Harmoninen oskillaattori(klassisessa mekaniikassa) - järjestelmä, joka tasapainoasennostaan ​​poistettuna kokee palautuvan voiman F, verrannollinen siirtymään x :

,

missä k- vakiokerroin.

Jos F- ainoa voima, joka vaikuttaa järjestelmään, järjestelmää kutsutaan yksinkertainen tai konservatiivinen harmoninen oskillaattori. Tällaisen järjestelmän vapaat värähtelyt edustavat jaksoittaista liikettä tasapainoasennon ympäri (harmoniset värähtelyt). Taajuus ja amplitudi ovat vakioita, eikä taajuus riipu amplitudista.

Mekaanisia esimerkkejä harmonisesta oskillaattorista ovat matemaattinen heiluri (pienillä poikkeutuskulmilla), vääntöheiluri ja akustiset järjestelmät. Harmonisen oskillaattorin ei-mekaanisista analogeista voidaan erottaa sähköinen harmoninen oskillaattori (katso LC-piiri).

Konservatiivisen harmonisen oskillaattorin vapaat värähtelyt

Yhtälö ja sen ratkaisut

Päästää x- aineellisen pisteen siirtyminen sen tasapainoasemaan nähden, ja F- vaikuttaa pisteeseen palauttaen minkä tahansa muotoisen voiman

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

missä k= vakio Sitten Newtonin toista lakia käyttäen voidaan kirjoittaa kiihtyvyys muodossa

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

merkitsee ω 0 2 = k/m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) ja vaihtamalla a koordinaatin toiseen derivaatan ajan suhteen x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), meillä on

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Tämä differentiaaliyhtälö kuvaa konservatiivisen harmonisen oskillaattorin käyttäytymistä. arvo ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) kutsutaan sykliseksi taajuudeksi. (Tämä viittaa ympyrätaajuuteen, mitattuna radiaaneina sekunnissa. Jotta se muunnetaan hertseinä ilmaistuksi taajuudelle, se on jaettava 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

Etsimme ratkaisua tähän yhtälöön muodossa

x (t) = A sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

Tässä A- amplitudi, ω - värähtelytaajuus, φ - alkuvaihe.

Korvaamme differentiaaliyhtälön ja saamme:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

Amplitudi pienenee. Tämä tarkoittaa, että sillä voi olla mikä tahansa arvo (mukaan lukien nolla - tämä tarkoittaa, että aineellinen piste on levossa tasapainoasennossa). Sini voidaan myös pienentää, koska tasa-arvon on oltava voimassa milloin tahansa t. Siten värähtelytaajuuden ehto säilyy:

− ω 2 + ω 0 2 = 0, (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0. (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

Yksinkertainen harmoninen liike on perusta joillekin tavoille analysoida monimutkaisempia liiketyyppejä. Yksi näistä menetelmistä perustuu Fourier-muunnokseen, jonka ydin on hajottaa monimutkaisempi liiketyyppi yksinkertaisten harmonisten liikkeiden sarjaksi.

Esimerkkejä oskillaattorista

Kaikilla järjestelmillä, joissa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä, on kaksi keskeistä ominaisuutta:

• kun järjestelmä on poissa tasapainosta, täytyy olla palautusvoima, joka pyrkii saattamaan järjestelmän takaisin tasapainoon;
• palautusvoiman on oltava täsmälleen tai suunnilleen verrannollinen siirtymään.

Alla on esimerkkejä.

Vaakasuuntainen jousikuormitusjärjestelmä

Tyypillinen esimerkki järjestelmästä, jossa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä, on idealisoitu massa-jousijärjestelmä, jossa massa kiinnitetään jouseen ja asetetaan vaakasuoralle pinnalle. Jos jousi ei ole puristettu eikä venytetty, kuormaan ei vaikuta muuttuvia voimia ja se on mekaanisessa tasapainotilassa. Kuitenkin, jos kuorma poistetaan tasapainoasennosta, jousi vääntyy ja sen sivulta vaikuttaa voima, joka pyrkii palauttamaan kuorman tasapainoasentoon. Kuorma-jousijärjestelmän tapauksessa tällainen voima on jousen elastinen voima, joka noudattaa Hooken lakia:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

missä k on hyvin erityinen merkitys - tämä on jousen jäykkyyskerroin.

Kerran siirrettyyn kuormaan kohdistuu palautusvoima, joka kiihdyttää sitä ja pyrkii palauttamaan sen alkupisteeseen eli tasapainoasentoon. Kun kuorma lähestyy tasapainoasentoa, palautusvoima pienenee ja pyrkii nollaan. Asennossa kuitenkin x = 0 kuormalla on tietty määrä liikettä (vauhtia), joka on saatu palautusvoiman vaikutuksesta. Siksi kuorma ohittaa tasapainoasennon ja alkaa muuttaa jousta uudelleen (mutta vastakkaiseen suuntaan). Palautusvoimalla on taipumus hidastaa sitä, kunnes nopeus on nolla; ja voima pyrkii jälleen palauttamaan kuorman tasapainoasentoonsa.

Jos energiahäviötä ei tapahdu, kuorma värähtelee edellä kuvatulla tavalla; tämä liike on säännöllistä.

Pystysuuntainen kuorma-jousijärjestelmä

Jos kuorma on ripustettu pystysuoraan jouseen, painovoima vaikuttaa kimmovoiman kanssa, eli kokonaisvoima on

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

Jos muutamme muuttujaa toimimaan ei-arvon kanssa x (\displaystyle x), ja arvo X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k), niin liikeyhtälö saa muodon, joka on identtinen vaakasuuntaisen geometrian tapauksessa, vain muuttujalle X (\displaystyle X).

Värähtelyjä tapahtuu samalla taajuudella ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Kuitenkin, jos vaakasuuntaisessa tapauksessa muotoutumattoman jousen tila vastasi tasapainoa, niin pystyversiossa tasapainossa oleva jousi venytetään. Taajuuden riippuvuudet vapaan pudotuksen kiihtyvyyden suuruudesta g (\displaystyle g) kun taas ei; g (\displaystyle g) vaikuttaa vain tasapainoasennon siirtymiseen m g / k (\displaystyle mg/k).

Jousen kuorman heilahtelujen taajuuden (tai jakson) mittauksia käytetään kappaleen massan määrityslaitteissa - niin sanotuissa massamittareissa, joita käytetään avaruusasemilla, kun vaaka ei voi toimia painottomuuden vuoksi.

Universaali pyöreä liike

Yksinkertaista harmonista liikettä voidaan joissain tapauksissa pitää yleisen ympyräliikkeen yksiulotteisena projektiona.

Jos esine liikkuu vakiokulmanopeudella ω sädeympyrää pitkin r, jonka keskipiste on tason origo x − y, silloin tällainen liike kutakin koordinaattiakselia pitkin on yksinkertaista harmonista amplitudin kanssa r ja ympyrätaajuus ω .

Paino kuin yksinkertainen heiluri

Pienten kulmien approksimaatiossa yksinkertaisen heilurin liike on lähellä yksinkertaista harmonista. Tällaisen heilurin värähtelyjakso, joka on kiinnitetty pituuteen ℓ , saadaan kaavalla

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

missä g- painovoiman kiihtyvyys. Tämä osoittaa, että värähtelyjakso ei riipu heilurin amplitudista ja massasta, vaan riippuu g, siksi samalla heilurin pituudella se heiluu Kuussa hitaammin, koska siellä painovoima on heikompi ja vapaan pudotuksen kiihtyvyyden arvo on pienempi.

Määritetty approksimaatio on oikea vain pienillä poikkeutuskulmilla, koska kulmakiihtyvyyden lauseke on verrannollinen koordinaatin siniin:

ℓ mg sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

missä minä- hitausmomentti ; tässä tapauksessa minä = mℓ 2. Pienet kulmat toteutuvat olosuhteissa, joissa värähtelyamplitudi on paljon pienempi kuin tangon pituus.

ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

mikä tekee kulmakiihtyvyydestä suoraan verrannollisen kulmaan θ, ja tämä täyttää yksinkertaisen harmonisen liikkeen määritelmän.

Vaimennetun harmonisen oskillaattorin vapaat värähtelyt

Yhtälö ja sen ratkaisut

Vaimennettua oskillaattoria harkittaessa lähtökohtana on konservatiivisen oskillaattorin malli, johon lisätään viskoosi kitkavoima. Viskoosin kitkan voima kohdistuu kuorman nopeutta vastaan ​​väliaineeseen nähden ja on suoraan verrannollinen tähän nopeuteen. Sitten kuormaan vaikuttava kokonaisvoima kirjoitetaan seuraavasti:

F = − k x − α v. (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Newtonin toista lakia käyttämällä saamme differentiaaliyhtälön, joka kuvaa vaimennettua oskillaattoria:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\piste (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

Tässä on merkintä: 2 γ = α / m (\näyttötyyli 2\gamma =\alpha /m). Kerroin γ (\displaystyle \gamma ) kutsutaan vaimennusvakioksi. Sillä on myös taajuuden ulottuvuus.

Ratkaisu jakautuu kolmeen tapaukseen.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

missä ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- vapaiden värähtelyjen taajuus.

x (t) = (A + B t) e − γ t . (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t))

missä β 1, 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Suunnitelma:

Johdanto

• 1 Vapaa värinä
  • 1.1 Konservatiivinen harmoninen oskillaattori
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 Yksinkertaisen harmonisen liikkeen dynamiikka
      • 1.1.1.2 Yksinkertaisen harmonisen liikkeen energia
      • 1.1.1.3 Esimerkkejä
        • 1.1.1.3.1 Jousipaino
        • 1.1.1.3.2 Universaali pyöreä liike
        • 1.1.1.3.3 Paino kuin yksinkertainen heiluri
  • 1.2 Vaimennettu harmoninen oskillaattori
• 2 Pakotettu tärinä
Kirjallisuus
Huomautuksia

Johdanto

Harmoninen oskillaattori(klassisessa mekaniikassa) on järjestelmä, joka tasapainoasennosta siirtyessään kokee siirtymään verrannollisen palautusvoiman (Hooken lain mukaan):

missä k on positiivinen vakio, joka kuvaa järjestelmän jäykkyyttä.

Jos on ainoa järjestelmään vaikuttava voima, niin järjestelmää kutsutaan yksinkertainen tai konservatiivinen harmoninen oskillaattori. Tällaisen järjestelmän vapaat värähtelyt edustavat jaksoittaista liikettä tasapainoasennon ympäri (harmoniset värähtelyt). Taajuus ja amplitudi ovat vakioita, eikä taajuus riipu amplitudista.

Jos on myös liikkeen nopeuteen (viskoosi kitka) verrannollinen kitkavoima (vaimennus), niin tällainen järjestelmä on ns. häipyminen tai dissipatiivinen oskillaattori. Jos kitka ei ole liian suuri, järjestelmä suorittaa melkein jaksollisen liikkeen - sinivärähtelyt vakiotaajuudella ja eksponentiaalisesti pienenevällä amplitudilla. Vaimennetun oskillaattorin vapaiden värähtelyjen taajuus osoittautuu jonkin verran pienemmäksi kuin vastaavan oskillaattorin ilman kitkaa.

Jos oskillaattori jätetään itselleen, sen sanotaan suorittavan vapaita värähtelyjä. Jos on olemassa ulkoinen voima (ajasta riippuen), niin sanomme, että oskillaattori kokee pakotettuja värähtelyjä.

Mekaanisia esimerkkejä harmonisesta oskillaattorista ovat matemaattinen heiluri (pienillä siirtymäkulmilla), jousen paino, vääntöheiluri ja akustiset järjestelmät. Muiden harmonisen oskillaattorin analogien joukossa on syytä korostaa sähköistä harmonista oskillaattoria (katso LC-piiri).

1. Vapaa tärinä

1.1. Konservatiivinen harmoninen oskillaattori

Otetaan konservatiivisen harmonisen oskillaattorin malliksi jouselle kiinnitetty massakuorma, jonka jäykkyys on .

Olkoon on kuorman siirtymä suhteessa tasapainoasentoon. Sitten Hooken lain mukaan palauttava voima vaikuttaa siihen:

Newtonin toista lakia käyttäen kirjoitamme

Merkitään ja korvataan kiihtyvyys koordinaatin toisella derivaatalla ajan suhteen, kirjoitamme:

Tämä differentiaaliyhtälö kuvaa konservatiivisen harmonisen oskillaattorin käyttäytymistä. Kerrointa ω 0 kutsutaan oskillaattorin sykliseksi taajuudeksi. (Tämä viittaa ympyrätaajuuteen, joka mitataan radiaaneina sekunnissa. Jos haluat muuntaa sen hertseinä ilmaistuksi taajuudelle, sinun on jaettava ympyrätaajuus 2π:lla)

Etsimme ratkaisua tähän yhtälöön muodossa:

Tässä - amplitudi, - värähtelytaajuus (ei välttämättä vielä yhtä suuri kuin luonnollinen taajuus), - alkuvaihe.

Korvataan differentiaaliyhtälöön.

Amplitudi pienenee. Tämä tarkoittaa, että sillä voi olla mikä tahansa arvo (mukaan lukien nolla - tämä tarkoittaa, että kuorma on levossa tasapainoasennossa). Sini voidaan myös pienentää, koska tasa-arvon on oltava voimassa milloin tahansa t. Ja ehto värähtelytaajuudelle pysyy:

Negatiivinen taajuus voidaan hylätä, koska mielivaltaisuus tämän merkin valinnassa peittyy mielivaltaisuudessa alkuvaiheen valinnassa.

pyöreä liike ja harmoninen liike

Yhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti:

,

missä amplitudi A ja alkuvaihe ovat mielivaltaisia ​​vakioita. Tämä tietue tyhjentää kaikki differentiaaliyhtälön ratkaisut, koska sen avulla voidaan täyttää kaikki alkuehdot (kuorman alkusijainti ja sen alkunopeus).

Yhteenvetona voidaan todeta, että konservatiivinen harmoninen oskillaattori voi suorittaa puhtaasti harmonisia värähtelyjä taajuudellaan, joka on yhtä suuri kuin sen oma taajuus, minkä tahansa suuruuden amplitudilla ja mielivaltaisella alkuvaiheella.

Kineettinen energia on kirjoitettu muodossa

.

ja potentiaalinen energia on

silloin kokonaisenergia on vakio

1.1.1. Yksinkertainen harmoninen liike

Yksinkertainen harmoninen liike on yksinkertainen liike harmoninen oskillaattori, jaksollinen liike, joka ei ole pakotettu eikä vaimennettu. Yksinkertaisessa harmonisessa liikkeessä olevaan kappaleeseen kohdistuu yksi muuttuva voima, joka on itseisarvoltaan suoraan verrannollinen siirtymään x, ja se on suunnattu vastakkaiseen suuntaan.

Tämä liike on jaksollista: keho värähtelee tasapainoasennon ympäri sinimuotoisen lain mukaan. Jokainen seuraava värähtely on sama kuin edellinen, ja värähtelyjen jakso, taajuus ja amplitudi pysyvät vakiona. Jos hyväksymme, että tasapainoasema on pisteessä, jonka koordinaatti on nolla, niin siirtymä x keho milloin tahansa annetaan kaavalla:

A on värähtelyjen amplitudi, f-taajuus, φ - alkuvaihe.

Liiketaajuuden määräävät järjestelmän ominaisominaisuudet (esimerkiksi liikkuvan kappaleen massa), kun taas amplitudin ja alkuvaiheen määräävät alkuolosuhteet - kehon siirtymä ja nopeus värähtelyjen hetkellä alkaa. Näistä ominaisuuksista ja olosuhteista riippuvat myös järjestelmän kineettiset ja potentiaaliset energiat.

Yksinkertainen harmoninen liike. Tässä animoidussa kuvassa hiukkasen koordinaatti on piirretty pystyakselia pitkin ( x kaavassa) ja aika piirretään vaaka-akselia pitkin ( t).

Yksinkertainen harmoninen liike voivat olla matemaattisia malleja erilaisista liikkeistä, kuten jousen värähtelystä. Muita tapauksia, joita voidaan karkeasti pitää yksinkertaisena harmonisena liikkeenä, ovat heilurin liike ja molekyylien värähtelyt.

Yksinkertainen harmoninen liike on perusta joillekin tavoille analysoida monimutkaisempia liiketyyppejä. Yksi näistä menetelmistä perustuu Fourier-muunnokseen, jonka ydin on hajottaa monimutkaisempi liiketyyppi yksinkertaisten harmonisten liikkeiden sarjaksi.

Yksinkertainen harmoninen liike näytetään samanaikaisesti todellisessa avaruudessa ja vaiheavaruudessa. Tässä nopeusakseli ja sijaintiakseli esitetään eri tavalla kuin tavallisesti koordinaattiakseleiden esitykset - tämä tehdään niin, että molemmat luvut vastaavat toisiaan. Todellinen tila - todellinen tila; Vaiheavaruus - vaiheavaruus; nopeus - nopeus; sijainti - sijainti (sijainti).

Tyypillinen esimerkki järjestelmästä, jossa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä, on idealisoitu massa-jousijärjestelmä, jossa massa on kiinnitetty jouseen. Jos jousta ei puristeta eikä venytetä, kuormaan ei vaikuta muuttuvia voimia ja kuorma on mekaanisessa tasapainotilassa. Jos kuorma kuitenkin poistetaan tasapainoasennosta, jousi vääntyy ja sen sivulta kuormaan vaikuttaa voima, joka pyrkii palauttamaan kuorman tasapainoasentoon. Kuorma-jousijärjestelmän tapauksessa tällainen voima on jousen elastinen voima, joka noudattaa Hooken lakia:

F = − kx, F- palauttaa voimaa x- kuorman liike (jousimuodonmuutos), k- jousen jäykkyyskerroin.

Kaikilla järjestelmillä, joissa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä, on kaksi keskeistä ominaisuutta:

1. Kun järjestelmä on poissa tasapainosta, täytyy olla palautusvoima, joka pyrkii saattamaan järjestelmän takaisin tasapainoon.
2. Palautusvoiman tulee olla täsmälleen tai suunnilleen verrannollinen siirtymään.

Painojousijärjestelmä täyttää nämä molemmat ehdot.

Kerran siirrettyyn kuormaan kohdistuu palautusvoima, joka kiihdyttää sitä ja pyrkii palaamaan lähtöpisteeseen eli tasapainoasentoon. Kun kuorma lähestyy tasapainoasentoa, palautusvoima pienenee ja pyrkii nollaan. Asennossa kuitenkin x= 0 kuormalla on tietty määrä liikettä (vauhtia), joka saadaan palautusvoiman vaikutuksesta. Siksi kuorma ohittaa tasapainoasennon ja alkaa muuttaa jousta uudelleen (mutta vastakkaiseen suuntaan). Palautusvoimalla on taipumus hidastaa sitä, kunnes nopeus on nolla; ja voima pyrkii jälleen palauttamaan kuorman tasapainoasentoonsa.

Niin kauan kuin järjestelmässä ei ole energiahäviötä, kuorma värähtelee edellä kuvatulla tavalla; tällaista liikettä kutsutaan jaksolliseksi.

Lisäanalyysi osoittaa, että massa-jousijärjestelmän tapauksessa liike on yksinkertaista harmonista.

1.1.1.1. Yksinkertaisen harmonisen liikkeen dynamiikka

Värähtelylle yksiulotteisessa avaruudessa, kun otetaan huomioon Newtonin toinen laki ( F= m d² x/d t² ) ja Hooken laki ( F = −kx, kuten yllä on kuvattu), meillä on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö:

m on kehon massa x- sen siirtymä suhteessa tasapainoasentoon, k- vakio (jousen jäykkyystekijä).

Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on sinimuotoinen; yksi ratkaisu on tämä:

missä A, ω , ja φ ovat vakioita, ja tasapainoasema otetaan alkuasetukseksi. Jokainen näistä vakioista edustaa tärkeää liikkeen fyysistä ominaisuutta: A on amplitudi ω = 2π f on pyöreä taajuus ja φ - alkuvaihe.

Harmonisen oskillaattorin sijainti, nopeus ja kiihtyvyys

Differentiaalilaskennan menetelmiä käyttäen saadaan nopeus ja kiihtyvyys ajan funktiona kaavoilla:

Yksinkertaisen harmonisen liikkeen sijainti, nopeus ja kiihtyvyys vaihetasolla

Kiihtyvyys voidaan ilmaista myös siirtymän funktiona:

Koska ma = −mω² x = −kx , sitten

Olettaen että ω = 2π f, saamme

ja koska T = 1/f, missä T on värähtelyjakso, sitten

Nämä kaavat osoittavat, että jakso ja taajuus eivät riipu liikkeen amplitudista ja alkuvaiheesta.

1.1.1.2. Yksinkertaisen harmonisen liikkeen energia

Kineettinen energia K järjestelmät ajan funktiona t On:

ja potentiaalinen energia on

Järjestelmän mekaanisella kokonaisenergialla on kuitenkin vakioarvo

1.1.1.3. Esimerkkejä

Kuorma-jousijärjestelmä ilman vaimennusta, jossa tapahtuu yksinkertaista harmonista liikettä.

Yksinkertaista harmonista liikettä esitetään useissa yksinkertaisissa fysikaalisissa järjestelmissä ja alla on joitain esimerkkejä.

1.1.1.3.1. Paino jousella

Paino m kiinnitetty jatkuvan jäykkyyden jouseen k on esimerkki yksinkertaisesta harmonisesta liikkeestä avaruudessa. Kaava

osoittaa, että värähtelyjakso ei riipu amplitudista ja painovoimakiihtyvyydestä.

1.1.1.3.2. Universaali pyöreä liike

Yksinkertaista harmonista liikettä voidaan joissain tapauksissa pitää yleisen ympyräliikkeen yksiulotteisena projektiona. Jos esine liikkuu kulmanopeudella ω säteen kehän ympärillä r, jonka keskipiste on tason origo x-y, silloin tällainen liike kutakin koordinaattiakselia pitkin on yksinkertaista harmonista amplitudin kanssa r ja pyöreä taajuus ω .

1.1.1.3.3. Paino kuin yksinkertainen heiluri

Heilurin liikettä ilman vaimennusta voidaan suunnilleen pitää yksinkertaisena harmonisena liikkeenä, jos värähtelyn amplitudi on hyvin pieni sauvan pituuteen verrattuna.

Pienten kulmien approksimaatiossa yksinkertaisen heilurin liike on lähellä yksinkertaista harmonista. Tällaisen heilurin värähtelyjakso, joka on kiinnitetty pituuteen ℓ vapaalla pudotuskiihtyvyydellä g annetaan kaavalla

Tämä osoittaa, että värähtelyjakso ei riipu heilurin amplitudista ja massasta, vaan riippuu vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä g, siksi samalla heilurin pituudella se pyörii Kuussa hitaammin, koska siellä painovoima on heikompi ja vapaan pudotuksen kiihtyvyyden arvo on pienempi.

Määritetty approksimaatio on oikea vain pienissä kulmissa, koska kulmakiihtyvyyden lauseke on verrannollinen koordinaatin siniin:

minä- hitausmomentti; tässä tapauksessa minä = mℓ 2 .

mikä tekee kulmakiihtyvyydestä suoraan verrannollisen kulmaan θ , ja tämä täyttää yksinkertaisen harmonisen liikkeen määritelmän.

1.2. Vaimennettu harmoninen oskillaattori

Saman mallin perusteella lisäämme siihen viskoosin kitkan voiman. Viskoosin kitkan voima kohdistuu kuorman liikenopeuteen suhteessa väliaineeseen ja on verrannollinen tähän nopeuteen. Sitten kuormaan vaikuttava kokonaisvoima kirjoitetaan seuraavasti:

Suorittamalla samanlaisia ​​​​toimia saamme differentiaaliyhtälön, joka kuvaa vaimennettua oskillaattoria:

Merkintä esitellään täällä: . Kerrointa γ kutsutaan vaimennusvakioksi. Sillä on myös taajuuden ulottuvuus.

Ratkaisu jakautuu kolmeen tapaukseen.

• Pienellä kitkalla (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, missä on vapaiden värähtelyjen taajuus.

• Vaimennusta γ = ω 0 kutsutaan kriittinen. Tästä vaimennusindeksin arvosta alkaen oskillaattori suorittaa ns. ei-värähtelevän liikkeen. Rajatapauksessa liike tapahtuu lain mukaan:

• Voimakkaalle kitkalle γ > ω 0 ratkaisu näyttää tältä:

, missä

Kriittinen vaimennus on huomionarvoista siitä, että juuri kriittisen vaimennuksen aikana oskillaattori pyrkii nopeimmin tasapainoasentoon. Jos kitka on pienempi kuin kriittinen kitka, se saavuttaa tasapainoaseman nopeammin, mutta "liukua" sen läpi hitaudesta ja värähtelee. Jos kitka on suurempi kuin kriittinen, oskillaattori pyrkii eksponentiaalisesti tasapainoasentoon, mutta mitä hitaampi, sitä suurempi kitka.

Siksi kellomittareissa (esimerkiksi ampeerimetreissä) ne yleensä yrittävät ottaa käyttöön tarkan kriittisen vaimennuksen, jotta sen lukemat voidaan lukea mahdollisimman nopeasti.

Oskillaattorin vaimennukselle on usein tunnusomaista myös dimensioton parametri, jota kutsutaan laatutekijäksi. Laatutekijä merkitään yleensä kirjaimella K. Määritelmän mukaan laatutekijä on:

Mitä suurempi laatutekijä, sitä hitaammin oskillaattorin vaimeneminen heilahtelee.

Oskillaattorin, jossa on kriittinen vaimennus, laatukerroin on 0,5. Vastaavasti laatutekijä ilmaisee oskillaattorin käyttäytymisen luonteen. Jos laatutekijä on suurempi kuin 0,5, oskillaattorin vapaa liike on värähtelyä; ajan myötä se ylittää tasapainoasennon rajoittamattoman määrän kertoja. Laatukerroin, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 0,5, vastaa oskillaattorin ei-värähtelevää liikettä; vapaassa liikkeessä se ylittää tasapainoasennon enintään kerran.

Laatutekijää kutsutaan joskus oskillaattorin vahvistukseksi, koska joillakin herätysmenetelmillä, kun herätetaajuus osuu yhteen resonanssiamplitudin kanssa, värähtelyamplitudi osoittautuu noin K kertaa suurempi kuin viritettynä matalalla taajuudella.

Myös laatutekijä on suunnilleen sama kuin värähtelyjaksojen lukumäärä, joiden aikana värähtelyamplitudi pienenee e kertaa π:llä.

Värähtelevän liikkeen tapauksessa vaimennukselle on tunnusomaista myös seuraavat parametrit:

• Elinikä epäröintiä, se hajoamisaika, se on rentoutumisaika. τ on aika, jonka aikana värähtelyamplitudi pienenee e yhden kerran.

τ = 1 / γ Tätä aikaa pidetään värähtelyjen vaimenemiseen (lopettamiseen) tarvittavana ajana (vaikka muodollisesti vapaat värähtelyt jatkuvat loputtomiin).

2. Pakotettu tärinä

Pääartikkeli: Pakotettu tärinä

Oskillaattorin värähtelyjä kutsutaan pakotetuiksi, kun siihen kohdistuu ulkopuolinen lisävaikutus. Tämä vaikutus voidaan tuottaa eri tavoin ja erilaisten lakien mukaan. Esimerkiksi voimaherätys on tietyn lain mukaan vain ajasta riippuvan voiman vaikutus kuormaan. Kinemaattinen heräte on vaikutusta oskillaattoriin jousen kiinnityspisteen liikkeellä tietyn lain mukaisesti. Myös kitkan vaikutus on mahdollinen - silloin esimerkiksi väliaine, jolla kuorma kokee kitkaa, liikkuu tietyn lain mukaan.

Kirjallisuus

Butikov EI Lineaarioskillaattorin luonnolliset värähtelyt. Opastus

Huomautuksia

, Yksinkertainen relaatio , Yksinkertainen kenttä , Yksinkertainen lause , Alkuluku .

transkriptio

1 IV Yakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Harmoninen liike Ennen esitteen tehtävien ratkaisemista on toistettava artikkeli "Mekaaniset värähtelyt", jossa kaikki tarvittava teoria esitetään. Harmonisella liikkeellä kehon koordinaatti muuttuu sinin tai kosinin lain mukaan. Esimerkiksi jos x = A sin ωt, niin nopeuden projektio ja kiihtyvyyden projektio on v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. Tehtävä 1. ("Conquer Sparrow Hills!", 014,) Kaksi kappaletta, joiden massa on M ja jotka on yhdistetty jousella kuvan osoittamalla tavalla. Keho suorittaa harmonisia värähtelyjä pystysuuntaa pitkin taajuudella ω ja amplitudilla A. Jousi on painoton. Etsi järjestelmän paineen suurimman F 1 ja pienimmän F voiman suhde taulukon tasolla. Vapaa pudotuskiihtyvyys on g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω arvolle (M +)g > Aω Tehtävä. (Vseross., 006, lopullinen, 9) Vaakasuoralla pöydällä lepäävä tanko, jonka massa on M, ja jousiheiluri, joka koostuu massapainosta ja kevyestä pitkästä jousesta, on yhdistetty kevyellä venymättömällä langalla, joka on heitetty ihanteen yli liikkumaton kappale (katso kuva). Tangon pohjan ja pöydän pinnan välinen kitkakerroin µ = 0,3. Tangon massan suhde kuorman massaan on M/ = 8. Kuorma suorittaa pystysuuntaisia ​​värähtelyjä jaksolla T = 0,5 s. Mikä on tällaisten värähtelyjen suurin mahdollinen amplitudi A, jolla ne pysyvät harmonisina? A () µm 1 gt 4pi = 8,8 cm, A gt 4π = 6,3 cm; siis A = 6,3 cm Tehtävä 3. Heiluri suorittaa harmonisia värähtelyjä. Minkä oskillaatiojakson aikana heiluri poistuu tasapainoasennosta enintään puolet amplitudista? 1/3 Tehtävä 4. (MIPT, 006) Elastisessa jousessa riippuva pallo värähtelee jaksolla T ja amplitudilla A pitkin pystysuoraa. Pallon massa on paljon suurempi kuin jousen massa. 1) Laske pallon maksiminopeus (modulo) v.) Laske pallon kiihtyvyys (modulo) silloin, kun sen nopeus (modulo) on v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Tehtävä 5. (MIPT, 1996) Kuppi, jossa on jousivaa'an painot, on levossa. Toinen paino asetettiin kupin päälle. Laske kupin värähtelyjen amplitudi. Jousen jäykkyys. A = g Tehtävä 6. (MIPT, 1996) Jousi on kiinnitetty jäykästi kattoon ja tankoon massan avulla (katso kuva). Tanko on telineessä siten, että jousen akseli on pystysuorassa ja jousi puristuu arvon L verran. Jalusta poistetaan nopeasti. Etsi tangon värähtelyjen amplitudi. A = L + g Langan polton jälkeen yläpaino alkoi värähdellä amplitudilla A. Selvitä alemman painon massa. = A g Tehtävä 8. (MIPT, 1996) Paino sidotaan langan yli heitetyllä langalla toiseen painoon, jota pidetään tasaisella vaakasuoralla pöydällä seinään kiinnitetyn jousen avulla (katso kuva). Lanka palaa ja pöydän kuorma alkaa heilua amplitudilla A. Selvitä jousen jäykkyys. = g A Tehtävä 9. (MIPT, 199) Kaksi painoa, joiden kokonaismassa = 1 kg, jotka on yhdistetty elastisella jousella, jonka jäykkyys = 100 N/m, riippuvat kierteestä (katso kuva). Etsi kaikki mahdolliset etäisyydet, joihin alempaa painoa tulisi vetää pystysuunnassa alas ja sitten vapauttaa, jotta ylempi paino pysyy liikkumattomana myöhempien värähtelyjen aikana. A g 10 cm Tehtävä 10. (MIPT, 199) Kaksi kierteellä yhdistettyä painoa, joiden kokonaismassa = 1 kg, riippuvat joustavasta jousesta, jonka jäykkyys = 100 N/m (katso kuva). Etsi kaikki mahdolliset etäisyydet, joille painoja tulee vetää pystysuunnassa alas ja sitten vapauttaa, jotta lanka ei painu painojen myöhempien tärinöiden aikana. A g 10 cm Tehtävä 11. (MIPT, 199) Lauta, jonka päällä on tanko, asetetaan pöydän tasaiselle vaakasuoralle pinnalle (ks. kuva). Lohko on viisi kertaa lautaa painavampi. Järjestelmä värähtelee amplitudilla A = 8 cm ja jaksolla T = 0,8 s pöydän pintaa pitkin tankoon kiinnitetyn jousen vaikutuksesta. Levy ja tanko ovat tärinän aikana liikkumattomia toisiinsa nähden. Millä levyn ja tangon välisen kitkakertoimen arvoilla tällaiset värähtelyt ovat mahdollisia? µ 4π A gt M 0,1

3 Tehtävä 1. (MIPT, 199) Lauta, jonka päällä on tanko, on pöydän tasaisella vaakapinnalla (katso kuva). Järjestelmä värähtelee joustavan jousen vaikutuksesta suoraa linjaa pitkin, jonka jakso on T = 1 ja maksiminopeus v = 0,5 m/s. Tässä tapauksessa lauta ja tanko ovat liikkumattomia suhteessa toisiinsa. Millä levyn ja tangon välisen liukukitkakertoimen arvoilla tällaiset värähtelyt ovat mahdollisia? µ π T v g 0,3 Tehtävä 13. (MIPT, 005) Tasaisella kaltevalla tasolla, jonka kaltevuus on horisonttiin α nähden, massaaluslevy ja massatanko 3 värähtelevät amplitudilla A yhtenä yksikkönä suoraa linjaa pitkin jousen toiminta, jonka jäykkyys on kiinnitetty tankoon (katso kuva). Millä minimiliukukitkakertoimella aluslevyn ja tangon välillä tällaiset värähtelyt ovat mahdollisia? 3 α µin = tg α + A 4g cos α katso kuva). Tangon ja levyn välinen liukukitkakerroin on µ. Millä värähtelyjen maksimiamplitudilla tällaiset värähtelyt ovat mahdollisia? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Tehtävä 15. (MIPT, 007) Massakappale värähtelee amplitudilla A 0 suoraa linjaa pitkin tasaisella vaakasuoralla pöydän pinnalla elastisen jousen vaikutuksesta. Sillä hetkellä, kun tangon siirtymä tasapainoasennosta oli A 0 /3, putoaa sen päälle massallinen muovailuvahapala ja jäi kiinni liikkuen pystysuunnassa ennen törmäystä. Iskuaika on paljon lyhyempi kuin värähtelyjakso, ja törmäyksen aikana tanko ei irtoa pöydästä. 1) Kuinka ja kuinka monta kertaa värähtelyjakso on muuttunut?) Laske tangon värähtelyn amplitudi muovailuvahaliitoksen jälkeen. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 uuden lastin massa oli kolme kertaa alkuperäiseen verrattuna. 1) Kuinka monta kertaa suurimman kiihtyvyyden ax arvo syntyvien värähtelyjen aikana poikkeaa vapaan pudotuksen kiihtyvyydestä g?) Millä suuruudella kuorma liikkuu hetkellä, kun sen liike-energia T = 3U 0? Ohita värähtelyjen vaimennus. 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 Tehtävä 17. (MIPT, 003) Pallo roikkuu jousella gravitaatiokentässä g. Tasapainoasennossa jousi on varastoinut energiaa, joka on yhtä suuri kuin U 0. Pallo vedetään alas niin, että energia U 1 \u003d 9U 0 /4 varastoituu jouseen ja vapautetaan sitten. 1) Mikä on maksimikiihtyvyyden a ax arvo, jolla pallo liikkuu tuloksena syntyvien pystysuuntaisten värähtelyjen aikana?) Mikä on pallon liikkeen kineettinen energia T hetkellä, kun sen kiihtyvyys on a = ax /? Ohita värähtelyjen vaimennus. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Tehtävä 18. (MIPT, 000) Kuulat on asennettu suoralle vaakapinnalle ja ne voivat liukua sitä pitkin ilman kitkaa (katso kuva). Palloon on kiinnitetty kevyt jousi massan mukaan ja se on levossa. Massapallo liikkuu nopeudella v. Kuulien säteet ovat paljon pienemmät kuin jousen pituus. 1) Määritä kuulamassan nopeus jousesta irrottamisen jälkeen.) Määritä kuulamassan kosketusaika jousen kanssa. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Tehtävä 19. (MIPT, 000) Kaksi kierteellä yhdistettyä massaa v 3 ja 3 liikkuvat tasaisella vaakasuuntaisella pöydän pinnalla vakionopeudella v. Tankojen välissä on jäykkyys jousi, joka on puristettu x 0 (katso kuva). Jousi on kiinnitetty tankoon vain massalla. Tankojen mitat ovat pienet verrattuna kierteen pituuteen, jousen massa jätetään huomiotta, tankojen nopeus on suunnattu kierrettä pitkin. Liikkeen aikana lanka katkeaa ja tangot siirtyvät erilleen langan alkusuunnassa. 1) Laske massan 3 tangon nopeus sen irrottamisen jälkeen jousesta.) Laske jousen ja massan 3 tangon välinen kosketusaika laskettuna hetkestä, jolloin lanka katkeaa. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Tehtävä 0. (MIPT, 1999) Pieni massapala makaa tasaisella pöydällä jäykän rungon sisällä. Rungon pituus L, paino. Valotangon ja jousen avulla tanko liitetään jäykästi kiinteään tukeen (katso kuva). Tanko viedään kehyksen vastakkaiselle puolelle ja vapautetaan. Elastisten törmäysten seurauksena tanko ja runko tekevät säännöllisiä liikkeitä. 1) Laske kehyksen nopeus välittömästi ensimmäisen törmäyksen jälkeen tangon kanssa.) Laske tangon värähtelyjakso. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Tehtävä 1. (MIPT, 1999) Pieni massapala makaa tasaisella pöydällä jäykän rungon sisällä, jonka pituus on L ja massa. Tanko valotangon ja jousen avulla liitetään jäykästi kiinteään tukeen 1 (katso kuva). Runko on liitetty jäykästi kiinteään tukeen jousella. Alkuasennossa tanko kosketti rungon vasenta puolta, ja jouset eivät olleet vääntyneet. Kehystä siirretään vasemmalle, kunnes tanko koskettaa rungon oikeaa seinää, ja vapautetaan. Elastisten törmäysten seurauksena tanko ja runko tekevät säännöllisiä liikkeitä. 1) Laske tangon nopeus heti ensimmäisen törmäyksen jälkeen runkoon.) Laske kehyksen värähtelyjakso. 1) v = L ;) T = π Tehtävä. (MIPT, 1997) Pieni massapallo, jolla on positiivinen varaus q, roikkuu pitkässä venymättömässä langassa lähellä suurta johtamatonta levyä P (katso kuva). Määritä pallon pienten värähtelyjen jakso, kun levyllä on negatiivinen varaus, jonka pintatiheys on σ, jos tiedetään, että ilman tätä varausta pallon värähtelyjakso on yhtä suuri kuin T 0. Ota huomioon kiihtyvyys. annettava painovoima ja yhtä suuri kuin g. T = T0 1+ σg ε 0 g Tehtävä 3. (MIPT, 1997) Ohutseinämäinen, sileä sisäpintainen sylinteri lepää liikkumatta vaakasuorassa johtamattoman levyn P päällä (katso kuva). Levyn mitat (vaakatasossa) ovat paljon suuremmat kuin sylinterin mitat. Tiedetään, että sylinterin sisällä olevan pienen negatiivisesti varautuneen pallon värähtelyjakson suhde levyn pintavarausten tietyllä positiivisella tiheydellä σ x värähtelyjaksoon σ = 0 on yhtä suuri kuin T x /T 0 = α . määritä σ x ottaen huomioon suhde α, pallon varaus q, sen massa ja gravitaatiokiihtyvyys g. σx = ε 0(1 α)g α q Tehtävä 4. ("Valloita Sparrow Hills!", 015,) Poikkileikkaukseltaan tasaisen suorassa kulmassa taivutetun sileän putken pystysuora kulma on täytetty nesteellä, joka voidaan pidettiin lähes ideaalina. Tämän kyynärpään korkeus on yhtä suuri kuin L (ja se on huomattavasti suurempi kuin putken poikittaismitta), ja sen siirto vaakasuoraan kyynärpäähän ei ole sallittua, koska valotulppa pidetään liikkumattomana. Jossain vaiheessa korkki vapautuu varovasti. Kuinka kauan kestää, että korkki ponnahtaa ulos putkesta? Vaakakyynärpään pituus on 3L/, pintajännitystä ei oteta huomioon. t = π+1 L g 5

6 Tehtävä 5. ("Valloita Sparrow Hills!", 014,) Kuvan järjestelmässä kuormien massat ovat 1 ja jousen, lohkojen, kierteen ja jousen jäykkyys on painoton, lohkot pyörivät ilman kitkaa, lanka ei liuku lohkojen yli. Tasapainoasennossa jousi on venytetty. Kuorma 1 siirtyy tasapainoasennosta alaspäin etäisyyden s verran, minkä jälkeen kuormat suorittavat harmonisia värähtelyjä. Etsi värähtelevien massojen maksiminopeudet. v1 = s, v = v1/ edellyttäen s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Tehtävä 9. (MFO, 016, 11) Kuvassa on mekaaninen järjestelmä, jossa painoton venymätön lanka heitetään vaaka-akselilla kattoon kiinnitetyn painottoman kappaleen läpi. Langan päihin on kiinnitetty pieniä massoja ja. Kuorma on vaakatasossa. Kuorma roikkuu. Toinen samanlainen kuorma on kiinnitetty kuormaan painottoman, jäykän ideaalin jousen kautta, joka sijaitsee pystysuorassa ja jonka pituus on pieni L 0. Alkuhetkellä jousi ei ole vääntynyt, ja toinen kuorma on samassa tuessa kuin kuorma. Etäisyys yläkuormasta lohkoon on l 0. Kierteen vapaat osat, jotka eivät ole lohkon hihnapyörällä, ovat pystysuoria. Ajanhetkellä t = 0 tuki katoaa (se poistetaan nopeasti alaspäin). Ajan τ kuluttua sen jälkeen yksi painoista kosketti lohkoa. Mikä tämä lasti on? Millä l 0:n arvolla on maksimiaika τ? Mikä on tämä τ:n maksimiarvo? Rahti; τax = π 3 4, kun l 0 = g 7

IV Yakovlev Fysiikka materiaalit MathUs.ru Elastiset vuorovaikutukset Kappaleiden elastisen vuorovaikutuksen aikana, erityisesti elastisen iskun aikana, niiden sisäisessä tilassa ei tapahdu muutoksia; kehon sisäinen energia

IV Jakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Kinemaattiset suhteet dynamiikassa Joissakin dynamiikan ongelmissa Newtonin lakien ohella tarvitaan ei-triviaaleja lisäsuhteita kappaleiden kiihtyvyyksien välillä

IV Yakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Elastiset vuorovaikutukset Kappaleiden elastisen vuorovaikutuksen aikana (etenkin elastisen iskun aikana) niiden sisäisessä tilassa ei tapahdu muutoksia; sisäinen energia

IV Jakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Harmonisten värähtelyjen yhtälö Värähtelyn yhtälö. 2 ẍ + ω 2 x = 0 saadaan erottamalla energian säilymislaki ajan suhteen. Esitetään se yksinkertaisimmillaan

Kahdella veneellä on lastin kanssa massat M ja M. Veneet kulkevat toisiaan kohti rinnakkain. Kun veneet ovat toisiaan vastapäätä, jokaisesta veneestä siirretään samanaikaisesti yksi pussi vastakkaiseen.

IV Jakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Sidotut kappaleet Tehtävä 1. Kaksi kappaletta, joiden massa on m ja 2m, on yhdistetty kevyellä venymättömällä langalla ja sijaitsevat tasaisella vaakasuoralla pinnalla (vasemmalla on kappale, jonka massa on m).

I. V. Yakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Joustamattomat vuorovaikutukset Esimerkkejä joustamattomista vuorovaikutuksista ovat luodin tunkeutuminen tangon läpi tai ehdottoman joustamaton isku (jonka jälkeen kappaleet liikkuvat yhtenä kappaleena

Etäharjoittelu bituru FYSIIKKA Artikkeli 8 Mekaaniset värähtelyjärjestelmät Teoreettinen materiaali Tässä artikkelissa tarkastellaan menetelmiä kappaleiden värähtelevän liikkeen ongelmien ratkaisemiseksi värähtelevän liikkeen avulla

C1.1. Kaksi identtistä tankoa, jotka on yhdistetty kevyellä jousella, lepää tasaisella vaakasuoralla pöydän pinnalla. Tällä hetkellä t = 0 oikea kappale alkaa liikkua siten, että ajan x aikana se saavuttaa loppunopeuden

I. V. Yakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Kimmovoima Tehtävä 1. (MOSh, 2018, 10) Kappale, jonka massa on m = 2 kg, lepää jousella, jonka jäykkyys on k = 100 N/m, joka on kiinnitetty kattoon (katso kuva). ) . Alkaa hänestä

1.2.1. Inertiavertailujärjestelmät. Newtonin ensimmäinen laki. Galileon suhteellisuusperiaate 28(C1).1. Bussin matkustaja bussipysäkillä sitoi kevyen ilmapallon, joka oli täynnä

1 Kinematiikka 1 Materiaalipiste liikkuu x-akselia pitkin siten, että pisteen aikakoordinaatti on x(0) B Etsi x (t) V x At Alkuhetkellä Materiaalipiste liikkuu x-akselia pitkin siten, että ax A x Alkuvaiheessa

IV Jakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Ei-konservatiiviset järjestelmät Mekaaninen energia E = K + W ei säily ei-konservatiivisessa järjestelmässä. Jos esimerkiksi kitkavoimat vaikuttavat järjestelmän kappaleisiin, niin

216 vuotta, luokka 9, lippu 9-1 1 Kaksi tasaisella vaakasuoralla pöydällä olevaa kuormaa, joiden massa on m, on yhdistetty kierteellä ja liitetty 3 m:n kuormaan toisella kierteellä, joka on heitetty painottoman kappaleen yli (katso kuva).

Mekaniikan laskentatehtävän (EnMI) tehtävät 2013/14 1. Kinematiikka 1. Kiveä heitetään pystysuoraan ylöspäin 10 m korkeudelta alkunopeudella 8 m/s. Kirjoita liikeyhtälö kolmessa versiossa asettamalla

7 .. Ohut homogeeninen tanko, jonka massa on m ja pituus L, voi pyöriä kiinteän vaaka-akselin O ympäri, joka kulkee tangon yläpään läpi. Tangon alapäähän on kiinnitetty vaakasuoran pää

Ryhmä 12-EUN Vaihtoehto 1. 5.49. 1. Kori, jonka massa on 313 kg, liikkuu tasaisesti jarrutettaessa. Sen nopeus laskee 17 m/s:sta 2 m/s:iin 42 sekunnissa. Etsi jarrutusvoima. 2. Auto pois päältä

Oppitunti 7 Säilyvyyslainsäädäntö Tehtävä 1 Kuvassa on käyrät kahden vuorovaikutuksessa olevan eri massaisen kärryn nopeuden muutoksesta (toinen kärry saa kiinni ja työntää toista). Mitä tietoa kärryistä

2. KÄÄNTÄMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 134. Kehoon vaikuttaa vakiovoima F = 10-2 N. Keho liikkuu kiihtyvyydellä a = 0,5 m/s 2. Laske kappaleen massa. 135. Kappale, jonka massa on 250 g, liikkuu kiihtyvällä tahdilla

ДЗ2015(2)2.2(5) 1. Jousella seinään kiinnitetty paino makaa karkealla pinnalla. Jousi ei ole vääntynyt. Jos kuormaa vedetään etäisyys L ja vapautetaan, se pysähtyy alkuperäiseen asentoonsa,

Siirretyt tehtävät (88) Pystysuoraan ylöspäin nopeudella υ heitetty pallo putosi jonkin ajan kuluttua maan pinnalle. Mikä kuvaaja vastaa nopeuden x-akselin projektion riippuvuutta liikeajasta?

Sivu 1 / 9 04/11/2016 21:29 Massiivinen lauta on kääntyvästi ripustettu kattoon valotankoon. 0,2 kg painava muovailuvahapallo osuu lautaan nopeudella 10 m/s ja tarttuu siihen. pallon nopeus ennen

Koululaisten olympialaisten "Askel tulevaisuuteen" akateemisen kilpailun toinen loppuvaihe yleissivistysaineessa "Fysiikka" Kevät, 6. Vaihtoehto 5 ONGELMA Tasaisesti liikkuva keho

Lippu N 5 Lippu N 4 Kysymys N 1 Kaksi tankoa, joiden massat ovat m 1 \u003d 10,0 kg ja m 2 \u003d 8,0 kg ja jotka on yhdistetty kevyellä venymättömällä kierteellä, liu'utetaan kaltevaa tasoa pitkin, jonka kaltevuuskulma \u003d 30. järjestelmän kiihdytys.

Vuosi 16, luokka 1, lippu 1-1 1. Kaksi kuormaa massaa ja 5, jotka sijaitsevat tasaisella vaakasuoralla pöydällä, yhdistetään kierteellä ja liitetään kuormaan toisen kierteen massalla, joka on heitetty painottoman kappaleen yli (katso kuva). . kitka

"VÄRÄNNÖT JA AALLOT" YKSITTÄISTEHTÄVÄ 1. Vaihtoehto 1. 1. Millä osalla pituutta matemaattisen heilurin pituutta tulisi lyhentää, jotta sen värähtelyjakso 10 km:n korkeudella olisi yhtä suuri kuin sen jakso. värähtelyjä

Koululaisten olympialaisten "Askel tulevaisuuteen" akateemisen kilpailun toinen loppuvaihe yleissivistysaineessa "Fysiikka" Kevät, 6 vuotta Vaihtoehto 3 ONGELMA Keho, joka liikkuu tasaisesti

Temaattinen diagnostinen työ FYSIIKAN tenttiin valmistautuessa aiheesta "Mekaniikka" 18. joulukuuta 2014 Arvosana 10 Vaihtoehto PHI00103 (90 minuuttia) Piiri. Kaupunki kaupunki). Koululuokka Sukunimi. Nimi.

Opiskelijan ongelmakirja izprtalru 6 Suoraviivaisen liikkeen dynamiikka Materiaalin pisteen dynamiikan perusyhtälö (Newtonin toinen laki) vakiomassaiselle kappaleelle inertiaalisissa vertailukehyksissä on muotoa

Koululaisten olympialaisten "Askel tulevaisuuteen" akateemisen kilpailun toinen (viimeinen) vaihe yleissivistävän oppiaineen "Fysiikka" kevät, 6 v.

Hiukkasen sädevektorin r muutoslaki tunnetaan: r (t) b t. Tässä t on aika, positiivinen vakio, b on vektori, suuruus- ja suuntavakio. Etsi polku s, jonka jälkeen hiukkanen on kulkenut

1. Pystysuoraan ylöspäin nopeudella υ heitetty pallo putosi jonkin ajan kuluttua maan pinnalle. Mikä kuvaaja vastaa nopeuden x-akselin projektion riippuvuutta liikeajasta? OX-akseli on suunnattu

Fysiikka. Luokka 9 Koulutus "Inertia. Newtonin lait. Voimat mekaniikassa» 1 Inertia. Newtonin lait. Voimat mekaniikassa Vaihtoehto 1 1 Metallitango ripustetaan jouseen ja upotetaan kokonaan astiaan, jossa on vettä.

MEKANIIKKA Kirillov A.M., Sotšin lukion 44 opettaja (http://kirillandrey72.narod.ru/) ., Khoruzhy V.D.

Lippu N 5 Lippu N 4 Kysymys N 1 Kehoon, jonka massa on m 2,0 kg, alkaa vaikuttaa vaakasuora voima, jonka moduuli riippuu lineaarisesti ajasta: F t, missä 0,7 N / s. Kitkakerroin k 0,1. Määritä hetki

Ongelmanratkaisu ”Mekaaniset värähtelyt Jousiheilurin harmonisilla värähtelyillä kuormituksen koordinaatti muuttuu ajan t kuluessa kuvan osoittamalla tavalla. Jakso T ja värähtelyjen A amplitudi ovat yhtä suuret

Lippu N 5 Lippu N 4 Kysymys N 1 Ohut sauva, jonka massa on M 0 = 1 kg ja pituus l = 60 cm, makaa tasaisella vaakapinnalla. Tanko voi pyöriä vapaasti kulkevan kiinteän pystysuoran akselin ympäri

IV Jakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Varausten energia Jos pistevaraukset 1 ja ovat etäisyydellä r toisistaan, niin niiden vuorovaikutuksen potentiaalienergia on yhtä suuri kuin W = k 1. r Potentiaalienergia

I. V. Yakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Sisältö Kitkavoima 1 Fysiikan koululaisten yleisvenäläinen olympialainen......................... 1 2 Moskovan fysiikan olympialaiset ...... ............... 3 3 MIPT

Tehtävät A22 fysiikassa 1. Jos kuorma ripustetaan kevyeen elastiseen jouseen, niin tasapainossa oleva jousi venyy 10 cm. Mikä on tämän kuorman vapaan värähtelyn jakso?

Fysiikka. Luokka 11. Harjoitus "Voimia luonnossa" 1 Voimia luonnossa Harjoittelutehtävät 1 1,5 kg painava vesi kaadetaan katkaistun kartion muotoiseen astiaan (katso kuva). Aluksen pohjan pinta-ala on 100 cm 2,

Kotitehtävien vaihtoehdot HARMONISET VÄRINNYT JA AALLOT Vaihtoehto 1. 1. Kuvassa a on värähtelyliikkeen käyrä. Värähtelyyhtälö x = Asin(ωt + α o). Määritä alkuvaihe. x O t

IV Jakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru kalteva tasotehtävä 1. Massakappale asetetaan tasaiselle kaltevalle tasolle, jossa on kaltevuuskulma ja vapautetaan. Selvitä tangon kiihtyvyys ja tangon kohdistama voima

C1.1. Työnnön jälkeen jää vierähti sileäseinäiseen kuoppaan, jossa se voi liikkua lähes kitkattomasti. Kuvassa on kaavio jäälautan ja maan välisen vuorovaikutuksen energian riippuvuudesta

Tehtävät opiskelijoiden itsenäiseen työskentelyyn Moduuli 6 "Mekaaniset värähtelyt"... 3 Aihe 1. Harmonisten värähtelyjen kinematiikka... 3 Aihe 2. Värähtelyjen lisäys... 8 Aihe 3. Harmonisten värähtelyjen dynamiikka...

IV Yakovlev Materials on Physics MathUs.ru Jäykän kappaleen kierto Tehtävä 1. (MIPT, 2003)

Ohjaustehtävät aiheesta "DYNAMIIKKA" 1 (A) 65 kg painava laskuvarjohyppääjä laskeutuu avoimella laskuvarjolla. Mikä on ilmanvastuksen F c voima tasaisella laskuvarjohyppääjän nopeudella? Mikä on tulos

DZ 3.3 (01) 1. Piste tekee harmonisia värähtelyjä pitkin suoraa linjaa kohtien A ja B välillä. Kun tiedät, että sen maksiminopeus on V m \u003d 10 m / s, selvitä sen keskinopeus matkalla paikasta A paikkaan B. 2 Vaiheessa

Etäkoulutus Abituru FYSIIKKA Artikkeli Newtonin lait Teoreettinen materiaali Tässä artikkelissa tarkastellaan Newtonin lakien soveltamisen tehtäviä

Lippu N 10 Lippu N 9 Kysymys N 1 Gyroskooppi kulkee alemman tukipisteen ympäri. Gyroskoopin hitausmomentti on I \u003d 0,2 kg m 2, pyörimisen kulmanopeus 0 \u003d 1000 s -1, massa m \u003d 20 kg, massakeskipiste on

YKSILÖLLISEN KOTITYÖN ONGELMAT 3 1. Homogeeninen kiekko, jonka säde on 40 cm, värähtelee vaaka-akselin ympäri kulkevan ripustuspisteen kautta, joka osuu yhteen levyn pinnan generatriisin kanssa.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta Esimerkki 1 Painoton venymätön lanka heitetään vaaka-akselin ympäri pyörivän kappaleen läpi (kuva 1a), jonka päihin painot 1 ja

6.1. Homogeeninen sylinteri, jonka massa on M ja säde R, voi pyöriä ilman kitkaa vaaka-akselin ympäri. Sylinterin ympärille kierretään lanka, jonka päähän kiinnitetään m-massainen kuorma. Selvitä kineettisen energian riippuvuus

I. V. Yakovlev Fysiikan materiaalit MathUs.ru Fysiikan Olympiadi "Phystech" luokka 11, verkkovaihe, 2013/14 1. Navetan katolta lähes pystysuoraan ylöspäin nopeudella 15 m/s heitetty kivi putosi maahan

IV Jakovlev Fysiikka materiaalit MathUs.ru Konservatiiviset järjestelmät Kappalejärjestelmää kutsutaan konservatiiviseksi, jos sille täyttyy mekaanisen energian säilymislaki: K + W = const, jossa K on kineettinen

Luokka 10. Kierros 1 1. Tehtävä 1 Jos 0,5 kg painavaa tankoa painetaan karkeaa pystysuoraa seinää vasten 15 N:n voimalla vaakatasossa, se liukuu alas tasaisesti. Millä modulo-kiihtyvyydellä

1.2.1. Inertiavertailujärjestelmät. Newtonin ensimmäinen laki. Galileon suhteellisuusperiaate 27.1. Bussipysäkillä ollut matkustaja sitoi kevyen heliumilla täytetyn ilmapallon istuimen kahvaan langalla.

Statiikan vivut 1. Kaksi kuppia on tasapainotettu epätasaisessa mittakaavassa. Lasien keskipisteiden välinen etäisyys on l. Vesimassa m otettiin yhdestä lasista ja kaadettiin toiseen. Jos samalla siirretään tasapainotukea

Tehtävä #1 Testi aiheesta "Mekaaniset värähtelyt" Värähtelevän kappaleen koordinaatti muuttuu lain X=5ˑcos(/2)t (m) mukaan. Mikä on värähtelytaajuus? Kaikki suureet ilmaistaan ​​SI-yksiköinä. 1) 2 Hz. 2) 1/2

Oppitunti 3. Dynaamiikan perusperiaatteet. Voimat: painovoima, reaktiot, kimmoisuus Vaihtoehto 3 ... 0 kg:n massaiseen kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, joiden resultantti on vakio ja yhtä suuri kuin 5 N. Suhteessa inertiaan

1 vaihtoehto A1. Järjestelmä koostuu kahdesta kappaleesta a ja b. Kuvassa tietyn asteikon nuolet osoittavat näiden kappaleiden momenttia. 1) 2,0 kg m/s 2) 3,6 kg m/s 3) 7,2 kg m/s 4) 10,0 kg m/s A2. Henkilö, jonka massa on m, hyppää

1 Impulssi. Liikemäärän säilymislaki 1. Millä kaavalla voidaan laskea kappaleen liikemäärä? 1) p m) p ma 3) p m 4) p Ft. Mikä on kehon liikemäärän muutos? 1) kehon nopeuden muutos) vaikuttavan voiman impulssi

Dynaaminen 008. Voima, joka esiintyy käyttöhihnan ja hihnapyörän välillä sen liikkuessa, on jännitysvoima A). B) liukukitka. C) vierintäkitka. D) elastisuus. E) staattinen kitka .. Kolmen resultantti

Laskenta ja graafinen työ mekaniikasta Tehtävä 1. 1 Kiihtyvyyden riippuvuus ajasta kehon jollekin liikkeelle on esitetty kuvassa. Määritä keskimääräinen ajonopeus ensimmäisten 8 sekunnin aikana. aloitusnopeus

Vaihtoehto 1 1. Mitä työtä A pitää tehdä venyttääkseen x=1 mm terästankoa, jonka pituus on l=1 m ja poikkipinta-ala S 1 cm 2? 2. Kaksi jousta, joiden jäykkyys on k 1 =0,3 kN/m ja k 2

Säilyvyyslait Kappaleen liikemäärä (ainepiste) on fysikaalinen vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin kehon massan ja sen nopeuden tulo. p = m υ [p] = kg m/s p υ Voiman impulssi on vektorifysikaalinen suure,

Yhtälön (21.2) ratkaisun kosini viittaa siihen, että harmonisella liikkeellä on jotain tekemistä ympyräliikkeen kanssa. Tämä vertailu on tietysti keinotekoinen, koska lineaarisessa liikkeessä ympyrää ei saa missään: paino liikkuu tiukasti ylös ja alas. Voimme perustella itseämme sillä, että olemme jo ratkaisseet harmonisen liikkeen yhtälön tutkiessamme ympyrän liikkeen mekaniikkaa. Jos hiukkanen liikkuu ympyrää pitkin vakionopeudella , niin sädevektori ympyrän keskustasta hiukkaseen pyörii kulman läpi, jonka arvo on verrannollinen aikaan. Merkitään tämä kulma (kuva 21.2). Sitten . Tiedetään, että kiihtyvyys ja suunnattu keskustaan. Liikkuvan pisteen koordinaatit tietyllä hetkellä ovat

Mitä voidaan sanoa kiihtyvyydestä? Mikä on kiihtyvyyden komponentti? Tämä arvo voidaan löytää puhtaasti geometrisesti: se on yhtä suuri kuin kiihtyvyysarvo kerrottuna projektiokulman kosinilla; Ennen tuloksena olevaa lauseketta sinun on laitettava miinusmerkki, koska kiihtyvyys on suunnattu keskustaan:

Toisin sanoen, kun hiukkanen liikkuu ympyrässä, liikkeen vaakakomponentilla on kiihtyvyys, joka on verrannollinen vaakasuuntaiseen siirtymään keskustasta. Tietysti tiedämme ratkaisut ympyräliikkeen tapaukseen: . Yhtälö (21.7) ei sisällä ympyrän sädettä; se on sama liikuttaessa mitä tahansa ympyrää samalla .

Kuva. 21.2. Hiukkanen, joka liikkuu ympyrässä vakionopeudella.

Siten on useita syitä, miksi meidän pitäisi odottaa, että painon taipuma jouseen on verrannollinen ja liike näyttää siltä kuin seuraisimme ympyrässä kulmanopeudella liikkuvan hiukkasen -koordinaattia. Voit tarkistaa tämän asettamalla kokeen osoittamaan, että painon liike ylös ja alas jousella vastaa täsmälleen pisteen liikettä ympyrää pitkin. Kuviossa 3 21.3 kaarilampun valo heijastaa näytölle pyörivään kiekkoon juuttun neulan ja vierekkäin liikkuvan pystysuunnassa tärisevän painon varjot. Jos saat painon värähtelemään ajoissa ja oikeasta paikasta ja valitset sitten huolellisesti levyn liikkeen nopeuden siten, että niiden liikkeiden taajuudet ovat samat, varjot näytöllä seuraavat tarkasti peräkkäin. Tässä on toinen tapa varmistaa, että numeerisen ratkaisun avulla pääsimme melkein lähelle kosinia.

Kuva. 21.3. Yksinkertaisen harmonisen liikkeen ja tasaisen ympyräliikkeen vastaavuuden osoittaminen.

Tässä voidaan korostaa, että koska tasaisen liikkeen matematiikka ympyrää pitkin on hyvin samankaltaista kuin värähtelevän liikkeen matematiikka ylös ja alas, värähtelyliikkeiden analyysi yksinkertaistuu huomattavasti, jos tämä liike esitetään liikkeen projektiona ympyrää pitkin. . Toisin sanoen voimme täydentää yhtälöä (21.2), joka näyttäisi olevan täysin redundantti yhtälö ja tarkastella molempia yhtälöitä yhdessä. Kun tämä on tehty, pelkistämme yksiulotteiset värähtelyt ympyräliikkeeksi, mikä säästää meidät differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta. Voit tehdä toisen tempun – esitellä kompleksiluvut, mutta siitä lisää seuraavassa luvussa.

Yhtälön (21.2) ratkaisun kosini viittaa siihen, että harmonisella liikkeellä on jotain tekemistä ympyräliikkeen kanssa. Tämä vertailu on tietysti keinotekoinen, koska lineaarisessa liikkeessä ympyrää ei saa missään: paino liikkuu tiukasti ylös ja alas. Voimme perustella itseämme sillä, että olemme jo ratkaisseet harmonisen liikkeen yhtälön tutkiessamme ympyrän liikkeen mekaniikkaa. Jos hiukkanen liikkuu ympyrää pitkin vakionopeudella v, niin sädevektori ympyrän keskustasta hiukkaseen pyörii kulman läpi, jonka suuruus on verrannollinen aikaan. Merkitään tämä kulma θ=vt/R (kuva 21.2). Sitten dQθ/dt=ω 0 =v/R. Tiedetään, että kiihtyvyys a=v 2 /R = ω 2 0 R ja on suunnattu kohti keskustaa. Liikkuvan pisteen koordinaatit tietyllä hetkellä ovat
x = R cos θ, y = R sin θ.

Mitä voidaan sanoa kiihtyvyydestä? Mikä on kiihtyvyyden x-komponentti, d 2 x/dt 2 ? Tämä arvo voidaan löytää puhtaasti geometrisesti: se on yhtä suuri kuin kiihtyvyysarvo kerrottuna projektiokulman kosinilla; Ennen tuloksena olevaa lauseketta sinun on laitettava miinusmerkki, koska kiihtyvyys on suunnattu keskustaan:

Toisin sanoen, kun hiukkanen liikkuu ympyrässä, liikkeen vaakakomponentilla on kiihtyvyys, joka on verrannollinen vaakasuuntaiseen siirtymään keskustasta. Tietenkin tiedämme ratkaisut ympyräliikkeen tapaukselle: x=R cos ω 0 t. Yhtälö (21.7) ei sisällä ympyrän sädettä; se on sama liikuttaessa mitä tahansa ympyrää samalla ω 0 :lla. On siis useita syitä, miksi meidän pitäisi odottaa, että jousen painon taipuma on verrannollinen cos ω 0 t:hen ja liike näyttää siltä kuin seuraisimme ympyrässä liikkuvan hiukkasen x-koordinaattia. kulmanopeus ω 0 . Voit tarkistaa tämän tekemällä kokeen, joka osoittaa, että painon liike ylös ja alas jousella vastaa täsmälleen pisteen liikettä ympyrää pitkin. Kuviossa 3 21.3 kaarilampun valo heijastaa näytölle pyörivään kiekkoon juuttun neulan ja vierekkäin liikkuvan pystysuunnassa tärisevän painon varjot. Jos saat painon värähtelemään ajoissa ja oikeasta paikasta ja valitset sitten huolellisesti levyn liikkeen nopeuden siten, että niiden liikkeiden taajuudet ovat samat, varjot näytöllä seuraavat tarkasti peräkkäin. Tässä on toinen tapa varmistaa, että numeerisen ratkaisun avulla pääsimme melkein lähelle kosinia.

Tässä voidaan korostaa, että koska tasaisen liikkeen matematiikka ympyrää pitkin on hyvin samankaltaista kuin värähtelevän liikkeen matematiikka ylös ja alas, värähtelyliikkeiden analyysi yksinkertaistuu huomattavasti, jos tämä liike esitetään liikkeen projektiona ympyrää pitkin. . Toisin sanoen voimme täydentää yhtälöä (21.2), joka näyttäisi olevan täysin redundantti yhtälö y:lle, ja tarkastella molempia yhtälöitä yhdessä. Kun tämä on tehty, pelkistämme yksiulotteiset värähtelyt ympyräliikkeeksi, mikä säästää meidät differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta. Voit tehdä toisen tempun – esitellä kompleksiluvut, mutta siitä lisää seuraavassa luvussa.