Ja niin edelleen, on loogista tutustua muuntyyppisiin yhtälöihin. Seuraavat jonossa ovat lineaariset yhtälöt, jonka määrätietoinen opiskelu alkaa algebratunneilla 7. luokalla.

On selvää, että ensin on selitettävä, mikä lineaarinen yhtälö on, annettava lineaarisen yhtälön määritelmä, sen kertoimet, näytettävä sen yleinen muoto. Sitten voit selvittää, kuinka monta ratkaisua lineaarisella yhtälöllä on kertoimien arvoista riippuen ja kuinka juuret löydetään. Näin voit siirtyä esimerkkien ratkaisemiseen ja siten lujittaa tutkittua teoriaa. Tässä artikkelissa teemme tämän: käsittelemme yksityiskohtaisesti kaikkia teoreettisia ja käytännöllisiä kohtia, jotka koskevat lineaarisia yhtälöitä ja niiden ratkaisua.

Sanotaan heti, että tässä tarkastellaan vain lineaarisia yhtälöitä, joissa on yksi muuttuja, ja erillisessä artikkelissa tutkimme ratkaisemisen periaatteita lineaariset yhtälöt kahdessa muuttujassa.

Sivulla navigointi.

Mikä on lineaarinen yhtälö?

Lineaarisen yhtälön määritelmä saadaan sen merkintämuodosta. Lisäksi eri matematiikan ja algebran oppikirjoissa lineaaristen yhtälöiden määritelmien muotoiluissa on joitain eroja, jotka eivät vaikuta asian olemukseen.

Esimerkiksi Yu. N. Makarychevan ja muiden 7. luokan algebraoppikirjassa lineaarinen yhtälö on määritelty seuraavasti:

Määritelmä.

Tyyppiyhtälö ax=b, jossa x on muuttuja, a ja b ovat joitain lukuja, kutsutaan lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla.

Annetaan esimerkkejä soinnillista määritelmää vastaavista lineaarisista yhtälöistä. Esimerkiksi 5 x=10 on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja x, tässä kerroin a on 5 ja luku b on 10 . Toinen esimerkki: −2.3 y=0 on myös lineaarinen yhtälö, mutta muuttujalla y , jossa a=−2.3 ja b=0 . Ja lineaarisissa yhtälöissä x=−2 ja −x=3.33 a eivät ole eksplisiittisesti läsnä ja ovat 1 ja −1, vastaavasti, kun taas ensimmäisessä yhtälössä b=−2 ja toisessa - b=3.33 .

Ja vuotta aiemmin N. Ya. Vilenkinin matematiikan oppikirjassa lineaariset yhtälöt, joissa on yksi tuntematon, pidettiin muotoa a x = b olevien yhtälöiden lisäksi myös yhtälöinä, jotka voidaan pelkistää tähän muotoon siirtämällä termejä yhdestä. yhtälön osan toiseen päinvastaisella merkillä, sekä pelkistämällä samanlaisia ​​termejä. Tämän määritelmän mukaan yhtälöt muotoa 5 x=2 x+6 jne. ovat myös lineaarisia.

Seuraava määritelmä on puolestaan ​​annettu A. G. Mordkovichin algebraoppikirjassa 7 luokalle:

Määritelmä.

Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla x on yhtälö muotoa a x+b=0 , jossa a ja b ovat joitain lukuja, joita kutsutaan lineaarisen yhtälön kertoimiksi.

Esimerkiksi tällaiset lineaariset yhtälöt ovat 2 x−12=0, tässä kerroin a on 2 ja b on −12 ja 0.2 y+4.6=0 kertoimilla a=0.2 ja b =4.6. Mutta samaan aikaan on esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä, joiden muoto ei ole a x+b=0 vaan a x=b, esimerkiksi 3 x=12 .

Ymmärretään, jotta meillä ei olisi jatkossa poikkeamia, lineaarisen yhtälön, jossa on yksi muuttuja x ja kertoimet a ja b, alla ymmärretään yhtälö, joka on muotoa a x+b=0 . Tämäntyyppinen lineaarinen yhtälö näyttää olevan oikeutetuin, koska lineaariset yhtälöt ovat algebralliset yhtälöt ensimmäisen asteen. Ja kaikki muut yllä mainitut yhtälöt sekä yhtälöt, jotka on pelkistetty muotoon a x+b=0 ekvivalenttien muunnoksilla, kutsutaan nimellä yhtälöt pelkistyvät lineaarisiksi yhtälöiksi. Tällä lähestymistavalla yhtälö 2 x+6=0 on lineaarinen yhtälö ja 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 jne. ovat lineaarisia yhtälöitä.

Kuinka ratkaista lineaariset yhtälöt?

Nyt on aika selvittää, kuinka lineaariset yhtälöt a x+b=0 ratkaistaan. Toisin sanoen on aika selvittää, onko lineaarisella yhtälöllä juuria, ja jos on, kuinka monta ja miten ne löydetään.

Lineaarisen yhtälön juurien läsnäolo riippuu kertoimien a ja b arvoista. Tässä tapauksessa lineaarisella yhtälöllä a x+b=0 on

• ainoa juuri kohdassa a≠0,
• ei ole juuria arvoille a=0 ja b≠0,
• sillä on äärettömän monta juuria arvoille a=0 ja b=0 , jolloin mikä tahansa luku on lineaarisen yhtälön juuri.

Selvitetään, kuinka nämä tulokset saatiin.

Tiedämme, että yhtälöiden ratkaisemiseksi on mahdollista siirtyä alkuperäisestä yhtälöstä ekvivalenttisiin yhtälöihin, eli yhtälöihin, joilla on samat juuret tai, kuten alkuperäisessä, ilman juuria. Voit tehdä tämän käyttämällä seuraavia vastaavia muunnoksia:

• termin siirto yhtälön osasta toiseen päinvastaisella merkillä,
• ja myös kertomalla tai jakamalla yhtälön molemmat puolet samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Joten lineaarisessa yhtälössä, jossa on yksi muuttuja muotoa a x+b=0, voimme siirtää termiä b vasemmalta puolelta oikealle päinvastaisella merkillä. Tässä tapauksessa yhtälö saa muotoa a x=−b.

Ja sitten yhtälön molempien osien jako luvulla a ehdottaa itsestään. Mutta on yksi asia: luku a voi olla yhtä suuri kuin nolla, jolloin tällainen jako on mahdotonta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi oletetaan ensin, että luku a on eri kuin nolla, ja tarkastellaan nollan tapausta erikseen hieman myöhemmin.

Joten kun a ei ole nolla, voimme jakaa yhtälön a x=−b molemmat osat a:lla, jonka jälkeen se muunnetaan muotoon x=(−b): a , tämä tulos voidaan kirjoittaa käyttämällä kiinteä viiva kuten .

Siten a≠0:lle lineaarinen yhtälö a·x+b=0 vastaa yhtälöä , josta sen juuri näkyy.

On helppo osoittaa, että tämä juuri on ainutlaatuinen, eli lineaarisella yhtälöllä ei ole muita juuria. Tämä mahdollistaa päinvastaisen menetelmän.

Merkitään juureksi x 1 . Oletetaan, että lineaarisella yhtälöllä on toinen juuri, jota merkitsemme x 2 ja x 2 ≠ x 1, joka johtuu yhtäläisten lukujen määritelmät eron kautta vastaa ehtoa x 1 − x 2 ≠0 . Koska x 1 ja x 2 ovat lineaarisen yhtälön a x+b=0 juuria, niin numeeriset yhtälöt a x 1 +b=0 ja a x 2 +b=0 tapahtuvat. Voimme vähentää näiden yhtälöiden vastaavat osat, minkä numeeristen yhtälöiden ominaisuudet sallivat, meillä on a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , josta a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 ja sitten a (x 1 − x 2)=0 . Ja tämä yhtäläisyys on mahdoton, koska sekä a≠0 että x 1 − x 2 ≠0. Joten olemme päässeet ristiriitaan, joka todistaa lineaarisen yhtälön a·x+b=0 juuren ainutlaatuisuuden a≠0 :lle.

Joten olemme ratkaisseet lineaarisen yhtälön a x+b=0, jossa a≠0 . Tämän alakohdan alussa annettu ensimmäinen tulos on perusteltu. Kaksi muuta täyttävät ehdon a=0 .

Kun a=0, lineaarisesta yhtälöstä a·x+b=0 tulee 0·x+b=0 . Tästä yhtälöstä ja lukujen nollalla kertomisen ominaisuudesta seuraa, että riippumatta siitä, minkä luvun otamme x:ksi, kun se korvataan yhtälöllä 0 x+b=0, saadaan numeerinen yhtälö b=0. Tämä yhtälö on tosi, kun b=0 , ja muissa tapauksissa kun b≠0 tämä yhtälö on epätosi.

Siksi, kun a=0 ja b=0, mikä tahansa luku on lineaarisen yhtälön a x+b=0 juuri, koska näissä olosuhteissa minkä tahansa luvun korvaaminen x:n sijasta antaa oikean numeerisen yhtälön 0=0. Ja kun a=0 ja b≠0, lineaarisella yhtälöllä a x+b=0 ei ole juuria, koska näissä olosuhteissa minkä tahansa luvun korvaaminen x:n sijasta johtaa väärään numeeriseen yhtälöön b=0.

Yllä olevat perustelut mahdollistavat toimintosarjan muodostamisen, joka mahdollistaa minkä tahansa lineaarisen yhtälön ratkaisemisen. Niin, algoritmi lineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi On:

• Ensinnäkin, kirjoittamalla lineaarinen yhtälö, löydämme kertoimien a ja b arvot.
• Jos a=0 ja b=0, niin tällä yhtälöllä on äärettömän monta juuria, nimittäin mikä tahansa luku on tämän lineaarisen yhtälön juuri.
• Jos a on eri kuin nolla, niin
• kerroin b siirretään oikealle päinvastaisella merkillä, kun taas lineaarinen yhtälö muunnetaan muotoon a x=−b ,
• jonka jälkeen tuloksena olevan yhtälön molemmat osat jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla a, joka antaa alkuperäisen lineaarisen yhtälön halutun juuren.

Kirjoitettu algoritmi on tyhjentävä vastaus kysymykseen lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Tämän kappaleen lopuksi on syytä todeta, että samanlaista algoritmia käytetään muotoa a x=b olevien yhtälöiden ratkaisemiseen. Sen ero on siinä, että kun a≠0, yhtälön molemmat osat jaetaan välittömästi tällä luvulla, tässä b on jo halutussa yhtälön osassa eikä sitä tarvitse siirtää.

A x=b muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään seuraavaa algoritmia:

• Jos a=0 ja b=0 , niin yhtälöllä on äärettömän monta juuria, jotka ovat mitä tahansa lukuja.
• Jos a=0 ja b≠0 , niin alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.
• Jos a on muu kuin nolla, niin yhtälön molemmat puolet jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla a, josta löytyy yhtälön ainoa juuri, joka on yhtä suuri kuin b / a.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta

Jatketaan harjoittelua. Analysoidaan kuinka lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmia sovelletaan. Esitetään tyypillisten esimerkkien ratkaisut, jotka vastaavat lineaaristen yhtälöiden kertoimien erilaisia ​​arvoja.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälö 0 x−0=0 .

Ratkaisu.

Tässä lineaarisessa yhtälössä a=0 ja b=−0 , joka on sama kuin b=0 . Siksi tällä yhtälöllä on äärettömän monta juuria, mikä tahansa luku on tämän yhtälön juuri.

Vastaus:

x on mikä tahansa luku.

Esimerkki.

Onko lineaarisella yhtälöllä 0 x+2,7=0 ratkaisuja?

Ratkaisu.

Tässä tapauksessa kerroin a on nolla, ja tämän lineaarisen yhtälön kerroin b on yhtä suuri kuin 2,7, eli se on eri kuin nolla. Siksi lineaarisella yhtälöllä ei ole juuria.

Lineaariset yhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt eivät ole koulumatematiikan vaikein aihe. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Selvitetäänkö se?)

Lineaarinen yhtälö määritellään yleensä yhtälöksi, jonka muoto on:

kirves + b = 0 missä a ja b- mitkä tahansa numerot.

2x + 7 = 0. Tässä a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tässä a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tässä a=12, b = 1/2

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja"... Ja jos huomaat, mutta ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi, jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos sanotaan, a=0, a b = 5, siitä tulee jotain aivan absurdia:

Mikä rasittaa ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä ​​...) Varsinkin kokeissa. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme kuinka se tehdään. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö ulkonäöltään? Se riippuu ulkonäöstä.) Temppu on siinä, että lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain muodon yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka on pelkistetty tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, vähennetäänkö sitä vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Sanotaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain tuntemattomia ensimmäisessä asteessa, kyllä ​​numerot. Ja yhtälö ei murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murtoluku - siinä se! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä, eikä nimittäjissä ole x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö

ei voida kutsua lineaariksi. Tässä x:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta siellä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön ja toisen asteen ja mitä tahansa haluat.

Osoittautuu, että on mahdotonta löytää lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin melkein ratkaiset sen. Se on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävissä yhtälöt ovat järjestyksessä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu identtisistä yhtälöiden muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat ratkaisujen taustalla kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen päätös minkä tahansa Yhtälö alkaa samoilla muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) näiden muunnosten kohdalla päättyy täysimittaiseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö.

x - 3 = 2 - 4x

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisellä potenssilla, X:llä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa emme välitä, mikä yhtälö on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki, jossa on x:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman x:iä (numeroita) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä - 4x vasemmalle puolelle, tietysti merkin vaihdolla, mutta - 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Joten he eivät seuranneet linkkiä, mutta turhaan ...) Saamme:

x + 4x = 2 + 3

Annamme samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme ollaksemme täysin onnellisia? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme molemmat yhtälön osat 5:llä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin tässä identtiset muunnokset? OK. Tartumme härkää sarvista.) Päätetään jotain vaikuttavampaa.

Tässä on esimerkiksi tämä yhtälö:

Mistä aloitamme? X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Ja voit heti, universaalilla ja tehokkaalla tavalla. Ellei tietenkään arsenaalissasi ole identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä eniten tässä yhtälössä?

95 ihmistä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Aloitamme siis heti toinen identtinen muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? Mutta matematiikan avulla voimme kertoa molemmat puolet sama numero. Miten pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten kolme pienenee ja neljä. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:

Hakasulkeiden laajentaminen:

Merkintä! Osoittaja (x+2) Otin suluissa! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan kokonaisuudella, kokonaan! Ja nyt voit pienentää murtolukuja ja vähentää:

Loput sulkeet avataan:

Ei esimerkki, vaan puhdas ilo!) Nyt muistamme loitsun alemmista luokista: x:llä - vasemmalle, ilman x:tä - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Tässä muutamia kuten:

Ja jaamme molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:

Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön miellyttävään muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identtisiä muunnoksia- käännös vasen-oikea etumerkin muutoksella ja yhtälön kerto-jakalla samalla luvulla. Tämä on universaali tapa! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti mikä tahansa. Siksi toistan näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä identtisten muunnosten avulla, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta... Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa vahvaan umpikujaan...) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Yllätys ensin.

Oletetaan, että törmäät perusyhtälöön, kuten:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Hieman tylsistyneenä siirrymme X:llä vasemmalle, ilman X:llä - oikealle ... Etumerkin vaihdolla kaikki on leuka-chinaaria ... Saamme:

2x-5x+3x=5-2-3

Me uskomme, ja ... voi! Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Nolla on todella nolla. Mutta X on poissa! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mitä x on yhtä suuri. Muuten ratkaisua ei lasketa, kyllä...) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on oikea tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, missä oikein?! On vielä selvitettävä, millä x:llä tämä saadaan. Millä x:n arvoilla voidaan korvata alkukirjain yhtälö, jos nämä x:t vieläkin kutistuu nollaan?Älä viitsi?)

Joo!!! X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitä haluat. Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa x-arvot alkukirjain yhtälö ja laske. Koko ajan saadaan puhdas totuus: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x on mikä tahansa luku.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Yllätys kakkosena.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

2x+1=5x+5 - 3x -2

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaisi lineaarisen yhtälön, sai kummallisen yhtälön. Matemaattisesti sanottuna meillä on väärä tasa-arvo. Ja yksinkertaisesti sanottuna tämä ei ole totta. Rave. Mutta tästä huolimatta tämä hölynpöly on varsin hyvä syy yhtälön oikeaan ratkaisuun.)

Ajattelemme jälleen yleisten sääntöjen pohjalta. Mitä x, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille oikea tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​x:iä ei ole olemassa. Mitä tahansa korvaatkin, kaikki vähenee, hölynpölyä jää.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin pätevä vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia esiintyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että X:iden menetys minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisemisessa ei häiritse sinua ollenkaan. Asia on tuttu.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki lineaaristen yhtälöiden sudenkuopat, on järkevää ratkaista ne.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Venäjän federaation yleisen ja ammatillisen koulutuksen ministeriö

Kunnallinen oppilaitos

Kuntosali nro 12

essee

aiheesta: Yhtälöt ja niiden ratkaisutavat

Valmistunut: opiskelija 10 "A" luokka

Krutko Jevgeni

Tarkastettu: matematiikan opettaja Iskhakova Gulsum Akramovna

Tjumen 2001

Suunnitelma................................................. ................................................... . ............................... yksi

Johdanto .................................................. ................................................ .. ...................... 2

Pääosa................................................ ................................................... . .............. 3

Johtopäätös................................................ ................................................... . ................ 25

Hakemus................................................ ................................................... . ............... 26

Lista viitteistä ................................................ ................................................................ ... 29

Suunnitelma.

Johdanto.

Historiallinen viittaus.

Yhtälöt. Algebralliset yhtälöt.

a) Perusmääritelmät.

b) Lineaarinen yhtälö ja sen ratkaiseminen.

c) Neliöyhtälöt ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

d) Kaksitermiyhtälöt, tapa ratkaista ne.

e) Kuutioyhtälöt ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

f) Bikvadraattinen yhtälö ja sen ratkaisumenetelmä.

g) Neljännen asteen yhtälöt ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

g) Korkeiden asteiden yhtälöt ja menetelmät ratkaisusta.

h) Rationaalinen algebrallinen yhtälö ja sen menetelmä

i) Irrationaaliset yhtälöt ja sen ratkaisumenetelmät.

j) Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman merkin alla.

itseisarvo ja miten se ratkaistaan.

Transsendenttiset yhtälöt.

a) Eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

b) Logaritmiset yhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

Johdanto

Yleiskoulussa hankittu matemaattinen koulutus on olennainen osa yleissivistystä ja nykyajan ihmisen yleistä kulttuuria. Melkein kaikki, mikä nykyajan ihmistä ympäröi, liittyy tavalla tai toisella matematiikkaan. Ja fysiikan, tekniikan ja tietotekniikan viimeisimmät edistysaskeleet eivät jätä epäilystäkään siitä, että tulevaisuudessa tilanne pysyy ennallaan. Siksi monien käytännön ongelmien ratkaisu rajoittuu erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jotka on opittava ratkaisemaan.

Tämä työ on yritys yleistää ja systematisoida tutkittua materiaalia yllä olevasta aiheesta. Olen järjestänyt materiaalin sen monimutkaisuuden mukaan, alkaen yksinkertaisimmasta. Se sisältää sekä algebran koulukurssilta tuttuja yhtälötyyppejä että lisämateriaalia. Samalla yritin näyttää sellaisia ​​yhtälötyyppejä, joita ei opiskella koulukurssilla, mutta joiden tuntemusta voi tarvita korkeakouluun tullessa. Työssäni yhtälöitä ratkaiseessani en rajoittunut vain todelliseen ratkaisuun, vaan osoitin myös monimutkaisen ratkaisun, koska uskon, että yhtälöä ei muuten yksinkertaisesti ratkaista. Loppujen lopuksi, jos yhtälössä ei ole todellisia juuria, tämä ei tarkoita, että sillä ei olisi ratkaisuja. Valitettavasti en ajanpuutteen vuoksi päässyt esittelemään kaikkea hallussani olevaa materiaalia, mutta vaikka tässä esitellyssä materiaalissakin, monia kysymyksiä saattaa herätä. Toivon, että tietoni riittää vastaamaan useimpiin kysymyksiin. Joten aion esitellä materiaalin.

Matematiikka... paljastaa järjestyksen

symmetria ja varmuus,

ja nämä ovat tärkeimpiä kauneuden muotoja.

Aristoteles.

Historiallinen viittaus

Noina kaukaisina aikoina, kun viisaat alkoivat ajatella tasa-arvoja, jotka sisälsivät tuntemattomia määriä, ei luultavasti vielä ollut kolikoita tai lompakkoa. Mutta toisaalta, siellä oli kasoja, samoin kuin ruukkuja, koreja, jotka sopivat täydellisesti kätkö-kauppojen rooliin, joissa oli tuntematon määrä esineitä. "Etsimme kasaa, joka yhdessä kahden kolmasosan, puolen ja yhden seitsemäsosan, kanssa on 37 ...", egyptiläinen kirjuri Ahmes opetti II vuosituhannella eKr. Mesopotamian, Intian, Kiinan ja Kreikan muinaisissa matemaattisissa ongelmissa tuntemattomat määrät ilmaisivat riikinkukkojen lukumäärän puutarhassa, härkien lukumäärää laumassa, omaisuutta jaettaessa huomioon otettujen asioiden kokonaisuutta. Kirjanoppineet, virkamiehet ja papit, jotka olivat vihitty salaiseen tietoon, jotka olivat hyvin koulutettuja laskentatieteeseen, selviytyivät tällaisista tehtävistä melko menestyksekkäästi.

Meille tulleet lähteet osoittavat, että muinaisilla tiedemiehillä oli joitain yleisiä menetelmiä tuntemattomien määrien ongelmien ratkaisemiseksi. Kuitenkaan yksikään papyrus, yksikään savitaulu ei anna kuvausta näistä tekniikoista. Kirjoittajat vain ajoittain toimittivat numeerisia laskelmiaan ilkeillä kommenteilla, kuten: "Katso!", "Tee se!", "Löysit sen oikein." Tässä mielessä poikkeus on kreikkalaisen matemaatikon Diophantus Aleksandrialaisen (III vuosisadan) "aritmetiikka" - kokoelma yhtälöiden laatimiseen tarkoitettuja ongelmia ja niiden ratkaisujen systemaattinen esitys.

800-luvun Bagdad-tutkijan työstä tuli kuitenkin ensimmäinen laajalti tunnetuksi tullut ongelmien ratkaisukäsikirja. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sana "al-jabr" tämän tutkielman arabiankielisestä nimestä - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Restauroinnin ja kontrastin kirja") - muuttui ajan myötä sanaksi "algebra", joka on kaikkien tiedossa, ja itse al-Khwarizmin työ toimi lähtökohtana yhtälöiden ratkaisemisen tieteen kehitykselle.

yhtälöt. Algebralliset yhtälöt

Perusmääritelmät

Algebrassa tarkastellaan kahdenlaisia ​​yhtäläisyyksiä - identiteettejä ja yhtälöitä.

Identiteetti on yhtäläisyys, joka pätee kirjainten kaikkiin (sallittuihin) arvoihin). Henkilöllisyyden kirjoittaminen merkin mukana

merkkiä käytetään myös.

Yhtälö- tämä on yhtäläisyys, joka täyttyy vain joillekin siihen sisältyvien kirjainten arvoille. Yhtälöön sisältyvät kirjaimet voivat ongelman ehdon mukaan olla eriarvoisia: jotkut voivat ottaa kaikki sallitut arvonsa (niitä kutsutaan ns. parametrit tai kertoimet yhtälöt ja niitä merkitään yleensä latinalaisten aakkosten ensimmäisillä kirjaimilla:

, , ... – tai samat kirjaimet indekseillä: , , ... tai , , ...); kutsutaan muita, joiden arvot ovat löydettävissä tuntematon(ne merkitään yleensä latinalaisten aakkosten viimeisillä kirjaimilla: , , , ... - tai samoilla kirjaimilla, jotka on varustettu indekseillä: , , ... tai , , ...).

Yleisesti ottaen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(, , ..., ).

Tuntemattomien lukumäärästä riippuen yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on yksi, kaksi jne. tuntematonta.

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tavoitteet:

Opetusohjelmat:

• Yleistä tietoa kaikentyyppisistä yhtälöistä, korostaa kaikkien yhtälöiden ratkaisemisessa käytettyjen menetelmien merkitystä.
• Opiskelijoiden työn aktivointi erilaisten tekniikoiden avulla luokkahuoneessa.
• Testaa teoreettisia ja käytännön taitoja yhtälöiden ratkaisemisessa.
• Huomioi, että yksi yhtälö voidaan ratkaista monella tavalla

Kehitetään:

• Lisää opiskelijoiden kiinnostusta aiheeseen ICT:n avulla.
• Opiskelijoiden tutustuttaminen aiheeseen liittyvään historialliseen aineistoon.
• Henkisen toiminnan kehittäminen yhtälön tyypin määrittämisessä ja sen ratkaisemiseksi.

Koulutuksellinen:

• Kasvata kurinalaisuutta luokkahuoneessa.
• Kehitetään kykyä havaita kaunista, itsessään, toisessa ihmisessä ja ympäröivässä maailmassa.

Oppitunnin tyyppi:

• Tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Oppitunnin tyyppi:

• Yhdistetty.

Materiaali ja tekniset varusteet:

• Tietokone
• Näyttö
• Projektori
• Levy teemaesittelyllä

Menetelmät ja tekniikat:

• Esityksen käyttäminen
• Frontaalinen keskustelu
• suullinen työ
• Pelin hetkiä
• Työskennellä pareittain
• Valkotaulutyö
• Työskentele muistikirjoissa

Tuntisuunnitelma:

1. Organisatorinen hetki (1 minuutti)
2. Oppitunnin aiheen tulkinta (3 minuuttia)
3. Oppitunnin aiheen ja tarkoituksen esittely (1 minuutti)
4. Teoreettinen lämmittely (3 minuuttia)
5. Historiallinen retki (3 minuuttia)
6. Peli "Poista ylimääräinen" (2 minuuttia)
7. Luova työ (2 minuuttia)
8. Tehtävä "Etsi virhe" (2 minuuttia)
9. Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla (dialla) (3 minuuttia)
10. Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla (taululla) (24 minuuttia)
11. Itsenäinen työskentely pareittain lisäselvityksellä (5 minuuttia)
12. Yksilölliset kotitehtävät (1 minuutti)
13. Reflektiotunnin tulos (1 minuutti)

Oppitunnin epigrafi:

"Oppiminen voi olla vain hauskaa, jotta tiedon sulattaminen onnistuu, se on omaksuttava ruokahalulla."
A. Ranska

Oppitunnin yhteenveto

Organisatorinen osa

Tarkistan oppilaiden valmiuden oppitunnille, merkitsen tunnilta poissaolevat. Kaverit, 1800-luvun ranskalainen kirjailija, A. France, huomautti kerran: "Oppiminen voi olla vain hauskaa, jotta tietämyksen sulattaminen on välttämätöntä, sinun on omaksuttava se ruokahalulla." Noudatetaan siis oppitunnillamme kirjoittajan neuvoja ja sulatetaan tietoa suurella ruokahalulla, koska niistä on hyötyä elämässämme.

Oppitunnin aiheen selvittäminen

Jotta voisimme siirtyä vaikeampaan tehtävään, venytetään aivojamme yksinkertaisilla tehtävillä. Tuntimme aihe on salattu, ratkaisemalla suullisia tehtäviä ja etsimällä niihin vastaus, tietäen, että jokaisella vastauksella on oma kirjain, paljastamme oppitunnin aiheen. Esityksen dia 3

Viesti oppitunnin aiheesta ja tarkoituksesta

Nimesit itse tämän päivän oppitunnin aiheen

"Yhtälötyypit ja niiden ratkaisutavat". Esityksen dia 4

Tarkoitus: Hakea mieleen ja yleistää kaikentyyppisiä yhtälöitä ja niiden ratkaisemista. Ratkaise yksi yhtälö kaikilla tavoilla. Esitysdia 5 Lue Einsteinin lausunto Esitysdia 5

Teoreettinen lämmittely

Kysymyksiä Esityksen dia 7

Vastaukset

1. Yhtälö, joka sisältää muuttujan, joka on merkitty jollain kirjaimella.
2. Tämä tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä tai sen todistamista, ettei juuria ole.
3. Sen muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee todellinen yhtälö.
4. Lue tämän määritelmän jälkeen runo yhtälöstä Esitysdia 12,13,14

Vastaukset kahteen viimeiseen kysymykseen Esitysdia 9,10,11

Historiallinen poikkeama

Historiallinen huomautus aiheesta "Kuka ja milloin keksi yhtälön" Esityksen dia 15

Kuvittele, että primitiivinen äiti nimeltä ... mutta hänellä ei todennäköisesti ollut edes nimeä, hän poimi puusta 12 omenaa antaakseen jokaiselle 4 lapselleen. Hän ei luultavasti osannut laskea 12:een, vaan myös neljään, eikä varmastikaan osannut jakaa 12:ta neljällä. Ja hän jakoi omenat, luultavasti näin: ensin hän antoi jokaiselle lapselle omena, sitten toinen omena, sitten toinen yksin ja sitten näin, että omenoita ei enää ollut ja lapset olivat onnellisia. Jos kirjoitamme nämä toimet nykyaikaisella matemaattisella kielellä, saamme x4 = 12, eli äiti ratkaisi yhtälön laatimisongelman. Vaikuttaa mahdottomalta vastata yllä olevaan kysymykseen. Ongelmia, jotka johtavat yhtälöiden ratkaisuun, ihmiset ovat ratkaisseet terveen järjen pohjalta ihmisiksi tulemisesta lähtien. Jo 3-4 tuhatta vuotta eKr. egyptiläiset ja babylonialaiset pystyivät ratkaisemaan yksinkertaisimmat yhtälöt, joiden muoto ja ratkaisumenetelmät eivät olleet samanlaisia ​​kuin nykyajan. Kreikkalaiset perivät egyptiläisten tiedon ja menivät pidemmälle. Suurimman menestyksen yhtälödoktriinin kehittämisessä saavutti kreikkalainen tiedemies Diophantus (III vuosisata), josta he kirjoittivat:

Hän ratkaisi monia ongelmia.
Ja ennustettuja hajuja ja suihkuja.
Todellakin, hänen tietonsa on ihmeellistä.

Keski-Aasialainen matemaatikko Muhammad al Khorezmi (800-luku) antoi suuren panoksen yhtälöiden ratkaisuun. Hänen kuuluisa kirjansa al-Khwarizmi on omistettu yhtälöiden ratkaisemiseen. Sitä kutsutaan nimellä "Kitab al-jabr wal-muqabala", eli "Täydentämisen ja vastakohtaisuuden kirja". Tämä kirja tuli tunnetuksi eurooppalaisille, ja sen nimestä peräisin olevasta sanasta "al-jabr" tuli sana "algebra" - yhden matematiikan pääosien nimi. Tulevaisuudessa monet matemaatikot käsittelivät yhtälöongelmia. 1400-luvulla elänyt saksalainen matemaatikko Stiefel muotoili yleissäännön neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi muotoon x2+in=0. Hollantilaisen matemaatikon Girardin (XVI vuosisadan) sekä Descartesin ja Newtonin teosten jälkeen ratkaisumenetelmä sai modernin ilmeen. Kaavat, jotka ilmaisevat yhtälön juurien riippuvuuden sen kertoimista, esitteli Vieta. François Viet eli 1500-luvulla. Hän antoi suuren panoksen matematiikan ja tähtitieteen eri ongelmien tutkimiseen; erityisesti hän otti käyttöön kirjainmerkityksiä yhtälön kertoimille. Ja nyt tutustumme mielenkiintoiseen episodiin hänen elämästään. Viet sai suurta mainetta kuningas Henrik III:n aikana Ranskan ja Espanjan sodan aikana. Espanjalaiset inkvisiittorit keksivät erittäin monimutkaisen salaisen käsikirjoituksen, jonka ansiosta espanjalaiset olivat kirjeenvaihdossa Henry III:n vihollisten kanssa jopa Ranskassa.

Turhaan ranskalaiset yrittivät löytää salausavaimen, ja sitten kuningas kääntyi Vietan puoleen. Sanotaan, että Viet löysi salausavaimen kahden viikon jatkuvassa työssä, jonka jälkeen Espanjalle yllättäen Ranska alkoi voittaa taistelun toisensa jälkeen. Koska espanjalaiset olivat varmoja siitä, että salauksen tulkitseminen oli mahdotonta, espanjalaiset syyttivät Vietaa yhteydestä paholaisen kanssa ja tuomitsi hänet poltettavaksi roviolla. Onneksi häntä ei luovutettu inkvisitiolle ja hän meni historiaan suurena matemaatikkona.

Peli "Poista ylimääräinen"

Pelin tarkoitus suuntaus yhtälöiden muodossa.

Saamme kolme yhtälösaraketta, joissa jokaisessa yhtälöt määräytyvät jonkin ominaisuuden mukaan, mutta yksi niistä on tarpeeton, sinun tehtäväsi on löytää ja karakterisoida se. Esityksen dia 16

luovaa työtä

Tehtävän tarkoitus: Matemaattisen puheen suuntautumisen ymmärtäminen yhtälöiden muodossa.

Näytöllä näkyy 9 yhtälöä. Jokaisella yhtälöllä on oma numeronsa, nimeän tämän yhtälön tyypin, ja sinun on löydettävä tämän tyyppinen yhtälö ja laitettava vain numero, jonka alla se on, tuloksena saat 9-numeroisen luvun Esitysdia 17

1. Pelkistetty toisen asteen yhtälö.
2. Murtolukuinen rationaalinen yhtälö
3. kuutio yhtälö
4. logaritminen yhtälö
5. Lineaarinen yhtälö
6. Epätäydellinen toisen asteen yhtälö
7. eksponentiaalinen yhtälö
8. irrationaalinen yhtälö
9. trigonometrinen yhtälö

Tehtävä "Etsi virhe"

Yksi oppilas ratkaisi yhtälöitä, mutta koko luokka nauroi, hän teki virheen jokaisessa yhtälössä, sinun tehtäväsi on löytää se ja korjata se. Esityksen dia 18

Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla

Ja nyt ratkaisemme yhden yhtälön kaikilla mahdollisilla tavoilla säästääksemme aikaa oppitunnilla, yksi yhtälö näytöllä. Nimeä nyt tämän yhtälön tyyppi ja selitä millä menetelmällä tämä yhtälö ratkaistaan. Esitysdiat 19-27

Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla (taululla)

Katsoimme esimerkkiä, nyt ratkaistaan ​​yhtälö taululla kaikilla mahdollisilla tavoilla.

X-2 - irrationaalinen yhtälö

Neliötetään yhtälön molemmat puolet.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Ratkaisemme tämän yhtälön taululla 9 tavalla.

Itsenäinen työskentely pareittain, jota seuraa selitys taululle

Ja nyt työskentelet pareittain, annan yhtälön pöydälle, sinun tehtäväsi on määrittää yhtälön tyyppi, luetella kaikki tavat ratkaista tämä yhtälö, ratkaista 1-2 rationaalisimmilla tavoilla. (2 minuuttia)

Tehtävät parityöskentelyyn

Ratkaise yhtälö

Itsenäisen parin työskentelyn jälkeen yksi edustaja menee hallitukseen, esittelee yhtälönsä, ratkaisee sen yhdellä tavalla

Yksilölliset kotitehtävät(erilainen)

Ratkaise yhtälö

(määritä yhtälön tyyppi, ratkaise kaikin keinoin erilliselle arkille)

Yhteenveto reflektiotunnista.

Teen oppitunnin yhteenvedon, kiinnitän huomion siihen, että yhtä yhtälöä voi ratkaista monella tapaa, annan arvosanat, päätän kuka oli aktiivinen ja kenen pitää olla aktiivisempi. Luin Kalininin lausunnon Esityksen dia 28

Tarkastele huolellisesti tavoitteita, jotka olemme asettaneet tämän päivän oppitunnille:

• Mitä mielestäsi olemme pystyneet tekemään?
• Mikä ei mennyt hyvin?
• Mistä pidit erityisesti ja jäi mieleen?
• Tänään opin jotain uutta...
• Oppitunti auttoi minua...
• Se oli minulle vaikeaa...
• Nautin oppitunnista...

Kirjallisuus.

1. Dorofejev G.V. "Tehtävien kokoelma matematiikan kirjallisen kokeen suorittamiseksi lukion kurssille" - M .: Drofa, 2006.
2. Garner Martin. Matemaattisia pulmia ja hauskaa.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktiset materiaalit algebrasta ja analyysin alkuvaiheista 10. luokalle, 11. luokalle. M.: Valaistuminen. 2002.