Tämän artikkelin alussa keskustelimme trigonometristen funktioiden käsitteestä. Niiden päätarkoituksena on tutkia trigonometrian perusteita ja jaksollisten prosessien tutkimusta. Ja piirsimme trigonometrisen ympyrän syystä, koska useimmissa tapauksissa trigonometriset funktiot määritellään kolmion tai sen tiettyjen osien sivujen suhteeksi yksikköympyrässä. Mainitsin myös trigonometrian kiistatta suuren merkityksen nykyelämässä. Mutta tiede ei seiso paikallaan, minkä seurauksena voimme laajentaa merkittävästi trigonometrian soveltamisalaa ja siirtää sen säännökset todellisiin ja joskus kompleksisiin lukuihin.

Trigonometrian kaavat on useita tyyppejä. Ajatellaanpa niitä järjestyksessä.

1. Saman kulman trigonometristen funktioiden suhteet

Tässä tulemme pohtimaan sellaista käsitettä kuin trigonometriset perusidentiteetit.

Trigonometrinen identiteetti on yhtäläisyys, joka koostuu trigonometrisista suhteista ja joka pätee kaikkiin siihen sisältyvien kulmien arvoihin.

Harkitse tärkeimpiä trigonometrisiä identiteettejä ja niiden todisteita:

Ensimmäinen identiteetti seuraa tangentin määritelmästä.

Otetaan suorakulmainen kolmio, jonka terävä kulma on x kärjessä A.



Identiteettien todistamiseksi on tarpeen käyttää Pythagoraan lausetta:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Nyt jaetaan (AB) 2:lla tasa-arvon molemmat osat ja muistaen kulman sinin ja cos:n määritelmät, saamme toisen identiteetin:

(BC) 2 / (AB) 2 + (AC) 2 / (AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Kolmannen ja neljännen identiteetin todistamiseksi käytämme edellistä todistetta.

Tätä varten jaamme toisen identiteetin molemmat osat cos 2 x:llä:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Ensimmäisen identiteetin tg x \u003d sin x / cos x perusteella saamme kolmannen:

1 + tg2x = 1/cos2x

Nyt jaamme toisen identiteetin synnillä 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x on vain 1/tg 2 x, joten saamme neljännen identiteetin:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

On aika muistaa lause kolmion sisäkulmien summasta, joka sanoo, että kolmion kulmien summa \u003d 180 0. Osoittautuu, että kolmion kärjessä B on kulma, jonka arvo on 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Muista synnin ja cosin määritelmät uudelleen ja saamme viidennen ja kuudennen identiteetin:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Tehdään nyt seuraavasti:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Kuten näette, täällä kaikki on alkeellista.

Matemaattisten identiteettien ratkaisemisessa käytetään muitakin identiteettejä, annan ne vain viitteeksi, koska ne kaikki ovat peräisin yllä olevasta.



2. Trigonometristen funktioiden lausekkeet toistensa läpi

   (kyltin valinta juuren edessä määräytyy sen mukaan, missä ympyrän neljänneksistä kulma sijaitsee?)







3. Seuraavat ovat kaavat kulmien yhteen- ja vähentämiseen:



4. Kaksois-, kolmois- ja puolikulmakaavat.

   Huomaan, että ne kaikki seuraavat edellisistä kaavoista.

sin 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Kaavat trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen:

"Synti"-pyyntö ohjataan tänne; katso myös muita merkityksiä. "sek"-pyyntö ohjataan tähän; katso myös muita merkityksiä. "Sine" uudelleenohjaa tänne; katso myös muita merkityksiä ... Wikipedia

Riisi. 1 Trigonometristen funktioiden kuvaajat: sini, kosini, tangentti, sekantti, kosekantti, kotangentti Trigonometriset funktiot ovat eräänlaisia ​​alkeisfunktioita. Yleensä ne sisältävät sinin (sin x), kosinin (cos x), tangentin (tg x), kotangentin (ctg x), ... ... Wikipedia

Riisi. 1 Trigonometristen funktioiden kuvaajat: sini, kosini, tangentti, sekantti, kosekantti, kotangentti Trigonometriset funktiot ovat eräänlaisia ​​alkeisfunktioita. Yleensä ne sisältävät sinin (sin x), kosinin (cos x), tangentin (tg x), kotangentin (ctg x), ... ... Wikipedia

Riisi. 1 Trigonometristen funktioiden kuvaajat: sini, kosini, tangentti, sekantti, kosekantti, kotangentti Trigonometriset funktiot ovat eräänlaisia ​​alkeisfunktioita. Yleensä ne sisältävät sinin (sin x), kosinin (cos x), tangentin (tg x), kotangentin (ctg x), ... ... Wikipedia

Riisi. 1 Trigonometristen funktioiden kuvaajat: sini, kosini, tangentti, sekantti, kosekantti, kotangentti Trigonometriset funktiot ovat eräänlaisia ​​alkeisfunktioita. Yleensä ne sisältävät sinin (sin x), kosinin (cos x), tangentin (tg x), kotangentin (ctg x), ... ... Wikipedia

Geodeettiset mittaukset (XVII vuosisata) ... Wikipedia

Trigonometriassa puolikulman tangentin kaava liittää puolikulman tangentin täyskulman trigonometrisiin funktioihin: Tämän kaavan eri muunnelmia ovat seuraavat ... Wikipedia

- (kreikaksi τρίγονο (kolmio) ja kreikaksi μετρειν (mittaa, eli kolmioiden mittaaminen)) matematiikan ala, joka tutkii trigonometrisiä funktioita ja niiden sovelluksia geometriaan. Tämä termi esiintyi ensimmäisen kerran vuonna 1595 nimellä ... ... Wikipedia

- (latinaksi solutio triangulorum) historiallinen termi, joka tarkoittaa trigonometrisen pääongelman ratkaisua: käyttämällä tunnettua tietoa kolmiosta (sivut, kulmat jne.), etsi sen loput ominaisuudet. Kolmio voi sijaita ... ... Wikipediassa

Kirjat

• Pöytien sarja. Algebra ja analyysin alku. Luokka 10. 17 taulukkoa + metodologia, . Taulukot on painettu paksulle polygraafiselle kartongille, jonka mitat ovat 680 x 980 mm. Pakkaus sisältää esitteen, jossa on metodologisia suosituksia opettajille. 17 arkin opiskelualbumi.…
• Integraalitaulukot ja muut matemaattiset kaavat, Dwight G.B.. Kuuluisan hakuteoksen kymmenes painos sisältää erittäin yksityiskohtaisia ​​taulukoita epämääräisistä ja määrätyistä integraaleista sekä suuren joukon muita matemaattisia kaavoja: sarjalaajennukset, ...

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömi sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseksi ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisesti katsottuna aika näyttää hidastuvan täydelliseen pysähtymiseen hetkellä, kun Akhilleus saa kiinni kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on joka hetki levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian määrittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua) . Haluan erityisesti korostaa, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat kaksi eri asiaa, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdin logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä elementtejä. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumeroita, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko muistelee kiihkeästi fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kunkin kolikon kiderakenne ja atomien järjestely on ainutlaatuinen ...

Ja nyt minulla on mielenkiintoisin kysymys: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan lukujärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa numerojärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Suurella luvulla 12345 en halua huijata päätäni, harkitse artikkelin numeroa 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme harkitse jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Se on sama kuin jos saisit täysin erilaisia ​​​​tuloksia määrittäessäsi suorakulmion pinta-alaa metreinä ja senttimetreinä.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan ​​sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat eri tuloksiin niiden vertailun jälkeen, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse yritän nähdäkseni kakkaavassa ihmisessä miinus neljä astetta (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalilukujärjestelmässä. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Voit tilata yksityiskohtaisen ratkaisun ongelmaasi!!!

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion merkin alla (`sin x, cos x, tg x` tai `ctg x`), kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja tarkastelemme niiden kaavoja tarkemmin.

Yksinkertaisimmat yhtälöt ovat "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", missä "x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjoitetaan juurikaavat kullekin niistä.

1. Yhtälö "sin x=a".

Kohdalle `|a|>1` ei ole ratkaisuja.

`|a|:lla \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Yhtälö cos x=a

`|a|>1` - kuten sinin tapauksessa, reaalilukujen joukossa ei ole ratkaisuja.

`|a|:lla \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Erikoistapaukset sinille ja kosinille kaavioissa.

3. Yhtälö "tg x=a".

Siinä on ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Yhtälö ctg x=a

Siinä on myös ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinulle:
Kosinille:
Tangentille ja kotangentille:
Kaavat käänteisiä trigonometrisia funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaisu koostuu kahdesta vaiheesta:

• käyttämällä sen muuntamiseen yksinkertaisimmaksi;
• ratkaise tuloksena oleva yksinkertainen yhtälö käyttämällä yllä olevia kaavoja juurille ja taulukoille.

Tarkastellaan pääasiallisia ratkaisumenetelmiä esimerkkien avulla.

algebrallinen menetelmä.

Tässä menetelmässä muuttujan korvaaminen ja korvaaminen tasa-arvoksi tehdään.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tee korvaus: `cos(x+\frac \pi 6)=y, sitten `2y^2-3y+1=0`,

löydämme juuret: `y_1=1, y_2=1/2`, joista seuraa kaksi tapausta:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastaus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisointi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `sin x+cos x=1`.

Päätös. Siirrä vasemmalle kaikki yhtäläisyyden ehdot: `sin x+cos x-1=0`. Käyttämällä , muunnamme ja kerroimme vasemman puolen:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

1. "sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastaus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Ensin sinun on saatettava tämä trigonometrinen yhtälö johonkin kahdesta muodosta:

"a sin x+b cos x=0" (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat arvolla "cos x \ne 0" ensimmäisessä tapauksessa ja "cos^2 x \ne 0" toisessa tapauksessa. Saamme yhtälöt `tg x`:lle: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Päätös. Kirjoita oikea puoli muotoon `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

"sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0".

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, joka jakaa sen vasemman ja oikean puolen `cos^2 x \ne 0`:lla, saamme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x - 2=0'. Otetaan käyttöön korvaus `tg x=t`, tuloksena `t^2 + t - 2=0`. Tämän yhtälön juuret ovat `t_1=-2` ja `t_2=1`. Sitten:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Vastaus. "x_1=arctg (-2)+\pi n", "n \in Z", "x_2=\pi/4+\pi n", "n \in Z".

Mene Half Corneriin

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Päätös. Kaksoiskulmakaavoja soveltamalla tulos on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6 = 0".

Käyttämällä yllä kuvattua algebrallista menetelmää saamme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Apukulman esittely

Trigonometrisessa yhtälössä `a sin x + b cos x =c`, jossa a,b,c ovat kertoimia ja x on muuttuja, jaamme molemmat osat `sqrt (a^2+b^2)`:lla:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

Vasemmalla puolella olevilla kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, eli niiden neliöiden summa on 1 ja niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1. Merkitse ne seuraavasti: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, sitten:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tarkastellaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `3 sin x+4 cos x=2`.

Päätös. Jakamalla yhtälön molemmat puolet `sqrt (3^2+4^2)`:lla saadaan:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Merkitse `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Koska `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, otamme `\varphi=arcsin 4/5` apukulmaksi. Sitten kirjoitamme yhtäläisyytemme muodossa:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Käyttämällä kaavaa sinin kulmien summalle kirjoitamme yhtäläisyytemme seuraavassa muodossa:

"sin(x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtolukujen kanssa, joiden osoittajissa ja nimittäjissä on trigonometrisiä funktioita.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Päätös. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli arvolla "(1+cos x)". Tuloksena saamme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Koska nimittäjä ei voi olla nolla, saamme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Yhdistä murtoluvun osoittaja nollaan: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Sitten "sin x=0" tai "1-sin x=0".

1. "sin x=0", "x=\pi n", "n \in Z".
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

Ottaen huomioon, että ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ratkaisut ovat `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , "n \in Z".

Vastaus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään melkein kaikilla geometrian, fysiikan ja tekniikan aloilla. Opiskelu alkaa 10. luokalla, tentissä on aina tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - ne ovat varmasti hyödyllisiä sinulle!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes opetella niitä ulkoa, tärkeintä on ymmärtää ydin ja pystyä päättelemään. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä näyttää. Katso itse katsomalla video.