Tasakylkisen puolisuunnikkaan kulmat. Hei! Tämä artikkeli keskittyy puolisuunnikkaan ongelmien ratkaisemiseen. Tämä tehtäväryhmä on osa tenttiä, tehtävät ovat yksinkertaisia. Laskemme puolisuunnikkaan kulmat, pohjan ja korkeuden. Useiden ongelmien ratkaiseminen tulee ratkaisemaan, kuten sanotaan: missä olemme ilman Pythagoraan lausetta?

Työskentelemme tasakylkisen puolisuunnikkaan kanssa. Siinä on yhtäläiset sivut ja kulmat pohjissa. Blogissa on artikkeli puolisuunnikkaan.

Huomaa pieni ja tärkeä vivahde, jota emme kuvaile yksityiskohtaisesti itse tehtävien ratkaisuprosessissa. Katso, jos meille annetaan kaksi kantaa, niin suurempi pohja, jonka korkeus on laskettu siihen, jaetaan kolmeen segmenttiin - yksi on yhtä suuri kuin pienempi kanta (nämä ovat suorakulmion vastakkaiset sivut), kaksi muuta ovat yhtä suuret kuin kumpikin. muut (nämä ovat samankokoisten kolmioiden jalat):

Yksinkertainen esimerkki: annetaan tasakylkisen puolisuunnikkaan kaksi kantaa 25 ja 65. Isompi kanta jaetaan segmenteiksi seuraavasti:

*Ja kauemmas! Kirjainsymbolit eivät sisälly tehtäviin. Tämä tehtiin tarkoituksella, jotta ratkaisua ei ylikuormitettaisi algebrallisilla tarkennuksilla. Olen samaa mieltä siitä, että tämä on matemaattisesti lukutaidoton, mutta tavoitteena on saada asia selväksi. Ja voit aina tehdä nimitykset kärkipisteille ja muille elementeille itse ja kirjoittaa matemaattisesti oikean ratkaisun.

Mietitään tehtäviä:

27439. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 51 ja 65. Sivut ovat 25. Etsi puolisuunnikkaan terävän kulman sini.

Kulman löytämiseksi sinun on rakennettava korkeudet. Luonnoksessa merkitään tiedot määrätilassa. Alapohja on 65, ja se on jaettu korkeudella segmentteihin 7, 51 ja 7:

Suorakulmaisessa kolmiossa tunnemme hypotenuusan ja haaran, voimme löytää toisen haaran (suunnikkaan korkeuden) ja laskea sitten kulman sinin.

Pythagoraan lauseen mukaan osoitettu jalka on yhtä suuri:

Täten:

Vastaus: 0,96

27440. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 43 ja 73. Puolisuunnikkaan terävän kulman kosini on 5/7. Etsi puoli.

Muodostetaan korkeudet ja merkitään tiedot suuruusehtoon, ja alempi kanta on jaettu segmentteihin 15, 43 ja 15:

27441. Tasakylkisen puolisuunnikkaan suurempi kanta on 34. Sivu on 14. Terävän kulman sini on (2√10)/7. Etsi pienempi pohja.

Rakennetaan korkeuksia. Löytääksemme pienemmän kannan meidän on selvitettävä, mikä jana, joka on oikean kolmion jalka, on yhtä suuri (merkitty sinisellä):

Voimme laskea puolisuunnikkaan korkeuden ja löytää sitten jalan:

Pythagoraan lauseen avulla laskemme jalka:

Pienempi pohja on siis:

27442. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 7 ja 51. Terävän kulman tangentti on 5/11. Etsi puolisuunnikkaan korkeus.

Muodostetaan korkeudet ja merkitään data magnitudiehtoon. Alempi pohja on jaettu segmentteihin:

Mitä tehdä? Ilmaisemme tuntemamme kulman tangentin pohjassa suorakulmaisessa kolmiossa:

27443. Tasakylkisen puolisuunnikkaan pienempi kanta on 23. Puolisuunnikkaan korkeus on 39. Terävän kulman tangentti on 13/8. Etsi isompi pohja.

Rakennamme korkeudet ja laskemme, mikä jalka on yhtä suuri:

Siten suurempi kanta on yhtä suuri:

27444. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 17 ja 87. Puolisuunnikkaan korkeus on 14. Etsi terävän kulman tangentti.

Rakennamme korkeuksia ja merkitsemme luonnokseen tunnetut arvot. Alempi pohja on jaettu segmentteihin 35, 17, 35:

Tangentin määritelmän mukaan:

77152. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantat ovat 6 ja 12. Puolisuunnikkaan terävän kulman sini on 0,8. Etsi puoli.

Tehdään luonnos, rakennetaan korkeudet ja merkitään tunnetut arvot, suurempi kanta jaetaan segmentteihin 3, 6 ja 3:

Ilmaistaan ​​x:ksi merkitty hypotenuusa kosinin kautta:

Tärkeimmästä trigonometrisesta identiteetistä löydämme cosα:n

Täten:

27818. Mikä on tasakylkisen puolisuunnikkaan suurempi kulma, jos tiedetään, että vastakkaisten kulmien välinen ero on 50 0? Kerro vastauksesi asteina.

Geometrian kurssista tiedämme, että jos meillä on kaksi yhdensuuntaista suoraa ja poikkisuora, sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180 0. Meidän tapauksessamme on

Ehto sanoo, että vastakkaisten kulmien ero on 50 0, eli

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Erityisesti puhumme puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista ja ominaisuuksista sekä piirretyn puolisuunnikkaan ja ympyrän ominaisuuksista. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta käsiteltyjen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään sen päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä on puolisuunnikkaan ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (nämä ovat kanta). Ja nämä kaksi eivät ole rinnakkaisia ​​- nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeutta voidaan laskea - kohtisuoraan pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. On myös mahdollista piirtää puolittaja mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan lävistäjän ominaisuudet

Selvittääksesi sen, kun luet, piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ACME paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

1. Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että segmentti HT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: ХТ = (a – b)/2.
2. Edessämme on sama puolisuunnikkaan muotoinen ACME. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja MOK, jotka muodostuvat lävistäjän segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. Kolmioiden samankaltaisuuskerroin k ilmaistaan ​​puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
   Kolmioiden AOE ja MOK pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
3. Sama puolisuunnikas, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjän segmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
4. Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus on diagonaalien rakentaminen. Joten jos jatkat AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat tietyssä kohdassa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan pohjien keskelle. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
   Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se yhdistää yhteen puolisuunnikkaan O lävistäjien leikkauspisteen, pisteen, jossa sivujen jatkeet ja kantojen X ja T leikkaavat.
5. Diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T on pienemmässä kantassa KM, X on suuremmassa AE). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OX = KM/AE.
6. Nyt piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta janan, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantaan (a ja b). Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Löydät segmentin pituuden kaavalla 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva sen kannan suuntaisesti.

1. Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
2. Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajaominaisuus

Valitse mikä tahansa puolisuunnikkaan kulma ja piirrä puolittaja. Otetaan esimerkiksi puolisuunnikkaan ACME kulma KAE. Kun olet suorittanut rakentamisen itse, voit helposti varmistaa, että puolittaja katkaisee alustasta (tai sen jatkeesta suoralla linjalla itse kuvan ulkopuolella) sivun kanssa samanpituisen segmentin.

Puolisuunnikkaan kulmien ominaisuudet

1. Kumpi kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0.
2. Yhdistetään puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, janan pituus TX voidaan laskea helposti kantajen pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX = (AE – KM)/2.
3. Jos yhdensuuntaiset viivat piirretään puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkisen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

1. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kannassa ovat yhtä suuret.
2. Rakenna nyt uudelleen puolisuunnikkaan muoto, jotta on helpompi kuvitella, mistä puhumme. Katso huolellisesti kantaa AE - vastakkaisen kannan M kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviivaan ovat yhtä suuret.
3. Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
4. Vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä voidaan kuvata ympyrä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 0 - tämän edellytyksenä.
5. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
6. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
7. Piirrä jälleen jana TX puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samalla TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
8. Tällä kertaa laske korkeus puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä suuremmalle alustalle (kutsutaanko sitä a). Saat kaksi segmenttiä. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a + b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta pohjasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Koska puhumme jo ympyrään kirjoitetusta puolisuunnikasta, katsotaanpa tätä asiaa yksityiskohtaisemmin. Erityisesti siinä, missä ympyrän keskipiste on suhteessa puolisuunnikkaan. Tässäkin on suositeltavaa ottaa aikaa kynän ottamiseen ja piirtää alla kuvatut asiat. Näin ymmärrät nopeammin ja muistat paremmin.

1. Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan lävistäjän kaltevuuskulman mukaan. Esimerkiksi lävistäjä voi ulottua puolisuunnikkaan yläosasta suorassa kulmassa sivuun. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa ympyrän keskikohdan tarkalleen keskellä (R = ½AE).
2. Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
3. Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuremman kannan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivun välillä on tylppä kulma.
4. Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MOE.
5. Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Voit helposti huomata, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde voidaan löytää kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R = AE/2*sinAME. Kaava voidaan kirjoittaa samalla tavalla kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
6. Tapa kaksi: etsi rajatun ympyrän säde kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit sovittaa ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Lue siitä lisää alta. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

1. Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
2. Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ACME:n kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
3. Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantajen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.
4. Puolisuunnikkaan kirjoitetun ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste jakaa sivun kahteen osaan, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
5. Ja vielä yksi omaisuus. Vältä sekaannukset piirtämällä tämä esimerkki myös itse. Meillä on vanha kunnon puolisuunnikkaan muotoinen ACME, joka on kuvattu ympyrän ympärillä. Se sisältää lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä ja sivusivuista, ovat suorakaiteen muotoisia.
   Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivusuunnilleen) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

1. Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan toinen sivu on kohtisuorassa pohjaansa nähden.
2. Suoran kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
3. Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

• Luultavasti arvasit jo, että täällä tarvitsemme jälleen AKME-suunnikkaan - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä suora MT kärjestä M, yhdensuuntainen AK:n sivun kanssa (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että puolisuunnikkaan ACME on tasakylkinen:

• Piirretään aluksi suora MX – MX || KE. Saadaan suunnikas KMHE (kanta – MX || KE ja KM || EX).

∆AMX on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, joten MAE = MHE.

Kävi ilmi, että kolmiot AKE ja EMA ovat keskenään yhtä suuret, koska AM = KE ja AE ovat näiden kahden kolmion yhteinen puoli. Ja myös MAE = MXE. Voidaan päätellä, että AK = ME, ja tästä seuraa, että puolisuunnikkaan AKME on tasakylkinen.

Tarkista tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, sivusivu KA, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että yhteensä he antavat 180 0. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan kulmien ominaisuuteen).

Tarkastellaan nyt suorakaiteen muotoista ∆ANC:tä (luulen, että tämä kohta on ilmeinen lukijoille ilman lisätodisteita). Siitä löydämme puolisuunnikkaan korkeuden KH - kolmiossa se on jalka, joka sijaitsee vastapäätä kulmaa 30 0. Siksi KN = ½AB = 4 cm.

Löydämme puolisuunnikkaan pinta-alan kaavalla: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Jälkisana

Jos tutkit tätä artikkelia huolellisesti ja harkiten, etkä ollut liian laiska piirtämään puolisuunnikkaita kaikille annetuille ominaisuuksille kynällä käsissäsi ja analysoimaan niitä käytännössä, sinun olisi pitänyt hallita materiaali hyvin.

Tietenkin täällä on paljon tietoa, vaihtelevaa ja joskus jopa hämmentävää: ei ole niin vaikeaa sekoittaa kuvatun puolisuunnikkaan ominaisuuksia piirretyn ominaisuuksiin. Mutta olet itsekin nähnyt, että ero on valtava.

Nyt sinulla on yksityiskohtainen hahmotelma kaikista puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja ominaisuudet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Trapetsi on tasainen neljä neliö, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. Niitä kutsutaan emäksiksi trapetsoidit, ja kaksi muuta sivua ovat sivusivut trapetsoidit.

Ohjeet

Satunnaisen kulman löytämisen ongelma trapetsoidit vaatii riittävän määrän lisätietoa. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa tunnetaan kaksi kantakulmaa trapetsoidit. Olkoon kulmat &ang-BAD ja &ang-CDA tiedossa, löydetkäämme kulmat &ang-ABC ja &ang-BCD. Trapetsilla on ominaisuus, että kulmien summa kummallakin sivulla on 180°. Sitten &ang-ABC = 180°--&ang-BAD ja &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.

trapezoid" class="lightbx" data-lightbox="article-image">

Toinen ongelma voi viitata osapuolten tasa-arvoon trapetsoidit ja joitain lisäkulmia. Esimerkiksi, kuten kuvassa, voidaan tietää, että sivut AB, BC ja CD ovat yhtä suuret ja diagonaali muodostaa kulman &ang-CAD = α-. Tarkastellaan kolmea neliö ABC, se on tasakylkinen, koska AB = BC. Sitten &ang-BAC = &ang-BCA. Merkitään se x:llä lyhyyden vuoksi ja &ang-ABC - y. Minkä tahansa kolmen kulmien summa neliö a on 180°-, tästä seuraa, että 2x + y = 180°-, sitten y = 180°- - 2x. Samaan aikaan kiinteistöistä trapetsoidit: y + x + α- = 180°- ja siksi 180°- - 2x + x + α- = 180°-. Siten x = α-. Löysimme kaksi kulmaa trapetsoidit: &ang-BAC = 2x = 2α- ja &ang-ABC = y = 180°- - 2α- Koska AB = CD ehdon mukaan, puolisuunnikkaan on tasakylkinen tai tasakylkinen. tarkoittaa,