Ensimmäinen taso

Toisen asteen yhtälöt. Kattava opas (2019)

Termissä "neliöyhtälö" avainsana on "neliö". Tämä tarkoittaa, että yhtälön täytyy välttämättä sisältää muuttuja (sama X) neliössä, eikä samaan aikaan saa olla X:itä kolmannessa (tai suuremmassa) asteessa.

Monien yhtälöiden ratkaisu pelkistyy toisen asteen yhtälöiden ratkaisuksi.

Opitaan määrittämään, että meillä on toisen asteen yhtälö, ei jokin muu.

Esimerkki 1

Päästä eroon nimittäjästä ja kerro jokainen yhtälön termi

Siirretään kaikki vasemmalle puolelle ja järjestellään termit x:n potenssien laskevaan järjestykseen

Nyt voimme varmuudella sanoa, että tämä yhtälö on neliö!

Esimerkki 2

Kerro vasen ja oikea puoli luvulla:

Tämä yhtälö, vaikka se oli alun perin siinä, ei ole neliö!

Esimerkki 3

Kerrotaan kaikki:

Pelottava? Neljäs ja toinen aste... Jos kuitenkin teemme korvauksen, näemme, että meillä on yksinkertainen toisen asteen yhtälö:

Esimerkki 4

Näyttää siltä, ​​mutta katsotaanpa tarkemmin. Siirretään kaikki vasemmalle puolelle:

Katsos, se on kutistunut - ja nyt se on yksinkertainen lineaarinen yhtälö!

Yritä nyt määrittää itse, mitkä seuraavista yhtälöistä ovat neliöllisiä ja mitkä eivät:

Esimerkkejä:

Vastaukset:

1. neliö;
2. neliö;
3. ei neliö;
4. ei neliö;
5. ei neliö;
6. neliö;
7. ei neliö;
8. neliö.

Matemaatikot jakavat kaikki toisen asteen yhtälöt ehdollisesti seuraaviin tyyppeihin:

• Täydelliset toisen asteen yhtälöt- yhtälöt, joissa kertoimet ja sekä vapaa termi c eivät ole nolla (kuten esimerkissä). Lisäksi täydellisten toisen asteen yhtälöiden joukossa on annettu ovat yhtälöitä, joissa kerroin (esimerkin yksi yhtälö ei ole vain täydellinen, vaan myös pelkistetty!)

• Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt- yhtälöt, joissa kerroin ja/tai vapaa termi c ovat nolla:

  Ne ovat epätäydellisiä, koska niistä puuttuu jokin elementti. Mutta yhtälön tulee aina sisältää x neliö !!! Muuten se ei ole enää neliö, vaan jokin muu yhtälö.

Miksi he keksivät tällaisen jaon? Vaikuttaa siltä, ​​​​että siellä on X-neliö, ja okei. Tällainen jako johtuu ratkaisumenetelmistä. Tarkastellaan jokaista niistä yksityiskohtaisemmin.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Keskitytään ensin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen - ne ovat paljon yksinkertaisempia!

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ovat tyyppejä:

1. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.
2. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.
3. , tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

1. i. Koska osaamme ottaa neliöjuuren, ilmaistaan ​​tämä yhtälö

Ilmaisu voi olla joko negatiivinen tai positiivinen. Neliöluku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrotaan kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tulos on aina positiivinen luku, joten: jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Ja jos, niin saamme kaksi juuria. Näitä kaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tärkeintä on, että sinun tulee aina tietää ja muistaa, että se ei voi olla vähemmän.

Yritetään ratkaista joitakin esimerkkejä.

Esimerkki 5:

Ratkaise yhtälö

Nyt on vielä poistettava juuri vasemmasta ja oikeasta osasta. Loppujen lopuksi muistatko kuinka poimia juuret?

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!!!

Esimerkki 6:

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 7:

Ratkaise yhtälö

Auts! Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria!

Tällaisille yhtälöille, joissa ei ole juuria, matemaatikot keksivät erityisen kuvakkeen - (tyhjä joukko). Ja vastaus voidaan kirjoittaa näin:

Vastaus:

Siten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria. Tässä ei ole rajoituksia, koska emme poimineet juuria.
Esimerkki 8:

Ratkaise yhtälö

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Tällä tavalla,

Tällä yhtälöllä on kaksi juurta.

Vastaus:

Yksinkertaisin epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden tyyppi (vaikka ne ovat kaikki yksinkertaisia, eikö?). Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Täällä pärjätään ilman esimerkkejä.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Muistutamme, että täydellinen toisen asteen yhtälö on yhtälö muotoyhtälöstä, jossa

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on hieman monimutkaisempaa (vain vähän) kuin annettuja.

Muistaa, mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Muut menetelmät auttavat sinua tekemään sen nopeammin, mutta jos sinulla on ongelmia toisen asteen yhtälöiden kanssa, hallitse ratkaisu ensin erottimen avulla.

1. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen diskriminantilla.

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on hyvin yksinkertaista, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa.

Jos, niin yhtälöllä on juuri. Erityistä huomiota tulee kiinnittää askeleen. Diskriminantti () kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin vaiheen kaava pienennetään arvoon. Siten yhtälöllä on vain juuri.
• Jos, emme pysty erottamaan erottimen juuria vaiheessa. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Palataanpa yhtälöihimme ja katsotaan muutama esimerkki.

Esimerkki 9:

Ratkaise yhtälö

Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Yhtälöllä on siis kaksi juuria.

Vaihe 3

Vastaus:

Esimerkki 10:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Yhtälöllä on siis yksi juuri.

Vastaus:

Esimerkki 11:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Tämä tarkoittaa, että emme pysty erottamaan juuria diskriminantista. Yhtälön juuria ei ole.

Nyt tiedämme kuinka kirjoittaa tällaiset vastaukset oikein.

Vastaus: ei juuria

2. Neliöyhtälöiden ratkaisu Vieta-lauseen avulla.

Jos muistat, on olemassa sellaisen tyyppisiä yhtälöitä, joita kutsutaan pelkistetyiksi (kun kerroin a on yhtä suuri):

Tällaiset yhtälöt on erittäin helppo ratkaista käyttämällä Vietan lausetta:

Juurien summa annettu toisen asteen yhtälö on yhtä suuri ja juurien tulo on yhtä suuri.

Esimerkki 12:

Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö sopii ratkaisuun Vietan lauseella, koska .

Yhtälön juurien summa on ts. saamme ensimmäisen yhtälön:

Ja tuote on:

Luodaan ja ratkaistaan ​​järjestelmä:

• ja. Summa on;
• ja. Summa on;
• ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Vastaus: ; .

Esimerkki 13:

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 14:

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Vastaus:

NELIÖYHTÄLÖT. KESKITASO

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Toisin sanoen toisen asteen yhtälö on muodoltaan yhtälö, jossa - tuntematon - lisäksi joitain lukuja.

Numeroa kutsutaan suurimmaksi tai ensimmäinen kerroin toisen asteen yhtälö, - toinen kerroin, a - vapaa jäsen.

Miksi? Koska jos yhtälöstä tulee välittömästi lineaarinen, koska katoaa.

Tässä tapauksessa ja voi olla nolla. Tässä ulosteyhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi. Jos kaikki ehdot ovat paikoillaan, yhtälö on valmis.

Ratkaisuja erityyppisiin toisen asteen yhtälöihin

Menetelmät epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Aluksi analysoimme menetelmiä epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi - ne ovat yksinkertaisempia.

Seuraavat yhtälötyypit voidaan erottaa:

I. , tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

II. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.

III. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.

Harkitse nyt kunkin alatyypin ratkaisua.

Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Neliöity luku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrotaan kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tuloksena on aina positiivinen luku. Siksi:

jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja;

jos meillä on kaksi juurta

Näitä kaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tärkeintä on muistaa, että se ei voi olla pienempi.

Esimerkkejä:

Ratkaisut:

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!

Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria.

Kirjoitamme lyhyesti, että ongelmalla ei ole ratkaisuja, käytämme tyhjän sarjan kuvaketta.

Vastaus:

Joten tällä yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Vastaus:

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, kun:

Joten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Esimerkki:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Laskemme yhtälön vasemman puolen ja etsimme juuret:

Vastaus:

Menetelmät täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Syrjivä

Neliöyhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on helppoa, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa. Muista, että mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Huomasitko erottimen juuren juurikaavassa? Mutta syrjivä tekijä voi olla negatiivinen. Mitä tehdä? Meidän on kiinnitettävä erityistä huomiota vaiheeseen 2. Diskriminantti kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin yhtälöllä on juuri:
• Jos yhtälöllä on sama juuri, mutta itse asiassa yksi juuri:

  Tällaisia ​​juuria kutsutaan kaksoisjuuriksi.

• Jos, erottajan juuria ei eroteta. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Miksi juuria on eri määrä? Katsotaanpa toisen asteen yhtälön geometrista merkitystä. Funktion kuvaaja on paraabeli:

Tietyssä tapauksessa, joka on toisen asteen yhtälö, . Ja tämä tarkoittaa, että neliöyhtälön juuret ovat leikkauspisteitä x-akselin (akselin) kanssa. Paraabeli ei välttämättä ylitä akselia ollenkaan tai se voi leikata sen yhdessä (kun paraabelin huippu on akselilla) tai kahdessa pisteessä.

Lisäksi kerroin vastaa paraabelin haarojen suunnasta. Jos, niin paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin ja jos - niin alaspäin.

Esimerkkejä:

Ratkaisut:

Vastaus:

Vastaus:.

Vastaus:

Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Vastaus:.

2. Vietan lause

Vieta-lauseen käyttäminen on erittäin helppoa: sinun tarvitsee vain valita lukupari, jonka tulo on yhtä suuri kuin yhtälön vapaa termi, ja summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä.

On tärkeää muistaa, että Vietan lausetta voidaan soveltaa vain annetut toisen asteen yhtälöt ().

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Tämä yhtälö sopii ratkaisuun Vietan lauseella, koska . Muut kertoimet: ; .

Yhtälön juurien summa on:

Ja tuote on:

Valitaan sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja tarkistetaan, onko niiden summa yhtä suuri:

• ja. Summa on;
• ja. Summa on;
• ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Siten ja ovat yhtälömme juuret.

Vastaus: ; .

Esimerkki 2:

Ratkaisu:

Valitsemme tuotteessa sellaiset lukuparit ja tarkistamme sitten, onko niiden summa yhtä suuri:

ja: anna yhteensä.

ja: anna yhteensä. Saadaksesi sen, sinun on vain muutettava väitettyjen juurien merkkejä: ja loppujen lopuksi työ.

Vastaus:

Esimerkki #3:

Ratkaisu:

Yhtälön vapaa termi on negatiivinen, joten juurien tulo on negatiivinen luku. Tämä on mahdollista vain, jos yksi juurista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Juurien summa on siis moduulien eroista.

Valitsemme sellaiset numeroparit, jotka antavat tuotteessa ja joiden ero on yhtä suuri:

ja: niiden ero on - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - sopiva. Jää vain muistaa, että yksi juurista on negatiivinen. Koska niiden summan on oltava yhtä suuri, niin itseisarvoltaan pienemmän juuren on oltava negatiivinen: . Tarkistamme:

Vastaus:

Esimerkki #4:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Vapaa termi on negatiivinen, ja siksi juurien tulo on negatiivinen. Ja tämä on mahdollista vain, kun yhtälön yksi juuri on negatiivinen ja toinen on positiivinen.

Valitsemme sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja määritämme sitten, millä juurilla tulee olla negatiivinen etumerkki:

Ilmeisesti vain juuret ja sopivat ensimmäiseen ehtoon:

Vastaus:

Esimerkki #5:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Juurien summa on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että ainakin yksi juurista on negatiivinen. Mutta koska heidän tuotteensa on positiivinen, se tarkoittaa, että molemmat juuret ovat miinus.

Valitsemme sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri:

Ilmeisesti juuret ovat numerot ja.

Vastaus:

Samaa mieltä, se on erittäin kätevää - keksiä juuret suullisesti sen sijaan, että laskettaisiin tämä ilkeä erottelutekijä. Yritä käyttää Vietan lausetta niin usein kuin mahdollista.

Mutta Vieta-lausetta tarvitaan helpottamaan ja nopeuttamaan juurien löytämistä. Jotta sen käyttäminen olisi kannattavaa, sinun on saatettava toiminnot automatismiin. Ja tätä varten ratkaise viisi muuta esimerkkiä. Mutta älä huijaa: et voi käyttää erotinta! Vain Vietan lause:

Ratkaisut itsenäisen työn tehtäviin:

Tehtävä 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vietan lauseen mukaan:

Aloitamme valinnan tuttuun tapaan tuotteella:

Ei sovellu, koska määrä;

: määrä on mitä tarvitset.

Vastaus: ; .

Tehtävä 2.

Ja jälleen suosikki Vieta-lauseemme: summan pitäisi selvitä, mutta tulo on yhtä suuri.

Mutta koska sen ei pitäisi olla, vaan, muutamme juurien merkkejä: ja (yhteensä).

Vastaus: ; .

Tehtävä 3.

Hmm... Missä se on?

Kaikki ehdot on siirrettävä yhteen osaan:

Juurien summa on yhtä suuri kuin tulo.

Kyllä, lopeta! Yhtälöä ei ole annettu. Mutta Vietan lause on sovellettavissa vain annetuissa yhtälöissä. Joten ensin sinun on tuotava yhtälö. Jos et pysty tuomaan sitä esille, hylkää tämä idea ja ratkaise se toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin avulla). Haluan muistuttaa, että toisen asteen yhtälön tuominen tarkoittaa, että johtava kerroin on yhtä suuri:

Erinomainen. Silloin juurien summa on yhtä suuri ja tulo.

Se on helpompi poimia täältä: loppujen lopuksi - alkuluku (anteeksi tautologia).

Vastaus: ; .

Tehtävä 4.

Vapaa termi on negatiivinen. Mikä siinä on niin erikoista? Ja se, että juuret ovat eri merkkejä. Ja nyt valinnan aikana emme tarkista juurien summaa, vaan niiden moduulien välistä eroa: tämä ero on yhtä suuri, mutta tuote.

Joten juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä on miinuksella. Vietan lause kertoo, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, eli. Tämä tarkoittaa, että pienemmällä juurella on miinus: ja, koska.

Vastaus: ; .

Tehtävä 5.

Mitä pitää tehdä ensin? Aivan oikein, anna yhtälö:

Jälleen: valitsemme luvun tekijät, ja niiden eron tulee olla yhtä suuri:

Juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä on miinus. Mikä? Niiden summan on oltava yhtä suuri, mikä tarkoittaa, että miinuksella on suurempi juuri.

Vastaus: ; .

Sallikaa minun tiivistää:

1. Vietan lausetta käytetään vain annetuissa toisen asteen yhtälöissä.
2. Vieta-lauseen avulla voit löytää juuret valinnalla, suullisesti.
3. Jos yhtälöä ei anneta tai sopivaa vapaan termin tekijäparia ei löytynyt, kokonaislukujuuria ei ole, ja se on ratkaistava toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin kautta).

3. Koko neliön valintamenetelmä

Jos kaikki tuntemattoman sisältävät termit esitetään termeinä lyhennettyjen kertolaskujen kaavoista - summan tai erotuksen neliö -, niin muuttujien muutoksen jälkeen yhtälö voidaan esittää epätäydellisenä tyyppisenä toisen asteen yhtälönä.

Esimerkiksi:

Esimerkki 1:

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

Esimerkki 2:

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

Yleisesti ottaen muunnos näyttää tältä:

Tämä tarkoittaa: .

Eikö se muistuta sinua mistään? Se on se syrjintä! Juuri näin erottelukaava saatiin.

NELIÖYHTÄLÖT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Toisen asteen yhtälö on yhtälö muotoa, jossa on tuntematon, ovat kertoimet toisen asteen yhtälön, on vapaa termi.

Täydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kertoimet eivät ole nolla.

Pelkistetty toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin, eli: .

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin ja/tai vapaa termi c ovat nolla:

• jos kerroin, yhtälö on muotoa: ,
• jos se on vapaa termi, yhtälöllä on muoto: ,
• jos ja, yhtälöllä on muoto: .

1. Algoritmi epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

1.1. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Ilmaise tuntematon: ,

2) Tarkista lausekkeen merkki:

• jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja,
• jos, niin yhtälöllä on kaksi juuria.

1.2. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Otetaan yhteinen tekijä suluista: ,

2) Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Siksi yhtälöllä on kaksi juuria:

1.3. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

Tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri: .

2. Algoritmi täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi muotoa jossa

2.1. Ratkaisu käyttämällä diskriminanttia

1) Siirretään yhtälö vakiomuotoon: ,

2) Laske diskriminantti kaavalla: , joka ilmaisee yhtälön juurien määrän:

3) Etsi yhtälön juuret:

• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä ei ole juuria.

2.2. Ratkaisu käyttäen Vietan lausetta

Supistetun toisen asteen yhtälön (muodon yhtälö, jossa) juurien summa on yhtä suuri, ja juurien tulo on yhtä suuri, ts. , a.

2.3. Täysi neliöratkaisu

Tällä matematiikkaohjelmalla voit ratkaise toisen asteen yhtälö.

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin kahdella tavalla:
- Diskriminantin käyttö
- käyttämällä Vieta-lausetta (jos mahdollista).

Lisäksi vastaus näytetään täsmällisesti, ei likimääräisesti.
Esimerkiksi yhtälön \(81x^2-16x-1=0\) vastaus näytetään tässä muodossa:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ tämän sijaan: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille kokeisiin ja kokeisiin valmistautuessa, kun tietoja testataan ennen yhtenäistä valtiontutkintoa, vanhemmille monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisun hallitsemiseksi. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.

Jos et tunne neliöpolynomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme tutustumaan niihin.

Säännöt neliöpolynomin syöttämiseksi

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaislukuina tai murtolukuina.
Lisäksi murtolukuja voidaan syöttää ei vain desimaalin, vaan myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtoluvuissa murto-osa kokonaisluvusta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi kirjoittaa desimaalit seuraavasti: 2,5x - 3,5x^2

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Tulo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Tulos: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kun syötät lausekkeen voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö, esitetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkki: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Päättää

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Toisen asteen yhtälö ja sen juuret. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Jokainen yhtälö
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
on muotoa
\(ax^2+bx+c=0, \)
missä x on muuttuja, a, b ja c ovat lukuja.
Ensimmäisessä yhtälössä a = -1, b = 6 ja c = 1,4, toisessa a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmannessa a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.
toisen asteen yhtälö kutsutaan yhtälöä muotoa ax 2 +bx+c=0, jossa x on muuttuja, a, b ja c joitakin lukuja ja \(a \neq 0 \).

Luvut a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimia. Lukua a kutsutaan ensimmäiseksi kertoimeksi, lukua b on toinen kerroin ja lukua c on leikkauspiste.

Jokaisessa yhtälössä, jonka muoto on ax 2 +bx+c=0, missä \(a \neq 0 \), muuttujan x suurin potenssi on neliö. Siitä nimi: toisen asteen yhtälö.

Huomaa, että toisen asteen yhtälöä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, koska sen vasen puoli on toisen asteen polynomi.

Kutsutaan neliöyhtälö, jossa kerroin kohdassa x 2 on 1 pelkistetty toisen asteen yhtälö. Esimerkiksi annetut toisen asteen yhtälöt ovat yhtälöitä
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jos toisen asteen yhtälössä ax 2 +bx+c=0 ainakin yksi kertoimista b tai c on yhtä suuri kuin nolla, niin tällaista yhtälöä kutsutaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö. Joten yhtälöt -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Ensimmäisessä niistä b=0, toisessa c=0, kolmannessa b=0 ja c=0.

Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä on kolmea tyyppiä:
1) ax 2 +c=0, missä \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, missä \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Harkitse kunkin näiden tyyppien yhtälöiden ratkaisua.

Epätäydellisen toisen asteen yhtälön, jonka muoto on ax 2 +c=0, ratkaisemiseksi \(c \neq 0 \) sen vapaa termi siirretään oikealle puolelle ja yhtälön molemmat osat jaetaan a:lla:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Oikea nuoli x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Koska \(c \neq 0 \), sitten \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jos \(-\frac(c)(a)>0 \), yhtälöllä on kaksi juuria.

Jos \(-\frac(c)(a) Ratkaise epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0 arvolle \(b \neq 0 \), kerro sen vasen puoli ja hanki yhtälö
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (taulukko)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Näin ollen epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä muotoa ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) on aina kaksi juuria.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka muoto on ax 2 \u003d 0, vastaa yhtälöä x 2 \u003d 0, ja siksi sillä on yksi juuri 0.

Kaava toisen asteen yhtälön juurille

Tarkastellaan nyt, kuinka ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt, joissa sekä tuntemattomien kertoimet että vapaa termi ovat nollasta poikkeavia.

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön yleisessä muodossa ja tuloksena saamme juurien kaavan. Sitten tätä kaavaa voidaan soveltaa minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax 2 +bx+c=0

Jakamalla sen molemmat osat a:lla, saadaan vastaava pelkistetty toisen asteen yhtälö
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Muunnamme tämän yhtälön korostamalla binomiaalin neliön:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \nuoli oikealle \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Oikeanuoli x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Nuoli oikealle \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Juurilauseketta kutsutaan toisen asteen yhtälön diskriminantti ax 2 +bx+c=0 ("diskriminantti" latinaksi - erottaja). Sitä merkitään kirjaimella D, ts.
\(D = b^2-4ac\)

Nyt, käyttämällä erottimen merkintää, kirjoitamme uudelleen kaava toisen asteen yhtälön juurille:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), missä \(D= b^2-4ac \)

On selvää, että:
1) Jos D>0, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.
2) Jos D=0, niin toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jos D Siten, erottimen arvosta riippuen, toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi juuria (jos D > 0), yksi juuri (jos D = 0) tai ei juuria (D:lle Kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö tällä kaavalla , on suositeltavaa toimia seuraavasti:
1) laske diskriminantti ja vertaa sitä nollaan;
2) jos diskriminantti on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, käytä juurikaavaa, jos diskriminantti on negatiivinen, kirjoita ylös, että juuria ei ole.

Vietan lause

Annetulla toisen asteen yhtälöllä ax 2 -7x+10=0 on juuret 2 ja 5. Juurien summa on 7 ja tulo on 10. Näemme, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin otettuna vastakkainen merkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Jokaisella pelkistetyllä toisen asteen yhtälöllä, jolla on juuret, on tämä ominaisuus.

Annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Nuo. Vietan lause sanoo, että pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +px+q=0 juurilla x 1 ja x 2 on ominaisuus:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Saatuaan yleisen käsityksen yhtälöistä ja tutustunut yhteen niiden tyypeistä - numeerisista yhtäläisyyksistä, voit alkaa puhua toisesta tasa-arvon muodosta, joka on erittäin tärkeä käytännön näkökulmasta - yhtälöistä. Tässä artikkelissa analysoimme mikä on yhtälö, ja mitä kutsutaan yhtälön juureksi. Tässä annamme vastaavat määritelmät ja annamme myös erilaisia ​​esimerkkejä yhtälöistä ja niiden juurista.

Sivulla navigointi.

Mikä on yhtälö?

Määrätietoinen yhtälöiden tuntemus alkaa yleensä matematiikan tunneilla 2. luokalla. Tällä hetkellä seuraavat yhtälön määritelmä:

Määritelmä.

Yhtälö on yhtälö, joka sisältää löydettävän tuntemattoman luvun.

Tuntemattomat numerot yhtälöissä merkitään yleensä pienillä latinalaisilla kirjaimilla, esimerkiksi p, t, u jne., mutta useimmiten käytetään kirjaimia x, y ja z.

Siten yhtälö määräytyy merkinnän muodon kannalta. Toisin sanoen tasa-arvo on yhtälö, kun se noudattaa määritettyjä merkintäsääntöjä - se sisältää kirjaimen, jonka arvo on löydettävä.

Annetaan esimerkkejä aivan ensimmäisistä ja yksinkertaisimmista yhtälöistä. Aloitetaan yhtälöillä, kuten x=8, y=3 jne. Yhtälöt, jotka sisältävät aritmeettisten operaatioiden merkkejä sekä numeroita ja kirjaimia, näyttävät hieman monimutkaisemmilta, esimerkiksi x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

Yhtälöiden kirjo kasvaa tutustuttuaan - suluissa olevia yhtälöitä alkaa ilmaantua, esimerkiksi 2 (x−1)=18 ja x+3 (x+2 (x−2))=3 . Tuntematon kirjain voi esiintyä yhtälössä useita kertoja, esimerkiksi x+3+3 x−2−x=9 , ja kirjaimet voivat olla yhtälön vasemmalla puolella, sen oikealla puolella tai yhtälön molemmilla puolilla. yhtälö, esimerkiksi x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 tai 3 x−4=2 (x+12) .

Lisäksi luonnollisia lukuja tutkittuaan tutustutaan kokonaislukuihin, rationaalisiin, reaalilukuihin, tutkitaan uusia matemaattisia objekteja: asteita, juuria, logaritmeja jne., kun taas ilmaantuu yhä enemmän uusia yhtälöitä, jotka sisältävät näitä asioita. Esimerkkejä löytyy artikkelista. yhtälöiden päätyypit opiskellut koulussa.

Luokalla 7 kirjaimien, jotka tarkoittavat tiettyjä numeroita, ohella he alkavat harkita kirjaimia, jotka voivat saada erilaisia ​​​​arvoja, niitä kutsutaan muuttujiksi (katso artikkeli). Tässä tapauksessa sana "muuttuja" lisätään yhtälön määritelmään, ja siitä tulee tällainen:

Määritelmä.

Yhtälö nimeä yhtälö, joka sisältää muuttujan, jonka arvo on löydettävä.

Esimerkiksi yhtälö x+3=6 x+7 on yhtälö, jossa on muuttuja x , ja 3 z−1+z=0 on yhtälö, jossa on muuttuja z .

Saman 7. luokan algebratunneilla on kohtaaminen yhtälöiden kanssa, jotka sisältävät tietueessaan ei yhtä, vaan kaksi erilaista tuntematonta muuttujaa. Niitä kutsutaan yhtälöiksi, joissa on kaksi muuttujaa. Jatkossa kolmen tai useamman muuttujan läsnäolo yhtälötietueessa on sallittu.

Määritelmä.

Yhtälöt yhdellä, kahdella, kolmella jne. muuttujia- nämä ovat yhtälöitä, joiden tietueessa on yksi, kaksi, kolme, ... tuntematon muuttuja.

Esimerkiksi yhtälö 3.2 x+0.5=1 on yhtälö, jossa on yksi muuttuja x, mutta yhtälö muotoa x−y=3 on yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa x ja y. Ja vielä yksi esimerkki: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . On selvää, että tällainen yhtälö on yhtälö, jossa on kolme tuntematonta muuttujaa x, y ja z.

Mikä on yhtälön juuri?

Yhtälön juuren määritelmä liittyy suoraan yhtälön määritelmään. Suoritamme joitakin perusteluja, jotka auttavat meitä ymmärtämään, mikä yhtälön juuri on.

Oletetaan, että meillä on yhtälö, jossa on yksi kirjain (muuttuja). Jos tämän yhtälön tietueessa olevan kirjaimen sijasta korvataan tietty numero, yhtälöstä tulee numeerinen yhtälö. Lisäksi tuloksena oleva yhtäläisyys voi olla sekä tosi että epätosi. Jos esimerkiksi korvaamme yhtälön a+1=5 kirjaimen a sijaan luvun 2 , niin saadaan virheellinen numeerinen yhtälö 2+1=5 . Jos korvaamme tässä yhtälössä luvun 4 a:n sijaan, saadaan oikea yhtälö 4+1=5.

Käytännössä suurimmassa osassa tapauksia kiinnostavat sellaiset muuttujan arvot, joiden korvaaminen yhtälöön antaa oikean yhtälön, näitä arvoja kutsutaan tämän yhtälön juuriksi tai ratkaisuiksi.

Määritelmä.

Yhtälön juuri- tämä on kirjaimen (muuttujan) arvo, jota korvattaessa yhtälö muuttuu oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

Huomaa, että yhden muuttujan yhtälön juuria kutsutaan myös yhtälön ratkaisuksi. Toisin sanoen yhtälön ratkaisu ja yhtälön juuri ovat sama asia.

Selvitetään tämä määritelmä esimerkin avulla. Tätä varten palaamme yllä olevaan yhtälöön a+1=5 . Yhtälön juuren soinnillisen määritelmän mukaan numero 4 on tämän yhtälön juuri, koska kun tämä luku korvataan a-kirjaimen sijaan, saadaan oikea yhtälö 4+1=5, eikä luku 2 ole sen juuri, koska se vastaa väärää yhtälöä muodossa 2+1= 5 .

Tässä vaiheessa herää useita luonnollisia kysymyksiä: "Onko millään yhtälöllä juuria ja kuinka monta juuria annetulla yhtälöllä on"? Vastaamme niihin.

On olemassa yhtälöitä, joissa on juuria, ja yhtälöitä ilman juuria. Esimerkiksi yhtälön x+1=5 juuri on 4 ja yhtälön 0 x=5 juuria ei ole, koska riippumatta siitä, minkä luvun korvaamme tähän yhtälöön muuttujan x sijasta, saamme väärän yhtälön 0= 5.

Mitä tulee yhtälön juurien lukumäärään, on sekä yhtälöitä, joilla on jokin äärellinen määrä juuria (yksi, kaksi, kolme jne.), että yhtälöitä, joilla on äärettömän monta juuria. Esimerkiksi yhtälöllä x−2=4 on yksi juuri 6 , yhtälön x 2 =9 juuret ovat kaksi numeroa −3 ja 3 , yhtälöllä x (x−1) (x−2)=0 on kolme juuret 0 , 1 ja 2 , ja yhtälön x=x ratkaisu on mikä tahansa luku, eli sillä on ääretön määrä juuria.

Muutama sana on sanottava yhtälön juurten hyväksytystä merkinnästä. Jos yhtälöllä ei ole juuria, niin yleensä he kirjoittavat "yhtälöllä ei ole juuria" tai käyttävät tyhjän joukon etumerkkiä ∅. Jos yhtälöllä on juuret, ne kirjoitetaan pilkuilla erotettuina tai kirjoitetaan muodossa asettaa elementtejä kihareissa suluissa. Jos yhtälön juuret ovat esimerkiksi luvut −1, 2 ja 4, kirjoita −1, 2, 4 tai (−1, 2, 4) . On myös mahdollista kirjoittaa yhtälön juuret yksinkertaisten yhtälöiden muodossa. Jos esimerkiksi kirjain x syöttää yhtälön ja tämän yhtälön juuret ovat numerot 3 ja 5, voit kirjoittaa x=3, x=5 ja usein lisätään alaindeksit x 1 =3, x 2 =5 muuttujaan, ikään kuin osoittaen numeroita yhtälön juuria. Yhtälön ääretön juurijoukko kirjoitetaan yleensä muotoon, myös, jos mahdollista, käytetään luonnollisten lukujen N, kokonaislukujen Z, reaalilukujen R merkintää. Jos esimerkiksi muuttujan x yhtälön juuri on mikä tahansa kokonaisluku, kirjoita , ja jos muuttujan y yhtälön juuret ovat mikä tahansa reaaliluku väliltä 1–9, kirjoita .

Yhtälöissä, joissa on kaksi, kolme ja useampia muuttujia, termiä "yhtälön juuri" ei yleensä käytetä, näissä tapauksissa sanotaan "yhtälön ratkaisu". Mitä kutsutaan useiden muuttujien yhtälöiden ratkaisuksi? Antakaamme sopiva määritelmä.

Määritelmä.

Yhtälön ratkaiseminen kahdella, kolmella jne. muuttujia soita parille, kolmelle jne. muuttujien arvot, mikä muuttaa tämän yhtälön todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Näytämme selittäviä esimerkkejä. Tarkastellaan yhtälöä, jossa on kaksi muuttujaa x+y=7 . Korvaamme luvun 1 x:n sijaan ja luvun 2 y:n sijaan, kun taas meillä on yhtälö 1+2=7. Ilmeisesti se on väärin, joten arvojen pari x=1, y=2 ei ole ratkaisu kirjoitettuun yhtälöön. Jos otamme arvoparin x=4, y=3, niin yhtälöön korvaamisen jälkeen tulee oikea yhtälö 4+3=7, joten tämä muuttujaarvopari on määritelmän mukaan ratkaisu yhtälöön x+y=7 .

Yhtälöillä, joissa on useita muuttujia, kuten yhtälöillä, joissa on yksi muuttuja, ei voi olla juuria, niillä voi olla äärellinen määrä juuria tai niillä voi olla äärettömän monta juuria.

Parit, kolmoset, neloset jne. muuttujien arvot kirjoitetaan usein lyhyesti, luettelemalla niiden arvot pilkuilla erotettuina suluissa. Tässä tapauksessa suluissa olevat numerot vastaavat muuttujia aakkosjärjestyksessä. Selvennetään tätä kohtaa palaamalla edelliseen yhtälöön x+y=7 . Tämän yhtälön ratkaisu x=4 , y=3 voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa (4, 3) .

Eniten huomiota matematiikan, algebran ja analyysin alkuvaiheessa kiinnitetään yhden muuttujan yhtälöiden juurien löytämiseen. Analysoimme tämän prosessin sääntöjä erittäin yksityiskohtaisesti artikkelissa. yhtälöiden ratkaisu.

Bibliografia.

• Matematiikka. 2 solua Proc. yleissivistävää koulutusta varten laitokset adj. elektronille. harjoittaja. Klo 2, osa 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova ja muut] - 3. painos. - M.: Koulutus, 2012. - 96 s.: ill. - (Venäjän koulu). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. luokka: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Tyyppiyhtälö

Ilmaisu D= b 2 - 4ac nimeltään syrjivä toisen asteen yhtälö. JosD = 0, niin yhtälöllä on yksi reaalijuuri; jos D> 0, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta.
Siinä tapauksessa kun D = 0 , joskus sanotaan, että toisen asteen yhtälöllä on kaksi identtistä juurta.
Muistimerkin käyttö D= b 2 - 4ac, kaava (2) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Jos b= 2 k, niin kaava (2) saa muotoa:

missä k= b / 2 .
Viimeinen kaava on erityisen kätevä, kun b / 2 on kokonaisluku, ts. kerroin b- tasaluku.
Esimerkki 1: ratkaise yhtälö 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Tässä a = 2, b = -5, c = 2. Meillä on D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Koska D > 0 , niin yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne kaavalla (2)

Niin x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
tuo on x 1 = 2 ja x 2 = 1 / 2 ovat annetun yhtälön juuret.
Esimerkki 2: ratkaise yhtälö 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Tässä a = 2, b = -3, c = 5. Erottajan löytäminen D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Koska D 0 , silloin yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt. Jos toisen asteen yhtälössä kirves 2 +bx+c =0 toinen tekijä b tai vapaajäsen c on nolla, niin kutsutaan toisen asteen yhtälöä epätäydellinen. Epätäydelliset yhtälöt erotetaan toisistaan, koska niiden juurien löytämiseksi et voi käyttää kaavaa toisen asteen yhtälön juurille - yhtälö on helpompi ratkaista ottamalla sen vasen puoli tekijöihin.
Esimerkki 1: ratkaise yhtälö 2 x 2 -5x = 0 .
Meillä on x(2 x - 5) = 0 . Siis joko x = 0 , tai 2 x - 5 = 0 , tuo on x = 2.5 . Yhtälöllä on siis kaksi juuria: 0 ja 2.5
Esimerkki 2: ratkaise yhtälö 3 x 2 - 27 = 0 .
Meillä on 3 x 2 = 27 . Siksi tämän yhtälön juuret ovat 3 ja -3 .

Vietan lause. Jos annettu toisen asteen yhtälö x 2 +px+ q =0 on todelliset juuret, silloin niiden summa on yhtä suuri kuin - s, ja tuote on q, tuo on

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(annetun toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi).

Neliöyhtälöitä tutkitaan luokalla 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on välttämätöntä.

Neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, jossa kertoimet a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkimme tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:

1. ei ole juuria;
2. Niillä on täsmälleen yksi juuri;
3. Niillä on kaksi eri juurta.

Tämä on tärkeä ero toisen asteen ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrittää kuinka monta juurta yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.

Syrjivä

Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin diskriminantti on yksinkertaisesti luku D = b 2 − 4ac .

Tämä kaava on tiedettävä ulkoa. Mistä se tulee, ei ole nyt merkitystä. Toinen asia on tärkeä: erottimen merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on. Nimittäin:

1. Jos D< 0, корней нет;
2. Jos D = 0, on juuri yksi juuri;
3. Jos D > 0, on kaksi juuria.

Huomaa: diskriminantti osoittaa juurien määrän, ei ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet ajattelevat. Katso esimerkkejä ja ymmärrät kaiken itse:

Tehtävä. Kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöillä on:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Kirjoitamme ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydämme diskriminantin:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminantti on siis positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juuria. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantti on negatiivinen, ei ole juuria. Jäljelle jää viimeinen yhtälö:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla - juuri on yksi.

Huomaa, että jokaiselle yhtälölle on kirjoitettu kertoimet. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia etkä tee typeriä virheitä. Valitse itse: nopeus vai laatu.

Muuten, jos "täytät kätesi", sinun ei enää hetken kuluttua tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Suoritat tällaiset toiminnot päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tätä jossain 50-70 ratkaistun yhtälön jälkeen - yleensä ei niin paljon.

Toisen yhtälön juuret

Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos diskriminantti D > 0, juuret löytyvät kaavoilla:

Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne:

Toinen yhtälö:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juuria. Etsitään ne

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(tasaa)\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tunnet kaavat ja osaat laskea, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä tapahtuu, kun negatiiviset kertoimet korvataan kaavaan. Tässä taas yllä kuvattu tekniikka auttaa: katso kaavaa kirjaimellisesti, maalaa jokainen vaihe - ja päästä eroon virheistä hyvin pian.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Tapahtuu, että toisen asteen yhtälö on jonkin verran erilainen kuin määritelmässä annettu. Esimerkiksi:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt ovat jopa helpompia ratkaista kuin tavalliset: niiden ei tarvitse edes laskea diskriminanttia. Esittelemme siis uuden konseptin:

Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. muuttujan x eli vapaan alkion kerroin on nolla.

Tietysti erittäin vaikea tapaus on mahdollinen, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b \u003d c \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö saa muotoa ax 2 \u003d 0. Selvästikin tällaisella yhtälöllä on yksi ainoa juuri: x \u003d 0.

Mietitään muita tapauksia. Olkoon b \u003d 0, niin saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön muodossa ax 2 + c \u003d 0. Muunnetaan sitä hieman:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeisellä yhtälöllä on järkeä vain, kun (−c / a ) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 + c = 0 tyydyttää epäyhtälön (−c / a ) ≥ 0, on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
2. Jos (-c / a )< 0, корней нет.

Kuten näette, diskriminanttia ei vaadittu - epätäydellisissä toisen asteen yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia ​​laskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epäyhtälöä (−c / a ) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan ​​x 2:n arvo ja katsotaan mitä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos on positiivinen luku, on kaksi juuria. Jos negatiivinen, juuria ei ole ollenkaan.

Käsitellään nyt yhtälöitä, jotka ovat muotoa ax 2 + bx = 0, joissa vapaa alkio on yhtä suuri kuin nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: aina on kaksi juurta. Riittää, että polynomi kerrotaan kertoimella:

Yhteisen tekijän poistaminen suluista

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Täältä juuret tulevat. Lopuksi analysoimme useita näistä yhtälöistä:

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ei ole juuria, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.