Galaeva Ekaterina, Nižni Novgorodin MAOU-yleiskoulun nro 149 11. luokan oppilas

Työ on sekä soveltavaa että tutkimusluonteista. Täydellisyyden vuoksi pohdittiin seuraavia kysymyksiä:

– Miten funktion ominaisuudet näkyvät yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa?

– Mitä yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaan ​​määrittämällä määritelmäalueen, arvojoukon, invarianssin ominaisuudet?

– Mikä on ratkaisualgoritmi?

- KIM-materiaaleissa kokeeseen valmistautuessaan ehdotetut parametrit sisältävät tehtävät käsiteltiin.

Ekaterina tutki työssään monenlaisia ​​tehtäviä ja systematisoi ne ulkonäön mukaan.

Ladata:

Esikatselu:

https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

Ratkaise epätasa-arvo Ratkaisu. Funktio f (x) = kasvaa monotonisesti koko reaaliviivalla ja funktio g (x) = pienenee monotonisesti koko määritelmäalueen läpi. Siksi epäyhtälö f (x) > g (x) täyttyy, jos x >

Kiitos huomiostasi!

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

Funktioominaisuuksien soveltaminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa Työn suorittanut: Galaeva Ekaterina MBOU-lukio nro 149 Moskovan piiri 11 "A"-luokan oppilaat Ohjaaja: Fadeeva I. A. Matematiikan opettaja

Pääsuunnat: Funktion ominaisuuksien tutkiminen: monotonisuus, rajallisuus, määritelmäalue ja invarianssi Opi tärkeimmät lauseet, joita käytetään useimmin yhtälöiden, epäyhtälöiden ja systeemien ratkaisemisessa Tehtävän ratkaiseminen KIM-materiaaleista tenttiin valmistautumiseen

Monotonisuus Funktio kasvaa, jos argumentin suurempi arvo vastaa suurempaa funktion arvoa. Funktio pienenee, jos argumentin suurempi arvo vastaa funktion pienempää arvoa. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Lauseke 1. Jos funktio y \u003d f (x) on monotoninen, yhtälöllä f (x) \u003d c on enintään yksi juuri. x =2 f(x) = - monotonisesti laskeva, joten muita ratkaisuja ei ole. Vastaus: x=2

Lause 2. Jos funktio y \u003d f (x) kasvaa monotonisesti ja funktio y \u003d g (x) on monotonisesti laskeva, yhtälöllä f (x) \u003d g (x) on enintään yksi juuri. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x pienenee monotonisesti ja funktio f (x) \u003d lg (x + 11) + 1 kasvaa monotonisesti alueella, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä f (x ) = g (x) on enintään yksi juuri. Valitsemalla määritämme, että x \u003d -1. Yllä oleva väite vahvistaa ratkaisun ainutlaatuisuuden.

a) f (x) ≤ g (x) jos ja vain jos x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g (x) jos ja vain jos x ϵ [x 0; +∞). Tämän lauseen visuaalinen merkitys on ilmeinen Lause 3. Jos funktio y \u003d f (x) kasvaa monotonisesti koko reaaliviivalla, funktio y \u003d g (x) pienenee monotonisesti koko reaaliviivalla ja f (x 0) \u003d g (x 0), niin seuraavat väitteet ovat tosia:

Ratkaise epätasa-arvo Ratkaisu. Funktio f (x) = kasvaa monotonisesti koko reaaliviivalla ja funktio g (x) = pienenee monotonisesti koko määritelmäalueen läpi. Siksi epäyhtälö f (x) > g (x) täyttyy, jos x > 2. Lisätään epäyhtälön alue. Siten saamme järjestelmän vastauksen: (2; 5).

Lause 4. Jos funktio y \u003d f (x) kasvaa monotonisesti, yhtälöillä f (x) \u003d x ja f (f (x)) \u003d x on sama juurijoukko, riippumatta niiden lukumäärästä. sijoitukset. Seuraus. Jos n on luonnollinen luku ja funktio y \u003d f (x) kasvaa monotonisesti, yhtälöillä f (x) \u003d x ja n kertaa on samat juuret.

Ratkaise yhtälö. Vastaus: Päätös. Kun x ≥1, yhtälön oikea puoli on vähintään 1 ja vasen puoli on pienempi kuin 1. Siksi, jos yhtälöllä on juuret, niin mikä tahansa niistä on pienempi kuin 1. Kun x ≤0, oikea puoli yhtälön puoli on ei-positiivinen ja vasen puoli on positiivinen, koska . Siten mikä tahansa tämän yhtälön juuri kuuluu väliin (0; 1) Kun tämän yhtälön molemmat puolet kerrotaan x:llä ja jaetaan vasemman puolen osoittaja ja nimittäjä x:llä, saadaan

Missä =. Merkitsemällä t:n kautta, missä t 0, saadaan yhtälö = t. Tarkastellaan funktiota f (t)= 1+, joka kasvaa määrittelyalueellaan. Tuloksena oleva yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa f (f (f (f (t))))= t , ja lauseen 4 seurauksena sillä on sama ratkaisujoukko kuin yhtälöllä f (t)= t , ts. yhtälö 1 + = t, mistä. Tämän toisen asteen yhtälön ainoa positiivinen juuri on . Eli missä, ts. , tai. Vastaus:

Lause 1. Jos max f (x) = c ja min g (x) = c, niin yhtälöllä f (x) = g (x) on sama ratkaisujoukko kuin järjestelmällä Rajaus Vasemman puolen maksimiarvo on 1 ja oikealla puolella oleva minimiarvo 1, mikä tarkoittaa, että yhtälön ratkaisu voidaan pelkistää yhtälöjärjestelmäksi: , toisesta yhtälöstä löydämme mahdollisen ehdokkaan x=0 ja varmistamme, että se on ensimmäisen yhtälön ratkaisu. Vastaus: x=1.

Ratkaise yhtälö Ratkaisu. Koska sin3x≤1 ja cos4x≤1, tämän yhtälön vasen puoli ei ylitä 7. Se voi olla yhtä suuri kuin 7 silloin ja vain jos mistä k , n ϵ Z . On vielä selvitettävä, onko olemassa sellaisia ​​kokonaislukuja k ja n, joille jälkimmäisellä järjestelmällä on ratkaisut. Vastaus: Z

Ongelmissa, joissa on tuntematon x ja parametri a, määritelmäalue ymmärretään joukoksi kaikista järjestetyistä lukupareista (x ; a), joista jokainen on sellainen, että sen jälkeen kun vastaavat x:n ja a:n arvot on korvattu kaikkiin suhteisiin sisällytetään ongelmaan, ne määritetään. Esimerkki 1. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle epäyhtälö Solution. Etsitään tämän epätasa-arvon määritelmäalue. Mistä on selvää, että järjestelmällä ei ole ratkaisuja. Tämä tarkoittaa, että epäyhtälön alueella ei ole yhtään lukuparia x ja a, joten epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja. Laajuus Vastaus:

Invarianssi, ts. yhtälön tai epäyhtälön invarianssi suhteessa muuttujan korvaamiseen jollain tämän muuttujan algebrallisella lausekkeella. Yksinkertaisin esimerkki invarianssista on pariteetti: jos on parillinen funktio, niin yhtälö on invariantti x:n ja – x:n muutoksen alla, koska = 0. Invarianssi

Etsi yhtälön juuret. Ratkaisu. Huomaa, että pari on muuttumaton vaihdon aikana. Korvaamalla tasa-arvolla saamme. Kertomalla molemmat tämän yhtälön osat kahdella ja vähentämällä yhtäläisyystermi termiltä tuloksena olevasta yhtälöstä saadaan 3, mistä. Nyt on vielä ratkaistava yhtälö, josta yhtälön juuret ovat numeroita. Vastaus:.

Etsi kaikki a:n arvot, joista jokaiselle yhtälöllä on enemmän kuin kolme erilaista ratkaisua. Monotonisuus-ominaisuusparametrin ongelmien ratkaiseminen

|x|= positiivinen X= |x|= Jotta kaksi juuria olisi olemassa, osoittajan on oltava positiivinen. Siksi, kun ensimmäisen ja toisen yhtälön juuret ovat samat, mikä ei täytä ehdon vaatimusta: useamman kuin kolmen juuren läsnäolo. Vastaus:.

Etsi kaikki a:n arvot, joista jokaisella yhtälöllä on kaksi juuria. Muunnetaan yhtälö muotoon JA tarkastellaan funktiota f(x)= määriteltynä ja jatkuvana koko reaaliviivalla. Tämän funktion kuvaaja on katkoviiva, joka koostuu janoista ja säteistä, joiden jokainen linkki on osa suoraa muotoa y= kt+l . f(x)= Ensimmäisen lausekkeen moduulin missään laajennuksessa k ei ylitä arvoa 8, joten funktion f(x) lisäys ja pieneneminen riippuvat toisen moduulin laajennuksesta. Kohdassa x f(x) pienenee ja x:ssä se kasvaa. Toisin sanoen kohdassa x=3 funktio saa suurimman arvon. Jotta yhtälöllä olisi kaksi juuria, on välttämätöntä, että f(3) Monotonisuusominaisuus

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Vastaus: a

Etsi kaikki parametrin a arvot, joista jokaiselle millä tahansa reaaliarvolla x epäyhtälö täyttyy. Kirjoitetaan epäyhtälö muotoon, otetaan käyttöön uusi muuttuja t = ja tarkastellaan funktiota f (t) = , määritelty ja jatkuva koko todellisella linjalla. Tämän funktion kaavio on katkoviiva, joka koostuu viivasegmenteistä ja säteistä, joiden jokainen linkki on osa suoraa viivaa, johon

Koska, niin t ϵ [-1; yksi]. Johtuen funktion y = f (t) monotonisesta pienenemisestä, riittää tämän segmentin vasemman reunan tarkistaminen. Z. A on totta. Se tarkoittaa, että se on mahdollista vain, jos luvuilla u ja v on sama etumerkki tai mikä tahansa niistä on yhtä suuri kuin nolla. , = () () 0. Kerrottaessa neliötrinomit saadaan epäyhtälö (, josta saamme selville, että ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Vastaus: (-∞ ; -1]U(2)U)