Tiedämme nyt, että N(Z)-funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa Z = +2 on -0,1079968336. Tämä tarkoittaa ylös/alas jakson aikana, joten kun Z = +2, N(Z)-käyrä nousee -0,1079968336. Tämä tilanne on esitetty kuvassa 3-13.

"Absoluuttisen" herkkyyden mittaa voidaan kutsua funktion muutosnopeudeksi. Toiminnon herkkyyden mittaa tietyssä pisteessä ("hetkellinen nopeus") kutsutaan derivaatiksi.

Voimme mitata muuttujan y absoluuttisen herkkyyden asteen muuttujan x muutoksille, jos määritämme suhteen Ay/Ax. Tällaisen herkkyyden määritelmän haittana on, että se ei riipu pelkästään "alkupisteestä" XQ, johon nähden argumentin muutosta tarkastellaan, vaan myös välin Dx arvosta, jolla nopeus määritetään. . Tämän puutteen poistamiseksi otetaan käyttöön derivaatan (funktion muutosnopeus pisteessä) käsite. Kun määritetään funktion muutosnopeus pisteessä, pisteet XQ ja xj tuodaan yhteen, jolloin väli Dx on nolla. Funktion f (x) muutosnopeus pisteessä XQ ja sitä kutsutaan funktion f (x) derivaatiksi pisteessä x. Funktion muutosnopeuden geometrinen merkitys pisteessä XQ on, että se määräytyy funktion kaavion tangentin kaltevuuskulmasta pisteessä XQ. Derivaata on funktiokaavion tangentin kulmakertoimen tangentti.

Jos derivaatta y pidetään funktion / muutosnopeudena, niin arvo y /y on sen suhteellinen muutosnopeus . Siksi logaritminen derivaatta (in y)

Derivaata suunnassa - kuvaa funktion z - f (x, y) muutosnopeutta pisteessä MO (ZhO, UO) suunnassa

Suhteellinen funktion muutosnopeus 124,188

Toistaiseksi olemme tarkastelleet funktion ensimmäistä derivaatta, jonka avulla voit löytää funktion muutosnopeuden. Sen määrittämiseksi, onko muutosnopeus vakio, tulee ottaa funktion toinen derivaatta. Tämä on merkitty

Tässä ja alla alkuluku tarkoittaa differentiaatiota siten, että h on funktion h muutosnopeus suhteessa ylitarjonnan kasvuun).

"Absoluuttisen" herkkyyden mitta - funktion muutosnopeus (keskiarvo (muutosten suhde) tai marginaalinen (derivaata))

Arvon lisäys, argumentti, funktio. Toiminnan muutosnopeus

Funktion muutosnopeus intervallilla (keskimääräinen nopeus).

Tällaisen nopeuden määritelmän haittapuolena on, että tämä nopeus ei riipu pelkästään pisteestä x0, jonka suhteen argumentin muutosta tarkastellaan, vaan myös itse argumentin muutoksen suuruudesta, ts. välin Dx arvolla, jolla nopeus määritetään. Tämän puutteen poistamiseksi otetaan käyttöön käsite funktion muutosnopeudesta pisteessä (hetkellinen nopeus).

Funktion muutosnopeus pisteessä (hetkellinen nopeus).

Funktion muutosnopeuden määrittämiseksi pisteessä J Q pisteet x ja x0 tuodaan yhteen, jolloin väli Ax on nolla. Jatkuvan funktion muutos pyrkii myös nollaan. Tässä tapauksessa nollaan pyrkivän funktion muutoksen suhde nollaan pyrkivän argumentin muutokseen antaa funktion muutosnopeuden pisteessä x0 (hetkellinen nopeus), tarkemmin sanottuna äärettömän pienellä aikavälillä, suhteessa pisteeseen xd.

Tätä funktion Dx) muutosnopeutta pisteessä x0 kutsutaan funktion Dx) derivaatiksi pisteessä xa.

Tietenkin y:n arvon muutosnopeuden karakterisoimiseksi voitaisiin käyttää yksinkertaisempaa indikaattoria, esimerkiksi y:n derivaatta L:n suhteen. Substituutiojousto o on edullinen, koska sillä on suuri etu - se on vakio useimmille käytännössä käytetyille tuotantofunktioille, ts. ei vain muutu liikkuessaan jotakuta isokvanttia pitkin, vaan ei myöskään riipu isokvantin valinnasta.

Valvonnan oikea-aikaisuus tarkoittaa, että tehokkaan valvonnan on oltava oikea-aikaista. Sen ajantasaisuus piilee kontrolloitujen indikaattoreiden mittausten ja arvioiden aikavälin, organisaation yksittäisten toimintojen prosessin suhteellisuudesta kokonaisuutena. Tällaisen intervallin fyysinen arvo (mittausten tiheys) määräytyy mitatun prosessin (suunnitelman) aikakehyksen mukaan ottaen huomioon ohjattujen indikaattoreiden muutosnopeus ja ohjaustoimenpiteiden toteuttamisen kustannukset. Ohjaustoiminnon tärkein tehtävä on edelleen poistaa poikkeamat ennen kuin ne johtavat organisaation kriittiseen tilanteeseen.

Homogeeniselle järjestelmälle, kun TV = 0, myös M = 0 5 häviää, joten lausekkeen oikea puoli (6.20) on yhtä suuri kuin heterogeenisyyteen liittyvän kokonaishyvinvointifunktion muutosnopeus.

Johdannan mekaaninen merkitys. Kun funktio y = f(x) muuttuu ajan x mukaan, derivaatta y = f(xo] on y:n muutosnopeus hetkellä XQ.

Funktion y = f(x) suhteellinen muutosnopeus (nopeus) määräytyy logaritmisen derivaatan avulla.

Muuttujat x tarkoittavat kysynnän ja tarjonnan välisen eron suuruutta vastaavantyyppisille tuotantovälineille x = s - p. Funktio x(f) on ajallisesti jatkuvasti differentioituva. Muuttujat x" tarkoittavat kysynnän ja tarjonnan välisen eron muutosnopeutta. Rata x (t) tarkoittaa kysynnän ja tarjonnan muutosnopeuden riippuvuutta kysynnän ja tarjonnan välisen eron suuruudesta, joka puolestaan ​​riippuu Tilaavaruus (vaiheavaruus) meidän tapauksessamme on kaksiulotteinen eli vaihetason muotoinen.

Tällaiset suuren a ominaisuudet selittävät sen, että rajasubstituutionopeuden y muutosnopeutta karakterisoidaan sen perusteella, eikä minkään muun indikaattorin, esimerkiksi y:n derivaatan avulla x>:n suhteen. Lisäksi merkittävälle määrälle funktioita substituution elastisuus on vakio ei vain isokliinien, vaan myös isokvanttien mukaan. Joten tuotantofunktiolle (2.20) käyttämällä sitä tosiasiaa, että isokli-

On monia temppuja, jotka voidaan vetää lyhyen aikavälin muutosvauhdilla. Tämä malli käyttää yhtä jaksoa

Monet hämmästyvät tämän artikkelin odottamattomasta sijainnista kirjoittajani kurssilla yhden muuttujan funktion derivaatta ja sen sovelluksia. Loppujen lopuksi, kuten se oli koulusta: vakiooppikirja antaa ensinnäkin johdannaisen määritelmän, sen geometrisen, mekaanisen merkityksen. Seuraavaksi opiskelijat löytävät funktioiden johdannaisia ​​määritelmän mukaan, ja itse asiassa vasta sitten differentiointitekniikkaa täydennetään käyttämällä johdannaistaulukot.

Mutta minun näkökulmastani seuraava lähestymistapa on pragmaattisempi: ensinnäkin on suositeltavaa YMMÄRTÄ funktion raja HYVIN, ja erityisesti äärettömät pienet. Tosiasia on, että

johdannaisen määritelmä perustuu rajan käsitteeseen , mikä on huonosti huomioitu koulun kurssilla. Siksi merkittävä osa nuorista graniittitiedon kuluttajista tunkeutuu huonosti johdannaisen olemukseen. Jos et siis ole hyvin perehtynyt differentiaalilaskentaan tai viisaat aivot ovat onnistuneesti päässeet eroon tästä matkatavarasta vuosien varrella, aloita toimintorajoja . Samalla hallitse / muista heidän päätöksensä.

Sama käytännön järke viittaa siihen, että se on ensin kannattavaa

oppia löytämään johdannaisia, mukaan lukien monimutkaisten funktioiden derivaatat . Teoria on teoria, mutta, kuten sanotaan, haluat aina erottaa. Tältä osin on parempi selvittää luetellut perustunnit ja ehkä tulla erottelun mestari edes ymmärtämättä toimintansa ydintä.

Suosittelen aloittamaan tämän sivun materiaalit artikkelin lukemisen jälkeen. Yksinkertaisimmat ongelmat derivaatalla, jossa tarkastellaan erityisesti funktion kaavion tangentin ongelmaa. Mutta se voi viivästyä. Tosiasia on, että monet derivaatan sovellukset eivät vaadi sen ymmärtämistä, eikä ole yllättävää, että teoreettinen oppitunti ilmestyi melko myöhään - kun minun piti selittää nousu-/laskuvälien ja ääripäiden löytäminen toimintoja. Lisäksi hän oli aiheessa melko pitkään " Funktiot ja graafit”, kunnes päätin laittaa sen aiemmin.

Siksi, rakkaat teekannut, älä kiirehdi imemään johdannaisen olemusta nälkäisten eläinten tavoin, koska kylläisyys on mauton ja epätäydellinen.

Funktion kasvavan, pienenevän, maksimin, minimin käsite

Monet opetusohjelmat johtavat johdannaisen käsitteeseen käytännön ongelmien avulla, ja sain myös mielenkiintoisen esimerkin. Kuvittele, että meidän täytyy matkustaa kaupunkiin, johon pääsee eri tavoin. Hylkäämme välittömästi kaarevat käämitysreitit ja tarkastelemme vain suoria viivoja. Myös suorat ajo-ohjeet ovat kuitenkin erilaisia: kaupunkiin pääsee tasaista moottoritietä pitkin. Tai mäkisellä moottoritiellä - ylös ja alas, ylös ja alas. Toinen tie menee vain ylämäkeen ja toinen alamäkeen koko ajan. Jännitystä etsivät valitsevat reitin rotkon halki, jossa on jyrkkä kallio ja jyrkkä nousu.

Mutta oli mieltymyksistäsi riippumatta toivottavaa, että tunnet alueen tai ainakin sinulla on siitä topografinen kartta. Entä jos tällaista tietoa ei ole? Loppujen lopuksi voit valita esimerkiksi tasaisen polun, mutta sen seurauksena törmää laskettelurinteeseen hauskojen suomalaisten kanssa. Ei se, että navigaattori ja jopa

satelliittikuva antaa luotettavaa tietoa. Siksi polun kohokuvio olisi hyvä muotoilla matematiikan avulla.

Harkitse tietä (sivunäkymä):

Varmuudeksi muistutan teitä alkeellisesta tosiasiasta: matka tapahtuu vasemmalta oikealle. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että funktio on jatkuva tarkastelujaksolla.

Mitkä ovat tämän kaavion ominaisuudet?

Väliajoin funktio kasvaa, eli jokainen sen seuraava arvo on suurempi kuin edellinen. Karkeasti sanottuna kaavio menee alhaalta ylöspäin (kiipeämme mäkeä). Ja välissä funktio pienenee - jokainen seuraava arvo on pienempi kuin edellinen, ja kaaviomme kulkee ylhäältä alas (menemme rinnettä alas).

Kiinnitämme huomiota myös erityisiin kohtiin. Siinä vaiheessa me

saavutamme maksimin , eli polussa on sellainen osa, jolla arvo on suurin (korkein). Samassa kohdassa saavutetaan minimi, ja on sellainen naapurusto, jossa arvo on pienin (pienin).

Oppitunnilla tarkastellaan tiukempaa terminologiaa ja määritelmiä. funktion ääripäästä, mutta nyt tutkitaan vielä yhtä tärkeää ominaisuutta: intervalleja toiminto kasvaa, mutta se kasvaa eri nopeuksilla. Ja ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on, että intervallikaavio kohoaa paljon siistimpää kuin välissä. Onko mahdollista mitata tien jyrkkyyttä matemaattisilla työkaluilla?

Toiminnan muutosnopeus

Ajatus on tämä: ota arvoa

(lue "delta x") , jota kutsummeargumentin lisäys, ja aletaan "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: ohittamalla etäisyys , kiipeämme rinnettä korkeuteen (vihreä viiva). Määrää kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin

nolla). Tehdään suhde , joka on tiemme jyrkkyyden mitta. Ilmeisesti tämä on hyvin tarkka luku, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin.

Huomio! Nimitys on YKSI symboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "x":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Kommentti koskee tietysti myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta mielekkäämmin. Anna olla

aluksi olemme 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Kun metrien etäisyys (vasen punainen viiva) on ylitetty, olemme 60 metrin korkeudessa. Sitten funktion lisäys on

metriä (vihreä viiva) ja:. Niin

Näin ollen joka metri tällä tieosuudella korkeus kasvaa keskimäärin 4 metriä ... unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ ​​MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomaa: kyseessä olevan esimerkin numeeriset arvot vastaavat piirustuksen mittasuhteita vain suunnilleen.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Täällä nousu on pehmeämpää, joten lisäys

(magenta viiva) on suhteellisen pieni, ja suhde

verrattuna edelliseen tapaukseen on hyvin vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna metriä ja toiminnan kasvunopeus

On . Eli täällä jokaista polkumetriä kohden on keskimäärin puoli metriä nousua.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaanpa ylintä mustaa pistettä, joka sijaitsee y-akselilla. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Taas ylitämme etäisyyden, jonka seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Koska liike tehtiin ylhäältä alas (akselin "vastakkaiseen" suuntaan), lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen:metriä (ruskea viiva piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme nopeudesta

laskeva toiminto: , eli jokaiselle polun metrille

Tällä alueella korkeus laskee keskimäärin 2 metriä. Huolehdi vaatteista viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt kysymys: mikä on "mittausstandardin" paras arvo käyttää? On selvää, että 10 metriä on erittäin karkeaa. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta kohoa. Miksi siellä on kuoppia, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua - sen toisella puolella vielä jyrkkä nousu. Näin ollen kymmenen metrin metrillä emme saa ymmärrettävää luonnehdintaa sellaisista läpi kulkevan polun osista

suhteet .

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: mitä pienempi arvo, sitä tarkemmin kuvaamme tien helpotusta. Lisäksi reilu

taulukko 2

pöytä 1

Muuttujan rajan käsite. Funktiojohdannainen. Johdannaistaulukko. Erottamisen säännöt

Tapoja asettaa toimintoja. Perusfunktioiden tyypit

Toiminnon määrittäminen tarkoittaa säännön tai lain määrittämistä, jonka mukaan argumentin tietty arvo X funktion vastaava arvo määritetään klo.

Harkitse tapoja määritellä funktio .

1. Analyyttinen menetelmä - funktion asettaminen kaavoilla. Esimerkiksi lääkeaineiden liukeneminen tableteista liuosten valmistuksessa noudattaa yhtälöä m \u003d m 0 e - kt, missä m0 ja m- vastaavasti alkuperäinen ja jäljellä oleva purkautuessa t lääkkeen määrä tabletissa, k- jokin jatkuva positiivinen arvo.

2. Graafinen tapa - tämä on funktion tehtävä graafin muodossa. Esimerkiksi käyttämällä elektrokardiografia paperille tai tietokoneen näytön näytölle tallennetaan sydämen työn aikana esiintyvän biopotentiaalieron arvo. U ajan funktiona t: U = f(t).

3. Taulukkomainen tapa on funktion määritys taulukon avulla. Tätä funktion asetustapaa käytetään kokeissa ja havainnoissa. Esimerkiksi mittaamalla potilaan ruumiinlämpöä tietyin väliajoin, on mahdollista tehdä taulukko ruumiinlämpöarvoista T ajan funktiona t. Taulukkotietojen perusteella on joskus mahdollista arvioida argumentin ja funktion vastaavuus kaavalla. Tällaisia ​​kaavoja kutsutaan empiirisiksi, ts. kokemuksesta saatua.

Matematiikassa erotetaan perus ja monimutkainen toimintoja. Tässä ovat perusfunktioiden päätyypit:

1. Virtatoiminto – y = f(x) = x n, missä X- Perustelu n- mikä tahansa reaaliluku ( 1, 2, - 2, jne.).

2. eksponentiaalinen funktio – y = f(x) = a x, missä a on vakio positiivinen luku, joka on muu kuin yksi ( a > 0, a ≠ 0), Esimerkiksi:

y = 10x(a = 10);

y = ex; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2,718...)

Erottelemme kaksi viimeistä funktiota, niitä kutsutaan eksponentiaaliset funktiot tai näytteilleasettajia ja kuvaamaan erilaisia ​​fysikaalisia, biofysikaalisia, kemiallisia ja sosiaalisia prosesseja. Ja y = e x - nouseva eksponentti, y=e-x on laskeva eksponentti.

3.Logaritminen funktio mistä tahansa syystä a: y = log x, missä y on potenssi, johon funktion a kanta on nostettava tietyn luvun x saamiseksi, eli a y \u003d x.

Jos pohja a = 10, sitten y nimeltään x:n desimaalilogaritmi ja merkitty y = log x; jos a=e, sitten y nimeltään x:n luonnollinen logaritmi ja merkitty y \u003d 1n x.

Muista joitakin logaritmin säännöt :

Annetaan kaksi numeroa a ja b, sitten:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Mikään ei muutu, kun hahmo vaihdetaan lg päällä ln.

Se on myös hyödyllistä muistaa lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Trigonometriset funktiot: y=sinx, y=cosx, y=tgx jne.

Tässä on kaavioita joistakin perusfunktioista (katso kuva 1):

Muuttujan arvo voi muuttua niin, että se kasvaessaan tai pienentyessään lähestyy jotakin äärellistä vakioarvoa, joka on sen raja.

A-priory muuttujan x rajana on vakioarvo A, johon muuttuja x lähestyy muutosprosessissaan siten, että x:n ja A:n välisen eron moduuli, ts. | x - A |, pyrkii nollaan.

Rajoitusmerkintä: x → A tai lim x = A(tässä → on merkki rajan siirtymisestä, lim latinasta rajoitettu, käännetty venäjäksi - raja). Harkitse alkeellista esimerkkiä:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), koska

| x - A |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001… → 0.

Otetaan käyttöön käsitteet argumentin lisäys ja funktion lisäys.

Jos muuttuja X muuttaa arvoaan x 1 ennen x 2, sitten ero x 2 - x 1 \u003d Δx kutsutaan argumentin inkrementiksi ja Δx(lue delta X) on yksittäinen lisäyssymboli. Vastaava toimintomuutos y 2 - y 1 \u003d Δy kutsutaan funktion inkrementiksi. Esitetään se funktion kaaviossa y = f(x)(Kuva 2). Geometrisesti argumentin inkrementtiä edustaa käyrän pisteen abskissan lisäys ja funktion inkrementti on tämän pisteen ordinaatin lisäys.

Tietyn funktion y \u003d f (x) derivaatta argumentin x suhteen on funktion Δy inkrementin ja argumentin Δx inkrementin suhteen raja, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan (Δx → 0 ).

Toiminnon derivaatta merkitään (lue " klo aivohalvaus") tai , tai dy/dx(lue "de y tekijältä de x"). Siis funktion derivaatta y = f(x) on yhtä suuri kuin:

(4)

Sääntö funktion derivaatan löytämiseksi y = f(x) argumentin perusteella X sisältyy tämän arvon määritelmään: sinun on määritettävä argumentin lisäys Δх, etsi funktion lisäys Δy, tee suhde ja löydä tämän suhteen raja, kun Δх→ 0.

Derivaatan löytämisprosessia kutsutaan funktion differentiaatioksi. Tämä on korkeamman matematiikan haara, jota kutsutaan "differentiaalilaskuksi".

Alla on taulukko yllä olevalla säännöllä saatujen tärkeimpien perusfunktioiden derivaatoista.

Nro p / s	Toimintojen tyypit	Funktiojohdannainen
	Jatkuva y=c	y" = 0
	Potenttifunktio y = x n (n voi olla positiivinen, negatiivinen, kokonaisluku, murtoluku)	y" = nx n-1
	Eksponentti funktio y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = a x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	logaritminen funktio y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = log x	y" = y" =
	Trigonometriset funktiot: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Jos lauseke, jonka derivaatta löydetään, on useiden funktioiden summa, erotus, tulo tai osamäärä, esim. sinä, v , z, silloin käytetään seuraavia erottelusääntöjä (taulukko 2).

Tässä on esimerkkejä johdannaisten laskemisesta taulukoiden 1 ja 2 avulla.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

Johdannan fyysinen merkitys on, että se määrittää funktion muutosnopeuden (nopeuden).

Harkitse esimerkkiä suoraviivaisesta liikkeestä. Kehon nopeus on yhtä suuri kuin polun suhde ∆S kulkenut kehon ohi ajan kuluessa Δt, tähän aikaväliin v = . Jos liike on epätasaista, suhde on keskinopeus tällä polunosuudella ja kutakin tiettyä ajanhetkeä vastaava nopeus on ns. hetkellinen nopeus ja se määritellään suhteen rajaksi at Δt → 0, eli

Yhteenvetona saadusta tuloksesta voidaan väittää, että funktion derivaatta f(x) ajan kanssa t on funktion hetkellinen muutosnopeus. Välittömän nopeuden käsite ei tarkoita vain mekaanisia liikkeitä, vaan myös kaikkia ajassa kehittyviä prosesseja. Löydät lihasten supistumis- tai rentoutumisnopeuden, liuoksen kiteytymisnopeuden, täytemateriaalin kovettumisnopeuden, epidemian leviämisnopeuden jne.

Välittömän kiihtyvyyden arvo kaikissa näissä prosesseissa on yhtä suuri kuin nopeusfunktion aikaderivaata:

. (5)

Mekaniikassa polun toinen derivaatta ajan suhteen.

Derivaatan käsitettä funktion muutosnopeutta kuvaavana suurena käytetään erilaisille riippuvuuksille. Sinun on esimerkiksi selvitettävä, kuinka nopeasti lämpötila muuttuu metallitankoa pitkin, jos yksi sen päistä kuumennetaan. Tässä tapauksessa lämpötila on koordinaatin funktio x, eli T = f(x) ja kuvaa lämpötilan muutoksen nopeutta avaruudessa.

Kutsutaan jonkin funktion f(x) derivaatta koordinaatin x suhteen kaltevuus tämä toiminto(lyhennettä grad lat. gradientista käytetään usein). Eri muuttujien gradientit ovat vektorisuureita, aina suunnattuja muuttujien arvon kasvattamisen suuntaan .

Huomaa, että monien määrien gradientit ovat yksi biologisissa järjestelmissä tapahtuvien aineenvaihduntaprosessien perimmäisistä syistä. Näitä ovat esimerkiksi pitoisuusgradientti, sähkökemiallinen potentiaaligradientti (μ on kreikkalainen kirjain "mu"), sähköinen potentiaaligradientti.

Pienellä Δx voidaan kirjoittaa:

. (6)

Ajatus on tämä: ota arvoa (lue "delta x") , jota kutsumme argumentin lisäys, ja aletaan "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: ohittamalla etäisyys , kiipeämme rinnettä korkeuteen (vihreä viiva). Arvoa kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin nolla). Tehdään suhde , joka on tiemme jyrkkyyden mitta. Ilmeisesti on hyvin tarkka luku, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin .

Huomio! Nimitys ovatYKSIsymboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "x":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Kommentti koskee tietysti myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta mielekkäämmin. Oletetaan aluksi, että olemme 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Kun metrien etäisyys (vasen punainen viiva) on ylitetty, olemme 60 metrin korkeudessa. Sitten funktion lisäys on metriä (vihreä viiva) ja: . Täten, joka metrillä tällä tieosuudella korkeus kasvaakeskiverto 4 metrillä… unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ ​​MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomautus : Kyseisen esimerkin numeroarvot vastaavat piirustuksen mittasuhteita vain suunnilleen.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Tässä nousu on pehmeämpää, joten lisäys (crimson line) on suhteellisen pieni ja suhde edelliseen tapaukseen verrattuna on melko vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna metriä ja toiminnan kasvunopeus On . Eli täällä jokaista metriä kohti keskiverto puoli metriä ylöspäin.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaanpa ylintä mustaa pistettä, joka sijaitsee y-akselilla. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Taas ylitämme etäisyyden, jonka seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Siitä lähtien kun liike on tehty ylhäältä alas(akselin "vastakkaiseen" suuntaan), sitten lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen: metriä (ruskea viiva piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme hajoamisnopeus ominaisuudet: , eli tämän osan polun jokaisella metrillä korkeus pienenee keskiverto 2 metrillä. Huolehdi vaatteista viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt kysymys: mikä on "mittausstandardin" paras arvo käyttää? On selvää, että 10 metriä on erittäin karkeaa. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta kohoa. Miksi siellä on kuoppia, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua - sen toisella puolella vielä jyrkkä nousu. Näin ollen 10 metrin mittaisella emme saa ymmärrettävää ominaisuutta sellaisille polun osille suhteen läpi.

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: mitä pienempi arvo, sitä tarkemmin kuvaamme tien helpotusta. Lisäksi seuraavat tosiasiat pitävät paikkansa:

– Mille tahansa nostopisteitä voit valita arvon (vaikkakin hyvin pienen), joka sopii yhden tai toisen nousun rajoihin. Ja tämä tarkoittaa, että vastaava korkeuslisäys on taatusti positiivinen, ja epäyhtälö osoittaa oikein funktion kasvun näiden välien jokaisessa pisteessä.

- Samoin, mille tahansa kaltevuuspiste, on arvo, joka sopii täysin tähän rinteeseen. Siksi vastaava korkeuden nousu on yksiselitteisesti negatiivinen, ja epäyhtälö näyttää oikein funktion pienenemisen tietyn intervallin jokaisessa pisteessä.

– Erityisen kiinnostava on tapaus, jossa funktion muutosnopeus on nolla: . Ensinnäkin nollakorkeuslisäys () on merkki tasaisesta polusta. Ja toiseksi, on muitakin outoja tilanteita, joista näet esimerkkejä kuvasta. Kuvittele, että kohtalo on vienyt meidät aivan kukkulan huipulle, jossa kottelee kohoavia kotkia, tai rotkon pohjalle, jossa on kurivia sammakoita. Jos otat pienen askeleen johonkin suuntaan, niin korkeuden muutos on mitätön, ja voimme sanoa, että funktion muutosnopeus on itse asiassa nolla. Sama kuvio havaitaan pisteissä.

Näin ollen olemme lähestyneet hämmästyttävää mahdollisuutta karakterisoida funktion muutosnopeus täydellisesti tarkasti. Loppujen lopuksi matemaattinen analyysi antaa meille mahdollisuuden ohjata argumentin lisäys nollaan eli tehdä siitä äärettömän pieni.

Tämän seurauksena herää toinen looginen kysymys: onko mahdollista löytää tie ja sen aikataulu toinen toiminto, mikä kertoisi meille kaikista tasanteista, ylämäistä, alamäkeistä, huipuista, alangoista sekä nousu-/laskunopeudesta polun jokaisessa pisteessä?

Mikä on johdannainen? Johdannan määritelmä.
Derivaatan ja differentiaalin geometrinen merkitys

Lue huolellisesti ja älä liian nopeasti - materiaali on yksinkertaista ja kaikkien saatavilla! Ei haittaa, jos joissain paikoissa jokin tuntuu epäselvältä, voit aina palata artikkeliin myöhemmin. Sanon lisää, on hyödyllistä opiskella teoriaa useita kertoja, jotta voidaan ymmärtää laadullisesti kaikki kohdat (neuvonta on erityisen tärkeä "teknisille" opiskelijoille, joille korkeammalla matematiikalla on merkittävä rooli koulutusprosessissa).

Tarinoiden esimerkkiä seuraten toiminnan jatkuvuus, aiheen "promootio" alkaa ilmiön tutkimuksella yhdestä kohdasta, ja vasta sitten se ulottuu numeerisiin aikaväleihin.

1.1 Joitakin fysiikan tehtäviä 3

2. Johdannainen

2.1 Toiminnan muutosnopeus 6

2.2 Johdannainen funktio 7

2.3 Potenssifunktion derivaatta 8

2.4 Derivaatan geometrinen merkitys 10

2.5 Toimintojen eriyttäminen

2.5.1 Aritmeettisten operaatioiden tulosten eriyttäminen 12

2.5.2 Kompleksi- ja käänteisfunktioiden erottaminen 13

2.6 Parametrisesti määriteltyjen funktioiden derivaatat 15

3. Differentiaali

3.1 Differentiaali ja sen geometrinen merkitys 18

3.2 Differentiaaliset ominaisuudet 21

4. Yhteenveto

4.1 Liite 1. 26

4.2 Liite 2. 29

5. Luettelo käytetystä kirjallisuudesta 32

1. Esittely

1.1 Joitakin fysiikan ongelmia. Tarkastellaan yksinkertaisia ​​fysikaalisia ilmiöitä: suoraviivaista liikettä ja lineaarista massajakaumaa. Niiden tutkimiseksi otetaan käyttöön vastaavasti liikkeen nopeus ja tiheys.

Analysoidaanpa sellainen ilmiö kuin liikkeen nopeus ja siihen liittyvät käsitteet.

Anna kehon liikkua suorassa linjassa ja tiedämme etäisyyden , kulkenut kehon ohi kullekin tietylle ajalle , eli tiedämme etäisyyden ajan funktiona:

Yhtälö
nimeltään liikkeen yhtälö ja sen määrittelemä viiva akselijärjestelmässä
- liikkumisaikataulu.

Harkitse kehon liikettä ajanjakson aikana
jostain hetkestä lähtien hetkeen asti
. Ajan myötä keho on kulkenut polun ja ajassa polun
. Joten aikayksiköissä se on kulkenut matkan

.

Jos liike on tasaista, niin on lineaarinen funktio:

Tässä tapauksessa
, ja suhde
näyttää kuinka monta yksikköä polkua on aikayksikköä kohden; samalla se pysyy vakiona riippumatta ajankohdasta otetaan, ei millä aikalisällä otetaan . Se on pysyvä asenne nimeltään tasainen nopeus.

Mutta jos liike on epätasainen, suhde riippuu

alkaen , ja alkaen. Sitä kutsutaan keskimääräiseksi liikkeen nopeudeksi aikavälillä alkaen ja merkitty :

Tämän ajanjakson aikana, samalla etäisyydellä, liikettä voi tapahtua mitä erilaisimmilla tavoilla; graafisesti tätä havainnollistaa se tosiasia, että kahden tason pisteen välillä (pisteitä
kuvassa 1) voit piirtää erilaisia ​​viivoja
- kaavioita liikkeistä tietyllä aikavälillä, ja kaikki nämä erilaiset liikkeet vastaavat samaa keskinopeutta .

Etenkin pisteiden välillä kulkee suoran linjan läpi
, joka on intervallin yhtenäisen kuvaaja
liikettä. Keskinopeus siis näyttää kuinka nopeasti sinun täytyy liikkua tasaisesti ohittaaksesi samalla aikavälillä sama etäisyys
.

Jättää saman , vähennetään. Keskimääräinen nopeus laskettu muutetulle aikavälille
, joka sijaitsee annetun intervallin sisällä, voi tietysti olla erilainen kuin in; koko intervallin ajan . Tästä seuraa, että keskinopeutta ei voida pitää liikkeen tyydyttävänä ominaisuutena: se (keskinopeus) riippuu aikavälistä, jolle laskenta tehdään. Perustuu siihen, että välin keskinopeus tulee katsoa mitä paremmin luonnehtii liikettä, sitä vähemmän , Tehdään se nollaan. Jos samaan aikaan keskinopeudella on rajoitus, se otetaan tämän hetken liikkeen nopeudeksi .

Määritelmä. nopeus Suoraviivaista liikettä tietyllä hetkellä kutsutaan väliä vastaavan keskinopeuden rajaksi, koska se pyrkii nollaan:

Esimerkki. Kirjoitetaan vapaan pudotuksen laki:

.

Aikavälin keskimääräiselle pudotusnopeudelle meillä on

ja tämän hetken nopeudelle

.

Tämä osoittaa, että vapaan pudotuksen nopeus on verrannollinen liikkeen aikaan (putoamiseen).

2. Johdannainen

Toiminnon muutosnopeus. Johdannainen funktio. Tehofunktion johdannainen.

2.1 Toiminnon muutosnopeus. Jokainen neljästä erikoiskonseptista: liikenopeus, tiheys, lämpökapasiteetti,

kemiallisen reaktion nopeus, huolimatta niiden fysikaalisen merkityksen merkittävästä erosta, on matemaattisesta näkökulmasta, kuten on helppo nähdä, sama vastaavalle toiminnolle ominaista. Ne kaikki ovat tietyntyyppisiä funktion ns. muutosnopeuden tyyppejä, jotka on määritelty, kuten luetellut erikoiskäsitteet, rajakäsitteen avulla.

Analysoidaan siis yleisellä tasolla kysymystä funktion muutosnopeudesta
, irtaantumalla muuttujien fyysisestä merkityksestä
.

Anna ensin
- lineaarinen funktio:

.

Jos riippumaton muuttuja saa lisäyksen
, sitten funktio saa lisäystä täällä
. Asenne
pysyy vakiona riippumatta siitä, mitä funktiota tarkastellaan tai mitä funktiota otetaan .

Tätä suhdetta kutsutaan muutoksen tahti lineaarinen funktio. Mutta jos toiminto ei ole lineaarinen, niin suhde

riippuu myös , ja alkaen. Tämä suhde vain "keskimäärin" luonnehtii funktiota, kun riippumaton muuttuja muuttuu annetusta arvoksi
; se on yhtä suuri kuin sellaisen lineaarisen funktion nopeus, joka annettuna on sama lisäys
.

Määritelmä.Asenne nimeltäänkeskinopeus toiminto muuttuu intervalleissa
.

On selvää, että mitä pienempi tarkasteluväli, sitä paremmin keskinopeus luonnehtii funktion muutosta, joten pakotamme taipumus nollaan. Jos samaan aikaan keskinopeudella on raja, niin se otetaan mittana, funktion muutosnopeus tietylle , ja kutsutaan funktion muutosnopeudeksi.

Määritelmä. Toiminnan muutosnopeus sisäänannettu piste kutsutaan funktion keskimääräisen muutosnopeuden rajaksi välissä kun mennään nollaan:

2.2 Johdannainen funktio. Toiminnan muutosnopeus

määräytyy seuraavan toimintosarjan avulla:

1) lisäyksellä , määritetty tälle arvolle , etsi funktion vastaava lisäys

;

2) suhde laaditaan;

3) etsi tämän suhteen raja (jos sellainen on)

mielivaltaisella taipumuksella nollaan.

Kuten jo todettiin, jos tämä toiminto ei lineaarinen

sitten suhde riippuu myös , ja alkaen . Tämän suhteen raja riippuu vain valitusta arvosta. ja on siksi funktio . Jos toiminto lineaarinen, niin tarkasteltu raja ei riipu arvosta, eli se on vakioarvo.

Tätä rajaa kutsutaan funktion derivaatta tai yksinkertaisesti funktion derivaatta ja se on merkitty näin:
.Lue: "ef aivohalvaus alkaen » tai "ef prim from".

Määritelmä. johdannainen Tämän funktion arvoa kutsutaan rajaksi funktion lisäyksen ja riippumattoman muuttujan inkrementin suhteen rajaksi mielivaltaisella aspiraatiolla, tämä lisäys nollaan:

.

Funktion derivaatan arvo missä tahansa pisteessä yleensä merkitty
.

Käyttämällä esiteltyä johdannaisen määritelmää voimme sanoa, että:

1) Suoraviivaisen liikkeen nopeus on derivaatta

toimintoja päällä (polun johdannainen ajan suhteen).

2.3 Potenssifunktion derivaatta.

Etsitään johdannaisia ​​joistakin yksinkertaisista funktioista.

Anna olla
. Meillä on

,

eli johdannainen
on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin 1. Tämä on ilmeistä, koska - lineaarinen funktio ja muutosnopeus on vakio.

Jos
, sitten

Anna olla
, sitten

Potenssifunktion derivaattojen lausekkeissa on helppo havaita kuvio
klo
. Osoittakaamme, että yleisesti ottaen minkä tahansa positiivisen kokonaisluvun eksponentin johdannainen on yhtä suuri kuin
.

.

Osoittajassa oleva lauseke muunnetaan Newtonin binomiaalikaavalla :

Viimeisen yhtälön oikealla puolella on ehtojen summa, joista ensimmäinen ei riipu , ja loput ovat yleensä nolla yhdessä . Niin

.

Joten tehofunktiolla, jolla on positiivinen kokonaisluku, on derivaatta, joka on yhtä suuri:

.

klo
edellä johdetut kaavat seuraavat löydetystä yleisestä kaavasta.

Tämä tulos pätee mille tahansa indikaattorille, esimerkiksi:

.

Tarkastellaan nyt erikseen vakion derivaatta

.

Koska tämä funktio ei muutu riippumattoman muuttujan muutoksen myötä, niin
. Siten,

,

t. e. vakion derivaatta on nolla.

2.4 Derivaatan geometrinen merkitys.

Funktiojohdannainen on hyvin yksinkertainen ja selkeä geometrinen merkitys, joka liittyy läheisesti suoran tangentin käsitteeseen.

Määritelmä. Tangentti
linjalle
hänen kohdallaan
(Kuva 2). kutsutaan pisteen läpi kulkevan suoran raja-asemaksi, ja toinen kohta
viivoja, kun tämä piste pyrkii sulautumaan annettuun pisteeseen.

.Opetusohjelma

Siellä on keskiarvo nopeusmuutoksiatoimintoja suoran suunnassa. 1 kutsutaan derivaatiksi toimintoja suuntaan ja näkyy. Joten - (1) - nopeusmuutoksiatoimintoja pisteessä...

Toiminnon raja ja jatkuvuus

Opiskelu

Johdannan fyysinen merkitys. Johdannainen luonnehtii nopeusmuutoksia yksi fyysinen määrä suhteessa ... . Millä argumentin arvolla ovat samat nopeusmuutoksiatoimintoja ja Päätös. , ja ja. Käyttämällä johdannaisen fyysistä merkitystä...

Yhden muuttujan funktion käsite ja menetelmät funktioiden määrittämiseksi

Asiakirja

Differentiaalilaskennan käsite karakterisointi nopeusmuutoksiatoimintoja; P. on toiminto, määritelty jokaiselle x ... jatkuvalle derivaatalle (differentiaalilaskennan karakterisointi nopeusmuutoksiatoimintoja tässä tilanteessa). Sitten ja...

§ 5 Kompleksisten funktioiden osittaisderivaatat kompleksisten funktioiden differentiaalit 1 Kompleksifunktion osittaiset derivaatat

Asiakirja

Se on olemassa ja on rajallinen) tulee olemaan nopeusmuutoksiatoimintoja pisteessä vektorin suunnassa. Hänen ... ja merkitsee tai. Suuruuden lisäksi nopeusmuutoksiatoimintoja, voit määrittää luonteen muutoksiatoimintoja pisteessä vektorin suunnassa...