DAGESTAN Ammattimaisen kehityksen instituutti

PEDAGOGINEN HENKILÖSTÖ

FYSIKAALISEN JA MATEMAATISEN KOULUTUKSEN JA ICT:N LAITOS

Projekti

aiheesta:

« Rakentaminen ja s uudistuksia

funktiokaavioita

koulumatematiikassa »

Rabadanova P.A.

matematiikan opettaja

MBOU "Kochubeyn lukio"

Tarumovskyn alueella

2015

1. Johdanto……………………………………………………………….….3

2. Luku minä. Katsaus hankkeen aiheeseen liittyvään kirjallisuuteen……………………………….….5

3. Luku II. Empiirinen osa:

3.1. Perusmenetelmät funktiokaavioiden muuntamiseen……….….7

3.2. Piirrä parillinenjaparittomat funktiot……………….. 10

3.3. Käänteisfunktion piirtäminen………………………… 11

3.4. Kuvaajien muodonmuutos (puristus ja jännitys).………………….12

3.5 Siirron, heijastuksen ja muodonmuutoksen yhdistelmä………………………..13

4. Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun……………………………..……14

5. Johtopäätös……………………………………………………………………15

6. Johtopäätökset…………………………………………………………..………17

JOHDANTO

Funktiokaavioiden muuntaminen on yksi matemaattisista peruskäsitteistä, jotka liittyvät suoraan käytännön toimintaan. Kaaviot heijastavat todellisen maailman vaihtelua ja dynaamisuutta, todellisten esineiden ja ilmiöiden keskinäisiä suhteita.

Toiminnallinen linja on perusaihe, jota käsitellään perus- ja yhtenäistetyissä valtiokokeissa.Myös monia matemaattisia käsitteitä tarkastellaan graafisilla menetelmillä. Esimerkiksi siihenneliöllinenfunktiota esitellään ja tutkitaan läheisessä yhteydessä toisen asteen yhtälöiden ja epäyhtälöiden kanssa.Tästä seuraa siisfunktion kuvaajien rakentamisen ja muuntamisen opettaminen on yksi matematiikan kouluopetuksen päätehtävistä.

Toiminnon tutkiminen mahdollistaa sen selvittämisenmäärittelyalue ja toiminnon laajuus, laajuusLaskevat tai kasvavat nopeudet, asymptootit, intervallitmerkkivakio jne. Kuitenkin graafin rakentamiseksikov monia toimintoja voi ollakäyttää useita menetelmiähelpottaarakennus. Siksi opiskelijoilla tulisi olla kyky rakentaa kaavioita metodologisten kaavioiden mukaan.

Yllä oleva määritteleemerkityksellisyys tutkimusaiheita.

Tutkimuksen kohde on tutkimus funktionaalisten viivakaavioiden muuntamisesta koulumatematiikassa.

Opintojen aihe - funktiokaavioiden rakentamis- ja muunnosprosessi lukiossa.

Tutkimuksen tarkoitus: koulutus - koostuu metodologisen kaavion tunnistamisesta funktion kaavioiden muodostamiseksi ja muuntamiseksi;kehittymässä - abstraktin, algoritmisen, loogisen ajattelun, spatiaalisen mielikuvituksen kehittäminen;koulutuksellinen - koululaisten graafisen kulttuurin koulutus, henkisten taitojen kehittäminen.

Tavoitteet johtivat seuraavaan päätökseentehtävät:

1. Analysoi tutkittavan ongelman koulutus- ja metodologiset tiedot.

2. Tunnista metodologiset suunnitelmatfunktiokaavioiden muunnos matematiikan koulukurssilla.

3. Valitse tehokkaimmat menetelmät ja keinotfunktiokaavioiden rakentaminen ja muuntaminen lukiossaedistää: oppimateriaalin mielekästä omaksumista; opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan lisääminen; luovien kykyjensä kehittämiseen.

HYPOTEESI tutkimus: graafisten taitojen muodostuminen toimintojen opiskeluprosessissa ja opiskelijoiden graafisen kulttuurin koulutus tehokas, jos opiskelijoilla on menetelmällinen kaavio funktiokaavioiden rakentamiseen ja muuntamiseen koulun matematiikan kurssilla.

LUKU minä . KATSAUS PROJEKTIN AIHEESSA KIRJOITTAMISEEN.

Projektia valmistautuessamme tutkimme seuraavaa kirjallisuutta:

Sivashinsky, I. Kh. Algebran lauseita ja ongelmia, alkeisfunktioita - M., 2002. - 115 s.

Gelfand, I. M., Glagoleva, E. G., Shnol, E. E. Funktiot ja graafit (perustekniikat) - M., 1985. - 120 s

V.Z. Zaitsev, V.V. Ryzhkov, M.I. Scanavi. Elementary Mathematics - M., 2010 (uudelleenpainos). - 590 s.

Kuzmin, M. K. Funktion graafin rakentaminen - J. Matematiikka koulussa. - 2003. - Nro 5. - S. 61-62.

Shilov G.E. Kuinka rakentaa kaavioita? - M., 1982.

Isaac Tanatar. Funktioiden kuvaajien geometriset muunnokset - MTsNMO, 2012

ATOn huomattava, että kykyä "lukea" funktion käyttäytyminen tietyssä joukossa graafin avulla ei käytetä vain matematiikan aikana, vaan myös kaikessa ihmisen käytännön toiminnassa, jossa hänen on käsiteltävä tiettyä grafiikkaa. riippuvuuksien esitykset. Siksi opiskelijoiden tulisi pystyä määrittämään joitakin sen ominaisuuksia funktion kaaviosta.

Graafisten muunnoksen teoreettinen materiaali on tiukasti määritelty kohdassa. Tekniikkaan liittyy piirustuskuvituksia, vaihtelevan monimutkaisuuden esimerkkejä ja niiden ratkaisuja, mikä mahdollistaa tiedon syventämisen ja monimutkaisten funktioiden piirtämisen.

Edustaa sähköistä koulutusta, jonka tilavuus ja sisältö täyttävät lukion matematiikan kurssin vaatimukset. Teoreettista materiaalia tukevat graafiset animaatiokuvitukset, jotka antavat visuaalisen esityksen tutkittavasta aiheesta. Kurssi sisältää kolme moduulia: teoreettisen materiaalin opiskelumoduulin, itsetutkiskelumoduulin ja tiedonhallintamoduulin.

Projektin empiirisessä osassa käytettiin menetelmällisistä kartoituskaavioista , , esimerkkejä itsenäiseen työskentelyyn.

Johtopäätökset luvusta 1

Opetus- ja metodologisen kirjallisuuden tutkiminen mahdollisti:

1. Tunnista metodologinen suunnitelmafunktion kuvaajien tutkiminen, rakentaminen ja muuntaminen koulun matematiikan kurssilla.

2. Valitse tehokkaimmat menetelmät ja keinotfunktiokaavioiden rakentaminen ja muuntaminen koulumatematiikassa,osallistuminen:

opetusmateriaalin mielekäs omaksuminen;

opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan lisääminen;

luovien kykyjensä kehittämiseen.

3. näytä se funktionaalisella linjalla on merkittävä vaikutus matematiikan eri käsitteiden tutkimiseen.

Luku 2. EMPIIRINEN OSA

Tässä luvussa tarkastellaan päämenetelmiä funktiograafien muuntamiseen ja annetaan metodologisia kaavioita erilaisten kaavioiden yhdistelmien rakentamiseen eri funktioille.

2.1. PERUSTEKNIIKAT FUNKTIOKUVIOJEN MUUNTAMINEN

Käännös y-akselia pitkin

f ( x ) f ( x )+ b .

vartenfunktion piirtämineny = f( x) + bjäljittääem:

1. rakentaa funktiokaavioy= f( x)

2. siirrä akseliaabskissa päällä| b| yksiköt ylös klob>0 tai klo| b| syödäkumartuab < 0. Hankittu uudessa järjestelmässädinat-graafi on funktion kuvaajay = f( x) + b.

2. Siirto pitkin kirveet abskissa

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f( x+ a) jälkiäem:

3. Muodon funktion piirtäminen y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Piirrä funktioy = f( - x) seuraavasti:

piirrä funktioy = f( x)

heijastaa sitä takaisinsuhteessa y-akseliin

tuloksena oleva kaavio onfunktiokaavioy = f( - X).

4. Muodon funktion piirtäminen y= - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f( x) seuraavasti:

piirrä funktioy= f( x)

heijastaa sitä x-akselin ympäri

2.2. Piirrä parillinen ja outoja ominaisuuksia

SuunniteltaessaParillisille ja parittomille funktioille on kätevää käyttää seuraavia ominaisuuksia:

1. Parillisen funktion simmetin kuvaajaricen suhteessa y-akseliin.

2. Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Parillisen ja parittoman funktion kaavioiden rakentamiseksi riittää, että piirretään vain kaavion oikea haara argumentin positiivisille arvoille. Parittoman funktion vasen haara täydennetään symmetrisesti origon ympäri ja parillisen funktion y-akselin ympäri.

Piirrä parillinen funktio y = f ( x ) jälkeen duetto:

rakentaa tämän funktion kaavion haara vain sisäänargumentin positiivisten arvojen alue x≥0.

Opiirrä tämä haara y-akselin ympäri

Parittoman funktion piirtäminen y = f ( x ) seuraa:

rakentaa tämän funktion graafihaara vain sisäänargumentin positiivisten arvojen alue (х≥0).

Ojäljittää tämän haaran alkuperästänegatiivisten x-arvojen alueelle.

2.3. Käänteisfunktion piirtäminen

Kuten jo todettiin, suorat ja käänteiset funktiotnäyttää saman muuttujien välisen suhteenx ja y, sillä ainoalla erolla, että käänteisfunktiossa nämämuuttujat ovat vaihtaneet rooleja, mikä vastaa muuttumistakoordinaattiakselien merkintä. Siksi aikataulukäänteisfunktio on symmetrinen suoran funktion kuvaajallepuolittajastaminäjaIIIkoordinaattikulmat,eli suhteellisen suoray = x. Siten saammeseuraava sääntö.

Piirrä funktio y = (x) funktion käänteineny = f( x), pitäisi rakentaaajoittaay = f( x) ja heijastaa sitä suoran y = x suhteen.

2.4. Kuvaajien muodonmuutos (puristus ja jännitys).

1. Kuvaajan pakkaus (laajennus) y-akselia pitkin

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Piirrä funktioy= A∙ f( x) seuraavasti:

8. Kuvaajan pakkaus (laajennus) x-akselia pitkin

f( x)

Piirrä funktio y= f( x) seuraa:

2.5. Translaation, heijastuksen ja muodonmuutoksen yhdistelmä

Hyvin usein piirrettäessä funktiokaavioitamuuta yhdistelmää.

Useiden tällaisten asentotekniikoiden johdonmukainen soveltaminenmahdollistaa huomattavasti graafin rakentamisen yksinkertaistamisen käyttämälläjuoksutoimintoa ja usein vähentää sitä lopultayhden yksinkertaisin perusfunktion rakentaminentoimenpiteitä. Mieti, miten se seuraa edellä olevan perusteellarakentaa funktiokaavioita.

Huomaa, että on aikaon suositeltavaa suorittaa yksinkertaistustelakka seuraavassa seuraajassaness.

Käyttämällä pariteettia taifunktion omituisuus.

Akselien siirto.

Heijastus ja muodonmuutos.

Kaavion rakentaminen suoritetaan päinvastaisessa järjestyksessä.

Esimerkki. Piirrä funktio

Rakentaminen toteutetaan seuraavissa vaiheissa:

1. piirrä luonnollinen logaritmi:

2. puristaaakselilleOY2 kertaa:;
3. näyttää symmetrisestiakselin suhteenOY: ;
4. liikkua akselia pitkinHÄRKÄpäällä(!!!) oikealle::

5. näytä symmetrisesti akselin ympäriHÄRKÄ: ;
6. liikkuaakselia pitkinOY3 yksikköä ylöspäin::

ESIMERKKEJÄ FUNKTIKOAFIJIEN RAKENTAMISESTA JA MUUNNISTAMISTA

Esimerkki 1 Piirrä funktio.

Piirrä ensin sinigraafi, sen jakso on yhtä suuri kuin:

funktiokaaviosaadaan pakkaamalla kuvaajakahdesti y-akselille. Hirsi .

Piirrä funktioklo = 2 cosX.

Piirrä funktioy = syntix .

PÄÄTELMÄ

Projektityön aikana analysoitiin erilaista opetus- ja metodologista kirjallisuutta aiheesta. Tutkimuksen tulokset mahdollistivat tutkimuksen tunnusomaisimmat positiiviset puolet, funktion kuvaajien rakentaminen ja muunnos koulun matematiikan kurssilla

Hankkeen päätavoitteena on kehittää opiskelijoiden taitoja ja kykyjä piirustusten lukemisessa ja piirtämisessä, rationaalisten itsenäisen toiminnan menetelmien muodostamisessa.

Graafisen koulutuksen parantamisen tarvetta kokonaisuutena sanelevat paitsi nykyaikaiset tuotantovaatimukset, myös grafiikan rooli opiskelijoiden teknisen ajattelun ja kognitiivisten kykyjen kehittämisessä. Ihmisen kyky käsitellä graafista tietoa on yksi hänen henkisen kehityksensä mittareista. Siksi graafisen koulutuksen tulisi olla olennainen osa yleissivistävää koulutusta.

johtopäätöksiä

Niinpä kehitetty projekti "Funktiograafien rakentaminen ja muuntaminen", joka on omistettu yhdelle matematiikan keskeisistä käsitteistä - funktionaalisesta riippuvuudesta, keskittyy opiskelijoiden tiedon systematisointiin ja laajentamiseen. Spesifisten funktiokaavioiden muuntamismenetelmien tutkimus suoritetaan analyyttisesti ja graafisesti tiukkojen metodologisten kaavioiden mukaisesti. Kerättyä materiaalia voidaan käyttää luokkahuoneessa ja opiskelijoiden itsekoulutuksessa. Luokkien johtamiseen voidaan käyttää erilaisia ​​organisointi- ja koulutusmuotoja ja -menetelmiä.

Neliöyhtälön graafinen ratkaisu Vahvistaa kykyä rakentaa eri funktioiden kuvaajia; Muodostaa kyky ratkaista toisen asteen yhtälöitä graafisesti. Brdsk 2009 Kunnallinen oppilaitos - Talouslyseo Yleistävä oppitunti aiheesta "Kvadraattinen funktio", algebra luokka 8 opettaja Fedoseeva T.M.

Neliöfunktion piirtäminen Määritä haarojen suunta: a>0 haarautuu ylöspäin; a 0 haaraa ylöspäin; a"> 0 haaraa ylös; a"> 0 haaraa ylös; a" title="(!LANG:Neliöfunktion piirtäminen Haaroittamisen suunta: a>0 haarautuu ylöspäin; a"> title="Neliöfunktion piirtäminen Määritä haarojen suunta: a>0 haarautuu ylöspäin; a"> !}

0 haaraa on suunnattu ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Etsi piste "title="(!LANG: Tehdään funktio y=x 2 -2x-3 kuvaajasta algoritmilla: 1) a=1>0 haarat suunnataan ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Pisteen löytäminen" class="link_thumb"> 3 !} Rakennetaan funktion y=x 2 -2x-3 graafi algoritmilla: 1) a=1>0 haarat suunnataan ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Löydämme leikkauspisteet OX-akselin kanssa: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 1 tapa ratkaista yhtälö x 2 -2x-3 \u003d 0 y x Ratkaise yhtälö x 2 +2x-3 \u003d 0 0 haaraa on suunnattu ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Löydämme pisteen "\u003e 0 oksat on suunnattu ylöspäin; 2) ylä y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - akseli paraabelin ohjauspisteet: (0: -3) , (3; 0) ja symmetriset x = 1 -akselin suhteen Rakennamme paraabelin. Etsitään x-akselin leikkauspisteet: x 1 \u003d -1; x 2 \ u003d 3 1 tapa ratkaista yhtälö x 2 -2x-3 \u003d 0 y x 0 1 - 4 23 Ratkaise yhtälö x 2 + 2x-3 \u003d 0 "\u003e 0 haaraa on suunnattu ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Etsi piste "title="(!LANG: Tehdään funktio y=x 2 -2x-3 kuvaajasta algoritmilla: 1) a=1>0 haarat suunnataan ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Pisteen löytäminen"> title="Rakennetaan funktion y=x 2 -2x-3 graafi algoritmilla: 1) a=1>0 haarat suunnataan ylöspäin; 2) huippupiste y o \u003d y (1) \u003d 1-2-3 \u003d -4 A (1; -4) x \u003d 1 - paraabelin akseli Ohjauspisteet: (0: -3), (3) ; 0) ja symmetrinen niille x-akselin ympäri = 1 Rakennamme paraabelin. Pisteen löytäminen"> !}

Toinen tapa: a). Jaetaan yhtälö x 2 -2x-3=0 osiin x 2 = 2x+3 Kirjoitetaan kaksi funktiota y= x 2 ; y \u003d 2x + 3 Rakennamme näiden funktioiden kuvaajia yhteen koordinaattijärjestelmään. Leikkauspisteiden abskissat ovat yhtälön juuret. 0 1 x y Ratkaise yhtälö x 2 +2x-3=0

Kolmas tapa: x 2 -3 \u003d 2x y \u003d x 2 -3; y=2x Rakennamme näiden funktioiden kuvaajia yhteen koordinaattijärjestelmään. Leikkauspisteiden abskissat ovat yhtälön juuret. 0 1 x y Ratkaise yhtälö x 2 +2x-3=0

Yhtälöiden graafinen ratkaisu

Huippupäivä, 2009

- Johdanto -

Muinaisina aikoina toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen tarve johtui tarpeesta ratkaista sotilasluonteisten maa-alueiden ja maanrakennustöiden löytämiseen liittyviä ongelmia sekä itse tähtitieteen ja matematiikan kehitystä. Babylonialaiset osasivat ratkaista toisen asteen yhtälöitä noin 2000 eaa. Babylonilaisissa teksteissä esitetty sääntö näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi on olennaisesti sama kuin nykyajan sääntö, mutta ei tiedetä, kuinka babylonialaiset päätyivät tähän sääntöön.

Kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Euroᴨȇissa esitettiin ensimmäisen kerran Abacus-kirjassa, jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tiedon leviämistä ei vain Italiassa, vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa.

Mutta yleisen säännön toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi kaikilla mahdollisilla kertoimien b ja c yhdistelmillä muotoiltiin Euroopassa vasta vuonna 1544 M. Stiefelin toimesta.

Vuonna 1591 François Viet esitteli kaavoja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Joitakin toisenlaisia ​​yhtälöitä voitiin ratkaista muinaisessa Babylonissa.

Diophantus Aleksandrialainen ja Euclid, Al-Khwarizmi ja Omar Khayyam ratkaisi yhtälöitä geometrisesti ja graafisesti.

7. luokalla opiskelimme toimintoja y \u003d C, y=kx, y = kx+ m, y =x 2 ,y=- x 2 , 8 luokalla - y = vx, y =|x|, klo = kirves 2 + bx+ c, y =k / x. 9. luokan algebraoppikirjassa näin funktioita, joita en vielä tuntenut: y=x 3 , klo = x 4 ,y=x 2 n , klo = x - 2 n , klo = 3v x, (x - a) 2 + (y -b) 2 = r 2 ja muut. Näiden funktioiden kuvaajien muodostamiseen on olemassa säännöt. Mietin, onko muita toimintoja, jotka noudattavat näitä sääntöjä.

Tehtäväni on tutkia funktiokaavioita ja ratkaista yhtälöitä graafisesti.

1. Mitkä ovat toiminnot

Funktion kuvaaja on joukko koordinaattitason kaikkia pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuria kuin argumenttien arvot ja ordinaatit ovat yhtä suuria kuin funktion vastaavat arvot.

Lineaarinen funktio saadaan yhtälöstä y=kx + b, missä k ja b- joitain numeroita. Tämän funktion kaavio on suora.

Käänteinen suhteellinen funktio y=k/ x, missä k 0. Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan giᴨȇrbolaksi.

Toiminto (x - a) 2 + (y -b) 2 = r 2 , missä a, b ja r- joitain numeroita. Tämän funktion kuvaaja on ympyrä, jonka säde on r ja jonka keskipiste on piste A ( a, b).

neliöfunktio y = kirves 2 + bx + c missä a,b, Kanssa- joitain numeroita ja a 0. Tämän funktion kuvaaja on paraabeli.

Yhtälö klo 2 (a - x) = x 2 (a+ x) . Tämän yhtälön kuvaaja on käyrä, jota kutsutaan strophoidiksi.

Yhtälö (x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 - y 2 ) . Tämän yhtälön kuvaajaa kutsutaan Bernoulli-lemmaksi.

Yhtälö. Tämän yhtälön kuvaajaa kutsutaan astroidiksi.

Käyrä (x 2 y 2 - 2a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Tätä käyrää kutsutaan kardioidiksi.

Toiminnot: y=x 3 - kuutioinen paraabeli, y=x 4 , y = 1/x 2 .

2. Yhtälön käsite, sen graafinen ratkaisu

Yhtälö- lauseke, joka sisältää ᴨȇ.

ratkaise yhtälö- Se tarkoittaa löytää kaikki sen juuret tai todistaa, että niitä ei ole olemassa.

Yhtälön juuri- tämä on luku, kun se korvataan yhtälöllä, saadaan oikea numeerinen yhtälö.

Yhtälöiden ratkaiseminen graafisesti avulla voit löytää juurien tarkan tai likimääräisen arvon, voit löytää yhtälön juurien lukumäärän.

Graafeja rakennettaessa ja yhtälöitä ratkaistaessa käytetään funktion ominaisuuksia, tässä suhteessa menetelmää kutsutaan useammin funktionaaliseksi graafiseksi.

Yhtälön ratkaisemiseksi "jaamme" sen kahteen osaan, esittelemme kaksi funktiota, rakennamme niiden kaaviot, etsimme kaavioiden leikkauspisteiden koordinaatit. Näiden pisteiden abskissat ovat yhtälön juuret.

3. Algoritmi funktiokaavion piirtämiseen

Funktion kaavion tunteminen y=f(x) , voit piirtää funktioita y=f (x+ m) ,y=f(x)+ l ja y=f (x+ m)+ l. Kaikki nämä kaaviot saadaan funktion kaaviosta y=f(x) käyttämällä rinnakkaisten ᴨȇrenos-muunnoksia: päällä ¦ m¦ skaalausyksiköt oikealle tai vasemmalle x-akselia pitkin ja edelleen ¦ l¦ skaalausyksiköt ylös tai alas akselia pitkin y.

4. Toisen yhtälön graafinen ratkaisu

Tarkastellaan toisen asteen yhtälön graafista ratkaisua neliöfunktion esimerkin avulla. Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli.

Mitä muinaiset kreikkalaiset tiesivät parabolista?

Nykyaikainen matemaattinen symboliikka syntyi 1500-luvulla.

Muinaisilla kreikkalaisilla matemaatikoilla ei ollut koordinaattimenetelmää eikä funktion käsitettä. He kuitenkin tutkivat paraabelin ominaisuuksia yksityiskohtaisesti. Muinaisten matemaatikoiden kekseliäisyys on yksinkertaisesti hämmästyttävää, koska he pystyivät käyttämään vain piirustuksia ja sanallisia kuvauksia riippuvuuksista.

Hän tutki täydellisimmin paraabelia, giᴨȇrbolaa ja ellipsiä Apollonius Pergalainen, joka asui 3. vuosisadalla eKr. Hän antoi myös nimet näille käyrälle ja osoitti, mitkä ehdot tietyllä käyrällä olevat pisteet täyttävät (eihän siellä ollut kaavoja!).

On olemassa algoritmi paraabelin rakentamiseen:

Löydämme paraabelin A (x 0; y 0) kärjen koordinaatit: X 0 =- b/2 a;

Y 0 \u003d ax noin 2 + in 0 + c;

Löydämme paraabelin symmetria-akselin (suora x \u003d x 0);

Arvotaulukon laatiminen rakentamisen ohjauspisteille;

Rakennamme saadut pisteet ja rakennamme niille symmetrisiä pisteitä symmetria-akselin suhteen.

1. Rakennetaan paraabeli algoritmin mukaan y = x 2 - 2 x - 3 . Pisteiden abskissat ᴨȇleikkaukset akselin kanssa x ja ovat toisen asteen yhtälön juuret x 2 - 2 x - 3 = 0.

On viisi tapaa ratkaista tämä yhtälö graafisesti.

2. Jaetaan yhtälö kahteen funktioon: y= x 2 ja y= 2 x + 3

3. Jaetaan yhtälö kahteen funktioon: y= x 2 -3 ja y =2 x. Yhtälön juuret ovat paraabelin ja suoran leikkauspisteessä olevien pisteiden abskissat.

4. Muunna yhtälö x 2 - 2 x - 3 = 0 valitsemalla funktion koko neliö: y= (x -1) 2 ja y=4 . Yhtälön juuret ovat paraabelin ja suoran leikkauspisteessä olevien pisteiden abskissat.

5. Jaamme termit termeiltä yhtälön molemmat osat x 2 - 2 x - 3 = 0 päällä x, saamme x - 2 - 3/ x = 0 Jaetaan tämä yhtälö kahteen funktioon: y = x - 2, y = 3/ x. Yhtälön juuret ovat suoran ja giᴨȇrbolan leikkauspisteiden abskissat.

5. Graafinen ratkaisuasteyhtälötn

Esimerkki 1 ratkaise yhtälö x 5 = 3 - 2 x.

y = x 5 , y = 3 - 2 x.

Vastaus: x = 1.

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö 3 vx = 10 - x.

Tämän yhtälön juuret ovat kahden funktion kaavioiden leikkauspisteen abskissa: y = 3 vx, y = 10 - x.

Vastaus: x = 8.

- Johtopäätös -

Kun otetaan huomioon funktiokaaviot: klo = kirves 2 + bx+ c, y =k / x, y = vx, y =|x|, y=x 3 , y=x 4 ,y= 3v x, Huomasin, että kaikki nämä kaaviot on rakennettu yhdensuuntaisten ᴨȇrenos-säännön mukaan akseleiden suhteen x ja y.

Käyttämällä esimerkkiä toisen asteen yhtälön ratkaisusta voidaan päätellä, että graafinen menetelmä soveltuu myös n-asteisiin yhtälöihin.

Graafiset menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat kauniita ja ymmärrettäviä, mutta ne eivät anna 100% takuuta yhdenkään yhtälön ratkaisemisesta. Kuvaajien ᴨȇ-leikkauspisteiden abskissat voivat olla likimääräisiä.

9. luokalla ja vanhemmilla luokilla tulen vielä tutustumaan muihin toimintoihin. Minua kiinnostaa tietää, noudattavatko nämä funktiot rinnakkaisten ᴨȇrenoksen sääntöjä piirtäessään kaavioita.

Ensi vuonna haluan pohtia myös yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmien graafisen ratkaisun kysymyksiä.

Kirjallisuus

1. Algebra. 7. luokka. Osa 1. Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. luokka. Osa 1. Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. Luokka 9 Osa 1. Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. VII-VIII luokat. - M.: Enlightenment, 1982.

5. Journal Mathematics №5 2009; nro 8 2007; Nro 23 2008.

6. Yhtälöiden graafinen ratkaisu Internet-sivustot: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

Yksi tapa ratkaista yhtälöitä on graafinen menetelmä. Se perustuu funktioiden piirtämiseen ja niiden leikkauspisteiden määrittämiseen. Harkitse graafista tapaa ratkaista toisen asteen yhtälö a*x^2+b*x+c=0.

Ensimmäinen tapa ratkaista

Muunnetaan yhtälö a*x^2+b*x+c=0 muotoon a*x^2 =-b*x-c. Rakennamme kaavioita kahdesta funktiosta y= a*x^2 (paraabeli) ja y=-b*x-c (suora). Etsimme risteyspisteitä. Leikkauspisteiden abskissat ovat yhtälön ratkaisu.

Esitetään esimerkillä: ratkaise yhtälö x^2-2*x-3=0.

Muunnetaan se muotoon x^2 =2*x+3. Rakennamme funktioiden y= x^2 ja y=2*x+3 kuvaajat yhteen koordinaattijärjestelmään.

Kaaviot leikkaavat kaksi pistettä. Heidän abskissansa ovat yhtälömme juuret.

Kaava ratkaisu

Ollaksemme vakuuttava, tarkistamme tämän ratkaisun analyyttisesti. Ratkaisemme toisen asteen yhtälön kaavalla:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1 = (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

tarkoittaa, ratkaisut sopivat yhteen.

Graafisella yhtälöiden ratkaisumenetelmällä on myös haittapuolensa, jonka avulla yhtälön tarkkaa ratkaisua ei aina voida saada. Yritetään ratkaista yhtälö x^2=3+x.

Muodostetaan paraabeli y=x^2 ja suora y=3+x samaan koordinaattijärjestelmään.

Sain taas samanlaisen kuvan. Suora ja paraabeli leikkaavat kaksi pistettä. Mutta emme voi sanoa näiden pisteiden abskissien tarkkoja arvoja, vain likimääräisiä: x≈-1,3 x≈2,3.

Jos olemme tyytyväisiä tällaisen tarkkuuden vastauksiin, voimme käyttää tätä menetelmää, mutta näin tapahtuu harvoin. Yleensä tarvitaan tarkkoja ratkaisuja. Siksi graafista menetelmää käytetään harvoin ja lähinnä olemassa olevien ratkaisujen tarkistamiseen.

Tarvitsetko apua opinnoissasi?

Edellinen aihe:

Opiskelijoiden tutkimustyöt aiheesta:

"Lineaarifunktion soveltaminen ongelmien ratkaisemiseen"

"Lineaarisen funktiokaavion soveltaminen ongelmanratkaisuun"

MKOU "Bogucharskaya lukio nro 1"

Matematiikan tutkimustyötä.

Aihe: "Lineaarifunktion graafin soveltaminen ongelmien ratkaisemiseen"

7 "B" luokka
Pää: Fomenko Olga Mikhailovna

Bogucharin kaupunki

1. Johdanto……………………………………………………………………… 2

2. Pääosa………………………………………………………………… 3-11

2.1 Tekniikka tekstiongelmien ratkaisemiseksi lineaaristen funktiokaavioiden avulla

2.2Liikkeiden tekstitehtävien ratkaiseminen graafien avulla

3. Johtopäätös……………………………………………………………………… 11

4. Kirjallisuus……………………………………………………………………….12

JOHDANTO

"Algebra.7 luokka" käsittelee tehtäviä, joissa tietyn aikataulun mukaan on tarpeen vastata useisiin kysymyksiin.

Esimerkiksi:

№332 Kesäasukas lähti kotoa autolla kylään. Hän ajoi ensin moottoritiellä ja sitten maantiellä ja hidasti samalla vauhtia. Kesäasukkaan liikkumisaikataulu näkyy kuvassa. Vastaa kysymyksiin:

a) kuinka kauan kesäasukas ajoi moottoritietä pitkin ja kuinka monta kilometriä hän ajoi; mikä oli auton nopeus tällä tieosuudella;

b) kuinka kauan kesäasukas ajoi maantietä pitkin ja kuinka monta kilometriä hän ajoi; mikä oli auton nopeus tällä osuudella;

c) kuinka kauan kesäasukas matkusti aina kotoa kylään?

Etsiessäni aineistoa tästä aiheesta kirjallisuudesta ja Internetistä huomasin itselleni, että monet fyysiset ja jopa sosiaaliset ja taloudelliset ilmiöt ja prosessit ovat lineaarisessa suhteessa maailmassa, mutta asettuin liikkeelle, tutuin ja suosituin meidän kaikkien keskuudessa. Projektissa kuvailin tekstitehtäviä ja niiden ratkaisemista lineaaristen funktiokaavioiden avulla.

Hypoteesi: kaavioiden avulla voit paitsi saada visuaalisen esityksen funktion ominaisuuksista, tutustua lineaarisen funktion ominaisuuksiin ja sen erityiseen muotoon, suoraan suhteeseen, mutta myös ratkaista sanatehtäviä.

Tutkimukseni tavoite oli tutkimus lineaarifunktion graafien käytöstä liikkeen tekstiongelmien ratkaisemisessa. Näiden tavoitteiden saavuttamiseksi seuraava tehtävät:

Opiskella liikkeen tekstiongelmien ratkaisumenetelmiä lineaaristen funktiokaavioiden avulla;

Opi ratkaisemaan liikeongelmia tällä menetelmällä;

Tee vertailevia johtopäätöksiä tehtävien ratkaisemisen eduista ja haitoista lineaaristen funktiokaavioiden avulla.

Tutkimuksen kohde: lineaarinen funktiokaavio.

Tutkimusmenetelmä:

Teoreettinen (tutkimus ja analyysi), järjestelmähaku, käytännön.

Pääosa.

Tutkimuksessani päätin yrittää antaa graafisen tulkinnan oppikirjassamme esitellyistä liikkumisen tehtävistä ja sitten aikataulun mukaisesti vastata tehtävän kysymykseen. Tällaista ratkaisua varten tein tehtäviä suoraviivaisella tasaisella liikkeellä polun yhdelle osuudelle. Kävi ilmi, että monet ongelmat ratkaistaan ​​tällä tavalla yksinkertaisemmin kuin tavallisesti yhtälön avulla. Tämän tekniikan ainoa haittapuoli on, että saadaksesi täsmällisen vastauksen ongelman kysymykseen, täytyy pystyä valitsemaan oikein koordinaattiakseleiden mittayksiköiden asteikko. Suuri rooli tämän asteikon oikeassa valinnassa on ratkaisemisen kokemuksella. Siksi minun täytyi käsitellä niitä suuria määriä hallitakseni ongelmien ratkaisemisen taidon kaavioiden avulla.

aseta koordinaattijärjestelmä sOt abskissa-akselilla Ot ja ordinaatta-akselilla Os . Tätä varten ongelman tilanteen mukaan on valittava alkupiste: kohteen liikkeen alku tai useasta kohteesta valitaan se, joka on alkanut liikkua aikaisemmin tai kulkenut pidemmän matkan. Merkitse abskissa-akselille aikavälit sen mittayksiköissä ja ordinaatta-akselilla etäisyys sen mittayksiköiden valitulla asteikolla.

Koordinaattitason pisteet on merkittävä tehtävän mittakaavan mukaan ja viivat on piirrettävä tarkasti. Ongelman ratkaisun tarkkuus riippuu tästä. Siksi on erittäin tärkeää valita koordinaattiakseleiden jakojen asteikko onnistuneesti: se on valittava siten, että pisteiden koordinaatit määritetään tarkemmin ja mahdollisuuksien mukaan sijaitsevat solmupisteissä, ts. koordinaattiakselien jakojen leikkauspisteissä. Joskus on hyödyllistä ottaa yksikkösegmentiksi abskissa-akselilla solujen määrä, joka on monikertainen ongelman ehdoista ajan suhteen, ja ordinaatta-akselilla - solujen lukumäärä, joka on ehtojen monikerta ongelmasta etäisyyden suhteen. Esimerkiksi 12 minuuttia ajassa edellyttää solujen lukumäärän valitsemista 5:n kerrannaisina, koska 12 minuuttia on viidesosa tunnista.

Liikkeen tekstitehtävien ratkaiseminen kaavioiden avulla

Vastaus: 9 km.

Ratkaisu yhtälön avulla:

x/12h. -aika paikasta A paikkaan B

x/18h. - aika taaksepäin

Vastaus: 9 km

Tehtävä 2. (Nro 156 Yu.N. Makarychevin oppikirjassa "Algebra 7".)

Kaksi autoa ajaa moottoritiellä samalla nopeudella. Jos ensimmäinen lisää nopeutta 10 km/h ja toinen vähentää sitä 10 km/h, niin ensimmäinen kattaa yhtä paljon 2 tunnissa kuin toinen 3 tunnissa. Kuinka nopeasti autot kulkevat?

Ratkaisu yhtälön avulla:

Olkoon x km/h autojen nopeus;

(x+10) ja (x-10) vastaavasti nopeus lisäyksen ja laskun jälkeen;

2(x+10)=3(x-10)

Vastaus: 50km/h

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Asetetaan abskissa-akselilla Оt koordinaattitaso sOt, jolle merkitään liikkeen aikavälit ja ordinaattaso Os, jolle merkitään ajoneuvojen kulkema matka

2. Laitetaan jaot asteikolla abskissa-akselia pitkin - yksi tunti 5 solussa (1 solussa - 12 minuuttia); käytämme jakoja pitkin y-akselia, mutta emme määritä mittakaavaa.

3. Rakennetaan ensimmäisen auton I liikeviiva: liikkeen alku pisteessä c

4. Rakennetaan toisen koneen II liikeviiva: liikkeen alku pisteessä, jonka koordinaatti on (0; 0). Seuraavaksi merkitään mielivaltainen piste (3;s 1) tasoon, koska auto uudella nopeudella oli tiellä 3 tuntia.

4. Määritetään autojen nopeus v ennen sen muutosta. Merkitään abskissalla 1 olevien pisteiden ordinaattien eroa merkillä ∆s . Ehdon mukaan tämä segmentti vastaa (10 + 10) km:n pituutta, koska toisessa nopeus laski ja toisessa nopeus nousi 10 km/h. Tämä tarkoittaa, että autojen liikeradan tulee ennen nopeuden muuttamista olla yhtä kaukana linjoista I ja II ja sijaita niiden välisellä koordinaattitasolla .. Aikataulun mukaan Δs = 2cl. vastaa 20 km, v = 5 solua, joten ratkaisemme suhteen v = 50 km/h.

Vastaus: 50km/h.

Tehtävä 3

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

vertailupiste on laituri M

merkitse piste N (0; 162).

Vastaus: 2 tuntia 20 minuuttia.

Ratkaisu yhtälön avulla:

162 -45(x+0,75)-36x=0

162-45x - 33,75 -36x = 0

81x = 128,25

2)

Vastaus: 2 tuntia 20 minuuttia.

Tehtävä 4.

Pyöräilijä jätti pisteen A. Samaan aikaan hänen jälkeensä moottoripyöräilijä 16 km/h lähti paikasta B, joka on 20 km päässä A:sta. Pyöräilijä ajoi 12 km/h nopeudella. Millä etäisyydellä pisteestä A moottoripyöräilijä ohittaa pyöräilijän?

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Asetetaan abskissa-akselilla Ot koordinaattitaso sOt, johon merkitään liikkeen aikavälit ja y-akseli Os, johon merkitään moottoripyöräilijän ja pyöräilijän kulkema matka.

2. Piirretään jaot asteikolla: y-akselia pitkin - 2 solussa 8 km; pitkin abskissaa - 2 solussa - 1h.

3. Rakennetaan moottoripyöräilijän II liikeviiva: merkitsemme hänen liikkeen alkua koordinaattien B (0; 0) origoon. Moottoripyöräilijä ajoi 16 km/h nopeudella, mikä tarkoittaa, että suoran II tulee kulkea koordinaattipisteen (1; 16) kautta.

4. Rakennetaan pyöräilijälle I liikeviiva: sen alku on pisteessä A (0; 20), koska piste B sijaitsee 20 km etäisyydellä pisteestä A, ja hän lähti samaan aikaan kuin moottoripyöräilijä. Pyöräilijä kulki 12 km/h nopeudella, mikä tarkoittaa, että linjan I täytyy kulkea koordinaattien (1; 32) pisteen läpi.

5. Etsi P (5; 80) - linjojen I ja II leikkauspiste, joka heijastaa moottoripyöräilijän ja pyöräilijän liikettä: sen ordinaatta näyttää etäisyyden pisteestä B, jossa moottoripyöräilijä saavuttaa pyöräilijän .

P(5; 80) |=s = 80, |=80 - 20 = 60(km) - etäisyys pisteestä A, jossa moottoripyöräilijä saavuttaa pyöräilijän.

Vastaus: 60 km.

Ratkaisu yhtälön avulla:

Olkoon x km etäisyys pisteestä A kohtauspisteeseen

x /12 pyöräilijän aika

(x +20)/16 moottoripyöräilijän aika

x /12=(x +20)/16

16x=12x+240

4x = 240

x = 60

Vastaus: 60 km

Tehtävä 5.

Kaupunkien välisen etäisyyden moottoripyöräilijällä 2 tunnissa ja pyöräilijällä 5 tunnissa Pyöräilijän nopeus on 18 km/h pienempi kuin moottoripyöräilijän nopeus. Selvitä pyöräilijän ja moottoripyöräilijän nopeudet sekä kaupunkien välinen etäisyys.

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Aseta koordinaattitaso sOt abskissa-akselilla Ot, jolle merkitsemme liikkeen aikavälit, ja y-akselilla Os, johon merkitsemme etäisyyden.

2. Laitetaan jako abskissa-akselia pitkin 2 soluun 1 tunniksi.Jätetään etäisyys ilman jakoja ordinaatta-akselilla.

3. Piirretään pyöräilijän liikeviiva I 5 tunnissa ja moottoripyöräilijän II liikeviiva 2 tunnissa. Molempien rivien lopussa on oltava sama ordinaatta.

4. Piirretään jana, jonka abskissa on 1 viivojen I ja II väliin. Tämän segmentin pituus heijastaa etäisyyttä, joka on 18 km. Piirustuksesta saamme, että 3 solua on yhtä kuin 18 km, mikä tarkoittaa, että yhdessä solussa on 6 km.

5. Sitten aikataulun mukaan määritämme pyöräilijän nopeudeksi 12 km/h, moottoripyöräilijän nopeudeksi 30 km/h, kaupunkien väliseksi etäisyydeksi 60 km.

Ratkaisu yhtälön avulla:

Olkoon x km/h pyöräilijän nopeus, sitten (x +18) km/h moottoripyöräilijän nopeus

2(x+18)=5x

2x +36 = 5x

x = 12

2) 12+18=30(km/h) ajajan nopeus

3) (km) kaupunkien välinen etäisyys

Vastaus: 12 km/h; 30 km/h; 60 km

Vastaus: 60 km.

Tehtävä 6.

Vene kulkee jokea pitkin 30 km 3 tunnissa ja 20 minuutissa ja 28 km virtausta vastaan ​​4 tunnissa. Kuinka pitkälle vene kattaa järven 1,5 tunnissa?

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Aseta koordinaattitaso sOt abskissa-akselilla Ot, johon merkitään liikkeen aikavälit ja y-akselilla Os, johon merkkaamme veneen kulkeman matkan.

2. Piirretään jaot asteikolla: y-akselia pitkin - kahdessa solussa 4 km; pitkin abskissa-akselia - 6 solussa - 1 tunti (1 solussa - 10 minuuttia), koska ongelman tilanteen mukaan aika annetaan minuutteina.

3. Rakennetaan veneen liikeviiva jokea I pitkin: linjan alku on pisteessä, jonka koordinaatti on (0; 0). Vene purjehtii 30 km 3 tunnissa ja 20 minuutissa, mikä tarkoittaa, että linjan tulee kulkea koordinaatin (; 30) pisteen läpi, koska 3h 20min. = h.

4. Rakennetaan veneen liikeviiva joen II virtausta vastaan: otetaan liikkeen alku pisteestä, jonka koordinaatti on (0; 0). Vene purjehtii 28 km 4 tunnissa, mikä tarkoittaa, että liikeradan tulee kulkea koordinaatin (4; 28) pisteen kautta.

5. Rakennetaan veneen liikeviiva järvelle: otamme liikkeen alkupisteen koordinaatilla (0; 0). Veneen oman liikeradan tulee sijaita yhtä kaukana jokea pitkin kulkevien veneen liikelinjojen välissä. Tämä tarkoittaa, että meidän on jaettava segmentti, joka koostuu kaikista pisteistä, joissa on abskissa 1 joen liikelinjojen välillä, puoliksi ja merkitä sen keskikohta. Piirrämme kohdasta (0; 0) tämän merkityn pisteen läpi säteen, joka on kulkuviiva järveä pitkin.

6. Ongelman tilanteen mukaan on tarpeen löytää etäisyys, jonka vene on kulkenut järvellä 1,5 tunnissa, mikä tarkoittaa, että meidän on määritettävä tällä viivalla pisteen ordinaatti abskissalla t \u003d 1,5, | \u003d s \u003d 12, | \u003d 12 km 1,5 tuntia.

Vastaus: 12 km.

Ratkaisu yhtälöjärjestelmän avulla:

Olkoon x km/h järven nopeus ja y km/h joen nopeus

Vastaus: 12 km.

Tehtävä 7.

Vene kulkee jokea pitkin 34 km samassa ajassa kuin 26 km virtausta vastaan. Veneen oma nopeus on 15 km/h. Etsi joen nopeus.

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Aseta koordinaattitaso sOt abskissa-akselilla Ot, johon merkitään liikkeen aikavälit, ja ordinaatta-akseliksi Os, jolle merkkaamme veneen kulkeman matkan.

2. Piirretään jaot asteikolla: y-akselia pitkin - 1 solussa 1 km; abskissa-akselilla jätämme ajan ilman jakoja.

3. Rakennetaan linja I veneen liikkeestä jokea 0 km:stä 34 km:n pisteeseen: linjan alku on pisteessä, jonka koordinaatti on (0; 0), toinen koordinaatti on (x) ; 34).

4. Rakennetaan linja II veneen liikkeestä joen virtausta vastaan ​​0 km:stä 26 km:n pisteeseen: linjan alku on pisteessä, jonka koordinaatti on (0; 0). Toinen koordinaatti on ( x; 26).

5. Piirrä säde III origosta (0; 0) mielivaltaisen janan keskelle, joka koostuu kaikista pisteistä, joilla on sama abskissa kahden liikelinjan I ja II välillä. Tämä säde heijastaa veneen omaa liikettä, kuten veneen oma nopeus on 2 nopeuden aritmeettinen keskiarvo joesta ylä- ja alavirtaan. Tuloksena olevasta säteestä löydämme pisteen, jonka ordinaatit ovat 15, koska veneen oma nopeus on 15 km/h. Löydetyn pisteen abskissa vastaa 1 tunnin jakoa.

6. Joen nopeuden selvittämiseksi riittää löytää janan pituus abskissalla 1 viivalta III viivalta II. Joen nopeus on 2 km/h.

Vastaus: 2km/h

Ratkaisu yhtälön avulla:

Joen nopeus x km/h

34 / (15 + x) \u003d 26 / (15-x) Ratkaisemalla osuuden saamme:

Vastaus: 2km/h

Johtopäätös.

Edut:

Tehtävät voidaan kirjoittaa lyhyesti muistiin;

Virheet:

KIRJALLISUUS.

1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B., Algebra: Oppikirja oppilaitosten 7. luokalle, "Prosveshchenie", M., 2000.

2.Bulynin V., Graafisten menetelmien käyttö tekstiongelmien ratkaisemisessa, opetus- ja metodinen sanomalehti "Mathematics", nro 14, 2005.

3. Zvavich L.I. Didaktiset materiaalit algebrasta luokalle 7.

Näytä asiakirjan sisältö
"sanat"

7. luokan algebratunneilla tutustuin aiheeseen ”Lineaarinen funktio. Lineaaristen funktioiden kuvaajien keskinäinen järjestely. Opin rakentamaan lineaarisen funktion kuvaajia, opin sen ominaisuudet, opin määrittämään kuvaajien suhteellisen sijainnin annettujen kaavojen avulla. Huomasin sen Yu.N. Makarychevin oppikirjassa

"Algebra.7 luokka" käsittelee tehtäviä, joissa tietyn aikataulun mukaan on tarpeen vastata useisiin kysymyksiin. Diassa on esimerkki tällaisesta tehtävästä.

Annetun aikataulun mukaan se voidaan määrittää

Ja minulla oli kysymys, onko mahdollista ratkaista liikkeen ongelmia ei toimien tai yhtälöiden avulla, vaan käyttää tähän lineaarisen funktion grafiikkaa?

Dialla esitetään hypoteesi, tavoitteet ja tavoitteet

Tutkimuksessani päätin yrittää antaa graafisen tulkinnan oppikirjassamme esitellyistä liikkumisen tehtävistä ja sitten aikataulun mukaisesti vastata tehtävän kysymykseen. Tällaista ratkaisua varten tein tehtäviä suoraviivaisella tasaisella liikkeellä polun yhdelle osuudelle.

Kävi ilmi, että monet ongelmat ratkaistaan ​​tällä tavalla. Tämän tekniikan ainoa haittapuoli on, että saadaksesi täsmällisen vastauksen ongelman kysymykseen, täytyy pystyä valitsemaan oikein koordinaattiakseleiden mittayksiköiden asteikko. Suuri rooli tämän asteikon oikeassa valinnassa on ratkaisemisen kokemuksella. Siksi minun täytyi käsitellä niitä suuria määriä hallitakseni ongelmien ratkaisemisen taidon kaavioiden avulla.

Tekniikka tekstiongelmien ratkaisemiseen lineaaristen funktiokaavioiden avulla.

Jotta voit ratkaista tekstiongelman lineaaristen funktiokaavioiden avulla, sinun on:

aseta koordinaattijärjestelmä Tätä varten on tehtävän tilanteen mukaan valittava origo: kohteen liikkeen alku tai useasta kohteesta valitaan se, joka on alkanut liikkua aikaisemmin tai kulkenut pidemmän matkan. . Merkitse abskissa-akselille aikavälit sen mittayksiköissä ja ordinaatta-akselilla etäisyys sen mittayksiköiden valitulla asteikolla.

Piirrä jokaisen tehtävän ehdossa määritellyn kohteen liikeviivat vähintään kahden suorien pisteen koordinaattien kautta. Yleensä kohteen nopeus antaa tietoa etäisyyden kulumisesta yhdessä aikayksikössä sen liikkeen alusta. Jos kohde alkaa liikkua myöhemmin, niin sen liikkeen aloituspiste siirtyy tietyn määrän yksiköitä origosta oikealle x-akselia pitkin. Jos kohde alkaa liikkua paikasta, joka on etäällä vertailupisteestä tietyn matkan verran, niin sen liikkeen alkupiste siirtyy ylöspäin y-akselia pitkin.

Useiden kohteiden kohtaamispiste koordinaattitasolla ilmaistaan ​​niiden liikettä kuvaavien viivojen leikkauspisteellä, mikä tarkoittaa, että tämän pisteen koordinaatit antavat tietoa kohtaamisajasta ja kohtaamispaikan etäisyydestä origosta.

Kahden kohteen liikenopeuksien ero määräytyy segmentin pituuden mukaan, joka koostuu kaikista pisteistä, joilla on abskissa 1 ja jotka sijaitsevat näiden objektien liikelinjojen välissä.

Koordinaattitason pisteet on merkittävä tehtävän mittakaavan mukaan ja viivat on piirrettävä tarkasti. Ongelman ratkaisun tarkkuus riippuu tästä.

Tehtävä 1. (Nro 673 Yu.N. Makarychevin oppikirjassa "Algebra 7".)

Pyöräilijä ajaa polkua AB nopeudella 12 km/h. Paluumatkalla hän kehitti 18 km/h nopeutta ja vietti 15 minuuttia vähemmän paluumatkalla kuin matkalla paikasta A paikkaan B. Kuinka monta kilometriä paikasta A paikkaan B.

Ratkaisu yhtälön avulla:

Olkoon x km etäisyys pisteestä A paikkaan B.

x/12h. -aika paikasta A paikkaan B

x/18h. - aika taaksepäin

Koska hän vietti 15 minuuttia vähemmän paluumatkalla, muodostamme yhtälön

Vastaus: 9 km

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Aseta koordinaattitaso sOtc abskissa-akselilla Оt, jolle merkitsemme liikkeen aikavälit, ja y-akselilla Os, johon merkitsemme etäisyyden.

2. Piirretään jaot asteikolla: y-akselia pitkin - yhdessä solussa 3 km; pitkin abskissa-akselia - yksi tunti 4 solussa (1 solussa - 15 min).

3. Rakennetaan sinne liikeviiva: merkitse liikkeen alku pisteellä (0; 0). Pyöräilijä kulki nopeudella 12 km/h, mikä tarkoittaa, että suoran tulee kulkea pisteen (1; 12) kautta.

4. Rakennetaan liikeviiva taaksepäin: merkitse rivin pää pisteellä (; 0), koska pyöräilijä käytti paluumatkalla 15 minuuttia vähemmän. Hän kulki nopeudella 18 km/h, mikä tarkoittaa, että linjan seuraavalla pisteellä on koordinaatti (;18).

5. Huomautus (; 9) - viivojen leikkauspiste: sen ordinaatissa näkyy etäisyys: s = 9

Vastaus: 9 km.

Tehtävä 2 (Nro 757 Yu.N. Makarychevin oppikirjassa "Algebra 7")

Laiturien M ja N välinen etäisyys on 162 km. Moottorilaiva lähti laiturilta M nopeudella 45 km/h. 45 minuutin kuluttua N-laiturilta lähti häntä kohti toinen moottorilaiva, jonka nopeus on 36 km/h. Kuinka monen tunnin kuluttua ensimmäisen laivan lähdön jälkeen he tapaavat?

Ratkaisu yhtälön avulla:

Olkoon kokous x tunnin kuluttua

162 -45(x+0,75)-36x=0

162-45x - 33,75 -36x = 0

81x = 128,25

2)

Vastaus: 2 tuntia 20 minuuttia.

Ratkaisu lineaarisella funktiokaaviolla:

1. Aseta koordinaattitaso sOt abskissa-akselilla Ot, johon merkitsemme liikkeen aikavälit, ja y-akselilla Os, jolle

huomioi etäisyys laiturista M laituriin N, joka on 162 km. alku

vertailupiste on laituri M

2. Piirretään jaot asteikolla: y-akselia pitkin - kahdessa solussa 18 km; pitkin abskissa-akselia - yksi tunti 6 solussa (1 solussa - 10 min.), koska Tehtäväehto määrittää ajan minuutteina.

merkitse piste N (0; 162).

3. Rakennetaan ensimmäisen aluksen I liikeviiva: sen liikkeen alku on pisteessä, jonka koordinaatit (0; 0). Ensimmäinen laiva purjehti nopeudella 45 km/h, mikä tarkoittaa, että suoran täytyy kulkea koordinaattipisteen (1; 45) läpi.

4. Rakennetaan toisen laivan II liikelinja: liikkeen alku on pisteessä c

koordinaatit (; 162), koska hän lähti pisteestä N, 162 km päässä M:stä, 45 min. myöhemmin kuin ensimmäinen ja 45 min. \u003d h. Toinen laiva purjehti nopeudella 36 km/h, mikä tarkoittaa, että suoran täytyy kulkea pisteen (; 126) läpi, koska toinen laiva lähti pisteen M suuntaan: 162 - 36 \ u003d 126 (km).

5. Viivojen I ja II leikkauspiste on piste A (; 108). Pisteen abskissa näyttää ajan, jonka jälkeen he tapasivat ensimmäisen laivan lähdön jälkeen: t =, |=h = 2t20min. - kahden aluksen tapaamisaika ensimmäisen aluksen lähdön jälkeen.

Vastaus: 2 tuntia 20 minuuttia.

Johtopäätös.

Opinnäytetyön lopussa pystyin tunnistamaan graafisen ongelmanratkaisun edut ja haitat.

Edut:

Tehtävät voidaan kirjoittaa lyhyesti muistiin;

Pienillä numeroilla työskentely on melko helppoa.

Virheet:

On vaikea työskennellä suurten numeroiden kanssa.

Näytä esityksen sisältö
"projekti"