Tuntisuunnitelma.
1. Organisatorinen hetki.
2. Materiaalin esittely.
3. Kotitehtävät.
4. Oppitunnin yhteenveto.
Tuntien aikana
I. Organisatorinen hetki.
II. Materiaalin esittely.
Motivaatio.
Reaalilukujoukon laajentaminen koostuu siitä, että reaalilukuihin lisätään uusia (imaginaarisia) lukuja. Näiden lukujen käyttöönotto liittyy mahdottomuuteen erottaa juuria reaalilukujoukon negatiivisesta luvusta.
Kompleksiluvun käsitteen esittely.
Imaginaariset luvut, joilla täydennämme reaalilukuja, kirjoitetaan muodossa bi, missä i on kuvitteellinen yksikkö ja i 2 = - 1.
Tämän perusteella saadaan seuraava kompleksiluvun määritelmä.
Määritelmä. Kompleksiluku on muodon lauseke a+bi, missä a ja b ovat todellisia lukuja. Tässä tapauksessa seuraavat ehdot täyttyvät:
a) Kaksi kompleksilukua a 1 + b 1 i ja a 2 + b 2 i yhtä suuri jos ja vain jos a 1 = a 2, b1 = b2.
b) Kompleksilukujen yhteenlasku määräytyy säännön mukaan:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Kompleksilukujen kertolasku määräytyy säännöllä:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Kompleksiluvun algebrallinen muoto.
Kompleksiluvun kirjoittaminen muotoon a+bi kutsutaan kompleksiluvun algebralliseksi muodoksi, jossa a- oikea osa bi on kuvitteellinen osa ja b on todellinen luku.
Monimutkainen luku a+bi katsotaan nollaksi, jos sen reaali- ja imaginaariosat ovat yhtä suuret kuin nolla: a=b=0
Monimutkainen luku a+bi klo b = 0 pidetään reaalilukuna a: a + 0i = a.
Monimutkainen luku a+bi klo a = 0 kutsutaan puhtaasti kuvitteelliseksi ja on merkitty bi: 0 + bi = bi.
Kaksi kompleksilukua z = a + bi ja = a – bi, jotka eroavat vain imaginaariosan merkistä, kutsutaan konjugaateiksi.
Toimet kompleksiluvuille algebrallisessa muodossa.
Seuraavat toiminnot voidaan suorittaa kompleksiluvuille algebrallisessa muodossa.
1) Lisäys.
Määritelmä. Kompleksilukujen summa z 1 = a 1 + b 1 i ja z 2 = a 2 + b 2 i kutsutaan kompleksiluvuksi z, jonka reaaliosa on yhtä suuri kuin reaaliosien summa z1 ja z2, ja imaginaariosa on lukujen imaginaaristen osien summa z1 ja z2, eli z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Numerot z1 ja z2 kutsutaan termeiksi.
Kompleksilukujen summauksella on seuraavat ominaisuudet:
1º. Kommutatiivisuus: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Assosiaatio: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Monimutkainen luku -bi kutsutaan kompleksiluvun vastakohtaksi z = a + bi. Kompleksiluku vastakohta kompleksiluvulle z, merkitty -z. Kompleksilukujen summa z ja -z on yhtä kuin nolla: z + (-z) = 0
Esimerkki 1: Lisää (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Vähennys.
Määritelmä. Vähennä kompleksiluvusta z1 kompleksiluku z2 z, mitä z + z 2 = z 1.
Lause. Kompleksilukujen ero on olemassa, ja lisäksi se on ainutlaatuinen.
Esimerkki 2: Vähennä (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Kertominen.
Määritelmä. Kompleksilukujen tulo z 1 =a 1 + b 1 i ja z 2 \u003d a 2 + b 2 i kutsutaan kompleksiluvuksi z, määritellään tasa-arvolla: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Numerot z1 ja z2 kutsutaan tekijöiksi.
Kompleksilukujen kertolaskulla on seuraavat ominaisuudet:
1º. Kommutatiivisuus: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assosiaatio: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 on todellinen luku.
Käytännössä kompleksilukujen kertominen tapahtuu säännön mukaan, jossa summa kerrotaan summalla ja erotetaan reaali- ja imaginaariosa.
Tarkastellaan seuraavassa esimerkissä kompleksilukujen kertomista kahdella tavalla: säännöllä ja kertomalla summa summalla.
Esimerkki 3: Kerro (2 + 3i) (5 - 7i).
1 tapa. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
2 tapa. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Jaosto.
Määritelmä. Jaa kompleksiluku z1 kompleksiluvuksi z2, tarkoittaa sellaisen kompleksiluvun löytämistä z, mitä z z 2 = z 1.
Lause. Kompleksilukujen osamäärä on olemassa ja on ainutlaatuinen, jos z2 ≠ 0 + 0i.
Käytännössä kompleksilukujen osamäärä saadaan kertomalla osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla.
Anna olla z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, sitten
.
Seuraavassa esimerkissä suoritamme jakamisen kaavalla ja kertolaskusäännön nimittäjän konjugaatilla.
Esimerkki 4. Etsi osamäärä 
.
5) Positiiviseen kokonaisluvun potenssiin korottaminen.
a) Kuvitteellisen yhtenäisyyden voimat.
Tasa-arvon hyödyntäminen i 2 \u003d -1, on helppo määrittää mikä tahansa imaginaariyksikön positiivinen kokonaislukupotenssi. Meillä on:
i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,
i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,
i 5 \u003d i 4 i \u003d i,
i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,
i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 jne.
Tämä osoittaa, että astearvot sisään, missä n- positiivinen kokonaisluku, joka toistetaan säännöllisesti, kun indikaattori kasvaa 4 .
Siksi nostaa määrää i positiiviseen kokonaisluvun potenssiin, jaa eksponentti arvolla 4 ja pystyssä i potenssiin, jonka eksponentti on jaon loppuosa.
Esimerkki 5 Laske: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.
b) Kompleksiluvun nostaminen positiiviseksi kokonaislukupotenssiksi suoritetaan binomiaalin nostamisen säännön mukaan vastaavaan potenssiin, koska kyseessä on erityinen tapaus kertoa identtiset kompleksitekijät.
Esimerkki 6 Laske: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Sivu 2/3
Kompleksiluvun algebrallinen muoto.
Kompleksilukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku.
Olemme jo tavanneet kompleksiluvun algebrallisen muodon kanssa - tämä on kompleksiluvun algebrallinen muoto. Miksi puhumme muodosta? Tosiasia on, että on olemassa myös kompleksilukujen trigonometrisiä ja eksponentiaalisia muotoja, joista keskustellaan seuraavassa kappaleessa.
Operaatiot kompleksiluvuilla eivät ole erityisen vaikeita ja eroavat vähän tavallisesta algebrasta.
Kompleksilukujen yhteenlasku
Esimerkki 1
Lisää kaksi kompleksilukua,
Voit lisätä kaksi kompleksilukua lisäämällä niiden reaali- ja imaginaariosat:
Yksinkertaista, eikö? Toiminta on niin ilmeistä, että se ei vaadi lisäkommentteja.
Näin yksinkertaisella tavalla voit löytää minkä tahansa määrän termejä: summaa reaaliosat ja summaa kuvitteelliset osat.
Kompleksiluvuille ensimmäisen luokan sääntö on tosi: 
- ehtojen uudelleenjärjestelystä summa ei muutu.
Kompleksilukujen vähentäminen
Esimerkki 2
Etsi kompleksilukujen erot ja jos ,
Toiminto on samanlainen kuin lisääminen, ainoa ominaisuus on, että aliosa on otettava suluissa ja sitten normaalisti avattava nämä sulut etumerkin muutoksella:
Tuloksen ei pitäisi hämmentää, tuloksena olevassa numerossa on kaksi, ei kolme osaa. Vain oikea osa on komponentti: . Selvyyden vuoksi vastaus voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: .
Lasketaan toinen ero:
Tässä todellinen osa on myös komponentti:
Aliarvioimisen välttämiseksi annan lyhyen esimerkin, jossa on "huono" kuvitteellinen osa: . Täällä et tule toimeen ilman sulkuja.
Kompleksilukujen kertolasku
On tullut hetki esitellä sinulle kuuluisa tasa-arvo:
Esimerkki 3
Etsi kompleksilukujen tulo,
Ilmeisesti työ tulee kirjoittaa näin:
Mitä kysytään? Se ehdottaa itseään avaavansa sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti. Näin se pitää tehdä! Kaikki algebralliset operaatiot ovat sinulle tuttuja, tärkeintä on muistaa se ja ole varovainen.
Toistetaan, omg, koulun sääntö polynomien kertomisesta: Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin jokainen termi toisen polynomin kullakin termillä.
Kirjoitan yksityiskohtaisesti:
Toivottavasti se oli kaikille selvää
Huomio ja jälleen huomio, useimmiten virhe tehdään merkeissä.
Kuten summa, kompleksilukujen tulo on muuttuva, eli yhtälö on tosi: .
Oppikirjallisuudesta ja verkosta on helppo löytää erityinen kaava kompleksilukujen tulon laskemiseksi. Käytä sitä halutessasi, mutta minusta näyttää siltä, että lähestymistapa polynomien kertomiseen on universaalimpi ja selkeämpi. En anna kaavaa, luulen, että tässä tapauksessa se tukkii pään sahanpurulla.
Kompleksilukujen jako
Esimerkki 4
Kun kompleksiluvut , . Etsi yksityinen.
Tehdään osamäärä:
Numeroiden jako suoritetaan kertomalla nimittäjä ja osoittaja nimittäjän konjugaattilausekkeella.
Muistamme partakaavan ja katsomme nimittäjäämme: . Nimittäjällä on jo , joten konjugaattilauseke tässä tapauksessa on , eli
Säännön mukaan nimittäjä on kerrottava luvulla, ja jotta mikään ei muutu, kerrotaan osoittaja samalla luvulla:
Kirjoitan yksityiskohtaisesti:
Otin "hyvän" esimerkin, jos otat kaksi numeroa "puskutraktorista", niin jakamisen seurauksena saat melkein aina murto-osia, jotain sellaista.
Joissakin tapauksissa ennen jakamista on suositeltavaa yksinkertaistaa murtolukua, esimerkiksi harkita lukujen osamäärää:. Ennen jakamista pääsemme eroon tarpeettomista miinuksista: osoittajassa ja nimittäjässä otetaan miinukset pois suluista ja vähennetään näitä miinuksia: 
. Niille, jotka haluavat ratkaista, annan oikean vastauksen:
Harvoin, mutta sellainen tehtävä on:
Esimerkki 5
Sinulle annetaan kompleksiluku. Kirjoita annettu luku algebralliseen muotoon (eli muotoon).
Vastaanotto on sama - kerromme nimittäjän ja osoittajan lausekkeella konjugoitu nimittäjään. Katsotaan kaavaa uudelleen. Nimittäjällä on jo , joten nimittäjä ja osoittaja on kerrottava konjugaattilausekkeella, eli:
Käytännössä he voivat tarjota helposti hienon esimerkin, jossa sinun on suoritettava paljon operaatioita kompleksiluvuilla. Ei paniikkia: ole varovainen, noudata algebran sääntöjä, tavallista algebrallista toimintojen järjestystä ja muista, että .
Kompleksiluvun trigonometrinen ja eksponentiaalinen muoto
Tässä osiossa keskitymme enemmän kompleksiluvun trigonometriseen muotoon. Eksponentiaalinen muoto käytännön tehtävissä on paljon harvinaisempi. Suosittelen trigonometristen taulukoiden lataamista ja mahdollisuuksien mukaan tulostamista, metodologinen materiaali löytyy sivulta Matemaattiset kaavat ja taulukot. Et pääse pitkälle ilman pöytiä.
Mikä tahansa kompleksiluku (paitsi nolla) voidaan kirjoittaa trigonometriseen muotoon: 
, missä se on kompleksiluvun moduuli, a - kompleksiluvun argumentti. Älä juokse karkuun, se on helpompaa kuin luuletkaan.
Piirrä luku kompleksitasolle. Selitysten selkeyden ja yksinkertaisuuden vuoksi sijoitamme sen ensimmäiseen koordinaattineljännekseen, ts. meidän mielestämme:
Kompleksiluvun moduuli on etäisyys koordinaattien origosta kompleksitason vastaavaan pisteeseen. Yksinkertaisesti sanottuna, moduuli on pituus sädevektori, joka on merkitty piirustuksessa punaisella.
Kompleksiluvun moduulia merkitään yleensä: tai
Pythagoraan lauseen avulla on helppo johtaa kaava kompleksiluvun moduulin löytämiseksi: . Tämä kaava on voimassa mille tahansa tarkoittaa "a" ja "olla".
Huomautus: kompleksiluvun moduuli on käsitteen yleistys reaaliluvun moduuli, etäisyydenä pisteestä alkupisteeseen.
Kompleksiluvun argumentti nimeltään injektio välillä positiivinen akseli reaaliakseli ja sädevektori, joka on piirretty origosta vastaavaan pisteeseen. Argumenttia ei ole määritetty yksikölle: .
Tarkasteltava periaate on itse asiassa samanlainen polaarikoordinaatit, jossa napainen säde ja napakulma määrittelevät pisteen yksiselitteisesti.
Kompleksiluvun argumenttia merkitään yleensä seuraavasti: tai
Geometrisista näkökohdista saadaan seuraava kaava argumentin löytämiseksi:
. Huomio! Tämä kaava toimii vain oikeassa puolitasossa! Jos kompleksiluku ei sijaitse 1. tai 4. koordinaattikvadrantissa, kaava on hieman erilainen. Käsittelemme myös näitä tapauksia.
Mutta ensin harkitse yksinkertaisimpia esimerkkejä, kun kompleksiluvut sijaitsevat koordinaattiakseleilla.
Esimerkki 7
Suoritetaan piirustus:
Itse asiassa tehtävä on suullinen. Selvyyden vuoksi kirjoitan uudelleen kompleksiluvun trigonometrisen muodon: 
Muistetaan tiukasti, moduuli - pituus(joka on aina ei-negatiivinen ), argumentti on injektio.
1) Esitetään numero trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti. On selvää, että. Muodollinen laskenta kaavan mukaan: .
On selvää, että (luku on suoraan todellisella positiivisella puoliakselilla). Joten numero trigonometrisessa muodossa on: 
.
Selkeä kuin päivä, käänteinen tarkistustoiminto:
2) Esitetään luku trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti. On selvää, että. Muodollinen laskenta kaavan mukaan: .
Ilmeisesti (tai 90 astetta). Piirustuksessa kulma on merkitty punaisella. Joten numero trigonometrisessa muodossa on: 
.
Trigonometristen funktioiden arvotaulukon avulla on helppo saada takaisin luvun algebrallinen muoto (samalla tarkistamalla):
3) Esitetään luku trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti. On selvää, että. Muodollinen laskenta kaavan mukaan: .
Ilmeisesti (tai 180 astetta). Piirustuksessa kulma on merkitty sinisellä. Joten numero trigonometrisessa muodossa on: 
.
Tutkimus:
4) Ja neljäs mielenkiintoinen tapaus. Esitetään numero trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti. On selvää, että. Muodollinen laskenta kaavan mukaan: .
Argumentti voidaan kirjoittaa kahdella tavalla: Ensimmäinen tapa: (270 astetta) ja vastaavasti: 
. Tutkimus:
Seuraava sääntö on kuitenkin normaalimpi: Jos kulma on suurempi kuin 180 astetta, niin se kirjoitetaan miinusmerkillä ja kulman vastakkaisella suunnalla ("vieritys"): (miinus 90 astetta), piirustuksessa kulma on merkitty vihreällä. Se on helppo nähdä, ja ne ovat samassa kulmassa.
Siten merkinnästä tulee: 
Huomio!Älä missään tapauksessa käytä kosinin tasaisuutta, sinin outoa ja suorita tietueen lisä "yksinkertaistamista":
Muuten, on hyödyllistä muistaa trigonometristen ja käänteisten trigonometristen funktioiden ulkonäkö ja ominaisuudet, viitemateriaalit ovat sivun viimeisissä kappaleissa Perusfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Ja kompleksiluvut on paljon helpompi oppia!
Yksinkertaisimpien esimerkkien suunnittelussa se tulisi kirjoittaa näin: "on ilmeistä, että moduuli on ... on selvää, että argumentti on ...". Tämä on todella ilmeistä ja helposti ratkaistava suullisesti.
Siirrytään yleisempiin tapauksiin. Kuten jo totesin, moduulissa ei ole ongelmia, sinun tulee aina käyttää kaavaa. Mutta kaavat argumentin löytämiseksi ovat erilaisia, se riippuu siitä, missä koordinaattineljänneksessä numero sijaitsee. Tässä tapauksessa kolme vaihtoehtoa on mahdollista (on hyödyllistä kirjoittaa ne uudelleen muistikirjaan):
1) Jos (1. ja 4. koordinaattineljännes tai oikea puolitaso), niin argumentti on löydettävä kaavan avulla.
2) Jos (2. koordinaattineljännes), niin argumentti on löydettävä kaavan avulla 
.
3) Jos (3. koordinaattineljännes), niin argumentti on löydettävä kaavan avulla 
.
Esimerkki 8
Ilmaise kompleksiluvut trigonometrisessa muodossa: , , , .
Heti kun valmiita kaavoja on olemassa, piirustus ei ole tarpeen. Mutta on yksi kohta: kun sinua pyydetään esittämään numero trigonometrisessa muodossa, silloin piirtäminen on joka tapauksessa parempi tehdä. Tosiasia on, että opettajat hylkäävät usein ratkaisun ilman piirustusta, piirustuksen puuttuminen on vakava syy miinukseen ja epäonnistumiseen.
Eh, en ole piirtänyt mitään käsin sataan vuoteen, odota:
Kuten aina, sotkusta tuli =)
Esitän numerot ja kompleksisessa muodossa ensimmäinen ja kolmas numero ovat itsenäistä päätöstä varten.
Esitetään numero trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti.
Kompleksiluvun kirjoittamisen algebrallinen muoto ................................................ ............................... | |||
Kompleksilukujen taso .................................................. .............................................................. ................... ... | |||
Kompleksiset konjugaattiluvut ................................................ ................................................................ ............... | |||
Operaatiot kompleksiluvuilla algebrallisessa muodossa ................................................... ................................... | |||
Kompleksilukujen yhteenlasku .................................................. .............................................................. ................... | |||
Kompleksilukujen vähentäminen ................................................... ............................................................ ........ | |||
Kompleksilukujen kertolasku .................................................. ............................................................ ......... | |||
Kompleksilukujen jako .................................................. ................................................................ ............... ... | |||
Kompleksiluvun trigonometrinen muoto ................................................ .................................. | |||
Operaatiot kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa ................................................ ............ | |||
Kompleksilukujen kertominen trigonometrisessa muodossa................................................ .......................... | |||
Kompleksilukujen jako trigonometrisessa muodossa ................................................... ................... ... | |||
Kompleksiluvun nostaminen positiiviseksi kokonaisluvun potenssiksi | |||
Positiivisen kokonaisluvun potenssin juuren erottaminen kompleksiluvusta | |||
Kompleksiluvun nostaminen rationaaliseen potenssiin ................................................ .............................. | |||
Monimutkainen sarja ................................................... ................................................................ ................................... | |||
Kompleksinumerosarja ................................................ ................................................................ ............... | |||
Tehosarjat kompleksitasossa ................................................ .................................................. | |||
Kaksipuolinen tehosarja kompleksitasossa ................................................ ...................... | |||
Kompleksisen muuttujan funktiot .................................................. .............................................................. ................... | |||
Perustoiminnot ................................................... ................................................................... ........ | |||
Eulerin kaavat ................................................ .................................................. ................... | |||
Kompleksiluvun esityksen eksponentiaalinen muoto ................................................ ...... . | |||
Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välinen suhde ................................................................ | |||
Logaritminen funktio ................................................... ................................................................ ................... ... | |||
Yleiset eksponentiaaliset ja yleiset potenssifunktiot ................................................ ...................................... | |||
Kompleksisen muuttujan funktioiden eriyttäminen................................................ .................. | |||
Cauchy-Riemannnin olosuhteet .................................................. ...................................................... ...................... | |||
Kaavat derivaatan laskentaan ................................................ .............................................. | |||
Erilaistumisen toiminnan ominaisuudet ................................................ .............................................. | |||
Analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosien ominaisuudet ................................................. ....... | |||
Kompleksisen muuttujan funktion palautus sen reaalista tai imaginaarista |
|||
Menetelmä numero 1. Curvilineaarisen integraalin käyttäminen .................................................. ......... ....... | |||
Menetelmä numero 2. Cauchy-Riemannnin ehtojen suora soveltaminen................................................ | |||
Menetelmä numero 3. Halutun funktion derivaatan kautta ................................................ ................................... | |||
Kompleksisen muuttujan funktioiden integrointi................................................ .............................. | |||
Cauchyn integraalikaava .................................................. ................................................... . .. | |||
Taylor- ja Laurent-sarjojen toimintojen laajentaminen ................................................... .......................... | |||
Kompleksisen muuttujan funktion nollapisteet ja yksikköpisteet ................................................ ........ | |||
Kompleksisen muuttujan funktion nollat ................................................ ................................................ | |||
Monimutkaisen muuttujan funktion yksittäiset pisteet ................................................ ...... | |||
14.3 Piste äärettömyydessä kompleksisen muuttujan funktion singulaaripisteenä
Kotiutukset .................................................. ................................................... . ................................................... | |||
Vähennys loppupisteessä .................................................. .............................................................. .............. | |||
Funktion jäännös pisteessä äärettömässä ................................................ .................................................. | |||
Integraalien laskenta jäännösten avulla ................................................ ................................................... | |||
Kysymyksiä itsetutkiskelua varten .................................................. ................................................................ .............................. | |||
Kirjallisuus................................................. ................................................... . ................................ | |||
Aihehakemisto................................................ ................................................... . .............. | |||
Esipuhe
Kokeen tai moduulisertifioinnin teoreettisiin ja käytännön osiin valmistautumiseen on melko vaikeaa kohdistaa oikein aikaa ja vaivaa, varsinkin kun istunnon aikana ei aina ole tarpeeksi aikaa. Ja kuten käytäntö osoittaa, kaikki eivät voi selviytyä tästä. Tämän seurauksena jotkut opiskelijat ratkaisevat kokeen aikana ongelmia oikein, mutta heidän on vaikea vastata yksinkertaisimpiin teoreettisiin kysymyksiin, kun taas toiset voivat muotoilla lauseen, mutta eivät voi soveltaa sitä.
Nämä menetelmäsuositukset kompleksisen muuttujan funktioiden teoria (TFV) -kurssin tenttiin valmistautumiseen pyrkivät ratkaisemaan tätä ristiriitaa ja varmistamaan kurssin teoreettisen ja käytännön materiaalin samanaikaisen toiston. Periaatteen "Teoria ilman käytäntöä on kuollut, käytäntö ilman teoriaa sokea" ohjaamana ne sisältävät sekä kurssin teoreettiset kannat määritelmien ja muotoilujen tasolla että esimerkkejä kunkin tietyn teoreettisen kannan soveltamisesta, ja sitä kautta, helpottaa sen muistamista ja ymmärtämistä.
Ehdotettujen metodologisten suositusten tarkoituksena on auttaa opiskelijaa valmistautumaan tenttiin perustasolla. Toisin sanoen on koottu laajennettu työopas, joka sisältää TFKT-kurssitunneilla käytetyt pääkohdat ja tarpeelliset läksyjä tehtäessä ja valvontatoimiin valmistautuessa. Opiskelijoiden itsenäisen työn lisäksi tätä sähköistä koulutusjulkaisua voidaan käyttää vuorovaikutteisessa muodossa sähköisen taulun avulla tai etäopiskelujärjestelmään sijoittamiseen.
Huomioithan, että tämä työ ei korvaa oppikirjoja tai muistiinpanoja. Materiaalin perusteellista tutkimista varten on suositeltavaa viitata Moskovan valtion teknisessä yliopistossa julkaistun julkaisun asiaankuuluviin osiin. N.E. Baumanin perusoppikirja.
Käsikirjan lopussa on luettelo suositellusta kirjallisuudesta ja aihehakemisto, joka sisältää kaikki tekstissä korostetut. lihavoitu kursiivi ehdot. Hakemisto koostuu hyperlinkeistä osioihin, joissa nämä termit on tiukasti määritelty tai kuvattu ja joissa on esimerkkejä niiden käytön havainnollistamiseksi.
Käsikirja on tarkoitettu MSTU:n kaikkien tiedekuntien 2. vuoden opiskelijoille. N.E. Bauman.
1. Kompleksiluvun kirjoittamisen algebrallinen muoto
Tallennus muodossa z \u003d x + iy, jossa x, y ovat reaalilukuja, i on imaginaariyksikkö (eli i 2 = − 1)
kutsutaan kompleksiluvun z algebralliseksi muodoksi. Tässä tapauksessa x:tä kutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja sitä merkitään Re z (x = Re z ), y:tä kutsutaan kompleksiluvun imaginaariseksi osaksi ja sitä merkitään Im z (y = Im z ).
Esimerkki. Kompleksiluvun z = 4− 3i reaaliosa Rez = 4 ja imaginaariosa Imz = − 3 .
2. Kompleksilukujen taso
AT harkitsevat kompleksisen muuttujan funktioiden teoriatkompleksilukutaso, jota merkitään joko tai käytetään kompleksilukuja z, w jne. osoittavia kirjaimia.
Kompleksisen tason vaaka-akselia kutsutaan todellinen akseli, reaaliluvut sijaitsevat siinä z \u003d x + 0i \u003d x.
Kompleksisen tason pystyakselia kutsutaan kuvitteelliseksi akseliksi, sillä se on
3. Kompleksiset konjugaattiluvut
Luvut z = x + iy ja z = x − iy kutsutaan monimutkainen konjugaatti. Kompleksisella tasolla ne vastaavat pisteitä, jotka ovat symmetrisiä todellisen akselin suhteen.
4. Operaatiot kompleksiluvuilla algebrallisessa muodossa
4.1 Kompleksilukujen yhteenlasku
Kahden kompleksiluvun summa | z 1 = x 1+ iy 1 | ja z 2 = x 2 + iy 2 kutsutaan kompleksiluvuksi |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operaatio | lisäyksiä |
||||||||||
kompleksiluvut on samanlainen kuin algebrallisten binomien yhteenlasku. | |||||||||||||
Esimerkki. Kahden kompleksiluvun z 1 = 3+ 7i ja z 2 summa | = −1 +2 i | tulee olemaan kompleksiluku |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(-1 +2 i ) =(3 -1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Ilmeisesti | summa kompleksissa | konjugoitu | on | pätevä | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Kompleksilukujen vähentäminen | |||||||||||||
Kahden kompleksiluvun ero z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | nimeltään | kattava |
||||||||||
luku z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Esimerkki. Kahden kompleksiluvun ero | z 1 = 3 -4 i | ja z2 | = −1 +2 i | tulee kattava |
|||||||||
luku z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
ero | monimutkainen konjugaatti | on | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Kompleksilukujen kertolasku | |||||||||||||
Kahden kompleksiluvun tulo | z 1 = x 1+ iy 1 | ja z 2 = x 2+ iy 2 | kutsutaan kompleksiksi |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1) (x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Siten kompleksilukujen kertolasku on samanlainen kuin algebrallisten binomien kertolasku, kun otetaan huomioon se tosiasia, että i 2 = − 1.
