Yksi opiskelijoiden vaikeimmista aiheista on moduulimerkin alla muuttujan sisältävien yhtälöiden ratkaiseminen. Katsotaanpa aluksi, mihin se liittyy? Miksi esimerkiksi toisen asteen yhtälöt useimmat lapset napsauttavat kuin pähkinät, mutta niin kaukana monimutkaisimmista käsitteistä kuin moduulilla on niin paljon ongelmia?

Mielestäni kaikki nämä vaikeudet liittyvät selkeästi muotoiltujen sääntöjen puuttumiseen yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Joten, kun hän ratkaisee toisen asteen yhtälön, opiskelija tietää varmasti, että hänen on ensin sovellettava erottelukaavaa ja sitten kaavat toisen asteen yhtälön juurille. Mutta entä jos yhtälössä kohdataan moduuli? Yritämme kuvata selkeästi tarvittavan toimintasuunnitelman siinä tapauksessa, että yhtälö sisältää tuntemattoman moduulimerkin alla. Annamme useita esimerkkejä jokaisesta tapauksesta.

Mutta ensin muistetaan moduulin määritelmä. Eli luvun moduuli a itse numeroa kutsutaan jos a ei-negatiivinen ja -a jos numero a alle nolla. Voit kirjoittaa sen näin:

|a| = a jos a ≥ 0 ja |a| = -a jos a< 0

Moduulin geometrisestä merkityksestä puhuttaessa on muistettava, että jokainen reaaliluku vastaa tiettyä pistettä numeroakselilla - sen koordinoida. Joten moduuli tai luvun itseisarvo on etäisyys tästä pisteestä numeerisen akselin alkupisteeseen. Etäisyys annetaan aina positiivisena lukuna. Siten minkä tahansa negatiivisen luvun moduuli on positiivinen luku. Muuten, jopa tässä vaiheessa monet opiskelijat alkavat hämmentyä. Moduulissa voi olla mikä tahansa luku, mutta moduulin soveltamisen tulos on aina positiivinen luku.

Siirrytään nyt yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Tarkastellaan yhtälöä muotoa |x| = c, missä c on reaaliluku. Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä moduulin määritelmää.

Jaamme kaikki reaaliluvut kolmeen ryhmään: nollaa suuremmat, nollaa pienemmät ja kolmas ryhmä on luku 0. Kirjoitamme ratkaisun kaavion muotoon:

(±c jos c > 0

Jos |x| = c, sitten x = (0 jos c = 0

(ei juuria, jos kanssa< 0

1) |x| = 5, koska 5 > 0, niin x = ±5;

2) |x| = -5, koska -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sitten x = 0.

2. Yhtälö muotoa |f(x)| = b, missä b > 0. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen päästä eroon moduulista. Teemme sen näin: f(x) = b tai f(x) = -b. Nyt on tarpeen ratkaista jokainen saatu yhtälö erikseen. Jos alkuperäisessä yhtälössä b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, koska 4 > 0 siis

x + 2 = 4 tai x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, koska 11 > 0 siis

x 2 - 5 = 11 tai x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ei juuria

3) |x 2 – 5x| = -8, koska -kahdeksan< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Yhtälö muotoa |f(x)| = g(x). Moduulin merkityksen mukaan tällaisella yhtälöllä on ratkaisuja, jos sen oikea puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. g(x) ≥ 0. Sitten meillä on:

f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Tällä yhtälöllä on juuret, jos 5x - 10 ≥ 0. Tästä tällaisten yhtälöiden ratkaisu alkaa.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Ratkaisu:

2x - 1 = 5x - 10 tai 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Yhdistä O.D.Z. ja ratkaisu, saamme:

Juuri x \u003d 11/7 ei sovi O.D.Z.:n mukaan, se on pienempi kuin 2 ja x \u003d 3 täyttää tämän ehdon.

Vastaus: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Ratkaistaan ​​tämä epäyhtälö intervallimenetelmällä:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Ratkaisu:

x - 1 \u003d 1 - x 2 tai x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 tai x = 1 x = 0 tai x = 1

3. Yhdistä liuos ja O.D.Z.:

Vain juuret x = 1 ja x = 0 ovat sopivia.

Vastaus: x = 0, x = 1.

4. Yhtälö muotoa |f(x)| = |g(x)|. Tällainen yhtälö vastaa kahta seuraavaa yhtälöä f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Tämä yhtälö vastaa kahta seuraavaa:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 tai x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 tai x = 4 x = 2 tai x = 1

Vastaus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Korvausmenetelmällä ratkaistu yhtälöt (muuttujan muutos). Tämä ratkaisutapa on helpoin selittää tietyllä esimerkillä. Joten, olkoon neliöyhtälö, jolla on moduuli:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = |x| 2, joten yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Tehdään muutos |x| = t ≥ 0, niin meillä on:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme, että t \u003d 1 tai t \u003d 5. Palataan korvaukseen:

|x| = 1 tai |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Vastaus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Katsotaanpa toista esimerkkiä:

x 2 + |x| – 2 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = |x| 2, niin

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Tehdään muutos |x| = t ≥ 0, sitten:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme t \u003d -2 tai t \u003d 1. Palataan korvaukseen:

|x| = -2 tai |x| = 1

Ei juuria x = ± 1

Vastaus: x = -1, x = 1.

6. Toinen yhtälötyyppi on yhtälöt, joilla on "monimutkainen" moduuli. Tällaiset yhtälöt sisältävät yhtälöt, joissa on "moduulit moduulissa". Tämän tyyppiset yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä moduulin ominaisuuksia.

1) |3 – |x|| = 4. Toimimme samalla tavalla kuin toisen tyypin yhtälöissä. Koska 4 > 0, niin saadaan kaksi yhtälöä:

3 – |x| = 4 tai 3 – |x| = -4.

Esitetään nyt kunkin yhtälön moduuli x, sitten |x| = -1 tai |x| = 7.

Ratkaisemme jokaisen tuloksena olevan yhtälön. Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, koska -yksi< 0, а во втором x = ±7.

Vastaus x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ratkaisemme tämän yhtälön samalla tavalla:

3 + |x + 1| = 5 tai 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 tai x + 1 = -2. Ei ole juuria.

Vastaus: x = -3, x = 1.

On olemassa myös yleinen menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Tämä on välitysmenetelmä. Mutta harkitsemme sitä edelleen.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Moduuli on yksi niistä asioista, joista kaikki näyttävät kuulleet, mutta todellisuudessa kukaan ei todellakaan ymmärrä. Siksi tänään on suuri oppitunti, joka on omistettu yhtälöiden ratkaisemiseen moduulien avulla.

Kerron sinulle heti: oppitunti on yksinkertainen. Yleensä moduulit ovat yleensä suhteellisen yksinkertainen aihe. "Kyllä, tietysti, se on helppoa! Se saa aivoni räjähtämään!" - monet opiskelijat sanovat, mutta kaikki nämä aivokatkot johtuvat siitä, että useimpien ihmisten päässä ei ole tietoa, vaan jonkinlaista paskaa. Ja tämän oppitunnin tarkoituksena on muuttaa paska tiedoksi. :)

Vähän teoriaa

Mennään siis. Aloitetaan tärkeimmästä: mikä on moduuli? Haluan muistuttaa, että luvun moduuli on yksinkertaisesti sama luku, mutta otettu ilman miinusmerkkiä. Se on esimerkiksi $\left| -5 \oikea|=5$. Tai $\left| -129,5\oikea|=129,5$.

Onko se niin yksinkertaista? Kyllä, yksinkertainen. Mikä sitten on positiivisen luvun moduuli? Tässä se on vielä yksinkertaisempaa: positiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin tämä luku itse: $\left| 5\oikea|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 $ jne.

Osoittautuu omituinen asia: eri numeroilla voi olla sama moduuli. Esimerkiksi: $\left| -5 \oikea|=\vasen| 5\oikea|=5$; $\left| -129,5 \oikea|=\vasen| 129,5 \right|=129,5 $. On helppo nähdä, millaisia ​​nämä luvut ovat, joissa moduulit ovat samat: nämä luvut ovat vastakkaisia. Näin ollen huomaamme itse, että vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret:

\[\left| -a \oikea|=\vasen| a\right|\]

Toinen tärkeä fakta: moduuli ei ole koskaan negatiivinen. Minkä tahansa luvun otamme - jopa positiivisen, jopa negatiivisen - sen moduuli osoittautuu aina positiiviseksi (tai ääritapauksissa nollaksi). Tästä syystä moduulia kutsutaan usein luvun itseisarvoksi.

Lisäksi, jos yhdistämme moduulin määritelmän positiiviselle ja negatiiviselle luvulle, niin saadaan globaali moduulimääritelmä kaikille luvuille. Nimittäin: luvun moduuli on yhtä suuri kuin tämä luku itse, jos luku on positiivinen (tai nolla), tai yhtä suuri kuin vastakkainen luku, jos luku on negatiivinen. Voit kirjoittaa tämän kaavana:

On myös nollamoduuli, mutta se on aina yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi nolla on ainoa luku, jolla ei ole vastakohtaa.

Jos siis tarkastellaan funktiota $y=\left| x \right|$ ja yritä piirtää sen kaavio, saat tällaisen "daw":n:

Moduulikuvaaja ja yhtälön ratkaisuesimerkki

Tästä kuvasta näet heti, että $\left| -m \oikea|=\vasen| m \right|$, ja moduulikaavio ei koskaan putoa x-akselin alapuolelle. Mutta siinä ei vielä kaikki: punainen viiva merkitsee suoraa $y=a$, joka positiivisella $a$:lla antaa meille kaksi juuria kerralla: $((x)_(1))$ ja $((x) _(2)) $, mutta puhumme siitä myöhemmin. :)

Puhtaasti algebrallisen määritelmän lisäksi on olemassa geometrinen määritelmä. Oletetaan, että lukurivillä on kaksi pistettä: $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Tässä tapauksessa lauseke $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ on vain määritettyjen pisteiden välinen etäisyys. Tai, jos haluat, nämä pisteet yhdistävän segmentin pituus:

Modulus on numeroviivan pisteiden välinen etäisyys

Tästä määritelmästä seuraa myös, että moduuli on aina ei-negatiivinen. Mutta tarpeeksi määritelmiä ja teoriaa - siirrytään todellisiin yhtälöihin. :)

Peruskaava

Okei, olemme selvittäneet määritelmän. Mutta helpommaksi ei tullut. Kuinka ratkaista yhtälöt, jotka sisältävät juuri tämän moduulin?

Rauhallinen, vain rauhallinen. Aloitetaan yksinkertaisimmista asioista. Harkitse jotain tällaista:

\[\left| x\oikea|=3\]

Joten modulo$x$ on 3. Mitä $x$ voi olla yhtä suuri? No, määritelmän perusteella $x=3$ sopii meille hyvin. Todella:

\[\left| 3\oikea|=3\]

Onko muita numeroita? Korkki näyttää vihjaavan, että on olemassa. Esimerkiksi $x=-3$ — $\left| -3 \oikea|=3$, ts. vaadittu tasa-arvo täyttyy.

Joten ehkä jos etsimme, ajattelemme, löydämme lisää numeroita? Mutta lopeta: numeroita ei ole enää. Yhtälö $\left| x \right|=3$ on vain kaksi juuria: $x=3$ ja $x=-3$.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Olkoon muuttujan $x$ sijasta funktio $f\left(x \right)$ moduulimerkin alla ja oikealle laitetaan kolmion sijaan mielivaltainen luku $a$. Saamme yhtälön:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

No, miten päätät? Haluan muistuttaa: $f\left(x \right)$ on mielivaltainen funktio, $a$ on mikä tahansa luku. Nuo. yhtään mitään! Esimerkiksi:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \oikea|=-65\]

Katsotaanpa toista yhtälöä. Voit heti sanoa hänestä: hänellä ei ole juuria. Miksi? Se on oikein: koska se edellyttää, että moduuli on yhtä suuri kuin negatiivinen luku, mitä ei koskaan tapahdu, koska tiedämme jo, että moduuli on aina positiivinen luku tai äärimmäisissä tapauksissa nolla.

Mutta ensimmäisellä yhtälöllä kaikki on hauskempaa. Vaihtoehtoja on kaksi: joko moduulimerkin alla on positiivinen lauseke ja sitten $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, tai tämä lauseke on edelleen negatiivinen, jolloin $\left| 2x+1 \oikea|=-\vasen(2x+1 \oikea)=-2x-1$. Ensimmäisessä tapauksessa yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Ja yhtäkkiä käy ilmi, että alimoduulilauseke $2x+1$ on todellakin positiivinen - se on yhtä suuri kuin luku 5. Eli voimme turvallisesti ratkaista tämän yhtälön - tuloksena oleva juuri on osa vastausta:

Erityisen epäuskoiset voivat yrittää korvata löydetyn juuren alkuperäiseen yhtälöön ja varmistaa, että moduulin alla on todella positiivinen luku.

Tarkastellaan nyt negatiivisen alimoduulilausekkeen tapausta:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Nuoli oikealle 2x+1=-5\]

Oho! Jälleen kaikki on selvää: oletimme, että $2x+1 \lt 0$, ja tuloksena saimme, että $2x+1=-5$ - todellakin tämä lauseke on pienempi kuin nolla. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön tietäen jo varmaksi, että löydetty juuri sopii meille:

Yhteensä saimme jälleen kaksi vastausta: $x=2$ ja $x=3$. Kyllä, laskelmien määrä osoittautui hieman enemmän kuin hyvin yksinkertaisessa yhtälössä $\left| x \right|=3$, mutta pohjimmiltaan mikään ei ole muuttunut. Joten ehkä on olemassa jokin universaali algoritmi?

Kyllä, tällainen algoritmi on olemassa. Ja nyt analysoimme sen.

Moduulimerkin eroon pääseminen

Olkoon meille yhtälö $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ja $a\ge 0$ (muuten, kuten jo tiedämme, juuria ei ole). Sitten voit päästä eroon modulo-merkistä seuraavan säännön mukaisesti:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Siten yhtälömme moduulin kanssa jakautuu kahteen osaan, mutta ilman moduulia. Siinä koko tekniikka! Yritetään ratkaista pari yhtälöä. Aloitetaan tästä

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Harkitsemme erikseen, milloin kymmenen on plussalla oikealla, ja erikseen, milloin se on miinuksella. Meillä on:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Meillä on kaksi juuria: $x=1.2$ ja $x=-2.8$. Koko ratkaisu kesti kirjaimellisesti kaksi riviä.

Ok, ei epäilystäkään, katsotaanpa jotain hieman vakavampaa:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Avaa moduuli jälleen plus- ja miinusmerkillä:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(tasaa)\]

Jälleen pari riviä - ja vastaus on valmis! Kuten sanoin, moduuleissa ei ole mitään monimutkaista. Sinun tarvitsee vain muistaa muutama sääntö. Siksi menemme pidemmälle ja jatkamme todella vaikeampien tehtävien parissa.

Muuttuva oikeanpuoleinen kotelo

Mieti nyt tätä yhtälöä:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Tämä yhtälö on pohjimmiltaan erilainen kuin kaikki edelliset. Miten? Ja se, että lauseke $2x$ on yhtäläisyysmerkin oikealla puolella - emmekä voi tietää etukäteen onko se positiivinen vai negatiivinen.

Kuinka olla siinä tapauksessa? Ensinnäkin meidän on ymmärrettävä se kerta kaikkiaan jos yhtälön oikea puoli on negatiivinen, yhtälöllä ei ole juuria- Tiedämme jo, että moduuli ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

Ja toiseksi, jos oikea osa on edelleen positiivinen (tai yhtä suuri kuin nolla), voit edetä täsmälleen samalla tavalla kuin ennen: avaa vain moduuli erikseen plusmerkillä ja erikseen miinusmerkillä.

Näin ollen muotoilemme säännön mielivaltaisille funktioille $f\left(x \right)$ ja $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Mitä tulee yhtälöihimme, saamme:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

No, voimme käsitellä $2x\ge 0$ -vaatimuksen jotenkin. Lopulta voimme typerästi korvata ensimmäisestä yhtälöstä saamamme juuret ja tarkistaa, päteekö epäyhtälö vai ei.

Ratkaistaan ​​siis itse yhtälö:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(tasaa)\]

No, mikä näistä kahdesta juurista täyttää vaatimuksen $2x\ge 0$? Kyllä, molemmat! Siksi vastaus on kaksi numeroa: $x=(4)/(3)\;$ ja $x=0$. Siinä se ratkaisu. :)

Epäilen, että yksi opiskelijoista on jo alkanut kyllästyä? No, harkitse vielä monimutkaisempaa yhtälöä:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \oikea|=x-((x)^(3))\]

Vaikka se näyttää pahalta, se on itse asiassa sama yhtälö muodossa "moduuli on yhtä suuri funktio":

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Ja se ratkaistaan ​​samalla tavalla:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \oikea|=x-((x)^(3))\Oikeanuoli \vasen\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \vasen(x-((x)^(3)) \oikea), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Käsittelemme eriarvoisuutta myöhemmin - se on jotenkin liian julmaa (itse asiassa yksinkertaista, mutta emme ratkaise sitä). Katsotaanpa nyt saatuja yhtälöitä. Harkitse ensimmäistä tapausta - tämä on, kun moduulia laajennetaan plusmerkillä:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

No, tässä on turhaa, että sinun täytyy kerätä kaikki vasemmalta, tuoda samanlaiset ja katsoa mitä tapahtuu. Ja näin tapahtuu:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(tasaa)\]

Laittamalla yhteinen tekijä $((x)^(2))$ pois suluista, saamme hyvin yksinkertaisen yhtälön:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(tasaa) \oikea.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Tässä käytimme tuotteen tärkeää ominaisuutta, jonka vuoksi laskettiin alkuperäinen polynomi: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla.

Nyt käsittelemme samalla tavalla toista yhtälöä, joka saadaan laajentamalla moduulia miinusmerkillä:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \oikea); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(tasaa)\]

Jälleen sama asia: tuote on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla. Meillä on:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(tasaa) \right.\]

No, meillä on kolme juuria: $x=0$, $x=1.5$ ja $x=(2)/(3)\;$. No, mitä tulee lopulliseen vastaukseen tästä sarjasta? Tätä varten muista, että meillä on ylimääräinen epätasa-arvorajoitus:

Miten tämä vaatimus otetaan huomioon? Korvataan löydetyt juuret ja tarkistetaan, päteekö epäyhtälö näihin $x$-arvoihin vai ei. Meillä on:

\[\begin(align)& x=0\Oikeanuoli x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\nuoli oikealle x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(tasaa)\]

Siksi juuri $x=1.5$ ei sovi meille. Ja vain kaksi juuria menee vastaukseksi:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kuten näette, tässäkään tapauksessa ei ollut mitään vaikeaa - moduulien yhtälöt ratkaistaan ​​aina algoritmin mukaan. Sinun tarvitsee vain ymmärtää polynomit ja epäyhtälöt hyvin. Siksi siirrymme monimutkaisempiin tehtäviin - moduulia ei ole jo yksi, vaan kaksi.

Yhtälöt kahdella moduulilla

Toistaiseksi olemme tutkineet vain yksinkertaisimpia yhtälöitä - siellä oli yksi moduuli ja jotain muuta. Lähetimme tämän "jotain muuta" epäyhtälön toiseen osaan, pois moduulista, jotta lopulta kaikki pelkistyisi yhtälöön kuten $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ tai jopa yksinkertaisempi $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Mutta päiväkoti on ohi - on aika harkita jotain vakavampaa. Aloitetaan kaltaisilla yhtälöillä:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Tämä on yhtälö muotoa "moduuli on yhtä suuri kuin moduuli". Pohjimmiltaan tärkeä kohta on muiden termien ja tekijöiden puuttuminen: vain yksi moduuli vasemmalla, yksi moduuli oikealla - eikä mitään muuta.

Nyt luulisi, että tällaiset yhtälöt ovat vaikeampia ratkaista kuin mitä olemme tähän mennessä tutkineet. Mutta ei: nämä yhtälöt ratkaistaan ​​vieläkin helpommin. Tässä on kaava:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Kaikki! Yhdistämme alimoduulilausekkeet yksinkertaisesti merkitsemällä yhden niistä plus- tai miinusmerkillä. Ja sitten ratkaisemme tuloksena olevat kaksi yhtälöä - ja juuret ovat valmiita! Ei ylimääräisiä rajoituksia, ei eriarvoisuutta jne. Kaikki on hyvin yksinkertaista.

Yritetään ratkaista tämä ongelma:

\[\left| 2x+3 \oikea|=\vasen| 2x-7 \oikea|\]

Alkeis Watson! Moduulien avaaminen:

\[\left| 2x+3 \oikea|=\vasen| 2x-7 \oikea|\Nuoli oikealle 2x+3=\pm \vasen(2x-7 \oikea)\]

Tarkastellaan jokaista tapausta erikseen:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\vasen(2x-7 \oikea)\Nuoli oikealle 2x+3=-2x+7. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole juuria. Koska milloin on $3=-7$? Millä arvoilla $x$? "Mikä vittu on $x$? Oletko kivitetty? $x$ ei ole ollenkaan”, sanot. Ja olet oikeassa. Olemme saaneet yhtälön, joka ei riipu muuttujasta $x$, ja samalla itse yhtälö on virheellinen. Siksi ei ole juuria.

Toisella yhtälöllä kaikki on hieman mielenkiintoisempaa, mutta myös hyvin, hyvin yksinkertaista:

Kuten näette, kaikki päätettiin kirjaimellisesti parilla rivillä - emme odottaneet mitään muuta lineaarisesta yhtälöstä. :)

Tämän seurauksena lopullinen vastaus on: $x=1$.

No miten? Vaikea? Ei tietenkään. Kokeillaan jotain muuta:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|\]

Jälleen meillä on yhtälö kuten $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Siksi kirjoitamme sen välittömästi uudelleen paljastaen moduulin merkin:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Ehkä joku kysyy nyt: "Hei, mitä hölynpölyä? Miksi plus-miinus on oikealla puolella eikä vasemmalla? Rauhoitu, minä selitän kaiken. Todellakin, hyvällä tavalla meidän olisi pitänyt kirjoittaa yhtälömme uudelleen seuraavasti:

Sitten sinun on avattava sulut, siirrettävä kaikki termit yhteen suuntaan yhtäläisyysmerkistä (koska yhtälö on luonnollisesti molemmissa tapauksissa neliö) ja etsi sitten juuret. Mutta sinun on myönnettävä: kun "plus-miinus" on kolmen termin edessä (varsinkin kun yksi näistä termeistä on neliölauseke), se näyttää jotenkin monimutkaisemmalta kuin tilanne, jossa "plus-miinus" on vain kahden edessä. ehdot.

Mutta mikään ei estä meitä kirjoittamasta alkuperäistä yhtälöä uudelleen seuraavasti:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|\Oikeanuoli \vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|=\vasen| x-1 \oikea|\]

Mitä tapahtui? Kyllä, ei mitään erikoista: vain vaihdettu vasen ja oikea puoli. Pikku asia, joka lopulta yksinkertaistaa elämäämme hieman. :)

Yleensä ratkaisemme tämän yhtälön harkiten vaihtoehtoja plus- ja miinusmerkillä:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\nuoli oikealle ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vasen(x-1 \oikea)\nuoli oikealle ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret $x=3$ ja $x=1$. Toinen on yleensä tarkka neliö:

\[((x)^(2))-2x+1=((\vasen(x-1 \oikea))^(2))\]

Siksi sillä on yksi juuri: $x=1$. Mutta olemme saaneet tämän juuren jo aiemmin. Siten vain kaksi numeroa menee lopulliseen vastaukseen:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Tehtävä suoritettu! Voit ottaa sen hyllystä ja syödä piirakan. Niitä on 2, sinun keskiarvosi. :)

Tärkeä muistiinpano. Saman juuren olemassaolo moduulin laajennuksen eri versioille tarkoittaa, että alkuperäiset polynomit hajoavat tekijöiksi, ja näiden tekijöiden joukossa on välttämättä yhteinen. Todella:

\[\begin(align)& \left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|; \\&\left| x-1 \oikea|=\vasen| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(tasaa)\]

Yksi moduulin ominaisuuksista: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (eli tulon moduuli on yhtä suuri kuin moduulin tulo), joten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|\]

Kuten näette, meillä on todella yhteinen tekijä. Nyt, jos keräät kaikki moduulit yhdeltä puolelta, voit ottaa tämän kertoimen pois kiinnikkeestä:

\[\begin(align)& \left| x-1 \oikea|=\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|; \\&\left| x-1 \oikea|-\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|=0; \\&\left| x-1 \oikea|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(tasaa)\]

No, nyt muistetaan, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \oikea|=1. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Siten alkuperäinen kahdella moduulilla varustettu yhtälö on pelkistetty kahdeksi yksinkertaisimmaksi yhtälöksi, joista puhuimme aivan oppitunnin alussa. Sellaiset yhtälöt voidaan ratkaista vain parilla rivillä. :)

Tämä huomautus saattaa tuntua tarpeettoman monimutkaiselta ja käytännössä soveltumattomalta. Todellisuudessa saatat kuitenkin kohdata paljon monimutkaisempia tehtäviä kuin ne, joita analysoimme tänään. Niissä moduuleja voidaan yhdistää polynomeihin, aritmeettisiin juuriin, logaritmiin jne. Ja tällaisissa tilanteissa kyky alentaa yhtälön kokonaisastetta laittamalla jotain pois suluista voi olla erittäin, erittäin kätevää. :)

Nyt haluaisin analysoida toista yhtälöä, joka saattaa ensi silmäyksellä tuntua hullulta. Monet opiskelijat "pitävät" siinä - jopa ne, jotka uskovat ymmärtävänsä moduulit hyvin.

Tämä yhtälö on kuitenkin vielä helpompi ratkaista kuin mitä aiemmin tarkastelimme. Ja jos ymmärrät miksi, saat toisen tempun yhtälöiden nopeaan ratkaisemiseen moduulien avulla.

Joten yhtälö on:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \oikea|=0\]

Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe: se on plussa moduulien välillä. Ja meidän on löydettävä, mille $x$:lle kahden moduulin summa on nolla. :)

Mikä on ongelma? Ja ongelma on, että jokainen moduuli on positiivinen luku tai äärimmäisissä tapauksissa nolla. Mitä tapahtuu, kun lisäät kaksi positiivista lukua? Ilmeisesti taas positiivinen luku:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(tasaa)\]

Viimeinen rivi voi antaa sinulle käsityksen: ainoa tapaus, jossa moduulien summa on nolla, on, jos jokainen moduuli on yhtä suuri kuin nolla:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \oikea|=0\Oikeanuoli \vasen\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Milloin moduuli on nolla? Vain yhdessä tapauksessa - kun alimoduulilauseke on yhtä suuri kuin nolla:

' x=-2 \\& x=1 \\\end(tasaa) \oikea.\]

Näin ollen meillä on kolme pistettä, joissa ensimmäinen moduuli asetetaan nollaan: 0, 1 ja −1; sekä kaksi pistettä, joissa toinen moduuli nollataan: −2 ja 1. Meidän on kuitenkin nollattava molemmat moduulit samanaikaisesti, joten löydetyistä numeroista on valittava ne, jotka sisältyvät molempiin joukkoihin. On selvää, että tällaisia ​​lukuja on vain yksi: $x=1$ - tämä on lopullinen vastaus.

jakomenetelmä

No, olemme jo käsitelleet joukon tehtäviä ja oppineet paljon temppuja. Luuletko että se on siinä? Mutta ei! Nyt tarkastelemme lopullista tekniikkaa - ja samalla tärkeintä. Puhumme yhtälöiden jakamisesta moduulilla. Mistä keskustellaan? Palataanpa hieman taaksepäin ja mietitään jotain yksinkertaista yhtälöä. Esimerkiksi tämä:

\[\left| 3x-5\oikea|=5-3x\]

Periaatteessa tiedämme jo kuinka ratkaista tällainen yhtälö, koska se on standardi $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mutta yritetään katsoa tätä yhtälöä hieman eri näkökulmasta. Tarkemmin sanottuna, harkitse lauseketta moduulimerkin alla. Haluan muistuttaa, että minkä tahansa luvun moduuli voi olla yhtä suuri kuin itse luku tai se voi olla tämän luvun vastainen:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Itse asiassa tämä epäselvyys on koko ongelma: koska moduulin alla oleva luku muuttuu (se riippuu muuttujasta), meille ei ole selvää, onko se positiivinen vai negatiivinen.

Mutta entä jos vaadimme aluksi, että tämä luku on positiivinen? Vaaditaan esimerkiksi, että $3x-5 \gt 0$ - tässä tapauksessa saamme taatusti positiivisen luvun moduulimerkin alle, ja voimme päästä tästä moduulista kokonaan eroon:

Siten yhtälöstämme tulee lineaarinen, joka on helppo ratkaista:

Totta, kaikki nämä näkökohdat ovat järkeviä vain ehdolla $3x-5 \gt 0$ - otimme itse käyttöön tämän vaatimuksen paljastaaksemme moduulin yksiselitteisesti. Korvataan siis löydetty $x=\frac(5)(3)$ tähän ehtoon ja tarkistetaan:

Osoittautuu, että määritetylle arvolle $x$ vaatimus ei täyty, koska lauseke osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, ja sen on oltava ehdottomasti suurempi kuin nolla. Surullista. :(

Mutta ei hätää! Onhan olemassa toinenkin vaihtoehto $3x-5 \lt 0$. Lisäksi: on myös tapaus $3x-5=0$ - tämäkin on otettava huomioon, muuten ratkaisu jää kesken. Harkitse siis tapausta $3x-5 \lt 0$:

On selvää, että moduuli avautuu miinusmerkillä. Mutta sitten syntyy outo tilanne: sama lauseke jää esiin sekä vasemmalla että oikealla alkuperäisessä yhtälössä:

Ihmettelen, minkä takia lauseke $5-3x$ on yhtä suuri kuin lauseke $5-3x$? Tällaisista yhtälöistä kapteenikin ilmiselvästi tukehtuisi sylkiin, mutta tiedämme, että tämä yhtälö on identiteetti, ts. se pätee mille tahansa muuttujan arvolle!

Ja tämä tarkoittaa, että mikä tahansa $x$ sopii meille. Meillä on kuitenkin rajoitus:

Toisin sanoen vastaus ei ole yksittäinen numero, vaan koko väli:

Lopuksi on vielä yksi tapaus harkittavaksi: $3x-5=0$. Täällä kaikki on yksinkertaista: moduulin alla on nolla, ja nollamoduuli on myös nolla (tämä seuraa suoraan määritelmästä):

Mutta sitten alkuperäinen yhtälö $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

Olemme jo saaneet tämän juuren yllä, kun tarkastelimme tapausta $3x-5 \gt 0$. Lisäksi tämä juuri on ratkaisu yhtälöön $3x-5=0$ - tämä on rajoitus, jonka otimme itse käyttöön moduulin mitätöimiseksi. :)

Siten välin lisäksi olemme tyytyväisiä myös tämän välin lopussa olevaan numeroon:

Yhtälöiden juurten yhdistäminen moduulin kanssa

Lopullinen vastaus yhteensä: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Ei ole kovin yleistä nähdä tällaista paskaa vastauksessa melko yksinkertaiseen (olennaisesti lineaariseen) yhtälöön, jossa on moduuli No, totu siihen: moduulin monimutkaisuus piilee siinä, että tällaisten yhtälöiden vastaukset voivat olla täysin arvaamattomia.

Paljon tärkeämpää on jokin muu: olemme juuri purkaneet universaalin algoritmin yhtälön ratkaisemiseksi moduulilla! Ja tämä algoritmi koostuu seuraavista vaiheista:

1. Yhdistä jokainen yhtälön moduuli nollaan. Otetaanpa joitain yhtälöitä;
2. Ratkaise kaikki nämä yhtälöt ja merkitse juuret numeroviivalle. Tämän seurauksena suora viiva jaetaan useisiin aikaväleihin, joista jokaisessa kaikki moduulit on laajennettu yksilöllisesti;
3. Ratkaise kunkin intervallin alkuperäinen yhtälö ja yhdistä vastaukset.

Siinä kaikki! Jäljelle jää vain yksi kysymys: mitä tehdä itse juurille, jotka on saatu ensimmäisessä vaiheessa? Oletetaan, että meillä on kaksi juuria: $x=1$ ja $x=5$. He jakavat numerolinjan kolmeen osaan:

Lukuviivan jakaminen intervalleiksi pisteiden avulla

Joten mitkä ovat välit? On selvää, että niitä on kolme:

1. Vasemmalla: $x \lt 1$ - itse yksikkö ei sisälly väliin;
2. Keski: $1\le x \lt 5$ - tässä yksi sisältyy väliin, mutta viisi ei sisälly;
3. Oikeanpuoleisin: $x\ge 5$ – viisi sisältyy vain tähän!

Luulen, että ymmärrät jo mallin. Jokainen intervalli sisältää vasemman pään, mutta ei sisällä oikeaa päätä.

Ensi silmäyksellä tällainen levy saattaa tuntua epämiellyttävältä, epäloogiselta ja yleensä jonkinasteiselta hullulta. Mutta usko minua: pienen harjoittelun jälkeen tulet huomaamaan, että tämä on luotettavin lähestymistapa ja samalla se ei häiritse moduulien yksiselitteistä paljastamista. On parempi käyttää tällaista järjestelmää kuin ajatella joka kerta: anna vasen / oikea pää nykyiselle välille tai "heittää" se seuraavaan.

Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti luvun itseisarvo. Annamme erilaisia ​​määritelmiä luvun moduulista, esittelemme notaatiota ja annamme graafisia kuvia. Tässä tapauksessa tarkastellaan erilaisia ​​esimerkkejä luvun moduulin löytämisestä määritelmän mukaan. Tämän jälkeen luetellaan ja perustellaan moduulin pääominaisuudet. Artikkelin lopussa puhumme siitä, kuinka kompleksiluvun moduuli määritetään ja löydetään.

Sivulla navigointi.

Lukumoduuli - määritelmä, merkintä ja esimerkit

Ensin esittelemme moduulin nimitys. Numeron a moduuli kirjoitetaan muodossa , eli luvun vasemmalle ja oikealle puolelle laitetaan pystysuorat viivat, jotka muodostavat moduulin merkin. Otetaanpa pari esimerkkiä. Esimerkiksi modulo -7 voidaan kirjoittaa muodossa ; moduuli 4,125 kirjoitetaan nimellä , ja moduuli kirjoitetaan muodossa .

Seuraava moduulin määritelmä viittaa ja siten kokonaislukuihin ja rationaalilukuihin ja irrationaalisiin lukuihin reaalilukujoukon osien osalta. Puhumme kompleksiluvun moduulista in.

Määritelmä.

Moduuli a on joko itse luku a, jos a on positiivinen luku, tai luku −a, luvun a vastakohta, jos a on negatiivinen luku, tai 0, jos a=0 .

Luvun moduulin soinnillinen määritelmä kirjoitetaan usein seuraavassa muodossa , tämä merkintä tarkoittaa, että jos a>0 , jos a=0 ja jos a<0 .

Ennätys voidaan esittää tiiviimmässä muodossa . Tämä merkintä tarkoittaa, että jos (a on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 ), ja jos a<0 .

Siellä on myös ennätys . Tässä tapaus, jossa a=0 tulisi selittää erikseen. Tässä tapauksessa meillä on , mutta −0=0 , koska nollaa pidetään itseään vastakkaisena lukuna.

Tuodaan esimerkkejä luvun moduulin löytämisestä tietyllä määritelmällä. Etsitään esimerkiksi moduulit numeroista 15 ja . Aloitetaan etsimisellä. Koska luku 15 on positiivinen, sen moduuli on määritelmän mukaan sama kuin tämä luku itse, eli . Mikä on luvun moduuli? Koska on negatiivinen luku, niin sen moduuli on yhtä suuri kuin luvun vastakkainen luku, eli luku . Tällä tavalla, .

Tämän kappaleen lopuksi annamme yhden johtopäätöksen, jota on erittäin kätevä soveltaa käytännössä luvun moduulia etsittäessä. Luvun moduulin määritelmästä seuraa, että luvun moduuli on yhtä suuri kuin moduulin etumerkin alla oleva luku sen etumerkistä riippumatta, ja edellä käsitellyistä esimerkeistä tämä näkyy hyvin selvästi. Äänillinen lausunto selittää, miksi luvun moduulia kutsutaan myös luvun itseisarvo. Joten luvun moduuli ja luvun itseisarvo ovat yksi ja sama.

Luvun moduuli etäisyydenä

Geometrisesti luvun moduuli voidaan tulkita seuraavasti etäisyys. Tuodaan luvun moduulin määrittäminen etäisyyden perusteella.

Määritelmä.

Moduuli a on etäisyys koordinaattiviivan origosta numeroa a vastaavaan pisteeseen.

Tämä määritelmä on yhdenmukainen ensimmäisessä kappaleessa annetun luvun moduulin määritelmän kanssa. Selitetään tämä kohta. Etäisyys origosta positiivista lukua vastaavaan pisteeseen on yhtä suuri kuin tämä luku. Nolla vastaa referenssipistettä, joten etäisyys referenssipisteestä pisteeseen, jonka koordinaatti on 0, on yhtä suuri kuin nolla (yksittäistä janaa tai segmenttiä, joka muodostaa yhden janan murto-osan, ei tarvita päästäkseen pisteestä O pisteeseen, jossa on koordinaatti 0). Etäisyys alkupisteestä pisteeseen, jolla on negatiivinen koordinaatti, on yhtä suuri kuin annetun pisteen koordinaatin vastakkainen luku, koska se on yhtä suuri kuin etäisyys origosta pisteeseen, jonka koordinaatti on vastakkainen luku.

Esimerkiksi luvun 9 moduuli on 9, koska etäisyys origosta pisteeseen, jonka koordinaatti on 9, on yhdeksän. Otetaan toinen esimerkki. Piste koordinaatilla −3.25 on 3.25 etäisyydellä pisteestä O, joten .

Luvun moduulin äänekäs määritelmä on erikoistapaus kahden luvun eron moduulin määrittämisessä.

Määritelmä.

Kahden luvun eromoduuli a ja b on yhtä suuri kuin koordinaattiviivan pisteiden välinen etäisyys koordinaattien a ja b välillä.

Eli jos annetaan pisteet koordinaattisuoralla A(a) ja B(b), niin etäisyys pisteestä A pisteeseen B on yhtä suuri kuin lukujen a ja b välisen erotuksen moduuli. Jos otamme pisteen O (vertailupiste) pisteeksi B, niin saamme tämän kappaleen alussa annetun luvun moduulin määritelmän.

Luvun moduulin määrittäminen aritmeettisen neliöjuuren kautta

Joskus löytyy moduulin määritys aritmeettisen neliöjuuren avulla.

Lasketaan esimerkiksi lukujen −30 moduulit ja tämän määritelmän perusteella. Meillä on . Samalla tavalla laskemme kahden kolmasosan moduulin: .

Luvun moduulin määritelmä aritmeettisen neliöjuuren muodossa on myös yhdenmukainen tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa annetun määritelmän kanssa. Näytä se. Olkoon a positiivinen luku ja olkoon −a negatiivinen. Sitten ja , jos a = 0 , niin .

Moduulin ominaisuudet

Moduulilla on useita tyypillisiä tuloksia - moduulin ominaisuudet. Nyt annamme niistä tärkeimmät ja yleisimmin käytetyt. Näitä ominaisuuksia perustellessa nojaudumme luvun moduulin määritelmään etäisyyden perusteella.

Aloitetaan ilmeisimmästä moduuliominaisuudesta − luvun moduuli ei voi olla negatiivinen luku. Kirjaimellisessa muodossa tällä ominaisuudella on muoto minkä tahansa luvun a . Tämä ominaisuus on erittäin helppo perustella: luvun moduuli on etäisyys, eikä etäisyyttä voida ilmaista negatiivisena lukuna.

Siirrytään moduulin seuraavaan ominaisuuteen. Luvun moduuli on nolla silloin ja vain, jos tämä luku on nolla. Nollan moduuli on määritelmän mukaan nolla. Nolla vastaa origoa, mikään muu piste koordinaattiviivalla ei vastaa nollaa, koska jokainen reaaliluku liittyy yhteen pisteeseen koordinaattiviivalla. Samasta syystä mikä tahansa muu luku kuin nolla vastaa muuta pistettä kuin origoa. Ja etäisyys origosta mihinkään muuhun pisteeseen kuin pisteeseen O ei ole nolla, koska kahden pisteen välinen etäisyys on nolla silloin ja vain, jos nämä pisteet osuvat yhteen. Yllä oleva päättely osoittaa, että vain nollan moduuli on yhtä suuri kuin nolla.

Jatka eteenpäin. Vastakkaisilla luvuilla on yhtä suuret moduulit, eli mille tahansa numerolle a . Todellakin, kaksi koordinaattiviivan pistettä, joiden koordinaatit ovat vastakkaisia ​​lukuja, ovat samalla etäisyydellä origosta, mikä tarkoittaa, että vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret.

Seuraava moduuliominaisuus on: kahden luvun tulon moduuli on yhtä suuri kuin näiden lukujen moduulien tulo, tuo on, . Määritelmän mukaan lukujen a ja b tulon moduuli on joko a b jos , tai −(a b) jos . Reaalilukujen kertolaskusäännöistä seuraa, että lukujen a ja b moduulien tulo on joko a b , tai −(a b) , jos , mikä todistaa tarkastelun ominaisuuden.

A:n jakamisen b:llä osamäärä on yhtä suuri kuin a:n moduulin jakaminen b:n moduulilla, tuo on, . Perustellaan tämä moduulin ominaisuus. Koska osamäärä on yhtä suuri kuin tulo, niin . Edellisen omaisuuden perusteella meillä on . Jää vain käyttää yhtälöä, joka on voimassa luvun moduulin määritelmän vuoksi.

Seuraava moduuliominaisuus kirjoitetaan epäyhtälönä: , a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja. Kirjoitettu eriarvoisuus ei ole muuta kuin kolmion epätasa-arvo. Tämän selventämiseksi otetaan koordinaattiviivan pisteet A(a) , B(b) , C(c) ja tarkastellaan degeneroitunutta kolmiota ABC, jonka kärjet ovat samalla suoralla. Määritelmän mukaan eron moduuli on yhtä suuri kuin janan AB pituus, - segmentin AC pituus ja - segmentin CB pituus. Koska kolmion minkään sivun pituus ei ylitä kahden muun sivun pituuksien summaa, epäyhtälö , siksi myös epätasa-arvo pätee.

Juuri todistettu epätasa-arvo on paljon yleisempää muodossa . Kirjoitettua epäyhtälöä pidetään yleensä moduulin erillisenä ominaisuutena formulaatiolla: " Kahden luvun summan moduuli ei ylitä näiden lukujen moduulien summaa". Mutta epäyhtälö seuraa suoraan epäyhtälöstä, jos siihen laitetaan −b b:n sijaan ja otetaan c=0 .

Kompleksiluvun moduuli

Annetaan kompleksiluvun moduulin määrittäminen. Olkoon meille annettu kompleksiluku, kirjoitettu algebralliseen muotoon , jossa x ja y ovat joitain reaalilukuja, jotka edustavat vastaavasti tietyn kompleksiluvun z reaali- ja imaginaariosaa ja ovat imaginaariyksikkö.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Luvun itseisarvo a on etäisyys origosta pisteeseen MUTTA(a).

Tämän määritelmän ymmärtämiseksi korvaamme muuttujan sijasta a mikä tahansa numero, esimerkiksi 3, ja yritä lukea se uudelleen:

Luvun itseisarvo 3 on etäisyys origosta pisteeseen MUTTA(3 ).

On selvää, että moduuli ei ole muuta kuin tavallinen etäisyys. Yritetään nähdä etäisyys origosta pisteeseen A( 3 )

Etäisyys koordinaattien origosta pisteeseen A( 3 ) on yhtä suuri kuin 3 (kolme yksikköä tai kolme askelta).

Luvun moduuli ilmaistaan ​​kahdella pystysuoralla viivalla, esimerkiksi:

Numeron 3 moduuli on merkitty seuraavasti: |3|

Numeron 4 moduuli on merkitty seuraavasti: |4|

Numeron 5 moduuli on merkitty seuraavasti: |5|

Etsimme luvun 3 moduulia ja huomasimme, että se on yhtä suuri kuin 3. Joten kirjoitamme:

Lukee näin: "Kolmen moduuli on kolme"

Yritetään nyt löytää luvun -3 moduuli. Taas palaamme määritelmään ja korvaamme sen luvun -3. Vain pisteen sijaan A käytä uutta pistettä B. Kohta A olemme jo käyttäneet ensimmäisessä esimerkissä.

Luvun moduuli on 3 kutsua etäisyyttä lähtöpisteestä pisteeseen B(—3 ).

Etäisyys pisteestä toiseen ei voi olla negatiivinen. Siksi minkä tahansa negatiivisen luvun moduuli, joka on etäisyys, ei myöskään ole negatiivinen. Numeron -3 moduuli on numero 3. Etäisyys origosta pisteeseen B(-3) on myös kolme yksikköä:

Lukee näin: "Luvun moduuli miinus kolme on kolme"

Luvun 0 moduuli on 0, koska piste, jonka koordinaatti on 0, osuu origoon, ts. etäisyys lähtöpisteestä pisteeseen O(0) on yhtä kuin nolla:

"Nollan moduuli on nolla"

Teemme johtopäätökset:

• Luvun moduuli ei voi olla negatiivinen;
• Positiiviselle luvulle ja nollalle moduuli on yhtä suuri kuin itse luku ja negatiiviselle vastakkaiselle luvulle;
• Vastakkaisilla luvuilla on yhtä suuret moduulit.

Vastakkaiset numerot

Numeroita, jotka eroavat vain merkeissä, kutsutaan vastapäätä. Esimerkiksi luvut −2 ja 2 ovat vastakohtia. Ne eroavat toisistaan ​​vain merkeissä. Numerossa −2 on miinusmerkki ja 2:ssa plusmerkki, mutta emme näe sitä, koska plussaa, kuten aiemmin sanoimme, ei perinteisesti kirjoiteta.

Lisää esimerkkejä vastakkaisista luvuista:

Vastakkaisilla luvuilla on yhtä suuret moduulit. Etsitään esimerkiksi moduuleja −2:lle ja 2:lle

Kuvassa näkyy etäisyys origosta pisteisiin A(−2) ja B(2) yhtä suuri kuin kaksi askelta.

Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte-ryhmäämme ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista