Anna toiminnon y=f(X) jatkuva segmentillä [ a, b]. Kuten tiedetään, tällainen toiminto saavuttaa maksimi- ja vähimmäisarvonsa tällä segmentillä. Funktio voi ottaa nämä arvot joko segmentin sisäpisteestä [ a, b] tai segmentin rajalla.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot segmentistä [ a, b] tarpeen:

1) etsi funktion kriittiset pisteet välillä ( a, b);

2) laskea funktion arvot löydetyissä kriittisissä pisteissä;

3) laske funktion arvot segmentin päissä, eli for x=a ja x = b;

4) valitse kaikista funktion lasketuista arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo

segmentillä.

Kriittisten kohtien löytäminen:

Nämä pisteet sijaitsevat segmentin sisällä; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pisteessä x= 3 ja pisteessä x= 0.

Konveksiteettifunktion ja käännepisteen tutkiminen.

Toiminto y = f (x) nimeltään kupera välissä (a, b) , jos sen kuvaaja on tämän välin mihin tahansa pisteeseen piirretyn tangentin alla, ja sitä kutsutaan alaspäin kupera (kovera) jos sen kuvaaja on tangentin yläpuolella.

Siirtymäkohtaa, jonka kautta kupera korvataan koveruudella tai päinvastoin, kutsutaan käännekohta.

Algoritmi kuperuuden ja käännepisteen tutkimiseksi:

1. Etsi toisen lajin kriittiset pisteet, eli pisteet, joissa toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.

2. Aseta kriittiset pisteet numeroviivalle jakamalla se väleiksi. Etsi kunkin intervallin toisen derivaatan etumerkki; jos , niin funktio on kupera ylöspäin, jos, niin funktio on kupera alaspäin.

3. Jos se kulkiessaan toisenlaisen kriittisen pisteen läpi vaihtaa etumerkkiä ja tässä pisteessä toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä piste on käännepisteen abskissa. Etsi sen ordinaatti.

Funktion kaavion asymptootit. Asymptoottien funktion tutkiminen.

Määritelmä. Funktion kaavion asymptoottia kutsutaan suoraan, jolla on ominaisuus, että etäisyys mistä tahansa kaavion pisteestä tähän viivaan pyrkii nollaan, kun kuvaajapiste poistetaan rajattomasti origosta.

Asymptootteja on kolmen tyyppisiä: pystysuoraan, vaakasuoraan ja kaltevaan.

Määritelmä. Suora soitto vertikaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x), jos ainakin yksi funktion yksipuolisista rajoista tässä pisteessä on yhtä suuri kuin ääretön, se on

missä on funktion epäjatkuvuuspiste, eli se ei kuulu määritelmäalueeseen.

Esimerkki.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - murtumispiste.

Määritelmä. Suoraan y=A nimeltään horisontaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x) osoitteessa , jos

Esimerkki.

x
y

Määritelmä. Suoraan y=kx +b (k≠ 0) kutsutaan vino asymptootti funktiokaavio y = f(x) missä

Yleinen kaavio funktioiden tutkimisesta ja piirtämisestä.

Funktiotutkimusalgoritmiy = f(x) :

1. Etsi funktion toimialue D (y).

2. Etsi (jos mahdollista) kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa (ja x= 0 ja at y = 0).

3. Tutki parilliset ja parittomat funktiot ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariteetti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ outo).

4. Etsi funktion kaavion asymptootit.

5. Etsi funktion monotonisuuden intervallit.

6. Etsi funktion ääripää.

7. Etsi funktion kuvaajan kuperuus (koveruus) ja käännepisteet.

8. Muodosta tehdyn tutkimuksen perusteella funktion kuvaaja.

Esimerkki. Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio.

1) D (y) =

x= 4 - murtumispiste.

2) Milloin x = 0,

(0; – 5) – leikkauspiste kanssa oi.

klo y = 0,

3) y(‒ x)= yleinen toiminto (ei parillinen eikä pariton).

4) Tutkimme asymptootteja.

a) pystysuora

b) vaakasuora

c) etsi vinot asymptootit missä

‒vino asymptoottiyhtälö

5) Tässä yhtälössä ei tarvitse löytää funktion monotonisuuden intervalleja.

6)

Nämä kriittiset pisteet jakavat funktion koko alueen välille (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadut tulokset on kätevä esittää seuraavan taulukon muodossa.

Prosessi funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämiseksi segmentiltä muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktion kaavio) helikopterilla, jossa ammutaan pitkän kantaman tykistä tietyissä pisteissä ja valitaan jostakin. Nämä pisteet ovat erittäin erityisiä kontrollilaukauksia. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja tiettyjen sääntöjen mukaan. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.

Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten ja funktion suurimmat arvot , jatkuva aikavälillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.

Olkoon esimerkiksi tarpeen määrittää funktion maksimiarvo f(x) segmentillä [ a, b] . Voit tehdä tämän etsimällä sen kaikki kriittiset kohdat [ a, b] .

Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen on joko nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) ja f(b) ). Suurin näistä luvuista on segmentin funktion suurin arvo [a, b] .

Löytämisen ongelma funktion pienimmät arvot .

Etsimme yhdessä funktion pienintä ja suurinta arvoa

Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 2] .

Päätös. Löydämme tämän funktion derivaatan. Yhdistä derivaatta nollaan () ja saat kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää, että lasketaan sen arvot janan päissä ja pisteessä , koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2] . Nämä funktioarvot ovat seuraavat: , , . Tästä seuraa, että pienin funktion arvo(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan segmentin oikeaan päähän - pisteessä , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on yhtä suuri kuin 9, - kriittisessä pisteessä .

Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta segmentin rajapisteet sisällytetään segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa esitetty funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.

Kuitenkin millä tahansa aikavälillä (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus pätee.

Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .

Päätös. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:

.

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu väliin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, pisteessä ja suurin arvo yhtä suuri kuin 1 pisteessä .

Jatkamme funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimistä yhdessä

On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille monimutkaisempia esimerkkejä kuin juuri tarkastelut, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, osoittaja ja joiden nimittäjä on polynomi. Mutta emme rajoita tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on ystäviä, jotka haluavat saada opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.

Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Päätös. Löydämme tämän funktion johdannaisen muodossa tuotteen johdannainen :

Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Kaikkien toimien tulos: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja suurin arvo yhtä kuin e² , pisteessä .

Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .

Päätös. Löydämme tämän funktion johdannaisen:

Yhdistä derivaatta nollaan:

Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, ​​löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:

Johtopäätös: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja suurin arvo, yhtä suuri kuin , pisteessä .

Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa pienimpien (suurimpien) funktioarvojen löytäminen on pääsääntöisesti vähennetty minimiin (maksimi). Mutta itse minimit tai maksimit eivät ole suurempaa käytännön mielenkiintoa, vaan argumentin arvot, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden kokoaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.

Esimerkki 8 Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, jotta se peittyy mahdollisimman vähän materiaalia?

Päätös. Anna olla x- pohjapuoli h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:

Tarkastellaan tätä funktiota ääripäälle. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja

.

Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi kohdassa , derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmän alueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Joten, - ainoa kriittinen kohta. Tarkastetaan ääripään olemassaolo toisella riittävällä merkillä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin . Koska tämä minimi - tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeus.

Esimerkki 9 Kappaleesta A, joka sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen Kanssa, kaukana siitä l, tavarat on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuskustannus etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maantiellä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rautatie olisi pidettävä valtatie kuljettaa rahtia MUTTA sisään Kanssa oli edullisin AB rautatien oletetaan olevan suora)?

Tässä artikkelissa aion puhua algoritmi suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi funktio, minimi- ja maksimipisteet.

Teoriasta, me varmasti tarvitsemme johdannainen taulukko ja eriyttämissäännöt. Kaikki on tällä taululla:

Algoritmi suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.

Minusta on helpompi selittää konkreettisella esimerkillä. Harkitse:

Esimerkki: Etsi janan [–4;0] funktion y=x^5+20x^3–65x suurin arvo.

Vaihe 1. Otamme johdannaisen.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Vaihe 2Ääripisteiden löytäminen.

ääripiste nimetään pisteet, joissa funktio saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa.

Ääripisteiden löytämiseksi on tarpeen rinnastaa funktion derivaatta nollaan (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nyt ratkaisemme tämän bikvadraattisen yhtälön ja löydetyt juuret ovat ääripisteemme.

Ratkaisen tällaiset yhtälöt korvaamalla t = x^2, sitten 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Pienennä yhtälöä 5:llä, saamme: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Teemme käänteisen substituution x^2 = t:

X_(1 ja 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ja 4) = ±sqrt(-13) (suljemme pois, juuren alla ei voi olla negatiivisia lukuja, ellei tietysti puhu kompleksiluvuista)

Yhteensä: x_(1) = 1 ja x_(2) = -1 - nämä ovat ääripisteemme.

Vaihe 3 Määritä suurin ja pienin arvo.

Korvausmenetelmä.

Ehdossa meille annettiin segmentti [b][–4;0]. Piste x=1 ei sisälly tähän segmenttiin. Joten emme ota sitä huomioon. Mutta pisteen x=-1 lisäksi meidän on otettava huomioon myös segmenttimme vasen ja oikea reuna, eli pisteet -4 ja 0. Tätä varten korvaamme kaikki nämä kolme pistettä alkuperäiseen funktioon. Huomaa, että alkuperäinen on ehdossa annettu (y=x^5+20x^3–65x), jotkut alkavat korvata johdannaista...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Tämä tarkoittaa, että funktion maksimiarvo on [b]44 ja se saavutetaan pisteissä [b]-1, jota kutsutaan funktion maksimipisteeksi janalla [-4; 0].

Päätimme ja saimme vastauksen, olemme mahtavia, voit rentoutua. Mutta lopeta! Eikö y(-4):n laskeminen ole jotenkin liian monimutkaista? Rajoitetun ajan olosuhteissa on parempi käyttää toista menetelmää, kutsun sitä näin:

Vakiovälien kautta.

Nämä aukot löytyvät funktion derivaatalle eli bikvadraattiselle yhtälöllemme.

Teen sen seuraavalla tavalla. Piirrän suuntaviivan. Asetin pisteet: -4, -1, 0, 1. Huolimatta siitä, että 1 ei sisälly annettuun segmenttiin, se tulee silti huomioida, jotta pysyvyysvälit voidaan määrittää oikein. Otetaan jokin luku monta kertaa suurempi kuin 1, sanotaan 100, korvataan se mentaalisesti kaksikvadraattiseen yhtälöimme 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Jopa ilman mitään laskemista käy ilmi, että pisteessä 100 funktiossa on plusmerkki. Tämä tarkoittaa, että välissä 1-100 sillä on plusmerkki. Kun kuljemme 1:n läpi (menemme oikealta vasemmalle), funktio vaihtaa merkin miinukseksi. Kun funktio kulkee pisteen 0 läpi, se säilyttää etumerkkinsä, koska tämä on vain janan raja, ei yhtälön juuri. Kun funktio kulkee -1:n kautta, funktio muuttaa jälleen etumerkin plussaksi.

Teoriasta tiedämme, että missä funktion derivaatta on (ja piirsimme tämän sille) vaihtaa merkki plussasta miinusmerkkiin (kohta -1 meidän tapauksessamme) toiminto saavuttaa sen paikallinen maksimi (y(-1)=44 aiemmin laskettuna) tällä segmentillä (tämä on loogisesti erittäin selvää, funktio on lakannut kasvamasta, koska se saavutti maksiminsa ja alkoi laskea).

Vastaavasti missä funktion derivaatta vaihtaa merkkiä miinuksesta plussaksi, saavutettu funktion paikallinen minimi. Kyllä, kyllä, löysimme myös paikallisen minimipisteen, joka on 1, ja y(1) on segmentin funktion minimiarvo, oletetaan -1:stä +∞. Huomaa, että tämä on vain PAIKALLINEN MINIMI, eli tietyn segmentin minimi. Koska todellinen (globaali) minimifunktio saavuttaa jonnekin siellä, -∞.

Ensimmäinen menetelmä on mielestäni teoreettisesti yksinkertaisempi ja toinen aritmeettisten operaatioiden kannalta yksinkertaisempi, mutta teoriassa paljon vaikeampi. Joskus on nimittäin tapauksia, joissa funktio ei vaihda etumerkkiä yhtälön juuren läpi, ja todellakin voit hämmentyä näihin paikallisiin, globaaleihin maksimiin ja minimiin, vaikka sinun on joka tapauksessa hallittava tämä hyvin, jos suunnittelet päästä teknilliseen korkeakouluun (ja miksi muuten tehdä profiilikoe ja ratkaista tämä tehtävä). Mutta harjoittelu ja vain harjoitus opettaa sinulle kuinka ratkaista tällaiset ongelmat lopullisesti. Ja voit harjoitella verkkosivuillamme. täällä .

Jos sinulla on kysyttävää tai jokin on epäselvää, kysy. Vastaan ​​sinulle mielelläni ja teen muutoksia, lisäyksiä artikkeliin. Muista, että teemme tämän sivuston yhdessä!

Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?

Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:

1 . Löydämme ODZ-toiminnot.

2 . Funktion derivaatan löytäminen

3 . Yhdistä derivaatta nollaan

4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:

Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="(!LANG:f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.

Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.

5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.

AT funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".

AT funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".

6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,

• sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
• tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja Valitse niistä pienin, jos haluat löytää funktion pienimmän arvon

Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.

Harkitse toimintoa . Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Tarkastellaan useita esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta Open Task Bank for

yksi . Tehtävä B15 (#26695)

Leikkauksessa.

1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.

Vastaus: 5.

2 . Tehtävä B15 (nro 26702)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä.

1.ODZ-toiminto title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:

Siksi title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .

Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Vastaus: 5.

3. Tehtävä B15 (#26708)

Etsi funktion pienin arvo väliltä .

1. ODZ-funktiot: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.

Väli sisältää kaksi numeroa: ja

Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: . Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:

Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi segmentin funktion pienimmän arvon, sinun on verrattava funktion arvoja minimipiste ja janan vasemmassa päässä, .

Käytännön näkökulmasta mielenkiintoisinta on derivaatan käyttö funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi. Mihin se liittyy? Voittojen maksimoiminen, kustannusten minimoiminen, laitteiden optimaalisen kuormituksen määrittäminen... Toisin sanoen monilla elämänalueilla on ratkaistava joidenkin parametrien optimointi. Ja tämä on funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelma.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa etsitään yleensä joltain väliltä X, joka on joko funktion koko alue tai osa aluetta. Itse väli X voi olla jana, avoin väli , ääretön intervalli.

Tässä artikkelissa puhumme yhden muuttujan y=f(x) eksplisiittisesti annetun funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisestä.

Sivulla navigointi.

Funktion suurin ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Pysähdytään lyhyesti tärkeimpiin määritelmiin.

Funktion suurin arvo , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Funktion pienin arvo y=f(x) välissä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) arvo, joka on hyväksytty tarkasteluvälillä abskissalla.

Kiinteät pisteet ovat argumentin arvoja, joissa funktion derivaatta häviää.

Miksi tarvitsemme kiinteitä pisteitä, kun etsimme suurimpia ja pienimpiä arvoja? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos differentioituvalla funktiolla on jossain pisteessä ääriarvo (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), tämä piste on stationäärinen. Siten funktio ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X jossakin kiinteässä pisteessä tästä intervallista.

Lisäksi funktio voi usein saada suurimmat ja pienimmät arvot pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja itse funktio on määritelty.

Vastataan heti yhteen tämän aiheen yleisimmistä kysymyksistä: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei ei aina. Joskus välin X rajat osuvat yhteen funktion alueen rajojen kanssa tai väli X on ääretön. Ja jotkut funktiot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat ottaa sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia - ja paljon tulee selväksi.

Segmentillä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvon janan sisällä olevista kiinteistä pisteistä [-6;6] .

Harkitse toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Muuta segmentiksi . Tässä esimerkissä funktion pienin arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin - pisteessä, jonka abskissa vastaa välin oikeaa rajaa.

Kuvassa 3 janan [-3; 2] rajapisteet ovat funktion suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden abskissoja.

Avoimella alueella

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvot kiinteässä pisteessä avoimen intervallin (-6;6) sisällä.

Intervallilla ei voi tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

äärettömyydessä

Seitsemännessä kuvassa esitetyssä esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y ) kiinteässä pisteessä, jonka abskissa x=1 , ja pienin arvo (min y ) saavutetaan intervallin oikealla rajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 .

Intervallilla funktio ei saavuta pienintä tai suurinta arvoa. Kun x=2 suuntautuu oikealle, funktioarvot pyrkivät miinus äärettömyyteen (suora x=2 on pystysuora asymptootti), ja kun abskissa pyrkii plus äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 . Tämän esimerkin graafinen esitys näkyy kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi segmentiltä .

Kirjoitamme algoritmin, jonka avulla voimme löytää segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon.

1. Etsimme funktion toimialueen ja tarkistamme, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaisia ​​pisteitä esiintyy funktioissa, joissa on argumentti moduulimerkin alla ja potenssifunktioissa, joissa on murto-rationaalinen eksponentti). Jos tällaisia ​​pisteitä ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritämme kaikki kiinteät pisteet, jotka kuuluvat segmenttiin. Tätä varten vertaamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan vaiheeseen.
4. Laskemme funktion arvot valituissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on), pisteissä, joissa ensimmäistä derivaattia ei ole (jos sellainen on), sekä myös kohdissa x=a ja x=b .
5. Valitsemme saaduista funktion arvoista suurimman ja pienimmän - ne ovat funktion halutut enimmäisarvot ja pienimmät arvot.

Analysoidaan algoritmia, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.

Esimerkki.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

• segmentillä;
• aikavälillä [-4;-1] .

Päätös.

Toimintoalue on koko joukko reaalilukuja, paitsi nolla, eli . Molemmat segmentit kuuluvat määritelmän piiriin.

Löydämme funktion derivaatan suhteessa:

Ilmeisesti funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4;-1] .

Kiinteät pisteet määritetään yhtälöstä . Ainoa todellinen juuri on x=2 . Tämä paikallaan oleva piste putoaa ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa laskemme funktion arvot janan päissä ja paikallaan olevassa pisteessä, eli kohdissa x=1, x=2 ja x=4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan kohdassa x=1 ja pienin arvo – kohdassa x=2.

Toisessa tapauksessa laskemme funktion arvot vain janan [-4;-1] päissä (koska se ei sisällä yhtä kiinteää pistettä):