Hei kissat! Viime kerralla analysoimme yksityiskohtaisesti, mitkä juuret ovat (jos et muista, suosittelen lukemista). Tuon oppitunnin pääjohtopäätös: juurille on vain yksi universaali määritelmä, joka sinun on tiedettävä. Muu on hölynpölyä ja ajanhukkaa.

Tänään mennään pidemmälle. Opettelemme moninkertaistamaan juuria, tutkimme joitain kertomiseen liittyviä ongelmia (jos näitä ongelmia ei ratkaista, niin ne voivat tulla kohtalokkaaksi kokeessa) ja harjoittelemme kunnolla. Varaa siis popcornia, ole mukava - ja aloitamme. :)

Et ole vielä tupakoinut, ethän?

Oppitunti osoittautui melko suureksi, joten jaoin sen kahteen osaan:

1. Ensin tarkastellaan kertolaskusääntöjä. Korkki näyttää vihjaavan: silloin kun on kaksi juuria, niiden välissä on "kerroin" -merkki - ja haluamme tehdä sillä jotain.
2. Sitten analysoidaan päinvastaista tilannetta: on yksi iso juuri, ja olimme kärsimättömiä esittämään sen kahden juuren tuotteena yksinkertaisemmalla tavalla. Millä pelolla se on tarpeen, on erillinen kysymys. Analysoimme vain algoritmin.

Niille, jotka eivät malta odottaa pääsevänsä suoraan osaan 2, olet tervetullut. Aloitetaan lopuista järjestyksessä.

Peruskertolasääntö

Aloitetaan yksinkertaisimmista - klassisista neliöjuurista. Ne, joita merkitään $\sqrt(a)$ ja $\sqrt(b)$. Heille kaikki on yleensä selvää:

kertolasku sääntö. Jos haluat kertoa yhden neliöjuuren toisella, sinun tarvitsee vain kertoa niiden radikaalilausekkeet ja kirjoittaa tulos yhteisen radikaalin alle:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Oikealla tai vasemmalla oleville numeroille ei aseteta lisärajoituksia: jos kertoimen juuret ovat olemassa, myös tuote on olemassa.

Esimerkkejä. Harkitse neljää esimerkkiä numeroilla kerralla:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(tasaa)\]

Kuten näet, tämän säännön päätarkoitus on yksinkertaistaa irrationaalisia ilmaisuja. Ja jos ensimmäisessä esimerkissä olisimme poimineet juuret luvuista 25 ja 4 ilman uusia sääntöjä, niin tina alkaa: $\sqrt(32)$ ja $\sqrt(2)$ eivät laske itsestään, vaan niiden tulo osoittautuu tarkaksi neliöksi, joten sen juuri on yhtä suuri kuin rationaalinen luku.

Haluaisin erikseen mainita viimeisen rivin. Siellä molemmat radikaalilausekkeet ovat murtolukuja. Tuotteen ansiosta monet tekijät kumoavat ja koko lauseke muuttuu riittäväksi luvuksi.

Kaikki ei tietenkään aina ole niin kaunista. Joskus juurien alla on täyttä paskaa - ei ole selvää, mitä sille tehdä ja miten muuntaa kertomisen jälkeen. Hieman myöhemmin, kun alat tutkia irrationaalisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä, siellä on kaikenlaisia ​​muuttujia ja funktioita yleensä. Ja hyvin usein ongelmien laatijat vain luottavat siihen, että löydät joitain sopimusehtoja tai tekijöitä, joiden jälkeen tehtävä yksinkertaistuu huomattavasti.

Lisäksi ei ole tarpeen kertoa täsmälleen kahta juuria. Voit kertoa kolme kerralla, neljä - kyllä ​​jopa kymmenen! Tämä ei muuta sääntöä. Katso:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(tasaa)\]

Ja vielä pieni huomautus toisesta esimerkistä. Kuten näette, kolmannessa kertoimessa juuren alla on desimaaliluku - laskelmien aikana korvaamme sen tavallisella, jonka jälkeen kaikki pienennetään helposti. Joten: Suosittelen lämpimästi eroon desimaalimurtoluvuista kaikissa irrationaalisissa lausekkeissa (eli joissa on vähintään yksi radikaalikuvake). Tämä säästää paljon aikaa ja hermoja tulevaisuudessa.

Mutta se oli lyyrinen poikkeama. Tarkastellaan nyt yleisempää tapausta - kun juurieksponentti sisältää mielivaltaisen luvun $n$, eikä vain "klassista" kahta.

Mielivaltaisen indikaattorin tapaus

Joten selvitimme neliöjuuret. Ja mitä tehdä kuutioiden kanssa? Tai yleensä mielivaltaisen asteen juurilla $n$? Kyllä, kaikki on samaa. Sääntö pysyy samana:

Kahden $n$-asteen juuren kertomiseksi riittää kertoa niiden radikaalilausekkeet, minkä jälkeen tulos kirjoitetaan yhden radikaalin alle.

Yleisesti ottaen ei mitään monimutkaista. Ellei laskelmien määrä voi olla suurempi. Katsotaanpa pari esimerkkiä:

Esimerkkejä. Laske tuotteet:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(tasaa)\]

Ja jälleen huomio toiseen ilmaisuun. Kerrotaan kuutiojuuret, päästään eroon desimaaliluvusta ja tuloksena saadaan nimittäjään lukujen 625 ja 25 tulo. Tämä on melko suuri luku - henkilökohtaisesti en heti laske mitä se on yhtä suuri. to.

Siksi valitsimme yksinkertaisesti tarkan kuution osoittajasta ja nimittäjästä ja hyödynsimme sitten yhtä tärkeimmistä ominaisuuksista (tai, jos haluat, määritelmän) $n$:nnen asteen juuren:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\oikea|. \\ \end(tasaa)\]

Tällaiset "huijaukset" voivat säästää paljon aikaa kokeessa tai kokeessa, joten muista:

Älä kiirehdi kertomaan radikaalilausekkeen numeroita. Tarkista ensin: entä jos minkä tahansa lausekkeen tarkka aste on "salattu" siellä?

Kaikesta tämän huomautuksen ilmeisyydestä huolimatta minun on myönnettävä, että useimmat valmistautumattomat opiskelijat eivät näe tarkkoja tutkintoja. Sen sijaan he kertovat kaiken eteenpäin ja sitten ihmettelevät: miksi he saivat niin brutaaleja lukuja? :)

Kaikki tämä on kuitenkin lasten leikkiä verrattuna siihen, mitä nyt opiskelemme.

Juurien kertominen eri eksponenteilla

No, nyt voimme kertoa juuret samoilla eksponenteilla. Entä jos pisteet ovat erilaisia? Sano, kuinka kerrot tavallisen $\sqrt(2)$ jollain paskalla, kuten $\sqrt(23)$? Onko tämä edes mahdollista tehdä?

Kyllä, tietysti voit. Kaikki tehdään tämän kaavan mukaan:

Juuren kertolasku sääntö. Kerro $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$:lla tekemällä seuraava muunnos:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tämä kaava toimii kuitenkin vain, jos radikaalilausekkeet eivät ole negatiivisia. Tämä on erittäin tärkeä huomautus, johon palaamme hieman myöhemmin.

Katsotaanpa nyt paria esimerkkiä:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(tasaa)\]

Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Selvitetään nyt, mistä ei-negatiivisuusvaatimus tuli, ja mitä tapahtuu, jos rikomme sitä. :)

Juuret on helppo moninkertaistaa.

Miksi radikaalien ilmaisujen täytyy olla ei-negatiivisia?

Tietysti voit olla kuin koulun opettaja ja lainata oppikirjaa älykkäällä ilmeellä:

Ei-negatiivisuuden vaatimus liittyy parillisen ja parittoman asteen juurien erilaisiin määritelmiin (vastaavasti niiden määritelmäalueet ovat myös erilaisia).

No tuliko selväksi? Henkilökohtaisesti, kun luin tätä hölynpölyä 8. luokalla, ymmärsin itse jotain tällaista: "Ei-negatiivisuuden vaatimus liittyy *#&^@(*#@^#)~%" - lyhyesti sanottuna minä en ymmärtänyt paskaa silloin. :)

Joten nyt selitän kaiken normaalilla tavalla.

Selvitetään ensin, mistä yllä oleva kertolasku on peräisin. Tätä varten haluan muistuttaa sinua yhdestä tärkeästä juuren ominaisuudesta:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Toisin sanoen voimme turvallisesti nostaa juurilausekkeen mihin tahansa luonnolliseen potenssiin $k$ - tässä tapauksessa juuriindeksi on kerrottava samalla potenssilla. Siksi voimme helposti pelkistää kaikki juuret yhteiseksi indikaattoriksi, jonka jälkeen kerromme. Kertokaava tulee tästä:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mutta on yksi ongelma, joka rajoittaa vakavasti kaikkien näiden kaavojen soveltamista. Harkitse tätä numeroa:

Juuri annetun kaavan mukaan voimme lisätä minkä tahansa tutkinnon. Yritetään lisätä $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\vasen(-5 \oikea))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Poistimme miinuksen juuri siksi, että neliö polttaa miinuksen (kuten mikä tahansa muu parillinen aste). Ja nyt suoritetaan käänteinen muunnos: "vähennetään" kaksi eksponenttia ja astetta. Loppujen lopuksi mikä tahansa tasa-arvo voidaan lukea sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Oikeanuoli \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(tasaa)\]

Mutta sitten tapahtuu jotain hullua:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tämä ei voi johtua siitä, että $\sqrt(-5) \lt 0$ ja $\sqrt(5) \gt 0$. Tämä tarkoittaa, että parillisten potenssien ja negatiivisten lukujen kohdalla kaavamme ei enää toimi. Sen jälkeen meillä on kaksi vaihtoehtoa:

1. Taistella seinää vastaan ​​väittääkseen, että matematiikka on typerä tiede, jossa "joitakin sääntöjä on, mutta tämä on epätarkkoja";
2. Ota käyttöön lisärajoituksia, joiden mukaan kaava toimii 100-prosenttisesti.

Ensimmäisessä vaihtoehdossa meidän on jatkuvasti tartuttava "ei-toimiviin" tapauksiin - tämä on vaikeaa, pitkää ja yleensä hauskaa. Siksi matemaatikot pitivät parempana toista vaihtoehtoa. :)

Mutta älä huoli! Käytännössä tämä rajoitus ei vaikuta laskelmiin millään tavalla, koska kaikki kuvatut ongelmat koskevat vain parittoman asteen juuria ja niistä voidaan ottaa miinuksia.

Siksi muotoilemme toisen säännön, joka pätee yleisesti kaikkiin toimiin, joilla on juuret:

Ennen kuin kerrot juuret, varmista, että radikaalilausekkeet eivät ole negatiivisia.

Esimerkki. Numerossa $\sqrt(-5)$ voit ottaa miinuksen pois juurimerkin alta - silloin kaikki on hyvin:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Tunne erilaisuus? Jos jätät miinuksen juuren alle, sitten kun radikaalilauseke on neliöity, se katoaa ja paska alkaa. Ja jos otat ensin pois miinuksen, voit jopa nostaa / poistaa neliön, kunnes olet sininen kasvoilta - luku pysyy negatiivisena. :)

Siten oikea ja luotettavin tapa monistaa juuret on seuraava:

1. Poista kaikki miinukset radikaalien alta. Miinukset ovat vain parittoman moninkertaisuuden juurissa - ne voidaan sijoittaa juuren eteen ja tarvittaessa pienentää (esimerkiksi jos näitä miinuksia on kaksi).
2. Suorita kertolasku edellä tämän päivän oppitunnilla käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Jos juurten indeksit ovat samat, kerro juurilausekkeet. Ja jos ne ovat erilaisia, käytämme pahaa kaavaa \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nautimme tuloksesta ja hyvistä arvosanoista. :)

Hyvin? Harjoitellaanko?

Esimerkki 1. Yksinkertaista lauseke:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64) = -4; \end(tasaa)\]

Tämä on yksinkertaisin vaihtoehto: juurien indikaattorit ovat samat ja parittomat, ongelma on vain toisen kertoimen miinuksessa. Kestäämme tämän miinuksen nafig, jonka jälkeen kaikki on helposti harkittu.

Esimerkki 2. Yksinkertaista lauseke:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \oikea))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \oikea))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( kohdistaa)\]

Tässä monet hämmentyisivät siitä, että tulos osoittautui irrationaaliseksi luvuksi. Kyllä, niin tapahtuu: emme päässeet kokonaan eroon juuresta, mutta ainakin yksinkertaistimme ilmaisua merkittävästi.

Esimerkki 3. Yksinkertaista lauseke:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \oikea))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Tähän haluan kiinnittää huomionne. Tässä on kaksi kohtaa:

1. Juuren alla ei ole tietty luku tai aste, vaan muuttuja $a$. Ensi silmäyksellä tämä on hieman epätavallista, mutta todellisuudessa matemaattisia ongelmia ratkaistaessa joudut useimmiten käsittelemään muuttujia.
2. Lopulta onnistuimme "vähentämään" radikaalilausekkeen juurieksponenttia ja astetta. Tätä tapahtuu melko usein. Ja tämä tarkoittaa, että laskelmia oli mahdollista yksinkertaistaa merkittävästi, jos et käytä pääkaavaa.

Voit esimerkiksi tehdä tämän:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \oikea))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(tasaa)\]

Itse asiassa kaikki muunnokset suoritettiin vain toisella radikaalilla. Ja jos et maalaa kaikkia välivaiheita yksityiskohtaisesti, laskelmien määrä vähenee lopulta merkittävästi.

Itse asiassa olemme jo kohdanneet samanlaisen tehtävän yllä, kun ratkaisimme esimerkin $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nyt se voidaan kirjoittaa paljon helpommin:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(tasaa)\]

No, selvitimme juurien kertomisen. Mieti nyt käänteistä operaatiota: mitä tehdä, kun juuren alla on teos?

Katsoin uudelleen lautasta... Ja mennään!

Aloitetaan yksinkertaisella:

Odota hetki. tämä tarkoittaa, että voimme kirjoittaa sen näin:

Sain sen? Tässä sinulle seuraava:

Tuloksena olevien lukujen juuria ei ole tarkalleen poimittu? Älä huoli, tässä on joitain esimerkkejä:

Mutta entä jos kertoimia ei ole kaksi, vaan enemmän? Sama! Juuren kertolaskukaava toimii useiden tekijöiden kanssa:

Nyt täysin itsenäinen:

Vastaukset: Hyvin tehty! Samaa mieltä, kaikki on erittäin helppoa, tärkeintä on tietää kertotaulukko!

Juurijako

Selvitimme juurien kertomisen, siirrytään nyt jako-ominaisuuteen.

Muistutan, että kaava näyttää yleisesti tältä:

Ja se tarkoittaa sitä osamäärän juuri on yhtä suuri kuin juurien osamäärä.

No, katsotaanpa esimerkkejä:

Se on kaikki tiedettä. Ja tässä esimerkki:

Kaikki ei ole niin sujuvaa kuin ensimmäisessä esimerkissä, mutta kuten näet, ei ole mitään monimutkaista.

Entä jos on tällainen ilmaus:

Sinun tarvitsee vain soveltaa kaavaa käänteisesti:

Ja tässä esimerkki:

Voit myös nähdä tämän lausekkeen:

Kaikki on sama, vain täällä sinun on muistettava murtolukujen kääntäminen (jos et muista, katso aihetta ja palaa!). Muistatko? Nyt päätämme!

Olen varma, että selvisit kaikesta, kaikesta, nyt yritetään rakentaa juuria.

Eksponentointi

Mitä tapahtuu, jos neliöjuuri on neliö? Se on yksinkertaista, muista luvun neliöjuuren merkitys - tämä on luku, jonka neliöjuuri on yhtä suuri.

Joten jos neliöimme luvun, jonka neliöjuuri on yhtä suuri, mitä saamme?

No tottakai, !

Katsotaanpa esimerkkejä:

Kaikki on yksinkertaista, eikö? Ja jos juuri on eri asteessa? Se on okei!

Pysy samassa logiikassa ja muista ominaisuudet ja mahdolliset toiminnot asteilla.

Lue teoria aiheesta "" ja kaikki tulee sinulle erittäin selväksi.

Esimerkiksi tässä on lauseke:

Tässä esimerkissä aste on parillinen, mutta entä jos se on pariton? Käytä jälleen tehoominaisuuksia ja kerro kaikki:

Tämän avulla kaikki näyttää olevan selvää, mutta kuinka saada juuri asteesta? Tässä on esimerkiksi tämä:

Aika yksinkertaista, eikö? Entä jos aste on suurempi kuin kaksi? Noudatamme samaa logiikkaa käyttämällä asteiden ominaisuuksia:

No onko kaikki selvää? Ratkaise sitten omat esimerkisi:

Ja tässä vastaukset:

Johdanto juuren merkin alla

Mitä emme vain ole oppineet tekemään juurien kanssa! Jää vain harjoitella numeron syöttämistä juurimerkin alle!

Se on aika helppoa!

Oletetaan, että meillä on numero

Mitä voimme tehdä sillä? Tietysti piilota kolmoisjuuren alle ja muista, että kolmois on neliöjuuri!

Miksi tarvitsemme sitä? Kyllä, vain laajentaaksemme mahdollisuuksiamme esimerkkejä ratkaistaessa:

Mitä pidät tästä juurien ominaisuudesta? Helpottaako elämää paljon? Minulle se on oikein! Vain meidän on muistettava, että voimme syöttää vain positiivisia lukuja neliöjuuren alle.

Kokeile tätä esimerkkiä itse -
Onnistuitko? Katsotaan mitä sinun pitäisi saada:

Hyvin tehty! Onnistuit syöttämään numeron juurimerkin alle! Jatketaan yhtä tärkeään asiaan – mietitään, kuinka vertailla neliöjuuren sisältäviä lukuja!

Juuren vertailu

Miksi meidän pitäisi oppia vertaamaan neliöjuuren sisältäviä lukuja?

Erittäin yksinkertainen. Usein kokeessa kohtaamissa suurissa ja pitkissä ilmaisuissa saamme irrationaalisen vastauksen (muistatko mikä se on? Puhuimme tästä jo tänään!)

Meidän on sijoitettava saadut vastaukset esimerkiksi koordinaattiviivalle määrittääksemme, mikä väli sopii yhtälön ratkaisemiseen. Ja tässä tulee pulma: kokeessa ei ole laskinta, ja ilman sitä, kuinka kuvitella, mikä luku on suurempi ja mikä pienempi? Se siitä!

Määritä esimerkiksi kumpi on suurempi: vai?

Et sano heti. No, käytetäänkö jäsennysominaisuutta lisätä numero juurimerkin alle?

Sitten eteenpäin:

No, ilmeisesti mitä suurempi numero juuren merkin alla on, sitä suurempi itse juuri!

Nuo. jos tarkoittaa.

Tästä päätämme vahvasti sen Ja kukaan ei vakuuta meitä toisin!

Juurien poimiminen suurista määristä

Ennen sitä esitimme tekijän juuren merkin alle, mutta miten se poistetaan? Sinun tarvitsee vain ottaa se huomioon ja purkaa se, mikä on poistettu!

Oli mahdollista mennä toiseen suuntaan ja hajota muihin tekijöihin:

Ei paha, eikö? Mikä tahansa näistä lähestymistavoista on oikea, päätä, kuinka tunnet olosi mukavaksi.

Factoring on erittäin hyödyllinen ratkaistaessa tällaisia ​​epätyypillisiä tehtäviä, kuten tämä:

Emme pelkää, vaan toimimme! Jaamme jokaisen juuren alla olevan tekijän erillisiksi tekijöiksi:

Ja nyt kokeile itse (ilman laskinta! Se ei ole kokeessa):

Onko tämä loppu? Emme pysähdy puoliväliin!

Siinä kaikki, se ei ole niin pelottavaa, eikö?

Tapahtui? Hyvin tehty, olet oikeassa!

Kokeile nyt tätä esimerkkiä:

Ja esimerkki on kova pähkinä, joten et voi heti keksiä, kuinka lähestyä sitä. Mutta olemme tietysti hampaissa.

No, aloitetaan factoring, eikö niin? Huomaamme välittömästi, että voit jakaa luvun (muista jakomerkit):

Ja nyt, kokeile itse (uudelleen, ilman laskinta!):

No, toimiko se? Hyvin tehty, olet oikeassa!

Yhteenvetona

1. Ei-negatiivisen luvun neliöjuuri (aritmeettinen neliöjuuri) on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri.
   .
2. Jos otamme vain neliöjuuren jostakin, saamme aina yhden ei-negatiivisen tuloksen.
3. Aritmeettiset juuriominaisuudet:
4. Neliöjuuria verrattaessa on muistettava, että mitä suurempi luku juuren merkin alla on, sitä suurempi on itse juuri.

Mitä pidät neliöjuuresta? Selvä?

Yritimme selittää sinulle ilman vettä kaiken, mitä sinun tulee tietää kokeessa neliöjuuresta.

Sinun vuorosi. Kirjoita meille, onko tämä aihe sinulle vaikea vai ei.

Opitko jotain uutta vai kaikki oli jo niin selvää.

Kirjoita kommentteihin ja onnea kokeisiin!

Tämän artikkelin materiaalia tulee pitää osana irrationaalisten ilmaisujen aihemuunnoksia. Tässä esimerkkien avulla analysoimme kaikkia hienouksia ja vivahteita (joita on monia), jotka syntyvät suoritettaessa muunnoksia juurien ominaisuuksien perusteella.

Sivulla navigointi.

Muista juurien ominaisuudet

Koska aiomme käsitellä lausekkeiden muuntamista juurien ominaisuuksien avulla, ei ole haittaa muistaa tärkeimmät, tai vielä paremmin, kirjoittaa ne paperille ja asettaa ne eteen.

Ensin tutkitaan neliöjuuria ja niiden seuraavia ominaisuuksia (a, b, a 1, a 2, ..., a k ovat reaalilukuja):

Ja myöhemmin juuren ideaa laajennetaan, n:nnen asteen juuren määritelmä otetaan käyttöön ja sellaiset ominaisuudet otetaan huomioon (a, b, a 1, a 2, ..., a k ovat reaalilukuja, m, n, n 1, n 2, ... , n k - luonnolliset luvut):

Juurimerkkien alla olevia lukuja sisältävien lausekkeiden muuntaminen

Kuten tavallista, ensin opetellaan työskentelemään numeeristen lausekkeiden kanssa ja sen jälkeen siirrytään muuttujalausekkeisiin. Teemme samoin ja käsittelemme ensin irrationaalisten lausekkeiden muuntamista, jotka sisältävät vain numeerisia lausekkeita juurien merkkien alla, ja jo seuraavassa kappaleessa esittelemme muuttujia juurien merkkien alle.

Miten tätä voidaan käyttää lausekkeiden muuntamiseen? Hyvin yksinkertainen: voimme esimerkiksi korvata irrationaalisen lausekkeen lausekkeella tai päinvastoin. Toisin sanoen, jos muunnettu lauseke sisältää lausekkeen, joka vastaa jonkin lueteltujen juurien ominaisuuksien vasemman (oikean) osan lauseketta, se voidaan korvata vastaavalla lausekkeella oikeasta (vasemmasta) osasta. Tämä on lausekkeiden muunnos juurien ominaisuuksien avulla.

Otetaan vielä muutama esimerkki.

Yksinkertaistetaan ilmaisua . Numerot 3 , 5 ja 7 ovat positiivisia, joten voimme turvallisesti soveltaa juurien ominaisuuksia. Täällä voit toimia toisin. Esimerkiksi ominaisuuspohjainen juuri voidaan esittää muodossa , ja ominaisuuspohjainen juuri k=3 muodossa , tällä lähestymistavalla ratkaisu näyttää tältä:

Oli mahdollista tehdä toisin, korvaamalla , ja sitten :lla, tässä tapauksessa ratkaisu näyttäisi tältä:

Muutkin ratkaisut ovat mahdollisia, esim.

Katsotaanpa toista esimerkkiä. Muunnetaan lauseke. Tarkasteltaessa juurien ominaisuuksien luetteloa, valitsemme siitä ominaisuudet, joita tarvitsemme esimerkin ratkaisemiseksi, on selvää, että kaksi niistä ja ovat hyödyllisiä tässä, jotka pätevät mille tahansa a . Meillä on:

Vaihtoehtoisesti voitaisiin ensin muuntaa lausekkeet juurimerkkien alla käyttämällä

ja käytä sitten juurien ominaisuuksia

Tähän asti olemme muuntaneet lausekkeita, jotka sisältävät vain neliöjuuria. On aika työskennellä juurien kanssa, joilla on muita indikaattoreita.

Esimerkki.

Muunna irrationaalista ilmaisua .

Ratkaisu.

Omaisuuden mukaan tietyn tuotteen ensimmäinen tekijä voidaan korvata numerolla −2:

Jatka eteenpäin. Toinen tekijä voidaan ominaisuuden perusteella esittää, eikä se haittaa 81:n korvaamista kolmen nelinkertaisella potenssilla, koska luku 3 esiintyy muissa tekijöissä juurimerkkien alla:

On suositeltavaa korvata murtojuuri lomakkeen juurien suhteella, jota voidaan muuntaa edelleen: . Meillä on

Tuloksena oleva lauseke kakkosoperaatioiden suorittamisen jälkeen saa muotoa , ja jäljellä on muuntaa juurten tulo.

Juurien tuotteiden muuntamiseksi ne vähennetään yleensä yhdeksi indikaattoriksi, jolle on suositeltavaa ottaa kaikkien juurten indikaattorit. Meidän tapauksessamme LCM(12, 6, 12)=12 , ja vain juuri on vähennettävä tähän indikaattoriin, koska kahdella muulla juurilla on jo tällainen indikaattori. Tämän tehtävän hoitaminen mahdollistaa tasa-arvon, jota sovelletaan oikealta vasemmalle. Joten. Kun otetaan huomioon tämä tulos, meillä on

Nyt juurien tulo voidaan korvata tuotteen juurella ja loput, jo ilmeiset muunnokset voidaan suorittaa:

Tehdään ratkaisusta lyhyt versio:

Vastaus:

.

Korostamme erikseen, että juurien ominaisuuksien soveltamiseksi on otettava huomioon juurien merkkien alla oleville numeroille asetetut rajoitukset (a≥0 jne.). Niiden huomiotta jättäminen voi johtaa vääriin tuloksiin. Tiedämme esimerkiksi, että ominaisuus pätee ei-negatiiviselle a:lle. Sen perusteella voimme turvallisesti mennä esimerkiksi alkaen toistaan, koska 8 on positiivinen luku. Mutta jos otamme negatiivisen luvun merkityksellisen juuren, esimerkiksi , ja korvaamme sen yllä olevan ominaisuuden perusteella merkillä , korvaamme itse asiassa −2 luvulla 2 . Todellakin, , a. Toisin sanoen negatiiviselle a:lle yhtälö voi olla epätosi, samoin kuin muut juurten ominaisuudet voivat olla vääriä ottamatta huomioon niille määritettyjä ehtoja.

Mutta se, mitä edellisessä kappaleessa sanottiin, ei tarkoita ollenkaan, että lausekkeita, joissa on negatiiviset luvut juurimerkkien alla, ei voida muuttaa juurien ominaisuuksien avulla. Ne on vain ”valmistettava” etukäteen soveltamalla operaatiosääntöjä numeroiden kanssa tai käyttämällä negatiivisen luvun parittoman asteen juuren määritelmää, joka vastaa yhtälöä , missä −a on negatiivinen luku (kun taas a on positiivinen). Esimerkiksi sitä ei voi heti korvata merkillä , koska −2 ja −3 ovat negatiivisia lukuja, mutta sen avulla voimme siirtyä juuresta kohtaan ja soveltaa sitten tuotteen juuren ominaisuutta: . Ja yhdessä aiemmista esimerkeistä oli tarpeen siirtyä juuresta kahdeksannentoista asteen juureen ei näin, vaan näin .

Joten, jos haluat muuttaa lausekkeita juurien ominaisuuksilla, sinun on tehtävä se

• valitse sopiva ominaisuus luettelosta,
• varmista, että juuren alla olevat numerot täyttävät valitun ominaisuuden ehdot (muuten sinun on suoritettava alustavia muunnoksia),
• ja suorittaa aiottu muunnos.

Muuntaa lausekkeita muuttujilla juurimerkkien alla

Jos haluat muuttaa irrationaalisia lausekkeita, jotka sisältävät paitsi numeroita myös juuren merkin alla olevia muuttujia, tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa lueteltuja juurien ominaisuuksia on sovellettava huolellisesti. Tämä johtuu suurimmaksi osaksi ehdoista, jotka kaavoissa olevien lukujen on täytettävä. Esimerkiksi kaavan perusteella lauseke voidaan korvata lausekkeella vain niille x-arvoille, jotka täyttävät ehdot x≥0 ja x+1≥0, koska ilmoitettu kaava on asetettu arvoille a≥0 ja b≥ 0 .

Mikä on vaara näiden ehtojen huomiotta jättämisestä? Vastaus tähän kysymykseen näkyy selvästi seuraavassa esimerkissä. Oletetaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo, kun x=−2 . Jos korvaamme välittömästi luvun −2 muuttujan x sijaan, saamme tarvitsemamme arvon . Ja nyt kuvitellaan, että joidenkin näkökohtien perusteella muunnosimme annetun lausekkeen muotoon , ja vasta sen jälkeen päätimme laskea arvon. Korvaamme luvun −2 x:n sijaan ja saamme lausekkeen , jossa ei ole järkeä.

Katsotaanpa, mitä tapahtuu x-muuttujan kelvollisten arvojen alueelle (ODV), kun siirrymme lausekkeesta lausekkeeseen. Mainitsimme ODZ:n ei sattumalta, koska tämä on vakava työkalu suoritettujen muunnosten hyväksyttävyyden valvomiseksi, ja ODZ:n muuttamisen lausekkeen muuntamisen jälkeen pitäisi ainakin olla varoitus. ODZ:n löytäminen näille lausekkeille ei ole vaikeaa. Lausekkeelle ODZ määritetään epäyhtälöstä x (x+1)≥0 , sen ratkaisu antaa numeerisen joukon (−∞, −1]∪∪∪)