Lopulta sain käsiini laajan ja kauan odotetun aiheen analyyttinen geometria. Ensinnäkin vähän tästä korkeamman matematiikan osasta…. Varmasti nyt muistit koulun geometrian kurssin lukuisine lauseineen, niiden todistukset, piirustukset jne. Mitä salattavaa, ei-rakastettu ja usein hämärä aihe merkittävälle osalle opiskelijoista. Analyyttinen geometria, omituista kyllä, voi tuntua kiinnostavammalta ja helposti saatavilla olevalta. Mitä adjektiivi "analyyttinen" tarkoittaa? Välittömästi tulee mieleen kaksi leimattua matemaattista käännettä: "graafinen ratkaisumenetelmä" ja "ratkaisun analyyttinen menetelmä". Graafinen menetelmä liittyy tietysti kaavioiden, piirustusten rakentamiseen. Analyyttinen sama menetelmä sisältää ongelmanratkaisun pääasiassa algebrallisten operaatioiden kautta. Tältä osin algoritmi melkein kaikkien analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemiseksi on yksinkertainen ja läpinäkyvä, usein riittää, että sovelletaan tarvittavia kaavoja tarkasti - ja vastaus on valmis! Ei, tietenkään se ei tule ilman piirustuksia ollenkaan, lisäksi yritän tuoda ne yli tarpeen materiaalin ymmärtämiseksi paremmin.

Geometrian avoin kurssi ei vaadi teoreettista täydellisyyttä, vaan keskittyy käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Otan luennoilleni vain sen, mikä on minun näkökulmastani käytännön kannalta tärkeää. Jos tarvitset kattavampaa viittausta johonkin alakohtaan, suosittelen seuraavaa helposti saatavilla olevaa kirjallisuutta:

1) Asia, joka, ei vitsi, on tuttu useille sukupolville: Geometrian koulukirja, kirjailijat - L.S. Atanasyan ja yritys. Tämä koulun pukuhuoneen ripustin on kestänyt jo 20 (!) uusintajulkaisua, mikä ei tietenkään ole raja.

2) Geometria 2 osassa. Kirjailijat L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Tämä on kirjallisuutta korkea-asteen koulutukseen, tarvitset ensimmäinen osa. Harvoin esiintyvät tehtävät voivat jäädä näkökentän ulkopuolelle, ja opetusohjelmasta on korvaamaton apu.

Molemmat kirjat ovat ladattavissa ilmaiseksi verkosta. Lisäksi voit käyttää arkistoani valmiiden ratkaisujen kanssa, jotka löytyvät sivulta Lataa korkeamman matematiikan esimerkkejä.

Työkaluista tarjoan jälleen omaa kehitystäni - ohjelmistopaketti analyyttiselle geometrialle, mikä yksinkertaistaa huomattavasti elämää ja säästää paljon aikaa.

Lukijan oletetaan tuntevan geometriset peruskäsitteet ja -kuviot: piste, suora, taso, kolmio, suuntaviiva, suuntaissärmiö, kuutio jne. On suositeltavaa muistaa joitain lauseita, ainakin Pythagoraan lause, hei toistimet)

Ja nyt tarkastelemme peräkkäin: vektorin käsitettä, vektoreita koskevia toimia, vektorin koordinaatteja. Lisäksi suosittelen lukemista tärkein artikkeli Vektorien pistetulo, yhtä hyvin kuin Vektori ja vektorien sekatulo. Paikallinen tehtävä ei ole tarpeeton - segmentin jako tässä suhteessa. Yllä olevien tietojen perusteella voit tasossa olevan suoran yhtälö Kanssa yksinkertaisimmat esimerkit ratkaisuista, mikä mahdollistaa oppia ratkaisemaan geometrian ongelmia. Myös seuraavat artikkelit ovat hyödyllisiä: Tason yhtälö avaruudessa, Avaruuden suoran yhtälöt, Perustehtävät viivalla ja tasolla , muut analyyttisen geometrian osat. Luonnollisesti vakiotehtävät huomioidaan matkan varrella.

Vektorin käsite. ilmainen vektori

Ensin toistetaan vektorin koulun määritelmä. Vektori nimeltään ohjattu segmentti, jonka alku ja loppu on merkitty:

Tässä tapauksessa janan alku on piste, janan loppu on piste. Itse vektoria merkitään . Suunta on välttämätöntä, jos järjestät nuolen uudelleen segmentin toiseen päähän, saat vektorin, ja tämä on jo täysin eri vektori. Vektorin käsite on kätevää identifioida fyysisen kehon liikkeisiin: täytyy myöntää, että instituutin ovista sisään astuminen tai instituutin ovista poistuminen ovat täysin eri asioita.

On kätevää tarkastella tason yksittäisiä pisteitä, avaruutta ns nolla vektori. Tällaisella vektorilla on sama loppu ja alku.

!!! merkintä: Tämän jälkeen voidaan olettaa, että vektorit ovat samassa tasossa tai voit olettaa, että ne sijaitsevat avaruudessa - esitetyn materiaalin olemus pätee sekä tasoon että avaruuteen.

Nimitykset: Monet kiinnittivät heti huomion keppiin, joissa ei ollut nuolta nimityksessä, ja sanoivat, että he laittoivat myös nuolen yläosaan! Aivan oikein, voit kirjoittaa nuolella: , mutta sallittu ja tallenne, jota käytän myöhemmin. Miksi? Ilmeisesti tällainen tapa on kehittynyt käytännön syistä, ampujani koulussa ja yliopistossa osoittautuivat liian monipuolisiksi ja pörröisiksi. Oppikirjallisuudessa ei toisinaan välitetä nuolenkirjoituksesta ollenkaan, vaan korostetaan kirjaimet lihavoituna: , mikä tarkoittaa, että tämä on vektori.

Tämä oli tyyli, ja nyt vektorien kirjoitustavoista:

1) Vektorit voidaan kirjoittaa kahdella isolla latinalaiskirjaimella:
ja niin edelleen. Vaikka ensimmäinen kirjain välttämättä tarkoittaa vektorin aloituspistettä ja toinen kirjain tarkoittaa vektorin loppupistettä.

2) Vektorit kirjoitetaan myös pienillä latinalaisilla kirjaimilla:
Erityisesti vektorimme voidaan merkitä uudelleen lyhyyden vuoksi pienellä latinalaiskirjaimella .

Pituus tai moduuli nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan segmentin pituudeksi. Nollavektorin pituus on nolla. Loogisesti.

Vektorin pituus merkitään modulomerkillä: ,

Kuinka löytää vektorin pituus, opimme (tai toistamme, kenelle kuinka) hieman myöhemmin.

Se oli alkeellista tietoa vektorista, joka oli tuttu kaikille koululaisille. Analyyttisessä geometriassa ns ilmainen vektori.

Jos se on melko yksinkertaista - vektori voidaan piirtää mistä tahansa pisteestä:

Meillä oli tapana kutsua tällaisia ​​vektoreita yhtäläisiksi (yhtäsuureiden vektorien määritelmä annetaan alla), mutta puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta tämä on SAMA VEKTORI tai ilmainen vektori. Miksi ilmainen? Koska tehtävien ratkaisun aikana voit "kiinnittää" yhden tai toisen vektorin MIKÄ tahansa tarvitsemasi tason tai tilan pisteeseen. Tämä on erittäin siisti omaisuus! Kuvittele mielivaltaisen pituuden ja suunnan vektori - se voidaan "kloonata" äärettömän monta kertaa ja missä tahansa pisteessä avaruudessa, itse asiassa se on olemassa KAIKKILLA. On olemassa sellainen opiskelijan sananlasku: Jokainen luennoitsija f ** u:ssa vektorissa. Loppujen lopuksi, ei vain nokkela riimi, kaikki on matemaattisesti oikein - siihen voidaan liittää myös vektori. Mutta älä kiirehdi iloitsemaan, opiskelijat itse kärsivät useammin =)

Niin, ilmainen vektori- Tämä on paljon identtiset suuntaiset segmentit. Vektorin koulun määritelmä, joka on annettu kappaleen alussa: "Suunnattua segmenttiä kutsutaan vektoriksi ...", tarkoittaa erityisiä tietystä joukosta otettu suunnattu segmentti, joka on kiinnitetty tiettyyn pisteeseen tasossa tai avaruudessa.

On huomattava, että fysiikan näkökulmasta vapaan vektorin käsite on yleensä virheellinen ja vektorin sovelluskohdalla on väliä. Todellakin, suora saman voiman isku nenään tai otsaan riittää kehittämään typerää esimerkkiäni, ja sillä on erilaisia ​​seurauksia. Kuitenkin, ei ilmainen vektoreita löytyy myös vyshmatin aikana (älä mene sinne :)).

Toiminnot vektoreilla. Vektorien kollineaarisuus

Koulun geometrian kurssilla tarkastellaan useita vektoreilla varustettuja toimintoja ja sääntöjä: yhteenlasku kolmiosäännön mukaan, yhteenlasku suuntaviivasäännön mukaan, vektorien eron sääntö, vektorin kertominen luvulla, vektorien skalaaritulo jne. Siemenenä toistamme kaksi sääntöä, jotka ovat erityisen tärkeitä analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemisessa.

Vektorien summaussääntö kolmioiden säännön mukaan

Tarkastellaan kahta mielivaltaista nollasta poikkeavaa vektoria ja :

On löydettävä näiden vektorien summa. Koska kaikkia vektoreita pidetään vapaina, siirrämme vektoria alkaen loppu vektori:

Vektorien summa on vektori . Säännön ymmärtämiseksi on suositeltavaa laittaa siihen fyysinen merkitys: antaa jonkin kappaleen tehdä polku vektoria pitkin ja sitten vektoria pitkin. Tällöin vektorien summa on tuloksena olevan polun vektori, joka alkaa lähtöpisteestä ja päättyy saapumispisteeseen. Samanlainen sääntö on muotoiltu minkä tahansa vektorien määrän summalle. Kuten sanotaan, keho voi kulkea tiensä vahvasti siksakissa tai ehkä autopilotissa - tuloksena olevaa summavektoria pitkin.

Muuten, jos vektoria lykätään alkaa vektori , niin saamme vastineen suunnikassääntö vektorien lisääminen.

Ensinnäkin vektorien kollineaarisuudesta. Näitä kahta vektoria kutsutaan kollineaarinen jos ne sijaitsevat samalla linjalla tai yhdensuuntaisilla linjoilla. Karkeasti sanottuna puhumme rinnakkaisista vektoreista. Mutta niiden suhteen käytetään aina adjektiivia "kollineaarinen".

Kuvittele kaksi kollineaarista vektoria. Jos näiden vektorien nuolet on suunnattu samaan suuntaan, niin tällaisia ​​vektoreita kutsutaan yhteissuuntainen. Jos nuolet näyttävät eri suuntiin, vektorit ovat vastakkaiseen suuntaan.

Nimitykset: vektorien kollineaarisuus kirjoitetaan tavallisella rinnakkaiskuvakkeella: , kun taas yksityiskohdat ovat mahdollisia: (vektorit ovat yhdessä suunnattuja) tai (vektorit on suunnattu vastakkain).

työ Nollasta poikkeavan vektorin numero on vektori, jonka pituus on yhtä suuri kuin , ja vektorit ja ovat yhdessä suunnattu ja vastakkaisesti suunnattu .

Sääntö vektorin kertomisesta luvulla on helpompi ymmärtää kuvan avulla:

Ymmärrämme tarkemmin:

1) Suunta. Jos kerroin on negatiivinen, niin vektori muuttaa suuntaa päinvastoin.

2) Pituus. Jos tekijä on sisällä tai , niin vektorin pituus vähenee. Joten vektorin pituus on kaksi kertaa pienempi kuin vektorin pituus. Jos modulokerroin on suurempi kuin yksi, niin vektorin pituus lisääntyy ajallaan.

3) Huomaa tämä kaikki vektorit ovat kollineaarisia, kun taas yksi vektori ilmaistaan ​​toisen kautta, esimerkiksi . Päinvastoin on myös totta: jos yksi vektori voidaan ilmaista toisella, niin tällaiset vektorit ovat välttämättä kollineaarisia. Tällä tavalla: jos kerromme vektorin luvulla, saadaan kollineaari(alkuperäiseen verrattuna) vektori.

4) Vektorit ovat samansuuntaisia. Vektorit ja ovat myös samansuuntaisia. Mikä tahansa ensimmäisen ryhmän vektori on vastakkainen toisen ryhmän mille tahansa vektorille.

Mitkä vektorit ovat yhtä suuret?

Kaksi vektoria ovat yhtä suuret, jos ne ovat samansuuntaisia ​​ja niillä on sama pituus. Huomaa, että yhteissuuntaus tarkoittaa, että vektorit ovat kollineaarisia. Määritelmä on epätarkka (redundantti), jos sanot: "Kaksi vektoria ovat yhtä suuret, jos ne ovat kollineaarisia, yhteissuuntautuneita ja niillä on sama pituus."

Vapaan vektorin käsitteen näkökulmasta yhtäläiset vektorit ovat samat vektorit, mistä puhuttiin jo edellisessä kappaleessa.

Vektorikoordinaatit tasossa ja avaruudessa

Ensimmäinen kohta on tarkastella vektoreita tasossa. Piirrä karteesinen suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ja aseta sivuun origo yksittäinen vektorit ja:

Vektorit ja ortogonaalinen. Ortogonaalinen = kohtisuora. Suosittelen pikkuhiljaa totuttelua termeihin: yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran sijasta käytämme sanoja vastaavasti kollineaarisuus ja ortogonaalisuus.

Nimitys: vektorien ortogonaalisuus kirjoitetaan tavallisella kohtisuoralla merkillä, esimerkiksi: .

Tarkasteltuja vektoreita kutsutaan koordinaattivektorit tai orts. Nämä vektorit muodostuvat perusta pinnalla. Mikä on perusta, mielestäni on monille intuitiivisesti selvää, yksityiskohtaisempia tietoja löytyy artikkelista Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta Yksinkertaisesti sanottuna koordinaattien perusta ja alkuperä määrittelevät koko järjestelmän - tämä on eräänlainen perusta, jolla täydellinen ja rikas geometrinen elämä kiehuu.

Joskus konstruoitua perustaa kutsutaan ortonormaali tason perusta: "orto" - koska koordinaattivektorit ovat ortogonaalisia, adjektiivi "normalisoitu" tarkoittaa yksikköä, ts. kantavektoreiden pituudet ovat yhtä suuria kuin yksi.

Nimitys: peruste kirjoitetaan yleensä suluissa, joiden sisällä tiukassa järjestyksessä kantavektorit on lueteltu, esimerkiksi: . Koordinaattivektorit se on kielletty vaihtaa paikkoja.

Minkä tahansa tasovektori ainoa tapa ilmaistu:
, missä - numeroita, joita kutsutaan vektorin koordinaatit tällä perusteella. Mutta itse ilmaisu nimeltään vektorin hajoaminenperusta .

Tarjottu illallinen:

Aloitetaan aakkosten ensimmäisestä kirjaimesta: . Piirustuksessa näkyy selvästi, että kun vektoria hajotetaan perusteen suhteen, käytetään juuri tarkasteltuja:
1) sääntö vektorin kertomisesta luvulla: ja ;
2) vektorien yhteenlasku kolmiosäännön mukaan: .

Aseta nyt henkisesti sivuun vektori mistä tahansa muusta tason pisteestä. On aivan ilmeistä, että hänen korruptionsa "seuraa häntä hellittämättä". Tässä se on, vektorin vapaus - vektori "kantaa kaiken mukanasi". Tämä ominaisuus pätee tietysti mille tahansa vektorille. Hassua, että itse perus(vapaat) vektorit eivät tarvitse olla syrjään origosta, yksi voidaan piirtää esim. vasempaan alareunaan ja toinen oikeaan yläreunaan, eikä mikään tästä muutu! Totta, sinun ei tarvitse tehdä tätä, koska opettaja osoittaa myös omaperäisyyttä ja tekee sinulle "passin" odottamattomassa paikassa.

Vektorit havainnollistavat tarkalleen sääntöä vektorin kertomisesta luvulla, vektori on suunnattu yhdessä kantavektorin kanssa, vektori on suunnattu vastapäätä kantavektoria . Näille vektoreille yksi koordinaateista on nolla, se voidaan kirjoittaa huolellisesti seuraavasti:


Ja kantavektorit ovat muuten tällaiset: (itse asiassa ne ilmaistaan ​​itsensä kautta).

Ja lopuksi: , . Muuten, mitä on vektorivähennys, ja miksi en kertonut vähennyssäännöstä? Jossain lineaarialgebrassa, en muista missä, huomasin, että vähennys on erityinen yhteenlaskutapaus. Joten vektorien "de" ja "e" laajennukset kirjoitetaan rauhallisesti summana: . Järjestä termit paikoilleen ja seuraa piirustusta, kuinka selkeästi vanha kunnon vektorien yhteenlasku kolmiosäännön mukaan toimii näissä tilanteissa.

Tarkastellaan muodon hajoamista kutsutaan joskus vektorihajotelmaksi järjestelmässä ort(eli yksikkövektorijärjestelmässä). Mutta tämä ei ole ainoa tapa kirjoittaa vektori, seuraava vaihtoehto on yleinen:

Tai yhtäläisyysmerkillä:

Itse kantavektorit kirjoitetaan seuraavasti: ja

Eli vektorin koordinaatit on merkitty suluissa. Käytännön tehtävissä käytetään kaikkia kolmea tallennusvaihtoehtoa.

Epäilin puhuakseni, mutta sanon silti: vektorin koordinaatteja ei voi järjestää uudelleen. Ehdottomasti ykkössijalla kirjoita muistiin koordinaatti, joka vastaa yksikkövektoria, tiukasti toisella sijalla kirjoita muistiin koordinaatti, joka vastaa yksikkövektoria. Todellakin, ja ovat kaksi eri vektoria.

Selvitimme lentokoneen koordinaatit. Harkitse nyt vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa, kaikki on melkein sama täällä! Vain yksi koordinaatti lisätään. Kolmiulotteisten piirustusten tekeminen on vaikeaa, joten rajoitan yhteen vektoriin, jonka yksinkertaisuuden vuoksi lykkään alkuperästä:

Minkä tahansa 3d avaruusvektori ainoa tapa laajentaa ortonormaalisesti:
, missä ovat vektorin (luvun) koordinaatit annetussa kannassa.

Esimerkki kuvasta: . Katsotaanpa, kuinka vektoritoimintasäännöt toimivat tässä. Ensin kerrotaan vektori numerolla: (punainen nuoli), (vihreä nuoli) ja (magenta nuoli). Toiseksi tässä on esimerkki useiden, tässä tapauksessa kolmen vektorin lisäämisestä: . Summavektori alkaa lähtöpisteestä (vektorin alku) ja päättyy viimeiseen saapumispisteeseen (vektorin loppuun).

Kaikki kolmiulotteisen avaruuden vektorit ovat tietysti myös vapaita, yritä henkisesti lykätä vektoria mistä tahansa muusta pisteestä, ja ymmärrät, että sen laajeneminen "pysyy sen mukana".

Samoin kuin lentokonekotelo, kirjoittamisen lisäksi suluilla varustetut versiot ovat laajalti käytössä: joko .

Jos laajennuksesta puuttuu yksi (tai kaksi) koordinaattivektoria, laitetaan sen sijaan nollia. Esimerkkejä:
vektori (tarkasti ) - Kirjoita ylös ;
vektori (tarkasti ) - Kirjoita ylös ;
vektori (tarkasti ) - Kirjoita ylös .

Perusvektorit kirjoitetaan seuraavasti:

Tässä on ehkä kaikki vähimmäisteoreettinen tieto, joka tarvitaan analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemiseen. Ehkä termejä ja määritelmiä on liikaa, joten suosittelen tutteja lukemaan ja ymmärtämään nämä tiedot uudelleen. Ja jokaisen lukijan on hyödyllistä viitata ajoittain perusoppituntiin omaksuakseen materiaalin paremmin. Kollineaarisuus, ortogonaalisuus, ortonormaalikanta, vektorihajotelma - näitä ja muita käsitteitä käytetään usein seuraavassa. Huomaan, että sivuston materiaalit eivät riitä teoreettisen kokeen, geometrian kollokvion läpäisemiseen, koska salaan huolellisesti kaikki lauseet (paitsi ilman todisteita) - tieteellisen esitystavan kustannuksella, mutta plussa ymmärryksestäsi aiheesta. Yksityiskohtaisia ​​teoreettisia tietoja varten pyydän teitä kumartamaan professori Atanasyanille.

Siirrytään nyt käytännön osaan:

Analyyttisen geometrian yksinkertaisimmat tehtävät.
Toiminnot, joissa vektorit ovat koordinaateissa

Harkittavat tehtävät on erittäin toivottavaa oppia ratkaisemaan ne täysin automaattisesti, ja kaavat muistaa, älkää edes muistako sitä tarkoituksella, he muistavat sen itse =) Tämä on erittäin tärkeää, koska muut analyyttisen geometrian ongelmat perustuvat yksinkertaisimpiin alkeellisiin esimerkkeihin ja on ärsyttävää viettää ylimääräistä aikaa pelinappuloiden syömiseen. Paidan ylänappeja ei tarvitse kiinnittää, monet asiat ovat tuttuja koulusta.

Aineiston esitys tapahtuu rinnakkain - sekä tasoon että avaruuteen. Siitä syystä, että kaikki kaavat ... näet itse.

Kuinka löytää vektori, jolla on kaksi pistettä?

Jos on annettu kaksi tason pistettä ja, niin vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Jos on annettu kaksi pistettä avaruudessa ja, niin vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Tuo on, vektorin lopun koordinaateista sinun on vähennettävä vastaavat koordinaatit vektorin aloitus.

Harjoittele: Kirjoita samoille pisteille kaavat vektorin koordinaattien löytämiseksi. Kaavat oppitunnin lopussa.

Esimerkki 1

Koska kaksi pistettä koneessa ja . Etsi vektorin koordinaatit

Ratkaisu: vastaavan kaavan mukaan:

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää seuraavaa merkintää:

Esteetit päättävät näin:

Henkilökohtaisesti olen tottunut levyn ensimmäiseen versioon.

Vastaus:

Ehdon mukaan piirustusta ei vaadittu rakentamaan (mikä on tyypillistä analyyttisen geometrian ongelmille), mutta en ole liian laiska selittääkseni joitain kohtia nukkeille:

On ymmärrettävä pistekoordinaattien ja vektorin koordinaattien välinen ero:

Pistekoordinaatit ovat tavanomaisia ​​koordinaatteja suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Luulen, että kaikki osaavat piirtää pisteitä koordinaattitasolle luokasta 5-6 lähtien. Jokaisella pisteellä on tiukka paikka koneessa, eikä niitä voi siirtää minnekään.

Saman vektorin koordinaatit on sen laajennus suhteessa perustaan ​​, tässä tapauksessa . Mikä tahansa vektori on vapaa, joten voimme tarvittaessa helposti siirtää sitä jostain muusta tason pisteestä. Mielenkiintoista on, että vektoreille et voi rakentaa akseleita ollenkaan, suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, tarvitset vain perustan, tässä tapauksessa tason ortonormaalin kannan.

Piste- ja vektorikoordinaatit näyttävät olevan samanlaisia: , ja koordinaattien tunnetta ehdottomasti eri, ja sinun tulee olla tietoinen tästä erosta. Tämä ero pätee tietysti myös avaruuteen.

Hyvät naiset ja herrat, täytämme kätemme:

Esimerkki 2

a) Koska pistettä ja . Etsi vektorit ja .
b) Pisteitä annetaan ja . Etsi vektorit ja .
c) Koska pistettä ja . Etsi vektorit ja .
d) Pisteitä annetaan. Etsi vektoreita .

Ehkä tarpeeksi. Nämä ovat esimerkkejä itsenäisestä päätöksestä, yritä olla laiminlyömättä niitä, se kannattaa ;-). Piirustuksia ei vaadita. Ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Mikä on tärkeää analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemisessa? On tärkeää olla ERITTÄIN VAROVAINEN välttääksesi mestarillisen "kaksi plus kaksi on nolla" -virheen. Pyydän jo etukäteen anteeksi jos tein virheen =)

Kuinka löytää segmentin pituus?

Pituus, kuten jo todettiin, osoitetaan moduulimerkillä.

Jos on annettu kaksi tason pistettä ja, niin janan pituus voidaan laskea kaavalla

Jos kaksi pistettä avaruudessa ja annetaan, niin janan pituus voidaan laskea kaavalla

merkintä: Kaavat pysyvät oikeina, jos vastaavat koordinaatit vaihdetaan: ja , mutta ensimmäinen vaihtoehto on vakio

Esimerkki 3

Ratkaisu: vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Selvyyden vuoksi teen piirustuksen

Jana - se ei ole vektori, etkä tietenkään voi siirtää sitä minnekään. Lisäksi, jos täytät piirustuksen mittakaavassa: 1 yksikkö. \u003d 1 cm (kaksi tetradisolua), niin vastaus voidaan tarkistaa tavallisella viivaimella mittaamalla suoraan segmentin pituus.

Kyllä, ratkaisu on lyhyt, mutta siinä on pari tärkeää seikkaa, joita haluaisin selventää:

Ensin asetimme vastauksessa mittasuhteen: "yksiköt". Kunto ei kerro MITÄ se on, millimetrejä, senttejä, metrejä tai kilometrejä. Siksi yleinen muotoilu on matemaattisesti pätevä ratkaisu: "yksiköt" - lyhennetty "yksiköiksi".

Toiseksi, toistetaan koulumateriaalia, joka on hyödyllinen paitsi harkittuun ongelmaan:

kiinnitä huomiota tärkeä tekninen temppu – kertoimen ottaminen juuren alta. Laskelmien tuloksena saimme tuloksen ja hyvään matemaattiseen tyyliin kuuluu tekijän poistaminen juuren alta (jos mahdollista). Prosessi näyttää tarkemmin tältä: . Vastauksen jättäminen lomakkeeseen ei tietenkään ole virhe - mutta se on ehdottomasti virhe ja painava argumentti opettajan tyhmyydelle.

Tässä on muita yleisiä tapauksia:

Usein riittävän suuri määrä saadaan esimerkiksi juuren alle. Kuinka olla tällaisissa tapauksissa? Tarkistamme laskimella, onko luku jaollinen 4:llä. Kyllä, jakaa kokonaan, näin: . Tai ehkä luku voidaan jakaa uudelleen neljällä? . Tällä tavalla: . Numeron viimeinen numero on pariton, joten jakaminen 4:llä kolmatta kertaa ei selvästikään ole mahdollista. Yritetään jakaa yhdeksällä: . Tuloksena:
Valmis.

Johtopäätös: jos juuren alle saamme kokonaisluvun, jota ei voida erottaa, niin yritämme ottaa kertoimen juuren alta - tarkistamme laskimella, onko luku jaollinen: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , jne.

Usein erilaisten ongelmien ratkaisun yhteydessä löytyy juuria, yritä aina poimia tekijöitä juurien alta välttääksesi huonomman pistemäärän ja turhia ongelmia viimeistellä ratkaisusi opettajan huomautuksen mukaan.

Toistetaan juurien ja muiden voimien neliöinti samaan aikaan:

Säännöt toimenpiteille, joilla on tutkinto yleisessä muodossa, löytyvät algebran koulukirjasta, mutta mielestäni kaikki tai melkein kaikki on jo selvää annetuista esimerkeistä.

Tehtävä itsenäiselle ratkaisulle segmentillä avaruudessa:

Esimerkki 4

Annetut pisteet ja . Etsi segmentin pituus.

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kuinka löytää vektorin pituus?

Jos tasovektori on annettu, sen pituus lasketaan kaavalla.

Jos avaruusvektori on annettu, niin sen pituus lasketaan kaavalla .

Algebrallinen vektoriprojektio millä tahansa akselilla on yhtä suuri kuin vektorin pituuden ja akselin ja vektorin välisen kulman kosinin tulo:

Oikea a b = |b|cos(a,b) tai

Missä a b on vektorien skalaaritulo, |a| - vektorin a moduuli.

Ohje. Löytääksesi vektorin Пp a b projektion verkossa, sinun on määritettävä vektorien a ja b koordinaatit. Tässä tapauksessa vektori voidaan antaa tasossa (kaksi koordinaattia) ja avaruudessa (kolme koordinaattia). Tuloksena oleva ratkaisu tallennetaan Word-tiedostoon. Jos vektorit annetaan pisteiden koordinaattien kautta, sinun on käytettävä tätä laskinta.

Annettu:
kaksi vektorin koordinaattia
kolmen koordinaatin vektori
a: ; ;
b: ; ;

Vektoriprojektioluokitus

Projektiotyypit määritelmän mukaan vektoriprojektio

Projektiotyypit koordinaattijärjestelmän mukaan

Vektoriprojektion ominaisuudet

1. Vektorin geometrinen projektio on vektori (sillä on suunta).
2. Vektorin algebrallinen projektio on luku.

Vektoriprojektiolauseet

Lause 1. Vektorien summan projektio millä tahansa akselilla on yhtä suuri kuin vektoreiden termien projektio samalla akselilla.

Lause 2. Vektorin algebrallinen projektio mille tahansa akselille on yhtä suuri kuin vektorin pituuden ja akselin ja vektorin välisen kulman kosinin tulo:

Oikea a b = |b|cos(a,b)

Vektoriprojektioiden tyypit

1. projektio OX-akselille.
2. projektio OY-akselille.
3. projektio vektoriin.

Projektio OX-akselille	Projektio OY-akselille	Projektio vektoriin
Jos vektorin A'B' suunta osuu yhteen OX-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta osuu yhteen OY-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on sama kuin vektorin NM suunta, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.
Jos vektorin suunta on vastakkainen OX-akselin suuntaan, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on vastakkainen OY-akselin suuntaan, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on vastakkainen vektorin NM suuntaan nähden, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.
Jos vektori AB on yhdensuuntainen akselin OX kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen vektorin NM kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.
Jos vektori AB on kohtisuorassa akseliin OX nähden, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa OY-akselia vastaan, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa vektoriin NM nähden, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).

1. Kysymys: Voiko vektorin projektiolla olla negatiivinen etumerkki? Vastaus: Kyllä, vektoriprojektiot voivat olla negatiivisia. Tässä tapauksessa vektorilla on päinvastainen suunta (katso kuinka OX-akseli ja AB-vektori on suunnattu)
2. Kysymys: Voiko vektorin projektio osua yhteen vektorin moduulin kanssa? Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​(tai sijaitsevat samalla viivalla).
3. Kysymys: Voiko vektorin projektio olla yhtä suuri kuin nolla (nollavektori). Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektori on kohtisuorassa vastaavaan akseliin (vektoriin).

Esimerkki 1. Vektori (kuva 1) muodostaa 60 o kulman OX-akselin kanssa (sen antaa vektori a). Jos OE on skaalausyksikkö, niin |b|=4, joten .

Itse asiassa vektorin pituus (geometrinen projektio b) on yhtä suuri kuin 2 ja suunta on sama kuin OX-akselin suunta.

Esimerkki 2. Vektori (kuva 2) muodostaa kulman OX-akselin kanssa (vektorin a kanssa) (a,b) = 120 o . Pituus |b| vektori b on yhtä suuri kuin 4, joten pr a b=4 cos120 o = -2.

Itse asiassa vektorin pituus on 2 ja suunta on vastakkainen akselin suuntaan.

Ensimmäinen taso

Koordinaatit ja vektorit. Kattava opas (2019)

Tässä artikkelissa sinä ja minä aloitamme keskustelun yhdestä "taikasauvasta", jonka avulla voit vähentää monet geometrian ongelmat yksinkertaiseen aritmetiikkaan. Tämä "sauva" voi tehdä elämästäsi paljon helpompaa, varsinkin kun tunnet olosi epävarmaksi tilahahmojen, osien jne. rakentamisessa. Kaikki tämä vaatii tiettyä mielikuvitusta ja käytännön taitoja. Menetelmä, jota alamme pohtia täällä, antaa sinun ottaa lähes täydellisen abstraktin kaikenlaisista geometrisista rakenteista ja päättelyistä. Menetelmä on ns "koordinaattimenetelmä". Tässä artikkelissa tarkastelemme seuraavia kysymyksiä:

1. Koordinaattitaso
2. Pisteet ja vektorit tasossa
3. Vektorin rakentaminen kahdesta pisteestä
4. Vektorin pituus (kahden pisteen välinen etäisyys).
5. Keskipisteen koordinaatit
6. Vektorien pistetulo
7. Kahden vektorin välinen kulma

Luulen, että arvasit jo, miksi koordinaattimenetelmää kutsutaan sellaiseksi? On totta, että se sai sellaisen nimen, koska se ei toimi geometristen kohteiden kanssa, vaan niiden numeeristen ominaisuuksien (koordinaattien) kanssa. Ja itse muunnos, joka mahdollistaa siirtymisen geometriasta algebraan, koostuu koordinaattijärjestelmän käyttöönotosta. Jos alkuperäinen kuva oli tasainen, koordinaatit ovat kaksiulotteisia, ja jos kuvio on kolmiulotteinen, niin koordinaatit ovat kolmiulotteisia. Tässä artikkelissa tarkastelemme vain kaksiulotteista tapausta. Ja artikkelin päätarkoitus on opettaa sinulle, kuinka käyttää joitain koordinaattimenetelmän perustekniikoita (ne osoittautuvat joskus hyödyllisiksi ratkaistaessa planimetrian ongelmia yhtenäisen valtiontutkinnon osassa B). Seuraavat kaksi tätä aihetta käsittelevää osaa on omistettu ongelmien C2 (stereometrian ongelma) ratkaisumenetelmien käsittelyyn.

Mistä olisi loogista aloittaa keskustelu koordinaattimenetelmästä? Luultavasti koordinaattijärjestelmän käsitteellä. Muista, kun tapasit hänet ensimmäisen kerran. Minusta näyttää siltä, ​​että 7. luokalla, kun opit esimerkiksi lineaarifunktion olemassaolosta. Muistutan, että rakensit sen kohta kohdalta. Muistatko? Valitsit mielivaltaisen luvun, vaihdoit sen kaavaan ja laskit tällä tavalla. Esimerkiksi jos, sitten, jos, sitten jne. Mitä sait tuloksena? Ja sait pisteitä koordinaatteineen: ja. Seuraavaksi piirsit "ristin" (koordinaatisto), valitsit sille asteikon (kuinka monta solua sinulla on yhtenä segmenttinä) ja merkitsit siihen saamasi pisteet, jotka sitten yhdistit suoralla viivalla. viiva on funktion kaavio.

On muutamia asioita, jotka on selitettävä sinulle hieman yksityiskohtaisemmin:

1. Valitset yhden segmentin mukavuussyistä, jotta kaikki mahtuu kauniisti ja tiiviisti kuvaan

2. Oletetaan, että akseli kulkee vasemmalta oikealle ja akseli alhaalta ylös

3. Ne leikkaavat suorassa kulmassa, ja niiden leikkauspistettä kutsutaan origoksi. Se on merkitty kirjaimella.

4. Esimerkiksi pisteen koordinaatin tietueessa vasemmalla suluissa on pisteen koordinaatti akselin suuntaisesti ja oikealla akselin suuntaisesti. Erityisesti tarkoittaa yksinkertaisesti, että kohta

5. Jotta voit asettaa minkä tahansa pisteen koordinaattiakselilla, sinun on määritettävä sen koordinaatit (2 numeroa)

6. Jokaiselle akselilla olevalle pisteelle,

7. Jokaiselle akselilla olevalle pisteelle,

8. Akselia kutsutaan x-akseliksi

9. Akselia kutsutaan y-akseliksi

Otetaan nyt seuraava askel kanssasi: merkitse kaksi pistettä. Yhdistä nämä kaksi pistettä viivalla. Ja laitetaan nuoli ikään kuin piirtäisimme segmenttiä pisteestä pisteeseen: eli teemme segmentistämme suunnatun!

Muistatko, mikä on suunnatun segmentin nimi? Aivan oikein, sitä kutsutaan vektoriksi!

Jos siis yhdistämme pisteen pisteeseen, ja alku on piste A ja loppu on piste B, sitten saamme vektorin. Teit myös tämän rakentamisen 8. luokalla, muistatko?

Osoittautuu, että vektorit, kuten pisteet, voidaan merkitä kahdella numerolla: näitä numeroita kutsutaan vektorin koordinaateiksi. Kysymys: Riittääkö, että tiedämme vektorin alun ja lopun koordinaatit löytääksemme sen koordinaatit? Osoittautuu, että kyllä! Ja se on erittäin helppo tehdä:

Siten, koska vektorissa piste on alku ja loppu, vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Esimerkiksi jos, niin vektorin koordinaatit

Tehdään nyt päinvastoin, etsitään vektorin koordinaatit. Mitä meidän on muutettava tätä varten? Kyllä, sinun on vaihdettava alku ja loppu: nyt vektorin alku on pisteessä ja loppu pisteessä. Sitten:

Katso tarkkaan, mikä ero on vektorien ja? Niiden ainoa ero on koordinaattien merkit. Ne ovat vastakkaisia. Tämä tosiasia on kirjoitettu näin:

Joskus, jos ei ole erikseen määritelty, mikä piste on vektorin alku ja mikä on loppu, vektoreita ei merkitä kahdella isolla kirjaimella, vaan yhdellä pienellä kirjaimella, esimerkiksi: jne.

Nyt vähän harjoitella ja etsi seuraavien vektorien koordinaatit:

Tutkimus:

Ratkaise ongelma nyt hieman vaikeampi:

Vektoritoruksella, jossa on on-cha-romu pisteessä, on co-or-di-on-you. Etsi-di-te abs-cis-su -pisteet.

Kaikki sama on melko proosaa: Antaa olla pisteen koordinaatit. Sitten

Käänsin järjestelmän määrittämällä mitkä ovat vektorin koordinaatit. Sitten pisteellä on koordinaatit. Olemme kiinnostuneita abskissasta. Sitten

Vastaus:

Mitä muuta voit tehdä vektoreilla? Kyllä, melkein kaikki on sama kuin tavallisilla luvuilla (paitsi, että et voi jakaa, mutta voit kertoa kahdella tavalla, joista toista käsittelemme täällä hieman myöhemmin)

1. Vektorit voidaan pinota toisiinsa
2. Vektorit voidaan vähentää toisistaan
3. Vektorit voidaan kertoa (tai jakaa) mielivaltaisella nollasta poikkeavalla luvulla
4. Vektorit voidaan kertoa keskenään

Kaikilla näillä operaatioilla on melko visuaalinen geometrinen esitys. Esimerkiksi kolmion (tai suunnikkaan) sääntö yhteen- ja vähennyslaskulle:

Vektori venyy tai kutistuu tai muuttaa suuntaa, kun se kerrotaan tai jaetaan luvulla:

Tässä meitä kiinnostaa kuitenkin kysymys siitä, mitä koordinaateille tapahtuu.

1. Kun lisäämme (vähennetään) kahta vektoria, lisäämme (vähennämme) niiden koordinaatit elementti kerrallaan. Tuo on:

2. Kun kerrotaan (jaetaan) vektori luvulla, kaikki sen koordinaatit kerrotaan (jaetaan) tällä luvulla:

Esimerkiksi:

· Etsi-di-summa ko-or-di-nat vuosisadasta-ra.

Etsitään ensin kunkin vektorin koordinaatit. Molemmilla on sama alkuperä - lähtöpiste. Niiden päät ovat erilaisia. Sitten,. Nyt lasketaan vektorin koordinaatit Sitten tuloksena olevan vektorin koordinaattien summa on yhtä suuri.

Vastaus:

Ratkaise nyt itse seuraava ongelma:

· Etsi vektorin koordinaattien summa

Tarkistamme:

Tarkastellaan nyt seuraavaa ongelmaa: meillä on kaksi pistettä koordinaattitasolla. Kuinka löytää niiden välinen etäisyys? Olkoon ensimmäinen piste ja toinen. Merkitään niiden välinen etäisyys muodossa . Tehdään seuraava piirustus selvyyden vuoksi:

Mitä olen tehnyt? Ensin yhdistin pisteet ja piirsin pisteestä akselin suuntaisen suoran ja piirsin pisteestä akselin suuntaisen suoran. Leikkautuivatko ne jossain pisteessä muodostaen upean hahmon? Miksi hän on ihana? Kyllä, sinä ja minä tiedämme melkein kaiken suorakulmaisesta kolmiosta. No, Pythagoraan lause, ehdottomasti. Haluttu segmentti on tämän kolmion hypotenuusa, ja segmentit ovat jalkoja. Mitkä ovat pisteen koordinaatit? Kyllä, ne on helppo löytää kuvasta: Koska segmentit ovat samansuuntaiset akselien kanssa ja vastaavasti, niiden pituudet on helppo löytää: jos merkitsemme segmenttien pituuksia vastaavasti läpi, niin

Käytetään nyt Pythagoraan lausetta. Tiedämme jalkojen pituudet, löydämme hypotenuusan:

Siten kahden pisteen välinen etäisyys on koordinaattien neliöerojen juurisumma. Tai - kahden pisteen välinen etäisyys on niitä yhdistävän janan pituus. On helppo nähdä, että pisteiden välinen etäisyys ei riipu suunnasta. Sitten:

Tästä teemme kolme johtopäätöstä:

Harjoitellaan hieman kahden pisteen välisen etäisyyden laskemista:

Esimerkiksi jos, niin etäisyys välillä ja on

Tai mennään toisin: etsi vektorin koordinaatit

Ja etsi vektorin pituus:

Kuten näet, se on sama!

Harjoittele nyt vähän itse:

Tehtävä: Etsi annettujen pisteiden välinen etäisyys:

Tarkistamme:

Tässä on pari muuta ongelmaa samalle kaavalle, vaikka ne kuulostavat hieman erilaisilta:

1. Etsi-di-te silmäluomen-ra-pituuden neliö.

2. Nai-di-te neliö silmäluomen pituus-ra

Luulen, että voit käsitellä niitä helposti? Tarkistamme:

1. Ja tämä on tarkkaavaisuus) Olemme jo löytäneet vektorien koordinaatit aiemmin: . Sitten vektorilla on koordinaatit. Sen pituuden neliö on:

2. Etsi vektorin koordinaatit

Sitten sen pituuden neliö on

Ei mitään monimutkaista, eihän? Yksinkertaista aritmetiikkaa, ei mitään muuta.

Seuraavia pulmia ei voida yksiselitteisesti luokitella, ne ovat pikemminkin yleistä oppimista ja kykyä piirtää yksinkertaisia ​​kuvia.

1. Etsi ne kulman sinit klo-on-leikkauksesta, yhdistä yksi n:nnes piste abskissa-akseliin.

ja

Miten aiomme tehdä sen täällä? Sinun täytyy löytää sini kulman ja akselin välillä. Ja mistä voimme etsiä siniä? Aivan oikein, suorakulmaisessa kolmiossa. Mitä meidän pitää tehdä? Rakenna tämä kolmio!

Koska pisteen koordinaatit ja, niin jana on yhtä suuri, ja jana. Meidän on löydettävä kulman sini. Muistutan, että sini on sitten vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan

Mitä meillä on jäljellä? Etsi hypotenuusa. Voit tehdä sen kahdella tavalla: Pythagoraan lauseella (jalat tunnetaan!) tai kahden pisteen välisellä etäisyyskaavalla (itse asiassa sama kuin ensimmäinen menetelmä!). Menen toisella tavalla:

Vastaus:

Seuraava tehtävä näyttää sinulle vieläkin helpommalta. Hän - pisteen koordinaateissa.

Tehtävä 2. Tästä pisteestä per-pen-di-ku-lar lasketaan abs-ciss-akselille. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Tehdään piirustus:

Pystysuoran kanta on piste, jossa se leikkaa x-akselin (akselin) minulle tämä on piste. Kuvasta näkyy, että sillä on koordinaatit: . Olemme kiinnostuneita abskissasta - eli "X"-komponentista. Hän on tasa-arvoinen.

Vastaus: .

Tehtävä 3. Etsi edellisen tehtävän olosuhteissa etäisyyksien summa pisteestä koordinaattiakseleihin.

Tehtävä on yleensä alkeellinen, jos tiedät, mikä on pisteen etäisyys akseleihin. Sinä tiedät? Toivon, mutta silti muistutan:

Joten piirustuksessani, joka sijaitsee hieman korkeammalla, olen jo kuvannut yhden sellaisen kohtisuoran? Mikä akseli se on? akselille. Ja mikä sen pituus sitten on? Hän on tasa-arvoinen. Piirrä nyt itse kohtisuora akseliin nähden ja löydä sen pituus. Se tulee olemaan tasapuolinen, eikö? Silloin niiden summa on yhtä suuri.

Vastaus: .

Tehtävä 4. Etsi tehtävän 2 ehdoista pisteen ordinaatit, joka on symmetrinen x-akselin ympärillä olevaan pisteeseen.

Luulen, että ymmärrät intuitiivisesti mitä symmetria on? Hyvin monilla esineillä on se: monet rakennukset, pöydät, tasot, monet geometriset muodot: pallo, sylinteri, neliö, rombi jne. Karkeasti ottaen symmetria voidaan ymmärtää seuraavasti: hahmo koostuu kahdesta (tai useammasta) identtiset puolikkaat. Tätä symmetriaa kutsutaan aksiaaliseksi. Mikä sitten on akseli? Juuri tätä linjaa pitkin kuvio voidaan suhteellisesti "leikata" identtisiksi puoliksi (tässä kuvassa symmetria-akseli on suora):

Palataan nyt tehtäväämme. Tiedämme, että etsimme pistettä, joka on symmetrinen akselin suhteen. Silloin tämä akseli on symmetria-akseli. Joten meidän on merkittävä piste niin, että akseli leikkaa segmentin kahteen yhtä suureen osaan. Yritä merkitä tällainen kohta itse. Vertaa nyt ratkaisuani:

Teitkö samoin? Hyvä! Löydetyssä pisteessä olemme kiinnostuneita ordinaatista. Hän on tasa-arvoinen

Vastaus:

Kerro nyt hetken mietittyäni, mikä on pisteen A kanssa symmetrisen pisteen abskissa y-akselilla? Mikä on vastauksesi? Oikea vastaus: .

Yleisesti ottaen sääntö voidaan kirjoittaa näin:

Pisteellä, joka on symmetrinen x-akselin ympärillä olevaan pisteeseen, on koordinaatit:

Pisteellä, joka on symmetrinen y-akselin ympärillä olevaan pisteeseen, on koordinaatit:

No nyt on todella pelottavaa. tehtävä: etsi pisteen suhteen symmetrisen pisteen koordinaatit suhteessa origoon. Ajattele ensin itse ja katso sitten piirustustani!

Vastaus:

Nyt suunnikasongelma:

Tehtävä 5: Pisteet ovat ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Etsi-dee-te tai-dee-on-tu -pisteet.

Voit ratkaista tämän ongelman kahdella tavalla: logiikalla ja koordinaattimenetelmällä. Käytän ensin koordinaattimenetelmää ja sitten kerron, kuinka voit päättää toisin.

On aivan selvää, että pisteen abskissa on yhtä suuri. (se sijaitsee kohtisuorassa, joka on piirretty pisteestä x-akselille). Meidän on löydettävä ordinaatta. Hyödynnämme sitä tosiasiaa, että kuviomme on suunnikas, mikä tarkoittaa sitä. Etsi janan pituus kahden pisteen välisen etäisyyden kaavalla:

Laskemme kohtisuoran, joka yhdistää pisteen akseliin. Leikkauskohta on merkitty kirjaimella.

Jakson pituus on yhtä suuri. (etsi itse ongelma, jossa keskustelimme tästä hetkestä), niin löydämme segmentin pituuden Pythagoraan lauseen avulla:

Janan pituus on täsmälleen sama kuin sen ordinaatta.

Vastaus: .

Toinen ratkaisu (anna vain kuvan, joka havainnollistaa sitä)

Ratkaisun edistyminen:

1. Kuluta

2. Etsi pisteen koordinaatit ja pituus

3. Todista se.

Toinen leikkauspituuden ongelma:

Pisteet ovat-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Etsi hänen keskilinjansa pituus, par-ral-lel-noy.

Muistatko mikä on kolmion keskiviiva? Sitten tämä tehtävä on sinulle alkeellinen. Jos et muista, muistutan sinua: kolmion keskiviiva on viiva, joka yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet. Se on yhdensuuntainen pohjan kanssa ja yhtä suuri kuin puolet siitä.

Pohja on segmentti. Meidän piti etsiä sen pituus aiemmin, se on yhtä suuri. Silloin keskiviivan pituus on puolet yhtä pitkä ja yhtä suuri.

Vastaus: .

Kommentti: Tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla, jota käsittelemme hieman myöhemmin.

Sillä välin tässä sinulle muutamia tehtäviä, harjoittele niitä, ne ovat melko yksinkertaisia, mutta auttavat "saamaan kätesi" koordinaattimenetelmällä!

1. Pisteet näkyvät-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Etsi sen keskiviivan pituus.

2. Pisteet ja yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Etsi-dee-te tai-dee-on-tu -pisteet.

3. Etsi pituus leikkauksesta, yhdistä toinen piste ja

4. Etsi-di-te alue-the-red-shen-noy fi-gu-ry ko-or-di-nat-noy tasossa.

5. Ympyrä, jonka keskipiste on na-cha-le ko-or-di-nat, kulkee pisteen läpi. Etsi-de-te hänen ra-di-viikset.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, kuvaile-san-noy lähellä suorakulmaa-no-ka, jotain-ro-go:n tops-shi-ny on yhdessä tai - di-na-you co-from-reply-but

Ratkaisut:

1. Tiedetään, että puolisuunnikkaan keskiviiva on yhtä suuri kuin puolet sen kantojen summasta. Pohja on sama, mutta pohja. Sitten

Vastaus:

2. Helpoin tapa ratkaista tämä ongelma on huomata se (rinnakkaissääntö). Laske vektorien koordinaatit ja se ei ole vaikeaa: . Kun lisäät vektoreita, koordinaatit lisätään. Sitten on koordinaatit. Pisteellä on samat koordinaatit, koska vektorin alku on piste, jolla on koordinaatit. Olemme kiinnostuneita ordinaatista. Hän on tasa-arvoinen.

Vastaus:

3. Toimimme välittömästi kahden pisteen välisen etäisyyden kaavan mukaan:

Vastaus:

4. Katso kuvaa ja sano, minkä kahden hahmon väliin varjostettu alue on "puristettu"? Se on kahden neliön välissä. Sitten halutun hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala miinus pienen neliön pinta-ala. Pienen neliön sivu on pisteitä yhdistävä jana ja sen pituus on

Sitten pienen neliön pinta-ala on

Teemme samoin suuren neliön kanssa: sen sivu on pisteitä yhdistävä segmentti ja sen pituus on yhtä suuri kuin

Sitten suuren neliön pinta-ala on

Halutun kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Vastaus:

5. Jos ympyrän keskipiste on origo ja se kulkee pisteen läpi, niin sen säde on täsmälleen yhtä suuri kuin janan pituus (piirrä, niin ymmärrät miksi tämä on ilmeistä). Etsi tämän jakson pituus:

Vastaus:

6. Tiedetään, että suorakulmion ympärille piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet sen lävistäjästä. Etsitään minkä tahansa kahden diagonaalin pituus (ne ovat loppujen lopuksi suorakulmiossa yhtä suuret!)

Vastaus:

No, onnistuitko sinä kaiken? Ei se ollut niin vaikeaa selvittää se, eihän? Tässä on vain yksi sääntö - pystyä tekemään visuaalinen kuva ja yksinkertaisesti "lukea" kaikki tiedot siitä.

Meillä on hyvin vähän jäljellä. Haluaisin keskustella kirjaimellisesti vielä kahdesta asiasta.

Yritetään ratkaista tämä yksinkertainen ongelma. Anna kaksi pistettä ja annetaan. Etsi janan keskikohdan koordinaatit. Ratkaisu tähän ongelmaan on seuraava: olkoon piste haluttu keskipiste, niin sillä on koordinaatit:

Tuo on: janan keskikohdan koordinaatit = janan päiden vastaavien koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

Tämä sääntö on hyvin yksinkertainen, eikä se yleensä aiheuta vaikeuksia opiskelijoille. Katsotaan, missä ongelmissa ja miten sitä käytetään:

1. Etsi-di-te tai-di-na-tu se-re-di-us from-cut, yhdistä-nya-yu-th-piste ja

2. Pisteet ovat yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Etsi-di-te tai-di-na-tu pisteet re-re-se-che-niya hänen dia-go-on-lei.

3. Etsi-di-te abs-cis-su ympyrän keskipisteestä, kuvaile-san-noy lähellä suorakulmiota-no-ka, tops-shi-meillä on jotain-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Ratkaisut:

1. Ensimmäinen tehtävä on vain klassikko. Toimimme välittömästi määrittämällä janan keskipisteen. Hänellä on koordinaatit. Ordinaatta on yhtä suuri.

Vastaus:

2. On helppo nähdä, että annettu nelikulmio on suunnikas (jopa rombi!). Voit todistaa sen itse laskemalla sivujen pituudet ja vertaamalla niitä toisiinsa. Mitä tiedän suunnikkaasta? Sen diagonaalit jaetaan leikkauspisteen avulla! Ahaa! Joten mikä on diagonaalien leikkauspiste? Tämä on minkä tahansa diagonaalin keskikohta! Valitsen erityisesti diagonaalin. Silloin pisteellä on koordinaatit, pisteen ordinaatit ovat yhtä suuria kuin.

Vastaus:

3. Mikä on suorakulmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste? Se osuu yhteen sen diagonaalien leikkauspisteen kanssa. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista? Ne ovat yhtä suuret ja leikkauspiste jaetaan puoliksi. Tehtävä on supistettu edelliseen. Otetaan esimerkiksi diagonaali. Sitten jos on rajatun ympyrän keskipiste, niin on keskikohta. Etsin koordinaatteja: Abskissa on yhtä suuri.

Vastaus:

Harjoittele nyt vähän itse, annan vain vastaukset jokaiseen ongelmaan, jotta voit tarkistaa itsesi.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, kuvaile-san-noy lähellä kolmiota-no-ka, joku-ro-go:n yläosissa on ko-or-di -no herrat

2. Etsi-di-te or-di-na-tu ympyrän keskipiste, kuvaile san-noy lähellä kolmiota-no-ka, tops-shi-meillä on jotain-ro-go koordinaatit

3. Millainen ra-di-y-sa pitäisi olla ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä niin, että se koskettaa abs-ciss-akselia?

4. Etsi-di-te tai-di-on-piste, jossa akselin uudelleense-che-ing ja from-cut, connect-nya-yu-th-piste ja

Vastaukset:

Menikö kaikki? Toivon todella sitä! Nyt - viimeinen työntö. Ole nyt erityisen varovainen. Aineisto, jonka nyt selitän, ei liity ainoastaan ​​osan B koordinaattimenetelmän yksinkertaisiin ongelmiin, vaan sitä löytyy myös kaikkialta tehtävässä C2.

Mitä lupauksistani en ole vielä pitänyt? Muistatko, mitä vektoreita koskevia operaatioita lupasin ottaa käyttöön ja mitkä lopulta otin käyttöön? Olenko varma, etten ole unohtanut mitään? Unohdin! Unohdin selittää mitä vektorien kertominen tarkoittaa.

On kaksi tapaa kertoa vektori vektorilla. Valitusta menetelmästä riippuen saamme erilaisia ​​esineitä:

Vektorituote on melko hankala. Kuinka se tehdään ja miksi sitä tarvitaan, keskustelemme kanssasi seuraavassa artikkelissa. Ja tässä keskitymme skalaaritulokseen.

On jo kaksi tapaa laskea se:

Kuten arvasit, tuloksen pitäisi olla sama! Katsotaanpa siis ensin ensimmäistä tapaa:

Pistetuote koordinaattien kautta

Etsi: - yhteinen merkintä pistetuotteelle

Laskentakaava on seuraava:

Eli pistetulo = vektorien koordinaattien tulojen summa!

Esimerkki:

Etsi-dee-te

Ratkaisu:

Etsi kunkin vektorin koordinaatit:

Laskemme skalaaritulon kaavalla:

Vastaus:

Katsos, ei mitään monimutkaista!

No, kokeile nyt itse:

Find-di-te skalaari-noe pro-ve-de-nie vuosisadasta ojaan ja

Onnistuitko? Ehkä hän huomasi pienen tempun? Tarkistetaan:

Vektorikoordinaatit, kuten edellisessä tehtävässä! Vastaus:.

Koordinaatin lisäksi on toinen tapa laskea skalaaritulo, nimittäin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin kautta:

Tarkoittaa vektorien ja välistä kulmaa.

Toisin sanoen skalaaritulo on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo.

Miksi tarvitsemme tätä toista kaavaa, jos meillä on ensimmäinen, joka on paljon yksinkertaisempi, siinä ei ainakaan ole kosineja. Ja tarvitsemme sitä, jotta voimme päätellä ensimmäisestä ja toisesta kaavasta kuinka löytää vektorien välinen kulma!

Muistakaa sitten vektorin pituuden kaava!

Sitten jos liitän nämä tiedot pistetuotekaavaan, saan:

Mutta toisella puolella:

Joten mitä meillä on? Meillä on nyt kaava kahden vektorin välisen kulman laskemiseksi! Joskus lyhyyden vuoksi se kirjoitetaan myös näin:

Eli vektorien välisen kulman laskemisen algoritmi on seuraava:

1. Laskemme skalaaritulon koordinaattien avulla
2. Etsi vektorien pituudet ja kerro ne
3. Jaa pisteen 1 tulos pisteen 2 tuloksella

Harjoitellaan esimerkkien avulla:

1. Etsi kulma silmäluomien ja ra-mi:n välillä. Kerro vastauksesi asteina.

2. Etsi vektorien välinen kosini edellisen tehtävän olosuhteissa

Tehdään näin: Autan sinua ratkaisemaan ensimmäisen ongelman ja yritän tehdä toisen itse! Olen samaa mieltä? Aloitetaan sitten!

1. Nämä vektorit ovat vanhoja ystäviämme. Olemme jo harkinneet heidän skalaarituloaan ja se oli yhtä suuri. Niiden koordinaatit ovat: , . Sitten löydämme niiden pituudet:

Sitten etsimme kosinia vektorien välillä:

Mikä on kulman kosini? Tämä on kulma.

Vastaus:

No, ratkaise nyt toinen ongelma itse ja vertaa sitten! Annan vain hyvin lyhyen ratkaisun:

2. on koordinaatit, on koordinaatit.

Antaa olla vektorien välinen kulma ja sitten

Vastaus:

On huomioitava, että koepaperin B-osan vektoreille suoraan tehtävät tehtävät ja koordinaattimenetelmä ovat melko harvinaisia. Suurin osa C2-ongelmista voidaan kuitenkin helposti ratkaista ottamalla käyttöön koordinaattijärjestelmä. Joten voit pitää tätä artikkelia perustana, jonka perusteella teemme melko hankalia rakenteita, joita tarvitsemme monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

KOORDINAATIT JA VEKTORIT. KESKITASO

Sinä ja minä jatkamme koordinaattien menetelmän tutkimista. Viimeisessä osassa johdimme joukon tärkeitä kaavoja, jotka mahdollistavat:

1. Etsi vektorin koordinaatit
2. Etsi vektorin pituus (vaihtoehtoisesti: kahden pisteen välinen etäisyys)
3. Lisää, vähennä vektoreita. Kerro ne reaaliluvulla
4. Etsi janan keskipiste
5. Laske vektorien pistetulo
6. Etsi vektorien välinen kulma

Tietenkään koko koordinaattimenetelmä ei mahdu näihin kuuteen pisteeseen. Sen taustalla on sellainen tiede kuin analyyttinen geometria, johon tutustut yliopistossa. Haluan vain rakentaa perustan, jonka avulla voit ratkaista ongelmat yhdessä tilassa. koe. Selvitimme B-osan tehtävät vuonna Nyt on aika siirtyä laadullisesti uudelle tasolle! Tämä artikkeli on omistettu menetelmälle niiden C2-ongelmien ratkaisemiseksi, joissa olisi järkevää vaihtaa koordinaattimenetelmään. Tämä kohtuullisuus määräytyy sen mukaan, mitä ongelmasta on löydettävä ja mikä luku annetaan. Joten käyttäisin koordinaattimenetelmää, jos kysymykset ovat:

1. Etsi kahden tason välinen kulma
2. Etsi suoran ja tason välinen kulma
3. Etsi kahden viivan välinen kulma
4. Etsi etäisyys pisteestä tasoon
5. Etsi etäisyys pisteestä suoraan
6. Etsi etäisyys suorasta tasosta
7. Etsi kahden viivan välinen etäisyys

Jos ongelman tilassa annettu luku on kierroskappale (pallo, sylinteri, kartio...)

Sopivia lukuja koordinaattimenetelmälle ovat:

1. kuutiomainen
2. Pyramidi (kolmio, nelikulmainen, kuusikulmainen)

Myös minun kokemukseni mukaan ei ole tarkoituksenmukaista käyttää koordinaattimenetelmää:

1. Osion alueiden etsiminen
2. Kappaleiden tilavuuksien laskelmat

On kuitenkin heti huomattava, että kolme koordinaattimenetelmän "epäsuotuisaa" tilannetta ovat käytännössä melko harvinaisia. Useimmissa tehtävissä siitä voi tulla pelastajasi, varsinkin jos et ole kovin vahva kolmiulotteisissa rakenteissa (jotka ovat joskus melko monimutkaisia).

Mitkä ovat kaikki edellä luettelemani luvut? Ne eivät ole enää litteitä, kuten neliö, kolmio, ympyrä, vaan tilavia! Näin ollen meidän ei tarvitse harkita kaksiulotteista, vaan kolmiulotteista koordinaattijärjestelmää. Se rakennetaan melko helposti: abskissan ja ordinaattien lisäksi esittelemme toisen akselin, aplikaatioakselin. Kuvassa on kaavamaisesti esitetty niiden suhteellinen sijainti:

Kaikki ne ovat keskenään kohtisuorassa, leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsumme origoksi. Abskissa-akselia, kuten edellä, merkitään, ordinaatta-akselia - ja lisättyä aplikaatioakselia -.

Jos aikaisemmin jokaiselle tason pisteelle oli tunnusomaista kaksi numeroa - abskissa ja ordinaatta, niin jokainen avaruuden piste on jo kuvattu kolmella numerolla - abskissa, ordinaatta, aplikaatti. Esimerkiksi:

Vastaavasti pisteen abskissa on yhtä suuri, ordinaatta on , ja soveltaa on .

Joskus pisteen abskissaa kutsutaan myös pisteen projektioksi abskissa-akselille, ordinaatta on pisteen projektio ordinaatta-akselille ja applikaatti on pisteen projektio aplikaatioakselille. Vastaavasti, jos piste on annettu, piste koordinaatteineen:

kutsutaan pisteen projektioksi tasolle

kutsutaan pisteen projektioksi tasolle

Herää luonnollinen kysymys: ovatko kaikki kaksiulotteiselle tapaukselle johdetut kaavat päteviä avaruudessa? Vastaus on kyllä, ne ovat oikeudenmukaisia ​​ja niillä on sama ulkonäkö. Pienen yksityiskohdan vuoksi. Luulen, että arvasit jo kumpi. Kaikkiin kaavoihin meidän on lisättävä vielä yksi termi, joka vastaa sovellusakselista. Nimittäin.

1. Jos kaksi pistettä annetaan: , niin:

• Vektorikoordinaatit:
• Kahden pisteen välinen etäisyys (tai vektorin pituus)
• Jakson keskellä on koordinaatit

2. Jos annetaan kaksi vektoria: ja, niin:

• Heidän pistetuotteensa on:
• Vektorien välisen kulman kosini on:

Avaruus ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. Kuten ymmärrät, yhden koordinaatin lisääminen tuo merkittävän vaihtelun tässä tilassa "elävien" hahmojen spektriin. Ja lisäkerrontaa varten minun on esitettävä karkeasti sanottuna suoran linjan "yleistys". Tämä "yleistys" on kone. Mitä tiedät lentokoneesta? Yritä vastata kysymykseen, mikä on lentokone? Sitä on erittäin vaikea sanoa. Kuitenkin me kaikki kuvittelemme intuitiivisesti, miltä se näyttää:

Karkeasti sanottuna tämä on eräänlainen loputon "lehti", joka työnnetään avaruuteen. "Infinity" tulee ymmärtää, että taso ulottuu kaikkiin suuntiin, eli sen pinta-ala on yhtä suuri kuin ääretön. Tämä "sormilla" oleva selitys ei kuitenkaan anna pienintäkään käsitystä koneen rakenteesta. Ja olemme kiinnostuneita siitä.

Muistakaamme yksi geometrian perusaksioomista:

• Suora kulkee kahden eri pisteen läpi tasossa, lisäksi vain yhden:

Tai sen analogia avaruudessa:

Tietenkin muistat kuinka johtaa suoran yhtälö kahdesta annetusta pisteestä, tämä ei ole ollenkaan vaikeaa: jos ensimmäisellä pisteellä on koordinaatit: ja toisella, niin suoran yhtälö on seuraava:

Kävit tämän läpi 7. luokalla. Avaruudessa suoran yhtälö näyttää tältä: olkaamme kaksi pistettä, joiden koordinaatit: , niin niiden läpi kulkevan suoran yhtälö on muotoa:

Esimerkiksi suora kulkee pisteiden läpi:

Miten tämä pitäisi ymmärtää? Tämä tulee ymmärtää seuraavasti: piste sijaitsee suoralla, jos sen koordinaatit täyttävät seuraavan järjestelmän:

Emme ole kovin kiinnostuneita suoran yhtälöstä, mutta meidän on kiinnitettävä huomiota erittäin tärkeään suoran suuntausvektorin käsitteeseen. - mikä tahansa nollasta poikkeava vektori, joka sijaitsee annetulla suoralla tai sen suuntaisesti.

Esimerkiksi molemmat vektorit ovat suoran suuntavektoreita. Antaa olla suoralla viivalla oleva piste ja olla sen suuntaava vektori. Sitten suoran yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

Jälleen kerran, en ole kovin kiinnostunut suoran yhtälöstä, mutta sinun on todella muistettava mikä suuntavektori on! Uudelleen: se on MIKKI nollasta poikkeava vektori, joka sijaitsee suoralla tai sen suuntainen.

Peruuttaa tason kolmen pisteen yhtälö ei ole enää niin triviaali, eikä sitä yleensä käsitellä lukion kurssilla. Mutta turhaan! Tämä tekniikka on elintärkeä, kun turvaudumme koordinaattimenetelmään monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Oletan kuitenkin, että olet täynnä halua oppia jotain uutta? Lisäksi voit tehdä vaikutuksen opettajaasi yliopistossa, kun käy ilmi, että osaat jo käyttää tekniikkaa, jota yleensä opiskellaan analyyttisen geometrian aikana. Joten aloitetaan.

Tason yhtälö ei eroa liikaa tason suoran yhtälöstä, nimittäin sillä on muoto:

joitain lukuja (eivät kaikki ole nollaa), mutta muuttujia, esimerkiksi: jne. Kuten näet, tason yhtälö ei ole kovin erilainen kuin suoran yhtälö (lineaarinen funktio). Muistatko kuitenkin, mitä väittelimme kanssasi? Sanoimme, että jos meillä on kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, tason yhtälö palautetaan niistä yksiselitteisesti. Mutta miten? Yritän selittää sinulle.

Koska tasoyhtälö on:

Ja pisteet kuuluvat tähän tasoon, niin kun korvaamme kunkin pisteen koordinaatit tason yhtälöön, meidän pitäisi saada oikea identiteetti:

Siten on tarpeen ratkaista kolme yhtälöä jo tuntemattomilla! Dilemma! Voimme kuitenkin aina olettaa, että (tätä varten meidän on jaettava millä). Siten saamme kolme yhtälöä, joissa on kolme tuntematonta:

Emme kuitenkaan ratkaise tällaista järjestelmää, vaan kirjoitamme siitä johtuvan salaperäisen lausekkeen:

Kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälö

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Lopettaa! Mitä muuta tämä on? Todella epätavallinen moduuli! Edessäsi olevalla esineellä ei kuitenkaan ole mitään tekemistä moduulin kanssa. Tätä objektia kutsutaan kolmannen asteen determinantiksi. Tästä lähtien, kun käsittelet koordinaattien menetelmää lentokoneessa, törmäät usein juuri näihin määrittäjiin. Mikä on kolmannen asteen determinantti? Kummallista kyllä, se on vain numero. On vielä ymmärrettävä, mitä tiettyä numeroa vertaamme determinanttiin.

Kirjoitetaan ensin kolmannen asteen determinantti yleisemmässä muodossa:

Missä on joitain numeroita. Lisäksi ensimmäisellä indeksillä tarkoitamme rivin numeroa ja indeksillä - sarakkeen numeroa. Se tarkoittaa esimerkiksi, että annettu numero on toisen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa. Esitetään seuraava kysymys: kuinka tarkalleen aiomme laskea tällaisen determinantin? Eli mihin tiettyyn numeroon vertaamme sitä? Täsmälleen kolmannen asteen determinantille on olemassa heuristinen (visuaalinen) kolmisääntö, joka näyttää tältä:

1. Päälävistäjän elementtien tulo (ylhäältä vasemmalta alas oikealle) niiden elementtien tulo, jotka muodostavat ensimmäisen kolmion "kohtaan" päälävistäjään nähden niiden elementtien tulo, jotka muodostavat toisen kolmion "suoraan" päädiagonaaliin nähden diagonaalinen
2. Toissijaisen lävistäjän elementtien tulo (oikeasta yläkulmasta vasempaan alareunaan) ensimmäisen kolmion muodostavien elementtien tulo "kohtisuoraan" toissijaiseen lävistäjään nähden toisen kolmion "pystysuorassa" muodostavien elementtien tulo. toissijaiseen diagonaaliin
3. Sitten determinantti on yhtä suuri kuin vaiheessa ja saatujen arvojen välinen ero

Jos kirjoitamme tämän kaiken numeroina, saamme seuraavan lausekkeen:

Laskentamenetelmää ei kuitenkaan tarvitse opetella ulkoa tässä muodossa, riittää, että pidät kolmiot päässäsi ja ajatuksen siitä, mitä lisätään mihin ja mikä sitten vähennetään mistä).

Havainnollistetaan kolmiomenetelmää esimerkillä:

1. Laske determinantti:

Selvitetään, mitä lisäämme ja mitä vähennämme:

Termit, joissa on "pluss":

Tämä on päädiagonaali: elementtien tulo on

Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden: elementtien tulo on

Toinen kolmio, " kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden: elementtien tulo on

Lisäämme kolme numeroa:

Termit, joissa on "miinus"

Tämä on sivudiagonaali: elementtien tulo on

Ensimmäinen kolmio, "suoraan toissijaiseen lävistäjään nähden: elementtien tulo on

Toinen kolmio, "suoraan toissijaiseen lävistäjään nähden: elementtien tulo on

Lisäämme kolme numeroa:

Ainoa mitä on tehtävä, on vähentää plusehtojen summasta miinusehtojen summa:

Tällä tavalla,

Kuten näette, kolmannen asteen determinanttien laskennassa ei ole mitään monimutkaista ja yliluonnollista. On yksinkertaisesti tärkeää muistaa kolmiot ja olla tekemättä aritmeettisia virheitä. Yritä nyt laskea itse:

Tarkistamme:

1. Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden:
2. Toinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden:
3. Plus-ehtojen summa:
4. Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa sivudiagonaaliin nähden:
5. Toinen kolmio, joka on kohtisuorassa sivudiagonaaliin nähden:
6. Ehtojen summa miinuksella:
7. Plus-ehtojen summa miinus miinusehtojen summa:

Tässä on sinulle pari muuta määräävää tekijää, laske niiden arvot itse ja vertaa vastauksia:

Vastaukset:

No, sopiiko kaikki yhteen? Hienoa, sitten voit jatkaa! Jos on vaikeuksia, neuvoni on tämä: Internetissä on joukko ohjelmia determinantin laskemiseksi verkossa. Sinun tarvitsee vain keksiä oma determinanttisi, laskea se itse ja verrata sitä sitten ohjelman laskemiin. Ja niin edelleen, kunnes tulokset alkavat täsmää. Olen varma, että tämä hetki ei kestä kauan!

Palataan nyt determinanttiin, jonka kirjoitin, kun puhuin kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälöstä:

Sinun tarvitsee vain laskea sen arvo suoraan (käyttäen kolmiomenetelmää) ja asettaa tulokseksi nolla. Luonnollisesti, koska ne ovat muuttujia, saat jonkin niistä riippuvan lausekkeen. Juuri tämä lauseke on yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla!

Havainnollistetaan tätä yksinkertaisella esimerkillä:

1. Muodosta pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

Laadimme determinantin näille kolmelle pisteelle:

Yksinkertaistaminen:

Nyt laskemme sen suoraan kolmioiden säännön mukaan:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ oikea| = \vasen((x + 3) \oikea) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Siten pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö on:

Yritä nyt ratkaista yksi ongelma itse, ja sitten keskustelemme siitä:

2. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

No, keskustellaan nyt ratkaisusta:

Teemme määräävän tekijän:

Ja laske sen arvo:

Sitten tason yhtälöllä on muoto:

Tai vähentämällä saamme:

Nyt kaksi itsehillintätehtävää:

1. Muodosta kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Vastaukset:

Sopisiko kaikki? Jälleen, jos on tiettyjä vaikeuksia, neuvoni on tämä: otat kolme pistettä päästäsi (suurella todennäköisyydellä ne eivät makaa yhdellä suoralla), rakenna niille taso. Ja sitten tarkista itsesi verkossa. Esimerkiksi sivustolla:

Mutta determinanttien avulla rakennamme paitsi tason yhtälön. Muista, että sanoin, että vektoreille ei ole määritelty vain pistetuloa. On myös vektori sekä sekatuote. Ja jos kahden vektorin skalaaritulo on luku, niin kahden vektorin vektoritulo on vektori, ja tämä vektori on kohtisuorassa annettuihin nähden:

Lisäksi sen moduuli on yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala ja. Tarvitsemme tätä vektoria laskeaksemme etäisyyden pisteestä suoraan. Kuinka voimme laskea vektorien ristitulon ja jos niiden koordinaatit on annettu? Kolmannen järjestyksen määrääjä tulee jälleen avuksemme. Ennen kuin siirryn ristitulon laskenta-algoritmiin, minun on kuitenkin tehtävä pieni lyyrinen poikkeama.

Tämä poikkeama koskee kantavektoreita.

Kaavamaisesti ne on esitetty kuvassa:

Miksi luulet, että niitä kutsutaan perusiksi? Tosiasia on, että :

Tai kuvassa:

Tämän kaavan pätevyys on ilmeinen, koska:

vektorituote

Nyt voin aloittaa cross-tuotteen esittelyn:

Kahden vektorin vektoritulo on vektori, joka lasketaan seuraavan säännön mukaan:

Annetaan nyt esimerkkejä ristitulon laskemisesta:

Esimerkki 1: Etsi vektorien ristitulo:

Ratkaisu: Teen determinantin:

Ja lasken sen:

Nyt, kirjoittaessani kantavektoreiden kautta, palaan tavalliseen vektorimerkintään:

Tällä tavalla:

Yritä nyt.

Valmis? Tarkistamme:

Ja perinteisesti kaksi valvottavat tehtävät:

1. Etsi seuraavien vektorien ristitulo:
2. Etsi seuraavien vektorien ristitulo:

Vastaukset:

Kolmen vektorin sekatulo

Viimeinen tarvitsemani konstruktio on kolmen vektorin sekatulo. Se, kuten skalaari, on luku. On kaksi tapaa laskea se. - determinantin kautta - sekatuotteen kautta.

Nimittäin, sanotaan, että meillä on kolme vektoria:

Sitten kolmen vektorin sekatulo, jota merkitään, voidaan laskea seuraavasti:

1. - eli sekatulo on vektorin skalaaritulo ja kahden muun vektorin vektoritulo

Esimerkiksi kolmen vektorin sekatulo on:

Yritä laskea se itse käyttämällä vektorituloa ja varmista, että tulokset täsmäävät!

Ja taas - kaksi esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:

Vastaukset:

Koordinaattijärjestelmän valinta

No, nyt meillä on kaikki tarvittava tiedon perusta monimutkaisten geometrian stereometristen ongelmien ratkaisemiseen. Ennen kuin siirryn suoraan esimerkkeihin ja algoritmeihin niiden ratkaisemiseksi, uskon kuitenkin, että on hyödyllistä pohtia seuraavaa kysymystä: kuinka tarkalleen valitse koordinaattijärjestelmä tietylle kuviolle. Loppujen lopuksi koordinaattijärjestelmän ja avaruuden hahmon suhteellisen sijainnin valinta ratkaisee sen, kuinka hankalia laskelmat tulevat olemaan.

Muistutan, että tässä osiossa tarkastelemme seuraavia muotoja:

1. kuutiomainen
2. Suora prisma (kolmio, kuusikulmainen…)
3. Pyramidi (kolmio, nelikulmainen)
4. Tetraedri (sama kuin kolmiopyramidi)

Kuutiolle tai kuutiolle suosittelen seuraavaa rakennetta:

Eli asetan hahmon "nurkkaan". Kuutio ja laatikko ovat erittäin hyviä hahmoja. Heille voit aina helposti löytää sen kärkien koordinaatit. Esimerkiksi jos (kuten kuvassa)

sitten kärkikoordinaatit ovat:

Sinun ei tietenkään tarvitse muistaa tätä, mutta on toivottavaa muistaa, kuinka kuutio tai suorakaiteen muotoinen laatikko on parasta sijoittaa.

suora prisma

Prisma on haitallisempi hahmo. Voit järjestää sen tilaan eri tavoin. Mielestäni seuraava on kuitenkin paras vaihtoehto:

Kolmisivuinen prisma:

Eli asetamme kolmion yhden sivun kokonaan akselille ja yksi kärjeistä osuu origon kanssa.

Kuusikulmainen prisma:

Toisin sanoen yksi pisteistä osuu origon kanssa ja yksi sivuista on akselilla.

Nelikulmainen ja kuusikulmainen pyramidi:

Kuution kaltainen tilanne: yhdistämme pohjan kaksi sivua koordinaattiakseleiden kanssa, yhdistämme yhden kärkeistä origon kanssa. Ainoa pieni vaikeus on pisteen koordinaattien laskeminen.

Kuusikulmaiselle pyramidille - sama kuin kuusikulmainen prisma. Päätehtävänä on jälleen löytää kärjen koordinaatit.

Tetraedri (kolmiopyramidi)

Tilanne on hyvin samanlainen kuin sen, jonka annoin kolmioprisalle: yksi kärki osuu origon kanssa, toinen sivu on koordinaattiakselilla.

No, nyt sinä ja minä olemme vihdoin lähellä ongelmien ratkaisemista. Siitä, mitä sanoin aivan artikkelin alussa, voit tehdä seuraavan johtopäätöksen: useimmat C2-ongelmat jakautuvat kahteen luokkaan: kulmaongelmat ja etäisyysongelmat. Ensin tarkastellaan kulman löytämiseen liittyviä ongelmia. Ne puolestaan ​​​​jaetaan seuraaviin luokkiin (monimutkaisuuden kasvaessa):

Ongelmia kulmien löytämisessä

1. Kahden suoran välisen kulman löytäminen
2. Kahden tason välisen kulman löytäminen

Tarkastellaan näitä ongelmia peräkkäin: aloitetaan etsimällä kahden suoran välinen kulma. Muistatko, olemmeko sinä ja minä ratkaisseet samanlaisia ​​esimerkkejä aiemmin? Muistatko, koska meillä oli jo jotain samanlaista... Etsimme kulmaa kahden vektorin välillä. Muistutan teitä, jos annetaan kaksi vektoria: ja, niin niiden välinen kulma saadaan suhteesta:

Nyt meillä on tavoite - löytää kahden suoran välinen kulma. Siirrytään "tasaiseen kuvaan":

Kuinka monta kulmaa saamme, kun kaksi suoraa leikkaavat? Jo asioita. Totta, vain kaksi niistä ei ole samanarvoisia, kun taas toiset ovat pystysuorassa suhteessa niihin (ja siksi yhtenevät niiden kanssa). Joten mikä kulma meidän tulisi harkita kahden suoran välistä kulmaa: vai? Tässä sääntö on: kahden suoran välinen kulma ei ole koskaan suurempi kuin astetta. Toisin sanoen kahdesta kulmasta valitsemme aina kulman, jolla on pienin astemitta. Eli tässä kuvassa kahden viivan välinen kulma on yhtä suuri. Jotta ei tarvitsisi etsiä joka kerta pienintä kahdesta kulmasta, ovelat matemaatikot ehdottivat moduulin käyttöä. Siten kahden suoran välinen kulma määritetään kaavalla:

Sinulla, tarkkaavaisena lukijana, olisi pitänyt kysyä: mistä itse asiassa saamme nämä samat luvut, joita tarvitsemme kulman kosinin laskemiseen? Vastaus: otamme ne viivojen suuntavektoreista! Siten algoritmi kahden viivan välisen kulman löytämiseksi on seuraava:

1. Käytämme kaavaa 1.

Tai tarkemmin:

1. Etsimme ensimmäisen suoran suuntavektorin koordinaatteja
2. Etsimme toisen rivin suuntavektorin koordinaatteja
3. Laske heidän skalaaritulonsa moduuli
4. Etsimme ensimmäisen vektorin pituutta
5. Etsimme toisen vektorin pituutta
6. Kerro pisteen 4 tulokset pisteen 5 tuloksilla
7. Jaamme pisteen 3 tuloksen pisteen 6 tuloksella. Saamme viivojen välisen kulman kosinin
8. Jos tämä tulos antaa meille mahdollisuuden laskea kulman tarkasti, etsimme sitä
9. Muussa tapauksessa kirjoitamme arkosiinin kautta

No, nyt on aika siirtyä tehtäviin: esitän kahden ensimmäisen ratkaisun yksityiskohtaisesti, esitän lyhyesti toisen ratkaisun ja annan vastaukset vain kahteen viimeiseen tehtävään, sinun tulee tee kaikki laskelmat heille itse.

Tehtävät:

1. Etsi oikeasta tet-ra-ed-re-kohdasta kulma you-so-that tet-ra-ed-ra ja me-di-a-noy bo-ko-how -puolen välinen kulma.

2. Oikeanpuoleisessa six-coal-pi-ra-mi-dessa sata-ro-na-os-no-va-niya ovat jotenkin yhtä suuret ja sivurivat ovat yhtä suuret, etsi suoran välinen kulma linjat ja.

3. Oikeakätisen four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy:n kaikkien reunojen pituudet ovat yhtä suuret. Etsi suorien viivojen välinen kulma ja jos from-re-zok - you-so-et annettu pi-ra-mi-dy, piste on se-re-di-on hänen bo-ko- th rib

4. Kuution reunalla minulta-che-pisteeseen niin, että Find-di-te suorien viivojen ja

5. Piste - se-re-di-kuution reunoilla Nai-di-te suorien viivojen välinen kulma ja.

Ei ole sattumaa, että laitoin tehtävät tähän järjestykseen. Vaikka et ole vielä ehtinyt alkaa navigoida koordinaattimenetelmässä, analysoin itse "ongelmallisimmat" luvut ja jätän sinut käsittelemään yksinkertaisinta kuutiota! Vähitellen sinun on opittava työskentelemään kaikkien hahmojen kanssa, lisään tehtävien monimutkaisuutta aiheesta toiseen.

Aloitetaan ongelmien ratkaiseminen:

1. Piirrä tetraedri, aseta se koordinaattijärjestelmään kuten aiemmin ehdotin. Koska tetraedri on säännöllinen, kaikki sen pinnat (mukaan lukien kanta) ovat säännöllisiä kolmioita. Koska meille ei ole annettu sivun pituutta, voin pitää sen yhtä suurena. Luulen, että ymmärrät, että kulma ei todellakaan riipu siitä, kuinka paljon tetraedrimme "venytetään"?. Piirrän myös korkeuden ja mediaanin tetraedriin. Matkan varrella piirrän sen pohjan (se on myös hyödyllinen meille).

Minun täytyy löytää kulma ja välillä. Mitä me tiedämme? Tiedämme vain pisteen koordinaatit. Joten meidän on löydettävä lisää pisteiden koordinaatteja. Nyt ajattelemme: piste on kolmion korkeuksien (tai puolittajien tai mediaanien) leikkauspiste. Piste on korotettu piste. Piste on janan keskipiste. Lopuksi meidän on löydettävä: pisteiden koordinaatit: .

Aloitetaan yksinkertaisimmasta: pisteen koordinaateista. Katso kuvaa: On selvää, että pisteen applikaatio on yhtä suuri kuin nolla (piste sijaitsee tasossa). Sen ordinaatti on yhtä suuri (koska se on mediaani). Sen abskissa on vaikeampi löytää. Tämä on kuitenkin helppo tehdä Pythagoraan lauseen perusteella: Tarkastellaan kolmiota. Sen hypotenuusa on yhtä suuri ja yksi jaloista on yhtä suuri.

Lopulta meillä on:

Etsitään nyt pisteen koordinaatit. On selvää, että sen aplikaatti on jälleen yhtä suuri kuin nolla ja sen ordinaatta on sama kuin pisteen, toisin sanoen. Etsitään sen abskissa. Tämä tehdään melko triviaalisti, jos sen muistaa tasasivuisen kolmion korkeudet jaetaan suhteessa leikkauspisteeseen ylhäältä laskettuna. Koska:, niin pisteen haluttu abskissa, joka on yhtä suuri kuin janan pituus, on yhtä suuri:. Siten pisteen koordinaatit ovat:

Etsitään pisteen koordinaatit. On selvää, että sen abskissa ja ordinaatit ovat samat kuin pisteen abskissa ja ordinaatta. Ja applikaatio on yhtä suuri kuin segmentin pituus. - tämä on yksi kolmion jaloista. Kolmion hypotenuusa on segmentti - jalka. Sitä etsitään syistä, jotka korostin lihavoidulla:

Piste on janan keskipiste. Sitten meidän on muistettava segmentin keskikohdan koordinaattien kaava:

Siinä kaikki, nyt voimme etsiä suuntavektorien koordinaatit:

No, kaikki on valmis: korvaamme kaikki tiedot kaavaan:

Tällä tavalla,

Vastaus:

Sinun ei pitäisi pelätä tällaisia ​​"kauheita" vastauksia: ongelmille C2 tämä on yleinen käytäntö. Olisin mieluummin yllättynyt "kauniista" vastauksesta tässä osassa. Lisäksi, kuten totesit, en käytännössä turvautunut mihinkään muuhun kuin Pythagoraan lauseeseen ja tasasivuisen kolmion korkeuksien ominaisuuteen. Toisin sanoen stereometrisen ongelman ratkaisemiseksi käytin mahdollisimman vähän stereometriaa. Hyöty tässä on osittain "sammutettu" melko hankalia laskelmia. Mutta ne ovat melko algoritmisia!

2. Piirrä säännöllinen kuusikulmainen pyramidi koordinaattijärjestelmän kanssa sekä sen kanta:

Meidän on löydettävä kulma viivojen ja välillä. Siten tehtävämme rajoittuu pisteiden koordinaattien löytämiseen: . Löydämme kolmen viimeisen koordinaatit pienestä piirustuksesta ja löydämme kärjen koordinaatin pisteen koordinaatin kautta. Paljon työtä, mutta täytyy aloittaa!

a) Koordinaatti: on selvää, että sen aplikaatti ja ordinaatit ovat nolla. Etsitään abskissa. Voit tehdä tämän harkitsemalla suorakulmaista kolmiota. Valitettavasti siinä tunnemme vain hypotenuusan, joka on yhtä suuri. Yritämme löytää jalan (koska on selvää, että kaksinkertainen jalan pituus antaa meille pisteen abskissan). Kuinka voimme etsiä sitä? Muistakaamme, millainen hahmo meillä on pyramidin juurella? Tämä on tavallinen kuusikulmio. Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että kaikki sivut ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Meidän on löydettävä yksi tällainen kulma. Mitään ideoita? Ideoita on paljon, mutta kaava on olemassa:

Säännöllisen n-kulmion kulmien summa on .

Näin ollen säännöllisen kuusikulmion kulmien summa on astetta. Sitten jokainen kulmista on yhtä suuri:

Katsotaanpa kuvaa uudestaan. On selvää, että segmentti on kulman puolittaja. Silloin kulma on astetta. Sitten:

Sitten missä.

Joten sillä on koordinaatit

b) Nyt voimme helposti löytää pisteen koordinaatin: .

c) Etsi pisteen koordinaatit. Koska sen abskissa on sama kuin segmentin pituus, se on yhtä suuri. Ordinaatin löytäminen ei myöskään ole kovin vaikeaa: jos yhdistämme pisteet ja ja merkitsemme suoran leikkauspisteen, sano vaikka for. (tee se itse yksinkertainen rakenne). Tällöin pisteen B ordinaatta on yhtä suuri kuin segmenttien pituuksien summa. Katsotaanpa kolmiota uudelleen. Sitten

Sitten alkaen Siitä pisteellä on koordinaatit

d) Etsi nyt pisteen koordinaatit. Tarkastellaan suorakulmiota ja todistetaan, että Siten pisteen koordinaatit ovat:

e) Vielä on löydettävä kärjen koordinaatit. On selvää, että sen abskissa ja ordinaatit ovat samat kuin pisteen abskissa ja ordinaatta. Etsitään sovellus. Siitä lähtien. Harkitse suorakulmaista kolmiota. Ongelman ehdon mukaan sivureuna. Tämä on kolmioni hypotenuusa. Sitten pyramidin korkeus on jalka.

Sitten pisteellä on koordinaatit:

Siinä kaikki, minulla on koordinaatit kaikista kiinnostavista kohteista. Etsin suorien viivojen suuntavektorien koordinaatteja:

Etsimme näiden vektorien välistä kulmaa:

Vastaus:

Jälleen, kun ratkaisin tämän ongelman, en käyttänyt mitään hienostuneita temppuja, paitsi kaavaa säännöllisen n-gonin kulmien summalle sekä suorakulmaisen kolmion kosinin ja sinin määritelmää.

3. Koska meille ei taaskaan ole annettu pyramidin reunojen pituuksia, pidän niitä yhtä suurena kuin yksi. Siten, koska KAIKKI reunat, eivät vain sivut, ovat yhtä suuret toistensa kanssa, niin pyramidin ja minun pohjassa on neliö, ja sivupinnat ovat säännöllisiä kolmioita. Kuvataan tällainen pyramidi sekä sen pohja tasossa merkitsemällä kaikki tehtävän tekstissä annetut tiedot:

Etsimme kulmaa ja välillä. Teen hyvin lyhyitä laskelmia, kun etsin pisteiden koordinaatteja. Sinun on "purettava" ne:

b) - segmentin keskikohta. Hänen koordinaatit:

c) Löydän kolmion janan pituuden Pythagoraan lauseen avulla. Pythagoraan lauseen avulla löydän kolmion.

Koordinaatit:

d) - segmentin keskikohta. Sen koordinaatit ovat

e) Vektorikoordinaatit

f) Vektorikoordinaatit

g) Kulman etsiminen:

Kuutio on yksinkertaisin hahmo. Olen varma, että voit selvittää sen itse. Vastaukset tehtäviin 4 ja 5 ovat seuraavat:

Suoran ja tason välisen kulman löytäminen

No, yksinkertaisten pulmien aika on ohi! Nyt esimerkit ovat vielä vaikeampia. Viivan ja tason välisen kulman löytämiseksi toimimme seuraavasti:

1. Kolmen pisteen avulla rakennamme tason yhtälön
   ,
   käyttämällä kolmannen asteen determinanttia.
2. Kahdesta pisteestä etsitään suoran suuntavektorin koordinaatteja:
3. Käytämme kaavaa suoran ja tason välisen kulman laskemiseen:

Kuten näet, tämä kaava on hyvin samanlainen kuin kaava, jota käytimme kahden viivan välisten kulmien löytämiseen. Oikean puolen rakenne on aivan sama, ja vasemmalla etsimme nyt siniä, emme kosinia, kuten ennen. No, yksi ilkeä toiminta lisättiin - koneen yhtälön etsiminen.

Älä jää hyllylle ratkaisuesimerkkejä:

1. Os-no-va-ni-em suoraan-palkintoni-olemme-la-et-xia tasa-mutta-köyhä-ren-ny-kolmio-leikkaa sinulle-sillä palkinnolla-olemme tasa-arvoisia. Etsi suoran ja tason välinen kulma

2. Suorakaiteen muotoisessa pa-ral-le-le-pi-pe-dessa lännestä Nai-di-te suoran ja tason välinen kulma

3. Oikeanpuoleisessa kuuden hiilen prismassa kaikki reunat ovat yhtä suuret. Etsi suoran ja tason välinen kulma.

4. Oikeassa kolmiomaisessa pi-ra-mi-de:ssä os-but-va-ni-em kylkiluu Nai-di-te-kulman lännestä, os:n ob-ra-zo-van -ny-taso -no-va-niya ja straight-my, joka kulkee kylkiluiden se-re-di-na- ja

5. Oikean nelikulmaisen pi-ra-mi-dy:n kaikkien reunojen pituudet kärjen kanssa ovat keskenään yhtä suuret. Etsi suoran ja tason välinen kulma, jos piste on se-re-di-pi-ra-mi-dy:n bo-ko-in-th reunassa.

Jälleen ratkaisen kaksi ensimmäistä ongelmaa yksityiskohtaisesti, kolmannen - lyhyesti, ja jätän kaksi viimeistä sinun ratkaistavaksesi. Lisäksi jouduit käsittelemään kolmio- ja nelikulmaisia ​​pyramideja, mutta ei vielä prismoja.

Ratkaisut:

1. Piirrä prisma ja sen pohja. Yhdistetään se koordinaattijärjestelmään ja merkitään kaikki tiedot, jotka on annettu tehtävässä:

Pyydän anteeksi suhteiden noudattamatta jättämistä, mutta ongelman ratkaisemiseksi tämä ei itse asiassa ole niin tärkeää. Kone on vain prismani "takaseinä". Riittää, kun yksinkertaisesti arvaat, että tällaisen tason yhtälöllä on muoto:

Tämä voidaan kuitenkin näyttää myös suoraan:

Valitsemme mielivaltaiset kolme pistettä tällä tasolla: esimerkiksi .

Tehdään tason yhtälö:

Harjoitus sinulle: laske tämä determinantti itse. onnistuitko? Sitten tason yhtälöllä on muoto:

Tai yksinkertaisesti

Tällä tavalla,

Esimerkin ratkaisemiseksi minun on löydettävä suoran suuntausvektorin koordinaatit. Koska piste osui origon kanssa, vektorin koordinaatit yksinkertaisesti ovat samat kuin pisteen koordinaatit. Tätä varten etsimme ensin pisteen koordinaatit.

Voit tehdä tämän harkitsemalla kolmiota. Piirretään korkeus (se on myös mediaani ja puolittaja) ylhäältä. Koska silloin pisteen ordinaatit ovat yhtä suuret. Tämän pisteen abskissan löytämiseksi meidän on laskettava segmentin pituus. Pythagoraan lauseen mukaan meillä on:

Sitten pisteellä on koordinaatit:

Piste on "kohotettu" pisteen päällä:

Sitten vektorin koordinaatit:

Vastaus:

Kuten näette, tällaisten ongelmien ratkaisemisessa ei ole mitään pohjimmiltaan vaikeaa. Itse asiassa prisman kaltaisen hahmon "suoreus" yksinkertaistaa prosessia hieman enemmän. Siirrytään nyt seuraavaan esimerkkiin:

2. Piirrämme suuntaissärmiön, piirrämme siihen tason ja suoran ja piirrämme myös sen alapohjan erikseen:

Ensin löydämme tason yhtälön: Siinä olevan kolmen pisteen koordinaatit:

(kaksi ensimmäistä koordinaattia saadaan ilmeisellä tavalla, ja viimeinen koordinaatti löytyy helposti kuvasta pisteestä). Sitten muodostamme tason yhtälön:

Laskemme:

Etsimme suuntavektorin koordinaatteja: On selvää, että sen koordinaatit ovat samat kuin pisteen koordinaatit, eikö niin? Kuinka löytää koordinaatit? Nämä ovat pisteen koordinaatit, nostettuna sovellusakselia pitkin yhdellä! . Sitten etsimme haluttua kulmaa:

Vastaus:

3. Piirrä säännöllinen kuusikulmainen pyramidi ja sitten taso ja suora viiva siihen.

Tässä on jopa ongelmallista piirtää taso, puhumattakaan tämän ongelman ratkaisusta, mutta koordinaattimenetelmällä ei ole väliä! Sen tärkein etu on sen monipuolisuudessa!

Kone kulkee kolmen pisteen läpi: . Etsimme heidän koordinaattejaan:

yksi) . Näytä itse kahden viimeisen pisteen koordinaatit. Sinun on ratkaistava ongelma kuusikulmaisella pyramidilla tätä varten!

2) Rakennamme tason yhtälön:

Etsimme vektorin koordinaatteja: . (Katso kolmiopyramidiongelma uudelleen!)

3) Kulman etsiminen:

Vastaus:

Kuten näette, näissä tehtävissä ei ole mitään yliluonnollisen monimutkaista. Sinun täytyy vain olla erittäin varovainen juurien kanssa. Kahteen viimeiseen ongelmaan annan vain vastaukset:

Kuten näette, ongelmanratkaisutekniikka on sama kaikkialla: päätehtävänä on löytää kärkien koordinaatit ja korvata ne joihinkin kaavoihin. Meidän on vielä pohdittava vielä yhtä kulmien laskemisen ongelmaluokkaa, nimittäin:

Kahden tason välisten kulmien laskeminen

Ratkaisualgoritmi on seuraava:

1. Kolmelle pisteelle etsimme ensimmäisen tason yhtälöä:
2. Muille kolmelle pisteelle etsimme toisen tason yhtälöä:
3. Käytämme kaavaa:

Kuten näet, kaava on hyvin samanlainen kuin kaksi edellistä, joiden avulla etsimme kulmia suorien viivojen ja suoran ja tason välillä. Joten tämän muistaminen ei ole sinulle vaikeaa. Hyppäätään suoraan ongelmaan:

1. Oikean kolmion prisman perusteella sata-ro on yhtä suuri ja sivupinnan halkaisija on yhtä suuri. Etsi kulma tason ja palkinnon pohjan tason välillä.

2. Oikealle eteenpäin suuntautuvassa four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de:ssä jonkun kaikki reunat ovat yhtä suuret, etsi kulman sini tason ja Ko-Stu-tason välisen kulman kautta. kohta per-pen-di-ku-lyar-mutta suoraan-my.

3. Tavallisessa neljän kivihiilen prismassa os-no-va-nian sivut ovat yhtä suuret ja sivureunat yhtä suuret. Reunalla-me-che-pisteeseen niin, että. Etsi tasojen välinen kulma ja

4. Oikeassa nelikulmaisessa prismassa pohjien sivut ovat yhtä suuret ja sivureunat yhtä suuret. Reunalla-me-che-pisteeseen niin, että Etsi tasojen välinen kulma ja.

5. Etsi kuutiosta tasojen ja välisen kulman kosinus

Ongelmaratkaisut:

1. Piirrän säännöllisen (kantalle - tasasivuisen kolmion) kolmioprisman ja merkitsen siihen tasot, jotka esiintyvät tehtävän tilassa:

Meidän on löydettävä kahden tason yhtälöt: Perusyhtälö saadaan triviaalisti: voit tehdä vastaavan determinantin kolmelle pisteelle, mutta teen yhtälön heti:

Etsitään nyt yhtälö Pisteellä on koordinaatit Piste - Koska - kolmion mediaani ja korkeus, se on helppo löytää Pythagoraan lauseella kolmiosta. Sitten pisteellä on koordinaatit: Etsi pisteen aplikaatti. Tarkastellaan tätä varten suorakulmaista kolmiota

Sitten saadaan seuraavat koordinaatit: Muodostamme tason yhtälön.

Laskemme tasojen välisen kulman:

Vastaus:

2. Piirustuksen tekeminen:

Vaikein asia on ymmärtää, millainen salaperäinen taso se on, joka kulkee kohtisuorassa pisteen läpi. No, pääasia on, mikä se on? Pääasia on tarkkaavaisuus! Itse asiassa viiva on kohtisuorassa. Viiva on myös kohtisuorassa. Sitten näiden kahden suoran läpi kulkeva taso on kohtisuorassa suoraa vastaan ​​ja muuten kulkee pisteen läpi. Tämä taso kulkee myös pyramidin huipulta. Sitten haluttu kone - Ja kone on jo annettu meille. Etsimme pisteiden koordinaatteja.

Löydämme pisteen koordinaatin pisteen kautta. Pienestä piirustuksesta on helppo päätellä, että pisteen koordinaatit ovat seuraavat: Mitä nyt on jäljellä löytääksesi pyramidin huipun koordinaatit? Pitää vielä laskea sen korkeus. Tämä tehdään käyttämällä samaa Pythagoraan lausetta: todista ensin, että (triviaalisti pienistä kolmioista, jotka muodostavat neliön tyvestä). Ehdoista lähtien meillä on:

Nyt kaikki on valmis: kärkikoordinaatit:

Muodostamme tason yhtälön:

Olet jo determinanttien laskennan asiantuntija. Saat helposti:

Tai muuten (jos kerromme molemmat osat kahden juurella)

Etsitään nyt tason yhtälö:

(Et unohtanut, miten saamme tason yhtälön, eikö? Jos et ymmärrä mistä tämä miinus yksi tuli, niin palaa tason yhtälön määritelmään! Aina vain kävi ilmi, että minun kone kuului alkuperään!)

Laskemme determinantin:

(Saatat huomata, että tason yhtälö osui yhteen pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälön kanssa ja! Mieti miksi!)

Nyt laskemme kulman:

Meidän on löydettävä sini:

Vastaus:

3. Hankala kysymys: mikä on suorakaiteen muotoinen prisma, mitä mieltä olet? Se on vain sinulle tuttu suuntaissärmiö! Piirustus heti! Pohjaa ei voi edes kuvata erikseen, siitä on vähän hyötyä täällä:

Taso, kuten aiemmin totesimme, kirjoitetaan yhtälönä:

Nyt tehdään lentokone

Laadimme välittömästi tason yhtälön:

Etsitkö kulmaa

Nyt vastaukset kahteen viimeiseen ongelmaan:

No, nyt on aika pitää tauko, koska sinä ja minä olemme mahtavia ja olemme tehneet hienoa työtä!

Koordinaatit ja vektorit. Edistynyt taso

Tässä artikkelissa keskustelemme kanssasi toisesta luokan tehtävistä, jotka voidaan ratkaista koordinaattimenetelmällä: etäisyysongelmat. Tarkastelemme nimittäin seuraavia tapauksia:

1. Vinoviivojen välisen etäisyyden laskeminen.

Olen tilannut annetut tehtävät niiden monimutkaisuuden kasvaessa. Helpoin on löytää pisteen välinen etäisyys ja vaikein osa on löytää risteävien viivojen välinen etäisyys. Vaikka mikään ei tietenkään ole mahdotonta! Älä viivyttele vaan siirrytään heti ensimmäisen luokan ongelmien pohtimiseen:

Etäisyyden laskeminen pisteestä tasoon

Mitä tarvitsemme tämän ongelman ratkaisemiseksi?

1. Pistekoordinaatit

Joten heti kun saamme kaikki tarvittavat tiedot, käytämme kaavaa:

Sinun pitäisi jo tietää, kuinka rakennamme tason yhtälön edellisistä ongelmista, joita analysoin viimeisessä osassa. Mennään heti hommiin. Kaava on seuraava: 1, 2 - autan sinua päättämään, ja yksityiskohtaisesti, 3, 4 - vain vastaus, teet päätöksen itse ja vertaat. Aloitettu!

Tehtävät:

1. Annettu kuutio. Kuution reunan pituus on Etsi-di-te etäisyys se-re-di-ny:sta leikkauksesta tasaiseen

2. Koska oikea-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe reuna sata-ro-on os-no-va-nia on yhtä suuri. Etsi-di-ne etäisyydet pisteestä tasoon, jossa - se-re-di-reunoilla.

3. Oikeassa kolmiossa pi-ra-mi-de, jossa on os-but-va-ni-em, toinen reuna on yhtä suuri ja sata-ro-on os-no-vaniya on yhtä suuri. Etsi ne etäisyydet ylhäältä tasoon.

4. Oikeanpuoleisessa kuuden hiilen prismassa kaikki reunat ovat yhtä suuret. Etsi etäisyydet pisteestä tasoon.

Ratkaisut:

1. Piirrä yksireunainen kuutio, rakenna segmentti ja taso, merkitse segmentin keskikohta kirjaimella

.

Aloitetaan ensin helpolla: etsi pisteen koordinaatit. Siitä lähtien (muista segmentin keskikohdan koordinaatit!)

Nyt laadimme tason yhtälön kolmeen pisteeseen

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nyt voin alkaa etsiä etäisyyttä:

2. Aloitamme uudelleen piirustuksella, johon merkitsemme kaikki tiedot!

Pyramidille olisi hyödyllistä piirtää sen pohja erikseen.

Jopa se, että piirrän kuin kanan tassu, ei estä meitä ratkaisemasta tätä ongelmaa helposti!

Nyt on helppo löytää pisteen koordinaatit

Koska pisteen koordinaatit

2. Koska pisteen a koordinaatit ovat janan keskikohta, niin

Löydämme helposti kahden tason pisteen koordinaatit. Muodostamme tason yhtälön ja yksinkertaistamme sitä:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Koska pisteellä on koordinaatit: , laskemme etäisyyden:

Vastaus (erittäin harvinainen!):

No, ymmärsitkö? Minusta näyttää siltä, ​​​​että kaikki täällä on yhtä teknistä kuin esimerkeissä, joita tarkastelimme kanssasi edellisessä osassa. Joten olen varma, että jos olet oppinut tämän materiaalin, sinun ei ole vaikeaa ratkaista jäljellä olevat kaksi ongelmaa. Annan vain vastaukset:

Etäisyyden laskeminen suorasta tasoon

Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta. Kuinka viiva ja taso voivat sijaita suhteessa toisiinsa? Heillä on kaikki mahdollisuudet: leikata tai suora on yhdensuuntainen tason kanssa. Mikä on mielestäsi etäisyys suorasta tasoon, jonka kanssa annettu suora leikkaa? Minusta näyttää olevan selvää, että tällainen etäisyys on nolla. Mielenkiintoinen tapaus.

Toinen tapaus on hankalampi: tässä etäisyys on jo nollasta poikkeava. Koska suora on kuitenkin yhdensuuntainen tason kanssa, jokainen suoran piste on yhtä kaukana tästä tasosta:

Tällä tavalla:

Ja tämä tarkoittaa, että tehtäväni on pelkistetty edelliseen: etsimme minkä tahansa suoran pisteen koordinaatteja, etsimme tason yhtälöä, laskemme etäisyyden pisteestä tasoon. Itse asiassa tällaiset tehtävät kokeessa ovat erittäin harvinaisia. Onnistuin löytämään vain yhden ongelman, ja siinä olevat tiedot olivat sellaisia, että koordinaattimenetelmä ei ollut kovin käyttökelpoinen siihen!

Siirrytään nyt toiseen, paljon tärkeämpään ongelmaluokkaan:

Pisteen etäisyyden laskeminen suoraan

Mitä me tarvitsemme?

1. Sen pisteen koordinaatit, josta etsimme etäisyyttä:

2. Minkä tahansa suoralla pisteen koordinaatit

3. Suoran suuntavektorikoordinaatit

Mitä kaavaa käytämme?

Mitä tämän murtoluvun nimittäjä sinulle merkitsee ja siksi pitäisi olla selvää: tämä on suoran suuntausvektorin pituus. Tässä on erittäin hankala osoittaja! Ilmaisu tarkoittaa vektorien vektoritulon moduulia (pituutta) ja kuinka vektoritulo lasketaan, tutkimme työn edellisessä osassa. Päivitä tietosi, se on meille erittäin hyödyllinen nyt!

Siten ongelmien ratkaisun algoritmi on seuraava:

1. Etsimme sen pisteen koordinaatteja, josta etsimme etäisyyttä:

2. Etsimme minkä tahansa pisteen koordinaatteja viivalla, johon etsimme etäisyyttä:

3. Vektorin rakentaminen

4. Rakennamme suoran suuntavektorin

5. Laske ristitulo

6. Etsimme tuloksena olevan vektorin pituutta:

7. Laske etäisyys:

Meillä on paljon työtä, ja esimerkit ovat melko monimutkaisia! Keskitä nyt siis kaikki huomiosi!

1. Dana on oikeakätinen kolmion muotoinen pi-ra-mi-da, jossa on kärki. Sata-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy on yhtä suuri, you-so-ta on yhtä suuri. Etsi ne etäisyydet bo-ko:nnen reunan se-re-di-nysta suoralle viivalle, jossa pisteet ja ovat kylkiluiden se-re-di-ny ja co-vet. -stven-mutta.

2. Ripojen pituudet ja suorakulma-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ovat vastaavasti yhtä suuria, ja Find-di-te etäisyys top-shi-ny:sta suora-myyn

3. Oikeassa kuuden hiilen prismassa kaikki parven reunat ovat yhtä suuret - etsi-di-niiden etäisyyksien pisteestä suoraan viivaan

Ratkaisut:

1. Teemme siistin piirustuksen, johon merkitsemme kaikki tiedot:

Meillä on paljon työtä sinulle! Haluaisin ensin kuvailla sanoin, mitä etsimme ja missä järjestyksessä:

1. Pisteiden koordinaatit ja

2. Pistekoordinaatit

3. Pisteiden koordinaatit ja

4. Vektorien koordinaatit ja

5. Heidän ristiintulonsa

6. Vektorin pituus

7. Vektoritulon pituus

8. Etäisyys kohteesta kohteeseen

No, meillä on paljon tehtävää! Kääritään hihat!

1. Pyramidin korkeuden koordinaattien löytämiseksi meidän on tiedettävä pisteen koordinaatit, jonka aplikaatti on nolla ja ordinaatta on yhtä suuri kuin sen abskissa. Lopulta saimme koordinaatit:

Pistekoordinaatit

2. - segmentin keskikohta

3. - segmentin keskikohta

keskipiste

4. Koordinaatit

Vektorikoordinaatit

5. Laske vektoritulo:

6. Vektorin pituus: Helpoin tapa on korvata se, että jana on kolmion keskiviiva, mikä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin puolet kantasta. Jotta.

7. Otetaan huomioon vektoritulon pituus:

8. Etsi lopuksi etäisyys:

Huh, siinä kaikki! Rehellisesti sanoen: tämän ongelman ratkaiseminen perinteisillä menetelmillä (rakenteiden avulla) olisi paljon nopeampaa. Mutta tässä pelkistän kaiken valmiiksi algoritmiksi! Luulen, että ratkaisualgoritmi on sinulle selvä? Siksi pyydän sinua ratkaisemaan kaksi jäljellä olevaa ongelmaa itse. Vertaile vastauksia?

Toistan vielä kerran: nämä ongelmat on helpompi (nopeampi) ratkaista rakenteiden avulla kuin turvautua koordinaattimenetelmään. Olen osoittanut tällaisen ratkaisun vain näyttääkseni sinulle universaalin menetelmän, jonka avulla voit "älä tee mitään".

Harkitse lopuksi viimeistä ongelmaluokkaa:

Vinoviivojen välisen etäisyyden laskeminen

Tässä algoritmi ongelmien ratkaisemiseksi on samanlainen kuin edellinen. Mitä meillä on:

3. Mikä tahansa vektori, joka yhdistää ensimmäisen ja toisen rivin pisteet:

Kuinka löydämme rivien välisen etäisyyden?

Kaava on:

Osoittaja on sekatulon moduuli (esittelimme sen edellisessä osassa) ja nimittäjä - kuten edellisessä kaavassa (viivojen suuntaavien vektorien vektoritulon moduuli, jonka välistä etäisyyttä etsimme varten).

Muistutan teitä siitä

sitten etäisyyskaava voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon:

Jaa tämä determinantti determinantilla! Vaikka rehellisesti sanottuna en ole täällä vitsillä! Tämä kaava on itse asiassa erittäin hankala ja johtaa melko monimutkaisiin laskelmiin. Sinuna käyttäisin sitä vain viimeisenä keinona!

Yritetään ratkaista muutama ongelma yllä olevalla menetelmällä:

1. Oikeassa kolmiomaisessa prismassa kaikki reunat ovat jotenkin yhtä suuret, laske suorien viivojen välinen etäisyys ja.

2. Kun otetaan huomioon oikea keulan muotoinen kolmioprisma, jonkun os-no-va-niyan kaikki reunat ovat yhtä suuria kuin Se-che-tion, joka kulkee toisen rivan läpi ja se-re-di-nu -rivat ovat yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie suoran-we-mi:n ja välillä

Minä päätän ensimmäisen, ja sen perusteella sinä päätät toisen!

1. Piirrän prisman ja merkitsen viivat ja

Pisteen C koordinaatit: sitten

Pistekoordinaatit

Vektorikoordinaatit

Pistekoordinaatit

Vektorikoordinaatit

Vektorikoordinaatit

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Tarkastellaan ristituloa vektorien ja välillä

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(arrow)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(arrow) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nyt tarkastelemme sen pituutta:

Vastaus:

Yritä nyt suorittaa toinen tehtävä huolellisesti. Vastaus siihen on:.

Koordinaatit ja vektorit. Lyhyt kuvaus ja peruskaavat

Vektori on suunnattu segmentti. - vektorin alku, - vektorin loppu.
Vektori on merkitty tai.

Absoluuttinen arvo vektori - vektoria edustavan segmentin pituus. Nimetty nimellä.

Vektorikoordinaatit:

,
missä ovat vektorin \displaystyle a päät.

Vektorien summa: .

Vektorien tulo:

Vektorien pistetulo:

Vektori on segmentti, jolla on tietty suunta. Sekä vektorin alussa että lopussa on kiinteä paikka, jonka avulla vektorin suunta määritetään. Katsotaanpa tarkemmin, kuinka vektori rakennetaan annetuilla koordinaatteilla.

1. Piirrä koordinaattijärjestelmä (x, y, z) avaruuteen, merkitse yksittäisiä segmenttejä akseleille.
2. Varaa tarvittavat koordinaatit kahdelle akselille, vedä niiltä akselien suuntaisia ​​viivoja katkoviivalla, kunnes ne leikkaavat. Opitaan leikkauspiste, joka on liitettävä katkoviivalla origoon.
3. Piirrä vektori origosta tuloksena olevaan pisteeseen.
4. Aseta sivuun haluttu numero kolmannelle akselille, piirrä tämän pisteen läpi katkoviiva, joka on yhdensuuntainen rakennetun vektorin kanssa.
5. Piirrä vektorin lopusta pisteviiva, joka on yhdensuuntainen kolmannen akselin kanssa, kunnes se leikkaa edellisen pisteen suoran.
6. Yhdistä lopuksi koordinaattien origo ja tuloksena oleva piste.

Joskus sinun on rakennettava vektori, joka on tulos muiden vektorien lisäämisestä tai vähentämisestä. Siksi tarkastelemme nyt operaatioita vektoreilla, opimme lisäämään ja vähentämään niitä.

Operaatiot vektorilla

Geometrisiä vektoreita voidaan lisätä useilla tavoilla. Joten esimerkiksi yleisin tapa lisätä vektoreita on kolmisääntö. Kahden vektorin lisäämiseksi tämän säännön mukaan vektorit on järjestettävä yhdensuuntaisiksi toistensa kanssa siten, että ensimmäisen vektorin alku on sama kuin toisen loppu, kun taas tuloksena olevan kolmion kolmas sivu on summavektori.

On myös mahdollista laskea vektorien summa käyttämällä suunnikkaasääntöä. Vektorien tulisi alkaa yhdestä pisteestä, yhdensuuntaisesti kunkin vektorin kanssa, sinun on piirrettävä viiva niin, että päädyt suunnikkaaseen. Konstruoidun suunnikkaan diagonaali on näiden vektorien summa.

Kahden vektorin vähentämiseksi sinun on lisättävä ensimmäinen vektori ja vektori, joka on toisen vastakohta. Tätä varten käytetään myös kolmiosääntöä, jolla on seuraava muotoilu: vektorien erotus, jotka käännetään siten, että niiden alku on sama, on vektori, jonka alku on sama kuin vähennettävän vektorin loppu, sekä pelkistetyn vektorin loppu.

Vektori on segmentti, jolla on tietty suunta. Sekä vektorin alussa että lopussa on kiinteä paikka, jonka avulla vektorin suunta määritetään. Katsotaanpa tarkemmin, kuinka vektori rakennetaan annetuilla koordinaatteilla.

1. Piirrä koordinaattijärjestelmä (x, y, z) avaruuteen, merkitse yksittäisiä segmenttejä akseleille.
2. Varaa tarvittavat koordinaatit kahdelle akselille, vedä niiltä akselien suuntaisia ​​viivoja katkoviivalla, kunnes ne leikkaavat. Opitaan leikkauspiste, joka on liitettävä katkoviivalla origoon.
3. Piirrä vektori origosta tuloksena olevaan pisteeseen.
4. Aseta sivuun haluttu numero kolmannelle akselille, piirrä tämän pisteen läpi katkoviiva, joka on yhdensuuntainen rakennetun vektorin kanssa.
5. Piirrä vektorin lopusta pisteviiva, joka on yhdensuuntainen kolmannen akselin kanssa, kunnes se leikkaa edellisen pisteen suoran.
6. Yhdistä lopuksi koordinaattien origo ja tuloksena oleva piste.

Joskus sinun on rakennettava vektori, joka on tulos muiden vektorien lisäämisestä tai vähentämisestä. Siksi tarkastelemme nyt operaatioita vektoreilla, opimme lisäämään ja vähentämään niitä.

Operaatiot vektorilla

Geometrisiä vektoreita voidaan lisätä useilla tavoilla. Joten esimerkiksi yleisin tapa lisätä vektoreita on kolmisääntö. Kahden vektorin lisäämiseksi tämän säännön mukaan vektorit on järjestettävä yhdensuuntaisiksi toistensa kanssa siten, että ensimmäisen vektorin alku on sama kuin toisen loppu, kun taas tuloksena olevan kolmion kolmas sivu on summavektori.

On myös mahdollista laskea vektorien summa käyttämällä suunnikkaasääntöä. Vektorien tulisi alkaa yhdestä pisteestä, yhdensuuntaisesti kunkin vektorin kanssa, sinun on piirrettävä viiva niin, että päädyt suunnikkaaseen. Konstruoidun suunnikkaan diagonaali on näiden vektorien summa.

Kahden vektorin vähentämiseksi sinun on lisättävä ensimmäinen vektori ja vektori, joka on toisen vastakohta. Tätä varten käytetään myös kolmiosääntöä, jolla on seuraava muotoilu: vektorien erotus, jotka käännetään siten, että niiden alku on sama, on vektori, jonka alku on sama kuin vähennettävän vektorin loppu, sekä pelkistetyn vektorin loppu.

Huomio, vain TÄNÄÄN!

MUUTA

Vektorilisäyksen suorittamiseksi on olemassa useita tapoja, joilla tilanteesta riippuen ...

Vektori on matemaattinen kohde, jolle on tunnusomaista suunta ja suuruus. Geometriassa vektori on...

Matematiikassa vektori ymmärretään tietyn pituiseksi segmentiksi, jolla on suunta ja koordinaatit X-, Y-, Z-akselilla. Kysymys ...

Kahden samasta pisteestä lähtevän vektorin välinen kulma on lähin kulma, käännös, jolla ensimmäisen vektorin...

Jos tiedät kahden tai useamman pisteen tilakoordinaatit tietyssä järjestelmässä, tehtävä on: kuinka löytää pituus ...

Jakson pituus voidaan määrittää eri tavoin. Saadaksesi selville, miten janan pituus selviää, riittää, että ...

Kiihtyvyys on nopeus, jolla nopeus muuttuu. Tämä suure on vektori, sillä on oma suunta ja se mitataan m / s 2 (...

Gimlet-säännön avulla määritetään magneettisten viivojen suunnat (toisella tavalla niitä kutsutaan myös magneettisiksi viivoiksi ...

Piirustuksissa geometristen kappaleiden kuvia rakennetaan projektiomenetelmällä. Mutta tälle kuvalle...

Sana "ordinate" tulee latinan sanasta "ordinatus" - "järjestetty". Ordinaatta on puhtaasti matemaattinen...

Luvun moduulia kutsutaan myös tämän luvun itseisarvoksi. Siinä tapauksessa, että moduulin merkin alla on ...

Tasasivuisen kolmion kärjen koordinaatit löytämiseksi, jos sen kahden muun kärjen koordinaatit tunnetaan, ...

Mietit, kuinka voit laskea ja löytää kolmion keskiviivan. Sitten mennään asiaan. Selvitä keskilinjan pituus...

Tarkastellaanpa tarkemmin, mikä on kiihtyvyys fysiikassa? Tämä on viesti keholle lisänopeudesta aikayksikköä kohti. ...

Ennen kuin opimme löytämään suunnikkaan alueen, meidän on muistettava, mikä suuntaviiva on ja mitä…