Tason suoran yhtälö.

Kuten tiedetään, minkä tahansa tason pisteen määrää kaksi koordinaattia jossain koordinaattijärjestelmässä. Koordinaattijärjestelmät voivat olla erilaisia ​​riippuen perustan ja alkuperän valinnasta.

Määritelmä. Viivayhtälö on tämän suoran muodostavien pisteiden koordinaattien välinen suhde y = f(x).

Huomaa, että viivayhtälö voidaan ilmaista parametrisesti, eli kunkin pisteen jokainen koordinaatti ilmaistaan ​​jonkin riippumattoman parametrin kautta. t.

Tyypillinen esimerkki on liikkuvan pisteen lentorata. Tässä tapauksessa aika on parametrin rooli.

Tason suoran yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

lisäksi vakiot A, B eivät ole yhtä aikaa nolla, ts. A 2 + B 2  0. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan suoran suoran yleinen yhtälö.

Vakioiden A, B ja C arvoista riippuen seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

C \u003d 0, A  0, B  0 - viiva kulkee origon kautta

A \u003d 0, B  0, C  0 (by + C \u003d 0) - viiva on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - viiva on samansuuntainen Oy-akselin kanssa

B \u003d C \u003d 0, A  0 - suora osuu yhteen Oy-akselin kanssa

A \u003d C \u003d 0, B  0 - suora osuu yhteen Ox-akselin kanssa

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa annetusta alkuehdosta.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa vektori, jonka komponentit (A, B) on kohtisuorassa yhtälön Ax + By + C = 0 antamaa suoraa vastaan.

Esimerkki. Etsi vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen A (1, 2) kautta kulkevan suoran yhtälö (3, -1).

Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi korvaamme annetun pisteen A koordinaatit tuloksena olevalla lausekkeella.

Saamme: 3 - 2 + C \u003d 0, joten C \u003d -1.

Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Olkoon kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2) avaruudessa, sitten näiden pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi.

Tasossa yllä kirjoitettua suoran yhtälöä yksinkertaistetaan:

jos x 1  x 2 ja x \u003d x 1, jos x 1 \u003d x 2.

Murto-osa
=k kutsutaan kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran Ax + Vy + C = 0 yleinen yhtälö johtaa muotoon:

ja nimetä
, niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan suoran ja kaltevuuden yhtälök.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Vastaavasti kappaleen kanssa, jossa tarkastellaan normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälöä, voit syöttää pisteen kautta kulkevan suoran ja suoran suuntausvektorin.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori ( 1 ,  2), jonka komponentit täyttävät ehdon A 1 + B 2 = 0, kutsutaan suoran suuntavektoriksi

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suorasta suuntavektorista (1, -1) ja kulkee pisteen A(1, 2) läpi.

Etsimme halutun suoran yhtälöä muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan kertoimien tulee täyttää ehdot:

1A + (-1)B = 0, ts. A = B.

Tällöin suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0 tai x + y + C/A = 0.

kun x = 1, y = 2, saadaan С/A = -3, ts. haluttu yhtälö:

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran Ah + Wu + C = 0 C 0 yleisessä yhtälössä, niin jakamalla –C:llä saadaan:
tai

, missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on suoran ja x-akselin leikkauspisteen koordinaatti, ja b- suoran ja Oy-akselin leikkauspisteen koordinaatti.

Esimerkki. Annettu suoran x - y + 1 = 0 yleinen yhtälö. Etsi janoista tämän suoran yhtälö.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ax + Wy + C = 0 jaettuna luvulla
, jota kutsutaan normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcos + ysin - p = 0 -

suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisoivan tekijän etumerkki  on valittava siten, että С< 0.

p on origosta suoralle pudotetun kohtisuoran pituus, ja  on tämän kohtisuoran muodostama kulma Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Esimerkki. Kun on annettu suoran yleinen yhtälö 12x - 5y - 65 = 0. Tälle riville on kirjoitettava erilaisia ​​yhtälöitä.

tämän suoran yhtälö segmenteissä:

tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

normaali suoran yhtälö:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​akselien kanssa tai kulkevat origon kautta.

Esimerkki. Suora katkaisee yhtä suuret positiiviset segmentit koordinaattiakseleilta. Kirjoita suoran yhtälö, jos näiden osien muodostaman kolmion pinta-ala on 8 cm 2.

Suoran yhtälöllä on muoto:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ei sovi tehtävän ehtoon.

Kaikki yhteensä:
tai x + y - 4 = 0.

Esimerkki. Kirjoita pisteen A (-2, -3) ja origon kautta kulkevan suoran yhtälö.

Suoran yhtälöllä on muoto:
, jossa x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; v 2 \u003d -3.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään

.

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2 .

Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/k 2 .

Lause. Suorat Ax + Vy + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet A ovat verrannollisia 1 =  A, B 1 =  B. Jos myös C 1 =  C, sitten suorat osuvat yhteen.

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö

kohtisuorassa tätä linjaa vastaan.

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi ja on kohtisuorassa suoraa y \u003d kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste M(x 0 , y 0 ), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C = 0 määritellään seuraavasti

.

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 läpi kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan.

Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

.

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Löydämme sivun AB yhtälön:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3v + 3 = 0;

Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b.

k = . Sitten y =
. Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön:
jossa b = 17. Yhteensä:
.

Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.

Analyyttinen geometria avaruudessa.

Suorayhtälö avaruudessa.

Avaruuden suoran yhtälö pisteen ja

suuntavektori.

Ota mielivaltainen suora ja vektori (m, n, p) yhdensuuntainen annetun suoran kanssa. Vektori nimeltään ohjevektori suoraan.

Otetaan kaksi mielivaltaista pistettä M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ja M(x, y, z) suoralta.

z

M1

Merkitään näiden pisteiden sädevektorit muodossa ja , se on selvää - =
.

Koska vektorit
ja ovat kollineaarisia, suhde on tosi
= t, missä t on jokin parametri.

Yhteensä voimme kirjoittaa: = + t.

Koska tämä yhtälö täyttyy minkä tahansa suoran pisteen koordinaateista, jolloin tuloksena oleva yhtälö on suoran parametrinen yhtälö.

Tämä vektoriyhtälö voidaan esittää koordinaattimuodossa:

Muuntamalla tätä järjestelmää ja vertaamalla parametrin t arvot saamme avaruudessa olevan suoran kanoniset yhtälöt:

.

Määritelmä. Suuntakosinit suorat ovat vektorin suuntakosinit , joka voidaan laskea kaavoilla:

;

.

Tästä saamme: m: n: p = cos : cos : cos.

Numeroita m, n, p kutsutaan kaltevuustekijät suoraan. Koska on nollasta poikkeava vektori, m, n ja p eivät voi olla nolla samanaikaisesti, mutta yksi tai kaksi näistä luvuista voi olla nolla. Tässä tapauksessa suoran yhtälössä vastaavat osoittajat tulisi rinnastaa nollaan.

Avaruudessa kulkevan suoran yhtälö

kahden pisteen kautta.

Jos kaksi mielivaltaista pistettä M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2) on merkitty suoralle avaruudessa, niin näiden pisteiden koordinaattien on täytettävä yhtälö yllä saatu suora viiva:

.

Lisäksi pisteelle M 1 voimme kirjoittaa:

.

Ratkaisemalla nämä yhtälöt yhdessä, saamme:

.

Tämä on kahden avaruuden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö.

Suoran suoran yleiset yhtälöt avaruudessa.

Suoran yhtälöä voidaan pitää kahden tason leikkausviivan yhtälönä.

Kuten edellä mainittiin, vektorimuodossa oleva taso voidaan antaa yhtälöllä:

+ D = 0, missä

- kone normaali; - tason mielivaltaisen pisteen sädevektori.

Oppitunti sarjasta "Geometric Algorithms"

Hei rakas lukija!

Tänään aloitamme geometriaan liittyvien algoritmien oppimisen. Tosiasia on, että tietojenkäsittelytieteessä on paljon laskennalliseen geometriaan liittyviä olympiaongelmia, ja tällaisten ongelmien ratkaiseminen aiheuttaa usein vaikeuksia.

Muutamalla oppitunnilla tarkastelemme useita alkeellisia osaongelmia, joihin useimpien laskennallisen geometrian ongelmien ratkaisu perustuu.

Tällä oppitunnilla kirjoitamme ohjelman suoran yhtälön löytäminen kulkee annetun läpi kaksi pistettä. Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme jonkin verran tietoa laskennallisesta geometriasta. Omistamme osan oppitunnista heidän tuntemiseensa.

Tietoa laskennallisesta geometriasta

Laskennallinen geometria on tietojenkäsittelytieteen ala, joka tutkii algoritmeja geometristen ongelmien ratkaisemiseksi.

Tällaisten ongelmien alkutiedot voivat olla tason pistejoukko, segmenttijoukko, monikulmio (joka annetaan esimerkiksi luettelolla sen kärkipisteistä myötäpäivään) jne.

Tuloksena voi olla joko vastaus johonkin kysymykseen (kuten kuuluuko piste janaan, leikkaavatko kaksi segmenttiä, ...) tai jokin geometrinen kohde (esim. pienin kupera monikulmio, joka yhdistää tiettyjä pisteitä, pinta-ala monikulmio jne.).

Käsittelemme laskennallisen geometrian ongelmia vain tasossa ja vain karteesisessa koordinaatistossa.

Vektorit ja koordinaatit

Laskennallisen geometrian menetelmien soveltamiseksi on välttämätöntä kääntää geometriset kuvat lukujen kielelle. Oletetaan, että tasossa on annettu karteesinen koordinaattijärjestelmä, jossa pyörimissuuntaa vastapäivään kutsutaan positiiviseksi.

Nyt geometriset objektit saavat analyyttisen lausekkeen. Joten pisteen asettamiseksi riittää, että määrität sen koordinaatit: numeropari (x; y). Jana voidaan määrittää määrittämällä sen päiden koordinaatit, suora voidaan määrittää määrittämällä sen pisteparin koordinaatit.

Mutta tärkein työkalu ongelmien ratkaisemiseen ovat vektorit. Muistutan siksi joitain tietoja heistä.

Jana AB, jolla on järkeä MUTTA pidettiin alkua (sovelluskohtaa) ja kohtaa AT- loppua kutsutaan vektoriksi AB ja merkitään joko , tai esimerkiksi lihavoitu pienellä kirjaimella a .

Vektorin pituuden (eli vastaavan segmentin pituuden) ilmaisemiseksi käytämme moduulisymbolia (esimerkiksi ).

Satunnaisella vektorilla on koordinaatit, jotka ovat yhtä suuria kuin sen lopun ja alun vastaavien koordinaattien välinen ero:

,

pisteitä täällä A ja B on koordinaatit vastaavasti.

Laskennassa käytämme käsitettä suunnattu kulma, eli kulma, joka ottaa huomioon vektorien suhteellisen sijainnin.

Suunnattu kulma vektorien välillä a ja b positiivinen, jos rotaatio on poispäin vektorista a vektoriin b tehdään positiiviseen suuntaan (vastapäivään) ja negatiiviseen toisessa tapauksessa. Katso kuva 1a, kuva 1b. Sanotaan myös, että vektoripari a ja b positiivisesti (negatiivisesti) suuntautunut.

Siten suunnatun kulman arvo riippuu vektorien luettelointijärjestyksestä ja voi ottaa arvoja välillä .

Monet laskennallisen geometrian ongelmat käyttävät vektorien vektoritulojen (vino tai pseudoskalaari) käsitettä.

Vektorien a ja b vektoritulo on näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman sinin tulo:

.

Koordinaattien vektorien vektoritulo:

Oikealla oleva lauseke on toisen asteen determinantti:

Toisin kuin analyyttisen geometrian määritelmä, tämä on skalaari.

Ristitulon merkki määrittää vektorien sijainnin suhteessa toisiinsa:

a ja b positiivisesti suuntautunut.

Jos arvo on , niin vektoripari a ja b negatiivisesti suuntautunut.

Nollasta poikkeavien vektorien ristitulo on nolla silloin ja vain jos ne ovat kollineaarisia ( ). Tämä tarkoittaa, että ne sijaitsevat samalla linjalla tai yhdensuuntaisilla viivoilla.

Tarkastellaan joitain yksinkertaisia ​​tehtäviä, jotka ovat välttämättömiä monimutkaisempien ratkaisemiseksi.

Määritetään suoran yhtälö kahden pisteen koordinaatteilla.

Kahden eri pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö niiden koordinaattien perusteella.

Olkoon suoralla kaksi eri pistettä: koordinaatit (x1;y1) ja koordinaatit (x2; y2). Vastaavasti vektorilla, jonka alku on pisteessä ja loppu pisteessä, on koordinaatit (x2-x1, y2-y1). Jos P(x, y) on mielivaltainen piste suorallamme, niin vektorin koordinaatit ovat (x-x1, y - y1).

Ristitulon avulla vektorien kollineaarisuuden ehto ja voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Nuo. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kirjoitamme viimeisen yhtälön uudelleen seuraavasti:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Joten suora voidaan antaa muodon (1) yhtälöllä.

Tehtävä 1. Annetaan kahden pisteen koordinaatit. Etsi sen esitys muodossa ax + by + c = 0.

Tällä oppitunnilla tutustuimme joihinkin tietoihin laskennallisesta geometriasta. Ratkaisimme suoran yhtälön löytämisen kahden pisteen koordinaattien avulla.

Seuraavalla oppitunnilla kirjoitamme ohjelman, joka etsii kahden yhtälömme antaman suoran leikkauspisteen.

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja Kanssa Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa tiedosta

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Päätös. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Päätös. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Päätös. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran viivan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen läpi kulkeva viiva M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Avaruudessa olevan suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ne täyttävät ehdon:

.

Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.

Numerot m , n ja p ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n ja p ei voi olla nolla samanaikaisesti. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraavat merkinnät ovat sallittuja:

,

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akseleille Oy ja Oz ovat yhtä suuret kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden antama suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1 Laadi yhtälöt suorasta avaruudessa, joka on kohtisuorassa tasoon nähden ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Päätös. Etsi annetun tason ja akselin leikkauspiste Oz. Koska mikä tahansa piste akselilla Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa tason yhtälössä x=y= 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi annetun tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi normaalivektori voi toimia suoran suuntausvektorina annettu lentokone.

Nyt kirjoitetaan halutut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

.

Yllä olevat yhtälöt määrittelevät suoran, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta.

Esimerkki 2 Kirjoita yhtälö suoran avaruudessa kulkevan pisteiden ja .

Päätös. Kirjoitamme halutut suoran yhtälöt yllä esitetyssä muodossa teoreettisessa viitteessä:

.

Koska , Haluttu viiva on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Avaruuden suora voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. joukkona pisteitä, jotka täyttävät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Esimerkki 3 Laadi suoran suoran kanoniset yhtälöt yleisten yhtälöiden antamaan avaruuteen

Päätös. Jotta voit kirjoittaa suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä minkä tahansa kahden pisteen koordinaatit suoralta. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) halutusta rivistä. Olettaen sitten annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran leikkaus tason kanssa xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

tai jakamalla nimittäjät -2:lla:

,

Tämä artikkeli jatkaa aihetta tasaisen suoran yhtälöstä: tarkastelemme tällaista yhtälöä suoran yleisenä yhtälönä. Määritellään lause ja todistetaan se; Selvitetään, mikä on epätäydellinen suoran yleinen yhtälö ja kuinka tehdä siirtymiä yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin. Vahvistamme koko teorian kuvin ja käytännön ongelmien ratkaisemisen avulla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olkoon tasossa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y.

Lause 1

Mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö, jonka muoto on A x + B y + C \u003d 0, jossa A, B, C ovat joitain reaalilukuja (A ja B eivät ole yhtä suuri kuin nolla samanaikaisesti), määrittää suoran suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa. Mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa puolestaan ​​määräytyy yhtälöllä, jonka muoto on A x + B y + C = 0 tietylle arvojoukolle A, B, C.

Todiste

Tämä lause koostuu kahdesta kohdasta, todistamme niistä jokaisen.

1. Osoitetaan, että yhtälö A x + B y + C = 0 määrittelee tasossa olevan suoran.

Olkoon jokin piste M 0 (x 0, y 0), jonka koordinaatit vastaavat yhtälöä A x + B y + C = 0 . Siten: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä yhtälöiden A x + B y + C \u003d 0 vasemmalta ja oikealta puolelta yhtälön A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasen ja oikea puoli, saadaan uusi yhtälö, joka näyttää A:lta (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Se vastaa A x + B y + C = 0 .

Tuloksena oleva yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on välttämätön ja riittävä ehto vektorien n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) kohtisuoralle. 0, y - y 0) . Siten pistejoukko M (x, y) määrittää suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa suoran, joka on kohtisuorassa vektorin n → = (A, B) suuntaan. Voimme olettaa, että näin ei ole, mutta silloin vektorit n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) eivät olisi kohtisuorassa, ja yhtälö A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei olisi totta.

Siksi yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 määrittää tietyn suoran suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa tasossa, ja siksi vastaava yhtälö A x + B y + C \u003d 0 määrittelee saman linjan. Näin olemme todistaneet lauseen ensimmäisen osan.

1. Osoitetaan, että mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa voidaan antaa ensimmäisen asteen yhtälöllä A x + B y + C = 0 .

Asetetaan suora a suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään tasolle; piste M 0 (x 0 , y 0), jonka kautta tämä suora kulkee, sekä tämän suoran normaalivektori n → = (A , B) .

Olkoon olemassa myös jokin piste M (x , y) - suoran liukuluku. Tässä tapauksessa vektorit n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja niiden skalaaritulo on nolla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjoitetaan uudelleen yhtälö A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , määritellään C: C = - A x 0 - B y 0 ja saadaan lopuksi yhtälö A x + B y + C = 0 .

Joten olemme todistaneet lauseen toisen osan ja olemme todistaneet koko lauseen kokonaisuutena.

Määritelmä 1

Yhtälö, joka näyttää A x + B y + C = 0 - Tämä suoran suoran yleinen yhtälö tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässäO x y .

Todistetun lauseen perusteella voidaan päätellä, että kiinteässä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevalle tasolle annettu suora ja sen yleinen yhtälö liittyvät erottamattomasti toisiinsa. Toisin sanoen alkuperäinen viiva vastaa sen yleistä yhtälöä; suoran yleinen yhtälö vastaa annettua suoraa.

Lauseen todistuksesta seuraa myös, että kertoimet A ja B muuttujille x ja y ovat suoran normaalivektorin koordinaatit, joka saadaan suoran yleisestä yhtälöstä A x + B y + C = 0.

Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä suoran yleisestä yhtälöstä.

Olkoon yhtälö 2 x + 3 y - 2 = 0, joka vastaa suoraa suoraa annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Tämän suoran normaalivektori on vektori n → = (2, 3) . Piirrä piirustukseen annettu suora viiva.

Myös seuraavaa voidaan väittää: piirustuksessa näkemämme suora määräytyy yleisellä yhtälöllä 2 x + 3 y - 2 = 0, koska tietyn suoran kaikkien pisteiden koordinaatit vastaavat tätä yhtälöä.

Saatamme yhtälön λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 kertomalla yleisen suorayhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla luvulla λ. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yleisyhtälöä, joten se kuvaa samaa viivaa tasossa.

Määritelmä 2

Suoran suoran täydellinen yleinen yhtälö- tällainen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, jossa luvut A, B, C ovat nollia poikkeavia. Muuten yhtälö on epätäydellinen.

Analysoidaan kaikki epätäydellisen suoran yleisen yhtälön muunnelmat.

1. Kun A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, yleisestä yhtälöstä tulee B y + C \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yleinen yhtälö määrittelee suoran suoran suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y, joka on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa, koska minkä tahansa x:n todellisen arvon kohdalla muuttuja y saa arvon. - C B. Toisin sanoen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, kun A \u003d 0, B ≠ 0, määrittelee niiden pisteiden (x, y) paikan, joiden koordinaatit ovat samat. - C B.
2. Jos A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, yleisestä yhtälöstä tulee y \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yhtälö määrittelee x-akselin O x .
3. Kun A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saadaan epätäydellinen yleinen yhtälö A x + C \u003d 0, joka määrittää y-akselin suuntaisen suoran.
4. Olkoon A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, silloin epätäydellinen yleinen yhtälö on muodossa x \u003d 0, ja tämä on koordinaattiviivan O y yhtälö.
5. Lopuksi, kun A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, epätäydellinen yleinen yhtälö saa muotoa A x + B y \u003d 0. Ja tämä yhtälö kuvaa suoraa, joka kulkee origon kautta. Todellakin, lukupari (0, 0) vastaa yhtälöä A x + B y = 0, koska A · 0 + B · 0 = 0 .

Havainnollistetaan graafisesti kaikki edellä mainitut epätäydellisen suoran yleisen yhtälön tyypit.

Esimerkki 1

Tiedetään, että annettu suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja kulkee pisteen 2 7 , - 11 kautta. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Y-akselin suuntainen suora saadaan yhtälöllä, jonka muoto on A x + C \u003d 0, jossa A ≠ 0. Ehto määrittää myös sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja tämän pisteen koordinaatit vastaavat epätäydellisen yleisen yhtälön A x + C = 0 ehtoja, ts. tasa-arvo on oikein:

A 2 7 + C = 0

Siitä on mahdollista määrittää C antamalla A:lle jokin nollasta poikkeava arvo, esimerkiksi A = 7 . Tässä tapauksessa saamme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Tunnemme molemmat kertoimet A ja C, korvaamme ne yhtälöllä A x + C = 0 ja saamme vaaditun yhtälön suorasta: 7 x - 2 = 0

Vastaus: 7 x - 2 = 0

Esimerkki 2

Piirustus näyttää suoran viivan, on tarpeen kirjoittaa sen yhtälö.

Päätös

Annetun piirustuksen avulla voimme helposti ottaa lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi. Näemme piirustuksessa, että annettu viiva on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa ja kulkee pisteen (0 , 3) ​​kautta.

Abskissan suuntainen suora määritetään epätäydellisellä yleisyhtälöllä B y + С = 0. Etsi B:n ja C:n arvot. Pisteen (0, 3) koordinaatit, koska annettu suora kulkee sen läpi, täyttävät suoran yhtälön B y + С = 0, niin yhtälö on voimassa: В · 3 + С = 0. Asetetaan B:lle jokin muu arvo kuin nolla. Oletetaan, että B \u003d 1, tässä tapauksessa yhtälöstä B · 3 + C \u003d 0 löydämme C: C \u003d - 3. Käyttämällä B:n ja C:n tunnettuja arvoja saamme vaaditun suoran yhtälön: y - 3 = 0.

Vastaus: y-3 = 0.

Tietyn tason pisteen kautta kulkevan suoran yleinen yhtälö

Kulkekoon annettu suora pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi, jolloin sen koordinaatit vastaavat suoran yleistä yhtälöä, ts. yhtälö on tosi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä tämän yhtälön vasen ja oikea puoli suoran yleisen täydellisen yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Saamme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä yhtälöä, kulkee pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi ja sillä on normaalivektori n → \u003d (A, B) .

Saamamme tulos mahdollistaa suoran yleisen yhtälön kirjoittamisen suoran normaalivektorin tunnetuille koordinaateille ja tämän suoran tietyn pisteen koordinaateille.

Esimerkki 3

Annettu piste M 0 (- 3, 4), jonka kautta suora kulkee, ja tämän suoran normaalivektori n → = (1, -2) . On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehdot antavat meille mahdollisuuden saada tarvittavat tiedot yhtälön laatimiseksi: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sitten:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Suoran suoran yleinen yhtälö on muotoa A x + B y + C = 0 . Annettu normaalivektori antaa sinun saada kertoimien A ja B arvot, sitten:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Etsitään nyt C:n arvo käyttämällä tehtävän ehdon antamaa pistettä M 0 (- 3, 4), jonka läpi suora kulkee. Tämän pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä x - 2 · y + C = 0 , ts. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Näin ollen C = 11. Vaadittu suora yhtälö on muodossa: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastaus: x - 2 y + 11 = 0 .

Esimerkki 4

Annettu suora 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja tällä suoralla oleva piste M 0. Vain tämän pisteen abskissa tunnetaan, ja se on yhtä suuri kuin -3. On tarpeen määrittää annetun pisteen ordinaatit.

Päätös

Asetetaan pisteen M 0 koordinaattien nimeksi x 0 ja y 0 . Alkutiedot osoittavat, että x 0 \u003d - 3. Koska piste kuuluu annettuun suoraan, sen koordinaatit vastaavat tämän suoran yleistä yhtälöä. Sitten seuraava yhtäläisyys on totta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Määrittele y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastaus: - 5 2

Siirtyminen suoran yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Kuten tiedämme, tasossa on useita saman suoran yhtälön tyyppejä. Yhtälön tyypin valinta riippuu ongelman olosuhteista; on mahdollista valita ratkaisulle sopivampi. Tässä on erittäin hyödyllistä taitoa muuntaa eräänlainen yhtälö toisen tyyppiseksi yhtälöksi.

Aluksi harkitse siirtymistä yleisestä yhtälöstä muodossa A x + B y + C = 0 kanoniseen yhtälöön x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jos A ≠ 0, niin siirretään termi B y yleisen yhtälön oikealle puolelle. Vasemmalla puolella otamme A pois suluista. Tuloksena saamme: A x + C A = - B y .

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa suhteessa: x + C A - B = y A .

Jos B ≠ 0, jätämme vain termin A x yleisen yhtälön vasemmalle puolelle, siirrämme muut oikealle puolelle, saamme: A x \u003d - B y - C. Otamme pois - B suluista, sitten: A x \u003d - B y + C B.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen suhteeksi: x - B = y + C B A .

Saatuja kaavoja ei tietenkään tarvitse muistaa. Riittää, kun tietää toimintojen algoritmin siirtyessä yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön.

Esimerkki 5

Suoran 3 y - 4 = 0 yleinen yhtälö on annettu. Se on muutettava kanoniseksi yhtälöksi.

Päätös

Kirjoitamme alkuperäisen yhtälön muodossa 3 y - 4 = 0 . Seuraavaksi toimitaan algoritmin mukaan: termi 0 x jää vasemmalle puolelle; ja oikealla puolella otamme ulos - 3 suluista; saamme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjoitetaan saatu yhtälö suhteessa: x - 3 = y - 4 3 0 . Siten olemme saaneet kanonisen muodon yhtälön.

Vastaus: x - 3 = y - 4 3 0.

Suoran suoran yleisen yhtälön muuttamiseksi parametrisiksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen muotoon ja sitten siirtyminen suoran kanonisesta yhtälöstä parametrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjoita muistiin tämän suoran parametriyhtälöt.

Päätös

Tehdään siirtymä yleisestä yhtälöstä kanoniseen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 v + 1 ⇔ 2 x = 5 v + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Otetaan nyt tuloksena olevan kanonisen yhtälön molemmat osat yhtä suureksi kuin λ, sitten:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastaus:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Yleinen yhtälö voidaan muuntaa suoran yhtälöksi, jonka kaltevuus on y \u003d k x + b, mutta vain kun B ≠ 0. Vasemman puolen siirtymää varten jätämme termin B y , loput siirretään oikealle. Saamme: B y = - A x - C . Jaetaan tuloksena olevan yhtälön molemmat osat B:llä, joka on eri kuin nolla: y = - A B x - C B .

Esimerkki 7

Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu: 2 x + 7 y = 0 . Sinun on muutettava tämä yhtälö kaltevuusyhtälöksi.

Päätös

Suoritetaan tarvittavat toimenpiteet algoritmin mukaan:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastaus: y = -2 7 x .

Suoran suoran yleisestä yhtälöstä riittää, että saadaan yksinkertaisesti yhtälö segmenteissä, jotka ovat muotoa x a + y b \u003d 1. Tällaisen siirtymän suorittamiseksi siirrämme luvun C yhtälön oikealle puolelle, jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat -С:lla ja lopuksi siirrämme muuttujien x ja y kertoimet nimittäjiin:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esimerkki 8

On tarpeen muuntaa suoran x - 7 y + 1 2 = 0 yleinen yhtälö segmenttien suoran yhtälöksi.

Päätös

Siirretään 1 2 oikealle: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jaa yhtälön molemmilla puolilla -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastaus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Yleensä käänteinen siirtyminen on myös helppoa: muun tyyppisistä yhtälöistä yleiseen.

Segmenttien suoran yhtälö ja kaltevuusyhtälö voidaan helposti muuntaa yleiseksi yksinkertaisesti keräämällä kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninen yhtälö muunnetaan yleiseksi seuraavan kaavion mukaisesti:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrista siirtymiseksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen ja sitten yleiseen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esimerkki 9

Suoran x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriyhtälöt on annettu. On tarpeen kirjoittaa muistiin tämän suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Tehdään siirtymä parametrisistä yhtälöistä kanoniseen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Siirrytään kanonisesta yleiseen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastaus: y - 4 = 0

Esimerkki 10

On annettu suoran yhtälö janoissa x 3 + y 1 2 = 1. On tarpeen siirtyä yhtälön yleiseen muotoon.

Päätös:

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vaadittuun muotoon:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastaus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Suoran suoran yleisen yhtälön laatiminen

Yllä sanoimme, että yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa tunnetuilla normaalivektorin koordinaateilla ja sen pisteen koordinaateilla, jonka kautta suora kulkee. Tällainen suora määritellään yhtälöllä A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samassa paikassa analysoimme vastaavaa esimerkkiä.

Katsotaan nyt monimutkaisempia esimerkkejä, joissa ensin on tarpeen määrittää normaalivektorin koordinaatit.

Esimerkki 11

Annettu suoran kanssa yhdensuuntainen suora 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tunnetaan myös piste M 0 (4 , 1), jonka kautta annettu suora kulkee. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehdot kertovat, että suorat ovat yhdensuuntaisia, jolloin sen suoran normaalivektoriksi, jonka yhtälö pitää kirjoittaa, otetaan suoran n → = (2, - 3) suuntausvektori: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Nyt tiedämme kaikki tarvittavat tiedot suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastaus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esimerkki 12

Annettu suora kulkee origon kautta kohtisuoraan suoraa x - 2 3 = y + 4 5 vastaan. On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Annetun suoran normaalivektori on suoran x - 2 3 = y + 4 5 suuntausvektori .

Sitten n → = (3 , 5) . Suora kulkee origon kautta, ts. pisteen O kautta (0, 0) . Muodostetaan tietyn suoran yleinen yhtälö:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastaus: 3 x + 5 y = 0 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter