G. Glaser,
Venäjän koulutusakatemian akateemikko, Moskova

Pythagoraan lauseesta ja sen todistamisesta

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa...

Tämä on yksi antiikin tunnetuimmista geometrisista teoreemoista, nimeltään Pythagoraan lause. Sen tuntevat edelleen lähes kaikki planimetriaa koskaan opiskelleet. Minusta näyttää siltä, ​​että jos haluamme kertoa maan ulkopuolisille sivilisaatioille älykkään elämän olemassaolosta maan päällä, meidän pitäisi lähettää kuva Pythagoralaisesta hahmosta avaruuteen. Uskon, että jos ajattelevat olennot voivat hyväksyä tämän tiedon, he ymmärtävät ilman monimutkaista signaalidekoodausta, että maan päällä on melko kehittynyt sivilisaatio.

Kuuluisa kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Pythagoras Samoksen, jonka mukaan lause on nimetty, eli noin 2,5 tuhatta vuotta sitten. Pythagoraksen meille tulleet elämäkerralliset tiedot ovat hajanaisia ​​ja kaukana luotettavasta. Hänen nimeensä liittyy monia legendoja. Tiedetään aidosti, että Pythagoras matkusti paljon idän maissa, vieraili Egyptissä ja Babylonissa. Yhdessä Etelä-Italian kreikkalaisista siirtomaista hän perusti kuuluisan "Pytagoraan koulun", jolla oli tärkeä rooli antiikin Kreikan tieteellisessä ja poliittisessa elämässä. Pythagoraksen ansioksi kuuluu hyvin tunnetun geometrisen lauseen todistaminen. Kuuluisten matemaatikoiden (Proclus, Plutarch jne.) levittämien legendojen perusteella uskottiin pitkään, että tätä lausetta ei tiedetty ennen Pythagorasta, joten nimi - Pythagoran lause.

Ei ole epäilystäkään siitä, että tämä lause tunnettiin monta vuotta ennen Pythagorasta. Joten 1500 vuotta ennen Pythagorasta muinaiset egyptiläiset tiesivät, että kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5, on suorakaiteen muotoinen, ja käyttivät tätä ominaisuutta (eli Pythagoraan käänteistä lausetta) suorien kulmien rakentamiseen suunnitellessaan tontteja ja rakennuksia. Ja vielä nykyäänkin maaseudun rakentajat ja kirvesmiehet, jotka laskevat kotalle perustan ja tekevät sen yksityiskohtia, piirtävät tämän kolmion oikean kulman saamiseksi. Sama asia tehtiin tuhansia vuosia sitten upeiden temppelien rakentamisessa Egyptissä, Babylonissa, Kiinassa ja luultavasti Meksikossa. Vanhimpaan meille tulleeseen kiinalaiseen matemaattiseen ja tähtitieteelliseen teokseen, Zhou-bi, joka on kirjoitettu noin 600 vuotta ennen Pythagorasta, muiden suorakulmaiseen kolmioon liittyvien lauseiden ohella on myös Pythagoran lause. Jo aikaisemmin tämä lause oli hindujen tiedossa. Pythagoras ei siis löytänyt tätä suorakulmaisen kolmion ominaisuutta, vaan hän oli luultavasti ensimmäinen, joka yleisti ja todisti sen siirtäen sen siten käytännön alalta tieteen kentälle. Emme tiedä, kuinka hän teki sen. Jotkut matematiikan historioitsijat olettavat, että Pythagoraan todiste ei kuitenkaan ollut perustavanlaatuinen, vaan vain vahvistus, tämän ominaisuuden varmistus useissa tietyntyyppisissä kolmioissa, alkaen tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa, jolle se ilmeisesti seuraa kuvasta 1. yksi.

FROM Muinaisista ajoista lähtien matemaatikot ovat löytäneet yhä enemmän todisteita Pythagoraan lauseesta, yhä enemmän ideoita sen todisteille. Tällaisia ​​todisteita - enemmän tai vähemmän tiukkoja, enemmän tai vähemmän visuaalisia - tunnetaan yli puolitoista sataa, mutta halu lisätä niiden määrää on säilynyt. Uskon, että Pythagoraan lauseen todisteiden itsenäinen "löytö" on hyödyllinen nykyaikaisille koululaisille.

Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä todisteista, jotka voivat viitata tällaisten hakujen suuntaan.

Pythagoraan todiste

"; Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden summa. "; Lauseen yksinkertaisin todistus saadaan tasakylkisen suorakulmaisen kolmion yksinkertaisimmassa tapauksessa. Luultavasti lause alkoi hänestä. Todellakin, riittää vain katsoa tasakylkisten suorakulmaisten kolmioiden laatoitusta nähdäksesi, että lause on totta. Esimerkiksi DABC:lle: hypotenuusalle rakennettu neliö AU, sisältää 4 alkukolmiota ja jalkoihin kahdella rakennettuja neliöitä. Lause on todistettu.

Todistukset perustuvat samankokoisten kuvien käsitteen käyttöön.

Samalla voidaan tarkastella todisteita siitä, että tietyn suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö "koostuu" samoista hahmoista kuin jalkoihin rakennetut neliöt. Voidaan harkita myös sellaisia ​​todisteita, joissa käytetään kuvioiden termien permutaatiota ja otetaan huomioon joukko uusia ideoita.

Kuvassa 2 esittää kaksi yhtä suurta neliötä. Kunkin neliön sivujen pituus on a + b. Jokainen neliö on jaettu osiin, jotka koostuvat neliöistä ja suorakulmaisista kolmioista. On selvää, että jos vähennämme neliöalasta suorakulmaisen kolmion, jossa on jalat a, b nelinkertainen pinta-ala, jää yhtä suuret alueet, eli c 2 \u003d a 2 + b 2. Muinaiset hindut, joille tämä päättely kuuluu, eivät kuitenkaan yleensä kirjoittaneet sitä muistiin, vaan seurasivat piirustusta vain yhdellä sanalla: "Katso!" On täysin mahdollista, että Pythagoras tarjosi saman todisteen.

lisätodisteita.

Nämä todistukset perustuvat jaloille rakennettujen neliöiden hajoamiseen hahmoiksi, joista on mahdollista lisätä hypotenuusalle rakennettu neliö.

Tässä: ABC on suorakulmainen kolmio, jossa on oikea kulma C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Todista itse jaloille ja hypotenuusalle rakennetut neliöt jakamalla saatujen kolmioiden pareittainen yhtäläisyys.

Todista lause tällä osiolla.

 Al-Nairiziyan todistuksen perusteella tehtiin toinen neliöiden jako pareittain yhtäläisiksi luvuiksi (kuva 5, tässä ABC on suorakulmainen kolmio, jonka kulma on C).

 Toinen todistus neliöiden jakamisesta yhtä suuriin osiin, nimeltään "pyörä, jossa on terät", on esitetty kuvassa. 6. Tässä: ABC on suorakulmainen kolmio, jonka kulma on C; O - suurelle jalalle rakennetun neliön keskus; pisteen O kautta kulkevat katkoviivat ovat kohtisuorassa tai yhdensuuntaisia ​​hypotenuusan kanssa.

 Tämä neliöiden jakautuminen on mielenkiintoinen siinä mielessä, että sen pareittain yhtä suuret nelikulmiot voidaan kuvata toisiinsa rinnakkaissiirrolla. Monia muita Pythagoraan lauseen todisteita voidaan tarjota käyttämällä neliöiden jakamista kuvioiksi.

Todistukset laajennusmenetelmällä.

Tämän menetelmän ydin on, että jalkoihin rakennettuihin neliöihin ja hypotenuusalle rakennettuun neliöön kiinnitetään yhtä suuret luvut siten, että saadaan yhtä suuret luvut.

Pythagoraan lauseen pätevyys seuraa kuusikulmioiden AEDFPB ja ACBNMQ yhtä suuresta koosta. Tässä CEP, viiva EP jakaa kuusikulmion AEDFPB kahdeksi tasa-alaiseksi nelikulmioksi, viiva CM jakaa kuusikulmion ACBNMQ kahdeksi tasa-alaiseksi nelikulmioksi; tason 90° kierto keskipisteen A ympäri kartoittaa nelikulmion AEPB nelikulmioon ACMQ.

Kuvassa 8 Pythagoraan hahmo täydennetään suorakulmioksi, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset jalkoihin rakennettujen neliöiden vastaavien sivujen kanssa. Jaetaan tämä suorakulmio kolmioiksi ja suorakulmioiksi. Ensin vähennämme tuloksena olevasta suorakulmiosta kaikki polygonit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jolloin hypotenuusalle jää neliö. Sitten samasta suorakulmiosta vähennetään suorakulmiot 5, 6, 7 ja varjostetut suorakulmiot, saadaan jalkoihin rakennettuja neliöitä.

Osoittakaamme nyt, että ensimmäisessä tapauksessa vähennetyt luvut ovat kooltaan yhtä suuria kuin toisessa tapauksessa vähennetyt luvut.

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

näin ollen c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2.

Algebrallinen todistusmenetelmä.

	Riisi. 12 havainnollistaa todistusta suuresta intialaisesta matemaatikosta Bhaskarista (kuuluisa Lilavati, X. 2. vuosisadalla). Piirustukseen liittyi vain yksi sana: KATSO! Pythagoraan lauseen algebrallisen menetelmän todistusten joukossa samankaltaisuutta käyttävä todistus on ensimmäinen paikka (ehkä vanhin).
	Esitetään nykyaikaisessa esityksessä yksi sellaisista Pythagoralle kuuluvasta todisteesta.

H ja fig. 13 ABC - suorakaiteen muotoinen, C - suora kulma, CMAB, b 1 - jalan b projektio hypotenuusalle, a 1 - jalan a projektio hypotenuusalle, h - hypotenuusaan piirretyn kolmion korkeus.

Siitä tosiasiasta, että ABC on samanlainen kuin ACM, se seuraa

b 2 \u003d cb 1; (yksi)

siitä, että ABC on samanlainen kuin BCM, se seuraa

a 2 = noin 1. (2)

Lisäämällä yhtäläisyydet (1) ja (2) termi kerrallaan saadaan a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jos Pythagoras todella tarjosi tällaisen todisteen, hän tunsi myös joukon tärkeitä geometrisia lauseita, jotka nykyaikaiset matematiikan historioitsijat tavallisesti pitävät Eukleideen ansioksi.

Möllmannin todistus (kuva 14). Tämän suorakulmaisen kolmion pinta-ala on toisaalta yhtä suuri, missä p on kolmion puolikehä, r on siihen piirretyn ympyrän säde Meillä on:

mistä seuraa, että c 2 =a 2 +b 2 .

toisessa

Yhtälöimällä nämä lausekkeet saadaan Pythagoraan lause.

Yhdistetty menetelmä

Kolmioiden yhtäläisyys

c2 = a2 + b2. (3)

Vertaamalla suhteita (3) ja (4) saamme sen

c 1 2 = c 2 tai c 1 = c.

Näin ollen kolmiot - annetut ja rakennetut - ovat yhtä suuret, koska niillä on kolme vastaavasti yhtä suurta sivua. Kulma C 1 on oikea, joten myös tämän kolmion kulma C on oikea.

Muinaiset intialaiset todisteet.

Muinaisen Intian matemaatikot huomasivat, että Pythagoraan lauseen todistamiseksi riittää käyttää muinaisen kiinalaisen piirustuksen sisäosaa. 1900-luvun suurimman intialaisen matemaatikon palmunlehdille kirjoittamassa tutkielmassa "Siddhanta Shiromani" ("Tiedon kruunu"). Bha-skara asetti piirustuksen (kuva 4)

intialaisille todisteille ominaista - sana "katso!". Kuten näette, suorakulmaiset kolmiot on pinottu tähän niin, että niiden hypotenuusa on ulospäin ja neliö Kanssa 2 siirtynyt "morsiamen nojatuoliin" Kanssa 2 -b 2 . Huomaa, että Pythagoraan lauseen erikoistapaukset (esimerkiksi neliön rakentaminen, jonka pinta-ala on kaksi kertaa suurempi kuva 4 tämän neliön alue) löytyvät muinaisesta intialaisesta tutkielmasta "Sulva";

He ratkaisivat suorakulmaisen kolmion ja sen jaloille rakennetut neliöt, eli toisin sanoen 16 identtisen tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hahmot, jotka sopivat siten neliöön. Se on lilja. pieni osa antiikin matematiikan helmen - Pythagoraan lauseen - kätketyistä rikkauksista.

Muinaiset kiinalaiset todisteet.

Muinaisen Kiinan matemaattiset tutkielmat ovat tulleet meille 2. vuosisadan painoksessa. eKr. Tosiasia on, että vuonna 213 eKr. Kiinan keisari Shi Huang-di, joka pyrki poistamaan vanhat perinteet, määräsi polttamaan kaikki muinaiset kirjat. Vuonna P c. eKr. paperi keksittiin Kiinassa, ja samalla alkoi muinaisten kirjojen rekonstruktio. Tämän todistuksen avainta ei ole vaikea löytää. Todellakin, muinaisessa kiinalaisessa piirustuksessa on neljä yhtäläistä suorakulmaista kolmiota, joissa on jalat a, b ja hypotenuusa Kanssa pinottu G) niin, että niiden ulkoääriviiva muodostaa kuvassa 2 neliön sivuineen a + b, ja sisempi on hypotenuusalle rakennettu neliö, jonka sivu on c (kuva 2, b). Jos neliö, jonka sivu on c, leikataan pois ja loput 4 varjostettua kolmiota sijoitetaan kahteen suorakulmioon (kuva 2, sisään), on selvää, että tuloksena oleva tyhjyys on yhtä suuri kuin FROM 2 , ja toisaalta - Kanssa 2 +b 2 , nuo. c 2 \u003d  2 + b 2. Lause on todistettu. Huomaa, että tällaisella todistuksella ei käytetä hypotenuusan neliön sisällä olevia rakenteita, jotka näemme muinaisessa kiinalaisessa piirustuksessa (kuva 2, a). Ilmeisesti muinaisilla kiinalaisilla matemaatikoilla oli erilainen todiste. Juuri jos neliössä, jossa on sivu Kanssa kaksi varjostettua kolmiota (kuva 2, b) leikkaa irti ja kiinnitä hypotenuukset kahteen muuhun hypotenuukseen (kuva 2, G), se on helppo löytää

Tuloksena oleva hahmo, jota joskus kutsutaan "morsiamen tuoliksi", koostuu kahdesta neliöstä, joissa on sivut a ja b, nuo. c 2 == a 2 +b 2 .

H Kuva 3 toistaa piirustuksen tutkielmasta "Zhou-bi ...". Tässä otetaan huomioon Pythagoraan lause Egyptin kolmiolle, jossa on jalat 3, 4 ja hypotenuusa 5 yksikköä. Hypotenuusan neliö sisältää 25 solua ja siihen kirjoitettu neliö suuremmassa jalassa sisältää 16 solua. On selvää, että jäljellä oleva osa sisältää 9 solua. Tämä on neliö pienemmässä jalassa.

1

Shapovalova L.A. (asema Egorlykskaya, MBOU ESOSH nro 11)

1. Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa VII - VIII luokilla, opas opettajille, - M: Koulutus, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Matematiikan oppikirjan sivujen takana" Käsikirja 5-6 luokkalaisille. – M.: Enlightenment, 1989.

3. Zenkevich I.G. "Matematiikan oppitunnin estetiikka". – M.: Enlightenment, 1981.

4. Litzman V. Pythagoraan lause. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pytagoras". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Algebraoppikirjan sivujen takana". - M., 1990.

7. Zemljakov A.N. "Geometria 10. luokalla." - M., 1986.

8. Sanomalehti "Matematiikka" 17/1996.

9. Sanomalehti "Matematiikka" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Alkumatematiikan tehtäväkokoelma". - M., 1963.

11. Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematiikan käsikirja". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pytagoraan luku- ja suuruusoppi". - Novosibirsk, 1997.

13. "Oikeat luvut. Irrationaaliset ilmaisut» luokka 8. Tomskin yliopiston lehdistö. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometria" luokka 7-9. – M.: Enlightenment, 1991.

15. URL-osoite: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL-osoite: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Tänä lukuvuonna tutustuin mielenkiintoiseen lauseeseen, joka tunnettiin, kuten kävi ilmi, muinaisista ajoista:

"Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennettu neliö on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden summa."

Yleensä tämän lausunnon löytäminen johtuu antiikin kreikkalaisen filosofin ja matemaatikon Pythagoraksen (VI vuosisadalla eKr.) ansioksi. Mutta muinaisten käsikirjoitusten tutkiminen osoitti, että tämä lausunto tiedettiin kauan ennen Pythagoraan syntymää.

Ihmettelin, miksi tässä tapauksessa se liitetään Pythagoraan nimeen.

Aiheen relevanssi: Pythagoraan lauseella on suuri merkitys: sitä käytetään geometriassa kirjaimellisesti joka vaiheessa. Uskon, että Pythagoraan teokset ovat edelleen ajankohtaisia, koska minne katsommekin, kaikkialla voimme nähdä hänen mahtavien ideoidensa hedelmät modernin elämän eri aloilla.

Tutkimukseni tarkoituksena oli selvittää, kuka Pythagoras oli ja mikä suhde hänellä on tähän lauseeseen.

Tutkiessani lauseen historiaa päätin selvittää:

Onko tälle lauseelle muita todisteita?

Mikä merkitys tällä lauseella on ihmisten elämässä?

Mikä rooli Pythagoralla oli matematiikan kehityksessä?

Pythagoraan elämäkerrasta

Pythagoras Samoksen on suuri kreikkalainen tiedemies. Sen maine liittyy Pythagoraan lauseen nimeen. Vaikka tiedämme jo nyt, että tämä lause tunnettiin muinaisessa Babylonissa 1200 vuotta ennen Pythagorasta ja Egyptissä 2000 vuotta ennen häntä tunnettiin suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 3, 4, 5, kutsumme sitä edelleen tämän muinaisen kappaleen nimellä. tiedemies.

Pythagoraan elämästä ei tiedetä lähes mitään varmaa, mutta hänen nimeensä liittyy suuri joukko legendoja.

Pythagoras syntyi vuonna 570 eKr. Samoksen saarella.

Pythagoras oli komean näköinen, hänellä oli pitkä parta ja kultainen diadeem päässään. Pythagoras ei ole nimi, vaan lempinimi, jonka filosofi sai siitä, että hän puhui aina oikein ja vakuuttavasti, kuten kreikkalainen oraakkeli. (Pythagoras - "vakuuttava puhe").

Vuonna 550 eKr. Pythagoras tekee päätöksen ja menee Egyptiin. Joten tuntematon maa ja tuntematon kulttuuri avautuu Pythagoraan eteen. Pythagoras hämmästyi ja yllätti suuresti tässä maassa, ja joidenkin havaintojen jälkeen egyptiläisten elämästä Pythagoras tajusi, että tie tietoon, jota pappien kasti suojelee, kulkee uskonnon kautta.

Opiskeltuaan 11 vuotta Egyptissä Pythagoras menee kotimaahansa, missä matkan varrella hän joutuu Babylonin vankeuteen. Siellä hän tutustuu Babylonian tieteeseen, joka oli kehittyneempää kuin egyptiläinen. Babylonialaiset osasivat ratkaista lineaarisia, toisen asteen ja tietyntyyppisiä kuutioyhtälöitä. Vankeudesta paennut hän ei voinut viipyä pitkään kotimaassaan siellä vallinneen väkivallan ja tyrannian ilmapiirin vuoksi. Hän päätti muuttaa Crotoniin (kreikkalaiseen siirtokuntaan Pohjois-Italiassa).

Crotonissa alkaa Pythagoraan elämän loistavin ajanjakso. Siellä hän perusti jotain uskonnollis-eettisen veljeskunnan tai salaisen luostarikunnan kaltaisen, jonka jäsenten velvollisuutena oli elää niin sanottua pythagoralaista elämäntapaa.

Pythagoras ja pythagoralaiset

Pythagoras järjesti Kreikan siirtomaassa Apenniinien niemimaan eteläosassa uskonnollisen ja eettisen veljeskunnan, kuten luostarikunnan, jota myöhemmin kutsuttiin Pythagoraan liitoksi. Liiton jäsenten piti noudattaa tiettyjä periaatteita: ensinnäkin pyrkiä kauniiseen ja loistokkaaseen, toiseksi olla hyödyllinen ja kolmanneksi pyrkiä korkeaan nautintoon.

Pythagoran opiskelijoilleen testamentaama moraalinen ja eettinen säännöstö koottiin eräänlaiseksi pythagoralaisten "kultaisten säkeiden" moraalikoodiksi, joka oli erittäin suosittu antiikin, keskiajan ja renessanssin aikakaudella.

Pythagoralainen tutkimusjärjestelmä koostui kolmesta osasta:

Opetus numeroista - aritmetiikka,

Opetuksia kuvioista - geometria,

Opetuksia maailmankaikkeuden rakenteesta - tähtitiede.

Pythagoraan luoma koulutusjärjestelmä kesti vuosisatoja.

Pythagoraan koulukunta teki paljon antaakseen geometrialle tieteen luonteen. Pythagoraan menetelmän pääpiirre oli geometrian yhdistäminen aritmetiikkaan.

Pythagoras käsitteli paljon mittasuhteita ja kulkuja, ja luultavasti myös kuvioiden samankaltaisuutta, koska hänen ansiotaan on ratkaista ongelma: "Tee kolmas, joka on kooltaan yhtä suuri kuin yksi tiedoista ja samanlainen kuin toinen. annetut kaksi lukua."

Pythagoras ja hänen oppilaansa esittelivät monikulmioiden, ystävällisten, täydellisten lukujen käsitteen ja tutkivat niiden ominaisuuksia. Aritmetiikka laskennan käytäntönä ei kiinnostanut Pythagorasta, ja hän julisti ylpeänä, että hän "asetti aritmeettisen kauppiaan etujen edelle".

Pythagoraan unionin jäsenet asuivat monissa Kreikan kaupungeissa.

Pythagoralaiset hyväksyivät myös naiset yhteiskuntaansa. Unioni kukoisti yli kaksikymmentä vuotta, ja sitten alkoi sen jäsenten vaino, monet opiskelijoista tapettiin.

Pythagoraan itsensä kuolemasta oli monia erilaisia ​​legendoja. Mutta Pythagoraan ja hänen opetuslastensa opetukset säilyivät.

Pythagoraan lauseen luomisen historiasta

Tällä hetkellä tiedetään, että Pythagoras ei löytänyt tätä lausetta. Jotkut uskovat kuitenkin, että Pythagoras antoi ensimmäisenä täyden todisteensa, kun taas toiset kiistävät häneltä tämän ansion. Jotkut uskovat Pythagoraan todistuksen, jonka Eukleides antaa ensimmäisessä kirjassaan Elements. Toisaalta Proclus väittää, että elementtien todisteet johtuvat Eukleidesta itsestään. Kuten näemme, matematiikan historialla ei ole läheskään luotettavaa konkreettista tietoa Pythagoraan elämästä ja hänen matemaattisesta toiminnastaan.

Aloitetaan historiallinen katsaus Pythagoraan lauseeseen muinaisesta Kiinasta. Tässä Chu-pein matemaattinen kirja herättää erityistä huomiota. Tämä essee kertoo tämän Pythagoraan kolmiosta, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5:

"Jos suora kulma jaetaan sen osiin, niin sen sivujen päät yhdistävä viiva on 5, kun kanta on 3 ja korkeus 4."

Niiden valmistusmenetelmä on erittäin helppo toistaa. Ota 12 m pitkä köysi ja sido se siihen värillistä nauhaa pitkin 3 m etäisyydeltä. toisesta päästä ja 4 metriä toisesta. Suora kulma suljetaan 3–4 metrin pituisten sivujen väliin.

Hindujen geometria liittyi läheisesti kulttiin. On erittäin todennäköistä, että hypotenuusan neliölause tunnettiin jo Intiassa noin 800-luvulla eKr. Puhtaasti rituaalisten ohjeiden rinnalla on geometrisesti teologisia teoksia. Näissä kirjoituksissa, jotka ovat peräisin 4. tai 5. vuosisadalta eKr., kohtaamme suoran kulman rakentamisen käyttämällä kolmiota, jonka sivut ovat 15, 36, 39.

Keskiajalla Pythagoraan lause määritti rajan, jos ei suurimmalle mahdolliselle, niin ainakin hyvälle matemaattiselle tiedolle. Pythagoraan teoreeman tunnusomaista piirrosta, jonka nykyään koululaiset toisinaan muuttavat esimerkiksi professorin tai miehen vaippaan pukeutuneeksi silinteriksi, käytettiin siihen aikaan usein matematiikan symbolina.

Lopuksi esittelemme erilaisia ​​Pythagoraan lauseen muotoja, jotka on käännetty kreikasta, latinasta ja saksasta.

Eukleideen lause kuuluu (kirjaimellinen käännös):

"Oikeassa kolmiossa oikean kulman ylittävän sivun neliö on yhtä suuri kuin suoran kulman sulkevien sivujen neliöt."

Kuten näet, eri maissa ja eri kielillä tutun lauseen muotoilusta on erilaisia ​​versioita. Eri aikoina ja eri kielillä luodut ne heijastavat yhden matemaattisen mallin olemusta, jonka todistamiseen on myös useita vaihtoehtoja.

Viisi tapaa todistaa Pythagoraan lause

muinaiset kiinalaiset todisteet

Muinaisessa kiinalaisessa piirustuksessa neljä samankokoista suorakulmaista kolmiota, joissa on jalat a, b ja hypotenuusa c, on pinottu siten, että niiden ulompi ääriviiva muodostaa neliön, jonka sivu on a + b, ja sisempi neliön, jonka sivu on c ja joka on rakennettu hypotenuusa

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Todistus: J. Gardfield (1882)

Järjestetään kaksi samankokoista suorakulmaista kolmiota siten, että toisen jalka on toisen jatke.

Tarkasteltavana oleva puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan tulona puolet kantajen ja korkeuden summasta

Toisaalta puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin tuloksena olevien kolmioiden pinta-alojen summa:

Yhdistämällä nämä lausekkeet, saamme:

Todistus on yksinkertainen

Tämä todiste saadaan tasakylkisen suorakulmaisen kolmion yksinkertaisimmassa tapauksessa.

Luultavasti lause alkoi hänestä.

Todellakin, riittää vain katsoa tasakylkisten suorakulmaisten kolmioiden laatoitusta nähdäksesi, että lause on totta.

Esimerkiksi kolmio ABC: hypotenuusalle AC rakennettu neliö sisältää 4 alkukolmiota ja jaloille rakennetut neliöt sisältävät kaksi. Lause on todistettu.

Todiste muinaisista hinduista

Neliö, jossa on sivu (a + b), voidaan jakaa osiin joko kuten kuvassa. 12.a tai kuten kuvassa 12b. On selvää, että osat 1, 2, 3, 4 ovat samat molemmissa kuvissa. Ja jos yhtäläisistä (pinta-aloista) vähennetään yhtäläiset, niin yhtäläiset jäävät, ts. c2 = a2 + b2.

Eukleideen todiste

Kahden vuosituhannen ajan yleisin oli Eukleideen keksimän Pythagoraan lauseen todiste. Se on sijoitettu hänen kuuluisaan kirjaansa "Alku".

Euclid alensi korkeutta BH oikean kulman kärjestä hypotenuusaan ja osoitti, että sen jatke jakaa hypotenuusalle valmistuneen neliön kahteen suorakulmioon, joiden pinta-alat ovat yhtä suuret kuin jalkoihin rakennettujen vastaavien neliöiden pinta-alat.

Tämän lauseen todistuksessa käytettyä piirrosta kutsutaan leikkimielisesti "Pythagoran housuiksi". Häntä pidettiin pitkään yhtenä matemaattisen tieteen symboleista.

Pythagoraan lauseen soveltaminen

Pythagoraan lauseen merkitys on siinä, että useimmat geometrian lauseet voidaan johtaa siitä tai sen avulla ja monia ongelmia voidaan ratkaista. Lisäksi Pythagoraan lauseen ja sen käänteislauseen käytännön merkitys on se, että niillä voidaan määrittää segmenttien pituudet ilman itse segmenttien mittaamista. Tämä ikään kuin avaa tien suoralta viivalta tasolle, tasolta tilavuusavaruuteen ja edelleen. Tästä syystä Pythagoraan lause on niin tärkeä ihmiskunnalle, joka pyrkii löytämään lisää ulottuvuuksia ja luomaan näissä ulottuvuuksissa teknologioita.

Johtopäätös

Pythagoraan lause on niin kuuluisa, että on vaikea kuvitella henkilöä, joka ei ole kuullut siitä. Opin, että Pythagoraan lause voidaan todistaa useilla tavoilla. Tutkin useita historiallisia ja matemaattisia lähteitä, mukaan lukien Internetissä olevaa tietoa, ja tajusin, että Pythagoraan lause ei ole mielenkiintoinen vain historiansa vuoksi, vaan myös siksi, että sillä on tärkeä paikka elämässä ja tieteessä. Tämän todistavat tässä artikkelissa esittämäni erilaiset tulkinnat tämän lauseen tekstistä ja sen todistustavat.

Pythagoraan lause on siis yksi geometrian tärkeimmistä ja, voitaisiin sanoa, tärkeimmistä lauseista. Sen merkitys on siinä, että useimmat geometrian lauseet voidaan päätellä siitä tai sen avulla. Pythagoraan lause on merkittävä myös siinä mielessä, että se ei sinänsä ole ollenkaan ilmeinen. Esimerkiksi tasakylkisen kolmion ominaisuudet näkyvät suoraan piirustuksessa. Mutta riippumatta siitä, kuinka paljon katsot suorakulmaista kolmiota, et koskaan huomaa, että sen sivujen välillä on yksinkertainen suhde: c2 = a2 + b2. Siksi sen todistamiseen käytetään usein visualisointia. Pythagoraan ansio oli, että hän antoi täydellisen tieteellisen todisteen tälle lauseelle. Itse tiedemiehen persoonallisuus, jonka muistia tämä lause ei vahingossa säilytä, on mielenkiintoinen. Pythagoras on upea puhuja, opettaja ja kasvattaja, koulunsa järjestäjä, joka keskittyy musiikin ja numeroiden harmoniaan, hyvyyteen ja oikeudenmukaisuuteen, tietoon ja terveelliseen elämäntapaan. Hän voi hyvinkin toimia esimerkkinä meille, kaukaisille jälkeläisille.

Bibliografinen linkki

Tumanova S.V. USEITA TAPOJA PYTHAGOREAN LAUSEN TODISTAMISEKSI // Aloita tieteessä. - 2016. - nro 2 - s. 91-95;
URL-osoite: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (käyttöpäivä: 28.2.2020).

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Geometrian koulukurssilla ratkaistaan ​​Pythagoraan lausetta käyttäen vain matemaattisia tehtäviä. Valitettavasti kysymystä Pythagoraan lauseen käytännön soveltamisesta ei käsitellä.

Tältä osin työni tarkoituksena oli selvittää Pythagoraan lauseen laajuus.

Tällä hetkellä yleisesti tunnustetaan, että monien tieteen ja teknologian alueiden kehityksen onnistuminen riippuu matematiikan eri alojen kehityksestä. Tärkeä edellytys tuotannon tehostamiselle on matemaattisten menetelmien laaja käyttöönotto tekniikassa ja kansantaloudessa, mikä edellyttää uusien, tehokkaiden laadullisen ja kvantitatiivisen tutkimuksen menetelmien luomista, jotka mahdollistavat käytännön ongelmien ratkaisemisen.

Tarkastelen esimerkkejä Pythagoraan lauseen käytännön soveltamisesta. En yritä antaa kaikkia esimerkkejä lauseen käytöstä - se tuskin olisi mahdollista. Lauseen soveltamisalue on melko laaja, eikä sitä yleensä voida ilmaista riittävän täydellisesti.

Hypoteesi:

Pythagoraan lauseen avulla voit ratkaista paitsi matemaattisia ongelmia.

Tätä tutkimustyötä varten on määritelty seuraava tavoite:

Ota selvää Pythagoraan lauseen laajuudesta.

Yllä olevan tavoitteen perusteella määritettiin seuraavat tehtävät:

Kerää tietoa Pythagoraan lauseen käytännön soveltamisesta eri lähteistä ja määritä lauseen sovellusalueet.

Opi historiallisia tietoja Pythagorasista ja hänen lauseestaan.

Näytä lauseen soveltaminen historiallisten ongelmien ratkaisemiseen.

Käsittele aiheesta kerätyt tiedot.

Olin mukana tiedonhaussa ja -keräyksessä - opiskelin painettua materiaalia, työskentelin aineiston kanssa Internetissä ja prosessoin kerättyjä tietoja.

Tutkimusmenetelmät:

Teoreettisen materiaalin opiskelu.

Tutkimusmenetelmien tutkiminen.

Tutkimuksen käytännön toteutus.

Kommunikaatio (mittausmenetelmä, kysely).

Projektin tyyppi: tiedon tutkimus. Työ tehtiin vapaa-ajallani.

Tietoja Pythagorasista.

Pythagoras on muinainen kreikkalainen filosofi, matemaatikko ja tähtitieteilijä. Hän perusteli monia geometristen kuvioiden ominaisuuksia, kehitti matemaattisen lukuteorian ja niiden suhteet. Hän antoi merkittävän panoksen tähtitieteen ja akustiikan kehitykseen. "Golden Verses" -kirjan kirjoittaja, Pythagoran koulukunnan perustaja Crotonissa.

Legendan mukaan Pythagoras syntyi noin vuonna 580 eaa. e. Samoksen saarella varakkaassa kauppiasperheessä. Hänen äitinsä Pythasis sai nimensä Apollon pappitar Pythian kunniaksi. Pythia ennusti Mnesarchukselle ja hänen vaimolleen pojan syntymää, poika sai myös nimensä Pythian mukaan. Monien muinaisten todistusten mukaan poika oli upean komea ja osoitti pian erinomaiset kykynsä. Hän sai ensimmäiset tietonsa isältään Mnesarchukselta, kultaseppä ja jalokiviveistäjä, joka haaveili, että hänen poikansa jatkaisi työtään. Mutta elämä arvioi toisin. Tuleva filosofi osoitti suurta kykyä tieteisiin. Pythagoraan opettajien joukossa olivat Syrosin Pherekides ja vanhin Germodamant. Ensimmäinen juurrutti pojaan rakkauden tieteeseen ja toinen musiikkiin, maalaukseen ja runouteen. Myöhemmin Pythagoras tapasi kuuluisan filosofin - matemaatikko Thalesin Miletoksen ja meni hänen neuvoistaan ​​Egyptiin - silloisen tieteellisen ja tutkimustoiminnan keskukseen. Asuttuaan 22 vuotta Egyptissä ja 12 vuotta Babylonissa hän palasi Samoksen saarelle, jätti sen sitten tuntemattomista syistä ja muutti Crotonin kaupunkiin Etelä-Italiaan. Täällä hän loi Pythagoraan koulun (liitto), joka opiskeli erilaisia ​​​​filosofian ja matematiikan kysymyksiä. Noin 60-vuotiaana Pythagoras meni naimisiin Theanon kanssa, joka oli yksi hänen oppilaistaan. Heillä on kolme lasta, ja heistä kaikista tulee isänsä seuraajia. Tuon ajan historiallisille olosuhteille on ominaista laaja demon liike aristokraattien valtaa vastaan. Paetessaan kansan vihan aaltoja Pythagoras ja hänen oppilaansa muuttivat Tarentumin kaupunkiin. Yhden version mukaan: Kilon, rikas ja paha mies, tuli hänen luokseen haluten humalassa liittyä veljeskuntaan. Saatuaan kieltäytyä Cylon aloitti taistelun Pythagoraan kanssa. Palon aikana oppilaat pelastivat omalla kustannuksellaan opettajan hengen. Pythagorakseen tuli koti-ikävä ja hän teki pian itsemurhan.

On huomattava, että tämä on yksi hänen elämäkertansa muunnelmista. Hänen syntymä- ja kuolemansa tarkkoja päivämääriä ei ole vahvistettu, monet hänen elämänsä tosiasiat ovat ristiriitaisia. Mutta yksi asia on selvä: tämä mies eli ja jätti jälkeläisilleen suuren filosofisen ja matemaattisen perinnön.

Pythagoraan lause.

Pythagoraan lause on geometrian tärkein lause. Lause muotoillaan seuraavasti: suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa.

Tämän lausunnon löytö johtuu Samoksen Pythagoraksen (XII vuosisata eKr.) ansioksi.

Babylonian nuolenpäätaulujen ja muinaisten kiinalaisten käsikirjoitusten (kopioita vielä muinaisista käsikirjoituksista) tutkiminen osoitti, että kuuluisa lause tunnettiin kauan ennen Pythagorasta, ehkä useita vuosituhansia ennen häntä.

(Mutta oletetaan, että Pythagoras antoi hänelle täydellisen todisteen)

Mutta on toinenkin mielipide: Pythagoralaisessa koulukunnassa oli upea tapa katsoa kaikki ansiot Pythagoralle ja jossain määrin omaksumatta löytäjien kunniaa, paitsi ehkä muutamassa tapauksessa.

(Iamblichus-syyrialainen kreikankielinen kirjailija, tutkielman "Pythagoraan elämä" kirjoittaja (II vuosisata jKr)

Joten saksalainen matematiikan historioitsija Kantor uskoo, että yhtäläisyys 3 2 + 4 2= 5 2 oli

Egyptiläiset tunsivat noin vuonna 2300 eaa. e. kuningas Amenechmetin aikana (Berliinin museon papyruksen 6619 mukaan). Jotkut uskovat, että Pythagoras antoi lauseelle täydellisen todisteen, kun taas toiset kiistävät häneltä tämän ansion.

Jotkut pitävät Pythagorasta Eukleideen Elementsissään antaman todisteen. Toisaalta Proclus (matemaatikko, 5. vuosisata) väittää, että "Periaatteiden" todistus kuului Eukleideelle itselleen, toisin sanoen matematiikan historiassa ei ole juurikaan luotettavaa tietoa Pythagoraan matemaattisesta toiminnasta. Matematiikassa ei ehkä ole toista lausetta, joka ansaitsisi kaikenlaisia ​​vertailuja.

Joissakin Eukleideen "alkujen" luetteloissa tätä lausetta kutsuttiin "nymfilauseeksi" piirustuksen samankaltaisuuden vuoksi mehiläisen, perhonen kanssa ("perhonen teoreema"), jota kreikaksi kutsuttiin nymfiksi. Kreikkalaiset kutsuivat tätä sanaa myös joitain muita jumalattaria sekä nuoria naisia ​​ja morsiamia. Arabialainen kääntäjä ei kiinnittänyt huomiota piirustukseen ja käänsi sanan "nymfi" "morsiameksi". Näin syntyi rakastava nimi "morsiamen teoreema". On legenda, että kun Pythagoras Samoksen todisti lauseensa, hän kiitti jumalia uhraamalla 100 härkää. Tästä syystä toinen nimi - "sadan härän lause".

Englanninkielisissä maissa sitä kutsuttiin: "tuulimylly", "peacock tail", "morsiamen tuoli", "aasin silta" (jos opiskelija ei voinut "ylittää" sitä, niin hän oli todellinen "aasi")

Vallankumousta edeltäneellä Venäjällä Pythagoraan lauseen piirustusta tasakylkisen kolmion tapaukselle kutsuttiin "Pytagoraan housuiksi".

Nämä "housut" ilmestyvät, kun suorakulmaisen kolmion kummallekin puolelle rakennetaan neliöitä ulospäin.

Kuinka monta erilaista Pythagoraan lauseen todistetta on olemassa?

Pythagoraan ajoista lähtien niitä on ilmestynyt yli 350. Lause sisällytettiin Guinnessin ennätysten kirjaan. Jos analysoimme lauseen todisteita, ne käyttävät muutamia pohjimmiltaan erilaisia ​​ideoita.

Lauseen soveltamisalueet.

Sitä käytetään laajasti ratkaisemisessa geometrinen tehtäviä.

Sen avulla voit löytää geometrisesti kokonaislukujen neliöjuurten arvot:

Tätä varten rakennamme suorakulmaisen kolmion AOB (kulma A on 90 °) yksikköjaloilla. Silloin sen hypotenuusa on √2. Sitten rakennetaan yksittäinen segmentti BC, BC on kohtisuorassa OB:hen nähden, hypotenuusan pituus OS=√3 jne.

(tämä menetelmä löytyy Euclid ja F. Kirensky).

Tehtävät kurssilla fysiikka lukiossa vaaditaan Pythagoraan lauseen tuntemus.

Nämä ovat tehtäviä, jotka liittyvät nopeuksien yhteenlaskemiseen.

Kiinnitä huomiota diaan: tehtävä 9. luokan fysiikan oppikirjasta. Käytännössä se voidaan muotoilla seuraavasti: missä kulmassa joen virtaukseen nähden matkustajia laitureiden välillä kuljettavan veneen tulee liikkua aikataulun mukaisesti? (Laiturit sijaitsevat joen vastakkaisilla rannoilla)

Kun ampumahiihtäjä ampuu maaliin, hän tekee "tuulenkorjauksen". Jos tuuli puhaltaa oikealta ja urheilija ampuu suoraan, luoti menee vasemmalle. Jotta voit osua kohteeseen, sinun on siirrettävä tähtäin oikealle luodin siirtymäetäisyyden verran. Niitä varten on laadittu erityisiä taulukoita (toveri Pythagoraan seurausten perusteella). Ampumahiihtäjä tietää, mihin kulmaan tähtäin on siirrettävä tunnetulla tuulennopeudella.

Tähtitiede - myös laaja ala lauseen soveltamiselle valonsäteen polku. Kuvassa näkyy valonsäteen reitti alkaen A B:hen ja takaisin. Säteen reitti on esitetty kaarevalla nuolella selvyyden vuoksi, itse asiassa valonsäde on suora.

Mikä on säteen polku? Valo kulkee samalla tavalla edestakaisin. Mikä on puoli matkaa, jonka säteen kulkee? Jos merkitsemme segmentin AB symboli l, puolet ajasta kuin t, ja ilmaisee myös valon nopeuden kirjaimella c, niin yhtälömme saa muodon

c*t=l

Tämä on nopeuteen käytetyn ajan tulos!

Yritetään nyt tarkastella samaa ilmiötä toisesta viitekehyksestä, esimerkiksi avaruusaluksesta, joka lentää liikkuvan säteen ohi nopeudella v. Tällaisella havainnolla kaikkien kappaleiden nopeudet muuttuvat ja paikallaan olevat kappaleet alkavat liikkua nopeudella v vastakkaiseen suuntaan. Oletetaan, että laiva liikkuu vasemmalle. Sitten ne kaksi pistettä, joiden välillä pupu juoksee, siirtyvät oikealle samalla nopeudella. Lisäksi, kun pupu juoksee tiensä, lähtökohta A siirtyy ja säde palaa uuteen pisteeseen C.

Kysymys: kuinka kauan piste liikkuu (muuttuu pisteeksi C) kun valonsäde kulkee? Tarkemmin sanottuna: mikä on puolet tästä offsetista? Jos puolet säteen matka-ajasta merkitään kirjaimella t", ja puolet matkasta AC kirje d, niin saamme yhtälömme muodossa:

v * t" = d

kirje v ilmaisee avaruusaluksen nopeuden.

Toinen kysymys: minkä polun valonsäde kulkee tässä tapauksessa?(Tarkemmin sanottuna mikä on puolet tästä polusta? Mikä on etäisyys tuntemattomaan kohteeseen?)

Jos merkitsemme puolta valon polun pituudesta kirjaimella s, niin saadaan yhtälö:

c*t" = s

Tässä c on valon nopeus ja t" on sama aika kuin edellä käsiteltiin.

Harkitse nyt kolmiota ABC. Se on tasakylkinen kolmio, jonka korkeus on l, jonka otimme käyttöön tarkastellessasi prosessia kiinteästä näkökulmasta. Koska liike on kohtisuorassa l, silloin se ei voinut vaikuttaa häneen.

Kolmio ABC koostuu kahdesta puolikkaasta - identtisistä suorakulmaisista kolmioista, joiden hypotenuusat AB ja eKr on liitettävä jalkoihin Pythagoraan lauseen mukaan. Yksi jaloista on d, jonka juuri laskemme, ja toinen jalka on s, jonka läpi valo kulkee ja jonka myös laskemme. Saamme yhtälön:

s 2 =l 2 +d 2

Tämä on Pythagoraan lause!

Ilmiö tähtien poikkeama, löydetty vuonna 1729, johtuu siitä, että kaikki taivaanpallon tähdet kuvaavat ellipsiä. Näiden ellipsien puolipääakselia tarkkaillaan Maasta 20,5 asteen kulmassa. Tämä kulma liittyy Maan liikkeeseen Auringon ympäri nopeudella 29,8 km/h. Tähtien havainnoimiseksi liikkuvasta maasta on tarpeen kallistaa teleskoopin putkea eteenpäin tähden liikettä pitkin, koska valon kulkiessa kaukoputken pituudella okulaari liikkuu eteenpäin maan mukana. Valon ja Maan nopeuksien yhteenlasku tehdään vektoriaalisesti ns.

Pythagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2

C on valon nopeus

V-maanopeus

teleskooppiputki

Yhdeksännentoista vuosisadan lopulla tehtiin erilaisia ​​oletuksia ihmisten kaltaisten Marsin asukkaiden olemassaolosta, tämä oli seurausta italialaisen tähtitieteilijän Schiaparellin löydöistä (hän ​​avasi Marsissa kanavia, joita pidettiin pitkään keinotekoisina). . Vilkasta keskustelua herätti luonnollisesti kysymys siitä, voidaanko näiden hypoteettisten olentojen kanssa kommunikoida valosignaalien avulla. Pariisin tiedeakatemia jopa perusti 100 000 frangin palkinnon ensimmäiselle henkilölle, joka ottaa yhteyttä johonkin toisen taivaankappaleen asukkaaseen; tämä palkinto odottaa edelleen onnekasta. Vitsinä, vaikkakaan ei täysin järjettömänä, päätettiin lähettää signaali Marsin asukkaille Pythagoraan lauseen muodossa.

Ei tiedetä, miten tämä tehdään; mutta kaikille on selvää, että Pythagoraan lauseella ilmaistu matemaattinen tosiasia esiintyy kaikkialla, ja siksi meidän kaltaistenmme toisen maailman asukkaiden tulisi ymmärtää tällainen signaali.

mobiiliyhteys

Kuka nykymaailmassa ei käytä matkapuhelinta? Jokainen matkapuhelintilaaja on kiinnostunut sen laadusta. Ja laatu puolestaan ​​​​riippuu matkapuhelinoperaattorin antennin korkeudesta. Laskemme, millä säteellä lähetys voidaan vastaanottaa, käytämme Pythagoraan lause.

Mikä on matkapuhelinoperaattorin antennin maksimikorkeus, jotta lähetys voidaan vastaanottaa säteellä R = 200 km? (Maan säde on 6380 km.)

Ratkaisu:

Päästää AB = x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Pythagoraan lauseen avulla saamme Vastaus: 2,3 km.

Taloja ja mökkejä rakennettaessa herää usein kysymys kattopalkkien pituudesta, jos palkit on jo tehty. Esimerkiksi: taloon on tarkoitus rakentaa harjakatto (poikkileikkausmuoto). Kuinka pitkiä palkkien tulee olla, jos palkit tehdään AC=8 m. ja AB=BF.

Ratkaisu:

Kolmio ADC on tasakylkinen AB=BC=4 m., BF=4 m. Jos oletetaan, että FD=1,5 m., niin:

A) Kolmiosta DBC: DB=2,5 m.

B) Kolmiosta ABF:

Ikkuna

Rakennuksissa Goottilainen ja romaaninen tyyli ikkunoiden yläosat on jaettu kivirihoilla, jotka eivät vain näytä koristeena, vaan myös lisäävät ikkunoiden lujuutta. Kuvassa on yksinkertainen esimerkki tällaisesta goottilaistyylisestä ikkunasta. Sen rakentamismenetelmä on hyvin yksinkertainen: Kuvasta on helppo löytää kuuden ympyrän kaaren keskipisteet, joiden säteet ovat

ikkunan leveys (b) ulkokaareille

puolileveys, (b/2) sisäkaareille

Jäljelle jää täydellinen ympyrä tangentti neljälle kaarelle. Koska se on suljettu kahden samankeskisen ympyrän väliin, sen halkaisija on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden välinen etäisyys, eli b / 2, ja siksi säde on yhtä suuri kuin b / 4. Ja sitten se tulee selväksi

sen keskustan sijainti.

AT Romaaninen arkkitehtuuri kuvassa näkyvä motiivi löytyy usein. Jos b edelleen merkitsee ikkunan leveyttä, niin puoliympyröiden säteet ovat yhtä suuria kuin R = b / 2 ja r = b / 4. Sisäympyrän säde p voidaan laskea kuvassa 2 esitetystä suorakulmaisesta kolmiosta. pisteviiva. Tämän kolmion hypotenuusa, joka kulkee ympyröiden tangenttipisteen kautta, on yhtä suuri kuin b/4+p, yksi haara on yhtä suuri kuin b/4 ​​ja toinen on b/2-p. Pythagoraan lauseen mukaan meillä on:

(b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/4-p) 2

b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Jakamalla b:llä ja tuomalla samanlaiset termit, saamme:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Metsäteollisuudessa: rakentamisen tarpeisiin hirsiä sahataan puuksi, kun päätehtävänä on saada mahdollisimman vähän jätettä. Pienin jätemäärä on silloin, kun palkin tilavuus on suurin. Mitä osiossa pitäisi olla? Kuten ratkaisusta voidaan nähdä, poikkileikkauksen on oltava neliö ja Pythagoraan lause ja muut näkökohdat mahdollistavat tällaisen johtopäätöksen tekemisen.

Tilavuudeltaan suurin baari

Tehtävä

Sylinterimäisestä tukista on tarpeen leikata tilavuudeltaan suurin suorakaiteen muotoinen palkki. Minkä muotoinen sen poikkileikkauksen tulee olla (kuva 23)?

Ratkaisu

Jos suorakulmaisen leikkauksen sivut ovat x ja y, niin Pythagoraan lauseen mukaan

x 2 + y 2 \u003d d 2,

missä d on puun halkaisija. Puun tilavuus on suurin, kun sen poikkipinta-ala on suurin, eli kun xy saavuttaa suurimman arvonsa. Mutta jos xy on suurin, niin tulo x 2 y 2 on myös suurin. Koska summa x 2 + y 2 on muuttumaton, niin aikaisemmin todistetun mukaan tulo x 2 y 2 on suurin, kun

x 2 \u003d y 2 tai x \u003d y.

Joten palkin poikkileikkauksen tulee olla neliö.

Kuljetustehtävät(ns. optimointitehtävät; tehtävät, joiden ratkaisu mahdollistaa vastauksen kysymykseen: kuinka käyttää varoja suurien hyötyjen saavuttamiseksi)

Ensi silmäyksellä ei mitään erikoista: mittaa korkeus lattiasta kattoon useista kohdista, vähennä muutama senttimetri, jotta kaappi ei lepää kattoa vasten. Tämän jälkeen huonekalujen kokoonpanossa voi syntyä vaikeuksia. Loppujen lopuksi huonekaluvalmistajat kokoavat rungon asettamalla kaapin vaakasuoraan asentoon, ja kun runko on koottu, he nostavat sen pystyasentoon. Harkitse kaapin sivuseinää. Kaapin korkeuden tulee olla 10 cm pienempi kuin etäisyys lattiasta kattoon edellyttäen, että tämä etäisyys ei ylitä 2500 mm. Ja kaapin syvyys on 700 mm. Miksi 10 cm, ei 5 cm tai 7, ja mitä tekemistä Pythagoraan lauseella on sen kanssa?

Joten: sivuseinä 2500-100=2400(mm) - rakenteen maksimikorkeus.

Kehyksen nostoprosessissa olevan sivuseinän tulee kulkea vapaasti sekä korkeudessa että vinosti. Tekijä: Pythagoraan lause

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Mitä tapahtuu, jos kaapin korkeutta pienennetään 50 mm?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonaali 2548 mm. Joten et voi laittaa kaappia (voit pilata katon).

Ukkosenjohdatin.

Tiedetään, että salamanvarsi suojaa kaikkia esineitä salamoilta, joiden etäisyys alustastaan ​​ei ylitä sen kaksinkertaista korkeutta. On tarpeen määrittää ukkosenvarren optimaalinen sijainti harjakatolla siten, että sen korkeus on pienin.

Pythagoraan lauseen mukaan h 2 ≥ a 2 +b 2 tarkoittaa h≥(a 2 +b 2) 1/2

Heidän kesämökilleen on kiireellisesti tehtävä kasvihuone taimille.

Laudoista kaadettiin neliö 1m1m. Siellä on jäänteitä kalvosta, joiden koko on 1,5 m1,5 m. Millä korkeudella neliön keskellä kisko tulisi kiinnittää niin, että kalvo peittää sen kokonaan?

1) Kasvihuoneen diagonaali d == 1,4; 0,7

2) Filmin diagonaali d 1= 2,12 1,06

3) Kiskon korkeus x= 0,7

Johtopäätös

Tutkimuksen tuloksena löysin Pythagoraan lauseen sovellusalueita. Olen kerännyt ja käsitellyt tästä aiheesta paljon materiaalia kirjallisista lähteistä ja Internetistä. Tutkin historiallista tietoa Pythagorasta ja hänen lauseestaan. Kyllä, Pythagoraan lauseen avulla voit ratkaista paitsi matemaattisia ongelmia. Pythagoraan lause on löytänyt sovelluksensa rakentamisessa ja arkkitehtuurissa, matkaviestinnässä ja kirjallisuudessa.

Pythagoraan lauseen tietolähteiden tutkiminen ja analysointi

näytti että:

a) matemaatikoiden ja matemaatikoiden yksinomainen huomio teoreemaan perustuu sen yksinkertaisuuteen, kauneuteen ja merkityksellisyyteen;

b) Pythagoraan lause useiden vuosisatojen ajan toimii sysäyksenä mielenkiintoisille ja tärkeille matemaattisille löydöksille (Fermatin lause, Einsteinin suhteellisuusteoria);

sisään) Pythagoraan lause - on matematiikan universaalin kielen ruumiillistuma, joka on voimassa kaikkialla maailmassa;

G) lauseen laajuus on melko laaja, eikä sitä yleensä voida ilmaista riittävän täydellisesti;

d) Pythagoraan lauseen salaisuudet kiihottavat edelleen ihmiskuntaa ja siksi jokainen meistä saa mahdollisuuden olla mukana niiden paljastamisessa.

Bibliografia

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, osa 17, nro 6 (108).

Aleksanteri Danilovitš Aleksandrov (viidenkymmenen vuoden syntymäpäivänä),

Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10 - 11 solua. - M.: Enlightenment, 1992.

Atanasyan L.S. jne. Geometria, 10 - 11 solua. - M.: Enlightenment, 1992.

Vladimirov Yu.S. Avaruus - aika: eksplisiittiset ja piilotetut ulottuvuudet. - M.: "Nauka", 1989.

Voloshin A.V. Pythagoras. - M.: Enlightenment, 1993.

Sanomalehti "Mathematics", nro 21, 2006.

Sanomalehti "Mathematics", nro 28, 1995.

Geometria: Proc. 7-11 solulle. yläaste / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Enlightenment, 1992.

Geometria: Oppikirja 7 - 9 solulle. Yleissivistävä koulutus Laitokset/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja muut - 6. painos. - M.: Enlightenment, 1996.

Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa: IX - Xcl. Opas opettajille. - M.: Enlightenment, 1983.

Lisäluvut koulun oppikirjaan 8. luokka: Oppikirja koululaisille. ja luokat syventämisellä. opiskella matematiikka /L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja muut - M .: Koulutus, 1996.

Yelensky Sh. Pythagoraan jalanjäljissä. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometria: Planimetria: 7 - 9 solua: Oppikirja ja tehtäväkirja. - M.: Bustard, 1995.

Kline M. Matematiikka. Totuuden etsintä: käännös englannista. /Toim. ja esipuhe. IN JA. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Pythagoraan lause. - M., 1960.

Matematiikka: Koululaisten ja opiskelijoiden käsikirja / B. Frank ym.; Käännös häneltä. - 3. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2003.

Peltwer A. Kuka sinä Pythagoras olet? - M.: Tieto on valtaa, nro 12, 1994.

Perelman Ya. I. Viihdyttävää matematiikkaa. - M.: "Nauka", 1976.

Ponomareva T.D. Hienoja tiedemiehiä. - M .: LLC Astrel Publishing House, 2002.

Sveshnikova A. Matka matematiikan historiaan. - M., 1995.

Semjonov E.E. Opiskelemme geometriaa: Kirja. Opiskelijoille 6-8 solua. keskikoulu - M.: Enlightenment, 1987.

Smyshlyaev V.K. Matematiikasta ja matemaatikoista. - Mari-kirjan kustantaja, 1977.

Tuchnin N.P. Kuinka kysyä kysymys. - M.: Enlightenment, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetria pääsykokeessa. - M.: Moskovan lyseum, 1996.

Nuoren matemaatikon tietosanakirja. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogiikka, 1985.

Tietosanakirja lapsille. T. 11. Matematiikka. /Ch. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.

Pythagoraan lause sanoo:

Suorakulmaisessa kolmiossa jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö:

a 2 + b 2 = c 2,

• a ja b- suoran kulman muodostavat jalat.
• Kanssa on kolmion hypotenuusa.

Pythagoraan lauseen kaavat

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pythagoraan lauseen todiste

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla:

S = \frac(1)(2)ab

Mielivaltaisen kolmion pinta-alan laskemiseksi pintakaava on:

• s- puolikehä. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r on piirretyn ympyrän säde. Suorakulmiolle r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sitten vertaamme molempien kaavojen oikeat puolet kolmion pinta-alalle:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \vasen((a+b)^(2) -c^(2) \oikea)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Käänteinen Pythagoraan lause:

Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin kolmio on suorakulmainen kolmio. Eli mille tahansa positiivisten lukujen kolminkertaiselle a, b ja c, sellaista

a 2 + b 2 = c 2,

on suorakulmainen kolmio jaloilla a ja b ja hypotenuusa c.

Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen. Sen todisti tiedemies matemaatikko ja filosofi Pythagoras.

Lauseen merkitys siinä, että sitä voidaan käyttää muiden lauseiden todistamiseen ja ongelmien ratkaisemiseen.

Lisämateriaali:

Yhdessä asiassa voit olla sataprosenttisen varma, että kun kysytään, mikä hypotenuusan neliö on, kuka tahansa aikuinen vastaa rohkeasti: "Jalkojen neliöiden summa." Tämä lause on tiukasti istutettu jokaisen koulutetun ihmisen mieleen, mutta riittää, kun pyydät jotakuta todistamaan se, ja sitten voi syntyä vaikeuksia. Siksi muistetaan ja harkitaan erilaisia ​​tapoja todistaa Pythagoraan lause.

Lyhyt katsaus elämäkertaan

Pythagoraan lause on tuttu melkein kaikille, mutta jostain syystä sen tuottaneen henkilön elämäkerta ei ole niin suosittu. Me korjaamme sen. Siksi ennen kuin opit eri tapoja todistaa Pythagoraan lause, sinun on tutustuttava lyhyesti hänen persoonallisuuteensa.

Pythagoras - filosofi, matemaatikko, ajattelija, alunperin Tänä päivänä on erittäin vaikea erottaa hänen elämäkertaansa legendoista, jotka ovat kehittyneet tämän suuren miehen muistoksi. Mutta kuten seuraajiensa kirjoituksista ilmenee, Samoksen Pythagoras syntyi Samoksen saarella. Hänen isänsä oli tavallinen kivenhakkaaja, mutta hänen äitinsä oli kotoisin aatelisperheestä.

Legendan mukaan Pythagoraan syntymän ennusti nainen nimeltä Pythia, jonka kunniaksi poika nimettiin. Hänen ennustuksensa mukaan syntyneen pojan oli tuotava ihmiskunnalle monia etuja ja hyvää. Mitä hän todella teki.

Lauseen synty

Nuoruudessaan Pythagoras muutti Egyptiin tapaamaan siellä kuuluisia egyptiläisiä viisaita. Heidän tapaamisensa jälkeen hänet hyväksyttiin opiskelemaan, jossa hän oppi kaikki egyptiläisen filosofian, matematiikan ja lääketieteen suuret saavutukset.

Todennäköisesti Egyptissä Pythagoras inspiroitui pyramidien majesteettisuudesta ja kauneudesta ja loi suuren teoriansa. Tämä saattaa järkyttää lukijoita, mutta nykyaikaiset historioitsijat uskovat, että Pythagoras ei todistanut teoriaansa. Mutta hän välitti tietonsa vain seuraajilleen, jotka myöhemmin suorittivat kaikki tarvittavat matemaattiset laskelmat.

Oli miten oli, nykyään ei tunneta yhtäkään tekniikkaa tämän lauseen todistamiseksi, vaan useita kerralla. Nykyään voimme vain arvailla, kuinka tarkasti muinaiset kreikkalaiset tekivät laskelmansa, joten tässä tarkastellaan erilaisia ​​tapoja todistaa Pythagoraan lause.

Pythagoraan lause

Ennen kuin aloitat laskelmia, sinun on selvitettävä, mikä teoria todistetaan. Pythagoraan lause kuulostaa tältä: "Kolmiossa, jonka yksi kulmista on 90 o, jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö."

Pythagoraan lausetta voidaan todistaa yhteensä 15 eri tavalla. Tämä on melko suuri määrä, joten kiinnitetään huomiota suosituimpiin niistä.

Menetelmä yksi

Määritellään ensin, mitä meillä on. Nämä tiedot koskevat myös muita tapoja todistaa Pythagoraan lause, joten sinun tulee heti muistaa kaikki käytettävissä olevat merkinnät.

Oletetaan, että on annettu suorakulmainen kolmio, jonka jalat a, b ja hypotenuusa ovat yhtä suuria kuin c. Ensimmäinen todistusmenetelmä perustuu siihen, että suorakulmaisesta kolmiosta on piirrettävä neliö.

Tätä varten sinun on piirrettävä jalkaa vastaava segmentti jalan pituuteen a ja päinvastoin. Joten sen pitäisi muodostua neliön kaksi yhtä suurta puolta. Jää vain piirtää kaksi yhdensuuntaista viivaa, ja neliö on valmis.

Tuloksena olevan kuvan sisään sinun on piirrettävä toinen neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin alkuperäisen kolmion hypotenuusa. Tätä varten sinun on piirrettävä pisteistä ac ja sv kaksi rinnakkaista segmenttiä, jotka ovat yhtä suuria kuin c. Siten saamme neliön kolme sivua, joista yksi on alkuperäisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Jää vain piirtää neljäs segmentti.

Tuloksena olevan kuvan perusteella voimme päätellä, että ulomman neliön pinta-ala on (a + b) 2. Jos katsot kuvion sisään, huomaat, että sisäneliön lisäksi siinä on neljä suorakulmaista kolmiota. Jokaisen pinta-ala on 0,5 av.

Siksi alue on: 4 * 0,5 av + s 2 \u003d 2av + s 2

Tästä syystä (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Ja siksi 2 \u003d a 2 + in 2

Lause on todistettu.

Tapa kaksi: samanlaiset kolmiot

Tämä Pythagoraan lauseen todistuskaava johdettiin samanlaisia ​​kolmioita käsittelevän geometrian osan lauseen perusteella. Se sanoo, että suorakulmaisen kolmion haara on sen hypotenuusaan ja 90 o kulman kärjestä lähtevään hypotenuusan segmenttiin verrannollinen keskiarvo.

Alkutiedot pysyvät samoina, joten aloitetaan heti todistuksella. Piirretään jana CD kohtisuoraan sivua AB vastaan. Yllä olevan väitteen perusteella kolmioiden jalat ovat yhtä suuret:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Vastatakseen kysymykseen Pythagoraan lauseen todistamisesta, todiste on asetettava neliöimällä molemmat epäyhtälöt.

AC 2 \u003d AB * HELL ja SV 2 \u003d AB * DV

Nyt meidän on lisättävä tuloksena olevat epäyhtälöt.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), missä AD + DV \u003d AB

Osoittautuu, että:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Ja siksi:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pythagoraan lauseen todistaminen ja sen eri ratkaisutavat vaativat monipuolista lähestymistapaa tähän ongelmaan. Tämä vaihtoehto on kuitenkin yksi yksinkertaisimmista.

Toinen laskentatapa

Kuvaus eri tavoista todistaa Pythagoraan lause ei välttämättä kerro mitään, ennen kuin alat harjoitella itse. Monet menetelmät eivät sisällä vain matemaattisia laskelmia, vaan myös uusien lukujen rakentamista alkuperäisestä kolmiosta.

Tässä tapauksessa on tarpeen suorittaa toinen suorakulmainen kolmio VSD lentokoneen jalusta. Siten nyt on kaksi kolmiota, joilla on yhteinen jalka BC.

Kun tiedät, että samankaltaisten kuvioiden pinta-aloilla on suhde niiden samanlaisten lineaaristen mittojen neliöihin, niin:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2 - 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2 - 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Koska tämä vaihtoehto tuskin sopii eri menetelmistä Pythagoraan lauseen todistamiseen arvosanalle 8, voit käyttää seuraavaa tekniikkaa.

Helpoin tapa todistaa Pythagoraan lause. Arvostelut

Historioitsijat uskovat, että tätä menetelmää käytettiin ensimmäisen kerran lauseen todistamiseen muinaisessa Kreikassa. Se on yksinkertaisin, koska se ei vaadi mitään laskelmia. Jos piirrät kuvan oikein, todiste väitteestä, että 2 + b 2 \u003d c 2, on selvästi näkyvissä.

Tämän menetelmän ehdot ovat hieman erilaiset kuin edellisessä. Lauseen todistamiseksi oletetaan, että suorakulmainen kolmio ABC on tasakylkinen.

Otetaan hypotenuusa AC neliön sivuksi ja piirretään sen kolme sivua. Lisäksi tuloksena olevaan neliöön on piirrettävä kaksi diagonaalista viivaa. Joten sen sisään saat neljä tasakylkistä kolmiota.

Jalkoihin AB ja CB on myös piirrettävä neliö ja yksi vinoviiva kumpaankin niistä. Piirrämme ensimmäisen suoran kärjestä A, toisen - C:stä.

Nyt sinun on tarkasteltava huolellisesti tuloksena olevaa kuvaa. Koska hypotenuusalla AC on neljä kolmiota, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen, ja kaksi jaloissa, tämä osoittaa tämän lauseen todenperäisyyden.

Muuten, tämän Pythagoraan lauseen todistamismenetelmän ansiosta syntyi kuuluisa lause: "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin."

Todistus J. Garfield

James Garfield on Yhdysvaltain 20. presidentti. Sen lisäksi, että hän jätti jälkensä historiaan Yhdysvaltojen hallitsijana, hän oli myös lahjakas itseoppinut.

Uransa alussa hän oli tavallinen opettaja kansankoulussa, mutta pian hänestä tuli yhden korkeakoulun johtaja. Halu itsensä kehittämiseen ja antoi hänelle mahdollisuuden tarjota uusi teoria Pythagoraan lauseen todisteeksi. Lause ja esimerkki sen ratkaisusta ovat seuraavat.

Ensin sinun on piirrettävä kaksi suorakulmaista kolmiota paperille niin, että toisen jalka on jatkoa toiselle. Näiden kolmioiden kärjet on yhdistettävä, jotta ne päätyvät puolisuunnikkaan.

Kuten tiedät, puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen kantajen ja korkeuden summasta.

S=a+b/2 * (a+b)

Jos tarkastellaan tuloksena olevaa puolisuunnikasta kuviona, joka koostuu kolmesta kolmiosta, sen pinta-ala löytyy seuraavasti:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Nyt meidän on tasoitettava kaksi alkuperäistä lauseketta

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Pythagoraan lauseesta ja sen todistamisesta voidaan kirjoittaa useampi kuin yksi osa oppikirjasta. Mutta onko siinä järkeä, kun tätä tietoa ei voida soveltaa käytännössä?

Pythagoraan lauseen käytännön sovellus

Valitettavasti nykyaikaiset koulujen opetussuunnitelmat mahdollistavat tämän lauseen käytön vain geometrisissa ongelmissa. Valmistuneet poistuvat pian koulun seiniltä tietämättä, kuinka he voivat soveltaa tietojaan ja taitojaan käytännössä.

Itse asiassa jokainen voi käyttää Pythagoraan lausetta jokapäiväisessä elämässään. Eikä vain ammatillisessa toiminnassa, vaan myös tavallisissa kotitöissä. Tarkastellaan useita tapauksia, joissa Pythagoraan lause ja sen todistusmenetelmät voivat olla erittäin tarpeellisia.

Lauseen ja tähtitieteen yhteys

Vaikuttaa siltä, ​​​​että tähdet ja kolmiot voidaan yhdistää paperille. Itse asiassa tähtitiede on tieteenala, jolla Pythagoraan lausetta käytetään laajalti.

Harkitse esimerkiksi valonsäteen liikettä avaruudessa. Tiedämme, että valo kulkee molempiin suuntiin samalla nopeudella. Kutsumme radaksi AB, jota pitkin valonsäde liikkuu l. Ja puolet ajasta, joka kuluu valon pääsemiseen pisteestä A pisteeseen B, soitetaan t. Ja säteen nopeus - c. Osoittautuu, että: c*t=l

Jos katsot tätä sädettä toisesta tasosta, esimerkiksi avaruuslinjasta, joka liikkuu nopeudella v, niin kappaleiden havainnolla niiden nopeus muuttuu. Tässä tapauksessa myös paikallaan olevat elementit liikkuvat nopeudella v vastakkaiseen suuntaan.

Oletetaan, että sarjakuvalaiva purjehtii oikealle. Sitten pisteet A ja B, joiden välissä säde ryntäävät, siirtyvät vasemmalle. Lisäksi, kun säde siirtyy pisteestä A pisteeseen B, pisteellä A on aikaa liikkua ja vastaavasti valo saapuu jo uuteen pisteeseen C. Saadaksesi puolet pisteen A siirtymästä etäisyydestä, sinun on kerrottava vuorauksen nopeus puolella säteen matka-ajasta (t ").

Ja saadaksesi selville, kuinka kauas valonsäde voi kulkea tänä aikana, sinun on määritettävä puolet uuden pyökin polusta ja saatava seuraava lauseke:

Jos kuvittelemme, että valon C ja B pisteet sekä avaruusviiva ovat tasakylkisen kolmion kärjet, jana pisteestä A linjaan jakaa sen kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Siksi Pythagoraan lauseen ansiosta voit löytää etäisyyden, jonka valonsäde voisi kulkea.

Tämä esimerkki ei tietenkään ole menestynein, koska vain harvat voivat olla onnekkaita kokeilemaan sitä käytännössä. Siksi tarkastelemme tämän lauseen arkipäiväisempiä sovelluksia.

Mobiilisignaalin lähetysalue

Nykyaikaista elämää ei voi enää kuvitella ilman älypuhelimia. Mutta kuinka paljon niistä olisi hyötyä, jos he eivät voisi yhdistää tilaajia matkaviestinnän kautta?!

Matkaviestinnän laatu riippuu suoraan matkapuhelinoperaattorin antennin korkeudesta. Pythagoraan lauseen avulla voit laskea kuinka kaukana matkapuhelintornista puhelin voi vastaanottaa signaalin.

Oletetaan, että sinun on löydettävä paikallaan olevan tornin likimääräinen korkeus, jotta se voi levittää signaalia 200 kilometrin säteellä.

AB (tornin korkeus) = x;

BC (signaalin lähetyksen säde) = 200 km;

Käyttöjärjestelmä (maapallon säde) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Pythagoraan lausetta soveltaen saamme selville, että tornin vähimmäiskorkeuden tulee olla 2,3 kilometriä.

Pythagoraan lause jokapäiväisessä elämässä

Kummallista kyllä, Pythagoran lause voi olla hyödyllinen myös arkipäivän asioissa, kuten esimerkiksi kaapin korkeuden määrittämisessä. Ensi silmäyksellä ei ole tarvetta käyttää niin monimutkaisia ​​laskelmia, koska voit yksinkertaisesti tehdä mittauksia mittanauhalla. Mutta monet ovat yllättyneitä siitä, miksi kokoonpanoprosessin aikana ilmenee tiettyjä ongelmia, jos kaikki mittaukset tehtiin enemmän kuin tarkasti.

Tosiasia on, että vaatekaappi kootaan vaakasuoraan asentoon ja vasta sitten nousee ja asennetaan seinää vasten. Siksi kaapin sivuseinän on rakenteen nostoprosessissa kuljettava vapaasti sekä huoneen korkeudelta että vinottain.

Oletetaan, että on vaatekaappi, jonka syvyys on 800 mm. Etäisyys lattiasta kattoon - 2600 mm. Kokenut huonekaluvalmistaja sanoo, että kaapin korkeuden tulee olla 126 mm pienempi kuin huoneen korkeus. Mutta miksi juuri 126 mm? Katsotaanpa esimerkkiä.

Kaapin ihanteellisilla mitoilla tarkistetaan Pythagoraan lauseen toiminta:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - kaikki lähentyy.

Oletetaan, että kaapin korkeus ei ole 2474 mm, vaan 2505 mm. Sitten:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Siksi tämä kaappi ei sovellu asennettavaksi tähän huoneeseen. Koska nostettaessa sitä pystyasentoon, sen runko voi vaurioitua.

Ehkä, kun olemme pohtineet erilaisia ​​tapoja todistaa Pythagoran lause eri tutkijoilla, voimme päätellä, että se on enemmän kuin totta. Nyt voit käyttää saamaasi tietoa päivittäisessä elämässäsi ja olla täysin varma, että kaikki laskelmat eivät ole vain hyödyllisiä, vaan myös oikeita.