Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 KÄYTÄ matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Kun ratkaiset monia matematiikan ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murto-yhtälöt ja neliöllisiksi pelkistävät yhtälöt. Jokaisen mainitun tehtävän onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: on tarpeen määrittää, minkä tyyppistä tehtävää ratkaistaan, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

Ilmeisesti onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Erilainen tilanne syntyy trigonometriset yhtälöt. Ei ole vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä yhtälön ulkonäön perusteella. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä, on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on yritettävä:

1. Tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "samoihin funktioihin";
3. kerroin yhtälön vasen puoli jne.

Harkitse perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2 Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3 Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Päätös.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva korvaus

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2 Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3 Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4 Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5 Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Päätös.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2 ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella käyttämällä tehonvähennyskaavoja:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

rusketus 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2 Ratkaise saatu yhtälö käyttämällä menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos2x + cos2x = 5/4.

Päätös.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2 Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tg x:n yhtälö:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Vaihe 3 Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Päätös.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 tai t = -4, joten

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikenlaisia ​​trigonometrisiä kaavoja, tuo tämä yhtälö yhtälöön, joka voidaan ratkaista menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2 Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Päätös.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taidot ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä ovat erittäin hyviä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavia ponnistuksia sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää ikään kuin monia niistä tiedoista ja taidoista, joita hankitaan trigonometrian elementtejä opiskellessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan ja yleensä persoonallisuuden kehittämisen opetuksessa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietojasi, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun kannalta.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Kun ratkaiset monia matematiikan ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​ongelmia ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murto-yhtälöt ja neliöllisiksi pelkistävät yhtälöt. Jokaisen mainitun tehtävän onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: on tarpeen määrittää, minkä tyyppistä tehtävää ratkaistaan, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

Ilmeisesti onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Erilainen tilanne syntyy trigonometriset yhtälöt. Ei ole vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä yhtälön ulkonäön perusteella. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä, on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on yritettävä:

1. Tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "samoihin funktioihin";
3. kerroin yhtälön vasen puoli jne.

Harkitse perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2 Etsi funktion argumentti kaavoilla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3 Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Päätös.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva korvaus

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2 Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3 Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4 Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5 Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Päätös.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2 ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella käyttämällä tehonvähennyskaavoja:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

rusketus 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2 Ratkaise saatu yhtälö käyttämällä menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos2x + cos2x = 5/4.

Päätös.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2 Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tg x:n yhtälö:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Vaihe 3 Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Päätös.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 tai t = -4, joten

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikenlaisia ​​trigonometrisiä kaavoja, tuo tämä yhtälö yhtälöön, joka voidaan ratkaista menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2 Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Päätös.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taidot ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä ovat erittäin hyviä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavia ponnistuksia sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää ikään kuin monia niistä tiedoista ja taidoista, joita hankitaan trigonometrian elementtejä opiskellessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan ja yleensä persoonallisuuden kehittämisen opetuksessa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Monimutkaisemmat trigonometriset yhtälöt

Yhtälöt

synti x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ovat yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Tässä osiossa tarkastelemme monimutkaisempia trigonometrisiä yhtälöitä käyttämällä erityisiä esimerkkejä. Niiden ratkaisu pääsääntöisesti pelkistyy yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Esimerkki 1 . ratkaise yhtälö

synti 2 X= cos X synti 2 x.

Siirtämällä kaikki tämän yhtälön ehdot vasemmalle puolelle ja jakamalla tuloksena oleva lauseke tekijöiksi, saadaan:

synti 2 X(1 - cos X) = 0.

Kahden lausekkeen tulo on nolla silloin ja vain, jos vähintään yksi tekijöistä on nolla ja toinen saa minkä tahansa numeerisen arvon, niin kauan kuin se on määritelty.

Jos synti 2 X = 0 , sitten 2 X=n π ; X = π / 2n.

Jos 1 - cos X = 0 , sitten cos X = 1; X = 2kπ .

Joten meillä on kaksi juuriryhmää: X = π / 2n; X = 2kπ . Toinen juuriryhmä sisältyy ilmeisesti ensimmäiseen, koska n = 4k lauseke X = π / 2n tulee
X = 2kπ .

Siksi vastaus voidaan kirjoittaa yhteen kaavaan: X = π / 2n, missä n- mikä tahansa kokonaisluku.

Huomaa, että tätä yhtälöä ei voitu ratkaista vähentämällä sin 2:lla x. Todellakin, pelkistyksen jälkeen saisimme 1 - cos x = 0, mistä X= 2k π . Näin menetämme esimerkiksi joitakin juuria π / 2 , π , 3π / 2 .

ESIMERKKI 2. ratkaise yhtälö

Murtoluku on nolla vain, jos sen osoittaja on nolla.
Niin synti 2 X = 0 , mistä 2 X=n π ; X = π / 2n.

Näistä arvoista X tulee hylätä ylimääräisinä arvoina, joille syntiX katoaa (nolla-nimittäjillä olevat murtoluvut ovat merkityksettömiä: nollalla jakoa ei ole määritelty). Nämä arvot ovat lukuja, jotka ovat kerrannaisia π . Kaavassa
X = π / 2n ne saadaan tasalla n. Siksi tämän yhtälön juuret ovat numerot

X = π / 2 (2k + 1),

missä k on mikä tahansa kokonaisluku.

Esimerkki 3 . ratkaise yhtälö

2 synti 2 X+ 7 hintaa x - 5 = 0.

Ilmaista synti 2 X kautta cosx : synti 2 X = 1 - cos 2x . Sitten tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

2 (1 - cos 2 x) + 7 hintaa x - 5 = 0 , tai

2cos 2 x- 7cos x + 3 = 0.

merkitsee cosx kautta klo, tulemme toisen asteen yhtälöön

2v 2 - 7v + 3 = 0,

jonka juuret ovat luvut 1/2 ja 3. Siten joko cos x= 1/2 tai cos X= 3. Jälkimmäinen on kuitenkin mahdotonta, koska minkään kulman kosinin itseisarvo ei ylitä 1:tä.

Se on vielä tunnustettava cos x = 1 / 2 , missä

x = ± 60° + 360° n.

Esimerkki 4 . ratkaise yhtälö

2 syntiä X+ 3 cos x = 6.

Koska synti x ja cos x eivät ylitä 1 absoluuttisessa arvossa, niin lauseke
2 syntiä X+ 3 cos x ei voi ottaa suurempia arvoja kuin 5 . Siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Esimerkki 5 . ratkaise yhtälö

synti X+ cos x = 1

Neliöimällä tämän yhtälön molemmat puolet, saamme:

synti 2 X+ 2 syntiä x cos x+ cos2 x = 1,

mutta synti 2 X + cos 2 x = 1 . Niin 2 syntiä x cos x = 0 . Jos synti x = 0 , sitten X = nπ ; jos
cos x , sitten X = π / 2 + kπ . Nämä kaksi ratkaisuryhmää voidaan kirjoittaa yhteen kaavaan:

X = π / 2n

Koska neliöimme tämän yhtälön molemmat osat, on mahdollista, että saamiemme juurien joukossa on vieraita. Siksi tässä esimerkissä, toisin kuin kaikissa edellisissä, on tarpeen tehdä tarkistus. Kaikki arvot

X = π / 2n voidaan jakaa 4 ryhmään

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

klo X = 2kπ synti x+ cos x= 0 + 1 = 1. Siksi X = 2kπ ovat tämän yhtälön juuret.

klo X = π / 2 + 2kπ. synti x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ ovat myös tämän yhtälön juuret.

klo X = π + 2kπ synti x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Siksi arvot X = π + 2kπ eivät ole tämän yhtälön juuria. Samoin on osoitettu, että X = 3π / 2 + 2kπ. eivät ole juuria.

Tällä yhtälöllä on siis seuraavat juuret: X = 2kπ ja X = π / 2 + 2 mπ., missä k ja m- mitkä tahansa kokonaisluvut.