Murtolukua kutsutaan oikea jos osoittajan suurin potenssi on pienempi kuin nimittäjän suurin potenssi. Oikean rationaalisen murtoluvun integraalilla on muoto:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Rationaalisten murtolukujen integrointikaava riippuu polynomin juurista nimittäjässä. Jos polynomissa $ ax^2+bx+c $ on:
- Vain kompleksiset juuret, siitä on valittava täysi neliö: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 ^2) $$
- Erilaiset reaalijuuret $ x_1 $ ja $ x_2 $, niin sinun täytyy laajentaa integraalia ja löytää epämääräiset kertoimet $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Yksi monijuuri $ x_1 $, laajenna integraali ja etsi määrittelemättömät kertoimet $ A $ ja $ B $ tälle kaavalle: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Jos murto-osa on väärä eli osoittajan korkein aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän suurin aste, niin se on ensin vähennettävä oikea mielessä jakamalla polynomin osoittajasta polynomilla nimittäjästä. Tässä tapauksessa kaava rationaalisen murtoluvun integroimiseksi on:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Ratkaisuesimerkkejä
| Esimerkki 1 |
| Etsi rationaalisen murtoluvun integraali: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Päätös |
|
Murtoluku on säännöllinen ja polynomilla on vain kompleksiset juuret. Siksi valitsemme täyden neliön: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Tiivistämme koko neliön ja summaamme eromerkin $ x-5 $ alle: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Integraalitaulukon avulla saamme: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Tarjoamme yksityiskohtaisen ratkaisun. Pystyt perehtymään laskennan etenemiseen ja keräämään tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan hyvityksen opettajalta ajoissa! |
| Vastaus |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| Esimerkki 2 |
| Integroi rationaaliset murtoluvut: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Päätös |
|
Ratkaise toisen asteen yhtälö: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7) (2) $$ Kirjoitetaan juuret ylös: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Ottaen huomioon saadut juuret muunnamme integraalin: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Suoritamme rationaalisen murtoluvun laajennuksen: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Yhdistä osoittajat ja löydä kertoimet $ A $ ja $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(tapaukset) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(tapaukset) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(tapaukset) $$ Korvaamme löydetyt kertoimet integraaliin ja ratkaisemme sen: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Vastaus |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
Kuten jo totesin, integraalilaskennassa ei ole kätevää kaavaa murtoluvun integroimiseksi. Ja siksi on surullinen suuntaus: mitä "upeampi" murto-osa, sitä vaikeampaa on löytää siitä integraali. Tässä suhteessa on turvauduttava erilaisiin temppuihin, joista nyt keskustelen. Valmiit lukijat voivat heti käyttää sisällysluettelo:
- Differentiaalin merkin alle laskemisen menetelmä yksinkertaisille murtoluvuille
Osoittaja keinotekoinen muunnosmenetelmä
Esimerkki 1
Muuten, tarkasteltu integraali voidaan ratkaista myös muuttujan muutosmenetelmällä, joka tarkoittaa , mutta ratkaisu on paljon pidempi.
Esimerkki 2
Etsi epämääräinen integraali. Suorita tarkistus.
Tämä on tee-se-itse-esimerkki. On huomattava, että tässä muuttujan korvausmenetelmä ei enää toimi.
Huomio tärkeä! Esimerkit nro 1, 2 ovat tyypillisiä ja yleisiä. Erityisesti tällaisia integraaleja syntyy usein muita integraaleja ratkaistaessa, erityisesti integroitaessa irrationaalisia toimintoja (juuria).
Yllä oleva menetelmä toimii myös tapauksessa jos osoittajan suurin potenssi on suurempi kuin nimittäjän suurin potenssi.
Esimerkki 3
Etsi epämääräinen integraali. Suorita tarkistus.
Aloitetaan osoittajalla.
Osoittajan valintaalgoritmi on suunnilleen seuraava:
1) Osoittimessa minun täytyy järjestää , mutta siellä . Mitä tehdä? Laitan suluihin ja kerron: .
2) Yritän nyt avata nämä sulut, mitä tapahtuu? . Hmm... jo parempi, mutta osoittajassa ei ole aluksi kakkosmerkkiä. Mitä tehdä? Sinun on kerrottava:
3) Kiinnikkeiden avaaminen uudelleen: . Ja tässä on ensimmäinen menestys! Tarpeellinen selvisi! Mutta ongelma on, että ylimääräinen termi on ilmestynyt. Mitä tehdä? Jotta lauseke ei muutu, minun on lisättävä sama konstruktiooni: 
. Elämästä on tullut helpompaa. Onko mahdollista järjestää uudelleen osoittajassa?
4) Voit. Yritämme: 
. Laajenna toisen termin hakasulkeet: 
. Anteeksi, mutta minulla itse asiassa oli edellisessä vaiheessa, eikä . Mitä tehdä? Meidän on kerrottava toinen termi: 
5) Avaan jälleen vahvistusta varten sulut toisella termillä: 
. Nyt se on normaalia: saatu kappaleen 3 lopullisesta rakenteesta! Mutta taas on pieni "mutta", ylimääräinen termi on ilmestynyt, mikä tarkoittaa, että minun on lisättävä ilmaisuani: 
Jos kaikki on tehty oikein, kun avaat kaikki sulut, meidän pitäisi saada integrandin alkuperäinen osoittaja. Tarkistamme:
Hyvä.
Täten: 
Valmis. Viimeisellä lukukaudella käytin menetelmää tuoda funktio differentiaalin alle.
Jos löydämme vastauksen derivaatan ja vähennämme lausekkeen yhteiseksi nimittäjäksi, saamme täsmälleen alkuperäisen integrandin. Tarkasteltu menetelmä summaksi laajentamiseksi ei ole muuta kuin käänteinen toiminta lausekkeen saattamiseksi yhteiselle nimittäjälle.
Tällaisten esimerkkien osoittajan valintaalgoritmi suoritetaan parhaiten luonnoksella. Tietyillä taidoilla se toimii myös henkisesti. Muistan ennätysajan, kun tein valinnan 11. potenssiin ja osoittajan laajennus vei melkein kaksi riviä Werdistä.
Esimerkki 4
Etsi epämääräinen integraali. Suorita tarkistus.
Tämä on tee-se-itse-esimerkki.
Differentiaalin merkin alle laskemisen menetelmä yksinkertaisille murtoluvuille
Siirrytään seuraavaan murtotyyppiin.
, , , (kertoimet ja eivät ole nolla).
Itse asiassa pari tapausta, joissa on arcsininen ja arktangentti, on jo lipsahtanut oppitunnilla Muuttujan muutosmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa. Tällaiset esimerkit ratkaistaan tuomalla funktio differentiaalin merkin alle ja sitten integroimalla taulukon avulla. Tässä on joitain tyypillisempiä esimerkkejä pitkällä ja korkealla logaritmilla:
Esimerkki 5
Esimerkki 6
Tässä on suositeltavaa poimia integraalitaulukko ja seurata mitä kaavoja ja kuten transformaatio tapahtuu. Huomautus, miten ja miksi neliöt on korostettu näissä esimerkeissä. Erityisesti esimerkissä 6 meidän on ensin esitettävä nimittäjä muodossa 
, tuo sitten erotuspyörän merkin alle. Ja sinun on tehtävä kaikki tämä, jotta voit käyttää tavallista taulukkokaavaa 
.
Mutta mitä katsoa, yritä ratkaista esimerkit nro 7,8 itse, varsinkin kun ne ovat melko lyhyitä:
Esimerkki 7
Esimerkki 8
Etsi epämääräinen integraali:
Jos voit myös tarkistaa nämä esimerkit, niin suuri kunnioitus on erottautumiskykysi parhaimmillaan.
Koko neliön valintamenetelmä
lomakkeen integraalit, 
(kertoimet ja eivät ole nolla) ratkaistaan täyden neliön valintamenetelmä, joka on jo esiintynyt oppitunnilla Geometrisen kuvaajan muunnokset.
Itse asiassa tällaiset integraalit pelkistyvät yhteen neljästä juuri tarkastelemastamme taulukkointegraalista. Ja tämä saavutetaan käyttämällä tuttuja lyhennettyjä kertolaskukaavoja:
Kaavoja sovelletaan tähän suuntaan, eli menetelmän ideana on järjestää keinotekoisesti lausekkeet nimittäjään tai ja sitten muuntaa ne vastaavasti muotoon tai.
Esimerkki 9
Etsi epämääräinen integraali
Tämä on yksinkertaisin esimerkki termillä - yksikkökerroin(eikä jokin luku tai miinus).
Katsomme nimittäjä, tässä koko asia on selvästi pelkistetty tapaukseen. Aloitetaan nimittäjän muuntaminen:
Ilmeisesti sinun on lisättävä 4. Ja jotta lauseke ei muutu - sama neljä ja vähennä:
Nyt voit soveltaa kaavaa:
Kun muunnos on valmis AINA on toivottavaa suorittaa käänteinen liike: kaikki on kunnossa, ei ole virheitä.
Kyseisen esimerkin puhtaan suunnittelun pitäisi näyttää suunnilleen tältä: 
Valmis. "Vapaan" kompleksisen funktion tuominen differentiaalimerkin alle: , voitaisiin periaatteessa jättää huomiotta
Esimerkki 10
Etsi epämääräinen integraali:
Tämä on esimerkki itseratkaisusta, vastaus on oppitunnin lopussa.
Esimerkki 11
Etsi epämääräinen integraali:
Mitä tehdä, kun edessä on miinus? Tässä tapauksessa sinun on poistettava miinus suluista ja järjestettävä ehdot tarvitsemassamme järjestyksessä:. Jatkuva(tässä tapauksessa "kaksinkertainen") Älä koske!
Nyt lisäämme yhden sulkeisiin. Analysoimalla lauseketta tulemme siihen tulokseen, että tarvitsemme sellaisen suluissa - lisää:
Tässä on kaava, käytä:
AINA tarkistamme luonnoksen:
, joka oli tarkistettava.
Esimerkin puhdas muotoilu näyttää suunnilleen tältä: 
Monimutkaistamme tehtävää
Esimerkki 12
Etsi epämääräinen integraali: 
Tässä termillä se ei ole enää yksi kerroin, vaan "viisi".
(1) Jos vakio löytyy kohdasta, niin se poistetaan välittömästi suluista.
(2) Yleensä on aina parempi ottaa tämä vakio pois integraalista, jotta se ei jää tielle.
(3) On selvää, että kaikki pelkistetään kaavaan . On välttämätöntä ymmärtää termi, nimittäin saada "kaksi"
(4) Kyllä, . Joten lisäämme lausekkeeseen ja vähennämme saman murto-osan.
(5) Valitse nyt täysi neliö. Yleisessä tapauksessa on myös tarpeen laskea , mutta tässä on pitkä logaritmikaava 
, ja toimintoa ei ole järkevää suorittaa, miksi - se selviää hieman alempana.
(6) Itse asiassa voimme soveltaa kaavaa 
, meillä on vain "x":n sijasta, mikä ei kumoa taulukkointegraalin pätevyyttä. Tarkkaan ottaen yksi askel puuttuu - ennen integrointia funktio olisi pitänyt tuoda eromerkin alle: 
, mutta kuten olen toistuvasti huomauttanut, tämä jätetään usein huomiotta.
(7) Vastauksessa juuren alla on toivottavaa avata kaikki sulut takaisin:
Monimutkainen? Tämä ei ole vaikeinta integraalilaskennassa. Tarkasteltavat esimerkit eivät kuitenkaan ole niin monimutkaisia, kuin vaativat hyvää laskentatekniikkaa.
Esimerkki 13
Etsi epämääräinen integraali:
Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Vastaa oppitunnin lopussa.
Nimittäjässä on juuret sisältäviä integraaleja, jotka korvauksen avulla pelkistetään tarkasteltavan tyyppisiksi integraaleiksi, voit lukea niistä artikkelista Monimutkaiset integraalit, mutta se on suunniteltu erittäin valmistautuneille opiskelijoille.
Tuo osoittaja differentiaalin merkin alle
Tämä on oppitunnin viimeinen osa, mutta tämän tyyppiset integraalit ovat melko yleisiä! Jos väsymys on kertynyt, ehkä on parempi lukea huomenna? ;)
Tarkastelemamme integraalit ovat samanlaisia kuin edellisen kappaleen integraalit, niillä on muoto: tai 
(kertoimet ja eivät ole nolla).
Eli osoittajassa on lineaarinen funktio. Kuinka ratkaista tällaiset integraalit?
Murto-rationaalisen funktion määrittelemättömän integraalin löytämisen ongelma rajoittuu yksinkertaisten murtolukujen integrointiin. Siksi suosittelemme, että tutustut ensin osaan, joka käsittelee jakeiden hajoamisen teoriaa yksinkertaisiksi.
Esimerkki.
Etsi epämääräinen integraali.
Päätös.
Koska integrandin osoittajan aste on yhtä suuri kuin nimittäjän aste, valitsemme ensin kokonaisluvun osan jakamalla polynomin polynomilla sarakkeella: 
Niin, 
.
Saadun oikean rationaalisen jakeen hajoamisella yksinkertaisiksi jakeiksi on muoto 
. Siten, 
Tuloksena oleva integraali on kolmannen tyypin yksinkertaisimman murto-osan integraali. Hieman eteenpäin katsoessamme huomaamme, että se voidaan ottaa tuomalla se erotusmerkin alle.
Kuten 
, sitten 
. Niin 
Siten, 
Siirrytään nyt kuvaamaan menetelmiä kunkin neljän tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integroimiseksi.
Ensimmäisen tyypin yksinkertaisimpien jakeiden integrointi
Suoran integroinnin menetelmä on ihanteellinen tämän ongelman ratkaisemiseen:
Esimerkki.
Etsi funktion antiderivaattien joukko
Päätös.
Etsitään epämääräinen integraali käyttämällä antiderivaatan ominaisuuksia, antiderivaatataulukkoa ja integrointisääntöä.
Sivun yläreunassa
Toisen tyypin yksinkertaisimpien jakeiden integrointi
Suoran integroinnin menetelmä sopii myös tämän ongelman ratkaisemiseen: 
Esimerkki.
Päätös.
Sivun yläreunassa
Kolmannen tyypin yksinkertaisimpien jakeiden integrointi 
Ensin esitämme määrittelemättömän integraalin 
summana:
Otamme ensimmäisen integraalin summaamalla differentiaalin merkin alle: 
Niin, 
Muunnetaan tuloksena olevan integraalin nimittäjä: 
Siten, 
Kaava kolmannen tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integroimiseksi on seuraavanlainen: 
Esimerkki.
Etsi epämääräinen integraali 
.
Päätös.
Käytämme tuloksena olevaa kaavaa: 
Jos meillä ei olisi tätä kaavaa, mitä tekisimme: 
Sivun yläreunassa
Neljännen tyypin yksinkertaisimpien jakeiden integrointi 
Ensimmäinen askel on summata se erotusmerkin alle: 
Toinen vaihe on löytää lomakkeen integraali 
. Tämän tyyppiset integraalit löydetään käyttämällä toistuvia kaavoja. (Katso osio integrointi rekursiivisten kaavojen avulla). Meidän tapauksessamme sopii seuraava rekursiivinen kaava:
Esimerkki.
Etsi epämääräinen integraali
Päätös.
Tämän tyyppiselle integrandille käytämme korvausmenetelmää. Otetaan käyttöön uusi muuttuja (katso irrationaalisten funktioiden integrointia käsittelevä kohta): 
Vaihdon jälkeen meillä on: 
Päädyimme löytämään neljännen tyypin murto-osan integraalin. Meidän tapauksessamme meillä on kertoimet M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 ja n = 3. Käytämme rekursiivista kaavaa: 
Käänteisen vaihdon jälkeen saamme tuloksen:
| Trigonometristen funktioiden integrointi | ||||||||||||||||||||
1. Muodon integraalit    lasketaan muuntamalla trigonometristen funktioiden tulo summaksi kaavojen mukaisesti:  Esimerkiksi 2. Muodon integraalit  , missä m tai n- pariton positiivinen luku, lasketaan summaamalla eron etumerkin alle. Esimerkiksi,   3. Muodon integraalit , missä m ja n- jopa positiiviset luvut lasketaan käyttämällä vähennyskaavoja: Esimerkiksi  4. Integraalit  missä lasketaan muuttamalla muuttujaa: tai Esimerkiksi  5. Muodon integraalit pelkistetään rationaalisten murtolukujen integraaleiksi käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota (koska  =[osoittimen ja nimittäjän jakamisen jälkeen ]= ;  Esimerkiksi,  On huomattava, että yleisen korvauksen käyttö johtaa usein hankalia laskelmiin. |
||||||||||||||||||||
| §5. Yksinkertaisimpien irrationaalisuuden integrointi | ||||||||||||||||||||
Harkitse menetelmiä yksinkertaisimpien irrationaalisuuden tyyppien integroimiseksi. yksi.  Tämän tyyppiset funktiot integroidaan samalla tavalla kuin 3. tyypin yksinkertaisimmat rationaaliset murtoluvut: nimittäjässä neliötrinomista erotetaan täysi neliö ja otetaan käyttöön uusi muuttuja. Esimerkki.  2. (integraalin merkin alla - argumenttien rationaalinen funktio). Tällaiset integraalit lasketaan käyttämällä substituutiota . Erityisesti muodon integraaleissa merkitsemme . Jos integrandi sisältää eriasteisia juuria:  , merkitse sitten , missä n on lukujen pienin yhteinen kerrannainen m,k. Esimerkki 1  Esimerkki 2  on väärä rationaalinen murtoluku, valitse kokonaislukuosa:
3. Muodon integraalit
|
lasketaan käyttämällä trigonometrisiä korvauksia:
44 
45 Definite Integral
Varma integraali on additiivinen monotoninen normalisoitu funktionaali, joka on määritelty parijoukolle, jonka ensimmäinen komponentti on integroitava funktio tai funktionaali, ja toinen on alue tämän funktion joukossa (funktionaalinen).
Määritelmä
Olkoon se määritelty . Jaetaan se osiin useilla mielivaltaisilla pisteillä. Sitten sanomme, että segmentti on osioitu. Seuraavaksi valitsemme mielivaltaisen pisteen 
, ,
Segmentin funktion määrätty integraali on integraalisummien raja, koska osion arvo pyrkii nollaan, jos se on olemassa osiosta ja pisteiden valinnasta riippumatta, eli
Jos tämä raja on olemassa, funktion sanotaan olevan Riemannin integroitavissa.
Merkintä
· - alaraja.
· - yläraja.
· - integrand-toiminto.
· - osittaisen segmentin pituus.
· on vastaavan osion funktion kokonaissumma.
· 
- osittaisen segmentin enimmäispituus.
Ominaisuudet
Jos funktio on Riemann-integroitavissa , niin se on siihen rajoitettu.
geometrinen tunne
Tarkka integraali kuvion alueena
Tarkka integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin x-akselin, suorien viivojen ja funktiokaavion rajoittaman kuvan pinta-ala.
Newton-Leibnizin lause
[muokata]
(uudelleenohjattu kohteesta "Newton-Leibniz Formula")
Newton - Leibnizin kaava tai analyysin peruslause antaa kahden operaation välisen suhteen: ottamalla määrätyn integraalin ja laskemalla antiderivaatan.
Todiste
Annetaan segmentille integroitava funktio. Aloitetaan toteamalla se
eli sillä ei ole väliä mikä kirjain (tai ) on merkin alla määrätyssä integraalissa välin yli.
Aseta mielivaltainen arvo ja määritä uusi funktio 
. Se on määritelty kaikille arvoille, koska tiedämme, että jos on integraali on, niin on myös integraali on, missä . Muista, että katsomme määritelmän mukaan
(1)
huomaa, että
Osoittakaamme, että se on jatkuva segmentillä . Todellakin, anna ; sitten
ja jos, niin sitten
Näin ollen on jatkuva päällä riippumatta siitä, onko siinä epäjatkuvuuksia vai ei; on tärkeää, että se on integroitavissa .
Kuvassa on kaavio. Muuttuvan kuvan pinta-ala on . Sen lisäys on yhtä suuri kuin kuvion pinta-ala 
, joka :n rajallisuuden vuoksi luonnollisesti pyrkii nollaan kohtaan riippumatta siitä, onko se jatkuvuuspiste vai epäjatkuvuuspiste, esimerkiksi piste .
Nyt ei anneta funktion olla vain integroitavissa, vaan myös jatkuva pisteessä. Osoittakaamme, että sitten on derivaatta tässä vaiheessa yhtä suuri kuin
(2)
Todellakin, annettuun kohtaan
(1) , (3)
Laitamme , ja koska vakio on suhteessa ,TO 
. Lisäksi pisteen jatkuvuudesta johtuen jokaiselle voidaan määrittää sellainen, että .
joka todistaa, että tämän epäyhtälön vasen puoli on o(1) .
Ylittäminen rajalle kohdassa (3) at osoittaa pisteen derivaatan olemassaolon ja yhtälön (2) pätevyyden. Tässä puhumme vastaavasti oikeasta ja vasemmasta johdannaisista.
Jos funktio on jatkuva päällä, niin edellä todistetun perusteella vastaava funktio
(4)
on johdannainen yhtä suuri kuin . Siksi funktio on antiderivatiivinen :lle.
Tätä johtopäätöstä kutsutaan joskus muuttujan ylärajan integraalilauseeksi tai Barrow'n lauseeksi.
Olemme osoittaneet, että mielivaltaisella jatkuvalla intervallin funktiolla on tämän intervallin antiderivaata, jonka määrittää yhtälö (4). Tämä todistaa antiderivaatan olemassaolon mille tahansa aikavälillä jatkuvalle funktiolle.
Olkoon nyt mielivaltainen funktion antijohdannainen. Tiedämme sen, missä on jokin vakio. Olettaen tässä yhtäläisyydessä ja ottaen huomioon sen, saamme .
Täten, . Mutta
Väärä integraali
[muokata]
Wikipediasta, ilmaisesta tietosanakirjasta
Varma integraali nimeltään sopimatonta jos vähintään yksi seuraavista ehdoista toteutuu:
· Raja a tai b (tai molemmat rajat) on ääretön;
· Funktiolla f(x) on yksi tai useampi keskeytyspiste janan sisällä.
[muokkaa] Ensimmäisen tyyppiset väärät integraalit
. Sitten:
1. Jos 
ja integraalia kutsutaan . Tässä tapauksessa kutsutaan konvergentiksi.
tai yksinkertaisesti poikkeavia.
Antaa olla määritelty ja jatkuva asetettuna ja 
. Sitten:
1. Jos 
, sitten merkintä 
ja integraalia kutsutaan virheellinen ensimmäisen tyyppinen Riemannin integraali. Tässä tapauksessa kutsutaan konvergentiksi.
2. Jos ei ole äärellistä 
( tai ), integraalin sanotaan olevan divergentti tai yksinkertaisesti poikkeavia.
Jos funktio on määritelty ja jatkuva koko reaaliviivalla, niin tässä funktiossa voi olla väärä integraali, jolla on kaksi ääretöntä integrointirajaa, jotka määritetään kaavalla:
, jossa c on mielivaltainen luku.
[muokata] Ensimmäisen tyypin sopimattoman integraalin geometrinen merkitys
Väärä integraali ilmaisee äärettömän pitkän kaarevan puolisuunnikkaan alueen.
[muokata] Esimerkkejä
[muokkaa] toisen tyyppiset väärät integraalit
Olkoon se määritellään , kärsiä ääretön epäjatkuvuus kohdassa x=a ja 
. Sitten:
1. Jos 
, sitten merkintä 
ja integraalia kutsutaan
kutsutaan divergentiksi tai yksinkertaisesti poikkeavia.
Olkoon se määritelty , kärsivät äärettömästä epäjatkuvuudesta x=b ja 
. Sitten:
1. Jos 
, sitten merkintä ja integraalia kutsutaan väärä toisen tyyppinen Riemannin integraali. Tässä tapauksessa integraalia kutsutaan konvergentiksi.
2. Jos tai , nimitys säilyy, ja kutsutaan divergentiksi tai yksinkertaisesti poikkeavia.
Jos funktio kärsii epäjatkuvuudesta janan sisäisessä pisteessä, toisen tyyppinen virheellinen integraali määritetään kaavalla:
[muokata] Toisen tyyppisten väärien integraalien geometrinen merkitys
Väärä integraali ilmaisee äärettömän korkean kaarevan puolisuunnikkaan alueen
[muokata] Esimerkki
[muokkaa] Erikoistapaus
Olkoon funktio määritelty koko reaaliakselilla ja sen pisteissä on epäjatkuvuus.
Sitten voimme löytää väärän integraalin
[muokkaa] Cauchyn kriteeri
1. Antaa määritellään joukosta ja 
.
Sitten 
lähentyy
2. Olkoon on määritelty ja 
.
Sitten lähentyy
[muokkaa] Absoluuttinen konvergenssi
Integraali 
nimeltään täysin konvergoivaa, jos 
lähentyy.
Jos integraali konvergoi absoluuttisesti, niin se konvergoi.
[muokkaa] Ehdollinen konvergenssi
Integraalia kutsutaan ehdollisesti konvergoivaa jos lähentyy ja hajoaa.
48 12. Väärät integraalit.
Tarkasteltaessa määrättyjä integraaleja oletimme, että integrointialue on rajoitettu (tarkemmin sanottuna se on segmentti [ a ,b ]); määrätyn integraalin olemassaololle integrandin rajoitus [ a ,b ]. Kutsumme määrättyjä integraaleja, joille molemmat ehdot täyttyvät (sekä integrointialueen että integrandin rajallisuus) oma; integraalit, joiden osalta näitä vaatimuksia rikotaan (eli joko integrandi tai integrointialue tai molemmat ovat rajoittamattomia) ei-omaa. Tässä osiossa tutkimme vääriä integraaleja.
- 12.1. Väärät integraalit rajoittamattomalla aikavälillä (ensimmäisen tyypin väärät integraalit).
- 12.1.1. Väärän integraalin määritelmä äärettömällä aikavälillä. Esimerkkejä.
- 12.1.2. Newton-Leibnizin kaava väärälle integraalille.
- 12.1.3. Ei-negatiivisten funktioiden vertailukriteerit.
- 12.1.3.1. Vertailun merkki.
- 12.1.3.2. Vertailun merkki rajoittavassa muodossa.
- 12.1.4. Väärien integraalien absoluuttinen konvergenssi äärettömällä aikavälillä.
- 12.1.5. Abelin ja Dirichletin lähentymiskriteerit.
- 12.2. Rajaamattomien funktioiden virheelliset integraalit (toisen tyypin väärät integraalit).
- 12.2.1. Rajattoman funktion virheellisen integraalin määritelmä.
- 12.2.1.1. Singulariteetti integrointivälin vasemmassa päässä.
- 12.2.1.2. Newton-Leibnizin kaavan soveltaminen.
- 12.2.1.3. Singulaarisuus integrointivälin oikeassa päässä.
- 12.2.1.4. Singulariteetti integrointivälin sisäpisteessä.
- 12.2.1.5. Useita singulariteetteja integrointivälillä.
- 12.2.2. Ei-negatiivisten funktioiden vertailukriteerit.
- 12.2.2.1. Vertailun merkki.
- 12.2.2.2. Vertailun merkki rajoittavassa muodossa.
- 12.2.3. Epäjatkuvien funktioiden virheellisten integraalien absoluuttinen ja ehdollinen konvergenssi.
- 12.2.4. Abelin ja Dirichletin lähentymiskriteerit.
12.1. Väärät integraalit rajoittamattomalla aikavälillä
(ensimmäisen tyypin väärät integraalit).
12.1.1. Väärän integraalin määritelmä äärettömällä aikavälillä. Anna toiminnon f
(x
) määritellään puoliviivalla ja on integroitavissa millä tahansa aikavälillä [ alkaen, mikä tarkoittaa kussakin näistä tapauksista vastaavien rajojen olemassaoloa ja äärellisyyttä. Nyt esimerkkien ratkaisut näyttävät yksinkertaisemmilta: 
.
12.1.3. Ei-negatiivisten funktioiden vertailukriteerit. Tässä osiossa oletetaan, että kaikki integrandit ovat ei-negatiivisia koko määritelmän alueella. Tähän asti olemme määrittäneet integraalin konvergenssin laskemalla sen: jos antiderivaatalla on äärellinen raja vastaavalla pyrkimyksellä ( tai ), niin integraali konvergoituu, muuten se hajoaa. Käytännön ongelmia ratkaistaessa on kuitenkin tärkeää ensin todeta konvergenssin tosiasia ja vasta sitten laskea integraali (lisäksi antiderivaavaa ei usein ilmaista alkeisfunktioina). Muotoilemme ja todistamme joukon lauseita, joiden avulla voimme määrittää ei-negatiivisten funktioiden virheellisten integraalien konvergenssin ja divergenssin laskematta niitä.
12.1.3.1. Vertailumerkki. Anna toiminnot f
(x
) ja g
(x
) integr
Tässä aiheessa esitetty aineisto perustuu aiheessa "Rationaaliset murtoluvut. Rationaalisten murtolukujen hajottaminen alkeis- (yksinkertaisiksi) murtoiksi" esitettyihin tietoihin. Suosittelen, että luet ainakin tämän aiheen läpi ennen kuin jatkat tämän materiaalin lukemista. Lisäksi tarvitsemme määrittelemättömien integraalien taulukon.
Muistutan teitä parista termistä. Niistä keskusteltiin kyseisessä aiheessa, joten rajoitan tässä lyhyeen muotoiluun.
Kahden polynomin suhdetta $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kutsutaan rationaalifunktioksi tai rationaaliseksi murtoluvuksi. Rationaalista murtolukua kutsutaan oikea jos $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется väärä.
Elementaariset (yksinkertaisimmat) rationaaliset murtoluvut ovat neljän tyypin rationaalisia murtolukuja:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Huomautus (toivottava tekstin ymmärtämiseksi): näytä\piilota
Miksi $p^2-4q-ehto on välttämätön?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Esimerkiksi lausekkeelle $x^2+5x+10$ saamme: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Koska $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Muuten, tätä tarkistusta varten ei tarvitse, että kertoimen $x^2$ edessä on 1. Esimerkiksi arvolle $5x^2+7x-3=0$ saadaan: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Koska $D > 0$, lauseke $5x^2+7x-3$ voidaan kertoilla.
Löytyy esimerkkejä rationaalisista murtoluvuista (säännöllisistä ja virheellisistä) sekä esimerkkejä rationaalisen murtoluvun laajentamisesta alkeisosiksi. Täällä meitä kiinnostavat vain kysymykset niiden integroinnista. Aloitetaan alkeismurtolukujen integroinnista. Joten jokainen neljästä edellä mainituista alkeismurtotyypeistä on helppo integroida alla olevien kaavojen avulla. Haluan muistuttaa, että integroitaessa tyyppien (2) ja (4) murtolukuja oletetaan $n=2,3,4,\ldots$. Kaavat (3) ja (4) vaativat ehdon $p^2-4q< 0$.
\begin(yhtälö) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \loppu(yhtälö) \alku(yhtälö) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(yhtälö)
Kohdalle $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ tehdään korvaus $t=x+\frac(p)(2)$, jonka jälkeen tuloksena oleva integraali on jaettu kahtia. Ensimmäinen lasketaan lisäämällä se erotusmerkin alle, ja toinen näyttää tältä $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tämä integraali otetaan käyttämällä toistuvuusrelaatiota
\begin(yhtälö) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(yhtälö)
Tällaisen integraalin laskentaa analysoidaan esimerkissä nro 7 (katso kolmas osa).
Kaavio integraalien laskemiseksi rationaalisista funktioista (rationaaliset murtoluvut):
- Jos integrandi on alkeisosa, käytä kaavoja (1)-(4).
- Jos integrandi ei ole alkeisosa, esitä se alkeismurtolukujen summana ja integroi sitten kaavoilla (1)-(4).
Yllä olevalla rationaalisten murtolukujen integrointialgoritmilla on kiistaton etu - se on universaali. Nuo. Tätä algoritmia käyttämällä voidaan integroida minkä tahansa rationaalinen murto-osa. Siksi lähes kaikki muuttujien korvaukset epämääräisessä integraalissa (Euler-, Chebyshev-substituutiot, universaali trigonometrinen substituutio) tehdään siten, että tämän korvauksen jälkeen saamme rationaalisen murto-osan välin alle. Ja soveltaa siihen algoritmia. Analysoimme tämän algoritmin suoraa soveltamista esimerkkien avulla pienen muistiinpanon jälkeen.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Periaatteessa tämä integraali on helppo saada ilman mekaanista kaavan soveltamista. Jos otamme vakion $7$ pois integraalimerkistä ja otamme huomioon, että $dx=d(x+9)$, niin saadaan:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Tarkempia tietoja varten suosittelen tutustumaan aiheeseen. Se selittää yksityiskohtaisesti, kuinka tällaiset integraalit ratkaistaan. Muuten, kaava todistetaan samoilla muunnoksilla, joita käytettiin tässä kappaleessa ratkaistaessa "manuaalisesti".
2) Jälleen on kaksi tapaa: soveltaa valmista kaavaa tai olla ilman sitä. Jos käytät kaavaa, sinun tulee ottaa huomioon, että kerroin $x$ (numero 4) edessä on poistettava. Voit tehdä tämän poistamalla ne neljä suluissa:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\oikea)^8). $$
Nyt on aika soveltaa kaavaa:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasen(x+\frac(19)(4) \oikea)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Voit tehdä ilman kaavaa. Ja jopa laittamatta jatkuvaa 4 dollaria pois suluista. Jos otamme huomioon, että $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, niin saamme:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Yksityiskohtaiset selitykset tällaisten integraalien löytämisestä annetaan aiheessa "Integraatio substituutiolla (johdanto differentiaalimerkin alla)" .
3) Meidän on integroitava murto-osa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Tämän murtoluvun rakenne on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, jossa $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Kuitenkin varmistaaksesi, että tämä on todellakin kolmannen tyypin alkeisosa, sinun on tarkistettava ehto $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Ratkaistaan sama esimerkki, mutta käyttämättä valmista kaavaa. Yritetään eristää osoittajan nimittäjän derivaatta. Mitä tämä tarkoittaa? Tiedämme, että $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Se on lauseke $2x+10$, joka meidän on eristettävä osoittajassa. Toistaiseksi osoittaja sisältää vain $4x+7$ , mutta tämä ei ole pitkä. Käytä seuraavaa muunnosa osoittajaan:
$$ 4x+7=2\cpiste 2x+7=2\cpiste (2x+10-10)+7=2\cpiste(2x+10)-2\cpiste 10+7=2\cpiste(2x+10) -kolmetoista. $$
Nyt vaadittu lauseke $2x+10$ on ilmestynyt osoittajaan. Ja integraalimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Jaetaan integrandi kahtia. No, ja vastaavasti itse integraali on myös "jaettu":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \oikea)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Puhutaan ensin ensimmäisestä integraalista, ts. noin $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Koska $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, niin nimittäjädifferentiaali sijaitsee integrandin osoittajassa. Lyhyesti sanottuna, sen sijaan lausekkeen $( 2x+10)dx$ kirjoitamme $d(x^2+10x+34)$.
Sanotaan nyt muutama sana toisesta integraalista. Erotellaan nimittäjässä oleva täysi neliö: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisäksi otamme huomioon $dx=d(x+5)$. Nyt aiemmin saamiemme integraalien summa voidaan kirjoittaa uudelleen hieman eri muodossa:
$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ yhdeksän). $$
Jos teemme muutoksen $u=x^2+10x+34$ ensimmäisessä integraalissa, se saa muotoa $\int\frac(du)(u)$ ja otetaan yksinkertaisesti soveltamalla toista kaavaa kohdasta . Mitä tulee toiseen integraaliin, sille on mahdollista korvata $u=x+5$, jonka jälkeen se saa muotoa $\int\frac(du)(u^2+9)$. Tämä on puhtain vesi, yksitoista kaava määrittelemättömien integraalien taulukosta. Joten, kun palataan integraalien summaan, meillä on:
$2 \cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Saimme saman vastauksen kuin kaavaa sovellettaessa, mikä ei itse asiassa ole yllättävää. Yleensä kaava todistetaan samoilla menetelmillä, joita käytimme tämän integraalin löytämiseen. Uskon, että tarkkaavaisella lukijalla voi olla tässä yksi kysymys, joten muotoilen sen:
Kysymys 1
Jos käytämme toista epämääräisten integraalien taulukon kaavaa integraaliin $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, niin saadaan seuraava:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Miksi moduuli puuttui ratkaisusta?
Vastaus kysymykseen #1
Kysymys on täysin oikeutettu. Moduuli puuttui vain, koska lauseke $x^2+10x+34$ mille tahansa $x\in R$:lle on suurempi kuin nolla. Tämä on melko helppo näyttää monella tapaa. Esimerkiksi koska $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, sitten $(x+5)^2+9 > 0$ . On mahdollista arvioida eri tavalla ilman täyden neliön valintaa. Koska $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mille tahansa $x\in R$:lle (jos tämä looginen ketju on yllättävää, suosittelen katsomaan graafista menetelmää neliöepäyhtälöiden ratkaisemiseksi). Joka tapauksessa, koska $x^2+10x+34 > 0$, niin $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ts. voit käyttää tavallisia sulkumerkkejä moduulin sijasta.
Kaikki esimerkin nro 1 kohdat on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.
Vastaus:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
Esimerkki #2
Etsi integraali $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Ensi silmäyksellä integrandi $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on hyvin samanlainen kuin kolmannen tyypin alkeismurto, ts. arvoon $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Näyttää siltä, että ainoa ero on kerroin $3$ kohdan $x^2$ edessä, mutta kertoimen poistaminen ei kestä kauan (sulkeista). Tämä samankaltaisuus on kuitenkin ilmeinen. Murtoluvulle $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ehto $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Kertoimemme $x^2$:n edessä ei ole yhtä suuri kuin yksi, joten tarkista ehto $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, joten lauseke $3x^2-5x-2$ voidaan kertoa. Ja tämä tarkoittaa, että murto-osa $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmannen tyypin alkeismurtoluku, ja se koskee integraalia $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$-kaava ei ole sallittu.
No, jos annettu rationaalinen murtoluku ei ole alkeisosa, se on esitettävä alkeismurtolukujen summana ja sitten integroitava. Lyhyesti sanottuna, polku hyödyntää . Miten rationaalinen murto-osa hajotetaan alkeisosiksi, on kirjoitettu yksityiskohtaisesti. Aloitetaan ottamalla huomioon nimittäjä:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(tasattu)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Edustamme sisäistä murto-osaa seuraavassa muodossa:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Laajennataan nyt murtoluku $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ alkeisosiksi:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\oikea). $$
Kertoimien $A$ ja $B$ löytämiseksi on kaksi standarditapaa: määrittelemättömien kertoimien menetelmä ja osittaisten arvojen korvausmenetelmä. Sovelletaan osittaisen arvon korvausmenetelmää korvaamalla $x=2$ ja sitten $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\oikea); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Koska kertoimet on löydetty, jää vain kirjoittaa valmis laajennus:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Periaatteessa voit jättää tämän merkinnän, mutta pidän tarkemmasta versiosta:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Palataksemme alkuperäiseen integraaliin, korvaamme tuloksena olevan laajennuksen siihen. Sitten jaamme integraalin kahdeksi ja käytämme kaavaa jokaiseen. Otan mieluummin välittömästi pois integraalimerkin ulkopuoliset vakiot:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Vastaus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\oikea| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Esimerkki #3
Etsi integraali $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Meidän on integroitava murto-osa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Osoittaja on toisen asteen polynomi ja nimittäjä kolmannen asteen polynomi. Koska polynomin aste osoittajassa on pienempi kuin polynomin aste nimittäjässä, ts. 2 dollaria< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$
Meidän täytyy vain jakaa annettu integraali kolmeen osaan ja soveltaa kaavaa jokaiseen. Otan mieluummin välittömästi pois integraalimerkin ulkopuoliset vakiot:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Vastaus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Jatkoa tämän aiheen esimerkkien analyysille on toisessa osassa.
Ennen kuin jatkat yksinkertaisimpien murtolukujen integrointia murto-rationaalisen funktion määrittelemättömän integraalin löytämiseksi, on suositeltavaa päivittää osion "Murto-osan hajottaminen yksinkertaisimmiksi" muisti.
Esimerkki 1
Etsi epämääräinen integraali ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .
Päätös
Valitsemme kokonaislukuosan jakamalla polynomin sarakkeen polynomilla ottaen huomioon, että integrandin osoittajan aste on yhtä suuri kuin nimittäjän aste:
Joten 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x . Saimme oikean rationaalisen murtoluvun - 2 x + 3 x 3 + x, jonka nyt laajennamme yksinkertaisiksi murtoluvuiksi - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Siten,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x
Olemme saaneet integraalin kolmannen tyypin yksinkertaisimmasta murto-osasta. Voit ottaa sen tuomalla sen tasauspyörästön merkin alle.
Koska d x 2 + 1 = 2 x d x , niin 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 . Niin
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln + 1 + 2 a r c t g x + C 1
Siten,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , jossa C \u003d - C 1
Kuvataanpa menetelmiä kunkin neljän tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integroimiseksi.
Ensimmäisen tyypin A yksinkertaisimpien jakeiden integrointi x - a
Käytämme suoraa integrointimenetelmää tämän ongelman ratkaisemiseen:
∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C
Esimerkki 2
Etsi funktion y = 3 2 x - 1 antiderivaatojen joukko.
Päätös
Integrointisäännön, antiderivaatan ominaisuuksien ja antiderivaatataulukon avulla löydämme määrittelemättömän integraalin ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C
∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C
Vastaus: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C
Toisen tyypin A x - a n yksinkertaisten murtolukujen integrointi
Tässä käytetään myös suoran integroinnin menetelmää: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C
Esimerkki 3
On tarpeen löytää epämääräinen integraali ∫ d x 2 x - 3 7 .
Päätös
∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C
Vastaus:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C
Kolmannen tyypin yksinkertaisten murtolukujen integrointi M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0
Aluksi esitämme epämääräisen integraalin ∫ M x + N x 2 + p x + q summana:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q
Ottaaksemme ensimmäisen integraalin, käytämme summausmenetelmää differentiaalimerkin alle:
∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x x d x = M 2 d x 2 + p p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q
Niin,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q
Olemme saaneet integraalin ∫ d x x 2 + p x + q . Muunnetaan sen nimittäjä:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1
Siten,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1
Kaava kolmannen tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integroimiseksi on seuraavanlainen:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C
Esimerkki 4
On tarpeen löytää epämääräinen integraali ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .
Päätös
Sovelletaan kaavaa:
∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 p x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 k x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C
Toinen ratkaisu näyttää tältä:
∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a ja d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 t 9 + C r1 9
Vastaus: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C
Neljännen tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integrointi M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0
Ensinnäkin suoritamme summauksen differentiaalin merkin alla:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n
Sitten löydetään integraali muotoa J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n käyttäen toistuvia kaavoja. Tietoja toistuvista kaavoista löytyy aiheesta "Integrointi toistuvilla kaavoilla".
Ongelmamme ratkaisemiseksi toistuva kaava muotoa J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .
Esimerkki 5
On tarpeen löytää epämääräinen integraali ∫ d x x 5 x 2 - 1 .
Päätös
∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x
Käytämme korvausmenetelmää tämän tyyppiselle integrandille. Otetaan käyttöön uusi muuttuja x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x
Saamme:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3
Päädyimme löytämään neljännen tyypin murto-osan integraalin. Meidän tapauksessamme meillä on kertoimet M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 ja n = 3. Käytämme rekursiivista kaavaa:
J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) + C
Käänteisen substituution jälkeen z = x 2 - 1 saamme tuloksen:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C
Vastaus:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
