x+1) (x-3)-x (2 x-1)+3=0. Ja toiseksi, muunnamme vasemmalle puolelle muodostetun lausekkeen vakiomuodon polynomiksi tekemällä tarvittavat: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Näin ollen alkuperäisen kokonaislukuyhtälön ratkaisu pelkistetään toisen asteen yhtälön x 2 −5·x−6=0 ratkaisuksi.

Laske sen diskriminantti D=(-5) 2-4 1 (-6)=25+24=49, se on positiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on kaksi todellista juuria, jotka löydämme toisen asteen yhtälön juurien kaavasta:

Ollaksemme täysin varmoja, tehdään tarkistaa yhtälön löydetyt juuret. Ensin tarkistamme juuren 6, korvaamme sen muuttujan x sijasta alkuperäisessä kokonaislukuyhtälössä: 3 (6+1) (6-3)=6 (2 6-1)-3, joka on sama, 63=63 . Tämä on kelvollinen numeerinen yhtälö, joten x=6 on todellakin yhtälön juuri. Nyt tarkistamme juuren −1 , meillä on 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, mistä, 0 = 0 . Kun x=−1, alkuperäinen yhtälö muuttui myös todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi, joten x=−1 on myös yhtälön juuri.

Vastaus:

6 , −1 .

Tässä on myös huomattava, että termi "koko yhtälön teho" liittyy kokonaisen yhtälön esittämiseen algebrallisen yhtälön muodossa. Annamme vastaavan määritelmän:

Määritelmä.

Koko yhtälön aste kutsua sitä vastaavan algebrallisen yhtälön astetta.

Tämän määritelmän mukaan koko edellisen esimerkin yhtälöllä on toinen aste.

Tähän voitaisiin päättää kokonaisten rationaalisten yhtälöiden ratkaisu, jos ei yksi, mutta .... Kuten tiedetään, toista korkeamman asteen algebrallisten yhtälöiden ratkaisuun liittyy merkittäviä vaikeuksia, ja neljättä korkeamman asteen yhtälöille ei ole olemassa yleisiä kaavoja juurille. Siksi kokonaisten kolmannen, neljännen ja korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi on usein turvauduttava muihin ratkaisumenetelmiin.

Tällaisissa tapauksissa joskus lähestymistapa ratkaista kokonaisia ​​rationaalisia yhtälöitä perustuu faktorointimenetelmä. Samalla noudatetaan seuraavaa algoritmia:

• ensin he pyrkivät saamaan nollan yhtälön oikealle puolelle, tätä varten he siirtävät lausekkeen koko yhtälön oikealta puolelta vasemmalle;
• sitten tuloksena oleva vasemmalla puolella oleva lauseke esitetään useiden tekijöiden tulona, ​​jonka avulla voit siirtyä useiden yksinkertaisempien yhtälöiden joukkoon.

Yllä oleva algoritmi koko yhtälön ratkaisemiseksi tekijöiden jakamisen kautta vaatii yksityiskohtaisen selityksen esimerkin avulla.

Esimerkki.

Ratkaise koko yhtälö (x 2 -1) (x 2 -10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Päätös.

Ensin, kuten tavallista, siirrämme lausekkeen yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, unohtamatta muuttaa etumerkkiä, saamme (x 2 -1) (x 2 -10 x+13) - 2 x (x 2 −10 x+13) = 0 . Tässä on aivan ilmeistä, että tuloksena olevan yhtälön vasenta puolta ei kannata muuttaa vakiomuotoiseksi polynomiksi, koska se antaa muodon neljännen asteen algebrallisen yhtälön. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, jonka ratkaisu on vaikea.

Toisaalta on selvää, että x 2 −10·x+13 löytyy tuloksena olevan yhtälön vasemmalta puolelta ja edustaa sitä tulona. Meillä on (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x -1) = 0. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä koko yhtälöä ja se voidaan puolestaan ​​korvata kahden toisen asteen yhtälön joukolla x 2 −10·x+13=0 ja x 2 −2·x−1=0 . Niiden juurien löytäminen tunnetuilla juurikaavoilla diskriminantin kautta ei ole vaikeaa, juuret ovat yhtä suuret. Ne ovat alkuperäisen yhtälön halutut juuret.

Vastaus:

Se on hyödyllinen myös kokonaisten rationaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi. Joissakin tapauksissa se sallii siirtymisen yhtälöihin, joiden aste on pienempi kuin alkuperäisen kokonaislukuyhtälön aste.

Esimerkki.

Etsi rationaalisen yhtälön todelliset juuret (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Päätös.

Koko tämän rationaalisen yhtälön pelkistäminen algebralliseksi yhtälöksi ei ole lievästi sanottuna kovin hyvä idea, koska tässä tapauksessa tulemme tarpeeseen ratkaista neljännen asteen yhtälö, jolla ei ole rationaalisia juuria. Siksi sinun on etsittävä toinen ratkaisu.

Tästä on helppo nähdä, että voit ottaa käyttöön uuden muuttujan y ja korvata sillä lausekkeen x 2 +3 x. Tällainen korvaus johtaa meidät koko yhtälöön (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , joka siirrettyään lausekkeen −2 (y−4) vasemmalle ja sen jälkeen muodostetun lausekkeen muunnoksen siellä pelkistyy yhtälöön y 2 +4 y+3=0 . Tämän yhtälön y=−1 ja y=−3 juuret ovat helposti löydettävissä, ne voidaan löytää esimerkiksi Vietan lauseen käänteislauseen perusteella.

Siirrytään nyt uuden muuttujan käyttöönoton menetelmän toiseen osaan, eli käänteisen korvauksen tekemiseen. Käänteisen substituution suorittamisen jälkeen saadaan kaksi yhtälöä x 2 +3 x=−1 ja x 2 +3 x=−3 , jotka voidaan kirjoittaa uudelleen muotoiksi x 2 +3 x+1=0 ja x 2 +3 x+3 =0. Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme ensimmäisen yhtälön juuret. Ja toisella toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, koska sen diskriminantti on negatiivinen (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Vastaus:

Yleisesti ottaen, kun käsittelemme kokonaisia ​​korkea-asteisia yhtälöitä, meidän on aina oltava valmiita etsimään epästandardia menetelmää tai keinotekoista tekniikkaa niiden ratkaisemiseksi.

Murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu

Ensinnäkin on hyödyllistä ymmärtää kuinka ratkaista murto-osan rationaaliset yhtälöt muotoa , jossa p(x) ja q(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Ja sitten näytämme kuinka pelkistää jäljellä olevien murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisu esitetyn muodon yhtälöiden ratkaisuksi.

Yksi yhtälön ratkaisutavoista perustuu seuraavaan lauseeseen: numeerinen murtoluku u / v, jossa v on nollasta poikkeava luku (muuten kohtaamme , jota ei ole määritelty), on nolla jos ja vain jos sen osoittaja on nolla, niin on, jos ja vain jos u=0 . Tämän väitteen nojalla yhtälön ratkaisu pelkistetään kahden ehdon p(x)=0 ja q(x)≠0 täyttymiseen.

Tämä johtopäätös on yhdenmukainen seuraavan kanssa algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi. Ratkaista muodon murto-rationaalinen yhtälö

• ratkaise koko rationaalinen yhtälö p(x)=0 ;
• ja tarkista täyttyykö ehto q(x)≠0 jokaiselle löydetylle juurelle, while
• jos tosi, tämä juuri on alkuperäisen yhtälön juuri;
• jos ei, niin tämä juuri on ulkopuolinen, eli se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Analysoidaan esimerkkiä soinnillisen algoritmin käytöstä rationaalisen murtoyhtälön ratkaisemisessa.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Päätös.

Tämä on murto-rationaalinen yhtälö muotoa , jossa p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0 .

Tällaisten murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisualgoritmin mukaan meidän on ensin ratkaistava yhtälö 3·x−2=0 . Tämä on lineaarinen yhtälö, jonka juuri on x=2/3.

Jäljelle jää tarkistaa tämä juuri eli tarkistaa, täyttääkö se ehdon 5·x 2 −2≠0 . Korvaamme lausekkeen 5 x 2 −2 luvun 2/3 x:n sijaan, saamme . Ehto täyttyy, joten x=2/3 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus:

2/3 .

Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisua voidaan lähestyä hieman eri kohdasta. Tämä yhtälö vastaa alkuperäisen yhtälön muuttujan x koko yhtälöä p(x)=0. Eli voit seurata tätä algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi :

• ratkaise yhtälö p(x)=0 ;
• etsi ODZ-muuttuja x ;
• ota juuret, jotka kuuluvat sallittujen arvojen alueelle - ne ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön haluttuja juuria.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi murto-rationaalinen yhtälö tällä algoritmilla.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Päätös.

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö x 2 −2·x−11=0 . Sen juuret voidaan laskea parillisen toisen kertoimen juurikaavalla D 1 =(−1) 2 −1 (−11) = 12, ja .

Toiseksi, löydämme alkuperäisen yhtälön muuttujan x ODZ:n. Se koostuu kaikista luvuista, joille x 2 +3 x≠0 , mikä on sama x (x+3)≠0 , josta x≠0 , x≠−3 .

On vielä tarkistettava, sisällytetäänkö ensimmäisessä vaiheessa löydetyt juuret ODZ:hen. Ilmeisesti kyllä. Siksi alkuperäisellä murto-rationaalisella yhtälöllä on kaksi juuria.

Vastaus:

Huomaa, että tämä lähestymistapa on kannattavampi kuin ensimmäinen, jos ODZ on helposti löydettävissä, ja se on erityisen hyödyllistä, jos yhtälön p(x)=0 juuret ovat irrationaalisia, esimerkiksi , tai rationaalisia, mutta melko suurella osoittaja ja/tai nimittäjä, esimerkiksi 127/1101 ja -31/59 . Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa ehdon q(x)≠0 tarkistaminen vaatii huomattavia laskentaponnisteluja, ja on helpompi sulkea pois ODZ:stä ulkopuoliset juuret.

Muissa tapauksissa yhtälöä ratkaistaessa, varsinkin kun yhtälön p(x)=0 juuret ovat kokonaislukuja, on edullisempaa käyttää ensimmäistä yllä olevista algoritmeista. Eli on suositeltavaa etsiä välittömästi koko yhtälön p(x)=0 juuret ja sitten tarkistaa, täyttyykö ehto q(x)≠0 niille, eikä etsiä ODZ:tä ja ratkaista sitten yhtälö. p(x)=0 tällä ODZ:llä. Tämä johtuu siitä, että tällaisissa tapauksissa on yleensä helpompi tehdä tarkistus kuin löytää ODZ.

Harkitse kahden esimerkin ratkaisua havainnollistamaan määrättyjä vivahteita.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Päätös.

Ensin löydämme koko yhtälön juuret (2 x-1) (x-6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, käännetty käyttämällä murtoluvun osoittajaa. Tämän yhtälön vasen puoli on tulo, ja oikea puoli on nolla, joten yhtälön faktorointimenetelmän mukaan tämä yhtälö vastaa neljän yhtälön joukkoa 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0, x+1=0. Kolme näistä yhtälöistä on lineaarisia ja yksi on neliö, voimme ratkaista ne. Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x=1/2, toisesta - x=6, kolmannesta - x=7, x=−2, neljännestä - x=−1.

Löydetyistä juurista on melko helppo tarkistaa, ettei alkuperäisen yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan nimittäjä katoa, eikä ODZ:n määrittäminen ole niin helppoa, koska sen on ratkaistava viidennen asteen algebrallinen yhtälö. Siksi kieltäydymme etsimästä ODZ:tä juurien tarkistamisen puolesta. Tätä varten korvaamme ne vuorotellen lausekkeen muuttujan x sijasta x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, saatu vaihdon jälkeen, ja vertaa niitä nollaan: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Siten 1/2, 6 ja −2 ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön haluttuja juuria ja 7 ja −1 ovat ulkopuolisia juuria.

Vastaus:

1/2 , 6 , −2 .

Esimerkki.

Etsi murto-rationaalisen yhtälön juuret.

Päätös.

Ensin löydämme yhtälön juuret (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Tämä yhtälö vastaa kahden yhtälön joukkoa: neliö 5·x 2 −7·x−1=0 ja lineaarinen x−2=0 . Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan löydämme kaksi juuria ja toisesta yhtälöstä saamme x=2.

On melko epämiellyttävää tarkistaa, eikö nimittäjä katoa löydetyistä x:n arvoista. Ja muuttujan x hyväksyttävien arvojen alueen määrittäminen alkuperäisessä yhtälössä on melko yksinkertaista. Siksi toimimme ODZ:n kautta.

Tässä tapauksessa alkuperäisen murto-rationaaliyhtälön muuttujan x ODZ koostuu kaikista luvuista, paitsi niistä, joiden ehto x 2 +5·x−14=0 täyttyy. Tämän toisen asteen yhtälön juuret ovat x=−7 ja x=2, josta päätämme ODZ:stä: se koostuu kaikista x:istä siten, että .

On vielä tarkistettava, kuuluvatko löydetyt juuret ja x=2 sallittujen arvojen alueelle. Juuret - kuuluvat, joten ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja x=2 ei kuulu, joten se on ulkopuolinen juuri.

Vastaus:

On myös hyödyllistä tarkastella erikseen tapauksia, joissa luku on muodon murto-rationaaliyhtälön osoittajassa, eli kun p (x) esitetään jollakin luvulla. Jossa

• jos tämä luku on eri kuin nolla, yhtälöllä ei ole juuria, koska murto-osa on nolla silloin ja vain, jos sen osoittaja on nolla;
• jos tämä luku on nolla, yhtälön juuri on mikä tahansa luku ODZ:stä.

Esimerkki.

Päätös.

Koska yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittajassa on nollasta poikkeava luku, ei x:lle tämän murtoluvun arvo voi olla nolla. Siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus:

ei juuria.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Päätös.

Tämän rationaalisen murto-yhtälön vasemmalla puolella olevan murto-osan osoittaja on nolla, joten tämän murtoluvun arvo on nolla mille tahansa x:lle, jolle se on järkevää. Toisin sanoen tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa x:n arvo tämän muuttujan DPV:stä.

On vielä määritettävä tämä hyväksyttävien arvojen alue. Se sisältää kaikki sellaiset arvot x, joille x 4 +5 x 3 ≠0. Yhtälön x 4 +5 x 3 \u003d 0 ratkaisut ovat 0 ja -5, koska tämä yhtälö vastaa yhtälöä x 3 (x + 5) \u003d 0, ja se puolestaan ​​vastaa yhdistelmää kahdesta yhtälöstä x 3 \u003d 0 ja x +5=0 , josta nämä juuret ovat näkyvissä. Siksi haluttu hyväksyttävien arvojen alue on mikä tahansa x, paitsi x=0 ja x=−5.

Näin ollen murto-rationaalisella yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, jotka ovat mitä tahansa lukuja paitsi nolla ja miinus viisi.

Vastaus:

Lopuksi on aika puhua mielivaltaisten murto-osien rationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Ne voidaan kirjoittaa muodossa r(x)=s(x) , missä r(x) ja s(x) ovat rationaalisia lausekkeita ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Tulevaisuudessa sanomme, että heidän ratkaisunsa rajoittuu meille jo tutun muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

Tiedetään, että termin siirto yhtälön yhdestä osasta toiseen päinvastaisella merkillä johtaa ekvivalenttiin yhtälöön, joten yhtälö r(x)=s(x) on yhtälö r(x)−s. (x) = 0.

Tiedämme myös, että mikä tahansa voi olla identtinen tämän lausekkeen kanssa. Siten voidaan aina muuntaa yhtälön r(x)−s(x)=0 vasemmalla puolella oleva rationaalinen lauseke muodon identtiseksi yhtä suureksi rationaaliseksi murto-osaksi.

Joten siirrymme alkuperäisestä murto-rationaalisesta yhtälöstä r(x)=s(x) yhtälöön ja sen ratkaisu, kuten yllä selvisimme, pelkistyy yhtälön p(x)=0 ratkaisemiseksi.

Mutta tässä on otettava huomioon se tosiasia, että kun r(x)−s(x)=0 korvataan arvolla , ja sitten p(x)=0, muuttujan x sallittujen arvojen alue voi laajentua. .

Siksi alkuperäinen yhtälö r(x)=s(x) ja yhtälö p(x)=0, johon päädyimme, eivät välttämättä ole ekvivalentteja, ja ratkaisemalla yhtälön p(x)=0 saadaan juuret jotka ovat alkuperäisen yhtälön vieraita juuria r(x)=s(x) . Vieraat juuret voidaan tunnistaa ja olla sisällyttämättä vastaukseen joko tarkistamalla tai tarkistamalla niiden kuuluvuus alkuperäisen yhtälön ODZ:hen.

Teemme yhteenvedon näistä tiedoista algoritmi murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi r(x)=s(x). Murto-rationaalisen yhtälön r(x)=s(x) ratkaisemiseksi täytyy

• Saat nollan oikealle siirtämällä lauseketta oikealta päinvastaisella merkillä.
• Suorita toimenpiteitä yhtälön vasemmalla puolella olevilla murtoluvuilla ja polynomeilla, jolloin se muunnetaan muodon rationaaliseksi murto-osaksi.
• Ratkaise yhtälö p(x)=0 .
• Tunnista ja sulje pois vieraat juuret, mikä tehdään korvaamalla ne alkuperäiseen yhtälöön tai tarkistamalla niiden kuuluvuus alkuperäisen yhtälön ODZ:hen.

Selvyyden vuoksi näytämme koko murto-rationaalisten yhtälöiden ratkaisuketjun:
.

Käydään läpi useiden esimerkkien ratkaisut ratkaisun yksityiskohtaisen selityksen kanssa selventääksemme annettua tietolohkoa.

Esimerkki.

Ratkaise murto-rationaalinen yhtälö.

Päätös.

Toimimme juuri saadun ratkaisualgoritmin mukaisesti. Ja ensin siirrämme termit yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, minkä seurauksena siirrymme yhtälöön .

Toisessa vaiheessa meidän on muutettava tuloksena olevan yhtälön vasemmalla puolella oleva murto-rationaalinen lauseke murto-osan muotoon. Tätä varten pelkistetään rationaaliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja yksinkertaistetaan tuloksena olevaa lauseketta: . Joten tulemme yhtälöön.

Seuraavassa vaiheessa meidän on ratkaistava yhtälö −2·x−1=0 . Etsi x=−1/2 .

On vielä tarkistettava, onko löydetty luku −1/2 alkuperäisen yhtälön ulkopuolinen juuri. Voit tehdä tämän tarkistamalla tai etsimällä alkuperäisen yhtälön ODZ-muuttujan x. Esitellään molemmat lähestymistavat.

Aloitetaan tarkistuksella. Korvaamme luvun −1/2 muuttujan x sijaan alkuperäiseen yhtälöön, saamme , joka on sama, −1=−1. Korvaus antaa oikean numeerisen yhtälön, joten x=−1/2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Nyt näytämme kuinka algoritmin viimeinen vaihe suoritetaan ODZ:n kautta. Alkuperäisen yhtälön sallittujen arvojen alue on kaikkien lukujen joukko paitsi −1 ja 0 (kun x=-1 ja x=0, murto-osien nimittäjät häviävät). Edellisessä vaiheessa löydetty juuri x=−1/2 kuuluu ODZ:hen, joten x=−1/2 on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus:

−1/2 .

Tarkastellaanpa toista esimerkkiä.

Esimerkki.

Etsi yhtälön juuret.

Päätös.

Meidän on ratkaistava murto-rationaalinen yhtälö, käydään läpi kaikki algoritmin vaiheet.

Ensin siirrämme termin oikealta puolelta vasemmalle, saamme .

Toiseksi muutetaan vasemmalle puolelle muodostettu lauseke: . Tuloksena saamme yhtälön x=0 .

Sen juuri on ilmeinen - se on nolla.

Neljännessä vaiheessa on vielä selvitettävä, eikö löydetty juuri ole alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön ulkopuolinen. Kun se korvataan alkuperäisellä yhtälöllä, lauseke saadaan. Ilmeisesti siinä ei ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Mistä päätämme, että 0 on ulkopuolinen juuri. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

7, joka johtaa yhtälöön. Tästä voimme päätellä, että lausekkeen vasemman puolen nimittäjässä on oltava yhtä suuri kuin oikealta puolelta, eli . Nyt vähennetään kolmion molemmista osista: . Analogisesti mistä ja edelleen.

Tarkistus osoittaa, että molemmat löydetyt juuret ovat alkuperäisen murto-rationaalisen yhtälön juuria.

Vastaus:

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Luokka 9: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.