Steven Strogatzin ilo x:stä. Steven Strogatz X:n ilo

Eräänä viime vuoden toukokuun päivinä istuin assistenttina matematiikan kokeessa 10. luokalla. Tylsistyneenä otin "ylimääräisen" version työstä opettajan pöydältä ja aloin ratkaista sitä. Työ tehtiin yhtenäisen matematiikan valtiontutkinnon muodossa, jonka opiskelun lopetin vuonna 1989 lukiosta valmistuttuani. Ilman suurta vaivaa onnistuin kuitenkin ratkaisemaan 11 tehtävää B-osassa.- enemmän kuin monet, jotka kirjoittivat teoksen sinä päivänä. Yksi opiskelijoista + Julia Soboleva , katseli hämmästyneenä, kun päätin, ja tuli sitten luokseni:

— Tämä on ensimmäinen kerta, kun näen avustajan, joka ei ole matematiikan opettaja, istuvan ja päättävän. Anteeksi kysymys, mutta oliko siitä jotenkin hyötyä elämässäsi?

Kymmenennen luokkalaisen kysymys ei hämmästyttänyt minua. Tosiasia on, että koulussa matematiikan kanssa minulla oli rakkautta ilman vastavuoroisuutta: siinä mielessä, että matematiikka rakasti minua, ja minä rakastin häntä.- Ei. Eli matematiikka oli minulle aina helppoa, ongelmia ei ollut, muistan myös kaikki matematiikan opettajani lämmöllä ... Mutta en pitänyt matematiikasta, ja siinä se! Näin se tapahtuu. Ja kun tulin taiteiden yliopistoon (olen koulutukseltani historian opettaja), aloin yhtäkkiä tuntea matematiikan puutetta. Minusta alkoi tuntua, että minusta ei tullut tyhmä päivä, vaan tunti. Siksi 1-2 kurssia, täyttääkseen tämän tyhjiön, hän (!) otti ja ratkaisi olympiatehtävien kokoelmia, ratkaisi valmistuvan luokan koko oppikirjan uudella tavalla. Ja– voi ihme! Mielen selkeys ja looginen ajattelu alkoivat vähitellen palata. Ja sitten opiskellessaan jo kolmantena vuonna,lue L. Carrollin kirja "The Logic Game" (kiitos Sergei Michelson), kiinnostui logiikasta ja matematiikan tuntien tarve katosi jotenkin. Ja kun pari vuotta valmistumisen jälkeen aloin opettamaan taloustiedettä, matematiikka asettui lujasti mieleeni– Ongelmat on ratkaistava jotenkin.
Miksi kirjoitin tämän kaiken? Näin pitkä esipuhe on tarkoitettu selittämään: miksi otin tarjouksen ilolla vastaan +Natalia Shanina, apulaisprojektipäällikkö, kustantamo +Mann, Ivanov ja Ferber, vie kirja "The Pleasure of X" tarkistettavaksi (sellainen sanallinen sanapeli osoittautui).
Pidin kirjasta ensimmäisiltä sivuilta lähtien: rakastan sitä, kun ne näkyvät kauneus matematiikka. Pidän myös siitä, että yksinkertaisessa on kuvioita. Siksi jo ensimmäisessä luvussa olin järkyttynyt löydöstä: jos lisäämme peräkkäin parittomat luvut, niin yhteensä saamme sarjaan otettujen parittomien lukujen määrää vastaavat numeroiden neliöt. Sitten- että parittomat luvut muodostavat kulmia, joista voit tehdä neliön, esimerkiksi tämän:

Kirjaa lukiessani tein itselleni uusia löytöjä. Koska minulla oli rakkaus erilaisiin algoritmeihin (pyryn johtamaan algoritmia jopa joissakin luovissa ja lähes luovissa prosesseissa), en voinut olla huomaamatta yksinkertaista algoritmia lukujen neliöimiseksi aina 50:een asti. Pidin siitä niin paljon, että jopa luonnostelin sen muistikirjassa.

Geometrinen menetelmä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi ilahdutti minua: näytti siltä, että minulla ei ole koskaan ollut vaikeuksia niiden ratkaisemisessa, mutta sillä välin erottelu- ja juurikaavat näyttivät olevan jotain abstraktia. Mutta jos lisäät geometrian, kaikki tulee ilmeiseksi ja ymmärrettäväksi.

Entä tehtävät? Voi näitä tehtäviä, jotka eivät vaadi niinkään matematiikkaa kuin logiikkaa ja tarkkaavaisuutta. Kuka teistä ei ole tavannut pulmia, kuten: "Jos avaat hanan kylmällä vedellä, niin kylpy täyttyy puolessa tunnissa, jos kuumalla vedellä, niin tunnissa. Kuinka kauan kylvyn täyttö kestää, kun molemmat hanat ovat auki?" Tehtävän näennäinen yksinkertaisuus johtaa yleensä vastaukseen "45 minuuttia". Vastaus on tietysti väärä. Voitko selittää, miksi oikea vastaus on- "20 minuuttia"? Ja tehdä sen eri tavoilla? Mutta kirjan kirjoittaja tekee sen loistavasti.

Jopa niiden kirjan osien lukeminen, jotka osoittautuivat minulle vaikeiksi (no, en muista matematiikkaa sellaisessa määrässä) oli helppoa. En ymmärtänyt kaikkea, mutta nautin sen lukemisesta myös tässä tapauksessa. Koska kirjoittaja näkee kaikessa matemaattisten lakien konkreettisen soveltamisen ympäröivään todellisuuteen. Tilastot, onkologia, jopa kumppanin valinta avioliitossa - matematiikan jälkiä on kaikkialla. Ja tämä lainaus oli erityisen koskettava: "Aikoihin ennen kuin Googlea ei ollut olemassa, verkosta etsiminen oli toivotonta yritystä.".

Tiellä oli vain kaksi asiaa.

No, en tykkää lukea sähköisessä muodossa. Lisäksi matematiikan tapauksessa haluat heti ratkaista / laskea jotain. Jos lukisin paperikirjan, kirjoittaisin suoraan marginaaleille ja vapaille sivuille - kustantajan kirjoja +Mann, Ivanov ja Ferber julkaistaan siten, että he aluksi olettavat, että lukijoita on, jotka eivät vain lue kirjaa, vaan myös kirjoittavat siihen.
Kirjassa on paljon muistiinpanoja. Kustantaja jättää kirjan tekstiin perinteisesti vain lyhyen tiedon sisältävät linkit ja tekee yksityiskohtaisia muistiinpanoja loppuviitteiden muodossa. Minulle tämä lukumuoto on hankala (ja kaksinkertaisesti hankala sähköisessä muodossa). En pidä kirjassa hyppäämisestä edestakaisin. Ja muistiinpanojen lukeminen päätekstin lukemisen jälkeen on epäloogista. Lopulta katsoin niitä vain. Vaikka ne ansaitsevat olla osa päätekstiä: ne on kirjoitettu mielenkiintoisella tavalla, samalla tyylillä kuin kirjan teksti.

Suosittelisin tätä kirjaa paitsi matematiikan ystäville, myös lukiolaisille ja opiskelijoille. Ymmärtää asioita, jotka vaikuttavat liian abstraktilta koulu- tai yliopistokurssilla. No, ja matematiikan opettajat tietysti. Tässä +Natalia Lvova jo lukenut (arvostelu). Haluan suositella tätä kirjaa ja +Diana Sonina mutta - valitettavasti! Tytär kulkee samaa polkua kuin äiti. Matematiikka on helppoa, hän on kunnallisen olympian voittaja ja mitä he tekevät matematiikan opettajansa kanssa, jolla on tutkintotutkinnot (jolla hän voitti palkintoja useammin kuin kerraneri konferensseissa), lukiolaisten olympialaisten ongelmien ratkaiseminen on minun vaikea ymmärtää. Mutta samalla hän ei halua edes kuulla matematiikasta. Välttämätön- tekee, mutta ilman mielihyvää.Ja sillä välin, kun vastailen opiskelijani kysymykseen, kuinka matematiikasta oli minulle hyötyä elämässä, minulla on joidenkin pragmaattisten asioiden lisäksi aina valmiina vastaus: koulussa pitää opiskella hyvin, myös voidakseen auttaa. heidän lapsensa oppivat. Mutta tyttäreni ei todellakaan tarvitse apuani.- hoitaa itsensä. Siksi kysymys jää avoimeksi: miksi erinomaisilla lähtöolosuhteilla - hyvä opettaja, hyvät kyvyt aineessa on lapsia, jotka eivät pidä matematiikasta? Keskusteltiin tästä toissapäivänä +Marina Kurvits, valmis keskustelemaan tästä muiden "tuttujen matemaatikoiden" kanssa -+Juri Kurvits ja +Ljudmilla Rozhdestvenskaja. Mikä on syy? Sisäänonko mitään keinoa muuttaa tilannetta? Tässä se on ratkaistu nuoruudessani. Mutta minua kummittelee edelleen ajatus, että koska en ollut rakastunut matematiikkaan aikaisemmin, missasin joitain mahdollisuuksia elämässäni ...

Osta kirja Ozonesta >>>
Osta kirja Labyrintista >>>
Tietoja kirjasta kustantajan verkkosivuilla >>>

Tätä kirjaa täydentävät hyvin:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

rahapallo

Michael Lewis

Joustava mieli

Carol Dweck

Pörssin fysiikka

James Weatherall

Iloa X

Opastettu matematiikkakierros yhdestä äärettömään

Stephen Strogatz

ilo mistä X

Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista

Tiedot kustantajalta

Julkaistu ensimmäistä kertaa venäjäksi

Julkaistu Steven Strogatzin, c/o Brockman, Inc:n luvalla.

Strogats, P.

ilo mistä X. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista / Stephen Strogatz; per. englannista. - M.: Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Tämä kirja voi muuttaa radikaalisti suhtautumistasi matematiikkaan. Se koostuu lyhyistä luvuista, joista jokaisessa löydät jotain uutta. Opit kuinka hyödyllisiä numerot ovat ympärilläsi olevan maailman tutkimiseen, ymmärrät geometrian kauneuden, tutustut integraalilaskennan tyylikkyyteen, näet tilastojen merkityksen ja saat yhteyden äärettömyyteen. Kirjoittaja selittää perustavanlaatuisia matemaattisia ajatuksia yksinkertaisesti ja tyylikkäästi antaen loistavia esimerkkejä, jotka kaikki voivat ymmärtää.

Kaikki oikeudet pidätetään.

Mitään tämän kirjan osaa ei saa jäljentää missään muodossa ilman tekijänoikeuksien haltijoiden kirjallista lupaa.

Kustantajan oikeudellisen tuen tarjoaa lakitoimisto "Vegas-Lex"

Esipuhe

Minulla on ystävä, joka ammattistaan huolimatta (hän on taiteilija) on intohimoinen tieteeseen. Aina kun tapaamme, hän puhuu innostuneesti psykologian tai kvanttimekaniikan viimeisimmästä kehityksestä. Mutta heti kun puhumme matematiikasta, hän tuntee vapinaa polvissaan, mikä järkyttää häntä suuresti. Hän valittaa, että nämä omituiset matemaattiset symbolit eivät vain uhmaa häntä, vaan joskus hän ei edes osaa lausua niitä.

Itse asiassa syy hänen vastenmielisyyteen matematiikasta on paljon syvemmällä. Hän ei koskaan ymmärrä, mitä matemaatikot yleensä tekevät ja mitä he tarkoittavat sanoessaan, että tämä todiste on tyylikäs. Joskus vitsailemme, että minun pitäisi vain istua alas ja alkaa opettaa hänelle aivan perusteet, kirjaimellisesti 1 + 1 = 2, ja mennä matematiikkaan niin paljon kuin hän pystyy.

Ja vaikka tämä idea vaikuttaa hullulta, yritän sen toteuttaa tässä kirjassa. Ohjaan sinut kaikkien tärkeimpien tieteenalojen läpi aritmetiikasta edistykselliseen matematiikkaan, jotta ne, jotka halusivat toisen mahdollisuuden, voivat vihdoin tarttua siihen. Ja tällä kertaa sinun ei tarvitse istua pöytäsi ääressä. Tämä kirja ei tee sinusta matematiikan asiantuntijaa. Mutta se auttaa ymmärtämään, mitä tämä tieteenala tutkii ja miksi se on niin jännittävää niille, jotka ymmärtävät sen.

Opimme kuinka Michael Jordanin slam dunk voi auttaa selittämään laskennan perusteet. Näytän sinulle yksinkertaisen ja hämmästyttävän tavan ymmärtää Euklidisen geometrian peruslause - Pythagoraan lause. Yritämme päästä joidenkin elämän mysteerien, isojen ja pienten, pohjalle: Tappoiko Jay Simpson vaimonsa; kuinka siirtää patjaa niin, että se kestää mahdollisimman pitkään; kuinka monta kumppania on vaihdettava ennen kuin häät pelataan - ja näemme, miksi jotkut äärettömät ovat suurempia kuin toiset.

Matematiikka on kaikkialla, sinun on vain opittava tunnistamaan se. Voit nähdä sinusoidin seepran selässä, voit kuulla kaikuja Eukleideen teoreemoista itsenäisyysjulistuksessa; Mitä voin sanoa, jopa ensimmäistä maailmansotaa edeltäneissä kuivissa raporteissa on negatiivisia lukuja. Näet myös kuinka uudet matematiikan osa-alueet vaikuttavat elämäämme tänään, esimerkiksi kun etsimme ravintoloita tietokoneella tai yritämme ainakin ymmärtää, tai vielä parempi, selviytyä pörssin pelottavista heilahteluista.

15 artikkelin sarja yleisnimellä "Matematiikan perusteet" ilmestyi verkossa tammikuun 2010 lopussa. Vastauksena julkaisuun tulvi kirjeitä ja kommentteja kaiken ikäisiltä lukijoilta, joiden joukossa oli paljon opiskelijoita ja opettajia. Oli myös yksinkertaisesti uteliaita ihmisiä, jotka syystä tai toisesta " eksyivät" matemaattisen tieteen ymmärtämisessä; nyt he tuntevat menettäneensä jotain. noin ja haluaisin yrittää uudelleen. Olin erityisen iloinen vanhempieni kiitollisuudesta siitä, että heidän avullani he pystyivät selittämään matematiikkaa lapsilleen ja he itse alkoivat ymmärtää sitä paremmin. Näytti siltä, että jopa kollegani ja toverini, tämän tieteen kiihkeät ihailijat, nauttivat artikkeleiden lukemisesta, paitsi ne hetket, jolloin he kilpailivat keskenään tarjotakseen kaikenlaisia suosituksia jälkeläisteni parantamiseksi.

Yleisestä uskomuksesta huolimatta yhteiskunnassa on selvää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan, vaikka tähän ilmiöön kiinnitetään vain vähän huomiota. Kuulemme vain matematiikan pelosta, mutta silti monet yrittäisivät mielellään ymmärtää sitä paremmin. Ja kun tämä tapahtuu, niitä on vaikea repiä pois.

Tämä kirja esittelee sinulle matematiikan maailman monimutkaisimmat ja edistyneimmät ideat. Luvut ovat lyhyitä, helppolukuisia eivätkä ole varsinaisesti riippuvaisia toisistaan. Heidän joukossaan ovat ne, jotka sisältyvät New York Timesin ensimmäiseen artikkelisarjaan. Joten heti kun tunnet lievää matemaattista nälkää, älä epäröi ottaa seuraavaan lukuun. Jos haluat ymmärtää sinua kiinnostavaa asiaa tarkemmin, kirjan lopussa on muistiinpanoja, joissa on lisätietoja ja suosituksia siitä, mitä muuta voit lukea siitä.

Vaiheittaista lähestymistapaa suosivien lukijoiden avuksi olen jakanut aineiston kuuteen osaan perinteisen aihejärjestyksen mukaisesti.

Osa I "Numerot" aloittaa matkamme aritmetiikalla päiväkodissa ja ala-asteella. Se osoittaa, kuinka hyödyllisiä numerot voivat olla ja kuinka ne ovat maagisesti tehokkaita kuvaamaan ympäröivää maailmaa.

Osa II "Suhteet" siirtää huomion itse numeroista niiden välisiin suhteisiin. Nämä ideat ovat algebran ytimessä ja ovat ensimmäisiä työkaluja kuvailla, miten yksi vaikuttaa toiseen, ja ne osoittavat useiden asioiden syy-suhteen: tarjonnan ja kysynnän, ärsykkeen ja reaktion - lyhyesti sanottuna kaikenlaiset suhteet, jotka tekevät maailmasta. niin monipuolinen ja rikas..

Osa III "Kuvut" ei käsittele numeroita ja symboleja, vaan kuvioita ja avaruutta - geometrian ja trigonometrian aluetta. Nämä aiheet sekä kaikkien havainnoitavien kohteiden kuvaus muotojen avulla loogisen päättelyn ja todisteiden avulla nostavat matematiikan uudelle tarkkuuden tasolle.

Osassa IV "Muutoksen aika" tarkastellaan laskentaa - matematiikan vaikuttavinta ja monipuolisinta aluetta. Calculus mahdollistaa planeettojen liikeradan, vuoroveden kiertokulkujen ennustamisen sekä mahdollistaa kaikkien universumissa ja meissä jaksoittain muuttuvien prosessien ja ilmiöiden ymmärtämisen ja kuvaamisen. Tärkeä paikka tässä osassa on omistettu äärettömyyden tutkimukselle, jonka rauhoittaminen oli läpimurto, joka mahdollisti laskelmien toiminnan. Tietojenkäsittely auttoi ratkaisemaan monia muinaisessa maailmassa syntyneitä ongelmia, ja tämä johti lopulta vallankumoukseen tieteessä ja nykymaailmassa.

Osa V "Datan monet kasvot" käsittelee todennäköisyyksiä, tilastoja, verkostoja ja tietojenkäsittelyä - nämä ovat vielä suhteellisen nuoria kenttiä, jotka syntyvät elämämme ei aina järjestetyistä osista, kuten mahdollisuudesta ja onnesta, epävarmuudesta, riskistä, epävakaudesta, satunnaisuudesta. , keskinäinen riippuvuus. Käyttämällä oikeita matemaattisia työkaluja ja oikeita tietotyyppejä opimme havaitsemaan kuvioita satunnaisuuden virrassa.

Matkamme lopussa VI osassa "Mahdollisuuden rajat" lähestymme matemaattisen tiedon rajoja, raja-aluetta sen välillä, mikä on jo tiedossa ja mikä on vielä vaikeasti tiedossa. Käymme taas aiheet läpi jo tuntemassamme järjestyksessä: numerot, suhteet, muodot, muutokset ja äärettömyys - mutta samalla tarkastelemme niitä jokaista syvemmällä, sen nykyaikaisessa inkarnaatiossa.

Nimi: X:n ilo. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista
Tekijä:
vuosi:
Genre:

ladata
ote

X:n ilo. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista
Stephen Strogatz

Julkaistu ensimmäistä kertaa venäjäksi.

Stephen Strogatz

X:n ilo. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista

Steven Strogatz

Opastettu matematiikkakierros yhdestä äärettömään

Julkaistu Steven Strogatzin, c/o Brockman, Inc:n luvalla.

Kaikki oikeudet pidätetään. Mitään tämän kirjan sähköisen version osaa ei saa jäljentää missään muodossa tai millään tavalla, mukaan lukien julkaiseminen Internetiin tai yrityksen...

Kuinka hyödyllisiä numerot ovat ympärillämme olevan maailman tutkimisessa, mikä on geometrian kauneutta, kuinka tyylikkäitä integraalilaskut ovat ja kuinka tärkeitä tilastot ovat? Steven Strogatz puhuu tästä kaikesta kirjassaan The Pleasure of X. Kirjoittaja selittää perustavanlaatuisia matemaattisia ajatuksia yksinkertaisesti ja tyylikkäästi antaen esimerkkejä, joita kaikki ymmärtävät. Sivustolla julkaistaan yksi Mann, Ivanov and Ferber -kustantajan julkaiseman kirjan luvuista.

Tilastoista on yhtäkkiä tullut trendikästä. Internetin, sähköisen kaupankäynnin, sosiaalisen median, ihmisen genomin sekvensointiprojektin ja yleensä digitaalisen kulttuurin nousun myötä maailma on täyttynyt datasta. Markkinoijat tutkivat makujamme ja tapojamme. Tiedustelupalvelut keräävät tietoja sijainnistamme, sähköposteistamme ja puheluistamme. Urheilutilastomiehet jongleeraavat numeroilla päättääkseen, mitä pelaajia ostaa, ketä värvätä ja kenet penkkiin. Kaikki pyrkivät yhdistämään pisteet kaavioksi ja löytämään kuvion kaoottisesta tiedon kerääntymisestä.

Ei ole yllättävää, että nämä suuntaukset näkyvät oppimisessa. "Mennään tilastoihin", neuvoo Greg Mankiw, ekonomisti Harvardin yliopistosta New York Timesin kolumnissaan.

”Lukion matematiikan opetussuunnitelmassa käytetään liikaa aikaa perinteisiin aiheisiin, kuten euklidiseen geometriaan ja trigonometriaan. Näistä tavalliselle ihmiselle hyödyllisistä henkisistä harjoituksista ei kuitenkaan ole juurikaan hyötyä arjessa. Opiskelijoiden olisi paljon hyödyllisempää oppia lisää todennäköisyysteoriasta ja tilastoista." David Brooks menee vielä pidemmälle. Artikkelissaan tieteenaloista, jotka ansaitsevat huomion kunnollisen koulutuksen saamiseksi, hän kirjoittaa: ”Ota tilastot. Näet, käy ilmi, että keskihajonnan tietäminen on sinulle erittäin hyödyllistä elämässä.

Se on täysin mahdollista, ja on myös hyvä ymmärtää, mitä jakelu on. Tämä on ensimmäinen asia, josta aion puhua. Ja siihen haluaisin keskittyä, koska tämä on yksi tilaston tärkeimmistä opetuksista: asiat näyttävät yksittäin tarkasteltuna toivottoman satunnaisilta ja arvaamattomilta, mutta kokonaisuutena ne paljastavat säännöllisyyden ja ennustettavuuden.

Olet ehkä nähnyt tämän periaatteen esittelyn jossain tiedemuseossa (jos ei, videoita löytyy verkosta). Tyypillinen näyttelyesine on Galton-lauta, joka muistuttaa jonkin verran flipperiä, vain ilman räpylöitä. Sen sisällä on säännöllisin väliajoin tasaisia nastarivejä.

Galtonin lauta

Kokeilu alkaa satoja palloja laukaistamalla Galton-laudan yläosaan. Pudotessaan ne törmäävät tappeihin ja pomppaavat yhtä suurella todennäköisyydellä joko oikealle tai vasemmalle, ja sitten ne jakautuvat laudan alaosaan putoamalla saman leveisiin lokeroihin. Pallopylvään korkeus osoittaa, millä todennäköisyydellä pallo voi olla tietyssä paikassa. Suurin osa palloista on sijoitettu suunnilleen keskelle, sivuilla on jo vähemmän ja reunoilla vielä vähemmän.

Yleisesti ottaen kuva on erittäin ennustettavissa: pallot muodostavat aina kellonmuotoisen jakauman, vaikka on mahdotonta ennustaa, mihin kukin yksittäinen pallo päätyy.

Miten yksittäiset onnettomuudet muuttuvat yleisiksi kaavoiksi? Mutta niin satunnaisuus toimii. Keskisarakkeeseen on kertynyt eniten palloja, koska monet niistä tekevät ennen alas vierimistä suunnilleen yhtä monta hyppyä oikealle ja vasemmalle, minkä seurauksena ne ovat jossain keskellä. Useat yksittäiset pallot, jotka sijaitsevat reunoilla, muodostavat jakopyrstöjä - nämä ovat palloja, jotka törmääessään tappeihin pomppivat aina samaan suuntaan. Tällaiset pomput ovat epätodennäköisiä, minkä vuoksi palloja on niin vähän reunojen ympärillä.

Aivan kuten jokaisen pallon sijainnin määrää monien satunnaisten tapahtumien summa, niin monet ilmiöt tässä maailmassa ovat seurausta monista pienistä olosuhteista ja noudattavat myös kellokäyrää. Näin vakuutusyhtiöt toimivat. He voivat nimetä tarkasti vuosittain kuolevien asiakkaidensa määrän. He eivät kuitenkaan tiedä, kuka ei ole onnekas tällä kertaa.

Tai ota esimerkiksi henkilön pituus. Se riippuu lukemattomista genetiikkaan, biokemiaan, ravitsemukseen ja ympäristöön liittyvistä onnettomuuksista. Siksi on todennäköistä, että yhdessä tarkasteltuna aikuisten urosten ja naaraiden pituus on kellomainen käyrä.

Blogiviestissä, jonka otsikko on "False Data People Report About Themselves Online", treffisivustojen tilastot OkCupid julkaisi äskettäin kaavion asiakkaidensa kasvusta tai pikemminkin heidän raportoimistaan arvoista. Todettiin, että molempien sukupuolten kasvunopeudet muodostavat odotetusti kellon muotoisen käyrän. Yllättäen molemmat jakaumat olivat kuitenkin vinossa oikealle noin kaksi tuumaa odotetuista arvoista.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

Näin ollen joko OkCupidin tutkimien asiakkaiden pituus on keskimääräistä korkeampi tai he lisäävät pituuteensa pari tuumaa kuvaillessaan itseään verkossa.

Näiden kellokäyrien idealisoitua versiota matemaatikot kutsuvat normaalijakaumaksi. Tämä on yksi tilaston tärkeimmistä käsitteistä, jolla on teoreettinen perustelu. Voidaan osoittaa, että normaalijakauma syntyy useiden pienten satunnaistekijöiden yhteenlaskemisesta, joista jokainen toimii muista riippumatta. Ja monet asiat tapahtuvat näin.

Mutta eivät kaikki. Ja tämä on toinen kohta, johon haluan kiinnittää huomiota. Normaalijakauma ei ole niin yleinen kuin miltä näyttää. Tiedemiehet ja tilastotieteilijät ovat sadan vuoden ajan ja varsinkin muutaman viime vuosikymmenen ajan havainneet, että on olemassa monia ilmiöitä, jotka poikkeavat tästä käyrästä ja noudattavat omaa aikatauluaan. On outoa, että tällaisia jakaumia ei käytännössä mainita alkeistilastojen oppikirjoissa, ja jos niitä esiintyy, niitä pidetään yleensä jonkinlaisena patologiana.

Tämä on outoa. Yritän selittää, että monet nykyajan elämän ilmiöt ovat järkevämpiä, jos nämä "patologiset" jakaumat ymmärretään. Tämä on uusi normaali. Otetaan esimerkiksi kaupunkien kokojakauma Yhdysvalloissa. Sen sijaan, että ne ryhmittyisivät jonkin keskimääräisen kellokäyrän ympärille, valtaosa kaupungeista on pieniä ja siksi klusterit kaavion vasemmalla puolella.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

Ja mitä suurempi kaupungin väkiluku, sitä harvemmin tällaisia kaupunkeja löytyy. Toisin sanoen aggregaatissa jakauma on L-muotoinen käyrä ennemmin kuin kellokäyrä.

Eikä tässä ole mitään yllättävää. Kaikki tietävät, että megakaupunkeja on paljon vähemmän kuin pieniä kaupunkeja. Vaikka se ei olekaan niin ilmeistä, kaupunkien koot noudattavat yksinkertaista kaunista jakaumaa - jos niitä tarkastellaan logaritmisella asteikolla.

Oletetaan, että kahden kaupungin välinen ero on sama, jos niiden asukasluku eroaa saman verran (kuten mitkä tahansa kaksi oktaavin erotettua pianon kosketinta eroavat aina kaksi kertaa taajuudella). Ja teemme saman pystyakselilla.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

Nyt tiedot ovat käyrällä, joka on melkein täydellinen suora. Logaritmien ominaisuuksien perusteella on helppo päätellä, että alkuperäinen L-muotoinen käyrä on tehoriippuvuus, jota kuvataan muodon funktiolla.

missä x on kaupungin väkiluku, y on tämän kokoisten kaupunkien lukumäärä, c on vakio ja eksponentti a (potenssilain eksponentti) määrittää suoran negatiivisen kulman.

Tehonjakoilla on joitain perinteisen tilaston kannalta epäloogisia ominaisuuksia. Esimerkiksi, toisin kuin normaalijakaumassa, niiden moodit, mediaanit ja keskiarvot eivät täsmää L-muotoisten käyrien vinoon, vinoon muotoon johtuen.

Presidentti Bush hyötyi tästä suuresti, kun hän ilmoitti vuonna 2003, että veronalennukset säästävät jokaiselle perheelle keskimäärin 1 586 dollaria. Vaikka matemaattisesti oikein, hän otti tässä hyväkseen perustana keskimääräisen vähennyksen, joka kätki valtavat satojen tuhansien dollarien vähennykset, jotka 0,1 % maan rikkaimmista väestöstä sai. Tiedetään, että tulonjaon oikealla puolella oleva ”häntä” noudattaa valtalakia, ja tällaisessa tilanteessa keskiarvon käyttö on harhaanjohtavaa, koska se on kaukana todellisesta arvostaan. Todellisuudessa useimmat perheet saivat alle 650 dollaria takaisin. Tässä jakaumassa mediaani on paljon pienempi kuin keskiarvo.

Tämä esimerkki osoittaa potenssilakijakaumien tärkeimmän ominaisuuden: niillä on "raskaat häntät" verrattuna ainakin normaalijakauman pieniin "nestepyrstöihin". Tämän kaltaiset suuret pyrstöt, vaikka ne ovat harvinaisia, ovat yleisempiä datajakaumissa kuin tavalliset kellokäyrät.

Mustana maanantaina 19. lokakuuta 1987 Dow Jones Industrial Average putosi 22 %. Verrattuna osakemarkkinoiden tavanomaiseen volatiliteettitasoon tämä pudotus oli yli kaksikymmentä standardipoikkeamaa. Perinteisten tilastojen mukaan (jotka käyttävät normaalijakaumaa) tällainen tapahtuma on lähes mahdoton: sen todennäköisyys on pienempi kuin yksi 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - 000 potenssista. Näin kuitenkin tapahtui - koska osakemarkkinoiden kurssivaihtelut eivät seuranneet normaalijakaumaa.

Jakaumat, joissa on "raskas häntä", sopivat paremmin kuvaamaan niitä. Näin tapahtuu maanjäristysten, tulipalojen ja tulvien yhteydessä, mikä tekee vakuutusyhtiöiden vaikeaksi hallita riskejä.

Sama matemaattinen malli kuvaa sodissa ja terrori-iskuissa kuolleiden määrää sekä muita, paljon rauhallisempia asioita, kuten romaanin sanojen määrää tai seksikumppaneiden määrää.

Vaikka pitkiä häntää kuvaavat adjektiivit eivät anna niitä kovin suotuisassa valossa, "häntäjakaumat" kantavat ylpeänä häntäänsä. Rohkea, raskas ja pitkä? Kyllä se on. Mutta tässä tapauksessa näytä minulle, mikä on normaali?

Tätä kirjaa täydentävät hyvin:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

rahapallo

Michael Lewis

Joustava mieli

Carol Dweck

Pörssin fysiikka

James Weatherall

X:n ilo

Opastettu matematiikkakierros yhdestä äärettömään

Stephen Strogatz

Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista

Tiedot kustantajalta

Julkaistu ensimmäistä kertaa venäjäksi

Julkaistu Steven Strogatzin, c/o Brockman, Inc:n luvalla.

Strogats, P.

The Pleasure of X. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista / Steven Strogatz; per. englannista. - M.: Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Kaikki oikeudet pidätetään.

Mitään tämän kirjan osaa ei saa jäljentää missään muodossa ilman tekijänoikeuksien haltijoiden kirjallista lupaa.

Kustantajan oikeudellisen tuen tarjoaa lakitoimisto "Vegas-Lex"

Esipuhe

15 artikkelin sarja yleisnimellä "Matematiikan perusteet" ilmestyi verkossa tammikuun 2010 lopussa. Vastauksena julkaisuun tulvi kirjeitä ja kommentteja kaiken ikäisiltä lukijoilta, joiden joukossa oli paljon opiskelijoita ja opettajia. Oli myös yksinkertaisesti uteliaita ihmisiä, jotka syystä tai toisesta " eksyivät" matemaattisen tieteen ymmärtämisessä; nyt heistä tuntuu, että he ovat menettäneet jotain ja haluaisivat yrittää uudelleen. Olin erityisen iloinen vanhempieni kiitollisuudesta siitä, että heidän avullani he pystyivät selittämään matematiikkaa lapsilleen ja he itse alkoivat ymmärtää sitä paremmin. Näytti siltä, että jopa kollegani ja toverini, tämän tieteen kiihkeät ihailijat, nauttivat artikkeleiden lukemisesta, paitsi ne hetket, jolloin he kilpailivat keskenään tarjotakseen kaikenlaisia suosituksia jälkeläisteni parantamiseksi.

Vaiheittaista lähestymistapaa suosivien lukijoiden avuksi olen jakanut aineiston kuuteen osaan perinteisen aihejärjestyksen mukaisesti.

Toivon, että kaikki tämän kirjan ideat ovat kiinnostavia ja saavat sinut sanomaan: "No niin!" useammin kuin kerran. Mutta jostain on aina aloitettava, joten aloitetaan yksinkertaisella mutta kiehtovalla toiminnolla, kuten laskennalla.

1. Numeroiden perusteet: Kalan lisääminen

Paras koskaan näkemäni osoitus numeroiden käsitteestä (selkein ja hauskin selitys siitä, mitä numerot ovat ja miksi niitä tarvitaan) näin suositun lastenohjelman Sesame Street 123: Counting Together jaksossa » (123 Counter minun kanssani). X...

Portaali opiskelijalle. Itseharjoittelu

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT