Tilastollinen kokonaisuus koostuu joukosta yksiköitä, esineitä tai ilmiöitä, jotka ovat joiltakin osin homogeenisiä ja samalla eri suuruuspiirteiltä. Kunkin kohteen ominaisuuksien arvo määräytyy sekä populaation kaikille yksiköille yhteisen että sen yksittäisten ominaisuuksien perusteella.

Järjestettyjä jakaumasarjoja (sijoitus, intervalli jne.) analysoimalla voidaan havaita, että tilastollisen perusjoukon elementit ovat selvästi keskittyneet joidenkin keskeisten arvojen ympärille. Tällainen piirteen yksittäisten arvojen keskittyminen joidenkin keskeisten arvojen ympärille tapahtuu pääsääntöisesti kaikissa tilastojakaumissa. Tutkitun ominaisuuden yksittäisten arvojen taipumusta ryhmitellä taajuuden jakelukeskuksen ympärille kutsutaan keskeinen trendi. Jakauman keskeisen trendin karakterisoimiseksi käytetään yleistäviä indikaattoreita, joita kutsutaan keskiarvoiksi.

Keskiarvo tilastoissa he kutsuvat yleistävää indikaattoria, joka kuvaa ominaisuuden tyypillistä kokoa laadullisesti homogeenisessa populaatiossa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa ja heijastaa muuttuvan ominaisuuden arvoa populaatioyksikköä kohti. Keskimääräinen arvo lasketaan useimmissa tapauksissa jakamalla ominaisuuden kokonaismäärä niiden yksiköiden määrällä, joissa tämä ominaisuus on. Jos esimerkiksi kuukausipalkka ja työntekijöiden määrä on tiedossa, niin keskimääräinen kuukausipalkka voidaan määrittää jakamalla palkkasumma työntekijöiden lukumäärällä.

Keskiarvot ovat sellaisia ​​indikaattoreita kuin työpäivän, viikon, vuoden keskimääräinen pituus, työntekijöiden keskimääräinen palkkaluokka, työn tuottavuuden keskimääräinen taso, keskimääräinen kansantulo henkeä kohti, maan keskimääräinen sato, keskimääräinen ruoankulutus henkeä kohti jne. .d.

Keskiarvot lasketaan sekä absoluuttisista että suhteellisista arvoista, niitä kutsutaan indikaattoreiksi ja ne mitataan samoissa mittayksiköissä kuin keskiarvoinen attribuutti. Ne kuvaavat tutkitun populaation arvoa yhdellä numerolla. Keskiarvot heijastavat sosioekonomisten ilmiöiden ja prosessien objektiivista ja tyypillistä tasoa.

Jokainen keskiarvo luonnehtii tutkittua populaatiota jonkin merkin perusteella, mutta minkä tahansa populaation karakterisoimiseksi, sen tyypillisten piirteiden ja laadullisten piirteiden kuvaamiseksi tarvitaan keskiarvoindikaattoreiden järjestelmä. Siksi kotimaisten tilastojen käytännössä sosioekonomisten ilmiöiden tutkimiseen sitä käytetään pääsääntöisesti keskiarvojen järjestelmä. Joten esimerkiksi keskipalkkojen indikaattoreita arvioidaan yhdessä työn tuottavuuden (keskimääräinen tuotos työaikayksikköä kohti), pääoma-työsuhteen ja energiansäästön, työn koneistumisen ja automatisoinnin tason jne. kanssa.

Tilastotieteessä ja -käytännössä keskiarvot ovat erittäin tärkeitä. Keskiarvojen menetelmä on yksi tärkeimmistä tilastomenetelmistä, ja keskiarvo on yksi tilastotieteen pääkategorioista. Keskiarvojen teoria on yksi tilastoteorian keskeisistä paikoista. Keskiarvot ovat perustana variaatioindikaattoreiden (luku 5), otantavirheiden (luku 6), ANOVA:n (luku 8) ja korrelaatioanalyysin (luku 9) laskemiselle.

on myös mahdotonta esittää tilastoja ilman indeksejä, ja viimeksi mainitut ovat oleellisesti keskiarvoja. Tilastollisen ryhmittelyn menetelmän käyttö johtaa myös keskiarvojen käyttöön.

Kuten jo todettiin, ryhmittelymenetelmä on yksi tilaston päämenetelmistä. Keskiarvojen menetelmä yhdistettynä ryhmittelymenetelmään on olennainen osa tieteellisesti kehitettyä tilastollista metodologiaa. Keskimääräiset indikaattorit täydentävät orgaanisesti tilastollista ryhmittelymenetelmää.

Keskiarvoja käytetään ilmiöiden muutoksen luonnehtimiseen ajan kuluessa, keskimääräisen kasvun ja kasvunopeuden laskemiseen. Esimerkiksi työn tuottavuusindikaattoreiden keskimääräisten kasvuvauhtien ja sen maksamisen vertailu tietyltä ajanjaksolta (lukumäärältä vuosia) paljastaa ilmiön kehityksen luonteen tutkitun ajanjakson aikana, erikseen työn tuottavuuden ja erikseen palkan. Näiden kahden ilmiön kasvuvauhtien vertailu antaa käsityksen työn tuottavuuden kasvun tai laskun suhteen luonteesta ja erityispiirteistä suhteessa sen maksamiseen tietyn ajanjakson aikana.

Kaikissa tapauksissa, kun on välttämätöntä luonnehtia yhdellä numerolla ominaisuuden muuttuvien arvojen kokonaismäärä, käytetään sen keskiarvoa.

Tilastojoukossa attribuutin arvo muuttuu objektista objektiin, eli se vaihtelee. Laskemalla näiden arvojen keskiarvon ja antamalla attribuutin arvon tason jokaiselle populaation jäsenelle, irrotamme attribuutin yksittäisistä arvoista, jolloin ikään kuin korvaamme attribuutin arvojen jakauman sarjan. sama arvo on yhtä suuri kuin keskiarvo. Tällainen abstraktio on kuitenkin perusteltua vain, jos keskiarvon laskeminen ei muuta pääominaisuutta suhteessa annettuun ominaisuuteen kokonaisuutena. Tämä on tilastollisen populaation pääominaisuus, joka liittyy ominaisuuden yksittäisiin arvoihin ja jonka keskiarvo laskettaessa on pidettävä muuttumattomana, kutsutaan keskiarvon määrittäväksi ominaisuudeksi suhteessa tutkittavaan ominaisuuteen. Toisin sanoen keskiarvon, joka korvaa attribuutin yksittäiset arvot, ei pitäisi muuttaa ilmiön kokonaisvolyymiä, ts. pakollinen tällainen yhtäläisyys: ilmiön volyymi on yhtä suuri kuin keskiarvon tulo väestön koon mukaan. Esimerkiksi, jos kolmesta ohran satoarvosta (x, = 20,0; 23,3; 23,6 senttiä / ha), lasketaan keskiarvo (20,0 + 23,3 + 23,6): 3 = 22,3 senttiä / ha, niin määrittävän ominaisuuden mukaan keskiarvosta on otettava huomioon seuraava yhtäläisyys:

Kuten yllä olevasta esimerkistä voidaan nähdä, ohran keskisato ei täsmää minkään yksittäisen sadon kanssa, koska yhdelläkään tilalla ei ole saatu satoa 22,3 s/ha. Jos kuitenkin kuvittelemme, että jokainen tila sai 22,3 snt/ha, kokonaissato ei muutu ja on 66,9 snt/ha. Näin ollen keskiarvo, joka korvaa yksittäisten yksittäisten indikaattoreiden todellisen arvon, ei voi muuttaa tutkitun ominaisuuden arvojen koko summan kokoa.

Keskiarvojen pääarvo on niiden yleistävä funktio, ts. korvaamalla sarjan piirteen erilaisia ​​yksittäisiä arvoja keskiarvolla, joka luonnehtii koko ilmiösarjaa. Keskiarvon ominaisuus ei karakterisoida yksittäisiä yksiköitä, vaan ilmaista attribuutin taso jokaista populaation yksikköä kohti on sen erottuva kyky. Tämä ominaisuus tekee keskiarvosta yleistävän indikaattorin vaihtelevien ominaisuuksien tasolle, ts. indikaattori, joka on irrotettu attribuutin arvon yksittäisistä arvoista populaation yksittäisissä yksiköissä. Mutta se tosiasia, että keskiarvo on abstrakti, ei estä sitä tieteellisestä tutkimuksesta. Abstraktio on minkä tahansa tieteellisen tutkimuksen välttämätön aste. Keskiarvossa, kuten missä tahansa abstraktiossa, toteutuu yksilön ja yleisen dialektinen yhtenäisyys. Keskimääräisten piirteiden keskiarvojen ja yksittäisten arvojen välinen suhde on osoitus yksilön ja yleisen välisestä dialektisesta yhteydestä.

Keskiarvojen käytön tulee perustua yleisen ja yksilön, massan ja yksilön dialektisten kategorioiden ymmärtämiseen ja yhteenliittämiseen.

Keskiarvo heijastaa yleistä, joka muodostuu kussakin yksittäisessä yksittäisessä objektissa. Tästä johtuen keskiarvosta tulee suuri merkitys massayhteiskunnallisille ilmiöille ominaisten ja yksittäisissä ilmiöissä havaitsemattomien kuvioiden paljastamisessa.

Välttämättömyys yhdistyy sattuman kanssa ilmiöiden kehityksessä. Siksi keskiarvot liittyvät suurten lukujen lakiin. Tämän suhteen ydin on siinä, että keskiarvoa laskettaessa satunnaiset eri suuntiin vaihtelevat suurten lukujen lain toiminnasta johtuen tasapainotetaan keskenään, kumoutuvat ja pääsäännöllisyys, välttämättömyys ja vaikutus. tälle populaatiolle ominaiset yleiset olosuhteet näkyvät selvästi keskiarvossa. Keskiarvo kuvastaa tutkittujen ilmiöiden tyypillistä, todellista tasoa. Näiden tasojen arvioiminen ja muuttaminen ajassa ja tilassa on yksi keskiarvojen pääongelmista. Siten esimerkiksi keskiarvojen kautta ilmenee työn tuottavuuden, sadon ja eläinten tuottavuuden kasvumalli. Näin ollen keskiarvot ovat yleistäviä indikaattoreita, joissa yleisten olosuhteiden toiminta, tutkittavan ilmiön säännöllisyys ilmaistaan.

Keskiarvojen avulla he tutkivat ilmiöiden muutosta ajassa ja tilassa, niiden kehityssuuntia, ominaisuuksien välisiä yhteyksiä ja riippuvuuksia, tuotannon, työvoiman ja tekniikan eri organisointimuotojen tehokkuutta, tieteen ja tekniikan kehityksen käyttöönottoa. , tunnistaa uusi, progressiivinen tiettyjen sosiaalisten ja taloudellisten ilmiöiden ja prosessien kehityksessä.

Keskiarvoja käytetään laajalti sosioekonomisten ilmiöiden tilastollisessa analyysissä, koska juuri niissä massayhteiskunnallisten ilmiöiden kehityksen lait ja trendit, jotka vaihtelevat sekä ajallisesti että avaruudessa, ilmenevät. Joten esimerkiksi työn tuottavuuden kasvu taloudessa heijastuu keskimääräisen tuotannon kasvuna tuotannossa työskentelevää työntekijää kohti, bruttosatojen kasvuna - keskimääräisen sadon kasvuna jne.

Keskiarvo antaa tutkittavan ilmiön yleisen ominaisuuden vain yhdeltä pohjalta, mikä kuvastaa yhtä sen tärkeimmistä näkökohdista. Tässä suhteessa tutkittavan ilmiön kattavaa analyysiä varten on tarpeen rakentaa keskiarvojen järjestelmä useille toisiinsa liittyville ja toisiaan täydentäville olennaisille piirteille.

Jotta keskiarvo kuvastaisi sitä, mikä on todella tyypillistä ja luonnollista tutkituissa sosiaalisissa ilmiöissä, sitä laskettaessa on noudatettava tällaisia ​​​​ehtoja.

1. Etumerkin, jolla keskiarvo lasketaan, on oltava merkitsevä. Muuten saadaan merkityksetön tai vääristynyt keskiarvo.

2. Keskiarvo tulisi laskea vain laadullisesti homogeeniselle populaatiolle. Siksi suoraa keskiarvolaskentaa tulisi edeltää tilastollinen ryhmittely, joka mahdollistaa tutkitun populaation jakamisen laadullisesti homogeenisiin ryhmiin. Tässä suhteessa keskiarvojen menetelmän tieteellinen perusta on tilastollinen ryhmittelymenetelmä.

Kysymystä väestön homogeenisuudesta ei pitäisi ratkaista muodollisesti sen jakautumisen muodon perusteella. Se, samoin kuin kysymys keskiarvon tyypillisyydestä, on ratkaistava aggregaatin muodostavien syiden ja olosuhteiden perusteella. Aggregaatti on myös homogeeninen, jonka yksiköt muodostuvat yhteisten pääsyiden ja olosuhteiden vaikutuksesta, jotka määräävät tämän koko aggregaatille ominaisen ominaisuuden yleisen tason.

3. Keskiarvon laskennan tulee perustua kaikkien tietyn tyyppisten yksiköiden tai riittävän suuren esinejoukon peittoon, jotta satunnaiset vaihtelut tasapainottavat toisiaan ja havaitaan tutkittavan piirteen säännöllisyys, tyypilliset ja tunnusmerkit.

4. Yleinen vaatimus kaikenlaisten keskiarvojen laskennassa on attribuutin kokonaismäärän pakollinen säilyttäminen aggregaatissa, kun sen yksittäiset arvot korvataan keskiarvolla (ns. keskiarvon määrittävä ominaisuus).

Keskiarvo on yleistävä indikaattori, joka kuvaa ilmiön tyypillistä tasoa. Se ilmaisee attribuutin arvon suhteessa perusjoukon yksikköön.

Keskimääräinen arvo on:

1) määritteen tyypillisin arvo perusjoukolle;

2) perusjoukon merkin tilavuus jakautuneena tasaisesti väestön yksiköiden kesken.

Ominaisuutta, jolle keskiarvo lasketaan, kutsutaan tilastoissa "keskiarvoiseksi".

Keskiarvo yleistää aina piirteen kvantitatiivisen vaihtelun, ts. keskiarvoissa satunnaisista olosuhteista johtuvat yksilölliset erot populaation yksiköissä kumoutuvat. Toisin kuin keskiarvo, populaation yksittäisen yksikön ominaisuuden tasoa kuvaava absoluuttinen arvo ei salli ominaisuuden arvojen vertaamista eri populaatioihin kuuluville yksiköille. Joten jos sinun on verrattava kahden yrityksen työntekijöiden palkkatasoja, et voi verrata kahta eri yritysten työntekijää tällä perusteella. Vertailuun valittujen työntekijöiden palkat eivät välttämättä ole näille yrityksille tyypillisiä. Jos verrataan kyseisten yritysten palkkarahastojen kokoa, niin työntekijöiden määrää ei oteta huomioon, ja siksi on mahdotonta määrittää, missä palkkataso on korkeampi. Viime kädessä voidaan verrata vain keskiarvoja, ts. Kuinka paljon yksi työntekijä ansaitsee keskimäärin kussakin yrityksessä? Siten on olemassa tarve laskea keskiarvo väestön yleistävänä ominaisuutena.

On tärkeää huomata, että keskiarvon laskennassa attribuuttitasojen kokonaisarvon tai sen lopullisen arvon (jos lasketaan aikasarjan keskitasoja) tulee pysyä muuttumattomana. Toisin sanoen keskiarvoa laskettaessa tutkittavan ominaisuuden volyymi ei saa vääristyä, ja keskiarvoa laskettaessa tehtyjen lausekkeiden on välttämättä oltava järkeviä.

Keskiarvon laskeminen on yksi yleinen yleistystekniikka; keskiarvoindikaattori kieltää yleisen, joka on tyypillistä (tyypillistä) kaikille tutkitun perusjoukon yksiköille, samalla kun se jättää huomioimatta yksittäisten yksiköiden väliset erot. Jokaisessa ilmiössä ja sen kehityksessä on sattuman ja välttämättömyyden yhdistelmä. Keskiarvoja laskettaessa suurten lukujen lain toiminnasta johtuen satunnaisuus kumoaa toisensa, tasapainottaa, joten on mahdollista irrota ilmiön merkityksettömistä piirteistä, attribuutin kvantitatiivisista arvoista jokaisessa erityisessä tapaus. Kyvyssä abstrahoida yksittäisten arvojen satunnaisuudesta, vaihteluista, piilee keskiarvojen tieteellinen arvo aggregaattien yleistävinä ominaisuuksina.

Jotta keskiarvo olisi todella tyypillinen, se on laskettava ottaen huomioon tietyt periaatteet.

Tarkastellaanpa joitain yleisiä keskiarvojen soveltamisen periaatteita.

1. Keskiarvo olisi määritettävä populaatioille, jotka koostuvat laadullisesti homogeenisista yksiköistä.

2. Keskiarvo on laskettava perusjoukolle, joka koostuu riittävän suuresta määrästä yksiköitä.

3. Keskiarvo lasketaan väestölle, jonka yksiköt ovat normaalissa, luonnollisessa tilassa.

4. Keskiarvo on laskettava ottaen huomioon tutkittavan indikaattorin taloudellinen sisältö.

5.2. Keskiarvotyypit ja niiden laskentamenetelmät

Tarkastellaan nyt keskiarvojen tyyppejä, niiden laskennan ominaisuuksia ja käyttöalueita. Keskiarvot on jaettu kahteen suureen luokkaan: tehokeskiarvot, rakenteelliset keskiarvot.

Potilaskeskiarvot sisältävät tunnetuimmat ja yleisimmin käytetyt tyypit, kuten geometrinen keskiarvo, aritmeettinen keskiarvo ja keskineliö.

Moodin ja mediaanin katsotaan olevan rakenteellisia keskiarvoja.

Pysähdytään tehokeskiarvoihin. Tehon keskiarvot voivat lähtötietojen esittämisestä riippuen olla yksinkertaisia ​​ja painotettuja. yksinkertainen keskiarvo on laskettu ryhmittämättömistä tiedoista ja sillä on seuraava yleinen muoto:

,

jossa Xi on keskiarvoistetun ominaisuuden variantti (arvo);

n on vaihtoehtojen lukumäärä.

Painotettu keskiarvo lasketaan ryhmitellyillä tiedoilla ja sillä on yleinen muoto

,

jossa X i on keskiarvotetun ominaisuuden variantti (arvo) tai sen välin keskiarvo, jossa muunnelma mitataan;

m on keskiarvon eksponentti;

f i - taajuus, joka näyttää kuinka monta kertaa keskiarvotetun ominaisuuden i-e-arvo esiintyy.

Jos laskemme kaiken tyyppiset keskiarvot samoille lähtötiedoille, niiden arvot eivät ole samat. Tässä pätee keskiarvojen majoranssisääntö: eksponentin m kasvaessa myös vastaava keskiarvo kasvaa:

Tilastokäytännössä käytetään muita painotettuja keskiarvoja useammin aritmeettisia ja harmonisia painotettuja keskiarvoja.

Voimakeinojen tyypit

Tehon tyyppi keskellä	Indeksi astetta (m)	Laskentakaava
		Yksinkertainen	painotettu
harmoninen
Geometrinen
Aritmeettinen
neliöllinen
kuutio

Harmonisella keskiarvolla on monimutkaisempi rakenne kuin aritmeettisella keskiarvolla. Harmonista keskiarvoa käytetään laskelmissa, kun painot eivät ole populaation yksiköitä - piirteen kantajia, vaan näiden yksiköiden ja ominaisuuden arvojen tuloja (eli m = Xf). Keskimääräistä harmonista seisonta-aikaa tulisi käyttää määritettäessä esimerkiksi keskimääräisiä työvoiman, ajan, materiaalien kustannuksia tuotantoyksikköä kohden, osaa kohden kahdelle (kolmelle, neljälle jne.) yritykselle, koneen valmistukseen osallistuville työntekijöille. samantyyppinen tuote, sama osa, tuote.

Keskiarvon laskentakaavan päävaatimus on, että laskennan kaikilla vaiheilla on todellinen ja järkevä perustelu; tuloksena olevan keskiarvon tulisi korvata kunkin kohteen attribuutin yksittäiset arvot rikkomatta yksittäisten ja yhteenvetoindikaattoreiden välistä yhteyttä. Toisin sanoen keskiarvo tulee laskea siten, että kun keskiarvoisen indikaattorin jokainen yksittäinen arvo korvataan sen keskiarvolla, jokin lopullinen yhteenvetoindikaattori, joka on tavalla tai toisella yhteydessä keskiarvoon, pysyy ennallaan. Tätä tulosta kutsutaan määrittävä koska sen suhteen luonne yksittäisiin arvoihin määrittää erityisen kaavan keskiarvon laskemiseksi. Esitetään tämä sääntö geometrisen keskiarvon esimerkissä.

Geometrisen keskiarvon kaava

käytetään useimmiten laskettaessa dynamiikan yksittäisten suhteellisten arvojen keskiarvoa.

Geometristä keskiarvoa käytetään, jos on annettu dynamiikan ketjun suhteellisten arvojen sarja, joka osoittaa esimerkiksi tuotannon kasvua edellisen vuoden tasoon verrattuna: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . On selvää, että tuotannon määrä viime vuonna määräytyy sen alkuperäisen tason (q 0) ja myöhemmän kasvun perusteella vuosien varrella:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×… × i n .

Ottamalla q n määrittävänä indikaattorina ja korvaamalla dynamiikkaindikaattoreiden yksittäiset arvot keskiarvoilla, päädymme suhteeseen

Täältä

Keskiarvojen erikoistyyppiä - rakenteellisia keskiarvoja - käytetään attribuuttiarvojen jakauman sarjan sisäisen rakenteen tutkimiseen sekä keskiarvon (tehotyypin) arvioimiseen, jos käytettävissä olevien tilastotietojen mukaan sen laskentaa ei voida suorittaa (esimerkiksi jos tarkasteltavassa esimerkissä ei ollut tietoja) ja tuotannon määrästä sekä kustannusten määrästä yritysryhmittäin).

Indikaattoreita käytetään useimmiten rakenteellisina keskiarvoina. muoti - useimmin toistuva ominaisuuden arvo - ja mediaani - ominaisuuden arvo, joka jakaa järjestetyn arvojensa sekvenssin kahteen yhtä suureen osaan. Tämän seurauksena puolessa väestöyksiköistä attribuutin arvo ei ylitä mediaanitasoa, ja toisessa puolella se ei ole sitä pienempi.

Jos tutkittavalla ominaisuudella on diskreetit arvot, moodin ja mediaanin laskemisessa ei ole erityisiä vaikeuksia. Jos tiedot attribuutin X arvoista esitetään järjestetyinä sen muutosväleinä (intervallisarja), moodin ja mediaanin laskeminen muuttuu jonkin verran monimutkaisemmaksi. Koska mediaaniarvo jakaa koko populaation kahteen yhtä suureen osaan, se päätyy johonkin piirteen X intervalleista. Interpoloimalla mediaaniarvo löytyy tältä mediaaniväliltä:

,

missä X Me on mediaanivälin alaraja;

h Minä on sen arvo;

(Summa m) / 2 - puolet havaintojen kokonaismäärästä tai puolet indikaattorin tilavuudesta, jota käytetään painotuksena keskiarvon laskentakaavoissa (absoluuttisesti tai suhteellisesti);

S Me-1 on havaintojen (tai painotusominaisuuden tilavuus) summa, joka on kertynyt ennen mediaanivälin alkua;

m Me on havaintojen lukumäärä tai painotusominaisuuden tilavuus mediaanivälissä (myös absoluuttisesti tai suhteellisesti).

Kun lasketaan ominaisuuden modaaliarvoa intervallisarjan tietojen perusteella, on syytä kiinnittää huomiota siihen, että intervallit ovat samat, koska ominaisarvojen tiheyden osoitin X riippuu tästä. intervallisarja yhtäläisin väliajoin, moodin arvo määritetään seuraavasti

,

missä X Mo on modaalivälin alempi arvo;

m Mo on havaintojen lukumäärä tai painotusominaisuuden tilavuus modaalivälissä (absoluuttisesti tai suhteellisesti);

m Mo-1 - sama modaalia edeltävälle aikavälille;

m Mo+1 - sama modaalin jälkeiselle aikavälille;

h on piirteen muutosvälin arvo ryhmissä.

TEHTÄVÄ 1

Seuraavat tiedot ovat saatavilla teollisuusyritysryhmästä raportointivuodelta

№ yrityksille	Tuotantomäärä, miljoonaa ruplaa		Työntekijöiden keskimäärä, h.	Voitto, tuhat ruplaa
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Tuotteiden vaihtoa varten on suoritettava yritysten ryhmittely seuraavin aikavälein:

jopa 200 miljoonaa ruplaa


200 - 400 miljoonaa ruplaa


1. 400 - 600 miljoonaa ruplaa
   

   Määritä jokaiselle ryhmälle ja kaikille yhdessä yritysten lukumäärä, tuotannon määrä, keskimääräinen työntekijöiden lukumäärä, keskimääräinen tuotanto työntekijää kohti. Ryhmittelytulokset tulee esittää tilastotaulukon muodossa. Muotoile johtopäätös.
   

   RATKAISU
   

   Tehdään yritysten ryhmittely tuotteiden vaihtoa, yritysten lukumäärän, tuotannon määrän, keskimääräisen työntekijöiden määrän laskemista varten yksinkertaisen keskiarvon kaavan mukaan. Ryhmittelyn ja laskelmien tulokset on koottu taulukkoon.
   

   Ryhmät tuotantomäärän mukaan	№ yrityksille	Tuotantomäärä, miljoonaa ruplaa	Käyttöomaisuuden keskimääräiset vuosikustannukset, miljoonaa ruplaa	keskimääräinen uni mehukas määrä työntekijöitä, h.	Voitto, tuhat ruplaa	Keskimääräinen tuotanto työntekijää kohti
   1 ryhmä jopa 200 miljoonaa ruplaa	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Keskitaso		198,3			24,9
   2 ryhmää 200 - 400 miljoonaa ruplaa	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Keskitaso		282,3	37,6	1530	64,0
   3 ryhmää 400 alkaen 600 miljoonaa	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Keskitaso		512,9	34,4	1421	120,9
   Yhteensä yhteensä		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Kokonaiskeskiarvo		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Johtopäätös. Kolmanteen ryhmään sijoittui siis tarkastelussa kokonaisuutena tuotannossa mitattuna eniten yrityksiä - seitsemän eli puolet yrityksistä. Tähän ryhmään kuuluu myös käyttöomaisuuden keskimääräisen vuosiarvon arvo, samoin kuin keskimääräisen henkilöstömäärän suuri arvo - 9974 henkilöä, ensimmäisen ryhmän yritykset ovat vähiten kannattavia.
   

   TEHTÄVÄ 2
   

   Meillä on seuraavat tiedot yrityksen yrityksistä
   

   Yritykseen kuuluvan yrityksen numero	I neljännes		II neljännes
   	Tuotos, tuhat ruplaa		Työskenteli ihmispäivillä	Keskimääräinen tuotanto työntekijää kohti päivässä, hiero.
   	59390,13

Keskiarvo on analyyttisestä näkökulmasta arvokkain ja yleismaailmallinen tilastollisten indikaattoreiden ilmaisumuoto. Yleisimmällä keskiarvolla - aritmeettisella keskiarvolla - on useita matemaattisia ominaisuuksia, joita voidaan käyttää sen laskennassa. Samanaikaisesti tiettyä keskiarvoa laskettaessa on aina suositeltavaa luottaa sen loogiseen kaavaan, joka on määritteen volyymin suhde väestön määrään. Kullekin keskiarvolle on olemassa vain yksi todellinen vertailusuhde, joka voi käytettävissä olevista tiedoista riippuen vaatia erilaisia ​​keinoja. Kaikissa tapauksissa, joissa keskiarvon luonne edellyttää painojen olemassaoloa, on kuitenkin mahdotonta käyttää niiden painottamattomia kaavoja painotetun keskiarvon kaavojen sijasta.

Keskiarvo on perusjoukolle ominaisuuden tyypillisin arvo ja perusjoukon attribuutin koko jakautuneena tasaisesti perusjoukon yksiköiden kesken.

Kutsutaan ominaisuutta, jolle keskiarvo lasketaan keskiarvo .

Keskiarvo on absoluuttisia tai suhteellisia arvoja vertaamalla laskettu indikaattori. Keskiarvo on

Keskiarvo heijastaa kaikkien tutkittavaan ilmiöön vaikuttavien tekijöiden vaikutusta ja on niille resultantti. Toisin sanoen yksittäisten poikkeamien korvaaminen ja tapausten vaikutuksen eliminoiminen, keskiarvo, joka heijastaa tämän toiminnan tulosten yleistä mittaa, toimii tutkittavan ilmiön yleisenä mallina.

Keskiarvojen käytön ehdot:

Ø tutkitun populaation homogeenisuus. Jos joillakin satunnaistekijän vaikutuksen alaisena populaation elementeillä on merkittävästi erilaiset tutkitun ominaisuuden arvot kuin muilla, nämä elementit vaikuttavat tämän populaation keskiarvon kokoon. Tässä tapauksessa keskiarvo ei ilmaise ominaisuuden tyypillisintä arvoa väestölle. Jos tutkittava ilmiö on heterogeeninen, se on jaettava homogeenisia alkuaineita sisältäviin ryhmiin. Tässä tapauksessa lasketaan ryhmien keskiarvot - ryhmien keskiarvot, jotka ilmaisevat kunkin ryhmän ilmiön tyypillisimmän arvon, ja sitten lasketaan kaikkien elementtien kokonaiskeskiarvo, joka kuvaa ilmiötä kokonaisuutena. Se lasketaan ryhmän keskiarvojen keskiarvona, joka on painotettu kuhunkin ryhmään kuuluvien populaatioelementtien lukumäärällä;

Ø riittävä määrä yksiköitä aggregaatissa;

Ø piirteen maksimi- ja minimiarvot tutkitussa populaatiossa.

Keskiarvo (indikaattori)- tämä on yleistetty määrällinen ominaisuus piirteestä systemaattisessa populaatiossa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa.

Tilastoissa käytetään seuraavia keskiarvojen muotoja (tyyppejä), joita kutsutaan teho- ja rakenteellisiksi:

Ø aritmeettinen keskiarvo(yksinkertainen ja painotettu);

yksinkertainen

Tilastotieteen laitos

KURSSITYÖT

TILASTOTIEDON TEORIA

Aiheesta: Keskiarvot

Täydennetty: Ryhmänumero: STP - 72

Yunusova Gulnazia Chamilevna

Tarkastaja: Korvakoru Ljudmila Konstantinovna

Johdanto

1. Keskiarvojen olemus, yleiset soveltamisperiaatteet

2. Keskiarvotyypit ja niiden laajuus

2.1 Tehon keskiarvot

2.1.1 Aritmeettinen keskiarvo

2.1.2 Harmoninen keskiarvo

2.1.3 Geometrinen keskiarvo

2.1.4 RMS

2.2. Rakenteelliset keskiarvot

2.2.1 Mediaani

3. Metodologiset perusvaatimukset keskiarvojen oikealle laskemiselle

Johtopäätös

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta

Johdanto

Keskiarvojen käytännön soveltamisen historia ulottuu kymmenien vuosisatojen taakse. Keskiarvon laskemisen päätarkoituksena oli tutkia määrien välisiä suhteita. Keskiarvojen laskemisen merkitys on kasvanut todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston kehityksen yhteydessä. Monien teoreettisten ja käytännön ongelmien ratkaiseminen olisi mahdotonta ilman keskiarvon laskemista ja attribuutin yksittäisten arvojen vaihtelun arviointia.

Eri suuntien tutkijat yrittivät määritellä keskiarvon. Esimerkiksi erinomainen ranskalainen matemaatikko O. L. Cauchy (1789 - 1857) uskoi, että useiden suureiden keskiarvo on uusi arvo, joka on pienimmän ja suurimman tarkastellun suuren välissä.

Belgialaista tilastotieteilijää A. Quetelet (1796 - 1874) on kuitenkin pidettävä keskiarvoteorian luojana. Hän yritti määrittää keskiarvojen luonteen ja niissä ilmenevät säännönmukaisuudet. Queteletin mukaan pysyvät syyt vaikuttavat samalla tavalla (pysyvästi) jokaiseen tutkittavaan ilmiöön. Juuri he tekevät näistä ilmiöistä samankaltaisia, luovat yhteisiä malleja niille kaikille.

Seurauksena A. Quetelet'n opetuksista yleisistä ja yksittäisistä syistä oli keskiarvojen allokointi tilastollisen analyysin päämenetelmäksi. Hän korosti, että tilastolliset keskiarvot eivät ole vain matemaattisen mittauksen mitta, vaan objektiivisen todellisuuden luokka. Hän tunnisti tyypillisen, todella olemassa olevan keskiarvon todellisella arvolla, josta poikkeamat voivat olla vain satunnaisia.

Ilmeisenä ilmauksena esitetystä näkemyksestä keskiarvosta on hänen teoriansa "keskivertohenkilöstä", ts. henkilö, jolla on keskimääräinen pituus, paino, voima, keskimääräinen rintakehän tilavuus, keuhkojen tilavuus, keskimääräinen näöntarkkuus ja normaali iho. Keskiarvot kuvaavat "todellista" ihmisen tyyppiä, kaikki poikkeamat tästä tyypistä osoittavat rumuutta tai sairautta.

A. Quetelet'n näkemyksiä kehitettiin edelleen saksalaisen tilastotieteilijän V. Lexisin (1837 - 1914) teoksissa.

Toinen versio idealistisesta keskiarvoteoriasta perustuu Machismin filosofiaan. Sen perustaja oli englantilainen tilastotieteilijä A. Bowley (1869 - 1957). Keskiarvoissa hän näki yksinkertaisimman tavan kuvata ilmiön kvantitatiivisia ominaisuuksia. Määritellessään keskiarvojen merkitystä tai, kuten hän sanoo, "niiden tehtävää", Bowley tuo esiin machilaisen ajattelun periaatteen. Niinpä hän kirjoitti, että keskiarvojen funktio on selvä: se koostuu kompleksisen ryhmän ilmaisemisesta muutaman alkuluvun avulla. Mieli ei voi heti käsittää miljoonien tilastojen suuruutta; ne on ryhmiteltävä, yksinkertaistettava, laskettava keskiarvo.

A. Queteletin seuraaja oli italialainen tilastotieteilijä C. Gini (1884-1965), suuren "Average Values" -monografian kirjoittaja. K.Gini kritisoi Neuvostoliiton tilastotieteilijän A.Yan antamaa keskiarvon määritelmää. . Boyarsky ja muotoili oman: "Useiden arvojen keskiarvo on tulos näille arvoille tietyn säännön mukaisesti suoritetuista toimista, ja se on joko yksi näistä arvoista, joka ei ole enempää eikä vähempää kuin kaikki arvot. toiset (keskimääräinen todellinen tai efektiivinen), tai jokin uusi arvo, joka on annetuista arvoista pienimmän ja suurimman välissä (laskentakeskiarvo).

Tässä kurssityössä tarkastelemme yksityiskohtaisesti keskiarvojen teorian pääongelmia. Ensimmäisessä luvussa paljastamme keskiarvojen olemuksen ja yleiset soveltamisperiaatteet. Toisessa luvussa tarkastellaan keskiarvojen tyyppejä ja niiden käyttöalueita erityisten esimerkkien avulla. Kolmannessa luvussa tarkastellaan keskeisten laskentamenetelmien keskeisiä vaatimuksia.

1. Keskiarvojen olemus, yleiset soveltamisperiaatteet

Keskiarvot ovat yksi yleisimmistä yhteenvetotilastoista. Niillä pyritään luonnehtimaan yhdellä numerolla yksiköiden vähemmistöstä koostuvaa tilastollista perusjoukkoa. Keskiarvot liittyvät läheisesti suurten lukujen lakiin. Tämän riippuvuuden ydin on siinä, että suurella havaintomäärällä satunnaiset poikkeamat yleistilastoista kumoavat toisensa ja keskimäärin tilastollinen säännöllisyys on selvemmin ilmaistuna.

Keskiarvo on yleistävä indikaattori, joka kuvaa ilmiön tyypillistä tasoa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa. Se ilmaisee kullekin väestöyksikölle tyypillisen ominaisuuden tason.

Keskiarvo on objektiivinen ominaisuus vain homogeenisille ilmiöille. Heterogeenisten populaatioiden keskiarvoja kutsutaan pyyhkäisyksi, ja niitä voidaan käyttää vain yhdessä homogeenisten populaatioiden osittaisten keskiarvojen kanssa.

Keskiarvoa käytetään tilastotutkimuksissa ilmiön tämänhetkisen tason arvioimiseen, useiden populaatioiden vertaamiseen samalla perusteella keskenään, tutkittavan ilmiön kehityksen dynamiikan tutkimiseen ajan kuluessa, ilmiöiden välisten suhteiden tutkimiseen.

Keskiarvoja käytetään laajalti erilaisissa suunnitelmissa, ennusteissa ja taloudellisissa laskelmissa.

Keskiarvojen pääarvo on niiden yleistävä funktio, ts. ominaisuuden eri yksittäisten arvojen joukon korvaaminen keskiarvolla, joka luonnehtii koko ilmiösarjaa. Kaikki tietävät nykyihmisten kehityksen piirteet, jotka ilmenevät muun muassa poikien korkeammassa kasvussa verrattuna isiin, tyttärien verrattuna saman ikäisiin äideihin. Mutta miten tätä ilmiötä mitataan?

Eri perheissä vanhemman ja nuoremman sukupolven kasvusuhteet ovat hyvin erilaisia. Jokainen poika ei ole korkeampi kuin isänsä, eikä jokainen tytär ole korkeampi kuin hänen äitinsä. Mutta jos mitataan useiden tuhansien ihmisten keskipituus, niin poikien ja isien, tyttärien ja äitien keskipituudella voidaan määrittää tarkasti sekä itse kiihtyvyys että tyypillinen keskimääräinen kasvun nousu yhden sukupolven aikana.

Saman määrän ja tietyn tyyppisiä ja laadukkaita tavaroita varten eri tuottajat (tehtaat, yritykset) käyttävät epätasaisen määrän työvoimaa ja aineellisia resursseja. Mutta markkinat keskittävät nämä kustannukset, ja tavaroiden kustannukset määräytyvät tuotannon resurssien keskimääräisen kulutuksen mukaan.

Sää maapallon tietyssä kohdassa samana päivänä eri vuosina voi olla hyvinkin erilainen. Esimerkiksi Pietarissa 31. maaliskuuta ilman lämpötila yli sadan vuoden havaintojen aikana vaihteli -20,1°:sta vuonna 1883 +12,24°:een vuonna 1920. Suunnilleen samat vaihtelut esiintyvät myös muina vuodenpäivinä. Tällaisten yksittäisten säätietojen mukaan minä tahansa mielivaltaisena vuonna on mahdotonta saada käsitystä Pietarin ilmastosta. Ilmaston ominaisuudet ovat keskimääräisiä sääominaisuuksia pitkän ajanjakson ajalta - ilman lämpötila, kosteus, tuulen nopeus, sademäärä, auringonpaistetuntien määrä viikossa, kuukausi ja koko vuosi jne.

Jos keskiarvo yleistää piirteen laadullisesti homogeeniset arvot, se on ominaisuuden tyypillinen ominaisuus tietyssä populaatiossa. Voidaan siis puhua vuonna 1973 syntyneiden venäläisten tyttöjen tyypillisen kasvun mittaamisesta, kun he täyttävät 20 vuotta. Tyypillinen ominaisuus on mustavalkoisten lehmien keskimääräinen maitotuotos ensimmäisenä laktaatiovuonna ruokintanopeudella 12,5 rehuyksikköä päivässä.

On kuitenkin väärin supistaa keskiarvojen roolia vain piirteiden tyypillisten arvojen ominaisuuksiin populaatioissa, jotka ovat homogeenisiä tämän ominaisuuden suhteen. Käytännössä nykyaikaiset tilastot käyttävät paljon useammin keskiarvoja, jotka yleistävät ilmeisen heterogeenisiä ilmiöitä, kuten esimerkiksi kaikkien viljakasvien satoa koko Venäjällä. Tai harkitse sellaista keskiarvoa kuin keskimääräinen lihankulutus asukasta kohden: loppujen lopuksi tämän väestön joukossa on alle vuoden ikäisiä lapsia, jotka eivät syö lihaa ollenkaan, ja kasvissyöjiä ja pohjoisia ja eteläisiä, kaivostyöläisiä, urheilijoita ja eläkeläisiä. Vielä selvempää on sellaisen keskimääräisen indikaattorin kuin asukasta kohti tuotetun keskimääräisen kansantulon epätyypillisyys.

Keskimääräinen kansantulo asukasta kohden, viljan keskisato koko maassa, erilaisten elintarvikkeiden keskikulutus - nämä ovat valtion ominaispiirteitä yhtenäisenä talousjärjestelmänä, nämä ovat niin sanottuja järjestelmän keskiarvoja.

Järjestelmän keskiarvot voivat luonnehtia sekä tila- tai objektijärjestelmiä, jotka ovat olemassa samanaikaisesti (valtio, teollisuus, alue, planeetta Maa jne.) että dynaamisia järjestelmiä, jotka on laajennettu ajassa (vuosi, vuosikymmen, vuodenaika jne.).

Esimerkki ajanjaksoa kuvaavasta järjestelmän keskiarvosta on Pietarin vuoden 1992 keskilämpötila, joka on +6,3°. Tämä keskiarvo tiivistää pakkaspäivien ja -öiden, kuumien kesäpäivien, kevään ja syksyn erittäin heterogeeniset lämpötilat. Vuosi 1992 oli lämmin, keskilämpötila ei ole Pietarille tyypillinen. Tyypillisenä vuotuisena ilman lämpötilana kaupungissa kannattaa käyttää pitkän ajan keskiarvoa, esimerkiksi 30 vuoden ajalta 1963-1992, mikä on +5,05°. Tämä keskiarvo on tyypillinen keskiarvo, koska se yleistää homogeeniset suureet; saman maantieteellisen pisteen vuotuiset keskilämpötilat, jotka vaihtelevat 30 vuoden aikana +2,90°:sta vuonna 1976 +7,44°:een vuonna 1989

Tilastollisen käsittelyn vaiheessa voidaan asettaa erilaisia ​​tutkimustehtäviä, joiden ratkaisemiseksi on tarpeen valita sopiva keskiarvo. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä: arvojen, jotka edustavat keskiarvon osoittajaa ja nimittäjää, on oltava loogisesti yhteydessä toisiinsa.

• tehon keskiarvot;
• rakenteelliset keskiarvot.

Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

Arvot, joiden keskiarvo lasketaan;

Keskiarvo, jossa yllä oleva rivi osoittaa, että yksittäisten arvojen keskiarvo lasketaan;

Frequency (yksittäisten piirteiden arvojen toistettavuus).

Yleisestä tehokeskiarvokaavasta johdetaan erilaisia ​​keinoja:

(5.1)

kun k = 1 - aritmeettinen keskiarvo; k = -1 - harmoninen keskiarvo; k = 0 - geometrinen keskiarvo; k = -2 - neliökeskiarvo.

Keskiarvot ovat joko yksinkertaisia ​​tai painotettuja.

painotetut keskiarvot Niitä kutsutaan suureiksi, jotka ottavat huomioon, että joillakin attribuutin arvojen muunnelmilla voi olla eri numerot, ja siksi jokainen variantti on kerrottava tällä numerolla. Toisin sanoen "painot" ovat eri ryhmien väestöyksiköiden lukumäärää, ts. jokainen vaihtoehto on "painotettu" sen taajuudella. Taajuutta f kutsutaan tilastolliseksi painoksi tai painon keskiarvo.

Tiedetään, että kaupat toteutettiin 5 päivän sisällä (5 kauppaa), myyntikurssilla myytyjen osakkeiden määrä jakautui seuraavasti:

1 - 800 ac. - 1010 ruplaa

2 - 650 ac. - 990 hieroa.

3-700 ak. - 1015 ruplaa.

4 - 550 ac. - 900 ruplaa.

5 - 850 ak. - 1150 ruplaa.

Alkusuhde keskimääräisen osakkeen hinnan määrittämiseksi on transaktioiden kokonaismäärän (TCA) suhde myytyjen osakkeiden määrään (KPA):

OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700 + 900 550 + 1150 850 = 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

Tässä tapauksessa osakkeiden keskihinta oli yhtä suuri kuin:

On tarpeen tuntea aritmeettisen keskiarvon ominaisuudet, mikä on erittäin tärkeää sekä sen käytön että laskennan kannalta. On kolme pääominaisuutta, jotka eniten johtivat aritmeettisen keskiarvon laajaan käyttöön tilastollisissa ja taloudellisissa laskelmissa.

Kiinteistö yksi (nolla): piirteen yksittäisten arvojen positiivisten poikkeamien summa sen keskiarvosta on yhtä suuri kuin negatiivisten poikkeamien summa. Tämä on erittäin tärkeä ominaisuus, koska se osoittaa, että kaikki satunnaisista syistä johtuvat poikkeamat (sekä + että -) kumoutuvat keskenään.

Todiste:

Kiinteistö kaksi (minimi): piirteen yksittäisten arvojen neliöityjen poikkeamien summa aritmeettisesta keskiarvosta on pienempi kuin mistään muusta luvusta (a), ts. on vähimmäismäärä.

Todiste.

Laske muuttujan a neliöityjen poikkeamien summa:

(5.4)

Tämän funktion ääripään löytämiseksi on tarpeen rinnastaa sen derivaatta a:n suhteen nollaan:

Täältä saamme:

(5.5)

Siksi neliöpoikkeamien summan ääriarvo saavutetaan kohdassa . Tämä ääriarvo on minimi, koska funktiolla ei voi olla maksimiarvoa.

Kiinteistö kolme: vakion aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin tämä vakio: at a = const.

Näiden kolmen aritmeettisen keskiarvon tärkeimmän ominaisuuden lisäksi on olemassa ns suunnitteluominaisuudet, jotka ovat vähitellen menettämässä merkitystään elektronisten tietokoneiden käytön vuoksi:

• jos kunkin yksikön attribuutin yksittäinen arvo kerrotaan tai jaetaan vakioluvulla, niin aritmeettinen keskiarvo kasvaa tai pienenee samalla määrällä;
• aritmeettinen keskiarvo ei muutu, jos kunkin ominaisarvon paino (taajuus) jaetaan vakioluvulla;
• jos kunkin yksikön attribuutin yksittäisiä arvoja pienennetään tai lisätään samalla määrällä, aritmeettinen keskiarvo pienenee tai kasvaa samalla määrällä.

Keskimääräinen harmoninen. Tätä keskiarvoa kutsutaan käänteisaritmeettiseksi keskiarvoksi, koska tätä arvoa käytetään, kun k = -1.

Yksinkertainen harmoninen keskiarvo käytetään, kun ominaisarvojen painot ovat samat. Sen kaava voidaan johtaa peruskaavasta korvaamalla k = -1:

Meidän on esimerkiksi laskettava kahden auton keskinopeus, jotka ovat kulkeneet samaa reittiä, mutta eri nopeuksilla: ensimmäinen 100 km/h, toinen 90 km/h.

Harmonisen keskiarvon menetelmällä lasketaan keskinopeus:

Tilastokäytännössä käytetään useammin harmonista painotettua, jonka kaava on:

Tätä kaavaa käytetään tapauksissa, joissa kunkin ominaisuuden painot (tai ilmiöiden määrät) eivät ole samat. Alkuperäisessä suhteessa osoittajan tiedetään laskevan keskiarvon, mutta nimittäjää ei tunneta.

Esimerkiksi keskihintaa laskettaessa on käytettävä myydyn määrän suhdetta myytyjen yksiköiden määrään. Emme tiedä myytyjen yksiköiden määrää (puhumme eri tavaroista), mutta tiedämme näiden eri tavaroiden myyntisummat.

Oletetaan, että haluat selvittää myytyjen tavaroiden keskihinnan:

Saamme

Jos käytät aritmeettista keskiarvokaavaa tässä, voit saada keskihinnan, joka on epärealistinen:

Geometrinen keskiarvo. Useimmiten geometrinen keskiarvo löytää sovelluksensa keskimääräisen kasvunopeuden (keskimääräiset kasvunopeudet) määrittämisessä, kun ominaisuuden yksittäiset arvot esitetään suhteellisina arvoina. Sitä käytetään myös, jos on tarpeen löytää keskiarvo ominaisuuden minimi- ja maksimiarvojen välillä (esimerkiksi välillä 100 - 1000000). On olemassa kaavoja yksinkertaiselle ja painotetulle geometriselle keskiarvolle.

Yksinkertainen geometrinen keskiarvo:

Painotettu geometrinen keskiarvo:

RMS. Sen pääasiallinen sovellusalue on ominaisuuden vaihtelun mittaaminen populaatiossa (keskihajonnan laskenta).

Yksinkertainen neliön keskiarvokaava:

Painotettu keskineliön kaava:

(5.11)

Tämän seurauksena voidaan sanoa, että tilastollisen tutkimuksen ongelmien onnistunut ratkaisu riippuu kussakin tapauksessa oikeasta keskiarvon tyypin valinnasta.

Keskiarvon valinta edellyttää seuraavaa järjestystä:

a) väestöä koskevan yleisen indikaattorin laatiminen;

b) arvojen matemaattisen suhteen määrittäminen tietylle yleistävälle indikaattorille;

c) yksittäisten arvojen korvaaminen keskiarvoilla;

d) keskiarvon laskeminen vastaavan yhtälön avulla.