Murtolukujen kerto- ja jako.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä operaatio on paljon mukavampi kuin yhteen- ja vähennyslasku! Koska se on helpompaa. Muistutan teitä: jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittajat (tämä on tuloksen osoittaja) ja nimittäjät (tämä on nimittäjä). Tuo on:

Esimerkiksi:

Kaikki on erittäin yksinkertaista. Ja älä etsi yhteistä nimittäjää! Ei sitä täällä tarvita...

Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen(tämä on tärkeää!) murtoluku ja kerro ne, eli:

Esimerkiksi:

Jos kerto- tai jakolasku kokonaisluvuilla ja murtoluvuilla saadaan kiinni, se on ok. Kuten yhteenlaskussa, teemme murto-osan kokonaisluvusta, jonka nimittäjässä on yksikkö - ja mennään! Esimerkiksi:

Lukiossa joutuu usein käsittelemään kolmikerroksisia (tai jopa nelikerroksisia!) murto-osia. Esimerkiksi:

Kuinka saada tämä murto kunnolliseen muotoon? Kyllä, erittäin helppoa! Käytä jakoa kahden pisteen kautta:

Mutta älä unohda jakojärjestystä! Toisin kuin kertolasku, tämä on erittäin tärkeää tässä! Emme tietenkään sekoita 4:2 tai 2:4. Mutta kolmikerroksisessa murto-osassa on helppo tehdä virhe. Huomioi esimerkiksi:

Ensimmäisessä tapauksessa (lauseke vasemmalla):

Toisessa (lauseke oikealla):

Tunne erilaisuus? 4 ja 1/9!

Mikä on jakojärjestys? Tai hakasulkeet tai (kuten tässä) vaakaviivojen pituus. Kehitä silmää. Ja jos ei ole sulkeita tai viivoja, kuten:

sitten jaa-kerrota järjestyksessä, vasemmalta oikealle!

Ja toinen hyvin yksinkertainen ja tärkeä temppu. Tutkintotoimissa se on hyödyllinen sinulle! Jaetaan yksikkö millä tahansa murtoluvulla, esimerkiksi luvulla 13/15:

Laukaus on kääntynyt! Ja aina tapahtuu. Kun jaetaan 1 millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain käänteinen.

Siinä kaikki toiminnot murtoluvuilla. Asia on melko yksinkertainen, mutta antaa enemmän kuin tarpeeksi virheitä. Ota huomioon käytännön neuvot, niin niitä (virheitä) tulee vähemmän!

Käytännön vinkkejä:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus! Nämä eivät ole yleisiä sanoja, eivät hyviä toiveita! Tämä on kova tarve! Tee kaikki kokeen laskelmat täysimittaisena tehtävänä keskittyen ja selkeästi. On parempi kirjoittaa kaksi ylimääräistä riviä luonnokseen kuin sotkea laskettaessa päässäsi.

2. Esimerkeissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja - siirry tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikki murtoluvut loppuun.

4. Pelistämme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä kahden pisteen jakoa (noudatamme jakojärjestystä!).

5. Jaamme yksikön mielessämme murto-osaan yksinkertaisesti kääntämällä murto-osan.

Tässä on tehtävät, jotka sinun on suoritettava. Vastaukset annetaan kaikkien tehtävien jälkeen. Käytä tämän aiheen materiaaleja ja käytännön neuvoja. Arvioi kuinka monta esimerkkiä pystyt ratkaisemaan oikein. Ensimmäinen kerta! Ilman laskinta! Ja tee oikeat johtopäätökset...

Muista oikea vastaus saatu toisesta (etenkin kolmannesta) kerrasta - ei lasketa! Sellaista se ankara elämä on.

Niin, ratkaista koetilassa ! Tämä on muuten valmistautumista kokeeseen. Ratkaisemme esimerkin, tarkistamme, ratkaisemme seuraavat. Päätimme kaiken - tarkistimme uudelleen ensimmäisestä viimeiseen. Mutta vain jälkeen katso vastauksia.

Laskea:

Päätitkö jo?

Etsitkö vastauksia, jotka vastaavat sinun omiasi. Kirjoitin ne nimenomaan sekaisin, niin sanotusti pois kiusauksesta... Tässä ne ovat, vastaukset puolipisteellä kirjoitettuna.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ja nyt teemme johtopäätökset. Jos kaikki toimi - onnea sinulle! Alkeislaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei...

Sinulla on siis toinen kahdesta ongelmasta. Tai molemmat kerralla.) Tiedon puute ja (tai) välinpitämättömyys. Mutta tämä ratkaistavissa Ongelmia.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

) ja nimittäjä nimittäjällä (saamme tuotteen nimittäjän).

Murtolukujen kertolaskukaava:

Esimerkiksi:

Ennen kuin jatkat osoittajien ja nimittäjien kertolaskua, on tarpeen tarkistaa murto-osien pienentämisen mahdollisuus. Jos onnistut vähentämään murto-osaa, sinun on helpompi jatkaa laskelmien tekemistä.

Tavallisen murtoluvun jako murtoluvulla.

Luonnollisen luvun murtolukujen jako.

Se ei ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää. Kuten summauksen tapauksessa, muunnamme kokonaisluvun murto-osaksi, jonka nimittäjässä on yksikkö. Esimerkiksi:

Sekaosien kertolasku.

Murtolukujen kertomista koskevat säännöt (sekoitetut):

• muuntaa sekafraktiot sopimattomiksi;
• kerrotaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät;
• vähennämme murto-osuutta;
• jos saamme väärän murto-osan, niin muunnetaan väärä murto sekaluvuksi.

Merkintä! Jos haluat kertoa sekamurtoluvun toisella sekamurtoluvulla, sinun on ensin saatettava ne sopimattomien jakeiden muotoon ja kerrottava sitten tavallisten jakeiden kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla.

On kätevämpää käyttää toista tapaa kertoa tavallinen murto luvulla.

Merkintä! Murtoluvun kertomiseksi luonnollisella luvulla on tarpeen jakaa murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jättää osoittaja ennalleen.

Yllä olevasta esimerkistä on selvää, että tätä vaihtoehtoa on helpompi käyttää, kun murtoluvun nimittäjä jaetaan ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Monitasoiset murtoluvut.

Lukiossa löytyy usein kolmikerroksisia (tai useampia) murto-osia. Esimerkki:

Tällaisen murto-osan saattamiseksi sen tavanomaiseen muotoon käytetään jakoa 2 pisteellä:

Merkintä! Murtolukuja jaettaessa jakojärjestys on erittäin tärkeä. Ole varovainen, täällä on helppo hämmentää.

Merkintä, esimerkiksi:

Kun jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain käänteisesti:

Käytännön vinkkejä murtolukujen kertomiseen ja jakamiseen:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskentelyssä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus. Tee kaikki laskelmat huolellisesti ja tarkasti, keskittyneesti ja selkeästi. On parempi kirjoittaa luonnokseen muutama ylimääräinen rivi kuin hämmentyä päässäsi olevissa laskelmissa.

2. Tehtävissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja - siirry tavallisten murtolukujen tyyppiin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes pelkistäminen ei ole enää mahdollista.

4. Tuomme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiin lausekkeisiin käyttämällä 2 pisteen jakoa.

5. Jaamme yksikön mielessämme murto-osaan yksinkertaisesti kääntämällä murto-osan.

Jatkamme toimintojen tutkimista tavallisilla murtoluvuilla. Nyt valokeilassa yhteisten murtolukujen kertolasku. Tässä artikkelissa annamme säännön tavallisten murtolukujen kertomisesta, harkitse tämän säännön soveltamista esimerkkejä ratkaiseessasi. Keskitymme myös tavallisen murtoluvun kertomiseen luonnollisella luvulla. Lopuksi harkitse, kuinka kolmen tai useamman murtoluvun kertolasku suoritetaan.

Sivulla navigointi.

Yhteisen murtoluvun kertominen yhteisellä murtoluvulla

Aloitetaan sanamuodosta yleisten murtolukujen kertomista koskevat säännöt: kertomalla murto murtoluvulla saadaan murto, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kerrottujen murtolukujen osoittajien tulo ja jonka nimittäjä on yhtä suuri kuin nimittäjien tulo.

Eli kaava vastaa tavallisten murtolukujen a / b ja c / d kertolaskua.

Otetaan esimerkki, joka kuvaa tavallisten murtolukujen kertolaskua. Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on 1 yksikkö. , kun taas sen pinta-ala on 1 yksikkö 2 . Jaa tämä neliö yhtä suuriksi suorakulmioiksi, joiden sivut ovat 1/4 yksikköä. ja 1/8 yksikköä. , kun taas alkuperäinen neliö koostuu 4 8 = 32 suorakulmiosta, joten jokaisen suorakulmion pinta-ala on 1/32 alkuperäisen neliön pinta-alasta, eli se on yhtä suuri kuin 1/32 yksikköä 2. Maalataan nyt osa alkuperäisestä neliöstä. Kaikki toimintamme näkyvät alla olevassa kuvassa.

Täytetyn suorakulmion sivut ovat 5/8 yksikköä. ja 3/4 yksikköä. , mikä tarkoittaa, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin murto-osien 5/8 ja 3/4, eli yksiköiden 2, tulo. Mutta täytetty suorakulmio koostuu 15 "pienestä" suorakulmiosta, joten sen pinta-ala on 15/32 yksikköä 2 . Tämän seurauksena,. Koska 5 3=15 ja 8 4=32 , viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , joka vahvistaa kaavan muodon tavallisten murtolukujen kertomiselle.

Huomaa, että soinnillisen kertolaskusäännön avulla voit kertoa sekä säännölliset että väärät murtoluvut ja murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, ja murtoluvut eri nimittäjillä.

Harkitse esimerkkejä yhteisten murtolukujen kertomisesta.

Kerro yhteinen murtoluku 7/11 yhteisellä murto-osuudella 9/8.

Kerrottujen murtolukujen 7 ja 9 osoittajien tulo on 63 ja nimittäjien 11 ja 8 tulo on 88. Näin ollen kertomalla yhteiset murtoluvut 7/11 ja 9/8 saadaan murtoluku 63/88.

Tässä on yhteenveto ratkaisusta: .

Emme saa unohtaa tuloksena olevan murto-osan pienentämistä, jos kertomisen tuloksena saadaan vähennettävä murto-osa, ja koko osan valintaa väärästä murto-osasta.

Kerro murtoluvut 4/15 ja 55/6.

Sovelletaan tavallisten murtolukujen kertolaskua: .

Ilmeisesti tuloksena oleva murto-osa on vähennettävissä (10:llä jaollinen merkki antaa meille mahdollisuuden väittää, että murtoluvun 220/90 osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kerroin 10). Pienennetään murtolukua 220/90: GCD(220, 90)=10 ja . Jäljelle jää valita kokonaislukuosa tuloksena olevasta väärästä murtoluvusta: .

Huomaa, että murto-osien pelkistys voidaan suorittaa ennen osoittajien tulojen ja kerrottujen murto-osien nimittäjien tulojen laskemista, eli kun murtoluku on muotoa . Tälle luvulle a, b, c ja d korvataan niiden alkutekijöiden jakamalla, minkä jälkeen samat osoittajan ja nimittäjän tekijät mitätöidään.

Selvyyden vuoksi palataan edelliseen esimerkkiin.

Laske muodon murto-osien tulo.

Tavallisten murtolukujen kertolaskukaavalla meillä on .

Koska 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ja 6 = 2 3 , niin . Nyt perutaan yleiset alkutekijät: .

Jää vain laskea osoittajassa ja nimittäjässä olevat tuotteet ja valita sitten kokonaislukuosa väärästä murtoluvusta: .

On huomattava, että murto-osien kertolaskulle on ominaista kommutatiivinen ominaisuus, eli kerrotut murtoluvut voidaan vaihtaa keskenään: .

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla

Aloitetaan sanamuodosta säännöt yhteisen murtoluvun kertomisesta luonnollisella luvulla: murto-osan kertominen luonnollisella luvulla antaa murtoluvun, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kerrotun murtoluvun osoittajan tulo luonnollisella luvulla ja nimittäjä on yhtä suuri kuin kerrotun murtoluvun nimittäjä.

Kirjainten avulla sääntö murtoluvun a / b kertomisesta luonnollisella luvulla n on muotoa .

Kaava seuraa lomakkeen kahden tavallisen murtoluvun kertolaskukaavasta. Todellakin, kun luonnollinen luku esitetään murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, saamme .

Harkitse esimerkkejä murtoluvun kertomisesta luonnollisella luvulla.

Kerro murto-osa 2/27 viidellä.

Kun osoittaja 2 kerrotaan luvulla 5, saadaan 10, joten murtoluvun luonnollisella luvulla kertomista koskevan säännön mukaan luvun 2/27 tulo 5:llä on yhtä suuri kuin murtoluku 10/27.

Koko ratkaisu voidaan kirjoittaa kätevästi seuraavasti: .

Kun murtoluku kerrotaan luonnollisella luvulla, tuloksena olevaa murtolukua on usein pienennettävä, ja jos se on myös väärä, niin se esitetään sekalukuna.

Kerro murto-osa 5/12 luvulla 8.

Murtoluvun luonnollisella luvulla kertovan kaavan mukaan meillä on . Ilmeisesti tuloksena oleva murto-osa on pelkistävä (kahdella jaollinen merkki osoittaa osoittajan ja nimittäjän yhteistä jakajaa 2). Pienennetään murtolukua 40/12: koska LCM(40, 12)=4, niin . Jäljelle jää valita koko osa: .

Tässä on koko ratkaisu: .

Huomaa, että pelkistys voidaan tehdä korvaamalla osoittajassa ja nimittäjässä olevat luvut niiden laajennuksilla alkutekijöiksi. Tässä tapauksessa ratkaisu näyttäisi tältä:

Tämän kappaleen lopuksi huomautamme, että murtoluvun kertomisella luonnollisella luvulla on kommutatiivisuus, eli murtoluvun tulo luonnollisella luvulla on yhtä suuri kuin tämän luonnollisen luvun tulo murtoluvulla: .

Kerro kolme tai useampi murtoluku

Tapa, jolla olemme määrittäneet tavalliset murtoluvut ja kertomisen niillä, mahdollistaa sen, että voimme väittää, että kaikki luonnollisten lukujen kertolaskuominaisuudet pätevät murtolukujen kertomiseen.

Kertolaskun kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet mahdollistavat yksilöllisen määrittämisen kertomalla kolme tai useampi murtoluku ja luonnolliset luvut. Tässä tapauksessa kaikki tapahtuu analogisesti kolmen tai useamman luonnollisen luvun kertomisen kanssa. Erityisesti tuotteen murtoluvut ja luonnolliset luvut voidaan järjestää uudelleen laskennan helpottamiseksi, ja jos toimintojen suoritusjärjestystä osoittavia sulkuja ei ole, voimme järjestää sulut itse millä tahansa sallituista tavoista.

Harkitse esimerkkejä useiden murtolukujen ja luonnollisten lukujen kertomisesta.

Kerro kolme yleistä murtolukua 1/20, 12/5, 3/7 ja 5/8.

Kirjoitetaan tuote, joka meidän on laskettava . Murtolukujen kertomissäännön mukaan kirjoitettu tulo on yhtä suuri kuin murto, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kaikkien murtolukujen osoittajien tulo, ja nimittäjä on nimittäjien tulo: .

Ennen tulojen laskemista osoittajassa ja nimittäjässä on suositeltavaa korvata kaikki tekijät niiden laajennuksilla alkutekijöiksi ja pienentää (tietenkin voit pienentää murto-osaa kertomisen jälkeen, mutta monissa tapauksissa tämä vaatii paljon laskentaa): .

.

Kerro viisi numeroa .

Tässä tuotteessa on kätevää ryhmitellä murto-osa 7/8 numerolla 8 ja numero 12 murto-osalla 5/36, tämä yksinkertaistaa laskelmia, koska tällaisella ryhmittelyllä vähennys on ilmeinen. Meillä on
.

.

Murtolukujen kertolasku

Tarkastellaan tavallisten murtolukujen kertomista useilla mahdollisilla tavoilla.

Murto-osan kertominen murtoluvulla

Tämä on yksinkertaisin tapaus, jossa sinun on käytettävä seuraavaa murto-osien kertolaskusäännöt.

Vastaanottaja kerrotaan murto-osa murtoluvulla, tarpeen:

• kerrotaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen murtoluvun osoittajalla ja kirjoitetaan heidän tulonsa uuden murtoluvun osoittajaan;
• kerro ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä ja kirjoita heidän tulonsa uuden murto-osan nimittäjään;

Tarkista ennen osoittajien ja nimittäjien kertomista, voidaanko murtolukuja pienentää. Murtolukujen vähentäminen laskelmissa helpottaa laskelmiasi huomattavasti.

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla

Murto-osaan kerrotaan luonnollisella luvulla sinun on kerrottava murto-osan osoittaja tällä numerolla ja jätettävä murto-osan nimittäjä ennalleen.

Jos kertolaskutulos on väärä murtoluku, älä unohda muuttaa sitä sekaluvuksi, eli valitse koko osa.

Sekalukujen kertolasku

Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten tavallisten murtolukujen kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla

Joskus laskettaessa on kätevämpää käyttää erilaista tapaa kertoa tavallinen murto-osa numerolla.

Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on jaettava murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, on kätevämpää käyttää tätä säännön versiota, jos murtoluvun nimittäjä on jaollinen ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Sekalukujen kertolasku: säännöt, esimerkit, ratkaisut.

Tässä artikkelissa analysoimme sekalukujen kertolasku. Ensin kerromme sekalukujen kertomissäännön ja harkitsemme tämän säännön soveltamista esimerkkejä ratkottaessa. Seuraavaksi puhumme sekaluvun ja luonnollisen luvun kertomisesta. Lopuksi opimme kertomaan sekaluvun ja tavallisen murtoluvun.

Sivulla navigointi.

Sekalukujen kertolasku.

Sekalukujen kertolasku voidaan pelkistää kertomalla tavalliset murtoluvut. Tätä varten riittää, kun muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi.

Kirjoitetaanpa ylös kertolasku sääntö sekaluvuille:

• Ensinnäkin kerrottavat sekaluvut on korvattava väärillä murtoluvuilla;
• Toiseksi sinun on käytettävä sääntöä murto-osan kertomisesta murtoluvulla.

Harkitse esimerkkejä tämän säännön soveltamisesta, kun kerrot sekaluvun sekaluvulla.

Suorita sekalukukerto ja .

Ensin esitämme kerrotut sekaluvut väärinä murtolukuina: ja . Nyt voidaan korvata sekalukujen kertolasku tavallisten murtolukujen kertolaskulla: . Soveltamalla murtolukujen kertolaskua saamme . Tuloksena oleva murto-osa on redusoitumaton (katso pelkistymättömät ja pelkistyvät murtoluvut), mutta se on virheellinen (katso säännölliset ja väärät murtoluvut), joten lopullisen vastauksen saamiseksi on vielä poimia väärästä murtoluvusta kokonaisluku: .

Kirjoitetaan koko ratkaisu yhdelle riville: .

.

Vahvistaaksesi sekalukujen kertomistaitoja, harkitse toisen esimerkin ratkaisua.

Tee kertolasku.

Hauskat luvut ja vastaavat murtolukuja 13/5 ja 10/9. Sitten . Tässä vaiheessa on aika muistaa murto-alennus: korvaamme kaikki murtoluvut niiden laajennuksilla alkutekijöiksi ja teemme samojen tekijöiden pelkistyksen.

Sekaluvun ja luonnollisen luvun kertolasku

Kun sekaluku on korvattu väärällä murtoluvulla, kerrotaan sekaluku ja luonnollinen luku pelkistetään tavallisen murtoluvun ja luonnollisen luvun kertolaskuksi.

Kerro sekaluku ja luonnollinen luku 45 .

Sekaluku on siis murto-osa . Korvataan tuloksena olevan murtoluvun luvut niiden laajennuksilla alkutekijöiksi, tehdään pelkistys, jonka jälkeen valitaan kokonaislukuosa: .

.

Sekaluvun ja luonnollisen luvun kertominen tehdään joskus kätevästi käyttämällä kertolaskuominaisuutta suhteessa yhteenlaskuun. Tässä tapauksessa sekaluvun ja luonnollisen luvun tulo on yhtä suuri kuin kokonaisluvun tulojen summa annetulla luonnollisella luvulla ja murto-osan tulojen summa annetulla luonnollisella luvulla, eli .

Laske tuote.

Korvataan sekaluku kokonaisluvun ja murto-osien summalla, minkä jälkeen sovelletaan kertolaskuominaisuutta: .

Sekaluvun ja yhteisen murtoluvun kertominen on kätevintä pelkistää tavallisten murtolukujen kertolaskuksi, mikä edustaa kerrottua sekalukua vääränä murtolukuna.

Kerro sekaluku yhteisellä murtoluvulla 4/15.

Korvaamalla sekaluvun murtoluvulla saamme .

Murtolukujen kertolasku

§ 140. Määritelmät. 1) Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla määritellään samalla tavalla kuin kokonaislukujen kertominen, nimittäin: kertoa jokin luku (kerroin) kokonaisluvulla (kerroin) tarkoittaa identtisten termien summan tekemistä, jossa jokainen termi on yhtä suuri kuin kertoja ja termien määrä on yhtä suuri kuin kertoja.

Joten kertominen viidellä tarkoittaa summan löytämistä:
2) Jonkin luvun (kertoimen) kertominen murtoluvulla (kertoimella) tarkoittaa kertojan tämän murto-osan löytämistä.

Siten, kun löydetään murto-osa annetusta luvusta, jota tarkastelimme aiemmin, kutsumme nyt kertomista murtoluvulla.

3) Jonkin luvun (kertoimen) kertominen sekaluvulla (kertoimella) tarkoittaa kertoimen kertomista ensin kertoimen kokonaisluvulla, sitten kertoimen murto-osalla ja näiden kahden kertolaskujen tulosten laskemista yhteen.

Esimerkiksi:

Kertomisen jälkeen saatua lukua kutsutaan kaikissa näissä tapauksissa työ, eli samalla tavalla kuin kerrottaessa kokonaislukuja.

Näistä määritelmistä käy selvästi ilmi, että murtolukujen kertominen on aina mahdollista ja aina yksiselitteistä toimintaa.

§ 141. Näiden määritelmien tarkoituksenmukaisuus. Ymmärtääksemme kahden viimeisen kertolaskumääritelmän tuomisen tarkoituksenmukaisuuden aritmetiikkaan, otamme seuraavan ongelman:

Tehtävä. Tasaisesti liikkuva juna kulkee 40 km tunnissa; kuinka saada selville kuinka monta kilometriä tämä juna kulkee tietyssä tunnissa?

Jos pysyisimme samassa kertolaskumääritelmässä, joka ilmaistaan ​​kokonaislukujen aritmetiikassa (yhtäsuuruisten termien yhteenlasku), ongelmallamme olisi kolme erilaista ratkaisua, nimittäin:

Jos annettu tuntimäärä on kokonaisluku (esimerkiksi 5 tuntia), niin ongelman ratkaisemiseksi 40 km on kerrottava tällä tuntimäärällä.

Jos tietty tuntimäärä ilmaistaan ​​murto-osana (esimerkiksi tunteina), sinun on löydettävä tämän murto-osan arvo 40 km:stä.

Lopuksi, jos annettu tuntimäärä on sekoitettu (esimerkiksi tunnit), on tarpeen kertoa 40 km sekaluvun sisältämällä kokonaisluvulla ja lisätä tulokseen sellainen murto-osa 40 km:stä, joka on sekoitettu numero.

Antamiemme määritelmien avulla voimme antaa yhden yleisen vastauksen kaikkiin näihin mahdollisiin tapauksiin:

40 km on kerrottava annetulla tuntimäärällä, oli se sitten mikä tahansa.

Jos siis ongelma esitetään yleisessä muodossa seuraavasti:

Tasaisesti liikkuva juna kulkee v km tunnissa. Kuinka monta kilometriä juna kulkee t tunnissa?

sitten riippumatta luvuista v ja t, voimme ilmaista yhden vastauksen: haluttu luku ilmaistaan ​​kaavalla v · t.

Merkintä. Tietyn luvun murto-osan löytäminen tarkoittaa määritelmämme mukaan samaa kuin tietyn luvun kertominen tällä murtoluvulla; siksi esimerkiksi 5 %:n (eli viiden sadasosan) löytäminen tietystä luvusta tarkoittaa samaa kuin annetun luvun kertominen luvulla tai luvulla; 125 %:n löytäminen tietystä luvusta on sama kuin kertomalla tämä luku luvulla tai luvulla jne.

§ 142. Huomautus siitä, milloin luku kasvaa ja milloin se pienenee kertolaskusta.

Oikealla murtoluvulla kertomisesta luku pienenee ja väärällä murtoluvulla kertomisesta luku kasvaa, jos tämä virheellinen murtoluku on suurempi kuin yksi, ja pysyy muuttumattomana, jos se on yhtä suuri.
Kommentti. Kun murto- ja kokonaislukuja kerrotaan, tuloksi otetaan nolla, jos jokin tekijöistä on nolla, joten,.

§ 143. Kertolaskusääntöjen johtaminen.

1) Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla. Kerrotaan murtoluku 5:llä. Tämä tarkoittaa 5-kertaista kasvua. Murtoluvun suurentamiseksi viidellä riittää sen osoittajan suurentaminen tai nimittäjän pienentäminen viisinkertaiseksi (127 §).

Siksi:
Sääntö 1. Jos haluat kertoa murtoluvun kokonaisluvulla, sinun on kerrottava osoittaja tällä kokonaisluvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen. sen sijaan voit myös jakaa murtoluvun nimittäjän annetulla kokonaisluvulla (jos mahdollista) ja jättää osoittajan ennalleen.

Kommentti. Murtoluvun ja sen nimittäjän tulo on yhtä suuri kuin sen osoittaja.

Niin:
Sääntö 2. Jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava kokonaisluku murtoluvun osoittajalla ja tehtävä tämä tulo osoittajaksi ja allekirjoitettava annetun murtoluvun nimittäjä nimittäjäksi.
Sääntö 3. Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä ja tehtävä ensimmäisestä tuotteesta tuotteen osoittaja ja toisesta nimittäjä.

Kommentti. Tätä sääntöä voidaan soveltaa myös murtoluvun kertomiseen kokonaisluvulla ja kokonaisluvun kertomiseen murtoluvulla, jos vain tarkastellaan kokonaislukua murtolukuna, jonka nimittäjä on yksi. Niin:

Siten nyt esitetyt kolme sääntöä sisältyvät yhteen, joka voidaan ilmaista yleisessä muodossa seuraavasti:
4) Sekalukujen kertolasku.

Sääntö 4. Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten murtolukujen kertomissääntöjen mukaisesti. Esimerkiksi:
§ 144. Kertolaskujen vähentäminen. Murtolukuja kerrottaessa tulee mahdollisuuksien mukaan tehdä alustava vähennys, kuten seuraavista esimerkeistä voidaan nähdä:

Tällainen pienentäminen on mahdollista, koska murto-osan arvo ei muutu, jos osoittajaa ja nimittäjää pienennetään saman verran.

§ 145. Tuotteen muutos tekijöiden muutoksella. Kun tekijät muuttuvat, murtolukujen tulo muuttuu täsmälleen samalla tavalla kuin kokonaislukujen tulo (§ 53), nimittäin: jos lisäät (tai vähennät) mitä tahansa tekijää useita kertoja, niin tulo kasvaa (tai pienenee) samalla määrällä.

Eli jos esimerkissä:
Jos haluat kertoa useita murtolukuja, sinun on kerrottava niiden osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään ja tehtävä ensimmäisestä tuotteesta tuotteen osoittaja ja toisesta nimittäjä.

Kommentti. Tätä sääntöä voidaan soveltaa myös sellaisiin tuloihin, joissa luvun jotkin tekijät ovat kokonaislukuja tai sekalukuja, jos vain tarkastellaan kokonaislukua murtolukuna, jonka nimittäjä on yksi, ja muutetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi. Esimerkiksi:
§ 147. Kertomisen perusominaisuudet. Ne kertolaskuominaisuudet, jotka osoitimme kokonaisluvuille (§ 56, 57, 59), kuuluvat myös murtolukujen kertomiseen. Määritetään nämä ominaisuudet.

1) Tuote ei muutu tekijöiden paikkojen muutoksesta.

Esimerkiksi:

Todellakin, edellisen kappaleen säännön mukaan ensimmäinen tulo on yhtä suuri kuin murto-osa ja toinen on yhtä suuri kuin murto-osa. Mutta nämä murtoluvut ovat samoja, koska niiden termit eroavat vain kokonaislukutekijöiden järjestyksessä, eikä kokonaislukujen tulo muutu, kun tekijöiden paikat vaihtuvat.

2) Tuote ei muutu, jos jokin tekijäryhmä korvataan heidän tuotteellaan.

Esimerkiksi:

Tulokset ovat samat.

Tästä kertolaskuominaisuudesta voidaan päätellä seuraava johtopäätös:

Jos haluat kertoa luvun tulolla, voit kertoa tämän luvun ensimmäisellä kertoimella, kertoa tuloksena olevan luvun toisella ja niin edelleen.

Esimerkiksi:
3) Kertolaiki (koskeen yhteenlaskua). Jos haluat kertoa summan jollakin luvulla, voit kertoa jokaisen termin tällä luvulla erikseen ja laskea tulokset yhteen.

Olemme selittäneet tämän lain (59 §) kokonaislukuihin sovellettuina. Se pysyy totta ilman muutoksia murtolukuihin.

Osoittakaamme itse asiassa, että tasa-arvo

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(Kertolaskulaki summauksen suhteen) pysyy totta, vaikka kirjaimet tarkoittavat murtolukuja. Tarkastellaan kolmea tapausta.

1) Oletetaan ensin, että tekijä m on kokonaisluku, esimerkiksi m = 3 (a, b, c ovat mitä tahansa lukuja). Kokonaisluvulla kertomisen määritelmän mukaan voidaan kirjoittaa (rajoitettu yksinkertaisuuden vuoksi kolmeen termiin):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Assosiatiivisen yhteenlaskulain perusteella voimme jättää pois kaikki oikealla puolella olevat sulut; soveltamalla kommutatiivista summauslakia ja sitten taas yhdistelmälakia, voimme luonnollisesti kirjoittaa oikean puolen uudelleen seuraavasti:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Näin ollen jakelulaki vahvistetaan tässä tapauksessa.

Murtoluvun jako luonnollisella luvulla

Osat: Matematiikka

T luokkatyyppi: ONZ (uuden tiedon löytäminen - opetustoimintamenetelmän tekniikan mukaan).

1. Päättele menetelmiä murtoluvun jakamiseksi luonnollisella luvulla;
2. Muodostaa kyky suorittaa murto-osan jako luonnollisella luvulla;
3. Toista ja vahvista murto-osien jako;
4. Harjoittele kykyä pienentää murtolukuja, analysoida ja ratkaista ongelmia.

Laitteen esittelymateriaali:

1. Tehtävät tiedon päivittämiseksi:

2. Kokeilu (yksilöllinen) tehtävä.

1. Suorita jako:

2. Suorita jako suorittamatta koko laskutoimitusketjua: .

• Kun jaat murtoluvun luonnollisella luvulla, voit kertoa nimittäjän tällä luvulla ja jättää osoittajan ennalleen.

• Jos osoittaja on jaollinen luonnollisella luvulla, jaatessasi murto-osan tällä numerolla, voit jakaa osoittajan numerolla ja jättää nimittäjän ennalleen.

I. Motivaatio (itsemääräämiskyky) oppimistoimintoihin.

1. Järjestää opiskelijalle asetettujen vaatimusten toteutuminen koulutustoiminnassa ("pakko");
2. Järjestä opiskelijoiden toimintaa temaattisen viitekehyksen luomiseksi ("Voin");
3. Luoda edellytykset sille, että opiskelijalla on sisäinen tarve osallistua koulutustoimintaan ("Haluan").

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa I.

Hei! Olen iloinen nähdessäni teidät kaikki matematiikan tunnilla. Toivottavasti se on molemminpuolista.

Kaverit, mitä uutta tietoa sait viimeisellä oppitunnilla? (Jaa murtoluvut).

Oikein. Mikä auttaa sinua jakamaan murtoluvut? (Sääntö, ominaisuudet).

Missä tarvitsemme tätä tietoa? (Esimerkeissä, yhtälöissä, tehtävissä).

Hyvin tehty! Pärjäsit hyvin viime tunnilla. Haluatko löytää itsellesi uutta tietoa tänään? (Joo).

Mene sitten! Ja otetaanpa oppitunnin motto: "Matematiikkaa ei voi oppia katsomalla kuinka naapuri tekee sen!".

II. Tiedon toteuttaminen ja yksilöllisen vaikeuden kiinnittäminen koetoiminnassa.

1. Järjestää tutkittujen toimintatapojen toteutus, joka riittää rakentamaan uutta tietoa. Korjaa nämä menetelmät sanallisesti (puheessa) ja symbolisesti (standardi) ja yleistä ne;
2. Järjestää henkisten toimintojen ja kognitiivisten prosessien toteuttaminen riittävän uuden tiedon rakentamiseksi;
3. Motivoida kokeilutoimia ja sen itsenäistä toteutusta ja perusteluja;
4. Esitä yksittäinen tehtävä koetoimintaa varten ja analysoi se uuden opetussisällön tunnistamiseksi;
5. Järjestä opetustavoitteen ja oppitunnin aiheen kiinnittäminen;
6. Järjestä kokeilutoimenpiteen toteuttaminen ja vaikeuden korjaaminen;
7. Järjestä saatujen vastausten analyysi ja kirjaa ylös yksittäiset vaikeudet koetoimenpiteen suorittamisessa tai sen perustelemisessa.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa II.

Edessä tablettien (yksittäisten taulujen) avulla.

1. Vertaa lausekkeita:

(Nämä lausekkeet ovat yhtä suuret)

Mitä mielenkiintoisia asioita huomasit? (Osingon osoittaja ja nimittäjä, jakajan osoittaja ja nimittäjä kussakin lausekkeessa kasvoivat saman verran. Näin ollen lausekkeiden osingot ja jakajat esitetään murtoluvuilla, jotka ovat yhtä suuret).

Etsi ilmaisun merkitys ja kirjoita se taululle. (2)

Kuinka kirjoittaa tämä luku murtolukuna?

Kuinka suoritit jakotoiminnon? (Lapset lausuvat säännön, opettaja ripustaa kirjaimia taululle)

2. Laske ja kirjaa vain tulokset:

3. Laske yhteen tulokset ja kirjoita vastauksesi ylös. (2)

Mikä on tehtävässä 3 saadun luvun nimi? (luonnollinen)

Luuletko voivasi jakaa murtoluvun luonnollisella luvulla? (Kyllä, yritämme)

Kokeile tätä.

4. Yksilöllinen (koe)tehtävä.

Tee jako: (vain esimerkki a)

Mitä sääntöä käytit jakamiseen? (Säännön mukaan jakaa murto murtoluvulla)

Ja nyt murto-osa luonnollisella luvulla yksinkertaisemmalla tavalla suorittamatta koko laskutoimitusketjua: (esimerkki b). Annan sinulle 3 sekuntia tähän.

Kuka ei onnistunut suorittamaan tehtävää 3 sekunnissa?

Kuka teki sen? (sellaisia ​​ei ole)

Miksi? (Emme tiedä tietä)

Mitä sinä sait? (Vaikeusaste)

Mitä luulet meidän tekevän luokassa? (Jaa murtoluvut luonnollisilla luvuilla)

Aivan oikein, avaa muistikirjasi ja kirjoita ylös oppitunnin aihe "Murtoluvun jakaminen luonnollisella luvulla".

Miksi tämä aihe kuulostaa uudelta, kun osaat jo jakaa murtoluvut? (Tarvitset uuden tavan)

Oikein. Tänään otamme käyttöön tekniikan, joka yksinkertaistaa murtoluvun jakamista luonnollisella luvulla.

III. Vaikeuden sijainnin ja syyn tunnistaminen.

1. Järjestä suoritettujen toimintojen palauttaminen ja korjaa (sanallinen ja symbolinen) paikka - vaihe, operaatio, jossa vaikeus syntyi;
2. Järjestä opiskelijoiden toimintojen korrelaatio käytetyn menetelmän (algoritmin) kanssa ja vaikeuden syyn kiinnittäminen ulkoiseen puheeseen - ne erityiset tiedot, taidot tai kyvyt, jotka eivät riitä ratkaisemaan tämän tyyppistä alkuperäistä ongelmaa.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa III.

Mikä tehtävä sinun piti suorittaa? (Jaa murto-osa luonnollisella luvulla tekemättä koko laskutoimitusketjua)

Mikä aiheutti sinulle vaikeuksia? (Ei voitu ratkaista lyhyessä ajassa nopeasti)

Mikä on oppitunnimme tarkoitus? (Etsi nopea tapa jakaa murto luonnollisella luvulla)

Mikä auttaa sinua? (Jo tunnettu sääntö murtolukujen jakamiseen)

IV. Vaikeuksista poistumisprojektin rakentaminen.

1. Hankkeen tarkoituksen selventäminen;
2. Menetelmän valinta (selvennys);
3. Keinojen määrittely (algoritmi);
4. Suunnitelman rakentaminen tavoitteen saavuttamiseksi.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa IV.

Palataanpa testitapaukseen. Sanoitko, että jaoit murto-osien jakamissäännön mukaan? (Joo)

Voit tehdä tämän korvaamalla luonnollisen luvun murtoluvulla? (Joo)

Mitkä vaiheet mielestäsi voit ohittaa?

(Ratkaisuketju on auki taululla:

Analysoi ja tee johtopäätös. (Vaihe 1)

Jos vastausta ei löydy, teemme yhteenvedon kysymyksiin:

Mihin luonnollinen jakaja katosi? (nimittäjään)

Onko osoittaja muuttunut? (Ei)

Joten mikä vaihe voidaan "jättää pois"? (Vaihe 1)

• Kerro murtoluvun nimittäjä luonnollisella luvulla.
• Osoittaja ei muutu.
• Saamme uuden murto-osan.

V. Rakennetun hankkeen toteuttaminen.

1. Järjestä kommunikatiivista vuorovaikutusta puuttuvan tiedon hankkimiseen tähtäävän rakennetun projektin toteuttamiseksi;
2. Järjestä rakennetun toimintatavan kiinnittäminen puheeseen ja merkkeihin (standardin avulla);
3. Järjestä alkuperäisen ongelman ratkaisu ja kirjaa vaikeuden voittaminen;
4. Järjestä selvitys uuden tiedon yleisestä luonteesta.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa V.

Suorita nyt testitapaus nopeasti uudella tavalla.

Pystytkö nyt suorittamaan tehtävän nopeasti? (Joo)

Selitä miten teit sen? (Lapset puhuvat)

Tämä tarkoittaa, että olemme saaneet uutta tietoa: säännön murtoluvun jakamisesta luonnollisella luvulla.

Hyvin tehty! Sano se pareittain.

Sitten yksi oppilas puhuu luokalle. Korjaamme sääntö-algoritmin suullisesti ja standardin muodossa taululle.

Kirjoita nyt kirjainmerkit ja kirjoita sääntömme kaava.

Opiskelija kirjoittaa taululle lausuen säännön: kun jaat murtoluvun luonnollisella luvulla, voit kertoa nimittäjän tällä luvulla ja jättää osoittajan ennalleen.

(Kaikki kirjoittavat kaavan muistivihkoon).

Ja nyt vielä kerran analysoida kokeilutehtävän ratkaisuketju kiinnittäen erityistä huomiota vastaukseen. Mitä he tekivät? (Murtoluvun 15 osoittaja jaettiin (vähennettiin) luvulla 3)

Mikä tämä numero on? (luonnollinen, jakaja)

Joten kuinka muuten voit jakaa murtoluvun luonnollisella luvulla? (Tarkista: jos murtoluvun osoittaja on jaollinen tällä luonnollisella luvulla, voit jakaa osoittajan tällä numerolla, kirjoittaa tuloksen uuden murtoluvun osoittajaan ja jättää nimittäjän ennalleen)

Kirjoita tämä menetelmä kaavan muodossa. (Oppilas kirjoittaa säännön taululle. Jokainen kirjoittaa kaavan muistivihkoon.)

Palataan ensimmäiseen menetelmään. Voidaanko sitä käyttää, jos a:n? (Kyllä, tämä on yleinen tapa)

Ja milloin toinen menetelmä on kätevä käyttää? (Kun murtoluvun osoittaja on jaollinen luonnollisella luvulla ilman jäännöstä)

VI. Ensisijainen lujittaminen ääntämisellä ulkoisessa puheessa.

1. Järjestä lasten omaksuminen uuteen toimintatapaan ratkaiseessaan tyypillisiä ääntämisongelmia ulkoisessa puheessa (edessä, pareittain tai ryhmissä).

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa VI.

Laske uudella tavalla:

• Nro 363 (a; d) - esiintyä taululla lausuen sääntöä.
• Nro 363 (d; f) - pareittain näytteen tarkistuksen kanssa.

VII. Itsenäinen työskentely standardin mukaisella itsetestauksella.

1. Järjestä opiskelijoiden itsenäistä tehtävien suorittamista uutta toimintatapaa varten;
2. Järjestä itsetesti standardiin vertailun perusteella;
3. Järjestä itsenäisen työn tulosten perusteella pohdinta uuden toimintatavan omaksumisesta.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa VII.

Laske uudella tavalla:

Opiskelijat tarkistavat standardin, panevat merkille suorituksen oikeellisuuden. Virheiden syyt analysoidaan ja virheet korjataan.

Opettaja kysyy niiltä oppilailta, jotka tekivät virheitä, mikä on syy?

Tässä vaiheessa on tärkeää, että jokainen opiskelija itse tarkistaa työnsä.

Ennen kuin ratkaiset tehtävän 8) harkitse esimerkkiä oppikirjasta:

IX. Oppimistoimintojen heijastus luokkahuoneessa.

1. Järjestä oppitunnilla opitun uuden sisällön kiinnitys;
2. Järjestä reflektiivinen analyysi koulutustoiminnasta opiskelijoiden tuntemien vaatimusten täyttämisen kannalta;
3. Järjestä opiskelijoiden arviointi omasta toiminnastaan ​​oppitunnilla;
4. Järjestä ratkaisemattomien vaikeuksien kiinnittäminen oppitunnille tulevien oppimistoimintojen suunnaksi;
5. Järjestä keskustelu ja kotitehtävien tallentaminen.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa IX.

Kaverit, mitä uutta tietoa löysit tänään? (Oppimme jakamaan murtoluvun luonnollisella luvulla yksinkertaisella tavalla)

Muotoile yleinen tapa. (He sanovat)

Millä tavalla ja missä tapauksissa voit edelleen käyttää sitä? (He sanovat)

Mitä hyötyä uudesta menetelmästä on?

Olemmeko saavuttaneet oppitunnin tavoitteemme? (Joo)

Mitä tietoja käytit tavoitteen saavuttamiseen? (He sanovat)

Oletko onnistunut?

Mitkä olivat vaikeudet?

§ 87. Murtolukujen lisääminen.

Murtolukujen lisäämisessä on monia yhtäläisyyksiä kokonaislukujen lisäämiseen. Murtolukujen yhteenlasku on toimenpide, joka koostuu siitä, että useita annettuja lukuja (termejä) yhdistetään yhdeksi luvuksi (summaksi), joka sisältää kaikki termien yksiköiden yksiköt ja murto-osat.

Käsittelemme kolmea tapausta peräkkäin:

1. Murtolukujen yhteenlasku, joilla on sama nimittäjä.
2. Eri nimittäjien murtolukujen yhteenlasku.
3. Sekalukujen lisääminen.

1. Murtolukujen yhteenlasku, joilla on sama nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä: 1/5 + 2/5 .

Ota segmentti AB (kuva 17), ota se yksikkönä ja jaa se 5 yhtä suureen osaan, jolloin tämän segmentin osa AC on yhtä suuri kuin 1/5 segmentistä AB ja saman segmentin CD osa on yhtä suuri kuin 2/5 AB.

Piirustuksesta voidaan nähdä, että jos otamme segmentin AD, niin se on yhtä suuri kuin 3/5 AB; mutta segmentti AD on juuri segmenttien AC ja CD summa. Joten voimme kirjoittaa:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Nämä termit ja tuloksena oleva summa huomioon ottaen näemme, että summan osoittaja saatiin lisäämällä termien osoittajat ja nimittäjä pysyi ennallaan.

Tästä saamme seuraavan säännön: Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä sama nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä:

2. Eri nimittäjien murtolukujen yhteenlasku.

Lisätään murtoluvut: 3/4 + 3/8 Ensin ne on vähennettävä pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Välilinkkiä 6/8 + 3/8 ei voitu kirjoittaa; olemme kirjoittaneet sen tänne selvyyden vuoksi.

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on eri nimittäjä, sinun on ensin saatava ne pienimpään yhteiseen nimittäjään, lisättävä niiden osoittajat ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä (kirjoitamme lisätekijöitä vastaavien murtolukujen päälle):

3. Sekalukujen lisääminen.

Lasketaan luvut yhteen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Tuodaan ensin lukujemme murto-osat yhteiseen nimittäjään ja kirjoitetaan ne uudelleen:

Lisää nyt kokonaisluku- ja murto-osat järjestyksessä:

§ 88. Murtolukujen vähentäminen.

Murtolukujen vähentäminen määritellään samalla tavalla kuin kokonaislukujen vähentäminen. Tämä on toiminto, jolla löydetään toinen termi, kun otetaan huomioon kahden ja yhden termin summa. Tarkastellaan kolmea tapausta peräkkäin:

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.
3. Sekalukujen vähentäminen.

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.

Harkitse esimerkkiä:

13 / 15 - 4 / 15

Otetaan segmentti AB (kuva 18), otetaan se yksikkönä ja jaetaan 15 yhtä suureen osaan; silloin tämän segmentin AC-osa on 1/15 AB:sta ja saman segmentin AD-osa vastaa 13/15 AB:tä. Laitetaan sivuun toinen segmentti ED, joka on yhtä suuri kuin 4/15 AB.

Meidän on vähennettävä 4/15 luvusta 13/15. Piirustuksessa tämä tarkoittaa, että segmentti ED on vähennettävä segmentistä AD. Tämän seurauksena segmentti AE säilyy, mikä on 9/15 segmentistä AB. Joten voimme kirjoittaa:

Tekemässämme esimerkissä näkyy, että eron osoittaja saatiin vähentämällä osoittajat ja nimittäjä pysyi samana.

Siksi, jotta voit vähentää murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on vähennettävä alaosan osoittaja minuutin osoittajasta ja jätettävä sama nimittäjä.

2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.

Esimerkki. 3/4 - 5/8

Aluksi vähennetään nämä murtoluvut pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Välilinkki 6 / 8 - 5 / 8 on kirjoitettu tähän selvyyden vuoksi, mutta se voidaan ohittaa jatkossa.

Näin ollen, jotta voit vähentää murto-osan murtoluvusta, sinun on ensin saatava ne pienimpään yhteiseen nimittäjään, sitten vähennettävä alaosan osoittaja minuutin osoittajasta ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä niiden eron alle.

Harkitse esimerkkiä:

3. Sekalukujen vähentäminen.

Esimerkki. 10 3/4 - 7 2/3 .

Tuodaan minuendin ja alaosan murto-osat alimpaan yhteiseen nimittäjään:

Vähensimme kokonaisuuden kokonaisuudesta ja murto-osan murto-osasta. Mutta on tapauksia, joissa aliosan murto-osa on suurempi kuin minuutin murto-osa. Tällaisissa tapauksissa sinun on otettava yksi yksikkö pelkistetyn kokonaisluvun osasta, jaettava se niihin osiin, joissa murto-osa ilmaistaan, ja lisätään vähennetyn murto-osaan. Ja sitten vähennys suoritetaan samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä:

§ 89. Murtolukujen kertolasku.

Kun tutkitaan murtolukujen kertolaskua, harkitsemme seuraavia kysymyksiä:

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.
2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen.
3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.
4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla.
5. Sekalukujen kertolasku.
6. Kiinnostuksen käsite.
7. Tietyn luvun prosenttiosuuksien löytäminen. Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.

Murtoluvun kertomisella kokonaisluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertomisella kokonaisluvulla. Murtoluvun (kerroin) kertominen kokonaisluvulla (kertoimella) tarkoittaa identtisten termien summan muodostamista, jossa jokainen termi on yhtä suuri kuin kertoja ja termien määrä on yhtä suuri kuin kertoja.

Joten, jos sinun on kerrottava 1/9 luvulla 7, tämä voidaan tehdä seuraavasti:

Tuloksen saimme helposti, koska toiminta rajoittui samojen nimittäjien murtolukujen lisäämiseen. Näin ollen

Tämän toiminnon tarkastelu osoittaa, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla vastaa tämän murtoluvun kasvattamista niin monta kertaa kuin kokonaisluvussa on yksiköitä. Ja koska murto-osan kasvu saavutetaan joko lisäämällä sen osoittajaa

tai pienentämällä sen nimittäjää , niin voimme joko kertoa osoittajan kokonaisluvulla tai jakaa nimittäjän sillä, jos tällainen jako on mahdollista.

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa murtoluvun kokonaisluvulla, sinun on kerrottava osoittaja tällä kokonaisluvulla ja jätettävä sama nimittäjä tai, jos mahdollista, jaettava nimittäjä tällä numerolla, jolloin osoittaja ei muutu.

Kerrottaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen. On monia ongelmia, joissa sinun on löydettävä tai laskettava osa tietystä luvusta. Näiden tehtävien ja muiden tehtävien ero on se, että ne antavat joidenkin esineiden tai mittayksiköiden lukumäärän ja sinun on löydettävä osa tästä numerosta, joka myös osoitetaan tässä tietyllä murtoluvulla. Ymmärtämisen helpottamiseksi annamme ensin esimerkkejä tällaisista ongelmista ja esittelemme sitten menetelmän niiden ratkaisemiseksi.

Tehtävä 1. Minulla oli 60 ruplaa; 1/3 näistä rahoista käytin kirjojen ostoon. Paljonko kirjat maksoivat?

Tehtävä 2. Junan on katettava kaupunkien A ja B välinen etäisyys, joka on 300 km. Hän on jo ajanut 2/3 matkasta. Kuinka monta kilometriä tämä on?

Tehtävä 3. Kylässä on 400 taloa, joista 3/4 on tiilitaloa, loput puuta. Kuinka monta tiilitaloa siellä on?

Tässä on joitain monista ongelmista, joita meidän on käsiteltävä löytääksemme osan annetusta luvusta. Niitä kutsutaan yleensä ongelmiksi tietyn luvun murto-osan löytämiseksi.

Ongelman 1 ratkaisu. Alkaen 60 ruplaa. Vietin 1/3 kirjoihin; Joten saadaksesi selville kirjojen hinnan, sinun on jaettava luku 60 kolmella:

Ongelman 2 ratkaisu. Ongelman tarkoitus on, että sinun on löydettävä 2/3 300 km: stä. Laske ensimmäinen 1/3 300:sta; tämä saavutetaan jakamalla 300 km kolmella:

300: 3 = 100 (se on 1/3 300:sta).

Löytääksesi kaksi kolmasosaa luvusta 300, sinun on kaksinkertaistettava saatu osamäärä eli kerrottava kahdella:

100 x 2 = 200 (se on 2/3 300:sta).

Ongelman ratkaisu 3. Tässä sinun on määritettävä tiilitalojen lukumäärä, jotka ovat 3/4 400:sta. Etsitään ensin 1/4 400:sta,

400: 4 = 100 (se on 1/4 400:sta).

Kolmen neljäsosan laskemiseksi 400:sta saatu osamäärä on kolminkertaistettava, eli kerrottava 3:lla:

100 x 3 = 300 (se on 3/4 400:sta).

Näiden ongelmien ratkaisun perusteella voimme johtaa seuraavan säännön:

Tietyn luvun murto-osan arvon löytämiseksi sinun on jaettava tämä luku murto-osan nimittäjällä ja kerrottava tuloksena oleva osamäärä sen osoittajalla.

3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.

Aiemmin (§ 26) todettiin, että kokonaislukujen kertominen on ymmärrettävä identtisten termien yhteenlaskuksi (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Tässä kappaleessa (kohta 1) todettiin, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla tarkoittaa identtisten termien summan löytämistä, joka on yhtä suuri kuin tämä murtoluku.

Molemmissa tapauksissa kertolasku koostui identtisten termien summan löytämisestä.

Nyt siirrymme kertomaan kokonaisluku murtoluvulla. Täällä tapaamme esimerkiksi kertolaskun: 9 2/3. On aivan selvää, että edellinen kertolasku määritelmä ei päde tässä tapauksessa. Tämä käy ilmi siitä, että emme voi korvata tällaista kertolaskua lisäämällä yhtä suuria lukuja.

Tästä johtuen joudumme antamaan kertomiselle uuden määritelmän, eli toisin sanoen vastaamaan kysymykseen, mitä murtoluvulla kertomisella pitäisi ymmärtää, miten tämä toiminta pitäisi ymmärtää.

Kokonaisluvun kertomisen merkitys murtoluvulla käy selväksi seuraavasta määritelmästä: kokonaisluvun (kertoimen) kertominen murto-osalla (kertoimella) tarkoittaa kertojan tämän murto-osan löytämistä.

Nimittäin 9:n kertominen 2/3:lla tarkoittaa 2/3:n löytämistä yhdeksästä yksiköstä. Edellisessä kappaleessa tällaiset ongelmat ratkaistiin; joten on helppo päätellä, että päädymme 6:een.

Mutta nyt herää mielenkiintoinen ja tärkeä kysymys: miksi sellaisia ​​näennäisesti erilaisia ​​​​toimia, kuten yhtäläisten lukujen summan löytäminen ja luvun murto-osan löytäminen, kutsutaan aritmetiikassa samaksi sanaksi kertolasku?

Tämä tapahtuu, koska edellinen toiminto (luvun toistaminen termeillä useita kertoja) ja uusi toiminta (luvun murto-osan löytäminen) antavat vastauksen homogeenisiin kysymyksiin. Tämä tarkoittaa, että tässä lähdetään siitä ajatuksesta, että homogeeniset kysymykset tai tehtävät ratkaistaan ​​yhdellä ja samalla toiminnalla.

Tämän ymmärtämiseksi harkitse seuraavaa ongelmaa: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 4 metriä tällaista kangasta maksaa?

Tämä ongelma ratkaistaan ​​kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (4), eli 50 x 4 = 200 (ruplaa).

Otetaan sama ongelma, mutta siinä kankaan määrä ilmaistaan ​​murtolukuna: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 3/4 m tällaista kangasta maksaa?

Tämä ongelma on myös ratkaistava kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (3/4).

Voit myös muuttaa siinä olevia numeroita useita kertoja muuttamatta ongelman merkitystä, esimerkiksi ota 9/10 m tai 2 3/10 m jne.

Koska nämä ongelmat ovat sisällöltään samanlaisia ​​ja eroavat toisistaan ​​vain numeroiden suhteen, kutsumme niiden ratkaisemiseen käytettyjä toimia samalla sanalla - kertolasku.

Miten kokonaisluku kerrotaan murtoluvulla?

Otetaan viimeisessä tehtävässä havaitut numerot:

Määritelmän mukaan meidän on löydettävä 3/4 50:stä. Ensin löydetään 1/4 50:stä ja sitten 3/4.

1/4 50:stä on 50/4;

3/4 50:stä on.

Näin ollen.

Harkitse toista esimerkkiä: 12 5 / 8 = ?

1/8/12 on 12/8,

5/8 luvusta 12 on .

Näin ollen

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava kokonaisluku murtoluvun osoittajalla ja tehtävä tämä tulo osoittajaksi ja allekirjoitettava annetun murtoluvun nimittäjä nimittäjäksi.

Kirjoitamme tämän säännön kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan pitää osamääränä. Tästä syystä löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä esitettyyn luvun kertolasku sääntöön.

On muistettava, että ennen kertolaskua sinun tulee tehdä (jos mahdollista) leikkauksia, esimerkiksi:

4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla. Murtoluvun kertominen murtoluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertominen murtoluvulla, eli kun murto-osa kerrotaan murtoluvulla, sinun on löydettävä kertoimesta murto-osa ensimmäisestä murtoluvusta (kerroin).

Nimittäin 3/4:n kertominen 1/2:lla (puoli) tarkoittaa puolet 3/4:stä.

Kuinka kerrot murto-osan murtoluvulla?

Otetaan esimerkki: 3/4 kertaa 5/7. Tämä tarkoittaa, että sinun on löydettävä 5/7 arvosta 3/4. Etsi ensin 1/7 3/4:stä ja sitten 5/7

1/7/3/4 ilmaistaisiin näin:

5/7 numerot 3/4 ilmaistaan ​​seuraavasti:

Tällä tavalla,

Toinen esimerkki: 5/8 kertaa 4/9.

1/9/5/8 on ,

4/9 numerot 5/8 ovat.

Tällä tavalla,

Näistä esimerkeistä voidaan päätellä seuraava sääntö:

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä ja tehtävä ensimmäisestä tulosta tuotteen osoittaja ja toisesta tulosta tuotteen nimittäjä.

Tämä sääntö voidaan kirjoittaa yleisesti seuraavasti:

Kerrottaessa on tarpeen tehdä (jos mahdollista) vähennyksiä. Harkitse esimerkkejä:

5. Sekalukujen kertolasku. Koska sekaluvut voidaan helposti korvata väärillä murtoluvuilla, tätä seikkaa käytetään yleensä sekalukujen kertomisessa. Tämä tarkoittaa, että niissä tapauksissa, joissa kertoja tai kertoja tai molemmat tekijät ilmaistaan ​​sekalukuina, ne korvataan väärillä murtoluvuilla. Kerro esimerkiksi sekaluvut: 2 1/2 ja 3 1/5. Muutamme niistä jokaisen vääräksi murtoluvuksi ja kerromme sitten saadut murtoluvut säännön mukaisesti, jossa murto-osa kerrotaan murtoluvulla:

Sääntö. Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten säännön mukaisesti, jossa murtoluku kerrotaan murtoluvulla.

Merkintä. Jos yksi tekijöistä on kokonaisluku, kertolasku voidaan suorittaa jakautumislain perusteella seuraavasti:

6. Kiinnostuksen käsite. Tehtäviä ratkaistaessa ja erilaisia ​​käytännön laskutoimituksia tehdessämme käytämme kaikenlaisia ​​murtolukuja. Mutta on pidettävä mielessä, että monet suureet eivät salli niille mitään, vaan luonnollisia alajakoja. Voit esimerkiksi ottaa yhden sadasosan (1/100) ruplasta, se on penni, kaksi sadasosaa on 2 kopekkaa, kolme sadasosaa on 3 kopekkaa. Voit ottaa 1/10 ruplasta, se on "10 kopekkaa tai penniä. Voit ottaa neljäsosan ruplaa, eli 25 kopekkaa, puoli ruplaa eli 50 kopekkaa (viisikymmentä kopekkaa). Mutta käytännössä eivät Älä ota esimerkiksi 2/7 ruplaa, koska ruplaa ei jaeta seitsemäsosaan.

Painon mittayksikkö eli kilogramma sallii ennen kaikkea desimaalilukujaot, esimerkiksi 1/10 kg tai 100 g. Ja kilon murto-osat kuten 1/6, 1/11, 1/ 13 ovat harvinaisia.

Yleensä (metriset) mittamme ovat desimaalilukuja ja sallivat desimaalilukujaot.

On kuitenkin huomattava, että on erittäin hyödyllistä ja kätevää useissa tapauksissa käyttää samaa (yhtenäistä) menetelmää määrien jakamiseen. Monen vuoden kokemus on osoittanut, että tällainen hyvin perusteltu jako on "sadasosien" jako. Tarkastellaanpa muutamia esimerkkejä, jotka liittyvät ihmisten harjoittamisen monimuotoisimpiin alueisiin.

1. Kirjojen hinta on laskenut 12/100 edellisestä hinnasta.

Esimerkki. Kirjan edellinen hinta on 10 ruplaa. Hän laski 1 ruplalla. 20 kop.

2. Säästöpankit maksavat tallettajille vuoden aikana 2/100 säästöihin sijoitetusta summasta.

Esimerkki. 500 ruplaa laitetaan kassalle, tulot tästä summasta vuodelle ovat 10 ruplaa.

3. Yhden koulun valmistuneiden määrä oli 5/100 opiskelijoiden kokonaismäärästä.

ESIMERKKI Koulussa opiskeli vain 1 200 opiskelijaa, joista 60 valmistui koulusta.

Luvun sadasosaa kutsutaan prosentiksi..

Sana "prosentti" on lainattu latinan kielestä ja sen juuri "sentti" tarkoittaa sataa. Yhdessä prepositiolla (pro centum) tämä sana tarkoittaa "sadalle". Tämän ilmaisun merkitys johtuu siitä tosiasiasta, että alun perin antiikin Roomassa korko oli raha, jonka velallinen maksoi lainanantajalle "jokaista sataa kohden". Sana "sentti" kuullaan niin tutuilla sanoilla: centner (sata kiloa), senttimetri (he sanovat senttimetriä).

Esimerkiksi sen sijaan, että väittäisimme, että tehdas tuotti 1/100 kaikista sen valmistamista tuotteista viimeisen kuukauden aikana, sanomme näin: tehdas tuotti yhden prosentin hylkyistä viimeisen kuukauden aikana. Sen sijaan, että sanoisi: tehdas tuotti 4/100 tuotetta enemmän kuin suunniteltu suunnitelma, sanomme: tehdas ylitti suunnitelman 4 prosentilla.

Yllä olevat esimerkit voidaan ilmaista eri tavalla:

1. Kirjojen hinta on laskenut 12 prosenttia edellisestä hinnasta.

2. Säästöpankit maksavat tallettajille 2 prosenttia vuodessa säästöjen määrästä.

3. Yhden koulun valmistuneiden määrä oli 5 prosenttia koulun kaikista opiskelijoista.

Kirjaimen lyhentämiseksi on tapana kirjoittaa %-merkki sanan "prosentti" sijaan.

On kuitenkin muistettava, että %-merkkiä ei yleensä kirjoiteta laskelmissa, se voidaan kirjoittaa tehtävänkuvaukseen ja lopputulokseen. Kun suoritat laskelmia, sinun on kirjoitettava tällä kuvakkeella murto-osa, jonka nimittäjä on 100 kokonaisluvun sijaan.

Sinun on voitava korvata kokonaisluku määritetyllä kuvakkeella murtoluvulla, jonka nimittäjä on 100:

Päinvastoin, sinun on totuttava kirjoittamaan kokonaisluku ilmoitetulla kuvakkeella sen sijaan, että murto-osa, jonka nimittäjä on 100:

7. Tietyn luvun prosenttiosuuksien löytäminen.

Tehtävä 1. Koulu sai 200 kuutiota. m polttopuuta, josta koivupolttopuun osuus 30 %. Kuinka paljon koivua siellä oli?

Tämän ongelman tarkoitus on, että koivupolttopuuta oli vain osa koululle toimitetusta polttopuusta ja tämä osa ilmaistaan ​​murto-osana 30/100. Joten meidän edessämme on löytää luvun murto-osa. Sen ratkaisemiseksi meidän on kerrottava 200 luvulla 30 / 100 (luvun murto-osan löytämiseen liittyvät tehtävät ratkaistaan ​​kertomalla luku murtoluvulla.).

Joten 30 % 200:sta on 60.

Tässä ongelmassa havaittu murto-osa 30/100 voidaan pienentää 10:llä. Tämä vähennys olisi mahdollista suorittaa alusta alkaen; ongelman ratkaisu ei muutu.

Tehtävä 2. Leirillä oli 300 eri-ikäistä lasta. 11-vuotiaita lapsia oli 21 %, 12-vuotiaita 61 % ja lopuksi 13-vuotiaita 18 %. Kuinka monta lasta kustakin iästä oli leirillä?

Tässä tehtävässä sinun on suoritettava kolme laskutoimitusta, eli etsittävä peräkkäin 11-vuotiaiden, sitten 12-vuotiaiden ja lopuksi 13-vuotiaiden lasten lukumäärä.

Joten tässä on tarpeen löytää luvun murto-osa kolme kertaa. Tehdään se:

1) Kuinka monta lasta oli 11-vuotias?

2) Kuinka monta lasta oli 12-vuotias?

3) Kuinka monta lasta oli 13-vuotiaita?

Kun ongelma on ratkaistu, on hyödyllistä lisätä löydetyt numerot; niiden summan pitäisi olla 300:

63 + 183 + 54 = 300

Kannattaa myös kiinnittää huomiota siihen, että ongelman ehdossa annettujen prosenttiosuuksien summa on 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tämä viittaa siihen, että leirillä olevien lasten kokonaismääräksi otettiin 100 %.

3 ja päivä 3. Työntekijä sai 1200 ruplaa kuukaudessa. Näistä hän käytti 65 % ruokaan, 6 % asuntoon ja lämmitykseen, 4 % kaasuun, sähköön ja radioon, 10 % kulttuuritarpeisiin ja 15 % säästämiseen. Kuinka paljon rahaa käytettiin tehtävässä ilmoitettuihin tarpeisiin?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on löydettävä murto-osa luvusta 1 200 5 kertaa. Tehdään se.

1) Kuinka paljon rahaa käytetään ruokaan? Tehtävä sanoo, että tämä kulu on 65 % kaikista tuloista eli 65/100 luvusta 1200. Tehdään laskelma:

2) Paljonko lämmitetystä asunnosta maksettiin? Väittelemällä kuten edellinen, saamme seuraavan laskelman:

3) Kuinka paljon maksoit kaasusta, sähköstä ja radiosta?

4) Kuinka paljon rahaa käytetään kulttuuritarpeisiin?

5) Kuinka paljon työntekijä säästi?

Vahvistamista varten on hyödyllistä lisätä numerot, jotka löytyvät näistä viidestä kysymyksestä. Summan tulee olla 1 200 ruplaa. Kaikki tulot lasketaan 100 %:ksi, mikä on helppo tarkistaa laskemalla yhteen ongelmalausekkeessa annetut prosenttiosuudet.

Olemme ratkaisseet kolme ongelmaa. Huolimatta siitä, että nämä tehtävät koskivat eri asioita (polttopuiden toimittaminen koululle, eri-ikäisten lasten määrä, työntekijän kulut), ne ratkaistiin samalla tavalla. Tämä tapahtui, koska kaikissa tehtävissä piti löytää muutama prosentti annetuista luvuista.

§ 90. Murtolukujako.

Kun tutkimme murtolukujakoa, pohdimme seuraavia kysymyksiä:

1. Jaa kokonaisluku kokonaisluvulla.
2. Murtoluvun jako kokonaisluvulla
3. Kokonaisluvun jako murtoluvulla.
4. Murtoluvun jako murtoluvulla.
5. Sekalukujen jako.
6. Luvun löytäminen sen murto-osalla.
7. Luvun löytäminen sen prosentteina.

Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Jaa kokonaisluku kokonaisluvulla.

Kuten kokonaislukuja käsittelevässä osiossa todettiin, jako on toimenpide, joka koostuu siitä, että kahden tekijän (osinko) ja yhden näistä tekijöistä (jakajan) tulosta löytyy toinen tekijä.

Kokonaisluvun jako kokonaisluvulla, jota tarkastelimme kokonaislukujen osastossa. Tapasimme siellä kaksi jakotapausta: jako ilman jäännöstä tai "kokonaan" (150: 10 = 15) ja jako jäännösosalla (100: 9 = 11 ja 1 jäljellä). Voidaan siis sanoa, että kokonaislukujen alueella tarkka jako ei ole aina mahdollista, koska osinko ei aina ole jakajan ja kokonaisluvun tulo. Murtoluvulla kertomisen käyttöönoton jälkeen voimme pitää mitä tahansa kokonaislukujen jakotapausta mahdollisena (ainoastaan ​​nollalla jako on poissuljettu).

Esimerkiksi luvun 7 jakaminen 12:lla tarkoittaa sellaisen luvun löytämistä, jonka tulokerrat 12 olisivat 7. Tämä luku on murto-osa 7/12, koska 7/12 12 = 7. Toinen esimerkki: 14: 25 = 14/25, koska 14/25 25 = 14.

Siten, jotta voit jakaa kokonaisluvun kokonaisluvulla, sinun on tehtävä murtoluku, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin osinko ja nimittäjä on jakaja.

2. Murtoluvun jako kokonaisluvulla.

Jaa murto-osa 6/7 3:lla. Yllä annetun jakomääritelmän mukaan tässä on tulo (6/7) ja yksi tekijöistä (3); on löydettävä sellainen toinen tekijä, joka kerrottuna 3:lla antaisi annetulle tulolle 6/7. Ilmeisesti sen pitäisi olla kolme kertaa pienempi kuin tämä tuote. Tämä tarkoittaa, että meille asetettu tehtävä oli pienentää murto-osaa 6/7 3 kertaa.

Tiedämme jo, että murto-osan pienentäminen voidaan tehdä joko pienentämällä sen osoittajaa tai suurentamalla sen nimittäjää. Siksi voit kirjoittaa:

Tässä tapauksessa osoittaja 6 on jaollinen kolmella, joten osoittajaa tulisi pienentää 3 kertaa.

Otetaan toinen esimerkki: 5 / 8 jaettuna 2:lla. Tässä osoittaja 5 ei ole jaollinen kahdella, mikä tarkoittaa, että nimittäjä on kerrottava tällä numerolla:

Tämän perusteella voimme esittää säännön: Jos haluat jakaa murtoluvun kokonaisluvulla, sinun on jaettava murtoluvun osoittaja tällä kokonaisluvulla(jos mahdollista), jättämällä sama nimittäjä tai kertomalla murtoluvun nimittäjä tällä luvulla, jättäen saman osoittajan.

3. Kokonaisluvun jako murtoluvulla.

Olkoon vaadittava, että 5 jaetaan 1/2:lla, eli löydetään luku, joka kertomalla 1/2:lla saa tulon 5. On selvää, että tämän luvun on oltava suurempi kuin 5, koska 1/2 on oikea murtoluku, ja kun luku kerrotaan oikealla murtoluvulla, tulon on oltava pienempi kuin kertolasku. Selvyyden vuoksi kirjoitetaan toimintamme seuraavasti: 5: 1 / 2 = X , joten x 1/2 \u003d 5.

Meidän on löydettävä tällainen luku X , joka kerrottuna 1/2:lla antaisi 5. Koska tietyn luvun kertominen 1/2:lla tarkoittaa 1/2:n löytämistä tästä luvusta, niin siis 1/2 tuntemattomasta luvusta X on 5 ja kokonaisluku X kaksi kertaa niin paljon, eli 5 2 \u003d 10.

Joten 5: 1/2 = 5 2 = 10

Tarkistetaan:

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Vaaditaan 6 jakamista 2/3:lla. Yritetään ensin löytää haluttu tulos piirustuksen avulla (kuva 19).

Kuva 19

Piirrä jana AB, joka on yhtä suuri kuin 6 joistakin yksiköistä, ja jaa jokainen yksikkö 3 yhtä suureen osaan. Jokaisessa yksikössä kolme kolmasosaa (3/3) koko segmentissä AB on 6 kertaa suurempi, ts. e. 18/3. Yhdistämme pienten sulujen avulla 18 saatua segmenttiä 2; Segmenttejä tulee olemaan vain 9. Tämä tarkoittaa, että murto-osa 2/3 sisältyy b-yksikköön 9 kertaa, eli toisin sanoen murto-osa 2/3 on 9 kertaa pienempi kuin 6 kokonaislukuyksikköä. Näin ollen

Kuinka saada tämä tulos ilman piirustusta käyttämällä vain laskelmia? Väittelemme seuraavasti: 6 on jaettava 2/3:lla, eli on vastattava kysymykseen, kuinka monta kertaa 2/3 sisältyy 6:een. Selvitetään ensin: kuinka monta kertaa on 1/3 sisältyy 6? Kokonaisessa yksikössä - 3 kolmasosaa ja 6 yksikössä - 6 kertaa enemmän, eli 18 kolmasosaa; Tämän luvun löytämiseksi meidän on kerrottava 6 kolmella. Näin ollen 1/3 sisältyy b-yksikköön 18 kertaa ja 2/3 sisältyy b-yksikköön ei 18 kertaa, vaan puolet niin monta kertaa, eli 18: 2 = 9 Siksi, kun jaoimme 6:lla 2/3, teimme seuraavaa:

Tästä saamme säännön kokonaisluvun jakamisesta murtoluvulla. Jos haluat jakaa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava tämä kokonaisluku annetun murto-osan nimittäjällä ja jakamalla se tietyn murtoluvun osoittajalla, jolloin tämä tulo tulee osoittajaksi.

Kirjoitamme säännön kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan pitää osamääränä. Siksi löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä esitettyyn luvun osamäärällä jakamiseen. Huomaa, että siellä saatiin sama kaava.

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

4. Murtoluvun jako murtoluvulla.

Vaaditaan jakaa 3/4 luvulla 3/8. Mikä tarkoittaa lukua, joka saadaan jakamisen tuloksena? Se vastaa kysymykseen, kuinka monta kertaa murto-osa 3/8 sisältyy murto-osaan 3/4. Ymmärtääksesi tämän ongelman, tehdään piirustus (kuva 20).

Ota segmentti AB, ota se yksikkönä, jaa se 4 yhtä suureen osaan ja merkitse 3 tällaista osaa. Segmentti AC on yhtä suuri kuin 3/4 segmentistä AB. Jaetaan nyt kukin neljästä alkusegmentistä puoliksi, sitten jana AB jaetaan 8 yhtä suureen osaan ja jokainen tällainen osa on yhtä suuri kuin 1/8 jaosta AB. Yhdistämme 3 tällaista segmenttiä kaarilla, sitten kukin segmenteistä AD ja DC on yhtä suuri kuin 3/8 segmentistä AB. Piirustus osoittaa, että segmentti, joka on 3/8, sisältyy segmenttiin, joka on yhtä suuri kuin 3/4, täsmälleen 2 kertaa; Joten jaon tulos voidaan kirjoittaa näin:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Vaaditaan jakaa 15/16 luvulla 3/32:

Voimme ajatella näin: meidän on löydettävä luku, joka kerrottuna 3/32:lla antaa tulon, joka on yhtä suuri kuin 15/16. Kirjoitetaan laskelmat näin:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 tuntematon numero X meikki 15/16

1/32 tuntematon numero X On ,

32/32 numerot X meikki .

Näin ollen

Näin ollen, jotta voit jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerrottava ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla ja tehtävä ensimmäinen tulo osoittajaksi ja toiseksi nimittäjä.

Kirjoitetaan sääntö kirjaimilla:

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

5. Sekalukujen jako.

Sekalukuja jaettaessa ne on ensin muutettava virheellisiksi murtoluvuiksi ja sitten tuloksena saadut murtoluvut jaettava murtolukujen jakamissääntöjen mukaisesti. Harkitse esimerkkiä:

Muunna sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:

Jaetaan nyt:

Siksi sekalukujen jakamiseksi sinun on muunnettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja jaettava sitten murtolukujakosäännön mukaan.

6. Luvun löytäminen sen murto-osalla.

Murtolukutehtävien joukossa on joskus sellaisia, joissa on annettu tuntemattoman luvun jonkin murto-osan arvo ja tämä luku on löydettävä. Tämän tyyppinen ongelma on käänteinen ongelmalle, joka koskee tietyn luvun murto-osan löytämistä; siellä annettiin luku ja sen piti löytää jokin murto-osa tästä luvusta, tässä luvun murto-osa on annettu ja se on löydettävä itse. Tämä ajatus tulee entistä selvemmäksi, jos käännymme tämäntyyppisten ongelmien ratkaisuun.

Tehtävä 1. Ensimmäisenä päivänä lasittajat lasittivat 50 ikkunaa, mikä on 1/3 rakennetun talon ikkunoista. Kuinka monta ikkunaa tässä talossa on?

Ratkaisu. Ongelma kertoo, että 50 lasitettua ikkunaa on 1/3 talon kaikista ikkunoista, mikä tarkoittaa, että ikkunoita on yhteensä 3 kertaa enemmän, ts.

Talossa oli 150 ikkunaa.

Tehtävä 2. Jauhoja myytiin 1500 kg, mikä on 3/8 liikkeen kokonaisjauhovarastosta. Mikä oli kaupan ensimmäinen jauhotarjonta?

Ratkaisu. Ongelman tilasta näkyy, että myyty 1500 kg jauhoja muodostaa 3/8 kokonaisvarastosta; tämä tarkoittaa, että 1/8 tästä varastosta on 3 kertaa pienempi, eli sen laskemiseksi sinun on vähennettävä 1500 3 kertaa:

1 500: 3 = 500 (se on 1/8 osakkeesta).

On selvää, että koko varasto on 8 kertaa suurempi. Näin ollen

500 8 \u003d 4 000 (kg).

Alkuperäinen jauhomäärä myymälässä oli 4000 kg.

Tämän ongelman tarkastelun perusteella voidaan päätellä seuraava sääntö.

Luvun löytämiseksi murto-osan annetulla arvolla riittää, että jakaa tämä arvo murtoluvun osoittajalla ja kerrotaan tulos murtoluvun nimittäjällä.

Ratkaisimme kaksi tehtävää löytääksemme luvun sen murto-osan perusteella. Tällaiset ongelmat, kuten viimeisestä erityisen hyvin näkyy, ratkaistaan ​​kahdella toimenpiteellä: jako (kun löytyy yksi osa) ja kertolasku (kun kokonaisluku löytyy).

Kuitenkin, kun olemme tutkineet murto-osien jakoa, yllä olevat ongelmat voidaan ratkaista yhdellä toimella, nimittäin: jakamalla murtoluvulla.

Esimerkiksi viimeinen tehtävä voidaan ratkaista yhdellä toiminnolla seuraavasti:

Tulevaisuudessa ratkaisemme ongelman löytää luku sen murto-osalla yhdessä toiminnossa - jaossa.

7. Luvun löytäminen sen prosentteina.

Näissä tehtävissä sinun on löydettävä luku, joka tunnetaan muutaman prosentin tästä numerosta.

Tehtävä 1. Tämän vuoden alussa sain säästöpankista 60 ruplaa. tuloa summasta, jonka laitoin säästöihin vuosi sitten. Kuinka paljon rahaa laitoin säästöpankkiin? (Kassat antavat tallettajille 2% tuloista vuodessa.)

Ongelman tarkoitus on, että laitoin tietyn summan rahaa säästöpankkiin ja makasi siellä vuoden. Vuoden kuluttua sain häneltä 60 ruplaa. tulot, jotka ovat 2/100 sijoittamistani rahoista. Kuinka paljon rahaa talletin?

Siksi, kun tiedämme tämän rahan osan kahdella tavalla ilmaistuna (ruplina ja murto-osina), meidän on löydettävä koko, vielä tuntematon määrä. Tämä on tavallinen ongelma luvun löytämisessä sen murto-osan perusteella. Seuraavat tehtävät ratkaistaan ​​jakamalla:

Joten 3000 ruplaa laitettiin säästöpankkiin.

Tehtävä 2. Kahdessa viikossa kalastajat täyttivät kuukausisuunnitelman 64 %:lla valmistaen 512 tonnia kalaa. Mikä heidän suunnitelmansa oli?

Ongelman tilasta tiedetään, että kalastajat saivat osan suunnitelmasta valmiiksi. Tämä osa on 512 tonnia, mikä on 64% suunnitelmasta. Kuinka monta tonnia kalaa pitää saada suunnitelman mukaan, emme tiedä. Ongelman ratkaisu koostuu tämän luvun löytämisestä.

Tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​jakamalla:

Joten suunnitelman mukaan sinun on valmistettava 800 tonnia kalaa.

Tehtävä 3. Juna meni Riiasta Moskovaan. Kun hän ohitti 276. kilometrin, yksi matkustajista kysyi ohikulkijalta, kuinka suuren osan matkasta he olivat jo matkustaneet. Tähän konduktööri vastasi: "Olemme jo kulkeneet 30% koko matkasta." Mikä on etäisyys Riika ja Moskova välillä?

Ongelman tilasta voidaan nähdä, että 30 % matkasta Riiasta Moskovaan on 276 km. Meidän on löydettävä koko etäisyys näiden kaupunkien välillä, eli tälle osalle on löydettävä kokonaisuus:

§ 91. Vastavuoroiset numerot. Jakolaskun korvaaminen kertolaskulla.

Ota murto-osa 2/3 ja järjestä osoittaja uudelleen nimittäjän paikalle, saamme 3/2. Meillä on murto-osa, tämän käänteisluku.

Saadaksesi murto-osuuden käänteisluvun, sinun on asetettava sen osoittaja nimittäjän tilalle ja nimittäjä osoittajan tilalle. Tällä tavalla voimme saada murtoluvun, joka on minkä tahansa murtoluvun käänteisluku. Esimerkiksi:

3/4, käänteinen 4/3; 5/6, käänteinen 6/5

Kaksi murtolukua, joilla on ominaisuus, että ensimmäisen osoittaja on toisen ja ensimmäisen osoittaja on toisen osoittaja, kutsutaan keskenään käänteisesti.

Mietitään nyt mikä murtoluku on 1/2 käänteisluku. Ilmeisesti se on 2/1 tai vain 2. Kun etsimme tämän käänteislukua, saimme kokonaisluvun. Ja tämä tapaus ei ole yksittäinen; päinvastoin, kaikkien murtolukujen, joiden osoittaja on 1 (yksi), käänteisluvut ovat kokonaislukuja, esimerkiksi:

1/3, käänteinen 3; 1/5, käänteinen 5

Koska käänteislukuja etsittäessä tapasimme myös kokonaislukuja, emme jatkossa puhu käänteisluvuista, vaan käänteisluvuista.

Selvitetään, kuinka kirjoitetaan kokonaisluvun käänteisluku. Murtoluvuille tämä ratkaistaan ​​yksinkertaisesti: sinun on asetettava nimittäjä osoittajan tilalle. Samalla tavalla voit saada kokonaisluvun käänteisluvun, koska minkä tahansa kokonaisluvun nimittäjä voi olla 1. Joten luvun 7 käänteisluku on 1/7, koska 7 \u003d 7 / 1; numerolle 10 käänteinen on 1/10, koska 10 = 10/1

Tämä ajatus voidaan ilmaista toisella tavalla: tietyn luvun käänteisluku saadaan jakamalla yksi annetulla luvulla. Tämä väite pätee ei vain kokonaislukujen, vaan myös murtolukujen osalta. Todellakin, jos haluat kirjoittaa luvun, joka on murtoluvun 5/9 käänteisluku, voimme ottaa luvun 1 ja jakaa sen luvulla 5/9, ts.

Nostetaan nyt esiin yksi omaisuutta keskinäiset vastavuoroiset numerot, joista on meille hyötyä: keskenään käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi. Todellakin:

Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme löytää käänteisluvut seuraavalla tavalla. Etsitään 8:n käänteisluku.

Merkitään se kirjaimella X , sitten 8 X = 1, siis X = 1/8. Etsitään toinen luku, 7/12:n käänteisluku, joka merkitään kirjaimella X , sitten 7/12 X = 1, siis X = 1:7 / 12 tai X = 12 / 7 .

Esittelimme tässä käänteislukujen käsitteen täydentääksemme hieman murtolukujakoa koskevia tietoja.

Kun jaamme luvun 6 luvulla 3/5, teemme seuraavaa:

Kiinnitä erityistä huomiota lausekkeeseen ja vertaa sitä annettuun lauseeseen: .

Jos otamme lausekkeen erikseen, ilman yhteyttä edelliseen, on mahdotonta ratkaista kysymystä, mistä se tuli: jakamalla 6 luvulla 3/5 tai kertomalla 6 5/3:lla. Molemmissa tapauksissa tulos on sama. Joten voimme sanoa että yhden luvun jakaminen toisella voidaan korvata kertomalla osinko jakajan käänteisluvulla.

Alla antamamme esimerkit vahvistavat täysin tämän päätelmän.

Desimaaliluku tapahtuu kolmessa vaiheessa.

Desimaalit kirjoitetaan sarakkeeseen ja kerrotaan tavallisina numeroina.

Laskemme desimaalien lukumäärän ensimmäiselle ja toiselle desimaalille. Lisäämme heidän numeronsa.

Saadussa tuloksessa laskemme oikealta vasemmalle niin monta numeroa kuin yllä olevassa kappaleessa kävi ilmi ja laitamme pilkun.

Kuinka kertoa desimaalit

Kirjoitamme sarakkeeseen desimaalilukuja ja kerromme ne luonnollisina lukuina pilkkuja huomioimatta. Toisin sanoen pidämme arvoa 3,11 311:nä ja 0,01:tä 1:nä.

Vastaanotettu 311. Nyt lasketaan desimaalipilkun jälkeen olevien merkkien (numeroiden) määrä molemmille murtoluvuille. Ensimmäisessä desimaalissa on kaksi numeroa ja toisessa kaksi. Pilkun jälkeen olevien numeroiden kokonaismäärä:

Laskemme oikealta vasemmalle 4 merkkiä (numeroa) tuloksena olevasta numerosta. Tuloksessa on vähemmän numeroita kuin sinun tarvitsee erottaa pilkulla. Siinä tapauksessa tarvitset vasemmalle määritä puuttuva määrä nollia.

Meiltä puuttuu yksi numero, joten annamme yhden nollan vasemmalle.

Kun kerrotaan mikä tahansa desimaaliluku päivänä 10; 100; 1000 jne. desimaalipiste siirtyy oikealle niin monta numeroa kuin yhden perässä on nollia.

• 70,1 10 = 701
• 0,023 100 = 2,3
• 5,6 1000 = 5600

Desimaaliluvun kertominen 0,1:llä; 0,01; 0,001 jne., on tarpeen siirtää pilkkua vasemmalle tässä murtoluvussa niin monta numeroa kuin yksikön edessä on nollia.

Laskemme nollaa kokonaislukua!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1,256 0,01 = 0,012 56

Murtolukujen kertolasku

Tarkastellaan tavallisten murtolukujen kertomista useilla mahdollisilla tavoilla.

Murto-osan kertominen murtoluvulla

Tämä on yksinkertaisin tapaus, jossa sinun on käytettävä seuraavaa murto-osien kertolaskusäännöt.

Vastaanottaja kerrotaan murto-osa murtoluvulla, tarpeen:

• kerrotaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen murtoluvun osoittajalla ja kirjoitetaan heidän tulonsa uuden murtoluvun osoittajaan;
• kerro ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä ja kirjoita heidän tulonsa uuden murto-osan nimittäjään;

Tarkista ennen osoittajien ja nimittäjien kertomista, voidaanko murtolukuja pienentää. Murtolukujen vähentäminen laskelmissa helpottaa laskelmiasi huomattavasti.

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla

Murto-osaan kerrotaan luonnollisella luvulla sinun on kerrottava murto-osan osoittaja tällä numerolla ja jätettävä murto-osan nimittäjä ennalleen.

Jos kertolaskutulos on väärä murtoluku, älä unohda muuttaa sitä sekaluvuksi, eli valitse koko osa.

Sekalukujen kertolasku

Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten tavallisten murtolukujen kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla

Joskus laskettaessa on kätevämpää käyttää erilaista tapaa kertoa tavallinen murto-osa numerolla.

Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on jaettava murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, on kätevämpää käyttää tätä säännön versiota, jos murtoluvun nimittäjä on jaollinen ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Kuinka kertoa murtoluku kokonaislukusäännöllä

minä Jos haluat kertoa desimaaliluvun luonnollisella luvulla, sinun on kerrottava se tällä luvulla pilkkua huomioimatta ja erotettava tuloksena olevasta tulosta oikealla niin monta numeroa kuin annetussa murtoluvussa oli desimaalipilkun jälkeen.

Esimerkkejä. Suorita kertolasku: 1) 1,25 7; 2) 0,345 8; 3) 2.391 14.

Ratkaisu.

II. Jos haluat kertoa yhden desimaaliluvun toisella, sinun on suoritettava kertolasku pilkkuja huomioimatta ja erotettava tuloksessa oikealla pilkulla yhtä monta numeroa kuin pilkkujen jälkeen molemmissa kertoimissa yhdessä.

Esimerkkejä. Suorita kertolasku: 1) 18,2 0,09; 2) 3,2 0,065; 3) 0,54 12,3.

Ratkaisu.

III. Jos haluat kertoa desimaaliluvun luvulla 10, 100, 1000 jne., sinun on siirrettävä desimaalipistettä oikealle 1, 2, 3 jne. numeroilla.

Esimerkkejä. Suorita kertolasku: 1) 3,25 10; 2) 0,637 100; 3) 4,307 1000; 4) 2,04 1000; 5) 0,00031 10000.

Ratkaisu.

IV. Desimaaliluvun kertominen 0,1:llä; 0,01; 0,001 jne., sinun on siirrettävä pilkkua vasemmalle 1, 2, 3 jne. numerolla.

Esimerkkejä. Suorita kertolasku: 1) 28,3 0,1; 2) 324,7 0,01; 3) 6,85 0,01; 4) 6179,5 0,001; 5) 92,1 0,0001.

www.mathematics-repetition.com

Desimaalilukujen kertolasku, säännöt, esimerkit, ratkaisut.

Siirrymme seuraavan toiminnon tutkimukseen desimaaliluvuilla, nyt tarkastelemme kattavasti kertomalla desimaalit. Ensin keskustellaan desimaalilukujen kertomisen yleisistä periaatteista. Sen jälkeen siirrytään kertomaan desimaalimurto desimaaliluvulla, näytämme kuinka desimaalimurtoluku sarakkeella kerrotaan, tarkastellaan esimerkkien ratkaisuja. Seuraavaksi analysoimme desimaalimurtolukujen kertomista luonnollisilla luvuilla, erityisesti luvuilla 10, 100 jne. Lopuksi puhutaan desimaalilukujen kertomisesta tavallisilla murtoluvuilla ja sekaluvuilla.

Sanotaan heti, että tässä artikkelissa puhumme vain positiivisten desimaalilukujen kertomisesta (katso positiiviset ja negatiiviset luvut). Loput tapaukset analysoidaan rationaalisten lukujen kertolasku- ja artikkeleissa reaalilukujen kertolasku.

Sivulla navigointi.

Yleiset periaatteet desimaalien kertomiselle

Keskustellaan yleisistä periaatteista, joita tulee noudattaa suoritettaessa kertolaskua desimaalimurtoluvuilla.

Koska loput desimaalit ja äärettömät jaksolliset murtoluvut ovat yhteisten murtolukujen desimaalimuotoja, tällaisten desimaalien kertominen on olennaisesti yhteisten murtolukujen kertomista. Toisin sanoen, viimeisten desimaalien kertominen, lopullisten ja jaksollisten desimaalilukujen kertominen, yhtä hyvin kuin kertomalla jaksolliset desimaalit tarkoittaa tavallisten murtolukujen kertomista desimaalimurtoluvun muuntamisen jälkeen tavallisiksi murtoluvuiksi.

Harkitse esimerkkejä desimaalimurtolukujen kertomisperiaatteen soveltamisesta.

Suorita desimaalien 1,5 ja 0,75 kertolasku.

Korvataan kerrotut desimaalimurtoluvut vastaavilla tavallisilla murtoluvuilla. Koska 1,5 = 15/10 ja 0,75 = 75/100, niin. Voit pienentää murtolukua ja valita sitten koko osan väärästä murtoluvusta, ja tuloksena oleva tavallinen murtoluku 1 125/1 000 on kätevämpää kirjoittaa desimaalimurtoluvuksi 1,125.

On huomattava, että on kätevää kertoa lopulliset desimaalimurtoluvut sarakkeessa, puhumme tästä menetelmästä desimaalimurtolukujen kertomiseksi seuraavassa kappaleessa.

Harkitse esimerkkiä jaksollisten desimaalilukujen kertomisesta.

Laske jaksollisten desimaalien 0,(3) ja 2,(36) tulo.

Muunnetaan jaksolliset desimaalimurtoluvut tavallisiksi murtoluvuiksi:

Sitten. Voit muuntaa tuloksena olevan tavallisen murtoluvun desimaalimurtoluvuksi:

Jos kerrottujen desimaalilukujen joukossa on äärettömiä ei-jaksollisia murtolukuja, kaikki kerrotut murtoluvut, mukaan lukien äärelliset ja jaksolliset, tulee pyöristää ylöspäin tiettyyn numeroon (katso pyöristää numeroita), ja suorita sitten pyöristyksen jälkeen saatujen lopullisten desimaalilukujen kertolasku.

Kerro desimaalit 5,382… ja 0,2.

Ensin pyöristetään ääretön ei-jaksollinen desimaaliluku, pyöristys voidaan tehdä sadasosaan, meillä on 5,382 ... ≈5,38. Viimeistä desimaalimurtolukua 0,2 ei tarvitse pyöristää sadasosiksi. Siten 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Jäljelle jää laskea lopullisten desimaalilukujen tulo: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1 076/1 000 \u003d 1,076.

Desimaalilukujen kertominen sarakkeella

Äärillisten desimaalilukujen kertominen voidaan suorittaa sarakkeella, samalla tavalla kuin kertominen luonnollisten lukujen sarakkeella.

Muotoillaan kertolasku sääntö desimaalilukuille. Jos haluat kertoa desimaaliluvut sarakkeella, tarvitset:

• pilkkuja huomioimatta, suorita kertolasku kaikkien luonnollisten lukujen sarakkeella kertomisen sääntöjen mukaisesti;
• erottele tuloksena olevaan numeroon oikealla desimaalipilkulla niin monta numeroa kuin on desimaalipisteitä molemmissa kertoimissa yhteensä, ja jos tuotteessa ei ole tarpeeksi numeroita, niin vasemmalle on lisättävä tarvittava määrä nollia.

Harkitse esimerkkejä desimaalilukujen kertomisesta sarakkeella.

Kerro desimaalit 63,37 ja 0,12.

Suoritetaan desimaalilukujen kertominen sarakkeella. Ensin kerromme luvut jättäen pilkkuja huomioimatta:

Jäljelle jää laittaa pilkku tuloksena olevaan tuotteeseen. Hänen on erotettava 4 numeroa oikealta, koska tekijöissä on neljä desimaaleja (kaksi murtoluvussa 3,37 ja kaksi murtoluvussa 0,12). Siellä on tarpeeksi numeroita, joten sinun ei tarvitse lisätä nollia vasemmalle. Lopetetaan levy:

Tuloksena meillä on 3,37 0,12 = 7,6044.

Laske desimaalien 3,2601 ja 0,0254 tulo.

Kun kerrot sarakkeella ottamatta huomioon pilkkuja, saamme seuraavan kuvan:

Nyt tuotteessa sinun on erotettava 8 numeroa oikealla pilkulla, koska kerrottujen murtolukujen desimaalien kokonaismäärä on kahdeksan. Mutta tuotteessa on vain 7 numeroa, joten sinun on määritettävä vasemmalle niin monta nollaa, että 8 numeroa voidaan erottaa pilkulla. Meidän tapauksessamme meidän on määritettävä kaksi nollaa:

Tämä päättää desimaalilukujen kertomisen sarakkeella.

Desimaalien kertominen luvuilla 0,1, 0,01 jne.

Melko usein joudut kertomaan desimaalit luvuilla 0,1, 0,01 ja niin edelleen. Siksi on suositeltavaa laatia sääntö desimaalimurtoluvun kertomisesta näillä luvuilla, mikä seuraa edellä käsitellyistä desimaalimurtolukujen kertolaskuperiaatteista.

Niin, kerrotaan annettu desimaali luvuilla 0,1, 0,01, 0,001 ja niin edelleen antaa murtoluvun, joka saadaan alkuperäisestä, jos sen syötteessä pilkkua siirretään vasemmalle vastaavasti numeroilla 1, 2, 3 ja niin edelleen, ja jos numeroita ei ole tarpeeksi pilkun siirtämiseen, niin täytyy lisätä tarvittava määrä nollia vasemmalle.

Esimerkiksi, jos haluat kertoa desimaaliluvun 54,34 luvulla 0,1, sinun on siirrettävä desimaalipistettä vasemmalle 1 numerolla murtoluvussa 54,34, ja saat murtoluvun 5,434, eli 54,34 0,1 \u003d 5,434. Otetaan toinen esimerkki. Kerro desimaaliluku 9,3 luvulla 0,0001. Tätä varten meidän on siirrettävä pilkkua 4 numeroa vasemmalle kerrotussa desimaaliluvussa 9.3, mutta murtoluvun 9.3 tietue ei sisällä tällaista määrää merkkejä. Siksi meidän on lisättävä niin monta nollaa vasemmalla olevan murtoluvun 9.3 tietueeseen, jotta voimme helposti siirtää pilkun 4 numeroon, meillä on 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Huomaa, että ilmoitettu sääntö desimaaliluvun kertomisesta luvulla 0,1, 0,01, ... pätee myös äärettömiin desimaalimurtolukuihin. Esimerkiksi 0,(18) 0,01=0,00(18) tai 93,938… 0,1=9,3938… .

Desimaaliluvun kertominen luonnollisella luvulla

Sen ytimessä kerrotaan desimaalit luonnollisilla luvuilla ei eroa desimaaliluvun kertomisesta desimaalilla.

On kätevintä kertoa rajallinen desimaaliluku luonnollisella luvulla sarakkeella, kun taas sinun tulee noudattaa jossakin edellisessä kappaleessa käsiteltyjä sääntöjä kertomisesta desimaalimurtosarakkeella.

Laske tulo 15 2.27 .

Suoritetaan luonnollisen luvun kertominen sarakkeen desimaaliluvulla:

Kun jaksollinen desimaaliluku kerrotaan luonnollisella luvulla, jaksollinen murtoluku tulee korvata tavallisella murtoluvulla.

Kerro desimaaliluku 0,(42) luonnollisella luvulla 22.

Muunnetaan ensin jaksollinen desimaali yhteiseksi murtoluvuksi:

Tehdään nyt kertolasku: . Tämä desimaalitulos on 9,(3) .

Ja kun kerrot äärettömän ei-jaksollisen desimaaliluvun luonnollisella luvulla, sinun on ensin pyöristettävä.

Tee kertolasku 4 2,145….

Pyöristämällä sadasosiksi alkuperäisen äärettömän desimaaliluvun, pääsemme luonnollisen luvun ja viimeisen desimaaliluvun kertolaskuun. Meillä on 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Kerrotaan desimaali luvulla 10, 100, ...

Melko usein joudut kertomaan desimaalimurtoluvut luvulla 10, 100, ... Siksi on suositeltavaa tarkastella näitä tapauksia yksityiskohtaisesti.

Äänitetään sääntö desimaaliluvun kertomiseksi luvulla 10, 100, 1 000 jne. Kun desimaaliluku kerrotaan luvulla 10, 100, ..., sinun on siirrettävä pilkkua oikealle 1, 2, 3, ... numerolla, vastaavasti, ja hylättävä vasemmalla olevat ylimääräiset nollat; jos kerrotun murtoluvun tietueessa ei ole tarpeeksi numeroita pilkun siirtämiseen, sinun on lisättävä oikealle tarvittava määrä nollia.

Kerro desimaaliluku 0,0783 100:lla.

Siirretään tietueeseen murto-osa 0,0783 kaksi numeroa oikealle ja saadaan 007,83. Pudottamalla kaksi nollaa vasemmalle, saadaan desimaaliluku 7,38. Siten 0,0783 100 = 7,83.

Kerro desimaaliluku 0,02 luvulla 10 000.

Jotta 0,02 kerrotaan 10 000:lla, meidän on siirrettävä pilkkua 4 numeroa oikealle. Ilmeisesti murtoluvun 0,02 tietueessa ei ole tarpeeksi numeroita siirtämään pilkku 4-numeroiseksi, joten lisäämme muutaman nollan oikealle, jotta pilkku voidaan siirtää. Esimerkissämme riittää kolmen nollan lisääminen, meillä on 0,02000. Pilkun siirtämisen jälkeen saamme merkinnän 00200.0 . Pudottamalla nollat ​​vasemmalle, meillä on luku 200,0, joka on yhtä suuri kuin luonnollinen luku 200, se on tulos kertomalla desimaalimurto 0,02 10 000:lla.

Mainittu sääntö pätee myös kertottaessa äärettömiä desimaalilukuja luvulla 10, 100, ... Jaksottaisia ​​desimaalimurtolukuja kerrottaessa on oltava varovainen kertolaskun tuloksena syntyvän murtoluvun jaksossa.

Kerro jaksollinen desimaaliluku 5,32(672) 1000:lla.

Ennen kertomista kirjoitamme jaksollisen desimaaliluvun muodossa 5,32672672672 ..., jolloin voimme välttää virheet. Siirretään nyt pilkkua oikealle 3 numerolla, meillä on 5 326.726726 ... . Näin kertomisen jälkeen saadaan jaksollinen desimaaliluku 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Kun kerrot äärettömät ei-jaksolliset murtoluvut luvulla 10, 100, ..., sinun on ensin pyöristettävä ääretön murtoluku tiettyyn numeroon ja suoritettava kertolasku.

Desimaaliluvun kertominen yhteisellä murtoluvulla tai sekaluvulla

Jos haluat kertoa äärellisen desimaaliluvun tai äärettömän jaksollisen desimaaliluvun tavallisella murtoluvulla tai sekaluvulla, sinun on esitettävä desimaalimurto tavallisena murtolukuna ja suoritettava kertolasku.

Kerro desimaaliluku 0,4 sekaluvulla.

Koska 0.4=4/10=2/5 ja sitten. Tuloksena oleva luku voidaan kirjoittaa jaksollisena desimaalimurtolukuna 1.5(3) .

Kun ääretön ei-jaksollinen desimaaliluku kerrotaan yhteisellä murtoluvulla tai sekaluvulla, yhteinen murto- tai sekaluku tulee korvata desimaaliluvulla, pyöristää kerrotut murtoluvut ja lopettaa laskenta.

Koska 2/3 \u003d 0,6666 ..., sitten. Kun kerrotut murtoluvut on pyöristetty tuhannesosiksi, päästään kahden viimeisen desimaaliluvun tuloon 3,568 ja 0,667. Tehdään kertolasku sarakkeessa:

Saatu tulos on pyöristettävä tuhannesosiksi, koska kerrotut murtoluvut otettiin tuhannesosien tarkkuudella, meillä on 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

Tavallisten murtolukujen kertolasku: säännöt, esimerkit, ratkaisut.

Jatkamme toimintojen tutkimista tavallisilla murtoluvuilla. Nyt valokeilassa yhteisten murtolukujen kertolasku. Tässä artikkelissa annamme säännön tavallisten murtolukujen kertomisesta, harkitse tämän säännön soveltamista esimerkkejä ratkaiseessasi. Keskitymme myös tavallisen murtoluvun kertomiseen luonnollisella luvulla. Lopuksi harkitse, kuinka kolmen tai useamman murtoluvun kertolasku suoritetaan.

Sivulla navigointi.

Yhteisen murtoluvun kertominen yhteisellä murtoluvulla

Aloitetaan sanamuodosta yleisten murtolukujen kertomista koskevat säännöt: kertomalla murto murtoluvulla saadaan murto, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kerrottujen murtolukujen osoittajien tulo ja jonka nimittäjä on yhtä suuri kuin nimittäjien tulo.

Eli kaava vastaa tavallisten murtolukujen a / b ja c / d kertolaskua.

Otetaan esimerkki, joka kuvaa tavallisten murtolukujen kertolaskua. Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on 1 yksikkö. , kun taas sen pinta-ala on 1 yksikkö 2 . Jaa tämä neliö yhtä suuriksi suorakulmioiksi, joiden sivut ovat 1/4 yksikköä. ja 1/8 yksikköä. , kun taas alkuperäinen neliö koostuu 4 8 = 32 suorakulmiosta, joten jokaisen suorakulmion pinta-ala on 1/32 alkuperäisen neliön pinta-alasta, eli se on yhtä suuri kuin 1/32 yksikköä 2. Maalataan nyt osa alkuperäisestä neliöstä. Kaikki toimintamme näkyvät alla olevassa kuvassa.

Täytetyn suorakulmion sivut ovat 5/8 yksikköä. ja 3/4 yksikköä. , mikä tarkoittaa, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin murto-osien 5/8 ja 3/4, eli yksiköiden 2, tulo. Mutta täytetty suorakulmio koostuu 15 "pienestä" suorakulmiosta, joten sen pinta-ala on 15/32 yksikköä 2 . Tämän seurauksena,. Koska 5 3=15 ja 8 4=32 , viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , joka vahvistaa kaavan muodon tavallisten murtolukujen kertomiselle.

Huomaa, että soinnillisen kertolaskusäännön avulla voit kertoa sekä säännölliset että väärät murtoluvut ja murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, ja murtoluvut eri nimittäjillä.

Harkitse esimerkkejä yhteisten murtolukujen kertomisesta.

Kerro yhteinen murtoluku 7/11 yhteisellä murto-osuudella 9/8.

Kerrottujen murtolukujen 7 ja 9 osoittajien tulo on 63 ja nimittäjien 11 ja 8 tulo on 88. Näin ollen kertomalla yhteiset murtoluvut 7/11 ja 9/8 saadaan murtoluku 63/88.

Tässä on yhteenveto ratkaisusta: .

Emme saa unohtaa tuloksena olevan murto-osan pienentämistä, jos kertomisen tuloksena saadaan vähennettävä murto-osa, ja koko osan valintaa väärästä murto-osasta.

Kerro murtoluvut 4/15 ja 55/6.

Sovelletaan tavallisten murtolukujen kertolaskua: .

Ilmeisesti tuloksena oleva murto-osa on vähennettävissä (10:llä jaollinen merkki antaa meille mahdollisuuden väittää, että murtoluvun 220/90 osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen kerroin 10). Pienennetään murtolukua 220/90: GCD(220, 90)=10 ja . Jäljelle jää valita kokonaislukuosa tuloksena olevasta väärästä murtoluvusta: .

Huomaa, että murto-osien pelkistys voidaan suorittaa ennen osoittajien tulojen ja kerrottujen murto-osien nimittäjien tulojen laskemista, eli kun murtoluku on muotoa . Tälle luvulle a, b, c ja d korvataan niiden alkutekijöiden jakamalla, minkä jälkeen samat osoittajan ja nimittäjän tekijät mitätöidään.

Selvyyden vuoksi palataan edelliseen esimerkkiin.

Laske muodon murto-osien tulo.

Tavallisten murtolukujen kertolaskukaavalla meillä on .

Koska 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ja 6 = 2 3 , niin . Nyt perutaan yleiset alkutekijät: .

Jää vain laskea osoittajassa ja nimittäjässä olevat tuotteet ja valita sitten kokonaislukuosa väärästä murtoluvusta: .

On huomattava, että murto-osien kertolaskulle on ominaista kommutatiivinen ominaisuus, eli kerrotut murtoluvut voidaan vaihtaa keskenään: .

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla

Aloitetaan sanamuodosta säännöt yhteisen murtoluvun kertomisesta luonnollisella luvulla: murto-osan kertominen luonnollisella luvulla antaa murtoluvun, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kerrotun murtoluvun osoittajan tulo luonnollisella luvulla ja nimittäjä on yhtä suuri kuin kerrotun murtoluvun nimittäjä.

Kirjainten avulla sääntö murtoluvun a / b kertomisesta luonnollisella luvulla n on muotoa .

Kaava seuraa lomakkeen kahden tavallisen murtoluvun kertolaskukaavasta. Todellakin, kun luonnollinen luku esitetään murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, saamme .

Harkitse esimerkkejä murtoluvun kertomisesta luonnollisella luvulla.

Kerro murto-osa 2/27 viidellä.

Kun osoittaja 2 kerrotaan luvulla 5, saadaan 10, joten murtoluvun luonnollisella luvulla kertomista koskevan säännön mukaan luvun 2/27 tulo 5:llä on yhtä suuri kuin murtoluku 10/27.

Koko ratkaisu voidaan kirjoittaa kätevästi seuraavasti: .

Kun murtoluku kerrotaan luonnollisella luvulla, tuloksena olevaa murtolukua on usein pienennettävä, ja jos se on myös väärä, niin se esitetään sekalukuna.

Kerro murto-osa 5/12 luvulla 8.

Murtoluvun luonnollisella luvulla kertovan kaavan mukaan meillä on . Ilmeisesti tuloksena oleva murto-osa on pelkistävä (kahdella jaollinen merkki osoittaa osoittajan ja nimittäjän yhteistä jakajaa 2). Pienennetään murtolukua 40/12: koska LCM(40, 12)=4, niin . Jäljelle jää valita koko osa: .

Tässä on koko ratkaisu: .

Huomaa, että pelkistys voidaan tehdä korvaamalla osoittajassa ja nimittäjässä olevat luvut niiden laajennuksilla alkutekijöiksi. Tässä tapauksessa ratkaisu näyttäisi tältä:

Tämän kappaleen lopuksi huomautamme, että murtoluvun kertomisella luonnollisella luvulla on kommutatiivisuus, eli murtoluvun tulo luonnollisella luvulla on yhtä suuri kuin tämän luonnollisen luvun tulo murtoluvulla: .

Kerro kolme tai useampi murtoluku

Tapa, jolla olemme määrittäneet tavalliset murtoluvut ja kertomisen niillä, mahdollistaa sen, että voimme väittää, että kaikki luonnollisten lukujen kertolaskuominaisuudet pätevät murtolukujen kertomiseen.

Kertolaskun kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet mahdollistavat yksilöllisen määrittämisen kertomalla kolme tai useampi murtoluku ja luonnolliset luvut. Tässä tapauksessa kaikki tapahtuu analogisesti kolmen tai useamman luonnollisen luvun kertomisen kanssa. Erityisesti tuotteen murtoluvut ja luonnolliset luvut voidaan järjestää uudelleen laskennan helpottamiseksi, ja jos toimintojen suoritusjärjestystä osoittavia sulkuja ei ole, voimme järjestää sulut itse millä tahansa sallituista tavoista.

Harkitse esimerkkejä useiden murtolukujen ja luonnollisten lukujen kertomisesta.

Kerro kolme yleistä murtolukua 1/20, 12/5, 3/7 ja 5/8.

Kirjoitetaan tuote, joka meidän on laskettava . Murtolukujen kertomissäännön mukaan kirjoitettu tulo on yhtä suuri kuin murto, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin kaikkien murtolukujen osoittajien tulo, ja nimittäjä on nimittäjien tulo: .

Ennen tulojen laskemista osoittajassa ja nimittäjässä on suositeltavaa korvata kaikki tekijät niiden laajennuksilla alkutekijöiksi ja pienentää (tietenkin voit pienentää murto-osaa kertomisen jälkeen, mutta monissa tapauksissa tämä vaatii paljon laskentaa): .

.

Kerro viisi numeroa .

Tässä tuotteessa on kätevää ryhmitellä murto-osa 7/8 numerolla 8 ja numero 12 murto-osalla 5/36, tämä yksinkertaistaa laskelmia, koska tällaisella ryhmittelyllä vähennys on ilmeinen. Meillä on
.

.

www.cleverstudents.ru

Suosittu:

• Haet käräjäoikeuteen Hyvät sivuston vierailijat! Pietarin liittovaltion valtiovarainministeriö (Interdistrict IFTS of Russia No. 10, St. Petersburg) Veroviranomaisen TIN Saajan tilinumero NORTH-WEST […]
• Valtionveron laskenta elatusapumäärän alentamisesta Tuomioistuimet noudattavat seuraavaa kantaa: Valtionvero lasketaan siitä määrästä, jolla elatusapua vähennetään (kanteen arvosta). Esimerkki tuomioistuimelle suoritettavan valtion veron määrän laskemisesta, kun [...]
• Desimaalilukujen jako, säännöt, esimerkit, ratkaisut. Jatkamme toimintojen tutkimista desimaalimurtoluvuilla, on aika puhua desimaalimurtolukujen jakamisesta. Aloitetaan desimaalijaon yleisistä periaatteista. Kauempana […]
• Venäjän federaation verolain 333.19 artikla. Valtionmaksun suuruudet Venäjän federaation korkeimman oikeuden, yleisen tuomioistuimien, rauhantuomarien, Venäjän federaation verolain ST 333.19 käsittelemissä tapauksissa. 1. Korkeimmassa oikeudessa käsiteltävissä asioissa […]
• Malliasetus sosiaalivakuutuskomissiosta (valtuutettu) N 556a "Sosiaalivakuutuksen (valtuutettu) komissiota koskeva malliasetus" HYVÄKSYNYT Venäjän federaation sosiaalivakuutusrahaston puheenjohtaja […]
• Venäjän federaation asevoimien sekä Moskovan välitystuomioistuimen ja Moskovan piirin välimiesoikeuden valtionveron maksutiedot ovat muuttuneet Korkeimmassa oikeudessa käsiteltävinä olevissa tapauksissa uudet pankkitiedot valtionveron maksamiseen Venäjän federaation tuomioistuin, Moskovan kaupungin välimiesoikeus ja […]
• Kairauksen säiliö on korkeahuokoinen ja läpäisevä kallio, joka sisältää talteenotettavia määriä öljyä ja kaasua. Säiliön tärkeimmät luokitusominaisuudet ovat suodatus- ja kerääntymisolosuhteet […]
• Ryhmämme VK:ssa Saat alennuksen koulutuksesta. Pidä kiirettä saadaksesi 1000 ruplan alennuksen! Ilmoittautuminen autokouluun Täytä tämä lomake, otamme sinuun yhteyttä ja kutsumme sinut tunneille. Tervetuloa! 1. Varoitusmerkit Varoitus […]