Algebratunnin kehittäminen 11. profiililuokassa

Oppitunnin johti matematiikan opettaja MBOU lukion nro 6 Tupitsyna O.V.

Aihe ja oppitunnin numero aiheessa:"Useiden yhtälö-seuraamukseen johtavien muunnosten soveltaminen", oppitunti nro 7, 8 aiheesta: "Yhtälö-seuraus"

Akateeminen aine:Algebra ja matemaattisen analyysin alku - luokka 11 (profiilikoulutus S.M. Nikolskyn oppikirjan mukaan)

Oppitunnin tyyppi: "tietojen ja taitojen systematisointi ja yleistäminen"

Oppitunnin tyyppi: työpaja

Opettajan rooli: ohjata opiskelijoiden kognitiivista toimintaa kehittämään kykyä itsenäisesti soveltaa tietoa kompleksissa valita haluttu muunnosmenetelmä tai -menetelmät, mikä johtaa yhtälöön - menetelmän seuraukseen ja soveltamiseen yhtälön ratkaisemisessa uusissa olosuhteissa.

Tarvittavat tekniset varusteet:multimedialaitteet, web-kamera.

Käytetty oppitunti:

1. didaktinen oppimismalli- ongelmallisen tilanteen luominen,
2. pedagogisia keinoja- koulutusmoduulit osoittavat arkit, valikoima tehtäviä yhtälöiden ratkaisemiseen,
3. opiskelijatoiminnan tyyppi- ryhmä (tunteilla muodostetaan ryhmiä - uuden tiedon "löydöt", tunnit nro 1 ja 2 oppilailta, joilla on eri tasoinen oppimis- ja oppimisaste), yhteinen tai yksilöllinen ongelmanratkaisu,
4. persoonallisuussuuntautuneita koulutustekniikoita: modulaarinen koulutus, ongelmalähtöinen oppiminen, haku- ja tutkimusmenetelmät, kollektiivinen dialogi, toimintatapa, työskentely oppikirjan ja eri lähteiden kanssa,
5. terveyttä säästäviä teknologioita- stressin lievittämiseksi suoritetaan fyysistä koulutusta,
6. kompetenssit:

- koulutusta ja kognitiivista perustasolla- opiskelija tuntee yhtälön käsitteen - seurauksen, yhtälön juuren ja yhtälöön johtavan muunnosmenetelmät - seurauksen, osaa löytää yhtälöiden juuret ja suorittaa niiden varmentamisen tuottavalla tasolla;

- edistyneellä tasolla- opiskelija osaa ratkaista yhtälöitä tunnetuilla muunnosmenetelmillä, tarkistaa yhtälöiden juuret yhtälöiden sallittujen arvojen alueen avulla; laskea logaritmit käyttämällä etsintäpohjaisia ​​ominaisuuksia; tiedottava - opiskelijat etsivät, poimivat ja valitsevat itsenäisesti koulutusongelmien ratkaisemiseen tarvittavia tietoja erilaisista lähteistä.

Didaktinen tavoite:

olosuhteiden luominen:

Ideoiden muodostaminen yhtälöistä - muunnosten seuraukset, juuret ja menetelmät;

Merkitysten luomisen kokemuksen muodostuminen aiemmin tutkittujen yhtälöiden muunnosmenetelmien loogisen seurauksen pohjalta: yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin, logaritmien yhtälöiden potentioiminen, yhtälön vapauttaminen nimittäjistä, samanlaisten termien tuominen;

Taitojen vahvistaminen muunnosmenetelmän valinnan määrittämisessä, yhtälön edelleen ratkaisemisessa ja yhtälön juurten valinnassa;

Ongelman asettamisen taitojen hallinta tunnetun ja opitun tiedon perusteella, pyyntöjen generoiminen vielä tuntemattoman selvittämiseksi;

Opiskelijoiden kognitiivisten etujen, älyllisten ja luovien kykyjen muodostuminen;

Loogisen ajattelun kehittäminen, opiskelijoiden luova toiminta, projektitaidot, kyky ilmaista ajatuksiaan;

Suvaitsevaisuuden tunteen muodostuminen, keskinäinen auttaminen ryhmätyöskentelyssä;

Herää kiinnostus itsenäiseen yhtälön ratkaisuun;

Tehtävät:

Järjestä yhtälöiden muuntamista koskevan tiedon toisto ja systematisointi;

- varmistaa yhtälöiden ratkaisumenetelmien hallinta ja niiden juurten tarkistaminen;

- edistää opiskelijoiden analyyttisen ja kriittisen ajattelun kehittymistä; vertailla ja valita optimaaliset menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi;

- luoda edellytykset tutkimustaitojen, ryhmätyötaitojen kehittymiselle;

Motivoida opiskelijoita käyttämään opittua materiaalia kokeeseen valmistautumiseen;

Analysoi ja arvioi työtäsi ja tovereidesi työtä tämän työn suorittamisessa.

Suunnitellut tulokset:

*henkilökohtainen:

Taidot asettaa tehtävä tunnetun ja opitun tiedon perusteella, generoida pyyntöjä selvittääkseen, mitä ei vielä tiedetä;

Kyky valita ongelman ratkaisemiseksi tarvittavat tietolähteet; opiskelijoiden kognitiivisten etujen, älyllisten ja luovien kykyjen kehittäminen;

Loogisen ajattelun kehittyminen, luova toiminta, kyky ilmaista ajatuksiaan, kyky rakentaa argumentteja;

Suoritustulosten itsearviointi;

Ryhmätyötaidot;

*metasubjekti:

Kyky korostaa pääasiaa, vertailla, yleistää, piirtää analogiaa, soveltaa induktiivisia päättelymenetelmiä, esittää hypoteeseja yhtälöitä ratkaistaessa,

Kyky tulkita ja soveltaa hankittua tietoa kokeeseen valmistautuessaan;

*aihe:

Tietoa yhtälöiden muuntamisesta,

Kyky muodostaa erityyppisiin yhtälöihin liittyvä kuvio ja käyttää sitä juurien ratkaisemisessa ja valinnassa,

Oppitunnin tavoitteiden integrointi:

1. (opettajalle) Holistisen näkemyksen muodostaminen opiskelijoille yhtälöiden muuntamisesta ja niiden ratkaisumenetelmistä;
2. (opiskelijoille) Kehitetään kykyä tarkkailla, vertailla, yleistää, analysoida matemaattisia tilanteita, jotka liittyvät eri funktioita sisältäviin yhtälötyyppeihin. Valmistautuminen tenttiin.

Oppitunnin I vaihe:

Tietämyksen päivittäminen motivaation lisäämiseksi erilaisten yhtälöiden muunnosmenetelmien (syötediagnostiikka) soveltamisen alalla

Tiedon päivittämisen vaihesuoritetaan koetyönä itsetestauksella. Kehittäviä tehtäviä ehdotetaan aiemmilla tunneilla hankitun tiedon perusteella, jotka edellyttävät opiskelijoilta aktiivista henkistä toimintaa ja ovat välttämättömiä tämän oppitunnin tehtävän suorittamiseksi.

Varmistustyö

1. Valitse yhtälöt, jotka edellyttävät tuntemattomien rajoittamista kaikkien reaalilukujen joukkoon:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) = 1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 = 5;

g) = ; h) = .

(2) Määritä kunkin yhtälön kelvollisten arvojen alue, jossa on rajoituksia.

(3) Valitse esimerkki sellaisesta yhtälöstä, jossa muunnos voi aiheuttaa juuren menetyksen (käytä tämän aiheen aiempien oppituntien materiaaleja).

Jokainen tarkistaa vastaukset itsenäisesti näytöllä korostettuina valmiiden vastausten mukaan. Vaikeimmat tehtävät analysoidaan ja opiskelijat kiinnittävät erityistä huomiota esimerkkeihin a, c, g, h, joissa on rajoituksia.

Johtopäätöksenä on, että yhtälöitä ratkaistaessa on tarpeen määrittää yhtälön sallima arvoalue tai tarkistaa juuret, jotta vältetään ylimääräiset arvot. Toistetaan aiemmin tutkitut menetelmät yhtälöön johtavien yhtälöiden muuntamiseksi - seuraus. Eli opiskelijat ovat näin motivoituneita löytämään oikean tavan ratkaista ehdottamasa yhtälö jatkotyössä.

Oppitunnin II vaihe:

Tietojensa, taitojensa ja kykyjensä käytännön soveltaminen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Ryhmille jaetaan arkkia, joissa on tämän aiheen aiheista koottu moduuli. Moduuli sisältää viisi oppimiselementtiä, joista jokainen on tarkoitettu tiettyjen tehtävien suorittamiseen. Opiskelijat, joilla on eri tasoisia oppimis- ja oppimisaste, määrittävät itsenäisesti toimintansa laajuuden tunnilla, mutta koska kaikki työskentelevät ryhmissä, on jatkuva tietojen ja taitojen sopeuttaminen, jossa jälkeen jääneet vedetään pakollisiin, muut edistyneisiin ja luovat tasot.

Oppitunnin keskellä pidetään pakollinen fyysinen minuutti.

Koulutuselementin numero	Koulutuselementti tehtävineen	Opas opetusmateriaalin kehittämiseen
UE-1	Tarkoitus: Määrittää ja perustella tärkeimmät menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi funktioiden ominaisuuksien perusteella. Harjoittele: Määritä muunnosmenetelmä seuraavien yhtälöiden ratkaisemiseksi: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2-2x = ctg +24; e) = ; f) = sinx. 2) Tehtävä: Ratkaise vähintään kaksi ehdotetuista yhtälöistä. Kuvaa mitä menetelmiä käytettiin ratkaistuissa yhtälöissä.	Kohta 7.3 s.212 Kohta 7.4 s.214 Kohta 7.5 s.217 Lauseke 7.2 s. 210
UE-2	Tarkoitus: Hallita rationaalisia tekniikoita ja ratkaisumenetelmiä Harjoittele: Anna esimerkkejä yllä olevista tai itse valituista (käytä aiempien oppituntien materiaaleja) yhtälöitä, jotka voidaan ratkaista rationaalisilla ratkaisumenetelmillä, mitä ne ovat? (korostus tapaa tarkistaa yhtälön juuret)
UE-3	Tarkoitus: Opintojen hyödyntäminen monimutkaisten yhtälöiden ratkaisemisessa Harjoittele: = (tai ( = (	Kohta 7.5
UE-4	Aseta aiheen hallinta: matala - enintään 2 yhtälön ratkaisu; Keskimääräinen - enintään 4 yhtälön ratkaisu; korkea - enintään 5 yhtälön ratkaisu
UE-5	Lähtöohjaus: Tee taulukko, jossa esität kaikki käyttämäsi yhtälöiden muunnosmenetelmät ja kirjoita jokaiselle menetelmälle esimerkkejä ratkaisemistasi yhtälöistä, alkaen aiheen oppitunnista 1: "Yhtälöt - seuraukset"	Tiivistelmät muistikirjoissa

Oppitunnin III vaihe:

Diagnostisen työn tulos, joka edustaa opiskelijoiden heijastusta, joka osoittaa valmiuden paitsi kokeen kirjoittamiseen myös valmiuden kokeeseen tässä osiossa.

Oppitunnin lopussa kaikki opiskelijat poikkeuksetta arvioivat itseään, sitten tulee opettajan arviointi. Jos opettajan ja opiskelijan välillä syntyy erimielisyyksiä, opettaja voi tarjota opiskelijalle lisätehtävän voidakseen arvioida sitä objektiivisesti. KotitehtävätTarkoituksena on käydä läpi aineisto ennen valvontatyötä.

Koulun luento

"Vastaavat yhtälöt. Seurausyhtälö»

metodologisia kommentteja. Ekvivalenttiyhtälöiden käsitteet, seurausyhtälöt, yhtälöiden vastaavuutta koskevat lauseet ovat tärkeitä yhtälöiden ratkaisuteoriaan liittyviä kysymyksiä.

10. luokalla oppilaat ovat saaneet kokemusta yhtälöiden ratkaisemisesta. Luokilla 7-8 ratkaistaan ​​lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, tässä ei ole epätasaisia ​​muunnoksia. Lisäksi 8. ja 9. luokilla ratkaistaan ​​rationaalisia ja yksinkertaisimpia irrationaalisia yhtälöitä, jolloin käy ilmi, että nimittäjästä vapautumisen ja yhtälön molempien osien neliöimisen yhteydessä voi ilmaantua vieraita juuria. Siten on tarpeen ottaa käyttöön uusia käsitteitä: yhtälöiden ekvivalenssi, yhtälön ekvivalentit ja ei-ekvivalentit muunnokset, vieraat juuret ja juurten verifiointi. Yllä olevien yhtälöluokkien ratkaisemisesta opiskelijoiden kertyneen kokemuksen perusteella on mahdollista määrittää uusi yhtälön ekvivalenssisuhde ja "löytää" lauseita yhtälöiden vastaavuudesta yhdessä opiskelijoiden kanssa.

Oppitunti, jonka tiivistelmä esitetään alla, edeltää irrationaalisten, eksponentiaalisten, logaritmisen ja trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyvien aiheiden pohdiskelua. Tämän oppitunnin teoreettinen materiaali toimii tukena kaikkien yhtälöluokkien ratkaisemisessa. Tällä oppitunnilla on tarpeen määritellä ekvivalenttien yhtälöiden, seurausyhtälöiden käsite, tarkastella muunnoslauseita, jotka johtavat tämäntyyppisiin yhtälöihin. Käsiteltävänä oleva materiaali, kuten edellä todettiin, on eräänlainen systematisointi opiskelijoiden tiedosta yhtälöiden muunnoksista, sille on ominaista tietty monimutkaisuus, joten hyväksyttävin oppituntityyppi on koululuento. Tämän oppitunnin erikoisuus on, että sille asetettu opetustehtävä (tavoitteet) ratkaistaan ​​monien myöhempien oppituntien aikana (tunnistetaan yhtälöiden muunnoksia, jotka johtavat vieraiden juurien hankkimiseen ja juurien menettämiseen).

Jokaisella oppitunnin vaiheella on tärkeä paikka sen rakenteessa.

Käytössä päivitysvaihe opiskelijat muistavat yhtälöön liittyvät keskeiset teoreettiset säännökset: mikä on yhtälö, yhtälön juuri, mitä tarkoittaa yhtälön ratkaiseminen, yhtälön hyväksyttävien arvojen alue (ODV). He löytävät tiettyjen yhtälöiden ODZ:n, joka toimii tukena oppitunnin lauseiden "löydössä".

Kohde motivaation vaihe- luoda ongelmatilanne, joka koostuu ehdotetun yhtälön oikean ratkaisun löytämisestä.

Päätös oppimistehtävä (toiminnallinen-kognitiivinen vaihe) Esitetyllä oppitunnilla piilee yhtälöiden ekvivalenssia koskevien lauseiden ja niiden todisteiden "löytäminen". Päähuomio aineiston esittämisessä on ekvivalenttiyhtälöiden, yhtälöiden-seurausten määrittelyyn, yhtälöiden vastaavuuden lauseiden "etsintään".

Opettajan oppitunnin aikana tekemät muistiinpanot esitetään suoraan abstraktina. Oppilaiden muistiinpanojen rekisteröinti vihkoon annetaan oppitunnin yhteenvedon lopussa.

Oppitunnin yhteenveto

Aihe. Vastaavat yhtälöt. Yhtälö-seuraus.

(Algebra ja analyysin alku: Oppikirja oppilaitosten luokille 10-11 / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov ja muut - M .: Koulutus, 2003).

Oppitunnin tavoitteet. Tunnista opiskelijoiden kanssa yhteistoiminnassa ekvivalenssisuhde yhtälöjoukosta, "löydä" lauseita yhtälöiden vastaavuudesta.

Tämän seurauksena opiskelija

tietää

Vastaavien yhtälöiden määrittely,

Seurausyhtälön määritelmät,

Päälauseet;

voi

Valitse ehdotetuista yhtälöistä vastaavat yhtälöt ja yhtälöt-seuraukset,

Käytä ekvivalenttien yhtälöiden ja seurausyhtälöiden määritelmiä standarditilanteissa;

ymmärtää

Mitkä muunnokset johtavat vastaaviin yhtälöihin tai yhtälöihin-seuraamuksiin,

Että on muunnoksia, joiden seurauksena yhtälö voi saada vieraita juuria,

Että joidenkin muutosten seurauksena juuret voivat menettää.

Oppitunnin tyyppi. Koululuento (2 tuntia).

Oppitunnin rakenne.

I. Motivoiva ja orientoiva osa:

Tietojen päivitys,

Motivaatio, oppimistehtävän asettaminen.

II. Toiminnallinen-kognitiivinen osa:

Kasvatus- ja tutkimusongelman ratkaisu (tunnin tarkoitus).

III. Heijastava-arvioiva osa:

Yhteenveto oppitunnista

Kotitehtävien antaminen.

Tuntien aikana

minä. Motivoiva ja orientoiva osa.

Tänään oppitunnilla puhumme yhtälöstä, mutta emme vielä kirjoita aihetta ylös. Muista yhtälöön liittyvät peruskäsitteet. Ensinnäkin mikä on yhtälö?

(Yhtälö on analyyttinen tietue ongelmasta löytää argumenttien arvot, joille yhden funktion arvot ovat yhtä suuria kuin toisen funktion arvot).

Mitkä muut käsitteet liittyvät yhtälöön?

(Yhtälön juuri ja mitä tarkoittaa yhtälön ratkaiseminen. Yhtälön juuri on luku, yhtälöön korvattaessa saadaan oikea numeerinen yhtälö. Ratkaise yhtälö - etsi kaikki juuret tai totea, että ne tekevät ei ole olemassa).

Mikä on ODZ-yhtälö?

(Kaikkien lukujen joukko, joille yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevat funktiot ovat järkeviä samanaikaisesti).

Etsi seuraavien yhtälöiden ODZ.

5)

6)
.

Yhtälön ratkaisu kirjoitetaan taululle.

Mikä on yhtälön ratkaisuprosessi?

(Tee muunnoksia, jotka tuovat tämän yhtälön yksinkertaisemman muodon yhtälöön, eli sellaiseen yhtälöön, jonka juurten löytäminen ei ole vaikeaa).

Totta, ts. on sarja yksinkertaistuksia yhtälöstä yhtälöön
jne. kohtaan
. Katsotaanpa, mitä tapahtuu yhtälön juurille kussakin muunnosvaiheessa. Esitetyssä ratkaisussa saadaan kaksi yhtälön juuria
. Tarkista, ovatko ne numeroita ja numeroita
ja
alkuperäisen yhtälön juuret.

(numerot , ja ovat alkuperäisen yhtälön juuret ja
- Ei).

Joten ratkaisemisprosessissa nämä juuret katosivat. Yleensä suoritetut muunnokset johtivat kahden juuren menettämiseen
ja vieraan juuren hankkiminen.

Kuinka pääset eroon vieraista juurista?

(Tee tarkistus).

Onko mahdollista menettää juuret? Miksi?

(Ei, koska yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä).

Kuinka välttää juurien menettäminen?

(Älä luultavasti suorita muunnoksia, jotka johtavat juurien menettämiseen, kun ratkaiset yhtälön).

Joten, jotta yhtälön ratkaisuprosessi johtaisi oikeisiin tuloksiin, mitä on tärkeää tietää suoritettaessa muunnoksia yhtälöille?

(Luultavasti tietää, mitkä yhtälöiden yli tehdyt muunnokset säilyttävät juuret, mikä johtaa juurien menettämiseen tai vieraiden juurien hankkimiseen. Tiedä mitä muunnoksia ne voidaan korvata, jotta ei menetä tai hanki juuria).

Sitä aiomme tehdä tällä oppitunnilla. Kuinka muotoilisit tämän päivän oppitunnin tulevan toiminnan tavoitteen?

(Tunnistaa yhtälöiden muunnokset, jotka säilyttävät juuret, johtavat juurien menettämiseen tai vieraiden juurien hankkimiseen. Tiedä, mitä muunnoksia voidaan korvata, jotta juuret eivät katoa tai hanki).

II . Toiminta-kognitiivinen osa.

Palataan taululle kirjoitettuun yhtälöön. Jäljitetään missä vaiheessa ja minkälaisten muutosten seurauksena kaksi juuria katosi ja ulkopuolinen ilmaantui. (Kunkin yhtälön oikealla puolella oleva opettaja laittaa numerot muistiin).

Nimeä yhtälöt, joilla on sama joukko (joukko) juuria.

(Yhtälöt , , ,
ja ,).

Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan vastaava. Yritä muotoilla ekvivalenttien yhtälöiden määritelmä.

(Yhtälöitä, joilla on sama juurijoukko, kutsutaan ekvivalentiksi).

Kirjoitetaan määritelmä ylös.

Määritelmä 1. Yhtälöt
ja
sanotaan olevan ekvivalentteja, jos niiden juuret ovat samat.

On huomattava, että yhtälöt ilman hevosia ovat myös vastaavia.

Vastaavien yhtälöiden merkitsemiseen voit käyttää symbolia "
». Yhtälön ratkaisuprosessi uudella konseptilla voidaan kuvastaa seuraavasti:

Siten siirtyminen annetusta yhtälöstä ekvivalenttiin ei vaikuta tuloksena olevan yhtälön juurijoukkoon.

Ja mitkä ovat tärkeimmät muunnokset, jotka suoritetaan lineaarisia yhtälöitä ratkaistaessa?

(Hakasulkujen avaaminen; termien siirtäminen yhtälön yhdestä osasta toiseen, merkin muuttaminen päinvastaiseksi; tuntemattoman sisältävän lausekkeen lisääminen yhtälön molempiin osiin).

Ovatko heidän juurensa muuttuneet?

Yhden näistä muunnoksista, nimittäin: termien siirtäminen yhtälön yhdestä osasta toiseen, samalla kun etumerkkiä vaihdettiin päinvastaiseksi, 7. luokalla muotoiltiin yhtälöiden ominaisuus. Muotoile se uudella konseptilla.

(Jos mikä tahansa yhtälön termi siirretään yhtälön osasta toiseen päinvastaisella merkillä, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua).

Mitä muuta yhtälön ominaisuutta tiedät?

(Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa samalla nollasta poikkeavalla luvulla.)

Tämän ominaisuuden soveltaminen korvaa myös alkuperäisen yhtälön vastaavalla. Palataan taululle kirjoitettuun yhtälöön. Vertaa yhtälöiden ja ?

(Yhtälön juuri on yhtälön juuri).

Eli siirryttäessä yhtälöstä toiseen, juurijoukko, vaikka se laajeni, ei menettänyt juuria. Tässä tapauksessa yhtälöä kutsutaan yhtälön seuraus. Yritä muotoilla yhtälön määritelmä, joka on seuraus tästä yhtälöstä.

(Jos yhtälöstä toiseen siirtymisen aikana ei tapahdu juurien menetystä, niin toista yhtälöä kutsutaan ensimmäisen yhtälön seuraukseksi).

Määritelmä 2. Yhtälöä kutsutaan yhtälön seuraukseksi, jos jokainen yhtälön juuri on yhtälön juuri.

- Minkä muunnoksen tuloksena sait yhtälön yhtälöstä?

(Yhtälön molempien puolten neliöinti).

Tämä tarkoittaa, että tämä muutos voi johtaa vieraiden juurien ilmaantumiseen, ts. alkuperäinen yhtälö muunnetaan seurausyhtälöksi. Onko esitetyssä yhtälön muunnosketjussa muita seurausyhtälöitä?

(Kyllä, esimerkiksi yhtälö on yhtälön seuraus ja yhtälö on yhtälön seuraus).

Mitä nämä yhtälöt ovat?

(Vastaava).

Yritä käyttää seurausyhtälön käsitettä formuloida vastaava määritelmä ekvivalenteille yhtälöille.

(Yhtälöiden sanotaan olevan ekvivalentteja, jos jokainen niistä on seurausta toisesta).

Onko yhtälön ehdotetussa ratkaisussa muita seurausyhtälöitä?

(Kyllä, yhtälö on yhtälön seuraus).

Mitä tapahtuu juurille, kun siirrytään kohteesta kohteeseen?

(Kaksi juurta on kadonnut).

Mikä muutos tähän johti?

(Virhe identiteetin käytössä
).

Sovelletaan uutta yhtälö-seurauskäsitettä ja käytetään symbolia "
”, yhtälön ratkaisuprosessi näyttää tältä:

.

Joten tuloksena oleva kaavio osoittaa meille, että jos tehdään ekvivalentteja siirtymiä, niin tuloksena olevien yhtälöiden juurijoukot eivät muutu. Mutta aina ei ole mahdollista soveltaa vain vastaavia muunnoksia. Jos siirtymät eivät ole samanarvoisia, kaksi tapausta on mahdollista: ja . Ensimmäisessä tapauksessa yhtälö on yhtälön seuraus, tuloksena olevan yhtälön juurijoukko sisältää annetun yhtälön juurijoukon, tässä hankitaan vieraat juuret, jotka voidaan leikata pois tekemällä tarkistus. Toisessa tapauksessa saatiin yhtälö, jolle tämä yhtälö on seuraus: , mikä tarkoittaa, että juurit menetetään, tällaisia ​​siirtymiä ei pitäisi tehdä. Siksi on tärkeää varmistaa, että yhtälöä muunnettaessa jokainen seuraava yhtälö on seurausta edellisestä. Mitä sinun tulee tietää, jotta muutokset ovat vain sellaisia? Yritetään asentaa se. Kirjoitetaan tehtävä 1 (se tarjoaa yhtälöitä; niiden ODZ löydettiin päivitysvaiheessa; jokaisen yhtälön juuret tallennetaan).

Tehtävä 1. Ovatko kunkin ryhmän (a, b) yhtälöt ekvivalentteja? Nimeä muunnos, jonka seurauksena ryhmän ensimmäinen yhtälö korvataan toisella.

a)
b)

Katsotaanpa ryhmän a) yhtälöitä, ovatko nämä yhtälöt ekvivalentteja?

(Kyllä, ja ne ovat vastaavia).

(Käytimme identiteettiä).

Toisin sanoen yhtälön yhdessä osassa oleva lauseke korvattiin identtisellä yhtäläisellä lausekkeella. Onko ODZ-yhtälö muuttunut tämän muunnoksen aikana?

Tarkastellaan yhtälöryhmää b). Ovatko nämä yhtälöt samanarvoisia?

(Ei, yhtälö on yhtälön seuraus).

Minkä muutoksen seurauksena sait?

(Korvasimme yhtälön vasemman puolen samanlaisella lausekkeella).

Mitä tapahtui odz-yhtälölle?

(ODZ laajennettu).

ODZ:n laajentamisen seurauksena saimme seurausyhtälön ja ulkopuolisen juuren
yhtälöä varten. Tämä tarkoittaa, että ODZ-yhtälön laajeneminen voi johtaa vieraiden juurien ilmestymiseen. Molemmissa tapauksissa a) ja b), muotoile lause yleisessä muodossa. (Oppilaat muotoilevat, opettaja korjaa).

(Annetaan jokin yhtälö
, ilmaisu
korvataan identtisellä lausekkeella
. Jos tällainen muunnos ei muuta ODZ-yhtälöä, siirrytään vastaavaan yhtälöön
. Jos ODZ laajenee, yhtälö on seuraus yhtälöstä ).

Tämä väite on muunnoslause, joka johtaa vastaaviin yhtälöihin tai seurausyhtälöihin.

Lause 1.,
a) ODZei muutu	b) ODZ laajenee

Hyväksymme tämän lauseen ilman todisteita. Seuraava tehtävä. Esitetään kolme yhtälöä ja niiden juuret.

Tehtävä 2. Ovatko seuraavat yhtälöt vastaavia? Nimeä muunnos, jonka seurauksena ensimmäinen yhtälö korvataan toisella yhtälöllä, kolmannella yhtälöllä.

Mitkä seuraavista yhtälöistä ovat ekvivalentteja?

(Vain yhtälöt ja ).

Mitä muunnoksia suoritettiin siirtymiseksi yhtälöstä yhtälöön, ?

(Yhtälön molemmille puolille ensimmäisessä tapauksessa lisäsimme
, toisessa tapauksessa lisäsimme
).

Eli jokaisessa tapauksessa on lisätty jokin toiminto
. Vertaa yhtälön funktion aluetta ODZ-yhtälöön.

(toiminto
määritelty ODZ-yhtälössä ).

Mikä yhtälö saatiin lisäämällä funktio yhtälön molemmille puolille?

(Saamme vastaavan yhtälön).

Mitä tapahtui ODZ-yhtälölle verrattuna ODZ-yhtälöön?

(Se on kaventunut toiminnon takia
).

Mitä sait tässä tapauksessa? Vastaako yhtälö yhtälöä vai - yhtälön seurausyhtälöä?

(Ei, ei molempia).

Harkittuasi kahta yhtälön muunnostapausta, jotka on esitetty tehtävässä 2, yritä tehdä johtopäätös.

(Jos lisäämme yhtälön molempiin osiin tämän yhtälön ODZ:ssä määritellyn funktion, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä).

Tämä väite on todellakin lause.

Lause2. , - määritelty	odz-yhtälössä

Mutta me käytimme lausetta, joka on samanlainen kuin muotoiltu lause, kun ratkaisimme yhtälöitä. Miltä kuulostaa?

(Sama numero voidaan lisätä yhtälön molemmille puolille.)

Tämä ominaisuus on Lauseen 2 erityinen tapaus, kun
.

Tehtävä 3. Ovatko seuraavat yhtälöt ekvivalentteja? Nimeä muunnos, jonka seurauksena ensimmäinen yhtälö korvataan toisella yhtälöllä, kolmannella yhtälöllä.

Mitkä tehtävän 3 yhtälöistä ovat ekvivalentteja?

(Yhtälöt ja ).

Minkä muunnoksen seurauksena yhtälöstä ovat yhtälöt, ?

(Yhtälön molemmat puolet kerrotaan
ja hanki yhtälö. Yhtälön saamiseksi yhtälön molemmat puolet kerrotaan
).

Mikä ehto funktion on täytettävä, jotta kertomalla yhtälön molemmat puolet luvulla saadaan yhtälö, joka vastaa?

(Funktion tulee olla määritelty yhtälön koko ODZ:lle).

Onko yhtälöille tehty tällaisia ​​muunnoksia aiemmin?

(Suoritettu, yhtälön molemmat osat kerrottiin muulla kuin nollalla).

Tämä tarkoittaa, että funktiolle asetettua ehtoa on täydennettävä.

(Funktion ei saa mennä nollaan millekään ODZ-yhtälöstä).

Joten kirjoitamme symbolisessa muodossa lauseen, jonka avulla voimme siirtyä annetusta yhtälöstä vastaavaan. (Opettaja kirjoittaa oppilaiden käskyn alaisena ylös Lauseen 3).

Lause 3. - määritelty koko ODZ:ssä mille tahansa ODZ:lle

Todistetaan lause. Mitä tarkoittaa, että kaksi yhtälöä ovat ekvivalentteja?

(On osoitettava, että kaikki ensimmäisen yhtälön juuret ovat toisen yhtälön juuria ja päinvastoin, eli toinen yhtälö on seuraus ensimmäisestä ja ensimmäinen yhtälö on seuraus toisesta).

Todistakaamme, että se on yhtälön seuraus. Anna olla - yhtälön juuri, mitä se tarkoittaa?

(Kun korvataan, saamme oikean numeerisen yhtälön
).

Jossain vaiheessa funktio on määritelty, eikä se katoa. Mitä tämä tarkoittaa?

(Määrä
. Siksi numeerinen yhtäläisyys voidaan kertoa
. Saamme oikean numeerisen yhtälön ).

Mitä tämä tasa-arvo tarkoittaa?

( - yhtälön juuri. Tämä osoitti, että yhtälö on yhtälö-seuraus).

Todistakaamme, että se on yhtälön seuraus. (Oppilaat työskentelevät itsenäisesti, sitten keskustelun jälkeen opettaja kirjoittaa todistuksen toisen osan taululle).

Tehtävä 4. Ovatko kunkin ryhmän (a, b) yhtälöt ekvivalentit? Nimeä muunnos, jonka seurauksena ryhmän ensimmäinen yhtälö korvataan toisella.

a)
b)

Ovatko yhtälöt ja ?

(Vastaava).

Mistä muunnos voidaan saada?

(Nostamme yhtälön molemmat puolet kuutioksi).

Voit ottaa funktion yhtälön oikealta ja vasemmalta puolelta
. Millä joukolla funktio on määritelty?
?

(Funktion arvojoukkojen yhteisessä osassa
ja
).

Kuvaile yhtälöryhmää kirjaimen b) alla?

(Ne eivät ole vastaavia, on seuraus, funktiota sovellettiin yhtälöön
ja siirretään yhtälöön , funktio määritellään funktioarvojen joukkojen yhteisessä osassa
ja
).

Mitä eroa on ryhmien a) ja b) funktioiden ominaisuuksien välillä?

(Ensimmäisessä tapauksessa toiminto on monotoninen, mutta ei toisessa).

Muotoilkaamme seuraava väite. (Opettaja kirjoittaa opiskelijoiden sanelemana lauseen ylös).

Lause 4. - määritellään funktioarvojen yhteisessä osassa ja
a) - yksitoikkoinen	b) - ei yksitoikkoista

Keskustellaan siitä, kuinka tämä lause "toimii", kun ratkaistaan ​​seuraavat yhtälöt.

Esimerkki. ratkaise yhtälö

1)
; 2)
.

Mikä funktio soveltuu yhtälön 1) molemmille puolille?

(Nostetaan yhtälön molemmat puolet kuutioksi, eli käytetään funktiota).

(Tämä funktio on määritelty yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevien funktioiden arvojoukkojen yhteisessä osassa; se on monotoninen).

Joten nostamalla alkuperäisen yhtälön molemmat puolet kuutioksi, minkä yhtälön saamme?

(Vastaa tätä).

Mikä funktio soveltuu yhtälön 2) molemmille puolille?

(Nostetaan yhtälön molemmat puolet neljänteen potenssiin, eli käytetään funktiota
).

Luettele tämän funktion ominaisuudet, jotka ovat tarpeen Lauseen 4 soveltamiseksi.

(Tämä funktio on määritelty yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevien funktioiden arvojoukkojen yhteisessä osassa; se ei ole monotoninen).

Minkä yhtälön alkuperäiseen verrattuna saamme nostamalla tämän yhtälön neljänteen potenssiin?

(Seurausyhtälö).

Eroavatko alkuperäisen yhtälön juuret ja tuloksena olevan yhtälön juuret?

(Välivieraat juuret voivat ilmaantua. Joten tarkistus on tarpeen).

Ratkaise nämä yhtälöt kotona.

III . Heijastava-arvioiva osa.

Tänään "löysimme" neljä lausetta yhdessä. Katso niitä uudelleen ja sano, mitä yhtälöitä he sanovat.

(Ekvivalenttisista yhtälöistä ja yhtälö-seuraus).

Kirjoitetaan oppitunnin aihe. Palataan yhtälöön, jota tarkasteltiin tämän päivän keskustelun alussa. Mitä lauseista 1-4 sovellettiin siirryttäessä yhtälöstä toiseen? (Oppilaat selvittävät yhdessä opettajan kanssa, mikä lause kussakin vaiheessa toimi, opettaja merkitsee kaavioon lauseen numeron).

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

Mitä uutta opit tänään tunnilla?

(Ekvivalenttiyhtälöiden käsitteet, seurausyhtälöt, lauseet yhtälöiden ekvivalenssista).

Minkä tehtävän asetimme oppitunnin alussa?

(Valitse muunnokset, jotka eivät muuta yhtälön juurijoukkoa, muunnokset, jotka johtavat juurten hankintaan ja menettämiseen).

Olemmeko ratkaisseet sen kokonaan?

Ratkaisimme ongelman osittain, jatkamme sen tutkimista seuraavilla tunneilla kun ratkomme uudentyyppisiä yhtälöitä.

Käytä meille uutta ekvivalenttien yhtälöiden käsitettä, muotoile uudelleen tehtävän ensimmäinen osa "valita muunnoksia, jotka eivät muuta yhtälön juurijoukkoa".

(Kuinka tietää, onko yhtälöstä toiseen siirtyminen vastaava muunnos).

Mikä auttaa vastaamaan tähän kysymykseen?

(Lauetteja yhtälöiden vastaavuudesta).

Ja onko nykyään sovellettu muutoksia, jotka johtavat vieraiden juurien hankkimiseen?

(Kävitettynä tämä on yhtälön molempien osien neliöinti; kaavojen käyttö, joiden vasen ja oikea osa ovat järkeviä niihin sisältyvien kirjainten eri arvoille).

On myös muita "spesifisiä" syitä, jotka johtavat yhtälön juurien ilmestymiseen ja häviämiseen, puhuimme joistakin niistä. Mutta on myös niitä, jotka yleensä liittyvät tiettyyn yhtälöluokkaan, ja puhumme tästä myöhemmin.

Kirjoitetaan läksyjä:

tuntea ekvivalenttiyhtälöiden, seurausyhtälöiden määritelmät;

tuntea lauseiden 1-4 muotoilut;

suorittaa analogisesti Lauseen 3 todistuksen kanssa lauseiden 1 ja 2 todistus;

4) nro 139(4,6), 141(2) - selvitä, ovatko yhtälöt ekvivalentit; ratkaista yhtälöt; .

Muistikirjan merkinnät

Vastaavat yhtälöt. Yhtälö-seuraus.

Määritelmä 1. Yhtälöiden ja sanotaan olevan ekvivalentteja, jos niiden juuret ovat samat.

Määritelmä 2. Yhtälöä kutsutaan yhtälön seuraukseksi, jos jokainen yhtälön juuri on yhtälön juuri. korvataan identtisellä lausekkeella.

Esimerkki.ratkaise yhtälö

Olkoon kaksi yhtälöä

Jos yhtälön (1) jokainen juuri on myös yhtälön (2) juuri, yhtälöä (2) kutsutaan yhtälön (1) seuraukseksi. Huomaa, että yhtälöiden vastaavuus tarkoittaa, että kukin yhtälöistä on seurausta toisesta.

Yhtälön ratkaisuprosessissa on usein tarpeen soveltaa sellaisia ​​muunnoksia, jotka johtavat yhtälöön, joka on seuraus alkuperäisestä. Seurausyhtälön täyttävät kaikki alkuperäisen yhtälön juuret, mutta niiden lisäksi seurausyhtälössä voi olla myös ratkaisuja, jotka eivät ole alkuperäisen yhtälön juuria, nämä ovat ns. ulkopuolisia juuria. Vieraiden juurien tunnistamiseksi ja karsimiseksi he tekevät yleensä näin: kaikki seurausyhtälön löydetyt juuret tarkistetaan korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön.

Jos korvasimme yhtälön ratkaisemisen yhteydessä seurausyhtälön, niin yllä oleva varmistus on olennainen osa yhtälön ratkaisemista. Siksi on tärkeää tietää, millä muunnoksilla tämä yhtälö menee seurauksena.

Harkitse yhtälöä

ja kerro sen molemmat osat samalla lausekkeella, joka on järkevä kaikille x:n arvoille. Saamme yhtälön

jonka juuret ovat sekä yhtälön (3) juuret että yhtälön juuret. Näin ollen yhtälö (4) on yhtälön (3) seuraus. On selvää, että yhtälöt (3) ja (4) ovat ekvivalentteja, jos "ulkopuolisella" yhtälöllä ei ole juuria.

Joten jos yhtälön molemmat osat kerrotaan lausekkeella, jolla on järkeä mille tahansa x:n arvolle, niin saadaan yhtälö, joka on seuraus alkuperäisestä. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä, jos yhtälöllä ei ole juuria. Huomaa, että käänteinen muunnos, eli siirtyminen yhtälöstä (4) yhtälöön (3) jakamalla yhtälön (4) molemmat osat lausekkeella, ei yleensä ole hyväksyttävää, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen (in tässä tapauksessa he voivat "menettää" yhtälön juuret Esimerkiksi yhtälöllä on kaksi juuria: 3 ja 4. Yhtälön molempien osien jakaminen johtaa yhtälöön, jossa on vain yksi juuri 4, eli juuri on kadonnut. .

Otetaan jälleen yhtälö (3) ja neliötetään molemmat puolet. Saamme yhtälön

jonka juuret ovat sekä yhtälön (3) juuret että "ulkopuolisen" yhtälön juuret, eli yhtälö on yhtälön (3) seuraus.

Voi johtaa niin kutsuttujen vieraiden juurien ilmestymiseen. Tässä artikkelissa analysoimme ensin yksityiskohtaisesti, mikä on vieraat juuret. Toiseksi, puhutaan syistä niiden esiintymiseen. Ja kolmanneksi esimerkkien avulla tarkastelemme tärkeimpiä tapoja seuloa ulkopuoliset juuret, toisin sanoen tarkistaa juuret vieraiden juurien olemassaolosta niiden joukossa, jotta ne suljetaan pois vastauksesta.

Yhtälön ulkopuoliset juuret, määritelmä, esimerkkejä

Algebran oppikirjat eivät määrittele ulkopuolista juuria. Siellä idea ulkoisesta juuresta muodostetaan kuvaamalla seuraavaa tilannetta: joidenkin yhtälön muunnosten avulla suoritetaan siirtyminen alkuperäisestä yhtälöstä seurausyhtälöön, saadun seurausyhtälön juuret ovat löydetty, ja löydetyt juuret tarkistetaan korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön, mikä osoittaa, että osa löydetyistä juurista ei ole alkuperäisen yhtälön juuria, näitä juuria kutsutaan alkuperäisen yhtälön ulkopuolisiksi juuriksi.

Tämän perustan perusteella voit ottaa itsellesi seuraavan määritelmän vieraasta juuresta:

Määritelmä

vieraita juuria ovat muunnosten tuloksena saadun yhtälö-seurauksen juuria, jotka eivät ole alkuperäisen yhtälön juuria.

Otetaan esimerkki. Tarkastellaan tämän yhtälön x·(x−1)=0 yhtälöä ja seurausta, joka saadaan korvaamalla lauseke lausekkeella x·(x−1), joka on identtinen sen kanssa. Alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri 1. Muunnoksen tuloksena saadulla yhtälöllä on kaksi juuria 0 ja 1 . Joten 0 on alkuperäisen yhtälön ulkopuolinen juuri.

Syitä vieraiden juurien mahdolliseen esiintymiseen

Jos seurausyhtälön saamiseksi ei käytetä "eksoottisia" muunnoksia, vaan käytetään vain yhtälöiden perusmuunnoksia, niin vieraita juuria voi syntyä vain kahdesta syystä:

• johtuen ODZ:n laajenemisesta ja
• koska yhtälön molemmat puolet nostetaan samaan parilliseen potenssiin.

Tässä on syytä muistaa, että ODZ:n laajeneminen yhtälön muuntamisen seurauksena tapahtuu pääasiassa

• Kun vähennetään fraktioita;
• Kun tuote korvataan yhdellä tai useammalla nollakertoimella nollalla;
• Kun nolla korvataan murtoluvulla nollaosoittimella;
• Käytettäessä joitain potenssien, juurien, logaritmien ominaisuuksia;
• Käytettäessä joitain trigonometrisiä kaavoja;
• Kun yhtälön molemmat osat kerrotaan samalla lausekkeella, joka katoaa tämän yhtälön ODZ:stä;
• Kun se vapautetaan logaritmien merkkien ratkaisemisen yhteydessä.

Artikkelin edellisen kappaleen esimerkki havainnollistaa ODZ:n laajenemisesta johtuvan ulkopuolisen juuren ilmaantumista, joka tapahtuu siirtyessä yhtälöstä seurausyhtälöön x·(x−1)=0 . Alkuperäisen yhtälön ODZ on kaikkien reaalilukujen joukko nollaa lukuun ottamatta, tuloksena olevan yhtälön ODZ on joukko R, eli ODZ laajenee luvulla nolla. Tämä numero lopulta osoittautuu vieraaksi juureksi.

Annamme myös esimerkin ulkopuolisen juuren esiintymisestä, koska yhtälön molemmat osat nostetaan samaan parilliseen potenssiin. Irrationaalisella yhtälöllä on yksi juuri 4, ja tämän yhtälön seuraus, joka saadaan siitä neliöimällä yhtälön molemmat osat eli yhtälö , on kaksi juuria 1 ja 4 . Tästä voidaan nähdä, että yhtälön molempien puolten neliöinti johti alkuperäisen yhtälön ulkopuolisen juuren ilmestymiseen.

Huomaa, että ODZ:n laajentaminen ja yhtälön molempien osien nostaminen samaan tasaiseen tehoon ei aina johda vieraiden juurien ilmestymiseen. Esimerkiksi siirryttäessä yhtälöstä seurausyhtälöön x=2, ODZ laajenee kaikkien ei-negatiivisten lukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon, mutta ylimääräisiä juuria ei esiinny. 2 on sekä ensimmäisen että toisen yhtälön ainoa juuri. Myöskään vieraita juuria ei esiinny siirtymisen aikana yhtälöstä yhtälö-seuraamukseen. Sekä ensimmäisen että toisen yhtälön ainoa juuri on x=16 . Siksi emme puhu vieraiden juurien esiintymisen syistä, vaan vieraiden juurien mahdollisen esiintymisen syistä.

Mitä on vieraiden juurien kitkeminen?

Termiä "vieraiden juurien eliminointi" voidaan kutsua vain vakiintuneeksi termiksi, sitä ei löydy kaikista algebran oppikirjoista, mutta se on intuitiivinen, minkä vuoksi sitä yleensä käytetään. Mitä vieraiden juurien seulomisella tarkoitetaan, käy selväksi seuraavasta lauseesta: "... todentaminen on pakollinen vaihe yhtälön ratkaisemisessa, joka auttaa havaitsemaan mahdolliset vieraat juuret ja hylkäämään ne (yleensä sanotaan "karkota pois" ”)” .

Täten,

Määritelmä

Vieraiden juurien kitkeminen pois on vieraiden juurien havaitseminen ja hylkääminen.

Nyt voit siirtyä tapoihin kitkeä vieraat juuret.

Menetelmät vieraiden juurien kitkemiseen

Vaihtotarkastus

Pääasiallinen tapa kitkeä vieraat juuret on vaihtotarkastus. Sen avulla voit karsia pois vieraat juuret, jotka voivat syntyä ODZ:n laajenemisen vuoksi ja koska yhtälön molemmat osat nostetaan samaan tasatehoon.

Korvaustarkistus on seuraava: seurausyhtälön löydetyt juuret substituoidaan vuorotellen alkuperäiseen yhtälöön tai mihin tahansa sitä vastaavaan yhtälöön, oikean numeerisen yhtälön antavat alkuperäisen yhtälön juuret ja ne, jotka antavat väärä numeerinen yhtälö tai lauseke, merkityksettömiä ovat alkuperäisen yhtälön vieraita juuria.

Käytämme esimerkkiä osoittamaan, kuinka vieraat juuret seulotaan pois korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön.

Joissakin tapauksissa vieraiden juurien kitkeminen on tarkoituksenmukaisempaa suorittaa muilla tavoilla. Tämä koskee pääasiassa niitä tapauksia, joissa korvaustarkistukseen liittyy merkittäviä laskennallisia vaikeuksia tai kun tietyn tyyppisten yhtälöiden vakioratkaisutapaan liittyy erilainen tarkistus (esim. vieraiden juurien seulominen, kun murto-rationaalisia yhtälöitä ratkaistaan siihen ehtoon, että murtoluvun nimittäjä ei ole nolla ). Analysoidaan vaihtoehtoisia tapoja seuloa ulkopuoliset juuret.

ODZ:n mukaan

Toisin kuin korvaustarkistuksessa, vieraiden juurten seulonta ODZ:lla ei ole aina asianmukaista. Tosiasia on, että tällä menetelmällä voit suodattaa pois vain vieraat juuret, jotka syntyvät ODZ:n laajenemisen vuoksi, eikä se takaa sellaisten vieraiden juurien poistamista, jotka voivat syntyä muista syistä, esimerkiksi johtuen molempien osien nostamisesta. yhtälö samaan parilliseen potenssiin. Lisäksi ei ole aina helppoa löytää ODZ:tä ratkaistavalle yhtälölle. ODZ:n käyttämä vieraiden juurien seulontamenetelmä tulisi kuitenkin säilyttää käytössä, koska sen käyttö vaatii usein vähemmän laskentatyötä kuin muiden menetelmien käyttö.

Vieraiden juurien seulonta ODZ:n mukaan suoritetaan seuraavasti: kaikki löydetyt seurausyhtälön juuret tarkistetaan kuuluvan alkuperäisen yhtälön muuttujan tai sitä vastaavan yhtälön sallittujen arvojen alueelle. kuuluvat ODZ:hen ovat alkuperäisen yhtälön juuret, ja ne, jotka eivät kuulu ODZ:ään, ovat alkuperäisen yhtälön ulkoisia juuria.

Annettujen tietojen analyysi johtaa siihen johtopäätökseen, että on suositeltavaa seuloa vieraat juuret ODZ:n mukaan, jos samanaikaisesti:

• alkuperäisen yhtälön ODZ on helppo löytää,
• vieraita juuria voi syntyä vain ODZ:n laajenemisen vuoksi,
• korvaamiseen liittyy merkittäviä laskennallisia vaikeuksia.

Näytämme kuinka vieraiden juurien kitkeminen tapahtuu käytännössä.

ODZ:n ehtojen mukaisesti

Kuten edellisessä kappaleessa totesimme, jos vieraita juuria voi syntyä vain ODZ:n laajenemisen vuoksi, ne voidaan suodattaa pois alkuperäisen yhtälön ODZ:n mukaan. Mutta ei ole aina helppoa löytää ODZ: tä numeerisen joukon muodossa. Tällaisissa tapauksissa on mahdollista seuloa vieraat juuret ei ODZ:n mukaan, vaan ODZ:n määrittävien ehtojen mukaan. Selvitetään, kuinka vieraiden juurien seulonta suoritetaan ODZ:n ehtojen mukaisesti.

Löydetyt juuret korvataan vuorostaan ​​ehdoilla, jotka määrittävät alkuperäisen yhtälön tai minkä tahansa sitä vastaavan yhtälön ODZ:n. Ne, jotka täyttävät kaikki ehdot, ovat yhtälön juuret. Ja ne, jotka eivät täytä vähintään yhtä ehtoa tai anna lauseketta, jossa ei ole järkeä, ovat alkuperäisen yhtälön vieraita juuria.

Otetaan esimerkki vieraiden juurien seulomisesta ODZ:n ehtojen mukaisesti.

Seulotaan pois vieraita juuria, jotka syntyvät yhtälön molempien puolten nostamisesta tasaiseksi

On selvää, että yhtälön molempien osien nostamisesta samaan parilliseen potenssiin syntyvien vieraiden juurien karsiminen voidaan tehdä korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön tai mihin tahansa sitä vastaavaan yhtälöön. Mutta tällainen todentaminen voi liittyä merkittäviin laskennallisiin vaikeuksiin. Tässä tapauksessa on syytä tietää vaihtoehtoinen tapa kitkeä vieraat juuret, josta puhumme nyt.

Seulotaan pois vieraita juuria, joita voi syntyä, kun muodon irrationaalisten yhtälöiden molemmat osat nostetaan samaan parilliseen potenssiin , jossa n on jokin parillinen luku, voidaan suorittaa ehdon g(x)≥0 mukaisesti. Tämä seuraa parillisen juuren määritelmästä: parillinen juuri n on ei-negatiivinen luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin juuriluku, mistä . Siten soinnillinen lähestymistapa on eräänlainen symbioosi menetelmästä, jossa yhtälön molemmat osat nostetaan samaan potenssiin, ja menetelmästä ratkaista irrationaalisia yhtälöitä määrittämällä juuri. Eli yhtälö , jossa n on parillinen luku, ratkaistaan ​​nostamalla yhtälön molemmat osat samaan parilliseen potenssiin ja vieraat juuret seulotaan irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmästä otetun ehdon g(x)≥0 mukaisesti. juuri.

Esityksessä jatketaan vastaavien yhtälöiden, lauseiden tarkastelua ja tarkastellaan tarkemmin tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen vaiheita.

Muistetaan ensin ehto, jossa yksi yhtälöistä on seuraus toisesta (dia 1). Kirjoittaja lainaa jälleen kerran joitain lauseita vastaavista yhtälöistä, joita käsiteltiin aiemmin: yhtälön osien kertomisesta samalla arvolla h (x); nostetaan yhtälön osat samaan parilliseen potenssiin; saadaan ekvivalentti yhtälö yhtälöstä log a f (x) = log a g (x).

Esityksen 5. dialla on korostettu päävaiheet, joiden avulla on kätevää ratkaista vastaavia yhtälöitä:

Etsi ratkaisuja vastaavalle yhtälölle;

Analysoi ratkaisuja;

Tarkistaa.

Tarkastellaan esimerkkiä 1. On tarpeen löytää yhtälön x - 3 = 2 seuraus. Etsi yhtälön x = 5 juuri. Kirjoita vastaava yhtälö (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6) ), käyttämällä menetelmää, jossa yhtälön osat kerrotaan (x - 6). Yksinkertaistamalla lauseke muotoon x 2 - 11x +30 = 0, löydämme juuret x 1 = 5, x 2 = 6. jokainen yhtälön x - 3 \u003d 2 juuri on myös yhtälön x 2 - 11x +30 \u003d 0 ratkaisu, sitten x 2 - 11x +30 \u003d 0 on seurausyhtälö.

Esimerkki 2. Etsi toinen yhtälön x - 3 = 2 seuraus. Ekvivalentin yhtälön saamiseksi käytämme menetelmää nostaa parilliseen potenssiin. Yksinkertaistamalla saatua lauseketta kirjoitetaan x 2 - 6x +5 = 0. Etsi yhtälön x 1 = 5, x 2 = 1 juuret. x \u003d 5 (yhtälön x - 3 \u003d 2 juuri) on myös yhtälön x 2 - 6x +5 \u003d 0 ratkaisu, sitten yhtälö x 2 - 6x +5 \u003d 0 on myös seuraus yhtälö.

Esimerkki 3. On tarpeen löytää yhtälön log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 seuraus.

Korvataan yhtälössä 1 = log 3 3. Sitten Lauseen 6 lausetta soveltaen kirjoitetaan vastaava yhtälö (x + 1)(x +3) = 3. Lauseketta yksinkertaistamalla saadaan x 2 + 4x = 0, jossa juuret ovat x 1 = 0, x 2 = - 4. Yhtälö x 2 + 4x = 0 on siis seuraus annetulle yhtälölle log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Joten voimme päätellä: jos yhtälön määritelmäaluetta laajennetaan, saadaan yhtälö-seuraus. Erottelemme vakiotoiminnot yhtälö-seurauksen löytämisessä:

Päästä eroon muuttujan sisältävistä nimittäjistä;

Yhtälön osien nostaminen samaan parilliseen potenssiin;

Vapautus logaritmisista merkeistä.

Mutta on tärkeää muistaa: kun yhtälön määritelmäaluetta laajennetaan ratkaisun aikana, on tarpeen tarkistaa kaikki löydetyt juuret - kuuluvatko ne ODZ:hen.

Esimerkki 4. Ratkaise dialla 12 esitetty yhtälö. Etsi ensin vastaavan yhtälön x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 juuret (ensimmäinen vaihe). On välttämätöntä tarkistaa juuret (toinen vaihe). Juurien tarkistaminen (kolmas vaihe): x 1 \u003d 5 ei kuulu annetun yhtälön sallittujen arvojen alueelle, joten yhtälössä on vain yksi ratkaisu x \u003d - 2.

Esimerkissä 5 vastaavan yhtälön löydetty juuri ei sisälly annetun yhtälön ODZ:hen. Esimerkissä 6 toisen löydetyn juuren arvoa ei ole määritelty, joten tämä juuri ei ole ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön.