kasvaa välissä \(X\), jos jollekin \(x_1, x_2\in X\) siten, että \(x_1

Funktiota kutsutaan ei-vähenevä

\(\blacktriangleright\) Kutsutaan funktio \(f(x)\). vähenee välissä \(X\), jos jollekin \(x_1, x_2\in X\) siten, että \(x_1 f(x_2)\) .

Funktiota kutsutaan ei-nouseva välissä \(X\), jos jollekin \(x_1, x_2\in X\) siten, että \(x_1

\(\blacktriangleright\) Kasvavia ja pienentäviä funktioita kutsutaan tiukasti yksitoikkoista, ja ei-nousevat ja ei-laskevat ovat yksinkertaisesti yksitoikkoinen.

\(\musta kolmiooikea\) Perusominaisuudet:

minä Jos funktio \(f(x)\) on tiukasti monotoninen \(X\) , yhtälöstä \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) seuraa \(f( x_1)= f(x_2)\) ja päinvastoin.

Esimerkki: funktio \(f(x)=\sqrt x\) kasvaa tiukasti kaikille \(x\in \) , joten yhtälöllä \(x^2=9\) on enintään yksi ratkaisu tällä välillä, tai pikemminkin yksi: \(x=-3\) .

funktio \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) kasvaa tiukasti kaikille \(x\in (-1;+\infty)\), joten yhtälö \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) ei sisällä enempää kuin yksi ratkaisu tällä välillä, tai pikemminkin ei yhtään, koska vasemman puolen osoittaja ei voi koskaan olla nolla.

III. Jos funktio \(f(x)\) on ei-laskeva (ei-kasvava) ja jatkuva segmentillä \(\), ja segmentin päissä se saa arvot\(f(a)= A, f(b)=B\) , niin \(C\in \) (\(C\in \) ) yhtälöllä \(f(x)=C\) on aina vähintään yksi ratkaisu.

Esimerkki: funktio \(f(x)=x^3\) on tiukasti kasvava (eli tiukasti monotoninen) ja jatkuva kaikille \(x\in\mathbb(R)\) , joten mille tahansa \(C\) lauseessa ( -\infty;+\infty)\) yhtälöllä \(x^3=C\) on täsmälleen yksi ratkaisu: \(x=\sqrt(C)\) .

Tehtävä 1 #3153

Tehtävätaso: Helpompi kuin yhtenäinen valtionkoe

sillä on täsmälleen kaksi juurta.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Tarkastellaan funktiota \(f(t)=t^3+t\) . Sitten yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon: \ Tutkitaan funktiota \(f(t)\) . \ Näin ollen funktio \(f(t)\) kasvaa kaikille \(t\) . Tämä tarkoittaa, että jokainen funktion \(f(t)\) arvo vastaa täsmälleen yhtä argumentin \(t\) arvoa. Siksi, jotta yhtälöllä olisi juuret, on välttämätöntä: \ Jotta tuloksena olevalla yhtälöllä olisi kaksi juuria, sen diskriminantin on oltava positiivinen: \

Vastaus:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\oikea)\)

Tehtävä 2 #2653

Tehtävätaso: vastaa yhtenäistä valtionkoetta

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joille yhtälö \

on kaksi juurta.

(Tehtävä tilaajilta.)

Korvataan: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Sitten yhtälö saa muodon: \ Tarkastellaan funktiota \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Sitten yhtälömme saa muotoa: \

Etsitään johdannainen \ Huomaa, että kaikille \(w\ne 0\) derivaatta on \(f"(w)>0\) , koska \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Huomaa myös että itse funktio \(f(w)\) on määritelty kaikille \(w\). Koska lisäksi \(f(w)\) on jatkuva, voimme päätellä, että \(f (w)\) kasvaa kokonaisuudessaan \(\mathbb(R)\) .
Tämä tarkoittaa, että yhtälö \(f(t)=f(u)\) on mahdollinen jos ja vain jos \(t=u\) . Palataan alkuperäisiin muuttujiin ja ratkaistaan ​​tuloksena oleva yhtälö:

\ Jotta tällä yhtälöllä olisi kaksi juuria, sen on oltava neliö ja sen diskriminantin on oltava positiivinen:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Vastaus:

\((-\infty;1)\kuppi(1;2)\)

Tehtävä 3 #3921

Tehtävätaso: vastaa yhtenäistä valtionkoetta

Etsi kaikki positiiviset arvot parametrille \(a\), jolle yhtälö

on vähintään \(2\) ratkaisua.

Siirretään kaikki termit, jotka sisältävät \(ax\) vasemmalle ja ne, jotka sisältävät \(x^2\) oikealle, ja tarkastellaan funktiota
\

Sitten alkuperäinen yhtälö saa muodon:
\

Etsitään johdannainen:
\

Koska \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), sitten \(f"(t)\geqslant 0\) mille tahansa \(t\in \mathbb(R)\) .

Lisäksi \(f"(t)=0\) jos \((t-2)^2=0\) ja \(1+\cos(2t)=0\) samaan aikaan, mikä ei ole totta mille tahansa \ (t\). Siksi \(f"(t)> 0\) mille tahansa \(t\in \mathbb(R)\) .

Siten funktio \(f(t)\) kasvaa tarkasti kaikille \(t\in \mathbb(R)\) .

Tämä tarkoittaa, että yhtälö \(f(ax)=f(x^2)\) vastaa yhtälöä \(ax=x^2\) .

Yhtälöllä \(x^2-ax=0\) \(a=0\) on yksi juuri \(x=0\) ja \(a\ne 0\) sillä on kaksi eri juuria \(x_1 =0 \) ja \(x_2=a\) .
Meidän on löydettävä \(a\) arvot, joissa yhtälöllä on vähintään kaksi juuria, ottaen huomioon myös se tosiasia, että \(a>0\) .
Siksi vastaus on: \(a\in (0;+\infty)\) .

Vastaus:

\((0;+\infty)\) .

Tehtävä 4 #1232

Tehtävätaso: vastaa yhtenäistä valtionkoetta

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle yhtälö \

on ainutlaatuinen ratkaisu.

Kerrotaan yhtälön oikea ja vasen puoli \(2^(\sqrt(x+1))\) (koska \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) ja kirjoitetaan yhtälö uudelleen muodossa: \

Harkitse toimintoa \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) (koska \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Johdannainen \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\oikea)\).

Koska \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) kaikille \(t\geqslant 0\) , sitten \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Näin ollen \(t\geqslant 0\) funktio \(y\) pienenee monotonisesti.

Yhtälöä voidaan tarkastella muodossa \(y(t)=y(z)\) , missä \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Funktion monotonisuudesta seuraa, että yhtäläisyys on mahdollista vain jos \(t=z\) .

Tämä tarkoittaa, että yhtälö vastaa yhtälöä: \(ax=\sqrt(x+1)\), joka puolestaan ​​vastaa järjestelmää: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Kun \(a=0\), järjestelmällä on yksi ratkaisu \(x=-1\), joka täyttää ehdon \(ax\geqslant 0\) .

Harkitse tapausta \(a\ne 0\) . Järjestelmän ensimmäisen yhtälön \(D=1+4a^2>0\) erotin kaikille \(a\) . Näin ollen yhtälöllä on aina kaksi juuria \(x_1\) ja \(x_2\), ja ne ovat eri etumerkkejä (koska Vietan lauseen mukaan \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Tämä tarkoittaa, että \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) ehto täyttyy positiivisella juurilla. Siksi järjestelmällä on aina ainutlaatuinen ratkaisu.

Joten \(a\in \mathbb(R)\) .

Vastaus:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Tehtävä 5 #1234

Tehtävätaso: vastaa yhtenäistä valtionkoetta

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle yhtälö \

on vähintään yksi juuri segmentistä \([-1;0]\) .

Harkitse toimintoa \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) joillekin kiinteälle \(a\) . Etsitään sen johdannainen: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Huomaa, että \(f"(x)\geqslant 0\) kaikille \(x\) ja \(a\) arvoille ja on yhtä suuri kuin \(0\) vain \(x=a=1 \). Mutta \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) yhtälöllä \(2(x-1)^3=0\) on yksi juuri \(x=1\), joka ei täytä ehtoa. Siksi \(a\) ei voi olla yhtä suuri kuin \(1\) .

Tämä tarkoittaa, että kaikille \(a\ne 1\) funktio \(f(x)\) kasvaa tiukasti, joten yhtälöllä \(f(x)=0\) voi olla vain yksi juuri. Kun otetaan huomioon kuutiofunktion ominaisuudet, \(f(x)\) kaavio jollekin kiinteälle \(a\) näyttää tältä:

Tämä tarkoittaa, että jotta yhtälöllä olisi juuri segmentistä \([-1;0]\), on välttämätöntä: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Siten \(a\in [-2;0]\) .

Vastaus:

\(a\in [-2;0]\) .

Tehtävä 6 #2949

Tehtävätaso: vastaa yhtenäistä valtionkoetta

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle yhtälö \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

on juuret.

(Tehtävä tilaajilta)

ODZ-yhtälöt: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Siksi, jotta yhtälöllä olisi juuret, on välttämätöntä, että ainakin yksi yhtälöistä \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(tai)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] oli päätöksiä ODZ:stä.

1) Tarkastellaan ensimmäistä yhtälöä \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(tasattu) \end(koottu)\oikea. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Tämän yhtälön juurten on oltava \(\) . Harkitse ympyrää:

Näin ollen näemme, että millä tahansa \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) yhtälöllä on yksi ratkaisu, ja kaikille muille sillä ei ole ratkaisuja. Siksi milloin \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) yhtälöllä on ratkaisut.

2) Tarkastellaan toista yhtälöä \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Etsitään sen johdannainen: \ ODZ:ssä derivaatalla on yksi nolla: \(x=\frac34\) , joka on myös funktion \(f(x)\) maksimipiste.
Huomaa, että \(f(0)=f(1)=0\) . Joten kaavamaisesti kaavio \(f(x)\) näyttää tältä:

Siksi, jotta yhtälöllä olisi ratkaisuja, on välttämätöntä, että kuvaaja \(f(x)\) leikkaa suoran \(y=-a\) (kuvassa on yksi sopivista vaihtoehdoista). Eli se on välttämätöntä \ . Näille \(x\):

Funktio \(y_1=\sqrt(x-1)\) kasvaa voimakkaasti. Funktion \(y_2=5x^2-9x\) kuvaaja on paraabeli, jonka kärki on pisteessä \(x=\dfrac(9)(10)\) . Näin ollen kaikille \(x\geqslant 1\) funktio \(y_2\) on myös tiukasti kasvava (paraabelin oikea haara). Koska tiukasti kasvavien funktioiden summa kasvaa jyrkästi, silloin \(f_a(x)\) kasvaa jyrkästi (vakio \(3a+8\) ei vaikuta funktion monotonisuuteen).

Funktio \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) kaikille \(x\geqslant 1\) edustaa osaa hyperbelin oikeasta haarasta ja on tiukasti laskeva.

Yhtälön \(f_a(x)=g_a(x)\) ratkaiseminen tarkoittaa funktioiden \(f\) ja \(g\) leikkauspisteiden löytämistä. Niiden vastakkaisesta monotonisuudesta seuraa, että yhtälöllä voi olla enintään yksi juuri.

Kun \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Siksi yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos:

\\kuppi

Vastaus:

\(a\in (-\infty;-1]\cup Lagrangen lauseen ehdot täyttyvät, joten

Missä , eli kuuluu väliin, jolla derivaatta on positiivinen, mikä tarkoittaa sitä ja tasa-arvon oikea puoli on positiivinen. Täältä Ja

Toinen lause on todistettu samalla tavalla.

Lause (riittävä ehto funktion pienenemiseen). Jos differentioituvan funktion derivaatta on negatiivinen tietyllä aikavälillä X, se pienenee tällä aikavälillä.

Kuvassa 7 on esitetty geometrinen tulkinta funktion monotonisuuden ehdosta.

Jos käyrän tangentit tietyllä aikavälillä suunnataan terävässä kulmassa abskissa-akseliin nähden (kuva 7a), funktio kasvaa, jos tylppä kulmassa (kuva 7b), niin se pienenee.

Kuva 7 – Geometrinen tulkinta funktion monotonisuuden ehdosta

Esimerkki 1 klo = X 2 – 4X + 3.

Ratkaisu. Meillä on Ilmeisesti klo X> 2i y"< 0 klo X< 2, eli toiminto pienenee aikavälillä ja kasvaa välin aikana Missä X 0 = 2 - paraabelin kärjen abskissa.

Huomaa, että monotonisuuden välttämätön ehto on heikompi. Jos funktio kasvaa (vähenee) tietyllä aikavälillä X, niin voimme vain sanoa, että derivaatta on ei-negatiivinen (ei-positiivinen) tällä välillä: ts. yksittäisissä pisteissä monotonisen funktion derivaatta voi olla nolla.

Esimerkki 2. Etsi funktion monotonisuuden intervallit klo = X 3 .

Ratkaisu. Etsitään johdannainen Se on selvää klo> 0 klo . klo X= 0 derivaatta menee nollaan. Toiminto kasvaa monotonisesti koko numeerista akselia pitkin.

Toiminnon ääriarvo

Määritelmä 1. Piste X 0 kutsutaan pisteeksi enimmäismäärä toimintoja f(XX 0 epätasa-arvo pätee

Määritelmä 2. Piste X 1, kutsutaan pisteeksi minimi toimintoja f(X), jos jossain pisteen läheisyydessä X 1, epätasa-arvo pätee

Toimintojen arvot pisteissä X 0 ja X 1 kutsutaan vastaavasti toiminnon maksimi ja minimi.

Maksimi- ja minimifunktiot yhdistetään yhteisellä nimellä funktion ääripää.

Usein kutsutaan funktion ääripäätä paikallinen ääripää, korostaa sitä tosiasiaa, että äärimmäisyyden käsite liittyy vain riittävän pieneen pisteen ympäristöön x n. Joten yhdellä intervallilla funktiolla voi olla useita ääriarvoja, ja voi käydä niin, että minimi yhdessä pisteessä on suurempi kuin maksimi toisessa, esimerkiksi kuvassa 8

Maksimin (tai minimin) läsnäolo erillisessä pisteessä intervallia X ei tarkoita ollenkaan, että tässä vaiheessa toiminto f(X) ottaa suurimman (pienimmän) arvon tällä aikavälillä (tai, kuten sanotaan, on globaali maksimi (minimi)).

Ekstreemin välttämätön ehto: Toiminnon vuoksi y = f(X) oli ääripää pisteessä X 0, on välttämätöntä, että sen derivaatta tässä pisteessä on nolla ( )tai ei ollut olemassa.

Pisteet, joissa välttämätön ääriehto täyttyy, ts. derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa kriittinen (tai paikallaan ).

Siten, jos jossakin pisteessä on ääriarvo, tämä piste on kriittinen. On kuitenkin erittäin tärkeää huomata, että päinvastoin ei pidä paikkaansa. Kriittinen piste ei välttämättä ole ääripiste.

Kuva 8 – Toiminnan ääripäät f(X)

Esimerkki 1. Etsi funktion kriittiset pisteet ja varmista, onko näissä pisteissä ääripäätä.