Artikkelissa ymmärrämme täysin, miltä se näyttää trigonometristen arvojen taulukko, sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Tarkastellaan trigonometristen funktioiden perusmerkitystä 0,30,45,60,90,...,360 asteen kulmasta. Ja katsotaanpa, kuinka näitä taulukoita käytetään laskettaessa trigonometristen funktioiden arvoja.
Ensin katsotaan kosinin, sinin, tangentin ja kotangentin taulukko 0, 30, 45, 60, 90,... asteen kulmasta. Näiden suureiden määrittely antaa meille mahdollisuuden määrittää 0 ja 90 asteen kulmien funktioiden arvot:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, kotangentti arvosta 0 0 on määrittelemätön
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangentti arvosta 90 0 on epävarma
Jos otat suorakulmaisia kolmioita, joiden kulmat ovat 30 - 90 astetta. Saamme:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √ 2/2, cos 45 0 = √ 2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, pinnasänky 60 0 = √3/3
Esitetään kaikki saadut arvot muodossa trigonometrinen taulukko:
Taulukko sinistä, kosineista, tangenteista ja kotangenteista!
Jos käytämme pienennyskaavaa, taulukkomme kasvaa lisäämällä arvoja kulmille jopa 360 astetta. Se näyttää tältä:
Myös jaksollisuuden ominaisuuksien perusteella taulukkoa voidaan kasvattaa korvaamalla kulmat 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, jossa z on kokonaisluku. Tässä taulukossa on mahdollista laskea kaikkien yhden ympyrän pisteitä vastaavien kulmien arvo.
Katsotaanpa, kuinka taulukkoa käytetään ratkaisussa.
Kaikki on hyvin yksinkertaista. Koska tarvitsemamme arvo on tarvitsemiemme solujen leikkauspisteessä. Otetaan esimerkiksi 60 asteen kulman cos, taulukossa se näyttää tältä:
Trigonometristen funktioiden pääarvojen lopullisessa taulukossa etenemme samalla tavalla. Mutta tästä taulukosta on mahdollista saada selville kuinka suuri tangentti 1020 asteen kulmasta on, se = -√3 Tarkastetaan 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Etsitään se taulukon avulla.
Lisää hakua varten käytetään minuutteihin tarkkoja trigonometrisiä kulma-arvoja. Tarkat ohjeet niiden käyttöön ovat sivulla.
Bradis pöytä. Sinille, kosinille, tangentille ja kotangentille.
Bradis-taulukot on jaettu useisiin osiin, jotka koostuvat kosini- ja sini-, tangentin ja kotangentin taulukoista - joka on jaettu kahteen osaan (90 asteen kulmien tg ja pienten kulmien ctg).
Sini ja kosini
tg kulmasta alkaen 0 0 päättyen 76 0, ctg kulman alkaen 14 0 päättyen 90 0.
tg jopa 90 0 ja ctg pieniä kulmia.
Selvitetään kuinka käyttää Bradis-taulukoita ongelmien ratkaisemiseen.
Etsitään merkintä sin (nimitys vasemman reunan sarakkeessa) 42 minuuttia (nimitys on ylärivillä). Leikkauksesta etsitään nimitystä, se = 0,3040.
Minuuttiarvot ilmaistaan kuuden minuutin välein, mitä tehdä, jos tarvitsemamme arvo osuu täsmälleen tähän väliin. Otetaan 44 minuuttia, mutta taulukossa on vain 42. Otetaan 42 pohjaksi ja käytetään lisäsarakkeita oikealla, otetaan 2. muutos ja lisätään 0.3040 + 0.0006 saamme 0.3046.
Kun sin 47 minuuttia, otamme perustaksi 48 minuuttia ja vähennämme siitä 1 korjauksen, eli 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Cosia laskettaessa toimimme samalla tavalla kuin sin, vain otamme pohjaksi taulukon alimman rivin. Esimerkiksi cos 20 0 = 0,9397
Tg-kulman arvot 90 0 asti ja pienen kulman cot ovat oikein, eikä niissä ole korjauksia. Etsi esimerkiksi tg 78 0 37 min = 4,967 
ja ctg 20 0 13 min = 25,83 
No, olemme tarkastelleet perustrigonometrisiä taulukoita. Toivomme, että nämä tiedot olivat erittäin hyödyllisiä sinulle. Jos sinulla on kysyttävää pöydistä, muista kirjoittaa ne kommentteihin!
Huomautus: Seinäpuskurit - puskurilevy seinien suojaamiseen (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
Trigonometristen funktioiden arvojen taulukko
Huomautus. Tämä trigonometristen funktioarvojen taulukko käyttää √-merkkiä edustamaan neliöjuurta. Käytä symbolia "/" osoittaaksesi murtoluvun.
Katso myös hyödyllisiä materiaaleja:
varten trigonometrisen funktion arvon määrittäminen, etsi se trigonometrisen funktion osoittavan viivan leikkauspisteestä. Esimerkiksi sini 30 astetta - etsimme saraketta, jonka otsikko on sin (sini) ja löydämme tämän taulukon sarakkeen leikkauskohdan rivin "30 astetta" kanssa, niiden leikkauspisteestä luemme tuloksen - puolikkaan. Samoin löydämme kosini 60 astetta, sini 60 astetta (jälleen kerran sinisarakkeen ja 60 asteen suoran leikkauspisteestä löytyy arvo sin 60 = √3/2) jne. Muiden "suosittujen" kulmien sinien, kosinien ja tangenttien arvot löytyvät samalla tavalla.
Sini pi, kosini pi, tangentti pi ja muut kulmat radiaaneina
Alla oleva kosinien, sinien ja tangenttien taulukko soveltuu myös sellaisten trigonometristen funktioiden arvon löytämiseen, joiden argumentti on radiaaneina annettuna. Käytä tätä varten toista kulma-arvojen saraketta. Tämän ansiosta voit muuntaa suosittujen kulmien arvon asteina radiaaneiksi. Etsitään esimerkiksi ensimmäiseltä riviltä 60 asteen kulma ja luetaan sen arvo radiaaneina sen alta. 60 astetta on yhtä suuri kuin π/3 radiaania.
Luku pi ilmaisee yksiselitteisesti kehän riippuvuuden kulman astemittasta. Siten pi-radiaanit ovat 180 astetta.
Mikä tahansa pi:nä (radiaaneina) ilmaistu luku voidaan helposti muuntaa asteina korvaamalla pi (π) luvulla 180.
Esimerkkejä:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
siis pi:n sini on sama kuin 180 asteen sini ja se on yhtä suuri kuin nolla.
2. Kosini pi.
cos π = cos 180 = -1
siis pi:n kosini on sama kuin 180 asteen kosini ja se on yhtä kuin miinus yksi.
3. Tangentti pi
tg π = tg 180 = 0
siis tangentti pi on sama kuin tangentti 180 astetta ja se on yhtä suuri kuin nolla.
Taulukko sini-, kosini- ja tangenttiarvoista kulmille 0 - 360 astetta (yhteiset arvot)
|
kulman α arvo (astetta) |
kulman α arvo (pi:n kautta) |
synti (sinus) |
cos (kosini) |
tg (tangentti) |
ctg (kotangentti) |
sek (sekantti) |
cosec (kosekantti) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jos trigonometristen funktioiden arvotaulukossa on funktion arvon sijasta viiva (tangentti (tg) 90 astetta, kotangentti (ctg) 180 astetta), niin kulman astemitan tietylle arvolle funktio sillä ei ole tiettyä arvoa. Jos viivaa ei ole, solu on tyhjä, mikä tarkoittaa, että emme ole vielä syöttäneet vaadittua arvoa. Olemme kiinnostuneita siitä, mihin kyselyihin käyttäjät tulevat ja täydennämme taulukkoa uusilla arvoilla huolimatta siitä, että nykyiset tiedot yleisimpien kulmaarvojen kosinien, sinien ja tangenttien arvoista ovat riittävät ratkaisemaan useimmat ongelmia.
Taulukko trigonometristen funktioiden sin, cos, tg arvoista suosituimmille kulmille
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 astetta
(numeeriset arvot "Bradis-taulukoiden mukaan")
| kulman α arvo (astetta) | kulman α arvo radiaaneina | synti (sini) | cos (kosinus) | tg (tangentti) | ctg (kotangentti) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat kasviksia, jotka on keitetty vedessä erityisen reseptin mukaan. Harkitsen kahta alkukomponenttia (kasvissalaatti ja vesi) ja lopputulosta - borssia. Geometrisesti sitä voidaan pitää suorakulmiona, jonka toinen puoli edustaa salaattia ja toinen puoli edustaa vettä. Näiden kahden puolen summa tarkoittaa borssia. Tällaisen "borscht"-suorakulmion diagonaali ja pinta-ala ovat puhtaasti matemaattisia käsitteitä, eikä niitä koskaan käytetä borssiresepteissä.
Miten salaatti ja vesi muuttuvat borssiksi matemaattisesta näkökulmasta? Kuinka kahden janan summasta voi tulla trigonometria? Tämän ymmärtämiseksi tarvitsemme lineaarisia kulmafunktioita.
Et löydä mitään lineaarisista kulmafunktioista matematiikan oppikirjoista. Mutta ilman niitä ei voi olla matematiikkaa. Matematiikan lait, kuten luonnonlait, toimivat riippumatta siitä, tiedämmekö niiden olemassaolosta vai emme.
Lineaariset kulmafunktiot ovat yhteenlaskulakeja. Katso, kuinka algebra muuttuu geometriaksi ja geometria trigonometriaksi.
Onko mahdollista tehdä ilman lineaarisia kulmafunktioita? Se on mahdollista, koska matemaatikot pärjäävät edelleen ilman niitä. Matemaatikkojen temppu on, että he kertovat meille aina vain niistä ongelmista, jotka he itse osaavat ratkaista, eivätkä koskaan puhu niistä ongelmista, joita he eivät voi ratkaista. Katso. Jos tiedämme yhteenlaskun ja yhden termin tuloksen, käytämme vähennyslaskua toisen termin löytämiseksi. Kaikki. Emme tiedä muita ongelmia emmekä tiedä kuinka ratkaista ne. Mitä meidän pitäisi tehdä, jos tiedämme vain lisäyksen tuloksen emmekä tiedä molempia termejä? Tässä tapauksessa summauksen tulos on jaettava kahdeksi termiksi käyttämällä lineaarisia kulmafunktioita. Seuraavaksi valitsemme itse, mikä yksi termi voi olla, ja lineaariset kulmafunktiot osoittavat, mikä toisen termin tulisi olla, jotta summauksen tulos on juuri se mitä tarvitsemme. Tällaisia termipareja voi olla ääretön määrä. Arkielämässä tulemme hyvin toimeen ilman, että summaa hajotetaan, meille riittää. Mutta luonnonlakeja koskevassa tieteellisessä tutkimuksessa summan hajottaminen komponentteihin voi olla erittäin hyödyllistä.
Toinen lisäyslaki, josta matemaatikot eivät halua puhua (toinen heidän temppunsa), edellyttää, että termeillä on samat mittayksiköt. Salaatin, veden ja borschtin osalta nämä voivat olla paino-, tilavuus-, arvo- tai mittayksiköitä.
Kuvassa on kaksi matemaattisen eron tasoa. Ensimmäinen taso on erot numerokentässä, jotka on ilmoitettu a, b, c. Näin tekevät matemaatikot. Toinen taso on mittayksiköiden kentän erot, jotka on esitetty hakasulkeissa ja merkitty kirjaimella U. Tätä fyysikot tekevät. Voimme ymmärtää kolmannen tason - erot kuvattavien kohteiden alueella. Eri kohteissa voi olla sama määrä identtisiä mittayksiköitä. Kuinka tärkeää tämä on, voimme nähdä borscht-trigonometrian esimerkissä. Jos lisäämme alaindeksit samaan yksikkötunnistukseen eri kohteille, voimme sanoa tarkalleen, mikä matemaattinen suure kuvaa tiettyä objektia ja miten se muuttuu ajan kuluessa tai toimintojemme seurauksena. Kirje W Merkitsen vettä kirjaimella S Merkitsen salaatin kirjaimella B- borssi. Tältä näyttävät borssin lineaariset kulmafunktiot.
Jos otamme osan vedestä ja osan salaatista, niistä tulee yhdessä yksi annos borssia. Tässä ehdotan, että pidät pienen tauon borssista ja muistat kaukaisen lapsuutesi. Muistatko kuinka meidät opetettiin yhdistämään kaneja ja ankkoja? Oli tarpeen selvittää, kuinka monta eläintä siellä olisi. Mitä meitä sitten opetettiin tekemään? Meidät opetettiin erottamaan mittayksiköt luvuista ja lisäämään lukuja. Kyllä, mikä tahansa numero voidaan lisätä mihin tahansa toiseen numeroon. Tämä on suora tie modernin matematiikan autismiin - teemme sen käsittämättömästi, mitä, käsittämättömästi miksi, ja ymmärrämme hyvin huonosti, miten tämä liittyy todellisuuteen, kolmen eron vuoksi matemaatikot toimivat vain yhdellä. Olisi oikeampaa oppia siirtymään mittayksiköstä toiseen.
Puput, ankat ja pienet eläimet voidaan laskea kappaleiksi. Yksi yhteinen mittayksikkö eri kohteille mahdollistaa niiden laskemisen yhteen. Tämä on lasten versio ongelmasta. Katsotaanpa samanlaista aikuisten ongelmaa. Mitä saat, kun lisäät kaneja ja rahaa? Tässä on kaksi mahdollista ratkaisua.
Ensimmäinen vaihtoehto. Määritämme kanien markkina-arvon ja lisäämme sen käytettävissä olevaan rahamäärään. Olemme saaneet omaisuutemme kokonaisarvon rahallisesti.
Toinen vaihtoehto. Voit lisätä pupujen määrän meillä olevien setelien määrään. Irtaimen omaisuuden saamme kappaleina.
Kuten näet, sama lisäyslaki antaa sinun saada erilaisia tuloksia. Kaikki riippuu siitä, mitä tarkalleen haluamme tietää.
Mutta palataanpa borssiin. Nyt voimme nähdä, mitä tapahtuu lineaaristen kulmafunktioiden eri kulmaarvoille.
Kulma on nolla. Meillä on salaattia, mutta ei vettä. Emme voi keittää borssia. Borschtin määrä on myös nolla. Tämä ei tarkoita ollenkaan, että nolla borssi on yhtä kuin nolla vettä. Voi olla nollaborssia ja nollasalaattia (oikea kulma).
Minulle henkilökohtaisesti tämä on tärkein matemaattinen todiste siitä, että . Nolla ei muuta numeroa lisättäessä. Tämä johtuu siitä, että lisääminen itsessään on mahdotonta, jos on vain yksi termi ja toinen termi puuttuu. Voit tuntea tämän miten haluat, mutta muista - kaikki matemaattiset nollaoperaatiot ovat matemaatikoiden itsensä keksimiä, joten heitä logiikkasi pois ja täytä tyhmästi matemaatikoiden keksimiä määritelmiä: "nollalla jako on mahdotonta", "mikä tahansa luku kerrottuna nolla on nolla" , "puhkaisukohdan nolla ulkopuolella" ja muuta hölynpölyä. Riittää, kun muistat kerran, että nolla ei ole luku, etkä koskaan enää kysy, onko nolla luonnollinen luku vai ei, koska tällainen kysymys menettää merkityksensä: kuinka jotain, joka ei ole luku, voidaan pitää numerona ? Se on kuin kysyisi, mihin väriin näkymätön väri pitäisi luokitella. Nollan lisääminen numeroon on sama kuin maalaaminen maalilla, jota ei ole olemassa. Heilutimme kuivalla siveltimellä ja kerroimme kaikille, että "me maalasimme". Mutta poikkean hieman.
Kulma on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin neljäkymmentäviisi astetta. Meillä on paljon salaattia, mutta ei tarpeeksi vettä. Tämän seurauksena saamme paksua borssia.
Kulma on neljäkymmentäviisi astetta. Meillä on yhtä paljon vettä ja salaattia. Tämä on täydellinen borssi (anteeksi, kokit, se on vain matematiikkaa).
Kulma on suurempi kuin neljäkymmentäviisi astetta, mutta pienempi kuin yhdeksänkymmentä astetta. Meillä on paljon vettä ja vähän salaattia. Saat nestemäistä borssia.
Oikea kulma. Meillä on vettä. Salaatista on jäljellä vain muistoja, kun jatkamme kulman mittaamista viivasta, joka merkitsi salaattia. Emme voi keittää borssia. Borschtin määrä on nolla. Tässä tapauksessa pidä kiinni ja juo vettä, kun sinulla on sitä)))
Tässä. Jotain tällaista. Voin kertoa täällä muita tarinoita, jotka olisivat enemmän kuin sopivat tähän.
Kahdella ystävällä oli osakkeita yhteisestä yrityksestä. Yhden heistä tappamisen jälkeen kaikki meni toiselle.
Matematiikan ilmaantuminen planeetallemme.
Kaikki nämä tarinat kerrotaan matematiikan kielellä käyttämällä lineaarisia kulmafunktioita. Toisen kerran näytän sinulle näiden funktioiden todellisen paikan matematiikan rakenteessa. Sillä välin palataan borssitrigonometriaan ja harkitaan ennusteita.
lauantaina 26.10.2019
Keskiviikkona 7.8.2019
Keskustelun päätteeksi meidän on tarkasteltava ääretöntä joukkoa. Asia on siinä, että "äärettömyyden" käsite vaikuttaa matemaatikoihin samalla tavalla kuin boa-konstriktori vaikuttaa kaniiniin. Äärettömyyden vapiseva kauhu riistää matemaatikoilta terveen järjen. Tässä on esimerkki:
Alkuperäinen lähde löytyy. Alfa tarkoittaa todellista numeroa. Yllä olevien lausekkeiden yhtäläisyysmerkki osoittaa, että jos lisäät luvun tai äärettömän äärettömyyteen, mikään ei muutu, tuloksena on sama ääretön. Jos otamme esimerkkinä luonnollisten lukujen äärettömän joukon, niin tarkasteltavat esimerkit voidaan esittää tässä muodossa:
Osoittaakseen selvästi, että he olivat oikeassa, matemaatikot keksivät monia erilaisia menetelmiä. Henkilökohtaisesti katson kaikkia näitä menetelmiä shamaaneina, jotka tanssivat tamburiinien kanssa. Pohjimmiltaan ne kaikki kiteytyvät siihen, että joko osa huoneista on tyhjillään ja uusia vieraita muuttaa sisään tai että osa vierailijoista heitetään ulos käytävälle tekemään tilaa vieraille (erittäin inhimillisesti). Esitin näkemykseni tällaisista päätöksistä blondia koskevan fantasiatarinan muodossa. Mihin perusteluni perustuu? Äärettömän kävijämäärän muuttaminen vie äärettömän paljon aikaa. Kun olemme vapauttaneet ensimmäisen huoneen vieraalle, yksi vierailijoista kävelee aina käytävää pitkin huoneestaan seuraavaan aikojen loppuun asti. Tietysti aikatekijä voidaan jättää huomioimatta, mutta tämä kuuluu kategoriaan "mitään lakia ei ole kirjoitettu tyhmille". Kaikki riippuu siitä, mitä teemme: sopeutamme todellisuutta matemaattisiin teorioihin tai päinvastoin.
Mikä on "loputon hotelli"? Ääretön hotelli on hotelli, jossa on aina kuinka monta tyhjiä sänkyjä on, riippumatta siitä, kuinka monta huonetta on varattu. Jos loputtoman "vieraskäytävän" kaikki huoneet ovat varattuja, on toinen loputon käytävä "vierashuoneineen". Tällaisia käytäviä tulee olemaan ääretön määrä. Lisäksi "äärettömässä hotellissa" on ääretön määrä kerroksia äärettömässä määrässä rakennuksia äärettömällä määrällä planeettoja äärettömässä määrässä universumeja, jotka ovat luoneet ääretön määrä jumalia. Matemaatikot eivät pysty ottamaan etäisyyttä banaaleista arjen ongelmista: aina on vain yksi Jumala-Allah-Buddha, on vain yksi hotelli, on vain yksi käytävä. Joten matemaatikot yrittävät jongleerata hotellihuoneiden sarjanumeroita vakuuttaen meidät siitä, että on mahdollista "työntää mahdottomaan".
Esitän sinulle päättelyni logiikan käyttämällä esimerkkiä äärettömästä luonnollisten lukujen joukosta. Ensin sinun on vastattava hyvin yksinkertaiseen kysymykseen: kuinka monta sarjaa luonnollisia lukuja on - yksi vai monta? Tähän kysymykseen ei ole oikeaa vastausta, koska olemme itse keksineet numerot, joita ei ole luonnossa. Kyllä, luonto on loistava laskemaan, mutta tähän hän käyttää muita matemaattisia työkaluja, jotka eivät ole meille tuttuja. Kerron teille toisella kertaa, mitä luonto ajattelee. Koska keksimme numerot, päätämme itse, kuinka monta luonnollisten lukujen joukkoa on. Harkitse molempia vaihtoehtoja, kuten todellisille tiedemiehille sopii.
Vaihtoehto yksi. "Annetaan meille" yksi luonnollinen lukusarja, joka lepää rauhallisesti hyllyssä. Otamme tämän setin hyllystä. Siinä kaikki, muita luonnollisia lukuja ei ole jäljellä hyllyssä eikä niitä ole hyllyssä. Emme voi lisätä yhtä tähän sarjaan, koska meillä on se jo. Mitä jos todella haluat? Ei ongelmaa. Voimme ottaa yhden jo ottamastamme setistä ja palauttaa sen hyllylle. Sen jälkeen voimme ottaa yhden hyllystä ja lisätä sen siihen, mitä meillä on jäljellä. Tämän seurauksena saamme jälleen äärettömän joukon luonnollisia lukuja. Voit kirjoittaa kaikki manipulaatiomme seuraavasti:
Kirjoitin toiminnot muistiin algebrallisessa merkinnässä ja joukkoteorian merkinnöissä sekä yksityiskohtaisen luettelon joukon elementeistä. Alaindeksi osoittaa, että meillä on yksi ja ainoa joukko luonnollisia lukuja. Osoittautuu, että luonnollisten lukujen joukko pysyy muuttumattomana vain, jos siitä vähennetään yksi ja lisätään sama yksikkö.
Vaihtoehto kaksi. Meillä on hyllyllämme monia erilaisia äärettömiä luonnollisia lukuja. Korostan - ERILAISIA huolimatta siitä, että ne ovat käytännössä erottamattomia. Otetaan yksi näistä sarjoista. Sitten otamme yhden toisesta luonnollisten lukujen joukosta ja lisäämme sen jo ottamamme joukkoon. Voimme jopa lisätä kaksi joukkoa luonnollisia lukuja. Tämän saamme:
Alaindeksit "yksi" ja "kaksi" osoittavat, että nämä elementit kuuluivat eri ryhmiin. Kyllä, jos lisäät yhden äärettömään joukkoon, tuloksena on myös ääretön joukko, mutta se ei ole sama kuin alkuperäinen joukko. Jos lisäät toisen äärettömän joukon yhteen äärettömään joukkoon, tuloksena on uusi ääretön joukko, joka koostuu kahden ensimmäisen joukon alkioista.
Luonnollisten lukujen joukkoa käytetään laskemiseen samalla tavalla kuin viivainta mittaamiseen. Kuvittele nyt, että lisäsit yhden sentin viivaimeen. Tämä on erilainen rivi, ei sama kuin alkuperäinen.
Voit hyväksyä tai olla hyväksymättä perusteluni - se on sinun oma asiasi. Mutta jos kohtaat matemaattisia ongelmia, mieti, seuraatko matemaatikoiden sukupolvien tallaamaa väärää päättelyä. Loppujen lopuksi matematiikan opiskelu muodostaa meissä ensinnäkin vakaan stereotyypin ajattelusta ja vasta sitten lisää henkisiä kykyjämme (tai päinvastoin, riistää meiltä vapaan ajattelun).
pozg.ru
sunnuntaina 4.8.2019
Olin viimeistelemässä artikkelin jälkikirjoitusta aiheesta ja näin tämän ihanan tekstin Wikipediassa:
Luemme: "... Babylonin matematiikan rikkaalla teoreettisella pohjalla ei ollut kokonaisvaltaista luonnetta, ja se pelkistettiin joukoksi erilaisia tekniikoita, joista puuttui yhteinen järjestelmä ja todiste."
Vau! Kuinka älykkäitä olemme ja kuinka hyvin voimme nähdä muiden puutteet. Onko meidän vaikeaa tarkastella nykyaikaista matematiikkaa samassa yhteydessä? Yllä olevaa tekstiä hieman mukaillen, sain henkilökohtaisesti seuraavan:
Nykyaikaisen matematiikan rikas teoreettinen perusta ei ole luonteeltaan kokonaisvaltainen, ja se on pelkistetty joukkoon erilaisia osia, joilla ei ole yhteistä järjestelmää ja todisteita.
En mene pitkälle vahvistaakseni sanojani - sillä on kieli ja käytännöt, jotka eroavat monien muiden matematiikan alojen kielestä ja käytännöistä. Samoilla nimillä matematiikan eri aloilla voi olla eri merkitys. Haluan omistaa koko sarjan julkaisuja modernin matematiikan ilmeisimmille virheille. Nähdään pian.
lauantaina 3.8.2019
Kuinka jakaa joukko osajoukkoihin? Tätä varten sinun on syötettävä uusi mittayksikkö, joka on joissakin valitun joukon elementeissä. Katsotaanpa esimerkkiä.
Olkoon meillä paljon A joka koostuu neljästä henkilöstä. Tämä joukko on muodostettu "ihmisten" perusteella. Merkitään tämän joukon elementtejä kirjaimella A, alaindeksi numerolla osoittaa jokaisen tässä sarjassa olevan henkilön sarjanumeron. Otetaan käyttöön uusi mittayksikkö "sukupuoli" ja merkitään se kirjaimella b. Koska seksuaaliset ominaisuudet ovat luontaisia kaikille ihmisille, kerromme jokaisen joukon elementin A sukupuolen perusteella b. Huomaa, että "ihmisistämme" on nyt tullut joukko "ihmisiä, joilla on sukupuoliominaisuuksia". Tämän jälkeen voimme jakaa seksuaaliset ominaisuudet miehiin bm ja naisten bw seksuaaliset ominaisuudet. Nyt voimme käyttää matemaattista suodatinta: valitsemme yhden näistä seksuaalisista ominaisuuksista riippumatta siitä, kumpi - mies tai nainen. Jos henkilöllä on se, kerromme sen yhdellä, jos sellaista merkkiä ei ole, kerromme sen nollalla. Ja sitten käytämme tavallista koulumatematiikkaa. Katso mitä tapahtui.
Kertomisen, vähentämisen ja uudelleenjärjestelyn jälkeen päädyimme kahteen osajoukkoon: miesten osajoukkoon Bm ja osa naisia Bw. Matemaatikot päättävät suunnilleen samalla tavalla soveltaessaan joukkoteoriaa käytännössä. Mutta he eivät kerro meille yksityiskohtia, vaan antavat meille lopullisen tuloksen - "monet ihmiset koostuvat joukosta miehiä ja osasta naisia." Tietysti sinulla voi olla kysymys: kuinka oikein matematiikkaa on sovellettu yllä kuvatuissa muunnoksissa? Uskallan vakuuttaa, että pohjimmiltaan muunnokset tehtiin oikein, riittää, että tunnet aritmeettisen, Boolen algebran ja muiden matematiikan osa-alueiden matemaattiset perusteet. Mikä se on? Kerron tästä sinulle joskus joskus.
Mitä tulee supersarjoihin, voit yhdistää kaksi sarjaa yhdeksi supersarjaksi valitsemalla näiden kahden joukon elementeissä olevan mittayksikön.
Kuten näette, mittayksiköt ja tavallinen matematiikka tekevät joukkoteoriasta menneisyyden jäännöksen. Merkki siitä, että kaikki ei ole hyvin joukkoteorian kanssa, on se, että matemaatikot ovat keksineet oman kielensä ja merkintätapansa joukkoteorialle. Matemaatikot toimivat kuten shamaanit ennen. Vain shamaanit osaavat "oikein" soveltaa "tietoaan". He opettavat meille tämän "tiedon".
Lopuksi haluan näyttää sinulle, kuinka matemaatikot manipuloivat .
Maanantai 7.1.2019
500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisan aporiansa, joista kuuluisin on "Achilles ja kilpikonna" -aporia. Tältä se kuulostaa:
Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.
Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... He kaikki pitivät Zenonin aporiaa tavalla tai toisella. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tähän päivään asti tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen; ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan..."[Wikipedia, "Zenon Aporia". Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mistä petos koostuu.
Matemaattisesta näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen määrästä . Tämä siirtymä edellyttää soveltamista pysyvien sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden käyttöön ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavanomaisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Ajattelun inertian vuoksi käytämme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.
Jos käännämme tavallisen logiikkamme, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen seuraava osa hänen polkunsa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Vastaavasti sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos sovellamme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa: "Achilles tavoittaa kilpikonnan äärettömän nopeasti."
Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisyksikköihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:
Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan ensimmäisen aikavälin aikana Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.
Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden vastustamattomuudesta on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.
Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:
Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.
Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on jokaisella ajanhetkellä levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on syytä huomioida toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Jotta voit määrittää, onko auto liikkeessä, tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta et voi määrittää etäisyyttä niistä. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu eri pisteistä avaruudessa samaan aikaan, mutta niistä et voi määrittää liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua ). Haluan kiinnittää erityistä huomiota siihen, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia mahdollisuuksia tutkimukselle.
Näytän prosessin esimerkin avulla. Valitsemme "punaisen kiinteän aineen näppylässä" - tämä on "kokonaisuutemme". Samalla näemme, että nämä asiat ovat jousella, ja on ilman jousta. Sen jälkeen valitsemme osan "kokonaisuudesta" ja muodostamme joukon "jousella". Näin shamaanit saavat ruokansa sitomalla joukkoteoriansa todellisuuteen.
Tehdään nyt pieni temppu. Otetaan "kiinteä näppylällä ja rusetilla" ja yhdistetään nämä "kokonaisuudet" värin mukaan valitsemalla punaiset elementit. Meillä on paljon "punaista". Nyt viimeinen kysymys: ovatko tuloksena saadut joukot "jousella" ja "punainen" sama sarja vai kaksi eri sarjaa? Vain shamaanit tietävät vastauksen. Tarkemmin sanottuna he eivät itse tiedä mitään, mutta kuten he sanovat, niin se tulee olemaan.
Tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa, että joukkoteoria on täysin hyödytön todellisuudessa. Mikä on salaisuus? Muodostimme joukon "punaista kiinteää, jossa on näppylä ja rusetti". Muodostaminen tapahtui neljässä eri mittayksikössä: väri (punainen), lujuus (kiinteä), karheus (pimply), koristelu (jousella). Vain joukko mittayksiköitä mahdollistaa todellisten esineiden riittävän kuvaamisen matematiikan kielellä. Tältä se näyttää.
Kirjain "a" eri indekseillä tarkoittaa eri mittayksiköitä. Mittayksiköt, joilla "kokonaisuus" erotetaan alustavassa vaiheessa, on korostettu suluissa. Mittayksikkö, jolla joukko muodostetaan, otetaan pois suluista. Viimeinen rivi näyttää lopputuloksen - joukon elementin. Kuten näet, jos käytämme mittayksiköitä muodostamaan joukko, niin tulos ei riipu toimiemme järjestyksestä. Ja tämä on matematiikkaa, ei shamaanien tanssimista tamburiinien kanssa. Shamaanit voivat "intuitiivisesti" päätyä samaan tulokseen väittäen, että se on "ilmeinen", koska mittayksiköt eivät ole osa heidän "tieteellistä" arsenaaliaan.
Mittayksiköiden avulla on erittäin helppoa jakaa yksi sarja tai yhdistää useita joukkoja yhdeksi supersetiksi. Katsotaanpa tarkemmin tämän prosessin algebraa.
Sinien (sin), kosinien (cos), tangenttien (tg), kotangenttien (ctg) arvotaulukot ovat tehokas ja hyödyllinen työkalu, joka auttaa ratkaisemaan monia sekä teoreettisia että sovellettavia ongelmia. Tässä artikkelissa tarjoamme taulukon trigonometristen perusfunktioiden (sinit, kosinit, tangentit ja kotangentit) kulmille 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 astetta (0, π 6, π 3, π 2,... , 2 π radiaania). Näkyviin tulee myös erilliset Bradis-taulukot sineille ja kosineille, tangenteille ja kotangenteille sekä selitys, kuinka niitä käytetään trigonometristen perusfunktioiden arvojen löytämiseen.
Taulukko trigonometrisista perusfunktioista kulmille 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 astetta
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien perusteella voit löytää näiden funktioiden arvot kulmille 0 ja 90 astetta
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nolla kotangenttia ei ole määritelty,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, yhdeksänkymmenen asteen tangenttia ei ole määritelty.
Geometrian kurssin sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvot määritellään suorakulmaisen kolmion sivujen suhteeksi, jonka kulmat ovat 30, 60 ja 90 astetta sekä 45, 45 ja 90 astetta.
Trigonometristen funktioiden määrittely suorakulmaisen kolmion terävälle kulmille
Sinus- vastakkaisen puolen suhde hypotenuusaan.
Kosini- viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Tangentti- vastakkaisen puolen suhde viereiseen sivuun.
Kotangentti- viereisen sivun suhde vastakkaiseen sivuun.
Määritelmien mukaisesti funktioiden arvot löytyvät:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , tg 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Laitetaan nämä arvot taulukkoon ja kutsutaan sitä sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perusarvojen taulukoksi.
| α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
| sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
| cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
| tg α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | määrittelemätön |
| c t g α | määrittelemätön | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
| α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Yksi trigonometristen funktioiden tärkeistä ominaisuuksista on jaksollisuus. Tämän ominaisuuden perusteella tätä taulukkoa voidaan laajentaa pelkistyskaavojen avulla. Alla on laajennettu taulukko tärkeimpien trigonometristen funktioiden arvoista kulmille 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 astetta (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radiaania).
| α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
| sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
| cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
| tg α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
| c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
| α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin jaksollisuus mahdollistaa tämän taulukon laajentamisen mielivaltaisen suuriin kulmaarvoihin. Taulukkoon kerättyjä arvoja käytetään useimmiten tehtäviä ratkaistaessa, joten ne on suositeltavaa muistaa.
Kuinka käyttää trigonometristen funktioiden perusarvojen taulukkoa
Sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvotaulukon käyttöperiaate on selkeä intuitiivisella tasolla. Rivin ja sarakkeen leikkauspiste antaa funktion arvon tietyssä kulmassa.
Esimerkki. Kuinka käyttää sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien taulukkoa
Meidän on selvitettävä, mikä on sin 7 π 6
Löydämme taulukosta sarakkeen, jonka viimeisen solun arvo on 7 π 6 radiaania - sama kuin 210 astetta. Sitten valitsemme termin taulukosta, jossa sinien arvot esitetään. Rivin ja sarakkeen risteyksestä löydämme halutun arvon:
sin 7 π 6 = - 1 2
Bradis pöydät
Bradis-taulukon avulla voit laskea sinin, kosinin, tangentin tai kotangentin arvon 4 desimaalin tarkkuudella ilman tietokonetekniikkaa. Tämä on eräänlainen korvaaminen tekniselle laskimelle.
Viite
Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - Neuvostoliiton matemaatikko-opettaja, vuodesta 1954 Neuvostoliiton pedagogisten tieteiden akatemian vastaava jäsen. Bradisin kehittämät nelinumeroisten logaritmien ja luonnollisten trigonometristen suureiden taulukot julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1921.
Ensin esittelemme Bradis-taulukon sineille ja kosineille. Sen avulla voit laskea melko tarkasti näiden funktioiden likimääräiset arvot kulmille, jotka sisältävät kokonaislukumäärän asteita ja minuutteja. Taulukon vasemmanpuoleisin sarake edustaa asteita ja ylin rivi minuutteja. Huomaa, että kaikki Bradis-taulukon kulma-arvot ovat kuuden minuutin kerrannaisia.
Bradis-pöytä sineille ja kosineille
| synti | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
| 0.0000 | 90° | ||||||||||||||
| 0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
| 1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
| 2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
| 3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
| 4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
| 5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
| 6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
| 7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
| 8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
| 9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
| 10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
| 11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
| 12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
| 13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
| 14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
| 15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
| 16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
| 17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
| 18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
| 19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
| 20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
| 21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
| 22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
| 23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
| 24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
| 25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
| 26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
| 27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
| 28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
| 29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
| 30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
| 31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
| 32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
| 33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
| 34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
| 35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
| 36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
| 37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
| 38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
| 39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
| 40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
| 41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
| 42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
| 43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
| 44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
| 45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
| 46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
| 47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
| 48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
| 49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
| 50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
| 51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
| 52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
| 53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
| 54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
| 55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
| 56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
| 57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
| 58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
| 59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
| 60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
| 61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
| 62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
| 63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
| 64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
| 65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
| 66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
| 67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
| 68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
| 69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
| 70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
| 71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
| 72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
| 73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
| 74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
| 75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
| 76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
| 77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
| 78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
| 79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
| 80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
| 81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
| 82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
| 83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
| 84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
| 85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
| 86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
| 87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
| 88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
| 89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
| 90° | 1.0000 | ||||||||||||||
| synti | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Sellaisten kulmien sinien ja kosinien arvojen löytämiseksi, joita ei ole esitetty taulukossa, on käytettävä korjauksia.
Nyt esittelemme Bradis-taulukon tangenteille ja kotangenteille. Se sisältää kulmien tangenttien arvot 0 - 76 astetta ja kulmien kotangentit 14 - 90 astetta.
Bradis-taulukko tangentille ja kotangentille
| tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
| 0 | 90° | ||||||||||||||
| 0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
| 1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
| 2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
| 3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
| 4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
| 5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
| 6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
| 7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
| 8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
| 9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
| 10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
| 11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
| 12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
| 13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
| 14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
| 15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
| 16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
| 17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
| 18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
| 19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
| 20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
| 21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
| 22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
| 23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
| 24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
| 25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
| 26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
| 27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
| 28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
| 29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
| 30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
| 31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
| 32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
| 33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
| 34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
| 35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
| 36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
| 37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
| 38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
| 39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
| 40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
| 41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
| 42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
| 43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
| 44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
| 45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
| 46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
| 47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
| 48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
| 49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
| 50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
| 51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
| 52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
| 53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
| 54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
| 55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
| 56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
| 57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
| 58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
| 59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
| 60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
| 61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
| 62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
| 63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
| 64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
| 65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
| 66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
| 67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
| 68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
| 69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
| 70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
| 71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
| 72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
| 73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
| 3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
| 74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
| 3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
| 75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
| 3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
| tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Kuinka käyttää Bradis-pöytiä
Harkitse Bradis-taulukkoa sineille ja kosineille. Kaikki poskionteloihin liittyvä on ylhäällä ja vasemmalla. Jos tarvitsemme kosineja, katso oikeaa puolta taulukon alareunasta.
Löytääksesi kulman sinin arvot, sinun on löydettävä tarvittavan määrän asteita sisältävän rivin leikkauspiste vasemmanpuoleisesta solusta ja vaaditun määrän minuutteja sisältävän sarakkeen leikkauspiste yläsolusta.
Jos tarkka kulma-arvo ei ole Bradis-taulukossa, turvaudumme korjauksiin. Yhden, kahden ja kolmen minuutin korjaukset on annettu taulukon oikeanpuoleisissa sarakkeissa. Sellaisen kulman sinin arvon löytämiseksi, jota ei ole taulukossa, etsimme sitä lähinnä olevan arvon. Tämän jälkeen lisäämme tai vähennämme kulmien välistä eroa vastaava korjaus.
Jos etsimme kulman siniä, joka on suurempi kuin 90 astetta, meidän on ensin käytettävä pelkistyskaavoja ja vasta sitten Bradis-taulukkoa.
Esimerkki. Kuinka käyttää Bradis-pöytää
Oletetaan, että meidän on löydettävä kulman 17 ° 44 " sini. Selvitetään taulukon avulla, mikä sini 17 ° 42 " on yhtä suuri, ja lisätään sen arvoon kahden minuutin korjaus:
17°44" - 17°42" = 2" (tarvittava korjaus) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046
Periaate työskennellä kosinien, tangenttien ja kotangenttien kanssa on samanlainen. On kuitenkin tärkeää muistaa muutosten merkki.
Tärkeä!
Sinien arvoja laskettaessa korjauksella on positiivinen etumerkki, ja kosineja laskettaessa korjaus on otettava negatiivisella etumerkillä.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
