Tämä artikkeli käsittelee yhteisiä murtolukuja. Täällä tutustumme kokonaisuuden murto-osan käsitteeseen, joka johtaa meidät tavallisen murto-osan määritelmään. Seuraavaksi keskitymme tavallisten murtolukujen hyväksyttyyn merkintään ja annamme esimerkkejä murtoluvuista, sanotaan murto-osan osoittajasta ja nimittäjästä. Sen jälkeen annamme määritelmät oikeista ja virheellisistä, positiivisista ja negatiivisista murtoluvuista ja huomioimme myös murtolukujen sijainnin koordinaattisäteellä. Lopuksi luetellaan tärkeimmät toiminnot murtoluvuilla.

Sivulla navigointi.

Kokonaisuuden osakkeita

Ensin esittelemme jakaa konseptia.

Oletetaan, että meillä on jokin objekti, joka koostuu useista täysin identtisistä (eli yhtäläisistä) osista. Selvyyden vuoksi voit kuvitella esimerkiksi omenan, joka on leikattu useisiin yhtä suuriin osiin, tai appelsiinin, joka koostuu useista yhtä suurista viipaleista. Jokaista näistä yhtäläisistä osista, jotka muodostavat koko objektin, kutsutaan osuus kokonaisuudesta tai yksinkertaisesti osakkeita.

Huomaa, että osakkeet ovat erilaisia. Selitetään tämä. Oletetaan, että meillä on kaksi omenaa. Leikkaa ensimmäinen omena kahteen yhtä suureen osaan ja toinen 6 yhtä suureen osaan. On selvää, että ensimmäisen omenan osuus on erilainen kuin toisen omenan osuus.

Koko kohteen muodostavien osuuksien lukumäärästä riippuen näillä osakkeilla on omat nimensä. Analysoidaan jakaa nimiä. Jos objekti koostuu kahdesta osasta, mitä tahansa niistä kutsutaan koko objektin yhdeksi toiseksi osaksi; jos esine koostuu kolmesta osasta, niin mitä tahansa niistä kutsutaan kolmanneksi osaksi ja niin edelleen.

Yhdellä sekunnilla on erityinen nimi - puoli. Kolmasosa kutsutaan kolmas ja yksi nelinkertainen - neljännes.

Lyhytyyden vuoksi seuraava osakenimikkeet. Yksi toinen osake on nimetty tai 1/2, yksi kolmasosa - tai 1/3; neljäsosa osake - tykkää tai 1/4 ja niin edelleen. Huomaa, että vaakapalkilla varustettua merkintää käytetään useammin. Aineiston konsolidoimiseksi annetaan vielä yksi esimerkki: merkintä tarkoittaa sataakuusikymmentäseitsemäsosaa kokonaisuudesta.

Osuuden käsite ulottuu luonnollisesti esineistä suuruusluokkiin. Esimerkiksi yksi pituuden mittareista on metri. Alle metrin pituuksien mittaamiseen voidaan käyttää metrin murto-osia. Voit siis käyttää esimerkiksi puoli metriä tai kymmenesosaa tai tuhannesosaa metristä. Muiden määrien osuuksia sovelletaan samalla tavalla.

Yleisiä murtolukuja, määritelmät ja esimerkkejä murtoluvuista

Osakkeiden lukumäärän kuvaamiseen käytetään yhteisiä murtolukuja. Annetaan esimerkki, jonka avulla voimme lähestyä tavallisten murtolukujen määritelmää.

Anna appelsiinin koostua 12 osasta. Jokainen osake edustaa tässä tapauksessa yhtä kahdestoistaosaa kokonaisesta appelsiinista, eli . Merkitään kaksi lyöntiä muodossa , kolme lyöntiä kuin , ja niin edelleen, 12 lyöntiä kuin . Jokaista näistä merkinnöistä kutsutaan tavalliseksi murtoluvuksi.

Annetaan nyt kenraali yhteisten murtolukujen määritelmä.

Tavallisten murtolukujen äänellinen määritelmä antaa meille mahdollisuuden tuoda esimerkkejä yleisistä murtoluvuista: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Ja tässä ovat levyt eivät sovi tavallisten murtolukujen soinnilliseen määritelmään, eli ne eivät ole tavallisia murtolukuja.

Osoittaja ja nimittäjä

Mukavuuden vuoksi erottelemme tavalliset murtoluvut osoittaja ja nimittäjä.

Määritelmä.

Osoittaja tavallinen murtoluku (m / n) on luonnollinen luku m.

Määritelmä.

Nimittäjä tavallinen murtoluku (m / n) on luonnollinen luku n.

Joten osoittaja sijaitsee murtopalkin yläpuolella (vinoviivan vasemmalla puolella), ja nimittäjä on murtopalkin alapuolella (vinoviivan oikealla puolella). Otetaan esimerkiksi tavallinen murtoluku 17/29, tämän murto-osan osoittaja on luku 17 ja nimittäjä numero 29.

On vielä keskusteltava tavallisen murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sisältämästä merkityksestä. Murtoluvun nimittäjä osoittaa kuinka monesta osakkeesta yksi osa koostuu, osoittaja puolestaan ​​osoittaa tällaisten osuuksien lukumäärän. Esimerkiksi murto-osan 12/5 nimittäjä 5 tarkoittaa, että yksi osa koostuu viidestä osasta, ja osoittaja 12 tarkoittaa, että tällaisia ​​osia otetaan 12.

Luonnollinen luku murto-osana, jonka nimittäjä on 1

Tavallisen murtoluvun nimittäjä voi olla yhtä suuri kuin yksi. Tässä tapauksessa voimme olettaa, että esine on jakamaton, toisin sanoen se on jotain kokonaista. Tällaisen murtoluvun osoittaja osoittaa, kuinka monta kokonaista kohdetta otetaan. Näin ollen muodon m/1 tavallisella murtoluvulla on luonnollisen luvun m merkitys. Näin perustelimme yhtälön m/1=m .

Kirjoitetaan viimeinen yhtälö uudelleen seuraavasti: m=m/1 . Tämän yhtälön avulla voimme esittää minkä tahansa luonnollisen luvun m tavallisena murtolukuna. Esimerkiksi luku 4 on murtoluku 4/1 ja luku 103498 on murtoluku 103498/1.

Niin, mikä tahansa luonnollinen luku m voidaan esittää tavallisena murtolukuna, jonka nimittäjä 1 on m/1, ja mikä tahansa muotoa m/1 oleva tavallinen murto-osa voidaan korvata luonnollisella luvulla m.

Murtopalkki jakomerkkinä

Alkuperäisen objektin esitys n osuuden muodossa ei ole muuta kuin jakamista n yhtä suureen osaan. Kun kohde on jaettu n osakkeeseen, voimme jakaa sen tasan n henkilön kesken - jokainen saa yhden osakkeen.

Jos meillä on alun perin m identtistä kohdetta, joista jokainen on jaettu n osuuteen, voimme jakaa nämä m kohdetta tasaisesti n henkilön kesken, jolloin kullekin henkilölle annetaan yksi osuus kustakin m kohteesta. Tässä tapauksessa jokaisella henkilöllä on m osaketta 1/n, ja m osaketta 1/n antaa tavallisen murto-osan m/n. Näin ollen yhteistä murtolukua m/n voidaan käyttää kuvaamaan m kohteen jakoa n henkilön kesken.

Joten saimme selvän yhteyden tavallisten murtolukujen ja jaon välillä (katso luonnollisten lukujen jaon yleinen idea). Tämä suhde ilmaistaan ​​seuraavasti: Murtoluvun pylväs voidaan ymmärtää jakomerkkinä, eli m/n=m:n.

Tavallisen murtoluvun avulla voit kirjoittaa tuloksen kahden luonnollisen luvun jakamisesta, joille jakoa ei suoriteta kokonaisluvulla. Esimerkiksi tulos, kun 5 omenaa jaetaan 8 henkilöllä, voidaan kirjoittaa 5/8, eli jokainen saa viisi kahdeksasosaa omenasta: 5:8=5/8.

Tasa- ja eriarvoiset tavalliset murtoluvut, murto-osien vertailu

Melko luonnollinen toiminta on tavallisten murtolukujen vertailu, koska on selvää, että 1/12 appelsiinista eroaa 5/12:sta ja 1/6 omenasta on sama kuin toinen 1/6 tästä omenasta.

Kahden tavallisen murto-osan vertailun tuloksena saadaan yksi tuloksista: murtoluvut ovat joko yhtä suuria tai eivät yhtä suuria. Ensimmäisessä tapauksessa meillä on yhtä suuret yhteiset murtoluvut, ja toisessa epätasaiset yhteiset murtoluvut. Tehdään määritelmä yhtäläisille ja eriarvoisille tavallisille murtoluvuille.

Määritelmä.

yhtä suuri, jos yhtälö a d=b c on tosi.

Määritelmä.

Kaksi yleistä murtolukua a/b ja c/d ei tasa-arvoinen, jos yhtälö a d=b c ei täyty.

Tässä on esimerkkejä yhtäläisistä murtoluvuista. Esimerkiksi yhteinen murto-osa 1/2 on yhtä suuri kuin murto-osa 2/4, koska 1 4=2 2 (katso tarvittaessa luonnollisten lukujen kertolaskusäännöt ja esimerkit). Selvyyden vuoksi voit kuvitella kaksi identtistä omenaa, joista ensimmäinen leikataan puoliksi ja toinen - 4 osaan. On selvää, että kaksi neljäsosaa omenasta on 1/2 osuudesta. Muita esimerkkejä yhtäläisistä yhteisistä murto-osista ovat murtoluvut 4/7 ja 36/63 sekä murto-osien pari 81/50 ja 1620/1000.

Ja tavalliset murtoluvut 4/13 ja 5/14 eivät ole yhtä suuria, koska 4 14=56 ja 13 5=65, eli 4 14≠13 5. Toinen esimerkki epätasaisista yhteisistä murtoluvuista ovat murtoluvut 17/7 ja 6/4.

Jos verrattaessa kahta tavallista murtolukua käy ilmi, että ne eivät ole yhtä suuret, sinun on ehkä selvitettävä, mikä näistä tavallisista murtoluvuista Vähemmän toinen ja mikä lisää. Sen selvittämiseksi käytetään tavallisten murtolukujen vertailusääntöä, jonka ydin on tuoda verratut murtoluvut yhteiseen nimittäjään ja sitten vertailla osoittajia. Yksityiskohtaiset tiedot tästä aiheesta kerätään artikkelissa murtolukujen vertailu: säännöt, esimerkit, ratkaisut.

Murtoluvut

Jokainen murto-osa on ennätys murtoluku. Toisin sanoen murto-osa on vain murtoluvun "kuori", sen ulkonäkö ja koko semanttinen kuorma sisältyy tarkalleen murto-osaan. Kuitenkin lyhyyden ja mukavuuden vuoksi murtoluvun ja murtoluvun käsite yhdistetään ja niitä kutsutaan yksinkertaisesti murtoluvuksi. Tässä on sopivaa parafrasoida tunnettua sanontaa: sanomme murtolukua - tarkoitamme murtolukua, sanomme murtolukua - tarkoitamme murtolukua.

Murtoluvut koordinaattisäteellä

Kaikilla tavallisia murtolukuja vastaavilla murto-osuuksilla on oma ainutlaatuinen paikkansa, eli murto-osien ja koordinaattisäteen pisteiden välillä on yksi yhteen vastaavuus.

Jotta päästään pisteeseen, joka vastaa koordinaattisäteen murto-osaa m / n, on tarpeen lykätä m segmenttiä origosta positiiviseen suuntaan, jonka pituus on 1 / n yksikkösegmentin murto-osa. Tällaiset segmentit voidaan saada jakamalla yksi segmentti n yhtä suureen osaan, mikä voidaan aina tehdä kompassin ja viivaimen avulla.

Esitetään esimerkiksi koordinaattisäteen piste M, joka vastaa murtolukua 14/10. Sen janan pituus, jonka päät ovat pisteessä O ja sitä lähimpänä oleva piste, joka on merkitty pienellä viivalla, on 1/10 yksikkösegmentistä. Piste, jonka koordinaatti on 14/10, poistetaan origosta 14 tällaisella segmentillä.

Samat murtoluvut vastaavat samaa murtolukua, eli yhtä suuret murtoluvut ovat koordinaattisäteen saman pisteen koordinaatteja. Esimerkiksi yksi piste vastaa koordinaattisäteen koordinaatteja 1/2, 2/4, 16/32, 55/110, koska kaikki kirjoitetut murtoluvut ovat yhtä suuret (se sijaitsee puolen yksikkösegmentin etäisyydellä, siirrettynä alkuperä positiiviseen suuntaan).

Vaakasuuntaisella ja oikealle suunnatulla koordinaattisäteellä piste, jonka koordinaatti on suuri murto-osa, sijaitsee sen pisteen oikealla puolella, jonka koordinaatti on pienempi murto-osa. Samoin piste, jolla on pienempi koordinaatti, sijaitsee vasemmalla pisteestä, jolla on suurempi koordinaatti.

Oikeat ja väärät murtoluvut, määritelmät, esimerkit

Tavallisten jakeiden joukossa on oikeat ja väärät murtoluvut. Tässä jaossa on periaatteessa osoittajan ja nimittäjän vertailu.

Tehdään määritelmä oikealle ja väärälle tavalliselle murtoluvulle.

Määritelmä.

Oikea murto-osa on tavallinen murtoluku, jonka osoittaja on pienempi kuin nimittäjä, eli jos m

Määritelmä.

Väärä murtoluku on tavallinen murtoluku, jossa osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, eli jos m≥n, niin tavallinen murto-osa on virheellinen.

Tässä on esimerkkejä oikeista murtoluvuista: 1/4 , , 32 765/909 003 . Todellakin, jokaisessa kirjoitetussa tavallisissa murtoluvuissa osoittaja on pienempi kuin nimittäjä (katso tarvittaessa luonnollisten lukujen artikkelivertailu), joten ne ovat määritelmän mukaan oikein.

Ja tässä on esimerkkejä vääristä murtoluvuista: 9/9, 23/4,. Todellakin, ensimmäisen kirjoitetun tavallisen murtoluvun osoittaja on yhtä suuri kuin nimittäjä, ja muissa murtoluvuissa osoittaja on suurempi kuin nimittäjä.

On olemassa myös määritelmiä oikeasta ja väärästä murtoluvusta, jotka perustuvat murtolukujen vertaamiseen yhteen.

Määritelmä.

oikea jos se on pienempi kuin yksi.

Määritelmä.

Yhteistä murtolukua kutsutaan väärä, jos se on joko yhtä suuri tai suurempi kuin 1 .

Joten tavallinen murtoluku 7/11 on oikea, koska 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ja 27/27 = 1 .

Ajatellaanpa, kuinka tavalliset murtoluvut, joiden osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, ansaitsevat sellaisen nimen - "väärin".

Otetaan esimerkkinä väärä murtoluku 9/9. Tämä murto-osa tarkoittaa, että objektista otetaan yhdeksän osaa, joka koostuu yhdeksästä osasta. Eli käytettävissä olevista yhdeksästä osakkeesta voimme muodostaa kokonaisen aiheen. Toisin sanoen väärä murtoluku 9/9 antaa olennaisesti kokonaisen kohteen, eli 9/9=1. Yleensä väärät murtoluvut, joiden osoittaja on yhtä suuri kuin nimittäjä, tarkoittavat yhtä kokonaista kohdetta, ja tällainen murto-osa voidaan korvata luonnollisella luvulla 1.

Harkitse nyt vääriä murtolukuja 7/3 ja 12/4. On aivan selvää, että näistä seitsemästä kolmasosasta voimme tehdä kaksi kokonaista olioa (yksi kokonaisuus on 3 osaa, sitten kahden kokonaisen objektin muodostamiseen tarvitsemme 3 + 3 = 6 osaa) ja vielä tulee yksi kolmasosa osuudesta. Toisin sanoen väärä murto-osa 7/3 tarkoittaa olennaisesti kahta tuotetta ja jopa 1/3:a tällaisen esineen osuudesta. Ja kahdestatoista neljäsosasta voimme tehdä kolme kokonaista esinettä (kolme esinettä, joissa kussakin on neljä osaa). Toisin sanoen murto-osa 12/4 tarkoittaa olennaisesti kolmea kokonaista kohdetta.

Käsitellyt esimerkit johtavat seuraavaan johtopäätökseen: väärät murtoluvut voidaan korvata joko luonnollisilla luvuilla, kun osoittaja jaetaan nimittäjällä (esim. 9/9=1 ja 12/4=3), tai luonnollinen luku ja oikea murtoluku, kun osoittaja ei ole tasan jaollinen nimittäjällä (esim. 7/3=2+1/3 ). Ehkä juuri tämä virheellinen murtoluku ansaitsee sellaisen nimen - "väärin".

Erityisen kiinnostavaa on väärän murtoluvun esittäminen luonnollisen luvun ja oikean murtoluvun (7/3=2+1/3) summana. Tätä prosessia kutsutaan kokonaislukuosan erottamiseksi väärästä murtoluvusta, ja se ansaitsee erillisen ja huolellisemman harkinnan.

On myös syytä huomata, että väärien murtolukujen ja sekalukujen välillä on hyvin läheinen yhteys.

Positiiviset ja negatiiviset murtoluvut

Jokainen tavallinen murtoluku vastaa positiivista murtolukua (katso artikkeli positiiviset ja negatiiviset luvut). Eli tavalliset murtoluvut ovat positiivisia murtolukuja. Esimerkiksi tavalliset murtoluvut 1/5, 56/18, 35/144 ovat positiivisia murto-osia. Kun on tarpeen korostaa murto-osan positiivisuutta, sen eteen asetetaan plusmerkki, esimerkiksi +3/4, +72/34.

Jos laitat miinusmerkin tavallisen murtoluvun eteen, tämä merkintä vastaa negatiivista murtolukua. Tässä tapauksessa voidaan puhua negatiiviset murtoluvut. Tässä on esimerkkejä negatiivisista murtoluvuista: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Positiiviset ja negatiiviset murtoluvut m/n ja −m/n ovat vastakkaisia ​​lukuja. Esimerkiksi murtoluvut 5/7 ja −5/7 ovat vastakkaisia ​​murtolukuja.

Positiiviset murtoluvut, kuten positiiviset luvut yleensä, tarkoittavat nousua, tuloja, jonkin arvon muutosta ylöspäin jne. Negatiiviset murtoluvut vastaavat kuluja, velkoja, minkä tahansa arvon muutosta laskun suuntaan. Esimerkiksi negatiivinen murtoluku -3/4 voidaan tulkita velaksi, jonka arvo on 3/4.

Vaaka- ja oikealle suunnatut negatiiviset murtoluvut sijaitsevat vertailupisteen vasemmalla puolella. Koordinaattiviivan pisteet, joiden koordinaatit ovat positiivinen murto-osa m/n ja negatiivinen murto-osa −m/n, sijaitsevat samalla etäisyydellä origosta, mutta pisteen O vastakkaisilla puolilla.

Tässä on syytä mainita muodon 0/n murtoluvut. Nämä murtoluvut ovat yhtä suuria kuin luku nolla, eli 0/n=0 .

Positiiviset murtoluvut, negatiiviset jakeet ja 0/n murtoluvut muodostavat rationaalilukuja.

Toiminnot murtoluvuilla

Yhtä toimintaa tavallisilla murtoluvuilla - murtolukujen vertailu - olemme jo tarkastelleet edellä. Neljä muuta aritmetiikkaa on määritelty operaatiot murtoluvuilla- Murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jako. Tarkastellaanpa niitä jokaista.

Murtolukujen toimintojen yleinen olemus on samanlainen kuin vastaavien luonnollisilla luvuilla tehtävien toimien olemus. Piirretään analogia.

Murtolukujen kertolasku voidaan pitää toimintona, jossa murto-osa löytyy murto-osasta. Selvyyden vuoksi otetaan esimerkki. Oletetaan, että meillä on 1/6 omenasta ja meidän on otettava siitä 2/3. Tarvittava osa saadaan kertomalla murtoluvut 1/6 ja 2/3. Kahden tavallisen murtoluvun kertomisen tulos on tavallinen murtoluku (joka tietyssä tapauksessa on yhtä suuri kuin luonnollinen luku). Lisäksi suosittelemme tutkimaan artikkelin murtolukujen kertolaskutietoja - sääntöjä, esimerkkejä ja ratkaisuja.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikka: oppikirja 5 solulle. koulutusinstituutiot.
• Vilenkin N.Ya. jne. Matematiikka. Luokka 6: oppikirja oppilaitoksille.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

Yksikön osaa tai useita sen osia kutsutaan yksinkertaiseksi tai tavalliseksi murtoluvuksi. Samansuuruisten osien lukumäärää, joihin yksikkö on jaettu, kutsutaan nimittäjäksi ja otettujen osien lukumäärää kutsutaan osoittajaksi. Murtoluku kirjoitetaan seuraavasti:

Tässä tapauksessa a on osoittaja, b on nimittäjä.

Jos osoittaja on pienempi kuin nimittäjä, murto-osa on pienempi kuin 1 ja sitä kutsutaan oikeaksi murtoluvuksi. Jos osoittaja on suurempi kuin nimittäjä, niin murto-osa on suurempi kuin 1, niin murto-osaa kutsutaan virheelliseksi murtoluvuksi.

Jos murto-osan osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret, murto-osa on yhtä suuri.

1. Jos osoittaja voidaan jakaa nimittäjällä, tämä murto-osa on yhtä suuri kuin jaon osamäärä:

Jos jako suoritetaan jäännöksellä, tämä väärä murto-osa voidaan esittää sekaluvulla, esimerkiksi:

Silloin 9 on epätäydellinen osamäärä (sekaluvun kokonaislukuosa),
1 - jäännös (murto-osan osoittaja),
5 on nimittäjä.

Jos haluat muuntaa sekaluvun murtoluvuksi, kerro sekaluvun kokonaislukuosa nimittäjällä ja lisää murto-osan osoittaja.

Saatu tulos on tavallisen murtoluvun osoittaja, ja nimittäjä pysyy samana.

Toiminnot murtoluvuilla

Fraktion laajennus. Murtoluvun arvo ei muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla.
Esimerkiksi:

Fraktion vähentäminen. Murtoluvun arvo ei muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla.
Esimerkiksi:

Murtolukuvertailu. Kahdesta murtoluvusta, joilla on sama osoittaja, suurempi on se, jolla on pienempi nimittäjä:

Kahdesta murtoluvusta, joilla on sama nimittäjä, se, jolla on suurempi osoittaja, on suurempi:

Jos haluat verrata murtolukuja, joilla on eri osoittajat ja nimittäjät, niitä on laajennettava, eli saatava ne yhteiseen nimittäjään. Harkitse esimerkiksi seuraavia murtolukuja:

Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Jos murtolukujen nimittäjät ovat samat, murtolukujen lisäämiseksi on tarpeen lisätä niiden osoittajat ja murtolukujen vähentämiseksi on vähennettävä niiden osoittajat. Tuloksena oleva summa tai erotus on tuloksen osoittaja, kun taas nimittäjä pysyy samana. Jos murto-osien nimittäjät ovat erilaiset, sinun on ensin vähennettävä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi. Kun lisätään sekalukuja, niiden kokonais- ja murto-osat lisätään erikseen. Kun vähennät sekalukuja, sinun on ensin muutettava ne väärien murtolukujen muotoon, vähennettävä sitten toisistaan ​​ja saatettava tulos tarvittaessa uudelleen sekaluvun muotoon.

Murtolukujen kertolasku. Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen ja jaettava ensimmäinen tulo toisella.

Murtolukujen jako. Jos haluat jakaa luvun murtoluvulla, sinun on kerrottava luku sen käänteisluvulla.

Desimaali on tulos jakamalla yksi kymmenellä, sadalla, tuhannella jne. osat. Ensin kirjoitetaan luvun kokonaislukuosa, jonka jälkeen desimaalipiste asetetaan oikealle. Ensimmäinen numero desimaalipilkun jälkeen tarkoittaa kymmenesosien määrää, toinen - sadasosien lukumäärää, kolmas - tuhannesosien lukumäärää jne. Desimaalipilkun jälkeisiä numeroita kutsutaan desimaalipaikoiksi.

Esimerkiksi:

Desimaaliominaisuudet

Ominaisuudet:

• Desimaaliluku ei muutu, jos oikealle lisätään nollia: 4,5 = 4,5000.
• Desimaalimurto ei muutu, jos desimaaliluvun lopussa olevat nollat ​​poistetaan: 0,0560000 = 0,056.
• Desimaaliluku kasvaa kohdissa 10, 100, 1000 ja niin edelleen. kertaa, jos siirrät desimaalipilkun yhteen, kahteen, kolmeen jne. paikat oikealle: 4,5 45 (fraktio on kasvanut 10 kertaa).
• Desimaalilukua pienennetään 10, 100, 1000 jne. kertaa, jos siirrät desimaalipilkun yhteen, kahteen, kolmeen jne. paikat vasemmalle: 4,5 0,45 (fraktio on laskenut 10 kertaa).

Jaksollinen desimaali sisältää äärettömästi toistuvan numeroryhmän, jota kutsutaan pisteeksi: 0.321321321321…=0,(321)

Toiminnot desimaalien kanssa

Desimaalien lisääminen ja vähentäminen tapahtuu samalla tavalla kuin kokonaislukujen lisääminen ja vähentäminen, sinun tarvitsee vain kirjoittaa vastaavat desimaalit peräkkäin.
Esimerkiksi:

Desimaalilukujen kertominen suoritetaan useissa vaiheissa:

• Kerromme desimaalit kokonaislukuina ottamatta huomioon desimaalipistettä.
• Sääntö pätee: desimaalien määrä tulossa on yhtä suuri kuin kaikkien tekijöiden desimaalien summa.

Esimerkiksi:

Tekijöiden desimaalien lukujen summa on: 2+1=3. Nyt sinun on laskettava 3 numeroa tuloksena olevan luvun lopusta ja asetettava desimaalipilkku: 0,675.

Desimaalien jako. Desimaaliluvun jakaminen kokonaisluvulla: jos osinko on pienempi kuin jakaja, sinun on kirjoitettava osamäärän kokonaislukuosaan nolla ja laitettava desimaalipiste sen jälkeen. Sitten, ottamatta huomioon osingon desimaalipistettä, lisää murto-osan seuraava numero sen kokonaislukuosaan ja vertaa tuloksena saatua osingon kokonaislukuosaa jakajaan. Jos uusi luku on jälleen pienempi kuin jakaja, toimenpide on toistettava. Tätä prosessia toistetaan, kunnes tuloksena oleva osinko on suurempi kuin jakaja. Tämän jälkeen jako suoritetaan kuten kokonaisluvuille. Jos osinko on suurempi tai yhtä suuri kuin jakaja, jaetaan ensin sen kokonaislukuosa, kirjoitetaan jaon tulos osamäärään ja laitetaan desimaalipilkku. Tämän jälkeen jako jatkuu, kuten kokonaislukujen tapauksessa.

Desimaalimurtoluvun jakaminen toiseen: ensin siirretään osingon ja jakajan desimaalipisteet jakajan desimaalipisteiden määrällä, eli tehdään jakajasta kokonaisluku ja suoritetaan edellä kuvatut toimenpiteet.

Jotta desimaalimurto muunnetaan tavalliseksi, on tarpeen ottaa desimaalipilkun jälkeen oleva luku osoittajaksi ja ottaa nimittäjäksi kymmenen k:s potenssi (k on desimaalien lukumäärä). Nollasta poikkeava kokonaislukuosa säilyy yhteisessä murtoluvussa; kokonaisluvun nollaosa jätetään pois.
Esimerkiksi:

Tavallisen murtoluvun muuntamiseksi desimaaliksi on välttämätöntä jakaa osoittaja nimittäjällä jakosääntöjen mukaisesti.

Prosentti on yksikön sadasosa, esimerkiksi: 5% tarkoittaa 0,05. Suhde on yhden luvun jakamisen osamäärä toisella. Suhde on kahden suhteen yhtäläisyys.

Esimerkiksi:

Suhteen pääominaisuus: osuuden äärijäsenten tulo on yhtä suuri kuin sen keskiosien tulo, eli 5x30 = 6x25. Kahta toisistaan ​​riippuvaa suuruutta kutsutaan suhteelliseksi, jos niiden suhde pysyy muuttumattomana (suhteellisuuskerroin).

Siten seuraavat aritmeettiset operaatiot paljastetaan.
Esimerkiksi:

Rationaalilukujen joukko sisältää positiiviset ja negatiiviset luvut (koko ja murtoluku) ja nollan. Tarkempi matematiikassa hyväksytty rationaalilukujen määritelmä on seuraava: lukua kutsutaan rationaaliseksi, jos se voidaan esittää muodon tavallisena redusoitumattomana murto-osana:, missä a ja b ovat kokonaislukuja.

Negatiivisen luvun absoluuttinen arvo (moduuli) on positiivinen luku, joka saadaan muuttamalla sen etumerkki arvosta "-" arvoon "+"; positiiviselle luvulle ja nollalle itse luku. Luvun moduulin osoittamiseen käytetään kahta suoraa, joiden sisään tämä luku kirjoitetaan, esimerkiksi: |–5|=5.

Absoluuttisen arvon ominaisuudet

Olkoon luvun moduuli annettu , joille ominaisuudet ovat voimassa:

Monomiaali on kahden tai useamman tekijän tulo, joista jokainen on joko numero tai kirjain tai kirjaimen potenssi: 3 x a x b. Kerrointa kutsutaan useimmiten vain numeeriseksi tekijäksi. Monomien sanotaan olevan samanlaisia, jos ne ovat samoja tai eroavat vain kertoimilla. Monomiaalin aste on sen kaikkien kirjainten eksponentien summa. Jos monomiaalien summan joukossa on samanlaisia, summa voidaan vähentää yksinkertaisempaan muotoon: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Tätä toimintoa kutsutaan samankaltaisten termien tai sulkeiden pakottamiseksi.

Polynomi on monomioiden algebrallinen summa. Polynomin aste on suurin annettuun polynomiin sisältyvien monomien asteista.

Lyhennettyjen kertolaskujen kaavat ovat seuraavat:

Faktorointimenetelmät:

Algebrallinen murtoluku on muodon lauseke, jossa A ja B voivat olla luku, monomi tai polynomi.

Jos kaksi lauseketta (numeerinen ja aakkosellinen) yhdistetään merkillä "=", niin niiden sanotaan muodostavan tasa-arvon. Mitä tahansa todellista yhtäläisyyttä, joka koskee kaikkia siihen sisältyvien kirjainten sallittuja numeerisia arvoja, kutsutaan identiteetiksi.

Yhtälö on kirjaimellinen yhtälö, joka pätee siihen sisältyvien kirjainten tietyille arvoille. Näitä kirjaimia kutsutaan tuntemattomiksi (muuttujiksi) ja niiden arvoja, joilla annetusta yhtälöstä tulee identiteetti, kutsutaan yhtälön juuriksi.

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä. Kahden tai useamman yhtälön sanotaan olevan ekvivalentti, jos niillä on samat juuret.

• nolla oli yhtälön juuri;
• Yhtälöllä on vain äärellinen määrä juuria.

Algebrallisten yhtälöiden päätyypit:

Lineaarisen yhtälön ax + b = 0:

• jos a x 0, on olemassa yksi juuri x = -b/a;
• jos a = 0, b ≠ 0, ei juuria;
• jos a = 0, b = 0, juuri on mikä tahansa reaaliluku.

Yhtälö xn = a, n N:

• jos n on pariton luku, sen reaalijuuri on yhtä suuri kuin a/n mille tahansa a:lle;
• jos n on parillinen luku, niin jos 0, niin sillä on kaksi juuria.

Identtiset perusmuunnokset: yhden lausekkeen korvaaminen toisella, identtisesti sen kanssa; yhtälön ehtojen siirto puolelta toiselle vastakkaisilla etumerkeillä; yhtälön molempien osien kertominen tai jako samalla lausekkeella (luvulla) muulla kuin nollalla.

Lineaarinen yhtälö, jossa on yksi tuntematon, on yhtälö muotoa: ax+b=0, jossa a ja b ovat tunnettuja lukuja ja x on tuntematon arvo.

Kahden lineaarisen yhtälön järjestelmillä, joissa on kaksi tuntematonta, on muoto:

Missä a, b, c, d, e, f on annettu numeroita; x, y ovat tuntemattomia.

Numerot a, b, c, d - tuntemattomien kertoimet; e, f - ilmaiset jäsenet. Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisu löytyy kahdella päämenetelmällä: substituutiomenetelmällä: yhdestä yhtälöstä yksi tuntemattomista ilmaistaan ​​kertoimien kautta ja toinen tuntematon, ja sitten korvaamme sen toiseen yhtälöön ratkaisemalla viimeisen yhtälön , etsimme ensin yhden tuntemattoman, sitten korvaamme löydetyn arvon ensimmäisellä yhtälöllä ja etsimme toisen tuntemattoman; menetelmä yhden yhtälön lisäämiseksi tai vähentämiseksi toisesta.

Toiminnot juurilla:

Ei-negatiivisen luvun a n:nnen asteen aritmeettinen juuri on ei-negatiivinen luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin a. Tietyn luvun n:nnen asteen algebrallinen juuri on kaikkien tämän luvun juurien joukko.

Irrationaalisia lukuja, toisin kuin rationaalisia, ei voida esittää tavallisena pelkistymättömänä murto-osana muodossa m/n, jossa m ja n ovat kokonaislukuja. Nämä ovat uudentyyppisiä lukuja, jotka voidaan laskea millä tahansa tarkkuudella, mutta joita ei voida korvata rationaalisella luvulla. Ne voivat ilmetä esimerkiksi geometristen mittausten seurauksena: neliön diagonaalin pituuden suhde sen sivun pituuteen on yhtä suuri.

Neliöyhtälö on toisen asteen algebrallinen yhtälö ax2+bx+c=0, jossa a, b, c on annettu numeerisilla tai aakkosellisilla kertoimilla, x on tuntematon. Jos jaamme tämän yhtälön kaikki ehdot a:lla, saadaan x2+px+q=0 - pelkistetty yhtälö p=b/a, q=c/a. Sen juuret löytyvät kaavasta:

Jos b2-4ac>0, on kaksi erillistä juuria, b2-4ac=0, silloin on kaksi yhtä suurta juuria; b2-4ac Moduuleja sisältävät yhtälöt

Moduuleja sisältävien yhtälöiden päätyypit:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, missä f(x), g(x), fk(x), gk(x) on annettu funktioita.

Matematiikassa murtoluku on luku, joka koostuu yksikön yhdestä tai useammasta osasta (murto-osasta). Kirjoitusmuodon mukaan murtoluvut jaetaan tavallisiin (esimerkki \frac (5) (8)) ja desimaalilukuihin (esimerkiksi 123,45).

Määritelmä. Tavallinen murto-osa (tai yksinkertainen murtoluku)

Tavallinen (yksinkertainen) murtoluku on luku muodossa \pm\frac(m)(n), missä m ja n ovat luonnollisia lukuja. Numeroa m kutsutaan osoittaja tämä murtoluku, ja luku n on sen nimittäjä.

Vaaka- tai vinoviiva osoittaa jakomerkkiä, eli \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Tavalliset murtoluvut jaetaan kahteen tyyppiin: oikea ja väärä.

Määritelmä. Oikeat ja väärät murtoluvut

oikea Murtolukua kutsutaan, jos osoittajan moduuli on pienempi kuin nimittäjän moduuli. Esimerkiksi \frac(9)(11) , koska 9

Väärä Murtolukua kutsutaan, jos osoittajan moduuli on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän moduuli. Tällainen murtoluku on rationaalinen luku, modulo suurempi tai yhtä suuri kuin yksi. Esimerkkinä voisivat olla murtoluvut \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Virheellisen murtoluvun lisäksi luvulle on toinen merkintä, jota kutsutaan sekamurtoluvuksi (sekaluku). Tällainen murto-osa ei ole tavallinen.

Määritelmä. Sekaluku (sekaluku)

sekoitettu fraktio kutsutaan murtoluvuksi, joka on kirjoitettu kokonaisluvuksi ja oikeaksi murtoluvuksi, ja se ymmärretään tämän luvun ja murtoluvun summana. Esimerkiksi 2\frac(5)(7)

(kirjoitettu sekalukuna) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (ei kirjoitettu vääränä murtolukuna)

Murtoluku on vain esitys luvusta. Sama luku voi vastata eri murtolukuja, sekä tavallisia että desimaalilukuja. Muodostetaan merkki kahden tavallisen murtoluvun yhtäläisyydestä.

Määritelmä. Murtolukujen tasa-arvon merkki

Kaksi murtolukua \frac(a)(b) ja \frac(c)(d) ovat yhtä suuri, jos a\cdot d=b\cdot c . Esimerkiksi \frac(2)(3)=\frac(8)(12) koska 2\cdot12=3\cdot8

Murtoluvun pääominaisuus seuraa määritetystä merkistä.

Omaisuus. Murtoluvun perusominaisuus

Jos tietyn murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, joka ei ole nolla, saadaan murto-osa, joka on yhtä suuri kuin annettu.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä voit korvata annetun murtoluvun toisella murtoluvulla, joka on yhtä suuri kuin annettu, mutta pienemmällä osoittajalla ja nimittäjällä. Tätä substituutiota kutsutaan fraktion vähentämiseksi. Esimerkiksi \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (tässä osoittaja ja nimittäjä jaetaan ensin kahdella ja sitten vielä kahdella). Murtolukua voidaan pienentää jos ja vain jos sen osoittaja ja nimittäjä eivät ole alkulukuja. Jos tietyn murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat yhteislukua, murtolukua ei voi pienentää, esimerkiksi \frac(3)(4) on pelkistymätön murtoluku.

Positiivisten murtolukujen säännöt:

Kahdesta fraktiosta samoilla nimittäjillä sitä suurempi on se murto-osa, jonka osoittaja on suurempi. Esimerkiksi \frac(3)(15)

Kahdesta fraktiosta samoilla osoittajilla mitä suurempi on se murto-osa, jonka nimittäjä on pienempi. Esimerkiksi \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Vertaaksesi kahta murtolukua, joilla on eri osoittajat ja nimittäjät, sinun on muunnettava molemmat murtoluvut niin, että niiden nimittäjistä tulee samat. Tätä muutosta kutsutaan murtolukujen vähentämiseksi yhteiseksi nimittäjäksi.

Aloitamme tämän aiheen tarkastelun tutkimalla murto-osan käsitettä kokonaisuutena, mikä antaa meille täydellisemmän käsityksen tavallisen murtoluvun merkityksestä. Esitetään päätermit ja niiden määritelmät, tutkitaan aihetta geometrisessa tulkinnassa, ts. koordinaattiviivalla ja määritä myös luettelo perustoiminnoista murtoluvuilla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kokonaisuuden osakkeita

Kuvittele esine, joka koostuu useista täysin yhtäläisistä osista. Se voi olla esimerkiksi appelsiini, joka koostuu useista identtisistä viipaleista.

Määritelmä 1

Osuus kokonaisuudesta tai osuus on jokainen yhtä suuri osa, joka muodostaa koko kohteen.

On selvää, että osakkeet voivat olla erilaisia. Selittääksesi tämän väitteen selvästi, kuvittele kaksi omenaa, joista toinen leikataan kahteen yhtä suureen osaan ja toinen neljään osaan. On selvää, että eri omenoiden tuloksena olevien osuuksien koko vaihtelee.

Osakkeilla on omat nimensä, jotka riippuvat koko aiheen muodostavien osakkeiden lukumäärästä. Jos esineellä on kaksi osaa, kukin niistä määritellään tämän kohteen yhdeksi toiseksi osaksi; kun esine koostuu kolmesta osasta, niin jokainen niistä on yksi kolmasosa ja niin edelleen.

Määritelmä 2

Puoli- yksi toinen osa aiheesta.

Kolmanneksi- kolmasosa aiheesta.

vuosineljännes- neljäsosa aiheesta.

Tietueen lyhentämiseksi otettiin käyttöön seuraava osakkeiden merkintä: puoli - 1 2 tai 1/2; kolmas - 1 3 tai 1/3; neljäsosaa 1 4 tai 1/4 ja niin edelleen. Vaakapalkilla varustettuja merkintöjä käytetään useammin.

Osuuden käsite laajenee luonnollisesti esineistä suuruusluokkiin. Voit siis käyttää metrin murto-osia (kolmasosa tai sadasosa) pienten esineiden mittaamiseen yhtenä pituusyksikkönä. Muiden määrien osuuksia voidaan soveltaa samalla tavalla.

Yleiset murtoluvut, määritelmät ja esimerkit

Osakkeiden lukumäärää kuvaamaan käytetään satunnaisia ​​murtolukuja. Harkitse yksinkertaista esimerkkiä, joka vie meidät lähemmäksi tavallisen murtoluvun määritelmää.

Kuvittele appelsiini, joka koostuu 12 viipaleesta. Jokainen osake on silloin - yksi kahdestoistaosa tai 1/12. Kaksi osaketta - 2/12; kolme osaketta - 3/12 jne. Kaikki 12 osaa tai kokonaisluku näyttäisivät tältä: 12/12 . Jokainen esimerkissä käytetty merkintä on esimerkki yhteisestä murtoluvusta.

Määritelmä 3

Murtoluku on lomakkeen tietue m n tai m / n , missä m ja n ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Tämän määritelmän mukaan esimerkkejä tavallisista murtoluvuista voivat olla merkinnät: 4 / 9, 1134, 91754. Ja nämä merkinnät: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 eivät ole tavallisia murtolukuja.

Osoittaja ja nimittäjä

Määritelmä 4

osoittaja murtoluku m n tai m / n on luonnollinen luku m .

nimittäjä murtoluku m n tai m / n on luonnollinen luku n .

Nuo. osoittaja on numero, joka on tavallisen murtoluvun palkin yläpuolella (tai kauttaviivan vasemmalla puolella), ja nimittäjä on palkin alapuolella oleva numero (vinoviivan oikealla puolella).

Mitä tarkoittaa osoittaja ja nimittäjä? Tavallisen murtoluvun nimittäjä ilmaisee, kuinka monesta osakkeesta yksi erä koostuu, ja osoittaja antaa meille tiedon, kuinka monta tällaista osaketta otetaan huomioon. Esimerkiksi yhteinen murtoluku 7 54 osoittaa meille, että tietty kohde koostuu 54 osakkeesta, ja vastikkeena otimme 7 tällaista osaketta.

Luonnollinen luku murto-osana, jonka nimittäjä on 1

Tavallisen murtoluvun nimittäjä voi olla yhtä suuri kuin yksi. Tässä tapauksessa voidaan sanoa, että tarkasteltava kohde (arvo) on jakamaton, on jotain kokonaista. Tällaisessa murtoluvussa oleva osoittaja osoittaa, kuinka monta tällaista kohdetta otetaan, ts. muodon m 1 tavallinen murtoluku on luonnollisen luvun m merkitys. Tämä väite toimii perusteena yhtälölle m 1 = m .

Kirjoitetaan viimeinen yhtälö näin: m = m 1 . Se antaa meille mahdollisuuden käyttää mitä tahansa luonnollista lukua tavallisen murtoluvun muodossa. Esimerkiksi luku 74 on muodon 74 1 tavallinen murto-osa.

Määritelmä 5

Mikä tahansa luonnollinen luku m voidaan kirjoittaa tavalliseksi murtoluvuksi, jossa nimittäjä on yksi: m 1 .

Mikä tahansa muodon m 1 tavallinen murto-osa voidaan puolestaan ​​esittää luonnollisella luvulla m .

Murtopalkki jakomerkkinä

Yllä oleva tietyn objektin esitys n osuutena ei ole muuta kuin jakamista n yhtä suureen osaan. Kun esine on jaettu n osaan, meillä on mahdollisuus jakaa se tasan n henkilön kesken - jokainen saa osansa.

Siinä tapauksessa, että meillä on alun perin m identtistä kohdetta (jokainen jaettu n osaan), niin nämä m kohdetta voidaan jakaa tasan n ihmisen kesken, jolloin kullekin saa yhden osuuden jokaisesta m kohteesta. Tässä tapauksessa jokaisella henkilöllä on m osaketta 1 n ja m osaketta 1 n antaa tavallisen murto-osan m n . Siksi yhteistä murtolukua m n voidaan käyttää kuvaamaan m kohteen jakoa n henkilön kesken.

Tuloksena oleva lause muodostaa yhteyden tavallisten murtolukujen ja jaon välille. Ja tämä suhde voidaan ilmaista seuraavasti : jakomerkkinä voidaan tarkoittaa murto-osan suoraa, ts. m/n=m:n.

Tavallisen murtoluvun avulla voimme kirjoittaa tuloksen kahden luonnollisen luvun jakamisesta. Esimerkiksi jakamalla 7 omenaa 10 henkilöllä kirjoitetaan 7 10: jokainen saa seitsemän kymmenesosaa.

Yhtäläiset ja eriarvoiset yhteiset murtoluvut

Looginen toiminta on verrata tavallisia murtolukuja, koska on selvää, että esimerkiksi omenan 1 8 on erilainen kuin 7 8 .

Tavallisten murtolukujen vertailun tulos voi olla: yhtä suuri tai eriarvoinen.

Määritelmä 6

Samat yhteiset murtoluvut ovat tavallisia murtolukuja a b ja c d , joille yhtälö on tosi: a d = b c .

Epätasaiset yhteiset murtoluvut- tavalliset murtoluvut a b ja c d , joille yhtälö: a · d = b · c ei ole totta.

Esimerkki yhtäläisistä murtoluvuista: 1 3 ja 4 12 - koska yhtälö 1 12 \u003d 3 4 on totta.

Siinä tapauksessa, että murtoluvut eivät ole yhtä suuria, on yleensä myös tarpeen selvittää, mikä annetuista murtoluvuista on pienempi ja mikä suurempi. Näihin kysymyksiin vastaamiseksi tavallisia murtolukuja verrataan tuomalla ne yhteiseen nimittäjään ja sitten vertaamalla osoittajia.

Murtoluvut

Jokainen murtoluku on tietue murtoluvusta, joka itse asiassa on vain "kuori", semanttisen kuorman visualisointi. Mutta silti, mukavuuden vuoksi yhdistämme murto- ja murtoluvun käsitteet, yksinkertaisesti sanottuna - murto-osa.

Kaikilla murtoluvuilla, kuten kaikilla muillakin luvuilla, on oma ainutlaatuinen sijaintinsa koordinaattisäteellä: murto-osien ja koordinaattisäteen pisteiden välillä on yksi yhteen vastaavuus.

Koordinaattisäteen pisteen löytämiseksi, joka merkitsee murto-osaa m n, on tarpeen siirtää koordinaattien origosta positiiviseen suuntaan m segmenttiä, joiden kunkin pituus on 1 n yksikkösegmentin murto-osa. Segmenttejä voidaan saada jakamalla yksi segmentti n identtiseen osaan.

Merkitään esimerkkinä koordinaattisäteen piste M, joka vastaa murto-osaa 14 10 . Janan pituus, jonka päät ovat piste O ja lähin piste, merkitty pienellä vedolla, on 1 10 murto-osaa yksikkösegmentistä. Murto-osaa 14 10 vastaava piste sijaitsee etäisyyden päässä koordinaattien origosta 14 tällaisen segmentin etäisyydellä.

Jos murtoluvut ovat yhtä suuret, ts. ne vastaavat samaa murtolukua, jolloin nämä murtoluvut toimivat koordinaattisäteen saman pisteen koordinaatteina. Esimerkiksi koordinaatit yhtä suurien murtolukujen muodossa 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 vastaavat samaa koordinaattisäteen pistettä, joka sijaitsee kolmanneksen etäisyydellä yksikkösegmentistä, siirrettynä lähtö positiiviseen suuntaan.

Tässä toimii sama periaate kuin kokonaislukujen kanssa: oikealle suunnatulla vaakakoordinaattisäteellä isoa murto-osaa vastaava piste sijoittuu pienempää murto-osaa vastaavan pisteen oikealle puolelle. Ja päinvastoin: piste, jonka koordinaatti on pienempi murto-osa, sijaitsee pisteen vasemmalla puolella, joka vastaa suurempaa koordinaattia.

Oikeat ja väärät murtoluvut, määritelmät, esimerkit

Murtolukujen jako oikeaan ja väärään perustuu osoittajan ja nimittäjän vertailuun saman murtoluvun sisällä.

Määritelmä 7

Oikea murto-osa on tavallinen murtoluku, jonka osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Eli jos epätasa-arvo m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Väärä murtoluku on murtoluku, jonka osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä. Eli jos epäyhtälö määrittelemätön on tosi, niin tavallinen murtoluku m n on väärä.

Tässä muutamia esimerkkejä: - oikeat murtoluvut:

Esimerkki 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Väärät murtoluvut:

Esimerkki 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

On myös mahdollista antaa oikean ja väärän murtoluvun määritelmä perustuen murto-osan vertailuun yksikköön.

Määritelmä 8

Oikea murto-osa on yhteinen murtoluku, joka on pienempi kuin yksi.

Väärä murtoluku on yhteinen murtoluku, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin yksi.

Esimerkiksi murtoluku 8 12 on oikea, koska 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 ja 14 14 = 1.

Mennään hieman syvemmälle pohtimaan, miksi murtolukuja, joissa osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, kutsutaan "sopimattomiksi".

Tarkastellaan väärää murtolukua 8 8: se kertoo, että 8 osasta koostuvasta esineestä otetaan 8 osaa. Näin ollen käytettävissä olevasta kahdeksasta osakkeesta voimme muodostaa kokonaisen objektin, ts. annettu murto-osa 8 8 edustaa olennaisesti koko objektia: 8 8 \u003d 1. Murtoluvut, joissa osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret, korvaavat luonnollisen luvun 1.

Huomioi myös murtoluvut, joissa osoittaja ylittää nimittäjän: 11 5 ja 36 3 . On selvää, että murto-osa 11 5 osoittaa, että voimme tehdä siitä kaksi kokonaista esinettä ja siitä tulee vielä viidesosa. Nuo. murto-osa 11 5 on 2 kohdetta ja toinen 1 5 siitä. 36 3 puolestaan ​​on murto-osa, joka tarkoittaa käytännössä 12 kokonaista kohdetta.

Näiden esimerkkien avulla voidaan päätellä, että väärät murtoluvut voidaan korvata luonnollisilla luvuilla (jos osoittaja on jaollinen nimittäjällä ilman jäännöstä: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) tai luonnollisen luvun ja a oikea murtoluku (jos osoittaja ei ole jaollinen nimittäjällä ilman jäännöstä: 11 5 = 2 + 1 5). Luultavasti tästä syystä tällaisia ​​murtolukuja kutsutaan "sopimattomiksi".

Tässäkin kohtaamme yhden tärkeimmistä numerotaitoja.

Määritelmä 9

Kokonaisluvun erottaminen väärästä murtoluvusta on väärä murtoluku, joka on kirjoitettu luonnollisen luvun ja oikean murtoluvun summana.

Huomaa myös, että väärien murtolukujen ja sekalukujen välillä on läheinen yhteys.

Positiiviset ja negatiiviset murtoluvut

Yllä sanoimme, että jokainen tavallinen murtoluku vastaa positiivista murtolukua. Nuo. tavalliset murtoluvut ovat positiivisia murtolukuja. Esimerkiksi murtoluvut 5 17 , 6 98 , 64 79 ovat positiivisia, ja kun on tarpeen korostaa murtoluvun ”positiivisuutta”, se kirjoitetaan plusmerkillä: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Jos annamme tavalliselle murtoluvulle miinusmerkin, tuloksena oleva tietue on negatiivisen murtoluvun tietue, ja tässä tapauksessa puhumme negatiivisista murtoluvuista. Esimerkiksi - 8 17 , - 78 14 jne.

Positiiviset ja negatiiviset murtoluvut m n ja - m n ovat vastakkaisia ​​lukuja, esimerkiksi murtoluvut 7 8 ja - 7 8 ovat vastakkaisia.

Positiiviset murtoluvut, kuten kaikki positiiviset luvut yleensä, tarkoittavat yhteenlaskua, muutosta ylöspäin. Negatiiviset jakeet puolestaan ​​vastaavat kulutusta, muutosta laskusuunnassa.

Jos tarkastelemme koordinaattiviivaa, näemme, että negatiiviset murtoluvut sijaitsevat vertailupisteen vasemmalla puolella. Pisteet, joita murtoluvut vastaavat ja jotka ovat vastakkaisia ​​(m n ja - m n), sijaitsevat samalla etäisyydellä O-koordinaattien origosta, mutta sen vastakkaisilla puolilla.

Tässä puhutaan myös erikseen muodossa 0 n kirjoitetuista murtoluvuista. Tällainen murto-osa on yhtä suuri kuin nolla, ts. 0 n = 0.

Yhteenvetona kaikesta yllä olevasta olemme päässeet rationaalisten lukujen tärkeimpään käsitteeseen.

Määritelmä 10

Rationaaliset luvut on joukko positiivisia, negatiivisia ja muotoa 0 n olevia murto-osia.

Toiminnot murtoluvuilla

Listataan perusoperaatiot murtoluvuilla. Yleensä niiden olemus on sama kuin vastaavien luonnollisten lukujen operaatioiden

1. Murtolukujen vertailu - keskustelimme tästä toiminnosta edellä.
2. Murtolukujen lisääminen - tavallisten murto-osien lisäämisen tulos on tavallinen murto-osa (tietyssä tapauksessa vähennettynä luonnolliseen lukuun).
3. Murto-osien vähentäminen on toimintaa, vastakohta yhteenlaskulle, kun tuntematon murto-osa määritetään yhdestä tunnetusta murto-osasta ja annetusta murto-osien summasta.
4. Murtolukujen kertominen - tätä toimintoa voidaan kuvata murto-osan löytämiseksi murtoluvusta. Kahden tavallisen murtoluvun kertomisen tulos on tavallinen murtoluku (tietyssä tapauksessa yhtä suuri kuin luonnollinen luku).
5. Murtolukujen jako on kertolaskujen käänteisluku, kun määritetään murto-osa, jolla on tarpeen kertoa annettu, jotta saadaan tunnettu kahden murtoluvun tulo.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Osuuden osakkeita ja se esitetään nimellä \frac(a)(b).

Murtolukuosoittaja (a)- murto-osan rivin yläpuolella oleva luku, joka osoittaa niiden osakkeiden lukumäärän, joihin yksikkö on jaettu.

Murtoluvun nimittäjä (b)- murto-osan rivin alla oleva luku, joka osoittaa kuinka monta osaketta yksikkö jaettiin.

Piilota esitys

Murtoluvun perusominaisuus

Jos ad=bc , niin kaksi murtolukua \frac(a)(b) ja \frac(c)(d) katsotaan tasa-arvoisiksi. Esimerkiksi murtoluvut ovat yhtä suuret \frac35 ja \frac(9)(15), koska 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) ja \frac(24)(14), koska 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Murtolukujen yhtäläisyyden määritelmästä seuraa, että murtoluvut ovat yhtä suuret \frac(a)(b) ja \frac(am)(bm), koska a(bm)=b(am) on selkeä esimerkki luonnollisten lukujen kertolaskujen assosiatiivisten ja kommutatiivisten ominaisuuksien käytöstä toiminnassa.

Keinot \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- näyttää tältä murto-osan perusominaisuus.

Toisin sanoen, saadaan annettua vastaava murto-osa kertomalla tai jakamalla alkuperäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä samalla luonnollisella luvulla.

Fraktion vähentäminen on murto-osan korvausprosessi, jossa uusi murto-osa on yhtä suuri kuin alkuperäinen, mutta pienemmällä osoittajalla ja nimittäjällä.

Murtolukuja on tapana pienentää murto-osan pääominaisuuden perusteella.

Esimerkiksi, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(osoittaja ja nimittäjä ovat jaettavissa luvulla 3); saatua murto-osaa voidaan jälleen pienentää jakamalla 5:llä, ts. \frac(15)(20)=\frac 34.

redusoitumaton murto-osa on muodon murto-osa \frac 34, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat suhteellisen alkulukuja. Fraktion vähentämisen päätarkoitus on tehdä fraktiosta pelkistymätön.

Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

Otetaan esimerkkinä kaksi murtolukua: \frac(2)(3) ja \frac(5)(8) eri nimittäjillä 3 ja 8 . Jotta nämä murtoluvut saadaan yhteiseksi nimittäjäksi ja kerrotaan ensin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä \frac(2)(3) 8 mennessä. Saamme seuraavan tuloksen: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Kerro sitten murtoluvun osoittaja ja nimittäjä \frac(5)(8) mennessä 3. Saamme tuloksena: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Joten alkuperäiset murtoluvut vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi 24.

Aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla

Tavallisten jakeiden lisääminen

a) Samoilla nimittäjillä ensimmäisen murtoluvun osoittaja lisätään toisen murtoluvun osoittajaan, jolloin nimittäjä jää ennalleen. Kuten esimerkistä näkyy:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Eri nimittäjillä murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen osoittajat lisätään säännön a mukaisesti:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Tavallisten murtolukujen vähentäminen

a) Samoilla nimittäjillä, vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta jättäen nimittäjä ennalleen:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Jos murto-osien nimittäjät ovat erilaiset, murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi ja toistetaan sitten vaiheet kuten kohdassa a).

Tavallisten murtolukujen kertolasku

Murtolukujen kertolasku noudattaa seuraavaa sääntöä:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

eli kerrotaan osoittajat ja nimittäjät erikseen.

Esimerkiksi:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Tavallisten jakeiden jako

Murtoluvut jaetaan seuraavasti:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

se on murto-osa \frac(a)(b) kerrottuna murtoluvulla \frac(d)(c).

Esimerkki: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Vastavuoroiset numerot

Jos ab=1, niin luku b on käänteinen numero numerolle a.

Esimerkki: numero 9 on päinvastainen \frac(1)(9), koska 9 \cdot \frac(1)(9)=1, numerolle 5 - \frac(1)(5), koska 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Desimaalit

Desimaali on oikea murtoluku, jonka nimittäjä on 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Esimerkiksi: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Samalla tavalla kirjoitetaan vääriä lukuja, joiden nimittäjä on 10 ^ n, tai sekalukuja.

Esimerkiksi: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Desimaalimurtoluvun muodossa esitetään mikä tahansa tavallinen murtoluku, jonka nimittäjä on luvun 10 tietyn potenssin jakaja.

Esimerkki: 5 on luvun 100 jakaja, joten murto-osa \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmeettiset toiminnot desimaaliluvuilla

Desimaalien lisääminen

Jos haluat lisätä kaksi desimaalilukua, sinun on järjestettävä ne niin, että samat numerot ja pilkku pilkun alla näkyvät toistensa alla, ja lisää sitten murtoluvut tavallisina numeroina.

Desimaalien vähentäminen

Se toimii samalla tavalla kuin lisäys.

Desimaaliluku

Desimaalilukuja kerrottaessa riittää kertomalla annetut luvut pilkkuja huomioimatta (luonnollisina lukuina), ja vastaanotetussa vastauksessa oikealla oleva pilkku erottaa niin monta numeroa kuin on desimaalipilkun jälkeen molemmissa kertoimissa yhteensä .

Kerrotaan 2,7 luvulla 1,3. Meillä on 27 \cdot 13=351 . Erotamme kaksi numeroa oikealta pilkulla (ensimmäisessä ja toisessa numerossa on yksi numero desimaalipilkun jälkeen; 1+1=2). Tuloksena saamme 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

Jos tuloksessa on vähemmän numeroita kuin on tarpeen erottaa pilkulla, puuttuvat nollat ​​kirjoitetaan eteen, esim.

Jos haluat kertoa 10:llä, 100:lla, 1000:lla desimaaliluvulla, siirrä pilkkua 1, 2, 3 numeroa oikealle (tarvittaessa oikealle määrätään tietty määrä nollia).

Esimerkki: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Desimaalijako

Desimaaliluvun jakaminen luonnollisella luvulla tapahtuu samalla tavalla kuin luonnollisen luvun jakaminen luonnollisella luvulla. Pilkku yksityiseen sijoitetaan sen jälkeen, kun kokonaislukuosan jako on valmis.

Jos osingon kokonaisluku on pienempi kuin jakaja, niin vastaus on nolla kokonaislukua, esimerkiksi:

Harkitse desimaaliluvun jakamista desimaalilla. Oletetaan, että meidän on jaettava 2,576 luvulla 1,12. Ensin kerrotaan murto-osan osinko ja jakaja 100:lla, eli siirretään pilkku oikealle jaossa ja jakaja niin monella merkillä kuin on jakajassa desimaalipilkun jälkeen (tässä esimerkissä , kaksi). Sitten sinun on jaettava murto-osa 257,6 luonnollisella luvulla 112, eli ongelma pelkistyy jo harkittuun tapaukseen:

Tapahtuu, että lopullista desimaalimurtolukua ei aina saada, kun yksi luku jaetaan toisella. Tuloksena on ääretön desimaali. Tällaisissa tapauksissa siirry tavallisiin murtolukuihin.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).