Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö

liittovaltion autonominen oppilaitos

korkeampi ammatillinen koulutus

Northern (Arctic) Federal University, joka on nimetty M.V. Lomonosov"

Matematiikan laitos

KURSSITYÖT

Tieteen mukaan Matematiikka

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Valvoja

Taide. opettaja

Borodkina T. A.

Arkangeli 2014

TEHTÄVÄ KURSSITYÖLLE

Määrätyn integraalin sovellukset

ALKUTIEDOT:

21. y=x3, y=; 22.

JOHDANTO

Tässä kurssityössä minulla on seuraavat tehtävät: laskea funktiokaavioiden, yhtälöiden antamien viivojen, myös napakoordinaateissa olevien yhtälöiden antamien viivojen rajaamien kuvioiden pinta-alat, laskea kaarien pituudet yhtälöt suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, jotka annetaan parametrisillä yhtälöillä, jotka on annettu napakoordinaateilla, sekä laskea pintojen rajaamien kappaleiden tilavuudet, joita rajoittavat funktiokaaviot ja jotka muodostuvat funktiokaavioiden rajoittamien kuvien kiertämisestä napa-akseli. Valitsin lopputyön aiheesta "Definite Integral. Tältä osin päätin selvittää, kuinka helposti ja nopeasti voit käyttää integraalilaskelmia ja kuinka tarkasti voit laskea minulle osoitetut tehtävät.

INTEGRAALI on yksi tärkeimmistä matematiikan käsitteistä, joka syntyi tarpeesta toisaalta löytää funktioita niiden derivaattojen perusteella (esimerkiksi löytää funktio, joka ilmaisee liikkuvan pisteen kulkeman polun, tämän pisteen nopeus), ja toisaalta mitata pinta-aloja, tilavuuksia, pituuksia kaaria, voimien työtä tietyn ajanjakson aikana jne.

Kurssityön teeman paljastamiseen käytin seuraavaa suunnitelmaa: määrätyn integraalin ja sen ominaisuuksien määrittely; käyrän kaaren pituus; kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala; pyörimispinta-ala.

Jokaiselle funktiolle f(x) jatkuva segmentissä , tällä segmentillä on antiderivaata, mikä tarkoittaa, että on olemassa määrittelemätön integraali.

Jos funktio F(x) on mikä tahansa jatkuvan funktion f(x) antiderivaata, tämä lauseke tunnetaan Newton-Leibnizin kaavana:

Määrätyn integraalin pääominaisuudet:

Jos integroinnin ala- ja ylärajat ovat yhtä suuret (a=b), niin integraali on yhtä suuri kuin nolla:

Jos f(x)=1, niin:

Kun integroinnin rajoja järjestetään uudelleen, kiinteä integraali muuttaa etumerkin päinvastaiseksi:

Vakiotekijä voidaan ottaa pois määrätyn integraalin merkistä:

Jos funktiot ovat integroitavissa, niin niiden summa on integroitavissa ja summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:

On olemassa myös perusintegrointimenetelmiä, kuten muuttujan muutos:

Tasauspyörästön korjaus:

Osittain integrointikaava mahdollistaa integraalin laskemisen vähentämisen integraalin laskemiseen, mikä voi osoittautua yksinkertaisemmaksi:

Määrätyn integraalin geometrinen merkitys on, että jatkuvalle ja ei-negatiiviselle funktiolle se on geometrisessa mielessä vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Lisäksi käyttämällä määrättyä integraalia voit löytää alueen alueen, jota rajoittavat käyrät, suorat viivat ja missä

Jos kaareva puolisuunnikas on rajattu parametristen viivojen x = a ja x = b sekä akselin Ox antamaan käyrään, niin sen pinta-ala saadaan kaavasta, jossa ne määritetään yhtälöstä:

. (12)

Pääalue, jonka alue löytyy tietyn integraalin avulla, on kaareva sektori. Tämä on kahden säteen ja käyrän rajoittama alue, jossa r ja ovat napakoordinaatteja:

Jos käyrä on funktion kaavio, jossa, ja sen derivaatan funktio on jatkuva tällä segmentillä, niin käyrän Ox-akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kuvan pinta-ala voidaan laskea kaavalla:

. (14)

Jos funktio ja sen derivaatta ovat jatkuvia segmentillä, käyrän pituus on yhtä suuri:

Jos käyräyhtälö annetaan parametrimuodossa

missä x(t) ja y(t) ovat jatkuvia funktioita jatkuvilla derivaatoilla ja sitten käyrän pituus saadaan kaavasta:

Jos käyrä on annettu yhtälöllä napakoordinaateissa, joissa ja ovat jatkuvia segmentillä, kaaren pituus voidaan laskea seuraavasti:

Jos kaareva puolisuunnikas pyörii Ox-akselin ympäri, jota rajoittavat jatkuva viivasegmentti ja suorat viivat x \u003d a ja x \u003d b, tämän puolisuunnikkaan pyörimisestä Ox-akselin ympäri muodostuvan kappaleen tilavuus on yhtä suuri kuin :

Jos kaarevaa puolisuunnikasta rajoittaa jatkuvan funktion kuvaaja ja suorat x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Jos kuvaa rajoittavat käyrät ja (on "korkeampi" kuin suorilla viivoilla x = a, x = b, niin kiertokappaleen tilavuus Ox-akselin ympäri on yhtä suuri:

ja y-akselin ympärillä (:

Jos kaarevaa sektoria kierretään napa-akselin ympäri, tuloksena olevan kappaleen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

2. ONGELMANRATKAISEMINEN

Tehtävä 14: Laske funktiokaavioiden rajaamien kuvioiden pinta-alat:

1) Ratkaisu:

Kuva 1 - funktiokaavio

X muuttuu 0:sta arvoon

x 1 = -1 ja x 2 = 2 - integrointirajat (tämä näkyy kuvassa 1).

3) Laske kuvion pinta-ala kaavalla (10).

Vastaus: S = .

Tehtävä 15: Laske yhtälöiden antamien viivojen rajaamien kuvioiden pinta-alat:

1) Ratkaisu:

Kuva 2 - funktiokaavio

Harkitse intervallin funktiota.

Kuva 3 - Taulukko funktion muuttujista

Siitä lähtien tälle ajanjaksolle mahtuu 1 kaari. Tämä kaari koostuu keskiosasta (S 1) ja sivuosista. Keskiosa koostuu halutusta osasta ja suorakulmiosta (S pr):. Lasketaan kaaren yhden keskiosan pinta-ala.

2) Etsi integroinnin rajat.

ja y = 6, joten

Välille integraation rajat.

3) Etsi kuvion pinta-ala kaavan (12) avulla.

kaareva integraali puolisuunnikas

Tehtävä 16: Laske napakoordinaateissa olevien yhtälöiden antamien viivojen rajaamien kuvioiden pinta-alat:

1) Ratkaisu:

Kuva 4 - funktiokaavio,

Kuva 5 - Taulukko muuttujafunktioista,

2) Etsi integroinnin rajat.

Näin ollen -

3) Etsi kuvion pinta-ala kaavan (13) avulla.

Vastaus: S =.

Tehtävä 17: Laske yhtälöillä annettujen käyrien kaarien pituudet suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä:

1) Ratkaisu:

Kuva 6 - funktion kaavio

Kuva 7 - Taulukko funktiomuuttujista

2) Etsi integroinnin rajat.

vaihtelee ln:stä ln:iin, tämä on ilmeistä tilasta.

3) Laske kaaren pituus kaavan (15) avulla.

Vastaus: l =

Tehtävä 18: Laske parametristen yhtälöiden antamien käyrien kaarien pituudet: 1)

1) Ratkaisu:

Kuva 8- Funktiokaavio

Kuva 11 - Taulukko funktiomuuttujista

2) Etsi integroinnin rajat.

ts vaihtelee, tämä on ilmeistä tilasta.

Etsitään kaaren pituus kaavan (17) avulla.

Tehtävä 20: Laske pintojen rajaamien kappaleiden tilavuudet:

1) Ratkaisu:

Kuva 12 - funktiokaavio:

2) Etsi integroinnin rajat.

Z muuttuu 0:sta 3:een.

3) Laske kuvion tilavuus kaavalla (18)

Tehtävä 21: Laske funktiokaavioiden rajoittamien kappaleiden tilavuudet, kiertoakseli Ox: 1)

1) Ratkaisu:

Kuva 13 - funktiokaavio

Kuva 15 - Funktiokaaviotaulukko

2) Etsi integroinnin rajat.

Pisteet (0;0) ja (1;1) ovat yhteisiä molemmille kaavioille, joten nämä ovat integroinnin rajat, mikä näkyy kuvassa.

3) Laske kuvion tilavuus kaavan (20) avulla.

Tehtävä 22: Laske niiden kappaleiden pinta-ala, jotka muodostuvat funktiokaavioiden rajaamien kuvien kiertymisestä napa-akselin ympäri:

1) Ratkaisu:

Kuva 16 - funktion kaavio

Kuva 17 - Taulukko funktion kaavion muuttujista

2) Etsi integroinnin rajat.

c muuttuu arvosta

3) Etsi kuvion pinta-ala kaavan (22) avulla.

Vastaus: 3.68

PÄÄTELMÄ

Suorittaessani kurssityötäni aiheesta "Definite Integral" opin laskemaan eri kappaleiden pinta-aloja, löytämään erilaisten käyrien kaarien pituuksia sekä laskemaan tilavuuksia. Tämä ajatus integraalien kanssa työskentelystä auttaa minua tulevassa ammatillisessa toiminnassani, kuinka nopeasti ja tehokkaasti suorittaa erilaisia ​​​​toimintoja. Onhan integraali itsessään yksi tärkeimmistä matematiikan käsitteistä, joka syntyi tarpeesta toisaalta löytää funktioita derivaattojensa perusteella (esimerkiksi löytää funktio, joka ilmaisee matkan kuljettua polkua). liikkuva piste, tämän pisteen nopeuden mukaan), ja toisaalta mitata alueita, tilavuuksia, kaaren pituuksia, voimien työtä tietyn ajan jne.

LUETTELO KÄYTETYT LÄHTEET

1. Kirjoitettu, D.T. Korkeamman matematiikan luentomuistiinpanot: Osa 1 - 9. painos. - M.: Iris-press, 2008. - 288 s.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Korkeampi matematiikka. Differentiaali- ja integraalilaskenta: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 s.

3. V. A. Zorich, Mathematical Analysis. Osa I. - Toim. 4. - M.: MTSNMO, 2002. - 664 s.

4. Kuznetsov D.A. "Korkeamman matematiikan tehtävien kokoelma" Moskova, 1983

5. Nikolsky S. N. "Matemaattisen analyysin elementit". - M.: Nauka, 1981.

Samanlaisia ​​asiakirjoja

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen. Funktion määrätyn integraalin löytäminen. Käyrän alla olevan alueen määritys, käyrien välissä olevan kuvan pinta-ala. Kierroskappaleiden tilavuuksien laskeminen. Funktion kokonaissumman raja. Sylinterin tilavuuden määrittäminen.

esitys, lisätty 18.9.2013


Ominaisuudet pintojen rajaamien kappaleiden tilavuuksien laskemiseen käyttämällä kaksoisintegraalin geometrista merkitystä. Viivojen rajattujen tasokuvioiden pinta-alojen määrittäminen integrointimenetelmällä matemaattisen analyysin aikana.

esitys, lisätty 17.9.2013


Määrätyn integraalin derivaatta suhteessa muuttuvaan ylärajaan. Määrätyn integraalin laskenta integraalisumman rajana Newton–Leibnizin kaavan mukaan, muuttujan muutos ja integrointi osittain. Kaaren pituus napakoordinaateina.

valvontatyö, lisätty 22.8.2009


Tasokäyrien momentit ja massakeskipisteet. Guldenin lause. Pinta-ala, joka muodostuu tasokäyrän kaaren kiertymisestä kaaren tasossa olevan akselin ympäri, joka ei leikkaa sitä, on yhtä suuri kuin kaaren pituuden ja ympyrän pituuden tulo.

luento, lisätty 9.4.2003


Tekniikka ja parametrien löytämisen päävaiheet: kaarevan puolisuunnikkaan ja sektorin pinta-ala, käyrän kaaren pituus, kappaleiden tilavuus, pyörimiskappaleiden pinta-ala, kierrosluvun työ muuttuva voima. Integraalien laskentajärjestys ja mekanismi MathCAD-paketin avulla.

valvontatyö, lisätty 21.11.2010


Välttämätön ja riittävä ehto määrätyn integraalin olemassaololle. Kahden funktion algebrallisen summan (eron) määrätyn integraalin yhtäläisyys. Keskiarvon lause – seuraus ja todiste. Määrätyn integraalin geometrinen merkitys.

esitys, lisätty 18.9.2013


Funktioiden numeerisen integroinnin ongelma. Määrätyn integraalin likimääräisen arvon laskenta. Määrätyn integraalin löytäminen suorakulmion, keskisuorakulmion, puolisuunnikkaan menetelmillä. Kaavojen virhe ja menetelmien vertailu tarkkuuden suhteen.

koulutusopas, lisätty 1.7.2009


Integraalien laskentamenetelmät. Kaavat ja epämääräisen integraalin varmentaminen. Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala. Epämääräinen, määrätty ja monimutkainen integraali. Integraalien perussovellukset. Määrällisten ja epämääräisten integraalien geometrinen merkitys.

esitys, lisätty 15.1.2014


Annettujen viivojen rajoittaman kuvion alueen laskeminen kaksoisintegraalilla. Kaksoisintegraalin laskeminen siirtymällä napakoordinaatteihin. Tekniikka toisen tyyppisen kaarevan integraalin määrittämiseksi vektorikentän tiettyä linjaa ja virtausta pitkin.

valvontatyö, lisätty 14.12.2012


Määrätyn integraalin käsite, kappaleen pinta-alan, tilavuuden ja kaaren pituuden, staattisen momentin ja käyrän painopisteen laskenta. Pinta-alan laskenta suorakaiteen muotoisen kaarevan alueen tapauksessa. Kaareva-, pinta- ja kolmoisintegraalien käyttö.

Etusivu > Luento

Luento 18. Määrällisen integraalin sovellukset.

18.1. Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen.

Tiedetään, että janan määrätty integraali on kaarevan puolisuunnikkaan alue, jota rajoittaa funktion f(x) kuvaaja. Jos kuvaaja sijaitsee x-akselin alapuolella, ts. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, silloin alueella on "+"-merkki.

Kaavaa käytetään kokonaispinta-alan selvittämiseen.

Joidenkin viivojen rajoittama kuvion alue voidaan löytää tietyillä integraaleilla, jos näiden viivojen yhtälöt tunnetaan.

Esimerkki. Etsi viivojen y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2 rajoittama kuvion alue.

Haluttu alue (varjostettu kuvassa) löytyy kaavasta:

18.2. Käyräviivaisen sektorin alueen löytäminen.

Käyräviivaisen sektorin alueen löytämiseksi otamme käyttöön napakoordinaattijärjestelmän. Tässä koordinaattijärjestelmässä sektoria rajoittavan käyrän yhtälö on muotoa  = f(), missä  on sen sädevektorin pituus, joka yhdistää navan mielivaltaiseen käyrän pisteeseen, ja  on kaltevuuskulma tästä sädevektorista napa-akselille.

Kaarevan sektorin pinta-ala löytyy kaavasta

18.3. Käyrän kaaren pituuden laskeminen.

y y = f(x)

S i y i

Kaarta vastaavan polylinen pituus löytyy muodossa
.

Sitten kaaren pituus on
.

Geometrisistä syistä:

Samaan aikaan

Sitten se voidaan osoittaa

Nuo.

Jos käyrän yhtälö annetaan parametrisesti, niin saadaan parametrisesti annetun derivaatan laskentasäännöt huomioon ottaen

,

missä x = (t) ja y = (t).

Jos asetettu spatiaalinen käyrä, ja x = (t), y = (t) ja z = Z(t), niin

Jos käyrä on asetettu arvoon polaarikoordinaatit, sitten

,  = f().

Esimerkki: Etsi yhtälön x 2 + y 2 = r 2 antama ympärysmitta.

1 tapa. Esitetään muuttuja y yhtälöstä.

Etsitään johdannainen

Sitten S = 2r. Saimme tunnetun kaavan ympyrän ympyrän ympärysmitalle.

2 tapa. Jos esitämme annettua yhtälöä napakoordinaatistossa, saadaan: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, ts. funktio  = f() = r,
sitten

18.4. Kappaleiden tilavuuksien laskeminen.

Kappaleen tilavuuden laskeminen sen rinnakkaisten leikkausten tunnetuista alueista.

Olkoon kappale, jonka tilavuus on V. Kappaleen minkä tahansa poikkileikkauksen pinta-ala Q tunnetaan jatkuvana funktiona Q = Q(x). Jaetaan kappale ”kerroksiksi” poikkileikkauksilla, jotka kulkevat janan jaon pisteiden x i kautta. Koska funktio Q(x) on jatkuva jollakin osion välisegmentillä, jolloin se saa maksimi- ja minimiarvonsa. Nimetään ne vastaavasti M i ja m i .

Jos näille suurimmille ja pienimmille osille rakennetaan sylintereitä, joissa generaattorit ovat samansuuntaisia ​​x-akselin kanssa, niin näiden sylinterien tilavuudet ovat vastaavasti M i x i ja m i x i tässä x i = x i - x i -1 .

Kun olemme tehneet tällaiset rakenteet kaikille väliseinän segmenteille, saamme sylintereitä, joiden tilavuus on vastaavasti
ja
.

Koska osioaskel  pyrkii nollaan, näillä summilla on yhteinen raja:

Siten kehon tilavuus voidaan löytää kaavalla:

Tämän kaavan haittana on, että tilavuuden löytämiseksi on tiedettävä funktio Q(x), joka on erittäin ongelmallinen monimutkaisille kappaleille.

Esimerkki: Laske pallon tilavuus, jonka säde on R.

Pallon poikkileikkauksissa saadaan ympyröitä, joiden säde on muuttuva y. Nykyisestä x-koordinaatista riippuen tämä säde ilmaistaan ​​kaavalla
.

Tällöin poikkileikkausalafunktio on muotoa: Q(x) = .

Saamme pallon tilavuuden:

Esimerkki: Etsi mielivaltaisen pyramidin tilavuus, jonka korkeus on H ja kantapinta-ala S.

Kun ylität pyramidin tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa korkeuteen nähden, leikkauksessa saamme pohjan kaltaisia ​​lukuja. Näiden lukujen samankaltaisuuskerroin on yhtä suuri kuin suhde x / H, missä x on etäisyys leikkaustasosta pyramidin huipulle.

Geometriasta tiedetään, että samankaltaisten lukujen pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskerroin neliöity, ts.

Tästä saamme poikkileikkausalueiden funktion:

Pyramidin tilavuuden selvittäminen:

18.5. Vallankumouksen kappaleiden tilavuus.

Tarkastellaan yhtälön y = f(x) antamaa käyrää. Oletetaan, että funktio f(x) on jatkuva janalla . Jos sitä vastaavaa kaarevaa puolisuunnikasta, jossa on kanta a ja b, kierretään Ox-akselin ympäri, niin saadaan ns. vallankumouksen ruumis.

Koska jokainen kappaleen osa tasosta x = const on sädeympyrä, jolloin kierroskappaleen tilavuus voidaan helposti löytää yllä saadun kaavan avulla:

18.6. Vallankumouskappaleen pinta-ala.

M i B

Määritelmä: Pyörimispinta-ala käyrä AB tietyn akselin ympäri on raja, johon käyrälle AB merkittyjen katkoviivojen pyörimispintojen pinta-alat pyrkivät, kun suurin näiden katkoviivojen linkkien pituuksista pyrkii olemaan nolla.

Jaetaan kaari AB n osaan pisteillä M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Tuloksena olevan moniviivan kärkien koordinaatit ovat x i ja y i . Kun katkoviiva pyörii akselin ympäri, saadaan pinta, joka koostuu katkaistujen kartioiden sivupinnoista, joiden pinta-ala on yhtä suuri kuin P i . Tämä alue löytyy kaavalla:

Tässä S i on jokaisen soinnun pituus.

Käytämme Lagrangen lausetta (vrt. Lagrangen lause) suhteeseen
.

Esitetään joitain määrätyn integraalin sovelluksia.

Tasaisen hahmon pinta-alan laskeminen

Käyrän rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala (missä
), suoraan
,
ja segmentoida
kirveet
, lasketaan kaavalla

.

Käyrien rajaama hahmon pinta-ala
ja
(missä
) suoraan
ja
lasketaan kaavalla

.

Jos käyrä annetaan parametriyhtälöillä
, sitten tämän käyrän, suorien viivojen, rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala
,
ja segmentoida
kirveet
, lasketaan kaavalla

,

missä ja määritetään yhtälöistä
,
, a
klo
.

Kaareva sektorin alue, jota rajoittaa yhtälön napakoordinaateissa annettu käyrä
ja kaksi polaarista sädettä
,
(
), löytyy kaavalla

.

Esimerkki 1.27. Laske paraabelin rajoittaman kuvion pinta-ala
ja suora
(Kuva 1.1).

	Ratkaisu. Etsitään suoran ja paraabelin leikkauspisteet. Tätä varten ratkaisemme yhtälön , . Missä , . Sitten kaavalla (1.6) meillä on .

Tasokäyrän kaaren pituuden laskeminen

Jos käyrä
segmentillä
- sileä (eli johdannainen
on jatkuva), niin tämän käyrän vastaavan kaaren pituus löydetään kaavasta

.

Kun määritetään käyrä parametrisesti
(
- jatkuvasti differentioituvat funktiot) parametrin monotonista muutosta vastaavan käyrän kaaren pituus alkaen ennen , lasketaan kaavalla

Esimerkki 1.28. Laske käyrän kaaren pituus
,
,
.

Ratkaisu. Etsitään derivaatat parametrin suhteen :
,
. Sitten kaavalla (1.7) saadaan

.

2. Useiden muuttujien funktioiden differentiaalilaskenta

Olkoon jokainen tilattu numeropari
joltain alueelta
vastaa tiettyä numeroa
. Sitten nimeltään kahden muuttujan funktio ja ,
-riippumattomia muuttujia tai argumentteja ,
-määritelmän alue toimintoja, mutta sarja kaikki funktioarvot - sen valikoima ja merkitsee
.

Geometrisesti funktion alue on yleensä jokin osa tasosta
jota rajoittavat linjat, jotka voivat kuulua tai eivät kuulu tälle alueelle.

Esimerkki 2.1. Etsi verkkotunnus
toimintoja
.

	Ratkaisu. Tämä funktio määritellään näissä tason pisteissä , jossa , tai . Lentokoneen pisteet, joille , muodostavat alueen rajan . Yhtälö määrittelee paraabelin (kuva 2.1; koska paraabeli ei kuulu alueelle , se näkyy katkoviivana). Lisäksi on helppo tarkistaa suoraan, että pisteet, joille , joka sijaitsee paraabelin yläpuolella. Alue on avoin ja voidaan määrittää epäyhtälöjärjestelmällä:

Jos muuttuva antaa vähän vauhtia
, a jätä se vakioksi, sitten funktio
saavat korotuksen
nimeltään yksityinen lisäystoiminto muuttujan mukaan :

Vastaavasti, jos muuttuja saa lisäyksen
, a pysyy vakiona, sitten funktio
saavat korotuksen
nimeltään yksityinen lisäystoiminto muuttujan mukaan :

Jos rajoituksia on olemassa:

,

,

niitä kutsutaan funktion osittaiset derivaatat
muuttujien mukaan ja vastaavasti.

Huomautus 2.1. Minkä tahansa määrän riippumattomien muuttujien funktioiden osittaiset derivaatat määritellään samalla tavalla.

Huomautus 2.2. Koska osittaisderivaata minkä tahansa muuttujan suhteen on derivaatta tämän muuttujan suhteen, edellyttäen, että muut muuttujat ovat vakioita, kaikki yhden muuttujan funktioiden differentiointisäännöt ovat sovellettavissa minkä tahansa muuttujan lukumäärän funktioiden osittaisten johdannaisten löytämiseen.

Esimerkki 2.2.
.

Ratkaisu. Löydämme:

,

.

Esimerkki 2.3. Etsi funktioiden osittaiset johdannaiset
.

Ratkaisu. Löydämme:

,

,

.

Täysi toimintojen lisäys
kutsutaan eroksi

Pääosa funktion kokonaislisäyksestä
, riippuu lineaarisesti riippumattomien muuttujien lisäyksistä
ja
,kutsutaan funktion kokonaisdifferentiaaliksi ja merkitty
. Jos funktiolla on jatkuvia osittaisia ​​derivaattoja, kokonaisdifferentiaali on olemassa ja on yhtä suuri kuin

,

missä
,
- riippumattomien muuttujien mielivaltaiset lisäykset, joita kutsutaan niiden differentiaaleiksi.

Samoin kolmen muuttujan funktiolle
kokonaisero saadaan kaavalla

.

Anna toiminnon
on pisteessä
ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat kaikkien muuttujien suhteen. Sitten vektoria kutsutaan kaltevuus toimintoja
pisteessä
ja merkitty
tai
.

Huomautus 2.3. Symboli
kutsutaan Hamilton-operaattoriksi ja lausutaan "numbla".

Esimerkki 2.4. Etsi funktion gradientti pisteessä
.

Ratkaisu. Etsitään osittaiset derivaatat:

,
,

ja laskea niiden arvot pisteessä
:

,
,
.

Näin ollen
.

johdannainen toimintoja
pisteessä
vektorin suuntaan
jota kutsutaan suhteen rajaksi
klo
:

, missä
.

Jos toiminto
on differentioituva, niin derivaatta tähän suuntaan lasketaan kaavalla:

,

missä ,- kulmat, mikä vektori muotoja akseleilla
ja
vastaavasti.

Kolmen muuttujan funktion tapauksessa
suuntaderivaata määritellään samalla tavalla. Vastaavalla kaavalla on muoto

,

missä
- vektorin suuntakosinit .

Esimerkki 2.5. Etsi funktion derivaatta
pisteessä
vektorin suuntaan
, missä
.

Ratkaisu. Etsitään vektori
ja sen suuntakosinit:

,
,
,
.

Laske osittaisten derivaattojen arvot pisteessä
:

,
,
;
,
,
.

Korvaamalla (2.1) saamme

.

Toisen kertaluvun osittaiset derivaatat joita kutsutaan ensimmäisen kertaluvun osittaisista johdannaisista otettuiksi osittaisderivaataiksi:

,

,

,

Osittaiset johdannaiset
,
nimeltään sekoitettu . Sekajohdannaisten arvot ovat yhtä suuret niissä kohdissa, joissa nämä derivaatat ovat jatkuvia.

Esimerkki 2.6. Etsi funktion toisen asteen osittaiset derivaatat
.

Ratkaisu. Laske ensimmäisen kertaluvun ensimmäiset osittaiset derivaatat:

,
.

Erottelemalla ne uudelleen, saamme:

,
,

,
.

Vertaamalla viimeisiä ilmaisuja näemme sen
.

Esimerkki 2.7. Todista, että funktio
täyttää Laplacen yhtälön

.

Ratkaisu. Löydämme:

,
.

,
.

.

Piste
nimeltään paikallinen maksimipiste (minimi ) toiminnot
, jos kaikki kohdat
, muu kuin
ja kuuluminen sen riittävän pieneen naapuriin, epätasa-arvo

(
).

Funktion maksimi- tai minimiarvoa kutsutaan funktioksi ääripää . Pistettä, jossa funktion ääripiste saavutetaan, kutsutaan funktion ääripiste .

Lause 2.1 (Ekstreemin välttämättömät olosuhteet ). Jos kohta
on funktion ääripiste
, silloin ainakin yhtä näistä johdannaisista ei ole olemassa.

Pisteitä, joille nämä ehdot täyttyvät, kutsutaan paikallaan tai kriittinen . Ääripisteet ovat aina paikallaan, mutta paikallaan oleva piste ei välttämättä ole ääripiste. Jotta paikallaan oleva piste olisi ääripiste, riittävän ääripisteen on täytyttävä.

Otetaan ensin käyttöön seuraava merkintä :

,
,
,
.

Lause 2.2 (Riittävät olosuhteet ääripäälle ). Anna toiminnon
on kahdesti differentioituva pisteen läheisyydessä
ja piste
on paikallaan toimintoa varten
. Sitten:

1.Jos
, sitten se pointti
on funktion ääriarvo ja
on maksimipiste
(
)ja minimipiste
(
).

2.Jos
, sitten pisteessä

ei ole ääripäätä.

3.Jos
, silloin ääripää voi olla tai ei.

Esimerkki 2.8. Tutki ääripään funktiota
.

Ratkaisu. Koska tässä tapauksessa ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat aina olemassa, ratkaisemme järjestelmän stationääristen (kriittisten) pisteiden löytämiseksi:

,
,

missä
,
,
,
. Näin ollen saimme kaksi kiinteää pistettä:
,
.

,
,
.

Pisteeksi
saamme:, eli tässä vaiheessa ei ole ääripäätä. Pisteeksi
saamme: ja
, Näin ollen

tässä vaiheessa tämä funktio saavuttaa paikallisen minimin: .

Käyräviivaisen puolisuunnikkaan pinta-ala, jota ylhäältä rajoittaa funktion kuvaaja y=f(x), vasen ja oikea - suora x=a ja x=b vastaavasti alhaalta - akseli Härkä, lasketaan kaavalla

Käyräviivaisen puolisuunnikkaan alue, jota rajaa oikealla funktion kuvaaja x=φ(y), ylhäältä ja alhaalta - suora y=d ja y=c vastaavasti vasemmalla - akseli Oy:

Ylhäältä funktion kuvaajalla rajatun kaarevan kuvion ala y 2 \u003d f 2 (x), alla - funktion kaavio y 1 \u003d f 1 (x), vasen ja oikea - suora x=a ja x=b:

Vasemmalta ja oikealta funktiokaavioilla rajatun kaarevan kuvion alue x 1 \u003d φ 1 (y) ja x 2 \u003d φ 2 (y), ylhäältä ja alhaalta - suora y=d ja y=c vastaavasti:

Tarkastellaan tapausta, jossa kaarevaa puolisuunnikasta ylhäältä rajoittava suora on annettu parametriyhtälöillä x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), missä α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) = a, φ 1 (β) = b. Nämä yhtälöt määrittelevät jonkin funktion y=f(x) segmentillä [ a, b]. Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla

Siirrytään uuteen muuttujaan x = φ 1 (t), sitten dx = φ" 1 (t) dt, a y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), joten \begin(displaymath)

Alue napakoordinaateissa

Harkitse kaarevaa sektoria OAB, jota rajoittaa yhtälön antama viiva ρ=ρ(φ) napakoordinaateissa kaksi sädettä OA ja OB, mille φ=α , φ=β .

Jaamme alan perussektoreihin OM k-1 M k ( k = 1, …, n, M 0 =A, Mn = B). Merkitse Δφk palkkien välinen kulma OM k-1 ja OM k muodostaen kulmia napa-akselin kanssa φk-1 ja φk vastaavasti. Jokainen perussektoreista OM k-1 M k korvaa pyöreällä sektorilla, jolla on säde ρ k \u003d ρ (φ "k), missä φ" k- kulman arvo φ aikaväliltä [ φk-1, φk] ja keskikulma Δφk. Viimeisen sektorin pinta-ala ilmaistaan ​​kaavalla .

ilmaisee "porrastetun" sektorin alueen, joka suunnilleen korvaa annetun sektorin OAB.

Sektorin alue OAB kutsutaan "porrastetun" sektorin alueen rajaksi n→∞ ja λ=max Δφ k → 0:

Koska , sitten

Kaaren pituus

Anna segmentille [ a, b] on annettu differentioituva funktio y=f(x), jonka kuvaaja on kaari . Jana [ a,b] jakaa n osien pisteitä x 1, x2, …, xn-1. Nämä pisteet vastaavat pisteitä M1, M2, …, Mn-1 kaareja, yhdistä ne katkoviivalla, jota kutsutaan kaareksi piirretyksi katkoviivaksi. Tämän katkoviivan ympärysmitta on merkitty s n, tuo on

Määritelmä. Viivan kaaren pituus on siihen kirjoitetun polylinjan kehän raja, kun linkkien määrä M k-1 M k kasvaa loputtomasti, ja suurimman pituus on yleensä nolla:

missä λ on suurimman linkin pituus.

Laskemme kaaren pituuden joistakin sen pisteistä, esim. A. Anna pisteessä M(x,y) kaaren pituus on s, ja pisteessä M"(x+Δx,y+Δy) kaaren pituus on s+Δs, missä, i>Δs - kaaren pituus. Kolmiosta MNM" etsi sointujen pituus: .

Geometrisista näkökohdista seuraa, että

eli linjan äärettömän pieni kaari ja sitä täydentävä sointu ovat ekvivalentteja.

Muunnetaan kaava, joka ilmaisee sointujen pituuden:

Siirtymällä rajalle tässä yhtälössä saamme kaavan funktion derivaatalle s=s(x):

josta löydämme

Tämä kaava ilmaisee tasokäyrän kaaren differentiaalin ja sillä on yksinkertainen geometrinen merkitys: ilmaisee Pythagoraan lauseen äärettömälle pienelle kolmiolle MTN (ds=MT, ).

Avaruuskäyrän kaaren differentiaali saadaan kaavalla

Tarkastellaan parametristen yhtälöiden antamaa avaruusviivan kaaria

missä α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i = 1, 2, 3) ovat argumentin differentioituvia funktioita t, sitten

Integroimalla tämä yhtäläisyys väliin [ α, β ], saadaan kaava tämän linjakaaren pituuden laskemiseksi

Jos viiva on tasossa Oxy, sitten z = 0 kaikille t∈[α, β], siksi

Siinä tapauksessa, että tasainen viiva annetaan yhtälöllä y=f(x) (a≤x≤b), missä f(x) on differentioituva funktio, viimeinen kaava saa muodon

Olkoon tasainen viiva yhtälöllä ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) napakoordinaateissa. Tässä tapauksessa meillä on suoran parametriset yhtälöt x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, jossa napakulma otetaan parametriksi φ . Koska

sitten suoran kaaren pituutta ilmaiseva kaava ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) napakoordinaateissa on muotoa

kehon tilavuus

Etsitään kappaleen tilavuus, jos tämän kappaleen minkä tahansa poikkileikkauksen pinta-ala, joka on kohtisuorassa tiettyyn suuntaan, tunnetaan.

Jaetaan tämä kappale alkuainekerroksiksi tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa akseliin nähden Härkä ja määritellään yhtälöillä x=vakio. Kaikille kiinteälle x∈ tunnettu alue S=S(x) tämän rungon poikkileikkaus.

Tasoilla leikattu peruskerros x=x k-1, x=x k (k = 1, …, n, x 0 =a, xn=b), korvaamme sen sylinterillä, jonka korkeus on ∆x k =x k -x k-1 ja perusalue S(ξk), ξk ∈.

Määritellyn perussylinterin tilavuus ilmaistaan ​​kaavalla Δvk =E(ξk)Δxk. Tehdään yhteenveto kaikista sellaisista tuotteista

joka on annetun funktion kokonaissumma S=S(x) segmentillä [ a, b]. Se ilmaisee elementaarisista sylintereistä koostuvan porrastetun kappaleen tilavuuden, joka suunnilleen korvaa annetun rungon.

Tietyn kappaleen tilavuus on määritellyn porrastetun kappaleen tilavuuden raja λ→0 , missä λ - alkeisosien suurimman pituus ∆x k. Merkitse V annetun kappaleen tilavuus, sitten määritelmän mukaan

Toisaalta,

Siksi kehon tilavuus tietyille poikkileikkauksille lasketaan kaavalla

Jos runko on muodostettu pyörimällä akselin ympäri Härkä kaareva puolisuunnikas, jota ylhäältä rajoittaa jatkuvan linjan kaari y=f(x), missä a≤x≤b, sitten S(x) = πf 2 (x) ja viimeinen kaava tulee:

Kommentti. Kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajaa oikealla funktiokaavio x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), akselin ympäri Oy lasketaan kaavalla

Pyörimispinta-ala

Harkitse pintaa, joka saadaan pyörittämällä linjan kaaria y=f(x) (a≤x≤b) akselin ympäri Härkä(oletetaan, että funktio y=f(x) on jatkuva derivaatta). Korjaamme arvon x∈, funktion argumenttia kasvatetaan dx, joka vastaa "alkurengasta", joka saadaan kiertämällä peruskaari Δl. Tämä "rengas" korvataan lieriömäisellä renkaalla - rungon sivupinnalla, joka muodostuu suorakulmion pyörityksestä, jonka kanta on yhtä suuri kuin kaaren ero dl, ja korkeus h=f(x). Leikkaamalla viimeinen rengas ja avaamalla sen, saamme leveän nauhan dl ja pituus 2πv, missä y=f(x).

Siksi pinta-alaero ilmaistaan ​​kaavalla

Tämä kaava ilmaisee pinta-alan, joka saadaan pyörittämällä suoran kaaria y=f(x) (a≤x≤b) akselin ympäri Härkä.