Lauseen sekanttien keskinäiselle järjestelylle ei ole rajoituksia (sekä leikkaavien suorien että yhdensuuntaisten suorien kohdalla). Sillä ei myöskään ole väliä, missä janat ovat sekanteissa.

Todistus yhdensuuntaisten viivojen tapauksessa

Piirretään viiva eKr. Kulmat ABC ja BCD ovat yhtä suuria sisäristeinä, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisten linjojen AB ja CD ja sekantin BC alla, ja kulmat ACB ja CBD ovat yhtä suuria kuin sisäristeillä, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisten viivojen AC ja BD ja sekanttien BC alla. Sitten kolmioiden yhtäläisyyden toisen kriteerin mukaan kolmiot ABC ja DCB ovat yhteneviä. Tämä tarkoittaa, että AC = BD ja AB = CD. ■

Myös olemassa suhteellinen segmenttilause:

Rinnakkaiset viivat leikkaavat suhteellisia segmenttejä leikkauspisteissä: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Thalesin lause on suhteellisten segmenttien teoreeman erikoistapaus, koska yhtä suuria segmenttejä voidaan pitää suhteellisina segmenteinä, joiden suhteellisuuskerroin on 1.

Käänteinen lause

Jos Thales-lauseessa yhtäläiset segmentit alkavat kärjestä (tätä muotoilua käytetään usein koulukirjallisuudessa), niin myös käänteinen lause osoittautuu todeksi. Leikkaavien sekanttien osalta se on muotoiltu seuraavasti:

Siten (katso kuva) siitä tosiasiasta, että $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ tästä seuraa, että suora $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash lpisteitä$.

Jos sekantit ovat yhdensuuntaisia, on tarpeen vaatia molempien sekanttien segmenttien yhtäläisyyttä keskenään, muuten tämä väite tulee virheelliseksi (vastaesimerkki on puolisuunnikkaan, jonka leikkaa viiva, joka kulkee kantojen keskipisteiden kautta).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Seuraava lause on kaksoiskappale Sollertinskyn lemman kanssa:

Thalesin teoreemaa käytetään edelleen merenkulussa sääntönä, jonka mukaan tasaisella nopeudella liikkuvien alusten törmäys on väistämätön, jos laivat jatkavat matkaa toisiaan kohti. Venäjänkielisen kirjallisuuden ulkopuolella Thales-lausetta kutsutaan joskus toiseksi planimetrian lauseeksi, nimittäin väittämäksi, että ympyrän halkaisijaan perustuva sisäänkirjoitettu kulma on oikea. Tämän lauseen löytö johtuu todellakin Thalesta, kuten Proclus todistaa. Kirjoita arvostelu artikkelista "Thalesin lause" Kirjallisuus Atanasyan L. S. ja muut. Geometria 7-9. - Toim. 3. - M .: Valaistus, 1992. Huomautuksia Katso myös Thalesin lause kulmasta, joka perustuu ympyrän halkaisijaan Ote, joka kuvaa Thales-lausetta "En ajattele mitään, en vain ymmärrä sitä... - Odota, Sonya, ymmärrät kaiken. Katso millainen ihminen hän on. Älä ajattele pahaa minusta tai hänestä. ”En ajattele pahaa kenestäkään: rakastan kaikkia ja säälin kaikkia. Mutta mitä minun pitää tehdä? Sonya ei luopunut lempeästä sävystä, jolla Natasha puhui hänelle. Mitä pehmeämpi ja etsivämpi Natashan ilme oli, sitä vakavammat ja ankarammat olivat Sonyan kasvot. "Natasha", hän sanoi, "sinä pyysit minua olemaan puhumatta sinulle, minä en, nyt aloitit itse. Natasha, en usko häntä. Miksi tämä salaisuus? - Uudestaan ​​uudestaan! Natasha keskeytti. - Natasha, pelkään puolestasi. - Mitä pelätä? "Pelkään, että tuhoat itsesi", Sonya sanoi päättäväisesti, itsekin peloissaan sanoistaan. Natashan kasvot ilmaisivat jälleen vihaa. "Ja minä tuhoan, tuhoan, tuhoan itseni niin pian kuin mahdollista. Ei kuulu sinulle. Ei sinulle, mutta minulle se tulee olemaan huono. Jätä, jätä minut. Vihaan sinua. - Natasha! Sonya huusi peloissaan. - Vihaan sitä, vihaan sitä! Ja olet viholliseni ikuisesti! Natasha juoksi ulos huoneesta. Natasha ei puhunut enää Sonyalle ja vältti häntä. Samalla kiihtyneen yllätyksen ja rikollisuuden ilmeellä hän käveli huoneissa, omaksuen ensin tämän ja sitten toisen ammatin ja hyläten ne välittömästi. Ei ole väliä kuinka vaikeaa Sonyalle oli, hän piti silmänsä ystäväänsä. Sen päivän aattona, jona kreivin oli määrä palata, Sonya huomasi, että Natasha oli istunut koko aamun olohuoneen ikkunassa, ikäänkuin odottaen jotain ja että hän oli tehnyt jonkinlaisen merkin ohikulkevalle sotilasmiehelle. jonka Sonya luuli Anatoleksi. Sonya alkoi tarkkailla ystäväänsä entistä tarkkaavaisemmin ja huomasi, että Natasha oli oudossa ja luonnottomassa tilassa koko lounaan ja illan ajan (hän ​​vastasi sopimattomasti hänelle esitettyihin kysymyksiin, aloitti ja ei lopettanut lauseita, nauroi kaikelle). Teen jälkeen Sonya näki aran piikan odottamassa häntä Natashan ovella. Hän päästi sen läpi ja salakuunteli ovella, että kirje oli jälleen luovutettu. Ja yhtäkkiä Sonyalle kävi selväksi, että Natashalla oli jonkinlainen kauhea suunnitelma tälle illalle. Sonya koputti hänen ovelleen. Natasha ei päästänyt häntä sisään. "Hän pakenee hänen kanssaan! Sonya ajatteli. Hän pystyy mihin tahansa. Tänään hänen kasvoillaan oli jotain erityisen säälittävää ja päättäväistä. Hän purskahti itkuun ja hyvästi setänsä, Sonya muisteli. Kyllä, se on totta, hän juoksee hänen kanssaan - mutta mitä minun pitäisi tehdä? ajatteli Sonya muistuttaen nyt niitä merkkejä, jotka selvästi osoittivat, miksi Natashalla oli jonkinlainen kauhea tarkoitus. "Laskea ei ole. Mitä minun pitäisi tehdä, kirjoittaa Kuraginille ja vaatia häneltä selitystä? Mutta kuka käskee hänen vastata? Kirjoita Pierrelle, kuten prinssi Andrei pyysi onnettomuuden sattuessa? ... Mutta ehkä itse asiassa hän oli jo kieltäytynyt Bolkonskysta (hän ​​lähetti eilen kirjeen prinsessa Maryalle). Ei ole sediä!" Sonyasta tuntui kauhealta kertoa Marya Dmitrievnalle, joka uskoi niin paljon Natašaan. Mutta tavalla tai toisella, Sonya ajatteli seisoessaan pimeässä käytävässä: nyt tai ei koskaan on tullut aika todistaa, että muistan heidän perheensä hyvät teot ja rakastan Nicolaa. Ei, en nuku ainakaan kolmeen yöhön, mutta en poistu tästä käytävästä enkä päästä häntä sisään väkisin, enkä anna häpeän langeta heidän perheeseensä ”, hän ajatteli. Anatole muutti äskettäin Dolokhoviin. Dolokhov oli jo miettinyt ja valmistellut Rostovan sieppaussuunnitelmaa useiden päivien ajan, ja sinä päivänä, jolloin Sonya kuultuaan Natashan ovella päätti suojella häntä, tämä suunnitelma oli tarkoitus toteuttaa. Natasha lupasi mennä Kuraginille takakuistille kello 10 illalla. Kuraginin piti laittaa hänet valmiiseen troikkaan ja viedä hänet 60 mailia Moskovasta Kamenkan kylään, missä valmistettiin trimmattu pappi, jonka piti mennä heidän kanssaan naimisiin. Kamenkassa oli valmiina kokoonpano, jonka piti viedä Varshavskaja-tielle, ja siellä heidän piti laukkaa postitse ulkomaille. Anatolella oli passi ja matkailija, ja sisarelta otettiin kymmenen tuhatta rahaa ja kymmenen tuhatta lainattua Dolokhovin kautta. Kaksi todistajaa – Khvostikov, entinen virkailija, jota Dolokhov ja Makarin pelasivat, eläkkeellä oleva husaari, hyväntuulinen ja heikko mies, jolla oli rajaton rakkaus Kuraginia kohtaan – istui ensimmäisessä huoneessa teetä juomassa. Dolokhovin suuressa toimistossa, joka oli seinästä kattoon koristeltu persialaisilla matoilla, karhunnahoilla ja aseilla, Dolokhov istui matkustavassa beshmetissä ja saappaissa avoimen toimiston edessä, jolla oli seteleitä ja rahaa. Anatole, napistattomassa univormussaan, käveli huoneesta, jossa todistajat istuivat, työhuoneen kautta takahuoneeseen, jossa hänen ranskalainen jalkamiehensä ja muut pakkasivat viimeisiä tavaroita. Dolokhov laski rahaa ja kirjoitti sen muistiin. "No", hän sanoi, "Hvostikoville pitäisi antaa kaksi tuhatta. - No, anna minun, - sanoi Anatole. - Makarka (niin he kutsuivat Makarina), tämä välinpitämättömästi sinulle tulen läpi ja veteen. No, pisteet ovat ohi, - sanoi Dolokhov ja näytti hänelle nuottia. - Joten? "Kyllä, tietysti, niin se on", sanoi Anatole, ilmeisesti ei kuunnellut Dolokhovia ja hymyillen, joka ei lähtenyt hänen kasvoiltaan, katsoen itseään eteenpäin.

Noin yhdensuuntainen ja sekantti.

Venäjänkielisen kirjallisuuden ulkopuolella Thales-lausetta kutsutaan joskus toiseksi planimetrian lauseeksi, nimittäin väittämäksi, että ympyrän halkaisijaan perustuva sisäänkirjoitettu kulma on oikea. Tämän lauseen löytö johtuu todellakin Thalesta, kuten Proclus todistaa.

Sanamuoto

Jos toisella kahdesta suorasta asetetaan peräkkäin useita samankokoisia segmenttejä ja niiden päiden läpi vedetään yhdensuuntaisia ​​viivoja, jotka leikkaavat toisen suoran, ne leikkaavat yhtä suuret segmentit toiselta suoralta.

Yleisempi muotoilu, myös ns suhteellinen segmenttilause

Rinnakkaiset viivat leikkaavat suhteellisia segmenttejä leikkauspisteissä:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Huomautukset

• Lauseen sekanttien keskinäiselle järjestelylle ei ole rajoituksia (sekä leikkaavien suorien että yhdensuuntaisten suorien kohdalla). Sillä ei myöskään ole väliä, missä janat ovat sekanteissa.

• Thalesin lause on suhteellisten segmenttien teoreeman erikoistapaus, koska yhtä suuria segmenttejä voidaan pitää suhteellisina segmenteinä, joiden suhteellisuuskerroin on 1.

Todiste sekanttien tapauksessa

Tarkastellaan muunnelmaa, jossa on kytkemättömät segmentiparit: olkoon kulman leikkaava suorilla viivoilla A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) ja missä A B = C D (\displaystyle AB = CD).

1. Kulje pisteiden läpi A (\näyttötyyli A) ja C (\displaystyle C) suorat viivat, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​kulman toisen puolen kanssa. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) ja C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Suunnikkaan ominaisuuden mukaan: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) ja C D 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
2. kolmiot △ A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) ja △ C D D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) ovat yhtä suuret kolmioiden yhtäläisyyden toisen kriteerin perusteella

Todistus yhdensuuntaisten viivojen tapauksessa

Piirretään suora viiva eKr. kulmat ABC ja BCD ovat yhtä suuret kuin sisäiset ristit, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla AB ja CD ja sekantti eKr ja kulmat ACB ja CBD ovat yhtä suuret kuin sisäiset ristit, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla AC ja BD ja sekantti eKr. Sitten toisen kolmioiden yhtäläisyyden kriteerin mukaan kolmiot ABC ja DCB ovat tasavertaisia. Tästä seuraa siis AC = BD ja AB = CD. ■

Muunnelmia ja yleistyksiä

Käänteinen lause

Jos Thales-lauseessa yhtäläiset segmentit alkavat kärjestä (tätä muotoilua käytetään usein koulukirjallisuudessa), niin myös käänteinen lause osoittautuu todeksi. Leikkaavien sekanttien osalta se on muotoiltu seuraavasti:

Siten (katso kuva) siitä tosiasiasta, että C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1)))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), seuraa sitä A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Jos sekantit ovat yhdensuuntaisia, on tarpeen vaatia molempien sekanttien segmenttien yhtäläisyyttä keskenään, muuten tämä väite tulee virheelliseksi (vastaesimerkki on puolisuunnikkaan, jonka leikkaa viiva, joka kulkee kantojen keskipisteiden kautta).

Tätä lausetta käytetään navigoinnissa: vakionopeudella liikkuvien alusten törmäys on väistämätön, jos suunta aluksesta toiseen säilyy.

Sollertinskyn Lemma

Seuraava lause on kaksoiskappale Sollertinskyn lemman kanssa:

Anna olla f (\displaystyle f)- Projektiivinen vastaavuus suoran pisteiden välillä l (\displaystyle l) ja suora m (\näyttötyyli m). Sitten rivit X f (X) (\displaystyle Xf(X)) on joidenkin tangenttien joukko

Suunnitelma:

Johdanto

• 1 Käänteinen lause
• 2 Thalesin lause kulttuurissa
• 3 Mielenkiintoisia seikkoja
Huomautuksia

Johdanto

Tämä on yhdensuuntaisten viivojen lause. Halkaisijaan perustuva kulma, katso toinen lause.

Thalesin lause- yksi planimetrian lauseista.

Lauseen sekanttien keskinäiselle järjestelylle ei ole rajoituksia (sekä leikkaavien suorien että yhdensuuntaisten suorien kohdalla). Sillä ei myöskään ole väliä, missä janat ovat sekanteissa.

Todiste sekanttien tapauksessa

Todistus Thaleen lauseesta

Tarkastellaan muunnelmaa, jossa on kytkemättömät segmentiparit: olkoon kulman leikkaava suorilla viivoilla AA 1 | | BB 1 | | CC 1 | | DD 1 ja missä AB = CD .

Todistus yhdensuuntaisten viivojen tapauksessa

Piirretään viiva eKr. Kulmat ABC ja BCD ovat yhtä suuria sisäristeinä, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisten linjojen AB ja CD ja sekantin BC alla, ja kulmat ACB ja CBD ovat yhtä suuria kuin sisäristeillä, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisten viivojen AC ja BD ja sekanttien BC alla. Sitten ensimmäisen kolmioiden yhtäläisyyden kriteerin mukaan kolmiot ABC ja DCB ovat yhteneväisiä. Tämä tarkoittaa, että AC = BD ja AB = CD. ■

Myös olemassa yleistetty Thales-lause:

Rinnakkaiset viivat leikkaavat suhteellisia segmenttejä leikkauspisteissä:

Thales-lause on yleistetyn Thales-lauseen erikoistapaus, koska yhtä suuria segmenttejä voidaan pitää suhteellisina segmenteinä, joiden suhteellisuuskerroin on 1.

1. Käänteinen lause

Jos Thales-lauseessa yhtäläiset segmentit alkavat kärjestä (tätä muotoilua käytetään usein koulukirjallisuudessa), niin myös käänteinen lause osoittautuu todeksi. Leikkaavien sekanttien osalta se on muotoiltu seuraavasti:

Käänteisessä Thales-lauseessa on tärkeää, että yhtä suuret segmentit alkavat kärjestä

Siten (katso kuva) seuraavasta, että viivat .

Jos sekantit ovat yhdensuuntaisia, on tarpeen vaatia molempien sekanttien segmenttien yhtäläisyyttä keskenään, muuten tämä väite tulee virheelliseksi (vastaesimerkki on puolisuunnikkaan, jonka leikkaa viiva, joka kulkee kantojen keskipisteiden kautta).

2. Thaleen lause kulttuurissa

Argentiinalainen musiikkiryhmä Les Luthiers ( Espanja) esitti lauseelle omistetun kappaleen. Tämän kappaleen videoleike tarjoaa todisteen suhteellisten intervallien suorasta lauseesta.

3. Mielenkiintoisia faktoja

• Thalesin teoreemaa käytetään edelleen merenkulussa sääntönä, jonka mukaan tasaisella nopeudella liikkuvien alusten törmäys on väistämätön, jos laivat jatkavat matkaa toisiaan kohti.
• Venäjänkielisen kirjallisuuden ulkopuolella Thales-lausetta kutsutaan joskus toiseksi planimetrian lauseeksi, nimittäin väittämäksi, että ympyrän halkaisijaan perustuva sisäänkirjoitettu kulma on oikea. Tämän lauseen löytö johtuu todellakin Thalesta, kuten Proclus todistaa.
• Thales ymmärsi geometrian perusteet Egyptissä.

Huomautuksia

1. El Teorema de Thales, Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
2. 3. Matka Egyptiin / Koti / Muinainen kirjallisuus ja filosofia. Thales Miletuksesta - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet

ladata
Tämä tiivistelmä perustuu venäläisen Wikipedian artikkeliin. Synkronointi valmis 07/16/11 23:06:34
Samanlaisia ​​abstrakteja:

Tämä hauta on pieni, mutta sen loisto on valtava.
Siinä, edessäsi, on piilotettu monimielinen Thales.

Kirjoitus Thaleen Miletoksen haudalle

Kuvittele sellainen kuva. 600 eaa Egypti. Ennen sinua on valtava egyptiläinen pyramidi. Yllättääksesi faaraon ja pysyäksesi hänen suosikeissaan, sinun on mitattava tämän pyramidin korkeus. Sinulla ei ole… mitään käytettävissäsi. Voit joutua epätoivoon tai voit tehdä mitä tahansa Thales Miletuksesta: käytä kolmion samankaltaisuuslausetta. Kyllä, käy ilmi, että kaikki on melko yksinkertaista. Miletoksen Thales odotti, kunnes hänen varjonsa pituus ja korkeus kohtasivat, ja sitten käyttäen kolmion samankaltaisuuslausetta löysi pyramidin varjon pituuden, joka vastaavasti oli yhtä suuri kuin pyramidin luoma varjo.

Kuka tämä on Thales Miletuksesta? Mies, joka sai mainetta yhtenä antiikin "seitsemästä viisaasta"? Thales Miletoslainen on antiikin kreikkalainen filosofi, joka loistaa tähtitiedossa sekä matematiikassa ja fysiikassa. Hänen elämänsä vuodet on vahvistettu vain noin: 625-645 eaa

Thalesin tähtitieteen tietämyksen todisteisiin kuuluu seuraava esimerkki. 28. toukokuuta 585 eaa Miletoksen ennustus auringonpimennyksestä auttoi lopettamaan Lydian ja Median välisen sodan, joka oli kestänyt jo kuusi vuotta. Tämä ilmiö pelotti meedialaisia ​​niin paljon, että he suostuivat epäsuotuisiin ehtoihin rauhan solmimiseksi lyydialaisten kanssa.

Legenda, joka luonnehtii Thalesta kekseliäksi henkilöksi, on varsin laajalti tunnettu. Thales kuuli usein imartelevia kommentteja köyhyydestään. Kerran hän päätti todistaa, että filosofit voivat halutessaan elää runsaasti. Talvellakin Thales päätti tähtiä tarkkailemalla, että kesällä olisi hyvä oliivisato. Sitten hän palkkasi öljypuristimia Miletoksessa ja Chioksessa. Se maksoi hänelle melko halvalla, koska talvella niille ei käytännössä ole kysyntää. Kun oliiveista saatiin runsas sato, Thales alkoi vuokrata öljypuristimiaan. Tällä menetelmällä kerättyä suurta rahasummaa pidettiin todisteena siitä, että filosofit voivat tienata mielellään, mutta heidän kutsumuksensa on korkeampi kuin maalliset ongelmat. Tämän legendan muuten toisti Aristoteles itse.

Mitä tulee geometriaan, monet hänen "löydöistään" lainattiin egyptiläisiltä. Ja kuitenkin tätä tiedon siirtoa Kreikkaan pidetään yhtenä Thales of Miletoksen tärkeimmistä ansioista.

Thalesin saavutukset ovat sanamuoto ja todiste seuraavista lauseet:

• pystykulmat ovat yhtä suuret;
• yhtäläiset kolmiot ovat niitä, joissa sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat vastaavasti samat;
• tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat yhtä suuret;
• halkaisija puolittaa ympyrän;
• Halkaisijaan perustuva sisäänkirjoitettu kulma on suora kulma.

Toinen lause on nimetty Thalesin mukaan, mikä on hyödyllinen geometristen ongelmien ratkaisemisessa. On olemassa sen yleistetty ja erityinen muoto, käänteinen lause, muotoilut voivat myös hieman vaihdella lähteestä riippuen, mutta niiden kaikkien merkitys pysyy samana. Tarkastellaan tätä lausetta.

Jos yhdensuuntaiset suorat leikkaavat kulman sivut ja leikkaavat yhtä suuret segmentit kulman toiselta sivulta, ne leikkaavat yhtä suuret segmentit kulman toiselta puolelta.

Oletetaan, että pisteet A 1, A 2, A 3 ovat yhdensuuntaisten viivojen leikkauspisteitä kulman toisella puolella ja B 1, B 2, B 3 ovat yhdensuuntaisten viivojen leikkauspisteitä kulman toisen puolen kanssa. . On tarpeen todistaa, että jos A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, niin B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Piirrä pisteen B 2 läpi viiva, joka on yhdensuuntainen suoran A 1 A 2 kanssa. Merkitään uusi suora С 1 С 2 . Tarkastellaan suunnikkaita A 1 C 1 B 2 A 2 ja A 2 B 2 C 2 A 3 .

Suunnikasominaisuuksien avulla voimme väittää, että A1A2 = C 1 B 2 ja A 2 A 3 = B 2 C 2 . Ja koska ehtomme mukaan A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, niin C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

Ja lopuksi tarkastellaan kolmioita ∆ C 1 B 2 B 1 ja ∆ C 2 B 2 B 3 .

C1B2 = B2C2 (todistettu edellä).

Ja tämä tarkoittaa, että Δ C 1 B 2 B 1 ja Δ C 2 B 2 B 3 ovat yhtä suuria kolmioiden toisen yhtäläisyysmerkin mukaan (sivua ja viereisiä kulmia pitkin).

Siten Thales-lause on todistettu.

Tämän lauseen käyttö helpottaa ja nopeuttaa huomattavasti geometristen tehtävien ratkaisua. Onnea tämän viihdyttävän matematiikan tieteen hallitsemiseen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Lause 6.6 (Thalesin lause).Jos yhdensuuntaiset suorat, jotka leikkaavat kulman sivuja, leikkaavat yhtä suuret segmentit kulman yhdeltä puolelta, ne leikkaavat yhtä suuret segmentit toiselta puolelta.(Kuva 131).

Todiste. Olkoot A 1, A 2, A 3 yhdensuuntaisten viivojen leikkauspisteet kulman yhden sivun kanssa ja A 2 on A 1:n ja A 3:n välissä (kuva 131). Olkoon B 1 , B 2 , B 3 näiden suorien vastaavat leikkauspisteet kulman toisen puolen kanssa. Osoitetaan, että jos A 1 A 2 = A 2 Az, niin B 1 B 2 = B 2 B 3.

Piirretään pisteen B 2 läpi suora EF yhdensuuntainen suoran A 1 A 3 kanssa. Suunnikkaan A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E ominaisuudella. Ja koska A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, niin FB 2 \u003d B 2 E.

Kolmiot B 2 B 1 F ja B 2 B 3 E ovat yhtä suuret toisessa kriteerissä. Heillä on todistetusti B 2 F=B 2 E. Kulmat kärjessä B 2 ovat yhtä suuret kuin pystysuorat, ja kulmat B 2 FB 1 ja B 2 EB 3 ovat yhtä suuret kuin sisäiset poikkisuunnassa yhdensuuntaiset A 1 B 1 ja A 3 B 3 sekä sekantti EF.

Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa sivujen yhtäläisyys: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. Lause on todistettu.

Kommentti. Thalesin lauseessa kulman sivujen sijasta voit ottaa mitkä tahansa kaksi suoraa, kun taas lauseen johtopäätös on sama:

yhdensuuntaiset viivat, jotka leikkaavat kaksi annettua suoraa ja leikkaavat yhtä janat yhdeltä suoralta, leikkaavat yhtä suuret segmentit toiselta suoralta.

Joskus Thalesin lausetta sovelletaan myös tässä muodossa.

Ongelma (48). Jaa annettu jana AB n yhtä suureen osaan.

Päätös. Piirretään pisteestä A puoliviiva a, joka ei ole suoralla AB (kuva 132). Varaa yhtä suuret segmentit puoliviivalle a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Yhdistä pisteet A n ja B. Piirrä pisteiden A 1, A 2, ... läpi A n -1 suorat A n B:n kanssa samansuuntaiset suorat. Ne leikkaavat janan AB pisteissä B 1, B 2, B n-1, jotka jakavat janan AB n yhtä suureen segmenttiin (Thales-lauseen mukaan).

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille