Ja Saveljeva.

Kehon eteenpäinliikkeen aikana (E. M. Nikitinin oppikirjassa § 60) kaikki sen pisteet liikkuvat identtisiä lentoratoja pitkin ja niillä on kullakin hetkellä samat nopeudet ja samat kiihtyvyydet.

Siksi kappaleen translaatioliike määräytyy minkä tahansa pisteen liikkeen perusteella, yleensä painopisteen liikkeen perusteella.

Kun tarkastellaan auton (ongelma 147) tai dieselveturin (ongelma 141) liikettä missä tahansa ongelmassa, tarkastelemme itse asiassa niiden painopisteiden liikettä.

Kappaleen pyörimisliikettä (E.M. Nikitin, § 61) ei voida tunnistaa minkään sen pisteen liikkeestä. Minkä tahansa pyörivän kappaleen akseli (dieselvauhtipyörä, sähkömoottorin roottori, koneen kara, tuulettimen siivet jne.) liikkeen aikana on samassa paikassa avaruudessa suhteessa ympäröiviin kiinteisiin kappaleisiin.

Aineellisen pisteen liike tai liike eteenpäin kehot on karakterisoitu ajasta riippuen lineaariset suuret s (polku, etäisyys), v (nopeus) ja a (kiihtyvyys) komponentteineen a t ja a n.

Pyörivä liike kappaleet ajasta t riippuen kulma-arvot: φ (kiertokulma radiaaneina), ω (kulmanopeus rad/sek) ja ε (kulmakiihtyvyys rad/sek 2).

Kappaleen pyörimisliikkeen laki ilmaistaan ​​yhtälöllä
φ = f(t).

Kulmanopeus- kappaleen pyörimisnopeutta kuvaava suure määritellään yleisessä tapauksessa pyörimiskulman derivaatiksi ajan suhteen
ω = dφ/dt = f" (t).

Kulmakiihtyvyys- kulmanopeuden muutosnopeutta kuvaava suure määritellään kulmanopeuden derivaataksi
ε = dω/dt = f"" (t).

Kun ryhdytään ratkaisemaan kappaleen pyörimisliikkeen ongelmia, on syytä pitää mielessä, että teknisissä laskelmissa ja ongelmissa kulmasiirtymää ei yleensä ilmaista radiaaneina φ, vaan kierroksina φ noin.

Siksi on välttämätöntä pystyä siirtymään kierrosten lukumäärästä kulmasiirtymän radiaanimittaukseen ja päinvastoin.

Koska yksi täysi kierros vastaa 2π rad, niin
φ = 2πφ noin ja φ noin = φ/(2π).

Kulmanopeus teknisissä laskelmissa mitataan hyvin usein kierroksina, jotka tuotetaan minuutissa (rpm), joten on ymmärrettävä selvästi, että ω rad/s ja n rpm ilmaisevat samaa käsitettä - kappaleen pyörimisnopeutta (kulmanopeus) , mutta eri yksiköissä - rad/sek tai rpm.

Siirtyminen kulmanopeuden yksiköstä toiseen tapahtuu kaavojen mukaan
ω = πn/30 ja n = 30ω/π.

Kappaleen kiertoliikkeen aikana kaikki sen pisteet liikkuvat ympyröissä, joiden keskipisteet sijaitsevat yhdellä kiinteällä suoralla (pyörivän kappaleen akselilla). Tässä luvussa annettuja tehtäviä ratkaistaessa on erittäin tärkeää ymmärtää selvästi kappaleen pyörimisliikettä kuvaavien kulmasuureiden φ, ω ja ε sekä karakterisoivien lineaaristen suureiden s, v, a t ja an välinen suhde. tämän kehon eri pisteiden liikettä (kuva 205).

Jos R on etäisyys pyörivän kappaleen geometrisestä akselista mihin tahansa pisteeseen A (kuvassa 205 R = OA), niin suhde φ - kappaleen pyörimiskulma ja s - pisteen kulkema etäisyys keho samaan aikaan ilmaistaan ​​seuraavasti:
s = φR.

Kappaleen kulmanopeuden ja pisteen nopeuden välinen suhde kullakin hetkellä ilmaistaan ​​yhtälöllä
v = ωR.

Pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys riippuu kulmakiihtyvyydestä ja määräytyy kaavasta
a t = εR.

Pisteen normaalikiihtyvyys riippuu kappaleen kulmanopeudesta ja määräytyy suhteesta
a n = ω 2 R.

Tässä luvussa esitettyä ongelmaa ratkaistaessa on ymmärrettävä selvästi, että pyöriminen on jäykän kappaleen liikettä, ei pisteen liikettä. Yksittäinen materiaalipiste ei pyöri, vaan liikkuu ympyrässä - se tekee kaarevan liikkeen.

§ 33. Tasainen pyörivä liike

Jos kulmanopeus on ω=vakio, niin pyörimisliikettä kutsutaan tasaiseksi.

Tasaisella kiertoyhtälöllä on muoto
φ = φ 0 + ωt.

Erityisessä tapauksessa, kun alkuperäinen kiertokulma φ 0 = 0,
φ = ωt.

Tasaisesti pyörivän kappaleen kulmanopeus
ω = φ/t
voidaan ilmaista näin:
ω = 2π/T,
missä T on kappaleen pyörimisjakso; φ=2π - yhden jakson kiertokulma.

§ 34. Tasaisesti vuorotteleva pyörivä liike

Pyörimisliikettä, jolla on muuttuva kulmanopeus, kutsutaan epätasaiseksi (ks. alla § 35). Jos kulmakiihtyvyys ε=const, kutsutaan pyörimisliikettä yhtä vaihteleva. Näin ollen kappaleen tasainen pyöriminen on epätasaisen pyörivän liikkeen erikoistapaus.

Tasaisen pyörimisen yhtälö
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
ja yhtälö, joka ilmaisee kappaleen kulmanopeuden milloin tahansa,
(2) ω = ω 0 + εt
edustavat joukkoa peruskaavoja kappaleen pyörivälle tasaiselle liikkeelle.

Nämä kaavat sisältävät vain kuusi suuretta: kolme vakiota tietylle ongelmalle φ 0, ω 0 ja ε sekä kolme muuttujaa φ, ω ja t. Näin ollen jokaisen tehtävän tasaisen pyörimisen ehdon tulee sisältää vähintään neljä määritettyä määrää.

Joidenkin ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yhtälöistä (1) ja (2) voidaan saada vielä kaksi apukaavaa.

Jätetään kulmakiihtyvyys ε pois (1) ja (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0) t/2.

Jätetään aika t pois (1) ja (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

Tasaisesti kiihdytetyn pyörimisen erityistapauksessa lepotilasta alkaen φ 0 =0 ja ω 0 =0. Siksi yllä olevat perus- ja apukaavat ovat seuraavassa muodossa:
(5) φ = εt 2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω2/(2ε).

§ 35. Epätasainen pyörimisliike

Tarkastellaan esimerkkiä ongelman ratkaisusta, jossa määritetään kappaleen epätasainen pyörimisliike.

Jäykän kappaleen pyörivä liike kiinteän akselin ympäri on liikettä, jossa mitkä tahansa kaksi kappaleeseen kuuluvaa (tai siihen aina yhdistettyä) pistettä pysyvät liikkumattomina koko liikkeen ajan(Kuva 2.2) .

Kuva 2.2

Kiinteiden pisteiden läpikulku A Ja SISÄÄN suoraa kutsutaan pyörimisakseli. Koska jäykän kappaleen pisteiden välisen etäisyyden tulee pysyä muuttumattomana, on selvää, että pyörimisliikkeen aikana kaikki akseliin kuuluvat pisteet ovat liikkumattomia ja kaikki muut kuvaavat ympyröitä, joiden tasot ovat kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden. ja keskipisteet ovat tällä akselilla. Pyörivän kappaleen asennon määrittämiseksi piirrämme pyörimisakselin läpi, jota pitkin akseli on suunnattu Az, puolitaso І – kiinteä ja puolitasoinen ІІ upotettuna itse runkoon ja pyörii sen mukana. Tällöin kehon asento minä tahansa hetkenä määräytyy yksiselitteisesti vastaavalla merkillä otetun kulman mukaan φ näiden tasojen välillä, joita me kutsumme rungon kiertokulma. Harkitsemme kulmaa φ positiivista, jos se viivästyy kiinteältä tasolta vastapäivään (akselin positiivisesta päästä katsovalle tarkkailijalle Az), ja negatiivinen, jos myötäpäivään. Mittaa kulma φ Olemme radiaaneina. Jotta tiedät kehon sijainnin milloin tahansa, sinun on tiedettävä kulman riippuvuus φ ajasta t, eli

.

Tämä yhtälö ilmaisee jäykän kappaleen pyörimisliikkeen laki kiinteän akselin ympäri.

Jäykän kappaleen pyörimisliikkeen tärkeimmät kinemaattiset ominaisuudet ovat sen kulmanopeus ω ja kulmakiihtyvyyttä ε.

9.2.1. Kappaleen kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys

Suuruutta, joka kuvaa pyörimiskulman φ muutosnopeutta ajan kuluessa, kutsutaan kulmanopeudeksi.

Jos jonkin ajanjakson aikana
runko pyörii kulman läpi
, silloin kappaleen numeerisesti keskimääräinen kulmanopeus tämän ajanjakson aikana on
. Rajassa klo
saamme

Täten, kappaleen kulmanopeuden numeerinen arvo tietyllä hetkellä on yhtä suuri kuin ensimmäinen kiertokulman derivaatta ajan suhteen.

Merkisääntö: Kun pyöriminen tapahtuu vastapäivään, ω> 0, ja kun myötäpäivään, niin ω< 0.

tai koska radiaani on dimensioton suure,
.

Teoreettisissa laskelmissa on kätevämpää käyttää kulmanopeusvektoria , jonka moduuli on yhtä suuri kuin ja joka on suunnattu pitkin rungon pyörimisakselia suuntaan, josta pyöriminen näkyy vastapäivään. Tämä vektori määrittää välittömästi kulmanopeuden suuruuden, pyörimisakselin ja pyörimissuunnan tämän akselin ympäri.

Suuruutta, joka kuvaa kulmanopeuden muutosnopeutta ajan kuluessa, kutsutaan kappaleen kulmakiihtyvyydeksi.

Jos jonkin ajanjakson aikana
kulmanopeuden lisäys on yhtä suuri kuin
, sitten suhde
, eli määrittää pyörivän kappaleen keskikiihtyvyyden arvon ajan kuluessa
.

Kun yritetään
saamme kulmakiihtyvyyden suuruuden tällä hetkellä t:

Täten, kappaleen kulmakiihtyvyyden numeerinen arvo tietyllä hetkellä on yhtä suuri kuin kappaleen kulmanopeuden ensimmäinen derivaatta tai kappaleen pyörimiskulman toinen derivaatta ajassa.

Yleensä käytetään mittayksikköä tai mikä on myös
.

Jos kulmanopeuden moduuli kasvaa ajan myötä, kutsutaan kappaleen pyörimistä kiihdytetty ja jos se pienenee, - hidas. Kun arvot ω Ja ε on samat merkit, silloin pyöriminen kiihtyy, kun ne ovat erilaisia, se hidastuu. Analogisesti kulmanopeuden kanssa kulmakiihtyvyys voidaan esittää myös vektorina , suunnattu pyörimisakselia pitkin. Jossa

.

Jos keho pyörii kiihdytettyyn suuntaan osuu yhteen , ja päinvastoin hitaalla pyörimisellä.

Jos kappaleen kulmanopeus pysyy vakiona liikkeen aikana ( ω= konst), niin kehon pyörimistä kutsutaan yhtenäinen.

From
meillä on
. Näin ollen, kun otetaan huomioon se ensimmäisellä hetkellä
kulma
, ja ottamalla integraalit vasemmalle ennen , ja oikealla 0 - t, vihdoin saamme

.

Tasaisella kierrolla, kun =0,
Ja
.

Tasaisen pyörimisen nopeus määräytyy usein kierrosten lukumäärällä minuutissa, mikä tarkoittaa tätä arvoa n rpm Etsitään suhde n rpm ja ω 1/s. Yhdellä kierroksella runko pyörii 2π, ja kanssa n rpm nopeudella 2π n; tämä käännös tehdään 1 minuutissa, ts. t= 1min = 60s. Seuraa, että

.

Jos kappaleen kulmakiihtyvyys pysyy vakiona koko sen liikkeen ajan (ε = konst), sitten kiertoa kutsutaan yhtä vaihteleva.

Alkuhetkellä t=0 kulma
, ja kulmanopeus
(- alkukulmanopeus).
;
=ε
. Vasemman puolen integrointi ennen , ja oikea välillä 0 - t, löydämme

Tämän kierron kulmanopeus ω
. Jos ω:llä ja ε:llä on samat merkit, rotaatio on tasaisesti kiihdytettynä ja jos eri - yhtä hidas.

Jäykän kappaleen liikettä kutsutaan pyöriväksi, jos liikkeen aikana kaikki kappaleen pisteet, jotka sijaitsevat tietyllä suoralla, jota kutsutaan pyörimisakseliksi, pysyvät liikkumattomina.(Kuva 2.15).

Yleensä kehon asento kiertoliikkeen aikana määritetään kiertokulma kehon , joka mitataan pyörimisakselin läpi kulkevan kiinteän ja liikkuvan tason välisenä kaksikulmaisena. Lisäksi liikkuva taso on yhdistetty pyörivään kappaleeseen.

Otetaan huomioon liikkuvat ja kiinteät koordinaattijärjestelmät, joiden origo sijoitetaan kiertoakselin mielivaltaiseen pisteeseen O. Liikkuvalle ja kiinteälle koordinaattijärjestelmälle yhteinen Oz-akseli suunnataan pyörimisakselia pitkin, akselin vai niin kiinteästä koordinaatistosta suuntaamme sen kohtisuoraan Oz-akseliin nähden siten, että se on kiinteässä tasossa, akselilla Voi 1 Ohjataan liikkuva koordinaattijärjestelmä kohtisuoraan Oz-akseliin nähden siten, että se on liikkuvassa tasossa (kuva 2.15).

Jos tarkastelemme kappaleen osaa pyörimisakseliin nähden kohtisuorassa tasossa, niin pyörimiskulma φ voidaan määritellä kiinteän akselin väliseksi kulmaksi vai niin ja liikkuva akseli Voi 1, joka liittyy aina pyörivään kappaleeseen (kuva 2.16).

Rungon pyörimiskulman vertailusuunta hyväksytään φ vastapäivään katsotaan positiiviseksi Oz-akselin positiivisesta suunnasta katsottuna.

Tasa-arvo φ = φ(t), joka kuvaa kulman muutosta φ ajassa kutsutaan jäykän kappaleen pyörimisliikkeen laiksi tai yhtälöksi.

Jäykän kappaleen pyörimiskulman muutoksen nopeus ja suunta on tunnusomaista kulmanopeus. Kulmanopeuden itseisarvo on yleensä merkitty kreikkalaisen aakkoston kirjaimella ω (omega). Kulmanopeuden algebrallinen arvo on yleensä merkitty . Kulmanopeuden algebrallinen arvo on yhtä suuri kuin kiertokulman ensimmäinen derivaatta:

. (2.33)

Kulmanopeuden yksiköt ovat yhtä suuria kuin kulman yksiköt jaettuna aikayksiköllä, esimerkiksi deg/min, rad/h. SI-järjestelmässä kulmanopeuden mittayksikkö on rad/s, mutta useammin tämän mittayksikön nimeksi kirjoitetaan 1/s.

Jos > 0, niin kappale pyörii vastapäivään, kun sitä tarkastellaan pyörimisakselin suuntaisen koordinaattiakselin päästä.

Jos< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Kulmanopeuden muutoksen nopeudelle ja suunnalle on ominaista kulmakiihtyvyys. Kulmakiihtyvyyden absoluuttinen arvo merkitään yleensä kreikkalaisten aakkosten kirjaimella e (epsilon). Kulmakiihtyvyyden algebrallinen arvo on yleensä merkitty . Kulmakiihtyvyyden algebrallinen arvo on yhtä suuri kuin kulmanopeuden algebrallisen arvon ensimmäinen derivaatta ajan suhteen tai kiertokulman toinen derivaatta:

Kulmakiihtyvyyden yksiköt ovat yhtä suuria kuin kulman yksiköt jaettuna ajan neliöllä. Esimerkiksi deg/s 2, rad/h 2. SI-järjestelmässä kulmakiihtyvyyden mittayksikkö on rad/s 2, mutta useammin tämän mittayksikön nimeksi kirjoitetaan 1/s 2.

Jos kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden algebrallisilla arvoilla on sama merkki, kulmanopeus kasvaa suuruusluokkaa ajan myötä, ja jos se on erilainen, se pienenee.

Jos kulmanopeus on vakio ( ω = const), silloin on tapana sanoa, että kappaleen pyöriminen on tasaista. Tässä tapauksessa:

φ = t + φ 0, (2.35)

Missä φ 0 - alkuperäinen kiertokulma.

Jos kulmakiihtyvyys on vakio (e = const), on tapana sanoa, että kappaleen pyöriminen on tasaisesti kiihtynyttä (tasaisesti hidasta). Tässä tapauksessa:

Missä 0 - alkukulmanopeus.

Muissa tapauksissa riippuvuuden määrittämiseksi φ alkaen Ja on välttämätöntä integroida lausekkeet (2.33), (2.34) tietyissä alkuehdoissa.

Piirustuksissa kappaleen pyörimissuunta on toisinaan esitetty kaarevalla nuolella (kuva 2.17).

Usein mekaniikassa kulmanopeutta ja kulmakiihtyvyyttä pidetään vektorisuureina Ja . Molemmat vektorit on suunnattu pitkin kappaleen pyörimisakselia. Lisäksi vektori suunnattu yhteen suuntaan yksikkövektorin kanssa, joka määrittää pyörimisakselin kanssa yhteen osuvan koordinaattiakselin suunnan, jos >0, ja päinvastoin jos
Vektorin suunta valitaan samalla tavalla (kuva 2.18).

Kappaleen kiertoliikkeen aikana jokainen sen piste (paitsi pyörimisakselilla sijaitsevat pisteet) liikkuu liikeradalla, joka on ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin lyhin etäisyys pisteestä pyörimisakseliin (kuva 1). 2.19).

Koska ympyrän tangentti missä tahansa pisteessä muodostaa 90° kulman säteen kanssa, pyörimisliikkeessä olevan kappaleen pisteen nopeusvektori on suunnattu kohtisuoraan säteeseen nähden ja on ympyrän tasossa, joka on pisteen liikerata. Kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti on samalla linjalla nopeuden kanssa ja normaalikomponentti suunnataan säteittäisesti kohti ympyrän keskustaa. Siksi joskus kutsutaan tangentiaalista ja normaalia kiihtyvyyden komponenttia pyörivän liikkeen aikana pyörivä ja keskipitkä (aksiaalinen) komponentit (kuva 2.19)

Pisteen nopeuden algebrallinen arvo määritetään lausekkeella:

, (2.37)

missä R = OM on lyhin etäisyys pisteestä pyörimisakseliin.

Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentin algebrallinen arvo määritetään lausekkeella:

. (2.38)

Kiihtyvyyden normaalikomponentin moduuli määritetään lausekkeella:

. (2.39)

Pyörimisliikkeen aikana pisteen kiihtyvyysvektori määräytyy suunnikassäännön avulla tangentin ja normaalikomponenttien geometrisena summana. Vastaavasti kiihtyvyysmoduuli voidaan määrittää käyttämällä Pythagoraan lausetta:

Jos kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys määritellään vektorisuureiksi , , niin nopeusvektorit, kiihtyvyyden tangentiaali- ja normaalikomponentit voidaan määrittää kaavoilla:

missä on kiertoakselin mielivaltaisesta pisteestä pisteeseen M piirretty sädevektori (kuva 2.20).

Yhden kappaleen pyörimisliikettä koskevien ongelmien ratkaiseminen ei yleensä aiheuta vaikeuksia. Kaavojen (2.33)-(2.40) avulla voit määrittää helposti minkä tahansa tuntemattoman parametrin.

Tiettyjä vaikeuksia syntyy ratkaistaessa ongelmia, jotka liittyvät useista toisiinsa yhdistetyistä kappaleista koostuvien mekanismien tutkimukseen, jotka suorittavat sekä pyörivää että translaatioliikettä.

Yleinen lähestymistapa tällaisten ongelmien ratkaisemiseen on, että liike kehosta toiseen välittyy yhden pisteen kautta - kosketuspisteen (kosketuspisteen) kautta. Lisäksi kosketuksissa olevilla kappaleilla on samat nopeudet ja tangentiaaliset kiihtyvyyskomponentit kosketuspisteessä. Kosketuspisteessä kosketuksissa olevien kappaleiden normaalit kiihtyvyyden komponentit ovat erilaisia, ne riippuvat kappaleiden pisteiden liikeradalta.

Tämän tyyppisiä tehtäviä ratkaistaessa on tarkoituksenmukaista käyttää erityisistä olosuhteista riippuen sekä kohdassa 2.3 annettuja kaavoja että pisteen nopeuden ja kiihtyvyyden määrittämiskaavoja määriteltäessä sen liikettä luonnolliseksi (2.7), (2.14). ) (2.16) tai koordinaatti (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) menetelmät. Lisäksi, jos kappaleen liike, johon piste kuuluu, on pyörivä, pisteen liikerata on ympyrä. Jos kappaleen liike on suoraviivaista translaatiota, pisteen liikerata on suora.

Esimerkki 2.4. Runko pyörii kiinteän akselin ympäri. Rungon kiertokulma muuttuu lain mukaan φ = π t 3 iloinen. Pisteelle, joka sijaitsee etäisyydellä OM = R = 0,5 m pyörimisakselista, määritä nopeus, tangentti, kiihtyvyyden ja kiihtyvyyden normaalikomponentit ajanhetkellä t 1= 0,5 s. Näytä näiden vektorien suunta piirustuksessa.

Tarkastellaan kappaleen leikkausta tason O kautta, joka kulkee kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden (kuva 2.21). Tässä kuvassa piste O on pyörimisakselin ja leikkaustason leikkauspiste, piste M o Ja M 1- vastaavasti pisteen M alku- ja nykyinen sijainti. Pisteiden O ja kautta M o piirrä kiinteä akseli vai niin, ja pisteiden O ja kautta M 1 - liikkuva akseli Voi 1. Näiden akselien välinen kulma on yhtä suuri kuin

Löydämme kappaleen kulmanopeuden muutoksen lain erottamalla kiertokulman muutoksen lain:

Hetkessä t 1 kulmanopeus on yhtä suuri kuin

Löydämme kappaleen kulmakiihtyvyyden muutoksen lain erottamalla kulmanopeuden muutoksen lain:

Hetkessä t 1 kulmakiihtyvyys on yhtä suuri kuin:

1/s 2,

Löydämme nopeusvektorien algebralliset arvot, kiihtyvyyden tangentiaalikomponentin, kiihtyvyyden normaalikomponentin moduulin ja kiihtyvyysmoduulin kaavoilla (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s2.

Kulmasta lähtien φ 1>0, siirrämme sitä Ox-akselilta vastapäivään. Ja siitä lähtien > 0, sitten vektorit suunnataan kohtisuoraan säteeseen nähden OM 1 niin, että näemme niiden pyörivän vastapäivään. Vektori suunnataan sädettä pitkin OM 1 pyörimisakselille. Vektori Rakennetaan vektoreille suuntaviivasäännön mukaan τ Ja .

Esimerkki 2.5. Annetun kuorman suoraviivaisen translaatioliikkeen yhtälön mukaisesti 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) määrittää nopeuden sekä kiihtyvyyden tangentiaalisen normaalikomponentin ja mekanismin pisteen M kiihtyvyyden ajanhetkellä t 1, kun kuorman 1 kulkema rata on s = 0,2 m Tehtävää ratkaistaessa oletetaan, että kappaleiden 2 ja 3 kosketuskohdassa ei ole luistamista. R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R3 = 0,5 m (kuva 2.22).

Kuorman 1 suoraviivaisen translaatioliikkeen laki on annettu koordinaattimuodossa. Määritetään ajanhetki t 1, jolle kuorman 1 kulkema polku on yhtä suuri kuin s

s = x(t l)-x(0),

mistä saamme:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Siten,

Kun liikeyhtälö on eritelty ajan suhteen, saadaan kuorman 1 nopeuden ja kiihtyvyyden projektiot Ox-akselille:

neiti 2 ;

Tällä hetkellä t = t 1 kuorman nopeuden projektio 1 on yhtä suuri kuin:

eli se on suurempi kuin nolla, samoin kuin kuorman 1 kiihtyvyyden projektio. Siksi kuorma 1 on hetkellä t 1 liikkua alas tasaisesti kiihdytettynä, runko 2 pyörii tasaisesti kiihdytettynä vastapäivään ja runko 3 pyörii myötäpäivään.

Runko 2 saa pyörähtää rungon 1 virvelirumpuun kierretyn kierteen kautta. Siksi kappaleen 1 pisteiden, kappaleen 2 virvelipintojen langan ja pinnan nopeuksien moduulit ovat yhtä suuret ja kappaleen 1 pisteiden, kierteen ja kiihtyvyyden tangentiaalikomponentin kiihtyvyysmoduulit kappaleen 2 virvelipinnan pisteistä on myös yhtä suuri, joten kappaleen 2 kulmanopeuden moduuli voidaan määritellä seuraavasti

Kappaleen 2 kulmakiihtyvyysmoduuli on yhtä suuri:

1/s 2 .

Määritetään kappaleen 2 pisteen K - kappaleiden 2 ja 3 kosketuspisteen - nopeusmoduulit ja kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti:

neiti, neiti 2

Koska kappaleet 2 ja 3 pyörivät ilman keskinäistä liukumista, pisteen K - kosketuspisteen - nopeuden suuruudet ja kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti ovat yhtä suuret.

suunnataan se kohtisuoraan säteeseen nähden kappaleen pyörimissuunnassa, koska kappale 3 pyörii tasaisesti kiihdytettynä

MÄÄRITELMÄ: Jäykän kappaleen pyörivä liike kutsumme sellaista liikettä, jossa kaikki kehon pisteet liikkuvat ympyröissä, joiden keskipisteet sijaitsevat samalla suoralla, jota kutsutaan pyörimisakseliksi.

Pyörivän dynamiikan tutkimiseksi lisäämme tunnettuihin kinemaattisiin suureisiin kaksi määrää: voiman hetki(M) ja hitausmomentti(J).

1. Kokemuksesta tiedetään: pyörimisliikkeen kiihtyvyys ei riipu pelkästään kehoon vaikuttavan voiman suuruudesta, vaan myös etäisyydestä pyörimisakselista linjaan, jota pitkin voima vaikuttaa. Tämän seikan karakterisoimiseksi fysikaalinen suure ns voiman hetki.

Tarkastellaan yksinkertaisinta tapausta.

MÄÄRITELMÄ: Voiman momentti tietyssä pisteessä "O" on vektorisuure, joka määritellään lausekkeella , jossa on sädevektori, joka on vedetty pisteestä "O" voiman kohdistamispisteeseen.

Määritelmästä seuraa, että se on aksiaalinen vektori. Sen suunta valitaan siten, että vektorin pyöriminen pisteen “O” ympäri voiman suunnassa ja vektori muodostavat oikeakätisen järjestelmän. Voimamomentin moduuli on yhtä suuri kuin , jossa a on vektorien suuntien välinen kulma ja , ja l= r synti a on pisteestä "O" suoralle viivalle pudonneen kohtisuoran pituus, jota pitkin voima vaikuttaa (ns. voiman olkapää suhteessa pisteeseen "O" (kuva 4.2).

2. Kokeelliset tiedot osoittavat, että kulmakiihtyvyyden suuruuteen ei vaikuta ainoastaan ​​pyörivän kappaleen massa, vaan myös massan jakautuminen pyörimisakseliin nähden. Määrä, joka ottaa tämän seikan huomioon, on ns hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin.

MÄÄRITELMÄ: Tarkkaan ottaen hitausmomentti kappaletta tiettyyn pyörimisakseliin nähden kutsutaan arvoksi J, joka on yhtä suuri kuin perusmassojen tulojen summa niiden etäisyyksien neliöillä annetusta akselista.

Summaus suoritetaan kaikille perusmassoille, joihin keho on jaettu. On syytä muistaa, että tämä suure (J) on olemassa pyörimisestä riippumatta (vaikka hitausmomentin käsite otettiin käyttöön tarkasteltaessa jäykän kappaleen pyörimistä).

Jokaisella kappaleella, riippumatta siitä, onko se levossa vai pyörimässä, on tietty hitausmomentti suhteessa mihin tahansa akseliin, aivan kuten kappaleella on massa riippumatta siitä, onko se liikkumassa vai levossa.

Ottaen huomioon, että hitausmomentti voidaan esittää seuraavasti: . Tämä suhde on likimääräinen ja mitä pienemmät alkuainetilavuudet ja vastaavat massaelementit ovat, sitä tarkempi se on. Siten hitausmomenttien löytämisen tehtävä laskeutuu integraatioon: . Tässä integraatio tapahtuu koko kehon tilavuudessa.

Kirjataan ylös joidenkin säännöllisen geometrisen muotoisten kappaleiden hitausmomentit.

1. Tasainen pitkä sauva.
Riisi. 4.3	Hitausmomentti tankoon nähden kohtisuorassa ja sen keskeltä kulkevan akselin ympäri on yhtä suuri kuin
2. Kiinteä sylinteri tai levy.
Riisi. 4.4	Hitausmomentti geometrisen akselin kanssa osuvan akselin ympäri on yhtä suuri kuin .
3. Ohutseinämäinen sylinteri, jonka säde on R.
Riisi. 4.5
4. Säteisen R pallon hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevaan akseliin nähden
Riisi. 4.6
5. Ohuen kiekon hitausmomentti (paksuus b<
Riisi. 4.7
6. Lohkon hitausmomentti
Riisi. 4.8
7. Renkaan hitausmomentti
Riisi. 4.9

Hitausmomentin laskeminen tässä on melko yksinkertaista, koska kappaleen oletetaan olevan homogeeninen ja symmetrinen, ja hitausmomentti määritetään suhteessa symmetria-akseliin.

Kehon hitausmomentin määrittämiseksi suhteessa mihin tahansa akseliin on käytettävä Steinerin lausetta.

MÄÄRITELMÄ: Hitausmomentti J mielivaltaisen akselin ympäri on yhtä suuri kuin hitausmomentin J c summa suhteessa akseliin, joka on yhdensuuntainen annetun akselin kanssa ja joka kulkee kappaleen hitauskeskipisteen kautta, ja kehon massan tulo akselien välisen etäisyyden neliöllä (kuva 1). 4.10).

Jäykän kappaleen pyöriminen kiinteän akselin ympäri on sellaista liikettä, jossa kappaleen kaksi pistettä pysyvät liikkumattomina koko liikkeen ajan. Tässä tapauksessa kaikki kehon pisteet, jotka sijaitsevat sen kiinteiden pisteiden kautta kulkevalla suoralla linjalla, pysyvät myös liikkumattomina. Tätä linjaa kutsutaan kehon pyörimisakseli .

Olkoon pisteet A ja B paikallaan. Ohjataan akseli pyörimisakselia pitkin. Pyörimisakselin kautta piirretään kiinteä ja liikkuva taso, joka on kiinnitetty pyörivään kappaleeseen (pisteessä ).

Tason ja itse kappaleen sijainti määräytyy tasojen ja välisen dihedraalisen kulman mukaan. Merkitään se. Kulmaa kutsutaan rungon kiertokulma .

Kehon sijainti suhteessa valittuun vertailujärjestelmään määräytyy yksiselitteisesti milloin tahansa, jos yhtälö on annettu, jossa on mikä tahansa kahdesti differentioituva ajan funktio. Tätä yhtälöä kutsutaan jäykän kappaleen pyörimisyhtälö kiinteän akselin ympäri .

Kiinteän akselin ympäri pyörivällä kappaleella on yksi vapausaste, koska sen sijainti määräytyy määrittämällä vain yksi parametri - kulma.

Kulmaa pidetään positiivisena, jos se asetetaan vastapäivään, ja negatiiviseksi vastakkaiseen suuntaan. Kappaleen pisteiden liikeradat sen pyöriessä kiinteän akselin ympäri ovat ympyröitä, jotka sijaitsevat pyörimisakseliin nähden kohtisuorassa tasoissa.

Jäykän kappaleen pyörimisliikkeen kuvaamiseksi kiinteän akselin ympäri otamme käyttöön kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden käsitteet.

Algebrallinen kulmanopeus kappaletta millä tahansa ajanhetkellä kutsutaan tämän hetken kiertokulman ensimmäiseksi derivaatiksi ajan suhteen.

Kulmanopeus on positiivinen, kun kappale pyörii vastapäivään, koska pyörimiskulma kasvaa ajan myötä, ja negatiivinen, kun kappale pyörii myötäpäivään, koska pyörimiskulma pienenee.

Kulmanopeuden mitat määritelmän mukaan:

Tekniikan alalla kulmanopeus on pyörimisnopeus ilmaistuna kierroksina minuutissa. Yhdessä minuutissa keho pyörii kulman läpi, missä n on kierrosten määrä minuutissa. Jakamalla tämän kulman sekuntien määrällä minuutissa, saamme

Kehon algebrallinen kulmakiihtyvyys kutsutaan kulmanopeuden ensimmäiseksi derivaataksi ajan suhteen, eli kiertokulman toiseksi derivaataksi, ts.

Kulmakiihtyvyyden mitta määritelmän mukaan:

Otetaan käyttöön käsitteet kappaleen kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden vektoreista.

Ja , missä on pyörimisakselin yksikkövektori. Vektorit ja ne voidaan kuvata missä tahansa kiertoakselin kohdassa, ne ovat liukuvektoreita.

Algebrallinen kulmanopeus on kulmanopeusvektorin projektio pyörimisakselille. Algebrallinen kulmakiihtyvyys on nopeuden kulmakiihtyvyysvektorin projektio pyörimisakselille.

Jos kohdassa , niin algebrallinen kulmanopeus kasvaa ajan myötä ja siksi kappale pyörii tällä hetkellä kiihdytettynä positiiviseen suuntaan. Vektorien ja suunnat ovat samat, ne ovat molemmat suunnattu pyörimisakselin positiiviseen suuntaan.

Kun ja keho pyörii nopeasti negatiiviseen suuntaan. Vektorien ja suunnat ovat samat, ne ovat molemmat suunnattu pyörimisakselin negatiiviseen suuntaan.