Analyysin päälause

Analyysin päälause tai Newton-Leibnizin kaava antaa kahden operaation välisen suhteen: ottamalla selvä integraali ja laskemalla antiderivaata

Sanamuoto

Harkitse funktion integraalia y = f(x) vakioluvun sisällä a numeroon asti x, jota pidämme muuttuvana. Kirjoitamme integraalin seuraavassa muodossa:

Tämän tyyppistä integraalia kutsutaan integraaliksi, jolla on muuttuva yläraja. Keskiarvo-in-definite-integraalilauseen avulla on helppo osoittaa, että tietty funktio on jatkuva ja differentioituva. Ja myös tämän funktion derivaatta pisteessä x on yhtä suuri kuin itse integroitava funktio. Tästä seuraa, että millä tahansa jatkuvalla funktiolla on antiderivaata kvadratuurin muodossa: . Ja koska funktion f antiderivaattien luokka eroaa vakiolla, on helppo osoittaa, että: funktion f määrätty integraali on yhtä suuri kuin pisteiden b ja a antiderivaatojen arvojen erotus.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Plejadit
• 6174 (numero)

Katso, mitä "analyysin päälause" on muissa sanakirjoissa:

Fundamentaalinen jäännöslause- Jäännöslause on tehokas työkalu meromorfisen funktion integraalin laskemiseen suljetun ääriviivan yli. Sitä käytetään usein myös todellisten integraalien laskemiseen. Se on yleistys Cauchyn integraalilauseesta ja integraalista ... ... Wikipedia

Algebran peruslause- väittää, että jokaisella ei-vakiopolynomilla (yhden muuttujan), jolla on kompleksikertoimet, on vähintään yksi juuri kompleksilukujen kentässä. Lauseen ekvivalentti muotoilu on seuraava: Kompleksilukujen kenttä ... ... Wikipedia

Newtonin lause- Newton Leibnizin kaava eli analyysin päälause antaa suhteen kahden operaation välillä: ottamalla määrätty integraali ja laskemalla antiderivaata. Jos se on jatkuva segmentissä ja sen antijohdannainen tässä segmentissä, siinä on ... Wikipedia

Newton-Leibnizin kaava

Newton - Leibnizin kaava- Analyysin päälause eli Newton-Leibnizin kaava antaa kahden operaation välisen suhteen: ottamalla määrätyn integraalin ja laskemalla antiderivaatta Formulaatio Tarkastellaan funktion y \u003d f (x) integraalia, joka vaihtelee vakioluvusta a - .. ... Wikipedia

Integraali- Määrätty integraali kuvion alueena Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Integraali (yksityismerkki). Toiminnon integraali ... Wikipedia - funktiolle tämä on kokoelma tietyn funktion kaikista antiderivaatteista. Jos funktio on määritelty ja jatkuva välillä ja sen antiderivaatilla, eli at, niin ... Wikipedia

Kerran ajoimme isäni kanssa autolla kauas. Ja tämä on hyvä syy älykkääseen keskusteluun.

Puhumme "peruslauseista". Aritmetiikan peruslause on, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan hajottaa alkulukujen tuloksi ja ainutlaatuisella tavalla. Algebran peruslause on, että polynomilla on yhtä monta juuria kuin sen aste (vaikka formulaatioissa on helvettiä). Ja sitten analyysin päälause jotenkin lensi sitten päässäni.

Isä ehdotti, että analyysin peruslause on Newton-Leibnizin lause. "Mitä tämä on?" Kysyin. Isä: "En muista tarkkaa sanamuotoa, mutta jotain siitä, että integraatio on erilaistumiseen päinvastainen operaatio."

Odota, eikö se ole määritelmän mukaan?

Kuten aina näiden peruslauseiden kanssa, heidän sanomansa näyttää ilmeiseltä, kun olet jo käynyt sen läpi. Mutta itse asiassa se on päälause, jonka avulla voimme pitää integraatiota ja differentiaatiota käänteisoperaatioina. Syvästi tieteenvastainen päättely menee pidemmälle, missä kuka tahansa matemaatikko löytää 100500 muotovirhettä, mutta tällä ei nyt ole merkitystä.

Mitä on erilaistuminen? Tämä tapahtuu, kun piirrämme tangentin jokaiseen funktion pisteeseen ja löydämme kulman tangentin, jossa se siirtyy horisonttiin, seuraavasti:

Nyt, jos jokaiselle pisteelle osoitetaan löydetty tangentti, saadaan uusi funktio, jota kutsutaan derivaatiksi. Haluan muistuttaa, että numero e että funktion derivaatta e x on yhtä suuri kuin e x, eli kussakin pisteessä kulman tangentti on juuri sama kuin itse funktion arvo.

Mitä integraatio on? Tämä on kuvion alueen löytäminen joidenkin pystysuorien rajojen rajoittaman funktion käyrän alta. a ja b ja vaaka-akseli:

Jos jaat kasvavalla määrällä suorakulmioita ja katsot pinta-alojen summan rajaa, saat vain tämän luvun alueen. Tätä aluetta kutsutaan funktion määrätyksi integraaliksi y = f(x) segmentillä [ a; b] ja se on merkitty näin:

Suoraan sanottuna ei ole ollenkaan ilmeistä, että kulmista ja aluetta koskeva paskapuhet ovat yleensä jotenkin yhteydessä toisiinsa.

Ja näin ne liittyvät toisiinsa. Funktion käänteistä derivaatta kutsutaan antiderivaatiiviseksi. Antijohdannainen alkaen f(x) on sellainen toiminto g(x) että sen johdannainen g´(x) = f(x). Esimerkiksi funktio y = x 2 + 8 johdannainen y = 2x. Toiminnan puolesta siis y = x toiminto y = (x 2/2) + 4 on antijohdannainen.

On helppo nähdä, että tällaisia ​​toimintoja on ääretön määrä. Esimerkiksi funktion derivaatta y = x 2 + 28 on myös y = 2x. Toiminnan puolesta siis y = x toiminto ( x 2/2) + 14 on myös antijohdannainen. Tämä on loogista, koska derivaatta on kulma kussakin pisteessä, ja on luonnollista, että se ei muutu riippuen korkeudesta, johon pystysuunnassa nostetaan funktion koko kuvaaja kokonaisuutena. Toiminnan puolesta siis x primitiivinen on x 2/2 plus niin paljon kuin haluat.

Joten käy ilmi, että funktion alta löytyy kuvion alue y = f(x) vaihtelevat a ennen b, sinun on otettava minkä tahansa sen antijohdannaisen arvot g(x) kohdissa b ja a ja vähennä toinen toisesta:

Tässä g- vaikka mikä tahansa, mutta silti jonkinlainen primitiivi, joten "niin monta kuin haluat" on sille sama, ne vähennetään toisistaan ​​eivätkä vaikuta tulokseen. Voit ottaa jonkin yksinkertaisen toiminnon, kuten y = 2x, jossa alue ilman integraaleja on helppo laskea mielessäsi ja tarkistaa. Toimii!

Tätä kaavaa kutsutaan analyysin peruslauseeksi tai Newton-Leibnizin lauseeksi. Jos se todistetaan, voimme jo kutsua antiderivaatiivisen integraation löytöä ja yleensä käsitellä differentiaatiota ja integraatiota keskenään käänteisinä operaatioina.

§ 5. Analyysin päälause

1. Päälause. Integraation ja jossain määrin erilaistumisen käsite oli hyvin kehittynyt ennen Newtonin ja Leibnizin työtä. Mutta oli ehdottoman välttämätöntä tehdä yksi hyvin yksinkertainen löytö, jotta vastikään luodun matemaattisen analyysin valtava kehitys vauhdittaisi. Kaksi näennäisesti toisiaan ei-peräkkäistä rajaprosessia, joista toista käytettiin erottamiseen ja toista funktioiden integrointiin, osoittautuivat läheisesti yhteydessä toisiinsa. Itse asiassa ne ovat molemminpuolisia

				käänteiset toiminnot,
				sopii käytettäväksi esim
				yhteen- ja vähennyslasku, älykäs
				leikkaaminen ja jakaminen. Eri-
				sosiaalinen ja kiinteä
				numerot ovat
				jotain yhtenäistä.
				Uuden suuri saavutus
				sävy ja Leibniz on
				siinä ensimmäistä kertaa
Riisi. 274. Int pelataan funktiona alkuun				mutta ymmärretty ja käytetty
				tämä analyysin päälause
				per. Epäilemättä ne ovat avoimia

solmio n mutta suora tie on tieteellistä kehitystä, eikä se ole ollenkaan yllättävää Ihmeellistä, ero Nämä henkilöt tulivat itsenäisesti ja lähes samanaikaisesti selkeään ymmärrykseen yllä mainitusta tilanteesta.

Jotta päälause voitaisiin muotoilla tarkasti, tarkastelemme funktion y = f(x) integraalia vaihteluvälillä vakioluvusta a lukuon x, jota pidämme muuttuvana. Jotta integroinnin ylärajaa x ei sekoitettaisi integraalimerkin alla olevaan muuttujaan, kirjoitamme integraalin seuraavassa muodossa (katso sivu 428):

F(x) = Z

osoittaa näin aikomuksemme tutkia integraalia sen ylärajan funktiona F(x) (kuva 274). Tämä funktio F (x) on käyrän y = f(u) alla oleva pinta-ala pisteestä u = a pisteeseen u = x. Joskus integraalia F(x), jolla on muuttuva yläraja, kutsutaan "epämääräiseksi integraaliksi".

Analyysin päälause kuuluu seuraavasti:

Epämääräisen integraalin (1) derivaatta sen ylärajan x suhteen on yhtä suuri kuin funktion f(u) arvo pisteessä u = x:

F 0(x) = f(x).

ANALYYSIN PÄÄLAUSE

Toisin sanoen integrointiprosessi, joka johtaa funktiosta f(x) funktioon F(x), "tuhoaa" funktioon F(x) sovelletun käänteisen differentiaatioprosessin.

Intuitiivisesti tämän ehdotuksen todistaminen ei ole vaikeaa. Se perustuu integraalin F(x) tulkintaan alueena, ja se hämärtyisi, jos yrittäisimme piirtää funktion F(x) ja tulkita derivaatta F0(x) vastaavaksi kaltevuudeksi. Jättäen syrjään aiemmin vakiintunut derivaatan geometrinen tulkinta, säilytetään integraalin F (x) geometrinen tulkinta alueena, ja meistä tulee analyyttinen menetelmä funktion F (x) erottamiseen. Ero

F (x1 ) − F (x)

on yksinkertaisesti käyrän y = f(u) alla oleva pinta-ala rajojen u = x1 ja u = x välillä (kuva 275), ja on helppo ymmärtää, että tämän alueen numeerinen arvo on lukujen (x1 − x) välissä. )m ja (x1 − x) M:

(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x)M,

missä M ja m ovat vastaavasti funktion f(u) suurin ja pienin arvo välillä u = x - u = x1 . Itse asiassa nämä tuotteet antavat kahden suorakulmion alueet, joista toinen sisältää tarkasteltavan kaarevan alueen ja toinen sen sisällä.

Riisi. 275. Päälauseen todistuksesta

tämä tarkoittaa

m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x

Oletetaan, että funktio f(u) on jatkuva, joten kun x1 pyrkii x:ään, niin suuret M ja m taipuvat funktion f(u) arvoon pisteessä u = x, eli arvoon f(x). Tässä tapauksessa voidaan harkita

468 MATEMAATTINEN ANALYYSI Ch. VIII

todistettu tuo
F 0 (x) = raja	F (x1 ) − F (x)
x1 → x	x1 − x

Tämän tuloksen intuitiivinen merkitys on, että kun se kasvaa, käyrän alla olevan alueen muutosnopeus y = f(x) on yhtä suuri kuin käyrän korkeus pisteessä x.

Joissakin käsikirjoissa tämän päälauseen sisältö on hämärtynyt huonosti valitun terminologian vuoksi. Nimittäin monet kirjoittajat ottavat ensin käyttöön derivaatan käsitteen ja määrittelevät sitten "epämääräisen integraalin" yksinkertaisesti differentiaatioon liittyvän käänteisoperaation tuloksena: he sanovat, että funktio G(x) on funktion f epämääräinen integraali. (x) jos

G0(x) = f(x).

Siten tämä esitystapa yhdistää erottamisen suoraan sanaan "integraali". Vasta myöhemmin otetaan käyttöön "määräisen integraalin" käsite, jota käsitellään alueena tai summasarjan rajana, eikä tarpeeksi korosteta, että sana "integraali" tarkoittaa nyt jotain aivan muuta kuin ennen. Ja nyt käy ilmi, että tärkein teorian sisältämä asia hankitaan vain salaa - takaoven kautta, ja opiskelija kohtaa vakavia vaikeuksia pyrkiessään ymmärtämään asian ydintä. Mieluummin kutsumme funktioita G(x), joille G0 (x) = f(x) ei "epämääräisiä integraaleja", vaan funktion f(x) antiderivaataita. Sitten päälause voidaan muotoilla seuraavasti:

Funktio F (x), joka on funktion f(x) integraali, jolla on vakio alaraja ja muuttuva yläraja x, on yksi funktion f(x) antiderivaatteista.

Sanomme "yksi" antiderivaatiivisista funktioista siitä syystä, että jos G(x) on f(x:n) antideriivatiivinen funktio, niin on heti selvää, että mikä tahansa funktio muotoa H(x) = G(x) + c (c - mielivaltainen vakio) on myös antiderivaata, koska H0 (x) = G0 (x). Päinvastoin on myös totta. Kaksi antiderivatiivista funktiota G(x)

ja H(x) voivat erota toisistaan ​​vain vakiotermillä. Todellakin, erotuksen U(x) = G(x) − H(x) derivaatana on U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0, ts. , Eli tämä ero on vakio, koska on selvää, että jos funktion kuvaaja on vaakasuora kussakin pisteessään, niin itse funktion, jota kuvaaja esittää, on varmasti oltava vakio.

Tämä johtaa erittäin tärkeään sääntöön a:n ja b:n välisen integraalin laskemiseksi - olettaen, että tiedämme jonkin funktion f(x) antiderivatiivisen funktion G(x). Pääasiamme mukaan

ANALYYSIN PÄÄLAUSE

lause, funktio

funktiolla f(x) on myös antiderivatiivinen funktio. Joten F(x) =

G(x) + c, missä c on vakio. Tämän vakion arvo määritetään,

jos otamme huomioon, että F (a) = f(u) du = 0. Tämä tarkoittaa:

0 = G(a) + c, joten c = −G(a). Silloin a:n ja x:n välinen määrätty integraali toteuttaa identtisesti tasa-arvon

F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);

x:n korvaaminen b:llä johtaa kaavaan

f(u) du = G(b) − G(a),

riippumatta siitä, mikä johdannaisten vastaisista toiminnoista "käynnistettiin". Toisin sanoen: laskea tietty sisään-

integraali f(x) dx, riittää löytää funktio G(x), jolle

parvi G0 (x) = f(x), ja tee sitten ero G(b) − G(a).

2. Ensimmäiset sovellukset. Funktioiden xr , cos x, sin x integrointi. arctg x -funktio. Tässä on mahdotonta antaa tyhjentävä käsitys päälauseen roolista, ja rajoitamme antamaan muutamia ilmeisiä esimerkkejä. Mekaniikan ja fysiikan tai itse matematiikan ongelmissa on hyvin usein tarpeen laskea jonkin kiinteän integraalin numeerinen arvo. Suora yritys löytää integraali rajana voi olla ylitsepääsemättömän vaikeaa. Toisaalta, kuten pykälässä 3 näimme, mikä tahansa eriyttäminen tapahtuu suhteellisen helposti, ja eriyttämiskaavoja on mahdollista kerätä vaivattomasti hyvin suuri määrä. Jokaista tällaista kaavaa G0(x) = f(x) voidaan päinvastoin pitää kaavana, joka määrittelee funktion f(x) antideriivatiivinen funktio G(x).

Kaava (3) mahdollistaa tunnetun antiderivatiivisen funktion käytön laskea funktion f(x) integraali jollain tietyllä aikavälillä.

Jos esimerkiksi halutaan löytää potenssien x2, x3 tai xn integraalit yleensä, niin yksinkertaisin asia on edetä pykälän 1 mukaisesti. Tehodifferentiointikaavalla xn:n derivaatta on nxn−1.

470 MATEMAATTINEN ANALYYSI Ch. VIII

siis funktion derivaatta

G(x) = n x
	1 (n 6 = -1)

on toiminto

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn.

xn+1

Tässä tapauksessa funktio n + 1 on antiderivatiivinen funktio

funktion f(x) = xn suhteen, ja siksi saamme välittömästi kaavan

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1

Tämä argumentti on verrattoman yksinkertaisempi kuin hankala menettely integraalin laskemiseksi suoraan summan rajana.

Yleisempänä tapauksena § 3 havaitsimme, että millä tahansa rationaalisella s:llä, sekä positiivisella että negatiivisella, funktion xs derivaatta on yhtä suuri kuin sxs−1, ja siksi funktiolle s = r + 1 funktio

x r+1

on derivaatta f(x) = G0 (x) = xr (oletetaan, että r 6 = −1,

x r+1

eli se s 6 = 0). Joten funktio r + 1 on antiderivatiivinen funktio tai

xr:n "epämääräinen integraali", ja saamme (positiivisille a ja b ja r 6= −1) kaavan

xr dx =	b r+1 − a r+1

Kaavassa (4) on oletettava, että integraalin alla oleva funktio xr on määritelty ja jatkuva integrointivälissä, joten piste x = 0 on jätettävä pois, jos r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Jos asetamme G(x) = − cos x, niin saadaan G0 (x) = sin x, ja tästä syntyy suhde

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Vastaavasti, jos G(x) = sin x, niin G0 (x) = cos x ja siten

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

§ 5 ANALYYSIN PÄÄLAUSE 471

Erityisen mielenkiintoinen tulos saadaan kaavasta funktion arctg x erottamiseksi:

	Koska funktio arctg x on antiderivatiivinen funktion suhteen
							1+x2

sitten kaavan (3) perusteella voimme kirjoittaa

arctan b − arctan 0 = Z 0	1 + x 2dx.

Mutta arctan 0 = 0 (tangentin nolla-arvo vastaa kulman nolla-arvoa). Meillä on siis

arctg b = Z 0

1+x2

Erityisesti,

merkitys

tangentti,

1, ottelu

kohdassa 45◦, mikä radiaanimitassa vastaa

laittaa p . Näin ollen me

saamme

ihana

1 + x 2dx.

näyttää

mikä alue

ajoittaa

1 + x 2 välillä x = 0 - x =

1 on yhtä suuri kuin neljännes yksikön pinta-alasta

276. Creen alla oleva alue

ei ympyrää.

sisällä

3. Kaava

Leibniz

1+x2

johtaa

p . Viimeisin tulos

kauneimmista

1600-luvulla löydetyt matemaattiset kaavat - merkkimuuttujaan

Leibniz-sarjaan, joka mahdollistaa p:n laskemisen:

4 p = 1 1 - 3 1 + 5 1 - 7 1 + 9 1 - 11 1 + . . .

+ symboli. . . tulee ymmärtää siinä mielessä, että äärellisten "osittaissummien" sarja, joka saadaan, kun

yhtälöistä otetaan vain n summan termiä, pyrkii rajaan p at

n:n rajoittamaton lisäys.

MATEMAATTINEN ANALYYSI

Tämän merkittävän kaavan todistamiseksi meidän tarvitsee vain muistaa äärellisen geometrisen progression summan kaava

1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn-1 ,

jossa "jäännöstermi" Rn ilmaistaan ​​kaavalla

Rn = (−1)n x 2n2.

Tasa-arvo (8) voidaan integroida alueelle 0 - 1. Pykälän 3 säännön a) mukaisesti meidän on otettava oikealta puolelta yksittäisten termien integraalien summa. (4):n perusteella tiedämme sen

xm dx =

bm+1

− am+1

erityisesti saamme

xm dx =

mistä, mihin

1+x2

1 − 3 +

Ja näin ollen,

− 7

+ . . . + (−1)n−1

2n − 1 + Tn ,

p R0

1+x2

Tn = (

Kaavan (5) mukaan lomakkeen vasen puoli on

ly (9 ) on

ero välillä

ja yksityinen summa

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn. On vielä todistettava, että Tn pyrkii nollaan as

kasvava n. Meillä on eriarvoisuus

x 2n 6 x 2n .

1+x2

Palautetaan mieleen kaava (13) § 1, joka vahvistaa epätasa-arvon

f(x) dx 6 g(x) dx f(x) 6 g(x):lle ja a< b,

Integraation ja jossain määrin erilaistumisen käsite oli hyvin kehittynyt ennen Newtonin ja Leibnizin työtä. Mutta oli ehdottoman välttämätöntä tehdä yksi hyvin yksinkertainen löytö, jotta vastikään luodun matemaattisen analyysin valtava kehitys vauhdittaisi. Kaksi näennäisesti toisiaan ei-peräkkäistä rajaprosessia, joista toista käytettiin erottamiseen ja toista funktioiden integrointiin, osoittautuivat läheisesti yhteydessä toisiinsa. Itse asiassa ne ovat keskenään käänteisiä operaatioita, kuten sellaiset operaatiot kuin yhteen- ja vähennyslasku, kerto- ja jakolasku. Differentiaali- ja integraalilaskenta ovat yksi asia.

Newtonin ja Leibnizin suuri saavutus on, että he ensimmäistä kertaa selvästi oivalsivat ja käyttivät tätä analyysin peruslausetta. Epäilemättä heidän löytönsä oli luonnollisen tieteellisen kehityksen suoralla polulla, eikä ole ollenkaan yllättävää, että eri henkilöt tulivat itsenäisesti ja melkein samanaikaisesti selkeään ymmärrykseen edellä mainitusta seikasta.

Riisi. 274. Integraali ylärajan funktiona

Päälauseen täsmällisen muotoilemiseksi tarkastelemme funktion integraalia, joka vaihtelee vakioluvusta a numeroon x, jota pidämme muuttuvana. Jotta integroinnin ylärajaa x ei sekoitettaisi integraalimerkin alla olevaan muuttujaan, kirjoitamme integraalin seuraavassa muodossa (ks. s. 459):

osoittaa näin aikomuksemme tutkia integraalia sen ylärajan funktiona (kuva 274). Tämä funktio on käyrän alla oleva pinta-ala pisteestä pisteeseen. Joskus integraalia, jolla on muuttuva yläraja, kutsutaan "epämääräiseksi integraaliksi".

Analyysin päälause kuuluu seuraavasti: Epämääräisen integraalin (1) derivaatta sen ylärajan x suhteen on yhtä suuri kuin funktion arvo pisteessä.

Toisin sanoen funktiosta toimintoon johtava integraatioprosessi "tuhoaa" funktioon sovelletun käänteisen erilaistumisprosessin avulla.

Riisi. 275. Päälauseen todistuksesta

Intuitiivisesti tämän ehdotuksen todistaminen ei ole vaikeaa. Se perustuu integraalin tulkintaan alueena, ja se hämärtyisi, jos yrittäisimme piirtää funktion ja tulkita derivaatan vastaavaksi kaltevuudeksi. Jättäen syrjään aiemmin vakiintunut derivaatan geometrinen tulkinta, säilytämme integraalin geometrisen tulkinnan alueena ja meistä tulee analyyttinen menetelmä funktion erottamiseen. Ero

rajojen välissä on yksinkertaisesti käyrän alla oleva pinta-ala (kuva 275), eikä ole vaikea ymmärtää, että tämän alueen numeerinen arvo on lukujen välissä

missä ovat (vastaavasti funktion suurimmat ja pienimmät arvot välillä alkaen -) Nämä tulot antavat todellakin kahden suorakulmion alueet, joista toinen sisältää tarkasteltavan kaarevan alueen ja toinen siinä.

Tämä tarkoittaa:

Oletetaan, että funktio on jatkuva, joten molemmat suureet pyrkivät funktion arvoon

kohdassa , eli arvoon Tässä tapauksessa voimme katsoa, ​​että se on todistettu

Tämän tuloksen intuitiivinen merkitys on, että pinta-alan kasvaessa käyrän alla olevan alueen muutosnopeus on yhtä suuri kuin käyrän korkeus kohdassa x.

Joissakin käsikirjoissa tämän päälauseen sisältö on hämärtynyt huonosti valitun terminologian vuoksi. Monet kirjoittajat nimittäin ottavat ensin käyttöön derivaatan käsitteen ja määrittelevät sitten "epämääräisen integraalin" yksinkertaisesti differentiaatiolle käänteisen operaation tuloksena: he sanovat, että funktio on funktion määrittelemätön integraali, jos

Siten tämä esitystapa yhdistää erottamisen suoraan sanaan "integraali". Vasta myöhemmin otetaan käyttöön "määräisen integraalin" käsite, jota käsitellään alueena tai summasarjan rajana, eikä tarpeeksi korosteta, että sana "integraali" tarkoittaa nyt jotain aivan muuta kuin ennen. Ja nyt käy ilmi, että tärkein teorian sisältämä asia hankitaan vain salaa - takaoven kautta, ja opiskelija kohtaa vakavia vaikeuksia pyrkiessään ymmärtämään asian ydintä. Suosimme funktioita, joita emme kutsu "indefinite-integraaleiksi", vaan funktion antiderivatiivisiksi funktioiksi. Sitten päälause voidaan muotoilla seuraavasti:

Funktio, joka on integraali funktiosta, jolla on vakio alaraja ja muuttuva yläraja x, on yksi funktion antiderivaatteista

Sanomme "yksi" antiderivaatiivisista funktioista siitä syystä, että if on antideriivatiivinen funktio, niin on heti selvää, että mikä tahansa muodon funktio (c on mielivaltainen vakio) on myös antideriivatiivinen, koska myös käänteinen väite on totta. Kaksi antiderivatiivista funktiota voivat erota toisistaan ​​vain vakiotermillä. Itse asiassa ero on johdannaisena, ts. tämä ero on vakio, koska on selvää, että jos funktiokaavio kussakin

Integraation ja jossain määrin erilaistumisen käsite oli hyvin kehittynyt ennen Newtonin ja Leibnizin työtä. Mutta oli ehdottoman välttämätöntä tehdä yksi hyvin yksinkertainen löytö, jotta vastikään luodun matemaattisen analyysin valtava kehitys vauhdittaisi. Kaksi näennäisesti toisiaan ei-vierekkäistä rajoittavaa prosessia, joista toista käytettiin erottamiseen ja toista funktioiden integrointiin, osoittautuivat läheisesti yhteydessä toisiinsa. Itse asiassa ne ovat keskenään käänteisiä operaatioita, kuten sellaiset operaatiot kuin yhteen- ja vähennyslasku, kerto- ja jakolasku. Differentiaali- ja integraalilaskenta ovat yksi asia.

Newtonin ja Leibnizin suuri saavutus on, että he ensimmäistä kertaa selvästi tunnistivat ja käyttivät tätä analyysin päälause. Epäilemättä heidän löytönsä oli luonnollisen tieteellisen kehityksen suoralla polulla, eikä ole ollenkaan yllättävää, että eri henkilöt tulivat itsenäisesti ja melkein samanaikaisesti selkeään ymmärrykseen edellä mainitusta seikasta.

Jotta päälause voitaisiin muotoilla tarkasti, otetaan huomioon funktion integraali y=f(x) vaihtelevat vakioluvusta a numeroon x, jota pidämme muuttuvana. Jotta integroinnin ylärajaa x ei sekoitettaisi integraalimerkin alla olevaan muuttujaan, kirjoitamme integraalin seuraavassa muodossa (ks. s. 435):

mikä osoittaa aikomuksemme tutkia integraalia sen ylärajan F(x):n funktiona (kuva 274). Tämä funktio F(x) on käyrän alla oleva pinta-ala y=f(u) pisteestä u = a asiaan u=x. Joskus integraalia F(x), jolla on muuttuva yläraja, kutsutaan "epämääräiseksi integraaliksi".

Analyysin päälause kuuluu seuraavasti: Epämääräisen integraalin (1) derivaatta sen ylärajan x suhteen on yhtä suuri kuin funktion f (u) arvo pisteessä u = x:

F "(x) \u003d f (x).

Toisin sanoen integrointiprosessi, joka johtaa funktiosta f(x) funktioon F(x), "tuhoaa" funktioon F(x) sovelletun käänteisen differentiaatioprosessin.

Intuitiivisesti tämän ehdotuksen todistaminen ei ole vaikeaa. Se perustuu integraalin F(x) tulkintaan alueena, ja se hämärtyisi, jos yrittäisimme piirtää funktion F(x) ja tulkita derivaatta F"(x) vastaavaksi kaltevuudeksi. derivaatan vakiintunut geometrinen tulkinta, säilytetään integraalin F (x) geometrinen tulkinta alueena ja funktion F (x) differentiaatiosta tulee analyyttinen menetelmä.

F (x 1) - F (x)

on vain käyrän alla oleva alue y=f(u) rajojen välillä u = x 1 ja u=x(kuva 275), ja on helppo ymmärtää, että tämän alueen numeerinen arvo on lukujen välissä (x 1 - x) m ja (x 1 - x) M:

(x 1 - x) m ≤ F (x 1) - F (x) ≤ (x 1 - x) M,

missä M ja m ovat vastaavasti funktion f (u) suurin ja pienin arvo välillä u = x - u = x 1. Itse asiassa nämä tuotteet antavat kahden suorakulmion alueet, joista toinen sisältää tarkasteltavan kaarevan alueen ja toinen sen sisällä.

Tämä tarkoittaa:

Oletetaan, että funktio f (u) on jatkuva, joten kun x 1 pyrkii x:ään, niin suuret M ja m taipuvat funktion f (u) arvoon pisteessä u \u003d x, eli arvoon f (x). Tässä tapauksessa voidaan katsoa, ​​että se on todistettu

Tämän tuloksen intuitiivinen merkitys on, että kun käyrän alla olevan alueen muutosnopeus kasvaa, y=f(x) yhtä suuri kuin käyrän korkeus kohdassa x.

Joissakin käsikirjoissa tämän päälauseen sisältöä peittää huonosti valittu terminologia. Monet kirjoittajat nimittäin esittelevät ensin derivaatan käsitteen ja määrittelevät sitten "epämääräisen integraalin" yksinkertaisesti differentiaatiolle käänteisen operaation tuloksena: he sanovat, että funktio G (x) on funktion f (x) määrittelemätön integraali. ) jos

G"(x) = f(x).

Siten tämä esitystapa yhdistää erottamisen suoraan sanaan "integraali". Vasta myöhemmin otetaan käyttöön "määräisen integraalin" käsite, jota käsitellään alueena tai summasarjan rajana, eikä tarpeeksi korosteta, että sana "integraali" tarkoittaa nyt jotain aivan muuta kuin ennen. Ja nyt käy ilmi, että tärkein teorian sisältämä asia hankitaan vain salaa takaovesta, ja opiskelija kohtaa vakavia vaikeuksia pyrkiessään ymmärtämään asian ydintä. Suosimme funktioita G(x), joille G "(x) \u003d f (x), älä kutsu "indefinite integraaleja", vaan antiderivatiiviset toiminnot funktiosta f(x). Sitten päälause voidaan muotoilla seuraavasti:

Funktio F (x), joka on funktion f (x) integraali, jolla on vakio ala- ja muuttuva yläraja x, on yksi funktion f (x) antiderivaatteista.

Sanomme "yksi" antiderivaatiivisista funktioista siitä syystä, että jos G(x) on f(x):n antideriivatiivinen funktio, niin on heti selvää, että mikä tahansa muodon funktio H(x) = G(x) + c(c on mielivaltainen vakio) on myös antiderivaata, koska H "(x) = G" (x). Päinvastoin on myös totta. Kaksi antiderivatiivista funktiota G(x) ja H(x) voivat erota toisistaan ​​vain vakiotermillä. Todellakin, ero U(x) = G(x) - H(x) on johdannaisena U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, eli tämä ero on vakio, koska on ilmeistä, että jos funktion kuvaaja on vaakasuora kussakin pisteessään, niin funktion itsensä, jota kuvaaja esittää, on varmasti oltava vakio.