Menelaoksen lause ja sen sovellus. Chevan ja Menelaoksen lause

CHEVAN JA MENELAUSEN LAUSEET

Cevan lause

Suurin osa merkittävistä kolmiopisteistä voidaan saada seuraavalla menetelmällä. Olkoon jokin sääntö, jonka mukaan voimme valita tietyn pisteen A 1 , kolmion ABC sivulla BC (tai sen jatkeella) (valitse esimerkiksi tämän sivun keskipiste). Sitten rakennamme samanlaiset pisteet B 1, C 1 kolmion kahdella muulla sivulla (esimerkissämme on vielä kaksi sivujen keskipistettä). Jos valintasääntö onnistuu, niin suora AA 1, BB 1, CC 1 leikkaa jossain pisteessä Z (sivujen keskipisteiden valinta tässä mielessä on tietysti onnistunut, koska kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä).

Haluaisin jonkin yleisen menetelmän, jonka avulla voidaan määrittää kolmion sivuilla olevien pisteiden sijainnista, leikkaako vastaava kolmio yhdessä pisteessä vai ei.

Italialainen insinööri löysi vuonna 1678 universaalin tilanteen, joka "sulki" tämän ongelmanGiovanni Cheva .

Määritelmä. Segmenttejä, jotka yhdistävät kolmion kärjet vastakkaisilla puolilla oleviin pisteisiin (tai niiden jatkeisiin), kutsutaan cevianeiksi, jos ne leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ceviansille on kaksi mahdollista sijaintia. Yhdessä versiossa pointti

leikkauspisteet ovat sisäisiä, ja cevianin päät sijaitsevat kolmion sivuilla. Toisessa vaihtoehdossa leikkauspiste on ulkoinen, yhden cevianin pää on sivulla ja kahden muun cevianin päät ovat sivujen jatkeilla (katso piirustukset).

Lause 3. (Cevan suora lause) Mielivaltaisessa kolmiossa ABC otetaan pisteet A sivuilta BC, CA, AB tai niiden jatkeilta. 1 , SISÄÄN 1 , KANSSA 1 , niin että suora AA 1 , BB 1 , SS 1 leikkaavat sitten jossain yhteisessä pisteessä

Todiste: Vaikka Cevan lauseelle tunnetaan useita alkuperäisiä todisteita, harkitsemme todistusta, joka perustuu Menelaoksen lauseen kaksoissovellukseen. Kirjoitetaan ensimmäistä kertaa ylös Menelaoksen lauseen relaatio kolmiolleABB 1 ja sekantti CC 1 (merkitsimme cevianin leikkauspistettäZ):

ja toisen kerran kolmiolleB 1 B.C. ja sekantti A.A. 1 :

Kerromalla nämä kaksi suhdetta ja tekemällä tarvittavat vähennykset, saadaan lauseen lauseessa oleva suhde.

Lause 4. (Cevan käänteislause) . Jos niille, jotka on valittu kolmion sivuilta ABC tai niiden pisteiden laajennukset A 1 , SISÄÄN 1 Ja C 1 Chevan kunto on täytetty:

sitten suoraan A.A. 1 , BB 1 Ja CC 1 leikkaavat yhdessä pisteessä .

Tämän lauseen todistus suoritetaan ristiriidalla, aivan kuten Menelaoksen lauseen todistus.

Tarkastellaan esimerkkejä Cevan suorien ja käänteisten lauseiden soveltamisesta.

Esimerkki 3. Todista, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu. Harkitse suhdetta

kolmion huipuille ja sen sivujen keskipisteille. On selvää, että jokaisessa murtoluvussa osoittajalla ja nimittäjällä on samat segmentit, joten kaikki nämä murtoluvut ovat yhtä suuria kuin yksi. Näin ollen Chevan relaatio täyttyy, joten käänteisen lauseen mukaan mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Lause (Cevan lause) . Anna pisteet makaa sivuilla ja kolmio vastaavasti. Anna segmentit Ja leikkaavat yhdessä pisteessä. Sitten

(kierrämme kolmion ympäri myötäpäivään).

Todiste. Merkitään segmenttien leikkauspiste Ja . Jätetään kohdat pois Ja kohtisuorat suoraa vastaanennen kuin leikkaat sen pisteissä Ja vastaavasti (katso kuva).

Koska kolmiot Ja on yhteinen puoli, silloin niiden pinta-alat liittyvät tälle puolelle piirrettyihin korkeuksiin, ts. Ja:

Viimeinen yhtälö on totta, koska suorakulmaiset kolmiot Ja samanlainen terävässä kulmassa.

Samoin saamme

Kerrotaan nämä kolme yhtälöä:

Q.E.D.

Tietoja mediaaneista:

1. Aseta yksikkömassat kolmion ABC kärkeen.
2. Pisteiden A ja B massakeskipiste on AB:n keskellä. Koko järjestelmän massakeskuksen tulee olla sivun AB mediaanilla, koska kolmion ABC massakeskipiste on pisteiden A ja B sekä pisteen C massakeskipisteen massakeskus.
(se meni hämmentäväksi)
3. Samoin - CM:n on sijaittava mediaanilla sivuilla AC ja BC
4. Koska CM on yksi piste, kaikkien näiden kolmen mediaanin on leikattava siinä.

Muuten, siitä seuraa välittömästi, että risteyksessä ne jaetaan suhteessa 2:1. Koska pisteiden A ja B massakeskipisteen massa on 2 ja pisteen C massa on 1, yhteinen massakeskus jakaa suhdelauseen mukaan mediaanin suhteessa 2/1 .

Kiitos paljon, se on esitetty helposti saavutetulla tavalla, mielestäni ei olisi väärin esittää todistusta massageometrian menetelmillä, esim.
Suorat AA1 ja CC1 leikkaavat pisteessä O; AC1: C1B = p ja BA1: A1C = q. Meidän on todistettava, että viiva BB1 kulkee pisteen O läpi, jos ja vain jos CB1: B1A = 1: pq.
Sijoitetaan massat 1, p ja pq pisteisiin A, B ja C. Tällöin piste C1 on pisteiden A ja B massakeskus ja piste A1 on pisteiden B ja C massakeskus. Siksi pisteiden A, B ja C massakeskipiste näiden massojen kanssa on pisteen O leikkauspiste O. linjat CC1 ja AA1. Toisaalta piste O sijaitsee segmentillä, joka yhdistää pisteen B pisteiden A ja C massakeskuksiin. Jos B1 on pisteiden A ja C massakeskipiste, joiden massat ovat 1 ja pq, niin AB1: B1C = pq: 1. On vielä huomattava, että segmentillä AC on yksi piste, joka jakaa sen annetussa suhteessa AB1:B1C.

2. Cevan lause

Janaa, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen, kutsutaanceviana . Jos siis kolmiossaABC X , Y ja Z - sivuilla makaavat pisteetB.C. , C.A. , AB vastaavasti sitten segmentitKIRVES , BY , CZ ovat chevialaisia. Termi tulee italialaiselta matemaatikolta Giovanni Cevalta, joka julkaisi vuonna 1678 seuraavan erittäin hyödyllisen lauseen:

Lause 1.21. Jos kolme kolmion ABC ceviaania AX, BY, CZ (yksi kustakin kärjestä) ovat kilpailevia, niin

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Riisi. 3.

Kun sanomme, että kolme riviä (tai segmenttiä)kilpailukykyinen , tarkoitamme, että ne kaikki kulkevat yhden pisteen läpi, jota merkitsemmeP . Todistaaksesi Cevan lauseen, muista, että samankorkuisten kolmioiden pinta-alat ovat verrannollisia kolmioiden kantaan. Viitaten kuvaan 3, meillä on:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Samoin

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Nyt jos kerromme ne, saamme

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Tämän lauseen käänteinen on myös totta:

Lause 1.22. Jos kolme ceviania AX, BY, CZ tyydyttää suhteen

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

silloin ne ovat kilpailukykyisiä .

Tämän osoittamiseksi oletetaan, että kaksi ensimmäistä ceviaaa leikkaavat pisteenP , kuten ennen, ja kolmas cevian, joka kulkee pisteen läpiP , tuleeCZ′ . Sitten Lauseen 1.21 mukaan

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

Mutta olettaen

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Siten,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

pisteZ′ osuu yhteen asian kanssaZ , ja todistimme, että segmentitKIRVES , BY JaCZ kilpailukykyinen (, s. 54 ja , s. 48, 317).

Menelaoksen lause tai täydellinen nelisivulause on tunnettu antiikin Kreikan ajoista lähtien. Se sai nimensä kirjoittajansa, muinaisen kreikkalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän kunniaksi. Menelaus Aleksandrialainen(noin 100 jKr.). Tämä lause on erittäin kaunis ja yksinkertainen, mutta valitettavasti siihen ei kiinnitetä riittävästi huomiota nykyaikaisissa koulukursseissa. Samaan aikaan se auttaa monissa tapauksissa ratkaisemaan varsin monimutkaisia geometrisia ongelmia erittäin helposti ja tyylikkäästi.

Lause 1 (Menelauksen lause). Leikkaa ∆ABC suoralla, joka ei ole yhdensuuntainen sivun AB kanssa ja joka leikkaa sen kaksi sivua AC ja BC pisteissä F ja E, ja suora AB pisteessä D (Kuva 1),

sitten A F FC * CE EB * BD DA = 1

Huomautus. Tämän kaavan muistamiseksi helposti voit käyttää seuraavaa sääntöä: siirry kolmion ääriviivaa pitkin kärjestä suoran leikkauspisteeseen ja leikkauspisteestä seuraavaan kärkeen.

Todiste. Kolmion pisteistä A, B, C piirretään vastaavasti kolme yhdensuuntaista suoraa, kunnes ne leikkaavat sekanttiviivan. Saamme kolme paria samanlaisia kolmioita (merkki samankaltaisuudesta kahdessa kulmassa). Seuraavat yhtäläisyydet johtuvat kolmioiden samankaltaisuudesta:

Kerrotaan nyt nämä tuloksena olevat yhtäläisyydet:

Lause on todistettu.

Tunteaksemme tämän lauseen kauneuden, yritetään ratkaista alla ehdotettu geometrinen ongelma kahdella eri tavalla: apurakentamisen avulla ja avustuksella Menelaoksen lause.

Tehtävä 1.

∆ABC:ssä puolittaja AD jakaa puolen BC suhteessa 2:1. Missä suhteessa mediaani CE jakaa tämän puolittajan?

Ratkaisu.

Apurakentamisen käyttö:

Olkoon S puolittajan AD ja mediaanin CE leikkauspiste. Muodostetaan ∆ASB suunnikkaaksi ASBK. (Kuva 2)

Ilmeisesti SE = EK, koska suunnikkaan leikkauspiste puolittaa lävistäjät. Tarkastellaan nyt kolmioita ∆CBK ja ∆CDS. On helppo nähdä, että ne ovat samankaltaisia (merkki samankaltaisuudesta kahdessa kulmassa: ja sisäisinä yksipuolisina kulmina yhdensuuntaisilla viivoilla AD ja KB sekä sekantti CB). Kolmion samankaltaisuudesta seuraa seuraava:

Ehtoa käyttämällä saamme:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2 CD CB = 3 CD CD = 3

Huomaa nyt, että KB = AS, kuten suunnikkaan vastakkaiset sivut. Sitten

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Menelaoksen lauseen avulla.

Tarkastellaan ∆ABD:tä ja sovelletaan siihen Menelaoksen lausetta (pisteiden C, S, E kautta kulkeva suora on sekanttiviiva):

OLE EA * AS SD * DC CB = 1

Lauseen ehtojen mukaan meillä on BE/EA = 1, koska CE on mediaani, ja DC/CB = 1/3, kuten jo aiemmin laskettiin.

1 * AS SD * 1 3 = 1

Tästä saadaan AS/SD = 3 Ensi silmäyksellä molemmat ratkaisut ovat melko kompakteja ja suunnilleen vastaavia. Ajatus koululaisten lisärakenteesta osoittautuu kuitenkin usein hyvin monimutkaiseksi ja ei ollenkaan itsestään selväksi, kun taas Menelaoksen lauseen tunteessa hänen tarvitsee vain soveltaa sitä oikein.

Tarkastellaanpa toista ongelmaa, jossa Menelaoksen lause toimii erittäin tyylikkäästi.

Tehtävä 2.

Sivuilla AB ja BC ∆ABC pisteet M ja N on annettu vastaavasti siten, että seuraavat yhtälöt pätevät:

AM MB = CN NA = 1 2

Missä suhteessa segmenttien BN ja CM leikkauspiste S jakaa kunkin janan (kuva 3)?

Ratkaisu.

Tarkastellaan ∆ABN. Sovelletaan Menelaoksen lausetta tähän kolmioon (pisteiden M, S, C kautta kulkeva suora on sekanttiviiva)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Ongelmaehdoista meillä on: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Korvataan nämä tulokset ja saadaan:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Siten BS/SN = 6. Ja siksi segmenttien BN ja CM leikkauspiste S jakaa segmentin BN suhteessa 6:1.

Tarkastellaan ∆ACM. Sovelletaan Menelaoksen lausetta tähän kolmioon (pisteiden N, S, B kautta kulkeva suora on sekanttiviiva):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Ongelmaehdoista meillä on: AN NC = 2

Mt BA = MB BM + MA = 2 Mt 2MA + MA = 2 Mt 3MA = 2 3

Korvataan nämä tulokset ja saadaan:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Tästä syystä CS/SM = 3/4

Ja siksi segmenttien BN ja CM leikkauspiste S jakaa segmentin CM suhteessa 3:4.

Menelaoksen lauseen käänteinen lause on myös totta. Usein se osoittautuu vielä hyödyllisemmäksi. Se toimii erityisen hyvin todistusongelmissa. Usein sen avulla myös olympialaisten ongelmat ratkaistaan kauniisti, helposti ja nopeasti.

Lause 2(Menelaoksen käänteinen lause). Olkoon kolmio ABC annettu ja pisteet D, E, F kuuluvat suorille BC, AC, AB, vastaavasti (huomaa, että ne voivat sijaita sekä kolmion ABC sivuilla että niiden jatkeilla) (Kuva 4).

Sitten, jos AF FC * CE EB * BD DA = 1

sitten pisteet D, E, F ovat samalla suoralla.

Todiste. Todistakaamme lause ristiriidalla. Oletetaan, että lauseen ehtojen suhde täyttyy, mutta piste F ei ole suoralla DE (kuva 5).

Merkitään suorien DE ja AB leikkauspiste O-kirjaimella. Nyt sovelletaan Menelauksen lausetta ja saadaan: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Mutta toisaalta yhtäläisyys BF FA = BO OA

ei voida suorittaa.

Siksi lauseen ehdoista johtuvaa suhdetta ei voida täyttää. Meillä on ristiriita.

Lause on todistettu.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Luokka: 9

Oppitunnin tavoitteet:

yleistää, laajentaa ja systematisoida opiskelijoiden tietoja ja taitoja; opettaa käyttämään tietoa monimutkaisten ongelmien ratkaisemisessa;
edistää taitojen kehittymistä itsenäiseen tiedon soveltamiseen ongelmien ratkaisussa;
kehittää opiskelijoiden loogista ajattelua ja matemaattista puhetta, kykyä analysoida, vertailla ja yleistää;
juurruttaa opiskelijoihin itseluottamusta ja kovaa työtä; kykyä työskennellä ryhmässä.

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen: toista Menelaoksen ja Chevan lauseet; soveltaa niitä ongelmien ratkaisemiseen.
Kehittävä: oppia esittämään hypoteesi ja puolustamaan taitavasti mielipiteesi todisteilla; testaa kykyäsi yleistää ja systematisoida tietosi.
Koulutuksellinen: lisätä kiinnostusta aiheeseen ja valmistautua monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiseen.

Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Laitteet: kortit kollektiiviseen työhön tämän aiheen oppitunnilla, yksittäiset kortit itsenäiseen työhön, tietokone, multimediaprojektori, näyttö.

Tuntien aikana

Vaihe I. Organisaatiohetki (1 min)

Opettaja ilmoittaa oppitunnin aiheen ja tarkoituksen.

Vaihe II. Perustietojen ja taitojen päivittäminen (10 min.)

Opettaja: Oppitunnin aikana muistamme Menelauksen ja Chevan lauseet, jotta voimme siirtyä menestyksekkäästi ongelmien ratkaisemiseen. Katsotaanpa näyttöä, jossa se esitetään. Mille lauseelle tämä luku on annettu? (Menelauksen lause). Yritä muotoilla lause selkeästi.

Kuva 1

Olkoon piste A 1 kolmion ABC sivulla BC, piste C 1 puolella AB, piste B 1 sivun AC jatkossa pisteen C takana. Pisteet A 1 , B 1 ja C 1 ovat samalla suoralla jos ja vain jos tasa-arvo pätee

Opettaja: Katsotaanpa seuraavaa kuvaa yhdessä. Esitä lause tälle piirrokselle.

Kuva 2

Suora AD leikkaa IUD-kolmion kaksi sivua ja kolmannen sivun jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Suora MB leikkaa kolmion ADC kaksi sivua ja kolmannen sivun jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Opettaja: Mitä lausetta kuva vastaa? (Cevan lause). Esitä lause.

Kuva 3

Olkoon kolmion ABC piste A 1 sivulla BC, piste B 1 sivulla AC, piste C 1 sivulla AB. Jaksot AA 1, BB 1 ja CC 1 leikkaavat yhdessä pisteessä, jos ja vain jos yhtäläisyys pätee

Vaihe III. Ongelmanratkaisu. (22 min.)

Luokka on jaettu 3 joukkueeseen, joista jokainen saa kortin kahdella eri tehtävällä. Annetaan aikaa päättää, minkä jälkeen näytölle ilmestyy seuraava:<Рисунки 4-9>. Tehtävien valmiiden piirustusten perusteella tiimin edustajat kertovat vuorotellen ratkaisujaan. Jokaista selitystä seuraa keskustelu, kysymyksiin vastaaminen ja ratkaisun oikeellisuuden tarkistaminen näytöltä. Kaikki tiimin jäsenet osallistuvat keskusteluun. Mitä aktiivisempi joukkue, sitä korkeammalle tasolle tulos lasketaan.

Kortti 1.

1. Kolmiossa ABC otetaan piste N sivulta BC siten, että NC = 3BN; sivun AC jatkossa piste M otetaan pisteeksi A siten, että MA = AC. Suora MN leikkaa sivun AB pisteessä F. Etsi suhde

2. Osoita, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu 1

Kuva 4

Tehtävän ehtojen mukaan MA = AC, NC = 3BN. Olkoon MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Suora MN leikkaa kolmion ABC kaksi sivua ja kolmannen jatkon.

Menelaoksen lauseen mukaan

Vastaus:

Todisteet 2

Kuva 5

Olkoon AM 1, BM 2, CM 3 kolmion ABC mediaanit. Sen osoittamiseksi, että nämä segmentit leikkaavat yhdessä pisteessä, riittää

Sitten Cevan (käänteisen) lauseen mukaan segmentit AM 1, BM 2 ja CM 3 leikkaavat yhdessä pisteessä.

Meillä on:

Joten on todistettu, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä.

Kortti 2.

1. Piste N otetaan kolmion PQR PQ-puolelta ja piste L otetaan PR-puolelta, ja NQ = LR. Janan QL ja NR leikkauspiste jakaa QL:n suhteessa m:n pisteestä Q laskettuna.

2. Osoita, että kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu 1

Kuva 6

Ehdolla NQ = LR, Olkoon NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Suora NR leikkaa kolmion PQL kaksi sivua ja kolmannen jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Vastaus:

Todisteet 2

Kuva 7

Näytä se

Sitten Cevan (käänteisen) lauseen mukaan AL 1, BL 2, CL 3 leikkaavat yhdessä pisteessä. Kolmion puolittajien ominaisuuden mukaan

Kerrotaan saadut yhtäläisyydet termillä, saadaan

Kolmion puolittajille Chevan yhtäläisyys täyttyy, joten ne leikkaavat yhdessä pisteessä.

Kortti 3.

1. Kolmiossa ABC AD on mediaani, piste O on mediaanin keskikohta. Suora BO leikkaa sivun AC pisteessä K. Missä suhteessa piste K jakaa AC:n pisteestä A laskettuna?

2. Osoita, että jos kolmioon on piirretty ympyrä, niin kolmion kärjet vastakkaisten sivujen kosketuspisteisiin yhdistävät janat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Ratkaisu 1

Kuva 8

Olkoon BD = DC = a, AO = OD = m. Suora BK leikkaa kolmion ADC kaksi sivua ja kolmannen sivun jatkeen.

Menelaoksen lauseen mukaan

Vastaus:

Todisteet 2

Kuva 9

Olkoot A 1, B 1 ja C 1 kolmion ABC piirretyn ympyrän tangenttipisteet. Sen osoittamiseksi, että janat AA 1, BB 1 ja CC 1 leikkaavat yhdessä pisteessä, riittää, kun osoitetaan, että Chevan yhtäläisyys pätee:

Ympyrän yhdestä pisteestä piirrettyjen tangenttien ominaisuutta käyttämällä otetaan käyttöön seuraava merkintä: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Chevan yhtälö täyttyy, mikä tarkoittaa, että kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Vaihe IV. Ongelmanratkaisu (itsenäinen työ) (8 min.)

Opettaja: Joukkueiden työ on valmis ja nyt aloitamme itsenäisen työskentelyn yksittäisten korttien kanssa 2 vaihtoehdolle.

Oppimateriaalia opiskelijoiden itsenäiseen työskentelyyn

Vaihtoehto 1. Kolmiossa ABC, jonka pinta-ala on 6, puolella AB on piste K, joka jakaa tämän puolen suhteessa AK:BK = 2:3, ja sivulla AC on piste L, joka jakaa AC:n. suhteessa AL:LC = 5:3. Suorien СК ja BL leikkauspiste Q poistetaan suorasta AB etäisyyden päässä. Etsi sivun AB pituus. (Vastaus: 4.)

Vaihtoehto 2. Kolmion ABC sivulta AC otetaan piste K. AK = 1, KS = 3. Sivulta AB otetaan piste L. AL:LB = 2:3, Q on suorien BK ja CL leikkauspiste. Laske kärjestä B pudonneen kolmion ABC korkeuden pituus. (Vastaus: 1.5.)

Työ toimitetaan opettajalle tarkistettavaksi.

V vaihe. Oppitunnin yhteenveto (2 min)

Tehdyt virheet analysoidaan, alkuperäiset vastaukset ja kommentit kirjataan. Kunkin tiimin työn tulokset lasketaan yhteen ja annetaan arvosanat.

Vaihe VI. Kotitehtävät (1 min)

Kotitehtävät koostuvat tehtävistä nro 11, 12 s. 289-290, nro 10 s. 301.

Loppusanat opettajalta (1 min).

Tänään kuulitte toistenne matemaattisen puheen ulkopuolelta ja arvioitte kykyjänne. Tulevaisuudessa käytämme tällaisia keskusteluja aiheen ymmärtämiseksi paremmin. Argumentit oppitunnilla olivat tosiasioiden ystäviä ja teoria käytännön kanssa. Kiitos kaikille.

Kirjallisuus:

Tkachuk V.V. Matematiikka hakijoille. – M.: MTsNMO, 2005.

Geometrian kurssi sisältää lauseita, joita ei opiskella riittävän yksityiskohtaisesti koulussa, mutta jotka voivat olla hyödyllisiä ratkaistaessa yhtenäisen valtiokokeen ja yhtenäisen valtiokokeen monimutkaisimpia tehtäviä. Näitä ovat esimerkiksi Menelaoksen lause. Perinteisesti sitä opiskellaan luokissa, joissa opiskellaan syvällistä matematiikkaa 8. luokalla, ja normaalissa ohjelmassa (Atanasyanin oppikirjan mukaan) Menelauksen lause sisältyy 10-11 luokkien oppikirjaan.
Sitä vastoin Menelauksen lausetta mainitsevien Internet-resurssien tutkimisen tulos osoittaa, että se on yleensä muotoiltu epätäydellisesti ja siksi epätarkasti, eikä kaikkia sen käyttötapauksia, kuten myös käänteisen lauseen todisteita, ole annettu. Tämän artikkelin tarkoituksena on ymmärtää, mikä Menelauksen lause on, miten ja miksi sitä käytetään, sekä jakaa metodologia tämän lauseen opettamiseen yksittäisillä tutoritunneilla opiskelijoille.
Tarkastellaan tyypillistä ongelmaa (Tehtävä nro 26, OGE), joka esiintyy kokeissa useissa muunnelmissa, jotka eroavat vain ehdon numeroista.

Itse ongelman ratkaisu on yksinkertainen - löydät sen alta. Tässä artikkelissa meitä kiinnostaa lähinnä hieman erilainen kohta, joka usein jätetään pois ja pidetään itsestäänselvyytenä. Mutta ilmeinen on se, mikä voidaan todistaa. Ja tämä voidaan todistaa monin eri tavoin - yleensä ne todistetaan yksinomaan samankaltaisuuden avulla - mutta se voidaan tehdä myös Menelaoksen lauseella.
Ehdosta seuraa, että koska puolisuunnikkaan alemman pohjan kulmat summautuvat 90°, niin jos sivuja pidennetään, saadaan suorakulmainen kolmio. Piirrä seuraavaksi tuloksena olevasta sivusivujen jatkeiden leikkauspisteestä segmentti, joka kulkee tukien keskeltä. Miksi tämä segmentti kulkee kaikkien näiden kolmen pisteen läpi? Yleensä Internetistä löydetyt ratkaisut ongelmaan eivät kerro tästä sanaakaan. Siinä ei ole edes viittausta neljän pisteen puolisuunnikkaan lauseeseen, puhumattakaan tämän väitteen todisteesta. Sillä välin se voidaan todistaa Menelaoksen lauseella, joka on ehto kolmen pisteen kuulumiselle yhdelle suoralle.

Menelaoksen lauseen formulaatiot
On aika muotoilla lause. On huomattava, että useissa oppikirjoissa ja käsikirjoissa siitä on melko erilaisia muotoja, vaikka olemus pysyy ennallaan. Atanasyanin et al.:n oppikirjassa luokille 10-11 Menelaoksen lause on esitetty seuraavalla tavalla, kutsutaan sitä "vektoriksi":

Aleksandrovin et al.:n oppikirjassa "Geometria luokat 10-11" sekä samojen kirjoittajien oppikirjassa "Geometry. 8. luokka” antaa hieman erilaisen muotoilun Menelaoksen lauseesta, ja se on sama sekä luokilla 10-11 että luokilla 8:
Tässä on tehtävä kolme huomautusta.
Huomautus 1. Kokeissa ei ole ongelmia, jotka on ratkaistava käyttämällä vain vektoreita, joissa käytetään "miinus yksi". Siksi käytännön käyttöön sopivin muotoilu on se, joka on olennaisesti segmenttien lauseen seuraus (tämä on toinen muotoilu, joka on korostettu lihavoinnilla). Rajaudumme tähän Menelaoksen lauseen jatkotutkimuksessa, koska tavoitteenamme on oppia soveltamaan sitä ongelmien ratkaisemiseen.
Huomautus 2. Huolimatta siitä, että kaikissa oppikirjoissa on selkeästi määrätty tapaus, jossa kaikki kolme pistettä A 1, B 1 ja C 1 voivat sijaita kolmion sivujen jatkeilla (tai kolmion sivut sisältävillä suorilla), useilla tutorointisivustoilla Internetissä vain tapaus muotoillaan, kun kaksi pistettä on kahdella puolella ja kolmas on kolmannen puolen jatkeella. Tätä tuskin voi perustella sillä, että kokeissa kohdataan vain ensimmäisen tyyppisiä ongelmia, eikä ongelmia voi kohdata, kun kaikki nämä kohdat ovat kolmen sivun jatkeilla.
Huomautus 3. Käänteinen lause, ts. ehtoa kolmen pisteen sijaitsemisesta samalla suoralla ei yleensä oteta lainkaan huomioon, ja jotkut opettajat jopa neuvovat (???) tutkimaan vain suoraa lausetta ja olemaan ottamatta huomioon käänteistä lausetta. Sitä vastoin käänteisen väitteen todistaminen on varsin opettavaista ja mahdollistaa samankaltaisten väitteiden todistamisen kuin tehtävän 1 ratkaisussa. Kokemus käänteisen lauseen todistamisesta tarjoaa epäilemättä konkreettista hyötyä opiskelijalle tehtävien ratkaisemisessa.

Piirustuksia ja kuvioita

Jotta opiskelija opetettaisiin näkemään Menelaoksen lause ongelmissa ja käyttämään sitä päätöksiä tehdessään, on tärkeää kiinnittää huomiota kuviin ja kaavoihin lauseen kirjoittamisessa tietyssä tapauksessa. Ja koska itse lause on "puhtaassa" muodossaan, ts. ilman muiden segmenttien ympäröimiä eri kuvioiden sivuja ei yleensä löydy tehtävissä, silloin on tarkoituksenmukaisempaa esittää lause tietyistä ongelmista. Ja jos näytät piirustuksia selityksenä, tee niistä monimuuttujia. Korosta tässä tapauksessa yhdellä värillä (esimerkiksi punaisella) suora viiva, joka muodostuu kolmesta pisteestä, ja sinisellä - kolmion segmentit, jotka osallistuvat Menelauksen lauseen kirjoittamiseen. Tässä tapauksessa elementit, jotka eivät osallistu, pysyvät mustina:

Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, että lauseen muotoilu on melko monimutkaista eikä aina ymmärrettävää; loppujen lopuksi se sisältää kolme murto-osaa. Itse asiassa, jos opiskelijalla ei ole tarpeeksi kokemusta, hän voi helposti tehdä virheen kirjoittaessaan ja sen seurauksena ratkaista ongelman väärin. Ja tästä ongelmat joskus alkavat. Asia on siinä, että oppikirjat eivät yleensä keskity siihen, kuinka "kiertoteitse" lausetta kirjoitettaessa. Itse lauseen kirjaamisen laeista ei puhuta mitään. Siksi jotkut opettajat jopa piirtävät erilaisia nuolia osoittamaan järjestystä, jossa kaava tulisi kirjoittaa. Ja he pyytävät opiskelijoita noudattamaan tiukasti näitä ohjeita. Tämä on osittain totta, mutta on paljon tärkeämpää ymmärtää lauseen ydin kuin kirjoittaa se puhtaasti mekaanisesti "ohitussääntöä" ja nuolia käyttämällä.
Itse asiassa on vain tärkeää ymmärtää "ohituksen" logiikka, ja se on niin tarkka, että on mahdotonta tehdä virhettä kaavan kirjoittamisessa. Molemmissa tapauksissa a) ja b) kirjoitetaan kolmion AMC kaava.
Ensin määritämme itsellemme kolme pistettä - kolmion kärjet. Meille nämä ovat pisteitä A, M, C. Sitten määritetään pisteet, jotka sijaitsevat leikkausviivalla (punainen viiva), nämä ovat B, P, K. Aloitamme "liikkeen" kolmion kärjestä, esim. pisteestä C. Tästä pisteestä "menemme "pisteeseen, jonka muodostaa esimerkiksi sivun AC ja leikkausviivan leikkaus - meille tämä on piste K. Kirjoitamme ensimmäisen murtoluvun osoittajaan - SK . Sitten pisteestä K "menemme" viivan AC jäljellä olevaan pisteeseen - pisteeseen A. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjään kirjoitetaan KA. Koska piste A kuuluu myös suoralle AM, teemme samoin osien kanssa linjalla AM. Ja tässä taas aloitamme kärjestä, sitten "menemme" leikkausviivan pisteeseen, jonka jälkeen siirrymme kärkipisteeseen M. "Löydettyään itsemme" suoralta BC teemme samoin janoilla tämä rivi. M:stä "menemme" tietysti B:hen, jonka jälkeen palaamme C:hen. Tämä "kiertotie" voidaan tehdä joko myötä- tai vastapäivään. On vain tärkeää ymmärtää läpikulkusääntö - kärjestä suoran pisteeseen ja suoran pisteestä toiseen kärkeen. Karkeasti näin selitetään murtolukujen tulon kirjoittamisen sääntö. Tulos on:
Huomaa, että koko "kiertotie" näkyy tallenteessa ja näkyy mukavuuden vuoksi nuolilla.
Tuloksena oleva tietue voidaan kuitenkin saada suorittamatta mitään "läpikulkua". Kun pisteet - kolmion kärjet (A, M, C) ja pisteet - ovat leikkausviivalla (B, P, K) on kirjoitettu, kirjoita muistiin myös kirjainten kolmoset, jotka osoittavat pisteitä jokaisessa kolmessa rivit. Meidän tapauksessamme nämä ovat I) B, M, C; II) A, P, M ja III) A, C, K. Tämän jälkeen kaavan oikea vasen puoli voidaan kirjoittaa katsomatta edes piirustusta ja missä tahansa järjestyksessä. Riittää, että kirjoitamme tosi murtoluvut jokaisesta kolmesta sääntöä noudattavasta kirjaimesta - perinteisesti "keskikirjaimet" ovat leikkausviivan (punainen) pisteitä. Perinteisesti "ulommat" kirjaimet ovat kolmion kärkien pisteitä (sininen). Kun kirjoitat kaavaa tällä tavalla, sinun tarvitsee vain varmistaa, että mikä tahansa "sininen" kirjain (kolmion kärki) esiintyy kerran sekä osoittajassa että nimittäjässä, esim.
Tämä menetelmä on erityisen hyödyllinen tyypin b) tapauksissa sekä itsetestauksessa.

Menelaoksen lause. Todiste
Menelaoksen lauseen todistamiseksi on useita eri tapoja. Joskus he todistavat sen käyttämällä kolmioiden samankaltaisuutta, jolle pisteestä M piirretään AC:n suuntainen segmentti (kuten tässä piirustuksessa). Toiset piirtävät lisäviivan, joka ei ole yhdensuuntainen leikkaavan suoran kanssa, ja sitten he näyttävät "projisoivan" kaikki tarvittavat segmentit tälle suoralle käyttämällä suoria, jotka ovat samansuuntaisia leikkausviivan kanssa ja käyttämällä Thalesin lauseen yleistystä (ts. lause suhteellisista segmenteistä), johda kaava. Ehkä yksinkertaisin todistusmenetelmä saadaan kuitenkin vetämällä pisteestä M suora viiva, joka on yhdensuuntainen leikkauspisteen kanssa. Todistakaamme Menelaoksen lause tällä tavalla.
Annettu: Kolmio ABC. Suora PK leikkaa kolmion sivut ja sivun MC jatkon pisteessä B.
Todista, että yhtäläisyys pätee:
Todiste. Piirretään säde MM 1 yhdensuuntaisesti BK:n kanssa. Kirjataan ylös suhteet, joihin Menelaoksen lauseen kaavaan sisältyvät segmentit osallistuvat. Yhdessä tapauksessa tarkastelemme viivoja, jotka leikkaavat pisteessä A ja toisessa tapauksessa pisteessä C. Kerrotaan näiden yhtälöiden vasen ja oikea puoli:

Lause on todistettu.
Lause todistetaan samalla tavalla tapaukselle b).

Pisteestä C piirretään jana CC 1 yhdensuuntainen suoran BK kanssa. Kirjataan ylös suhteet, joihin Menelaoksen lauseen kaavaan sisältyvät segmentit osallistuvat. Yhdessä tapauksessa tarkastelemme pisteessä A leikkaavia suoria ja toisessa tapauksessa pisteessä M. Koska Thalesin lause ei kerro mitään segmenttien sijainnista kahdella leikkaavalla suoralla, janat voivat sijaita pisteen M vastakkaisilla puolilla. . Siksi,

Lause on todistettu.

Todistetaan nyt käänteinen lause.
Annettu:
Osoita, että pisteet B, P, K ovat samalla suoralla.
Todiste. Olkoon suora BP leikkaava AC jossain pisteessä K 2, joka ei ole sama kuin pisteen K. Koska BP on suora, joka sisältää pisteen K 2 , niin juuri todistettu Menelaus-lause pätee sille. Joten kirjoitetaan se hänelle
Olemme kuitenkin juuri todistaneet sen
Tästä seuraa, että pisteet K ja K 2 ovat samat, koska ne jakavat sivun AC samassa suhteessa.
Tapauksessa b) lause todistetaan samalla tavalla.

Tehtävän ratkaiseminen Menelaoksen lauseen avulla

Palataan ensin tehtävään 1 ja ratkaistaan se. Luetaan se uudelleen. Tehdään piirustus:

Annettu puolisuunnikkaan ABCD. ST - puolisuunnikkaan keskiviiva, ts. yksi annetuista etäisyyksistä. Kulmat A ja D summaavat 90°. Jatketaan sivuja AB ja CD ja niiden leikkauspisteeseen saadaan piste K. Yhdistä piste K pisteeseen N - BC:n keskikohta. Nyt todistetaan, että piste P, joka on kantakohdan AD keskipiste, kuuluu myös suoralle KN. Tarkastellaan kolmioita ABD ja ACD peräkkäin. Kunkin kolmion kaksi sivua leikkaa viiva KP. Oletetaan, että suora KN leikkaa kantaa AD jossain pisteessä X. Menelaoksen lauseen mukaan:
Koska kolmio AKD on suorakulmainen, piste P, joka on hypotenuusan AD keskipiste, on yhtä kaukana A:sta, D:stä ja K:stä. Samoin piste N on yhtä kaukana pisteistä B, C ja K. Missä yksi kanta on 36 ja toinen 2.
Ratkaisu. Harkitse kolmiota BCD. Sen ylittää säde AX, jossa X on tämän säteen ja sivun BC jatkeen leikkauspiste. Menelaoksen lauseen mukaan:
Korvaamalla (1) luvulla (2) saadaan:

Ratkaisu. Merkitään kirjaimilla S 1 , S 2 , S 3 ja S 4 kolmioiden AOB, AOM, BOK ja nelikulmion MOKC pinta-alat.

Koska BM on mediaani, S ABM = S BMC.
Tämä tarkoittaa S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Koska meidän on löydettävä alueiden S 1 ja S 4 suhde, jaamme yhtälön molemmat puolet S 4:llä:
Korvataan nämä arvot kaavaan (1): Kolmiosta BMC, jossa on sekantti AK, Menelauksen lauseen mukaan meillä on: Kolmiosta AKC, jossa on sekantti BM, Menelauksen lauseen mukaan meillä on: Kaikki tarvittavat suhteet ilmaistaan k:lla ja nyt voit korvata ne lausekkeella (2):
Tämän ongelman ratkaisua Menelaoksen lauseen avulla käsitellään sivulla.

Matematiikan opettajan huomautus. Menelauksen teoreeman soveltaminen tässä tehtävässä on juuri sellainen tapaus, jossa tällä menetelmällä voit säästää huomattavasti aikaa kokeeseen. Tätä tehtävää tarjotaan Kauppakorkeakoulun Lyseumin pääsykokeen demoversiossa 9. luokalle (2019).

Päätä itse

1) Tehtävä on yksinkertaisempi. Kolmion ABC mediaaniin BD on merkitty piste M siten, että BM: MD = m: n. Suora AM leikkaa sivun BC pisteessä K.
Etsi suhde BK:KC.
2) Tehtävä on vaikeampi. Suunnikkaan ABCD kulman A puolittaja leikkaa sivun BC pisteessä P ja diagonaalin BD pisteessä T. Tiedetään, että AB: AD = k (0 3) Tehtävä nro 26 OGE. Kolmiossa ABC puolittaja BE ja mediaani AD ovat kohtisuorassa ja niiden pituus on yhtä suuri kuin 36. Etsi kolmion ABC sivut.
Matematiikan tutorvinkki. Internetistä löytää ratkaisun tällaiseen ongelmaan lisärakenteella ja sitten joko samankaltaisella tai etsimällä alueet ja vasta sen jälkeen kolmion sivut. Nuo. molemmat menetelmät vaativat lisärakennetta. Tällaisen ongelman ratkaiseminen puolittajaominaisuudella ja Menelaoksen lauseella ei kuitenkaan vaadi lisäkonstruktioita. Se on paljon yksinkertaisempaa ja järkevämpää.

Luokka: 9

Oppitunnin tavoitteet:

yleistää, laajentaa ja systematisoida opiskelijoiden tietoja ja taitoja; opettaa käyttämään tietoa monimutkaisten ongelmien ratkaisemisessa;
edistää taitojen kehittymistä itsenäiseen tiedon soveltamiseen ongelmien ratkaisussa;
kehittää opiskelijoiden loogista ajattelua ja matemaattista puhetta, kykyä analysoida, vertailla ja yleistää;
juurruttaa opiskelijoihin itseluottamusta ja kovaa työtä; kykyä työskennellä ryhmässä.

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen: toista Menelaoksen ja Chevan lauseet; soveltaa niitä ongelmien ratkaisemiseen.
Kehittävä: oppia esittämään hypoteesi ja puolustamaan taitavasti mielipiteesi todisteilla; testaa kykyäsi yleistää ja systematisoida tietosi.
Koulutuksellinen: lisätä kiinnostusta aiheeseen ja valmistautua monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiseen.

Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Laitteet: kortit kollektiiviseen työhön tämän aiheen oppitunnilla, yksittäiset kortit itsenäiseen työhön, tietokone, multimediaprojektori, näyttö.