Valmiit työt

NÄMÄ TEOKSET

Paljon on jo takana ja nyt olet valmistunut, jos tietysti kirjoitat opinnäytetyösi ajoissa. Mutta elämä on sellaista, että vasta nyt sinulle tulee selväksi, että kun olet lakannut olemasta opiskelija, menetät kaikki opiskelijan ilot, joista monia et ole kokeillut, lykkäämällä kaiken ja siirtämällä sen myöhempään. Ja nyt, sen sijaan, että kuroisit kiinni, puuhailet opinnäytetyötäsi? On loistava tapa ulos: lataa tarvitsemasi opinnäytetyö verkkosivuiltamme - ja sinulla on heti paljon vapaa-aikaa!
Diplomityöt on puolustettu menestyksekkäästi Kazakstanin tasavallan johtavissa yliopistoissa.
Työkustannukset alkaen 20 000 tengeä

KURSSI TOIMII

Kurssiprojekti on ensimmäinen vakava käytännön työ. Kurssityön kirjoittamisesta alkaa valmistautuminen valmistumisprojektien kehittämiseen. Jos opiskelija oppii ilmaisemaan aiheen sisällön oikein kurssiprojektissa ja laatimaan sen oikein, niin jatkossa hänellä ei ole ongelmia raporttien kirjoittamisessa tai opinnäytetyön tekemisessä tai muiden käytännön tehtävien suorittamisessa. Itse asiassa tämä tietoosio luotiin auttaakseen opiskelijoita tämäntyyppisten opiskelijatöiden kirjoittamisessa ja selventämään sen valmistelun aikana esiin tulevia kysymyksiä.
Työkustannukset alkaen 2500 tengeä

MAISTERITYÖT

Tällä hetkellä Kazakstanin ja IVY-maiden korkeakouluissa korkea-asteen ammatillisen koulutuksen vaihe, joka seuraa kandidaatin tutkinnon - maisterin tutkinnon - jälkeen, on hyvin yleinen. Tuomaristossa opiskelijat opiskelevat tavoitteenaan suorittaa maisterin tutkinto, joka tunnustetaan useimmissa maailman maissa enemmän kuin kandidaatin tutkinto ja jonka tunnustavat myös ulkomaiset työnantajat. Maistraatin koulutuksen tulos on pro gradu -tutkielman puolustaminen.
Tarjoamme sinulle ajantasaista analyyttistä ja tekstimateriaalia, hinta sisältää 2 tieteellistä artikkelia ja abstraktin.
Työkustannukset alkaen 35 000 tengeä

HARJOITUSRAPORTIT

Minkä tahansa opiskelijakäytännön (koulutus, teollisuus, perustutkinto) suorittamisen jälkeen vaaditaan raportti. Tämä asiakirja on vahvistus opiskelijan käytännön työstä ja pohjana käytännön arvioinnin muodostukselle. Yleensä työharjoitteluraportin laatimista varten on kerättävä ja analysoitava tietoa yrityksestä, otettava huomioon harjoittelupaikan organisaation rakenne ja työaikataulu, laadittava kalenterisuunnitelma ja kuvailtava käytännön toimintaa.
Autamme sinua kirjoittamaan raportin harjoittelusta ottaen huomioon tietyn yrityksen toiminnan erityispiirteet.

8. luokka

Päivämäärä:

Oppitunti numero 9.

Aihe: Neliöjuuren likimääräiset laskelmat.

Tavoitteet: 1. Opeta oppilaita löytämään likimääräisiä neliöjuuria.

2. Kehittää havainnointikykyä, kykyä analysoida, vertailla, tehdä johtopäätöksiä.

Kasvata positiivista asennetta oppimiseen

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Oppitunnin organisointimuodot: yksilöllinen, kollektiivinen

Varusteet: projektitaulu, mielialan heijastuskortit, mikrolaskin

Kolme tietä johtaa tietoon: pohdinnan polku

Tämä on jaloin tapa

jäljittelytapa on helpoin tapa

ja kokemuksen tapa on katkerin tapa.

Konfutse

Tuntien aikana.

Ajan järjestäminen

Kotitehtävän tarkistusvaihe

Nro 60 - 1 opiskelija esiintyy taululla, toinen opiskelija tarkistaa tehtävän oikeellisuuden paikan päällä

Suullinen työ: projisoitu taululle

a) Etsi juuren arvo:

b) Onko lauseessa järkeä:

c) Etsi luku, jonka aritmeettinen neliöjuuri on 0; yksi; 3; kymmenen; 0.6

Uuden materiaalin selitysvaihe

Laskeaksesi neliöjuuren likimääräisen arvon, sinun on käytettävä mikrolaskuria. Voit tehdä tämän kirjoittamalla radikaalilausekkeen laskimeen ja painamalla radikaalimerkillä varustettua näppäintä. Mutta aina ei ole käsillä laskinta, joten voit löytää neliöjuuren likimääräisen arvon seuraavasti:

Etsitään arvo.

Siitä lähtien . Nyt välissä 1-2 sijaitsevien lukujen joukosta otamme viereiset luvut 1.4 ja 1.5, saamme: , sitten otamme luvut 1.41 ja 1.42, nämä luvut täyttävät epäyhtälön . Jos jatkamme tätä naapurilukujen neliöintiprosessia, saamme seuraavan epäyhtälöjärjestelmän:

Projisoitu taululle.

Tästä järjestelmästä, kun vertaamme desimaalipilkun jälkeisiä lukuja, saamme:

Neliöjuurien likimääräiset arvot voidaan ottaa yli- ja puutosarvoina, ts. puutteella tarkkuudella 0,0001 ja ylimäärällä.

Tutkitun materiaalin konsolidointi.

Taso "A"

0,2664 0,2 - puutteen mukaan

№93 (laskinta käytössä)

5. Valeologinen tauko: harjoitukset silmille.

Taso "B"

6. Historiallinen tausta neliöjuuren arvon selvittämisen tarpeesta

(Haluavaa opiskelijaa pyydetään etukäteen valmistelemaan viesti tästä aiheesta Internetin avulla)

Irrationaalisen luvun neliöjuuren likimääräisen arvon löytämiseksi ehdotetaan kaavaa:

Taso "C" nro 105

7. Heijastus.

Yhteenveto oppitunnista.

Kotitehtävä: nro 102,

Aihe: "Löytää
neliöjuuren likimääräiset arvot"

Oppitunnin tyyppi: ONZ, R

Perustavoitteet:

• oppia löytämään neliöjuuren likimääräiset arvot,
• oppia menetelmiä juurien laskemiseen.

Tuntien aikana

1. Itsemääräämisoikeus oppimistoimintoihin

Lavan tarkoitus: 1) ottaa opiskelijat mukaan oppimistoimintaan;

2) määritä oppitunnin sisältö: jatkamme työskentelyä neliöjuurilla

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 1:

Mitä opiskelemme nyt algebran tunneilla? (Neliöjuuret)

Mitä ovat neliöjuuret?

- Hyvin tehty! Jotta työ onnistuisi, suoritamme seuraavat tehtävät.

2. Tiedon realisointi ja toimintojen vaikeuksien kiinnittäminen

Lavan tarkoitus: 1) päivittää uuden materiaalin havaitsemiseksi tarpeellista ja riittävää koulutussisältöä: neliöjuuren arvojen löytäminen;

2) päivittää uuden materiaalin havaitsemiseen tarvittavat ja riittävät henkiset toiminnot: vertailu, analysointi, yleistäminen;

3) korjata kaikki toistuvat käsitteet ja algoritmit kaavioiden ja symbolien muodossa;

4) korjata yksilöllinen vaikeus toiminnassa osoittaen olemassa olevan tiedon puutetta henkilökohtaisesti merkittävällä tasolla: löytää ilmaisun merkitys.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 2:

1. Laske: , , , ,

4. Yksilöllinen tehtävä.

Etsi lausekkeen arvo..

3. Vaikeuden syyn tunnistaminen ja toiminnan tavoitteen asettaminen

Lavan tarkoitus: 1) järjestää kommunikatiivista vuorovaikutusta, jonka aikana paljastuu ja kiinnitetään tehtävän erottuva ominaisuus, joka aiheutti vaikeuksia koulutustoiminnassa: kyky löytää neliöjuuren arvo;

2) sopia oppitunnin tarkoitus ja aihe.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 3:

– mitä sinun piti tehdä?

- Mitä sinä sait? (Oppilaat näyttävät vaihtoehtonsa)

- Mikä oli ongelma?

Onko √2 poistettu kokonaan?

Ei.

Miten löydämme?

Mitä tapoja löytää juuret?

Kaverit, näettehän, emme aina ole tekemisissä numeroiden kanssa, jotka esitetään helposti luvun neliöinä ja jotka saadaan kokonaan juuren alta.

- Mikä on tavoitteemme?

- Muotoile oppitunnin aihe.

- Kirjoita aihe vihkoon.

4. Projektin rakentaminen vaikeuksista selviämiseksi

Lavan tarkoitus: 1) järjestää kommunikatiivista vuorovaikutusta sellaisen uuden toimintatavan rakentamiseksi, joka eliminoi tunnistetun vaikeuden syyn;

2) vahvistaa uusi toimintatapa merkillä, sanamuodolla.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 4:

1 MENETELMÄ √2:n laskemiseen kahden desimaalin tarkkuudellaVäittelemme seuraavasti.

Luku √2 on suurempi kuin 1, koska 1 2 2 suurempi kuin 2. Siksi luvun desimaalimerkintä alkaa seuraavasti: 1, ... Eli kahden juuri, tämä on yksikkö jollakin.

Yritetään nyt löytää kymmenysten lukumäärä.

Tätä varten neliöimme murto-osia yhdestä kahteen, kunnes saamme luvun, joka on suurempi kuin kaksi.

Otetaan jakoaskel 0,1, koska etsimme kymmenesosien määrää.

Toisin sanoen neliöimme luvut: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Saimme luvun, joka on suurempi kuin kaksi, jäljellä olevia lukuja ei enää tarvitse neliöidä. Numero 1.4 2 on pienempi kuin 2 ja 1,5 on 2 on jo suurempi kuin kaksi, silloin luvun √2 on kuuluttava väliin 1,4 - 1,5. Siksi kymmenennellä sijalla olevan luvun √2 desimaalimerkinnän tulee sisältää 4. √2=1,4….

Toisin sanoen 1.4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Jo kohdassa 1.42 saamme, että sen neliö on suurempi kuin kaksi, numeroiden neliöinti ei ole järkevää.

Tästä saadaan, että luku √2 kuuluu väliin 1,41 - 1,42 (1,41

Koska meidän on kirjoitettava √2 kahden desimaalin tarkkuudella, voimme jo lopettaa ja olla jatkamatta laskentaa.

√2 ≈ 1,41. Tämä on vastaus. Jos olisi tarpeen laskea vielä tarkempi arvo, laskelmia olisi jatkettava toistaen päättelyketjua yhä uudelleen ja uudelleen.

Harjoittele

Laske kahden desimaalin tarkkuudella

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Johtopäätös Tämän tekniikan avulla voit poimia juuria millä tahansa ennalta määrätyllä tarkkuudella.

2 MENETELMÄ Selvittääksesi luvun neliöjuuren kokonaislukuosan voit laskea suoritettujen toimien määrän vähentämällä siitä kaikki parittomat luvut järjestyksessä, kunnes jäännös on pienempi kuin seuraava vähennetty luku tai yhtä suuri kuin nolla.

Etsitään esimerkiksi √16 näin:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• 4 vaihetta suoritettu, joten √16 = 4

Tehtävä Laske

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Johtopäätös Tämä tekniikka on kätevä, kun juuri on poistettu kokonaan.

3 MENETELMÄ Muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa menetelmää löytääkseen x-luvun neliöjuuren likimääräisen arvon. Ne edustivat lukua x a:n summana 2+b,

missä 2 - luonnollisen luvun a tarkka neliö, joka on lähinnä lukua x, ja käytti kaavaa.

Poimimme neliöjuuren kaavalla,

Esimerkiksi numerosta 28:

Johtopäätös Babylonian menetelmä antaa hyvän likiarvon juuren tarkasta arvosta.

5. Ensisijainen lujittaminen ulkoisessa puheessa

Lavan tarkoitus: korjata tutkittua opetussisältöä ulkoiseen puheeseen.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 5:

oppikirjasta: nro 336, 337, 338,339, 343,345

6. Itsenäinen työskentely ja itsetestaus standardin mukaisesti.

Lavan tarkoitus: testaa kykyäsi käyttää yhteen- ja vähennysalgoritmia tyypillisissä olosuhteissa vertaamalla ratkaisuasi itsetestauksen standardiin.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 6:

Nro 338 (a), 339 (c, d)

Standardin mukaisen tarkistuksen jälkeen virheet analysoidaan ja korjataan.

7. Tietojärjestelmään sisällyttäminen ja toisto

Lavan tarkoitus: 1) kouluttaa taitoja käyttää uutta sisältöä yhdessä aiemmin opitun kanssa;

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 7:

1 ryhmä (keskikokoinen) "nro __________________

Ryhmä 2 (korkea) №№ _____________________

8. Oppitunnin toimintojen reflektointi

1) korjaa oppitunnilla opittu uusi sisältö;

2) arvioida omaa toimintaansa oppitunnilla;

3) kiittää luokkatovereita, jotka auttoivat saamaan oppitunnin tuloksen;

4) korjata ratkaisemattomia vaikeuksia tulevien oppimistoimintojen ohjeiksi;

5) Keskustele ja kirjoita läksyjä.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa 8:

– Mitä opimme tänään luokassa?

– Mitä olemme oppineet tekemään tänään?

– Analysoi toimintaasi oppitunnilla ja arvioi työtäsi.

Kotitehtävät №№ 344 , 346, 351

Nyt kysymys kuuluu: kuinka nostaa luku irrationaaliseksi voimaksi? Haluamme esimerkiksi tietää, mikä on 10 √2. Vastaus on periaatteessa hyvin yksinkertainen. Otetaan √2 sijasta sen approksimaatio äärellisen desimaaliluvun muodossa drdbi - tämä on rationaalinen luku. Voimme nostaa rationaaliseen asteeseen; se tarkoittaa nostamista kokonaislukupotenssiin ja poimimaan juuren. Saamme numeron likimääräisen arvon. Voit ottaa pidemmän desimaaliluvun (tämä on jälleen rationaalinen luku). Sitten sinun on purettava suuremman asteen juuri; loppujen lopuksi rationaalisen murtoluvun nimittäjä kasvaa, mutta saamme tarkemman likiarvon. Tietenkin, jos otamme likimääräisen arvon √2 erittäin pitkäksi murto-osaksi, eksponentio on erittäin vaikeaa. Kuinka selviytyä tästä tehtävästä?

Neliöjuurien, kuutiojuurien ja muiden matalan asteen juurien laskeminen on aritmeettinen prosessi, joka on meille varsin helppokäyttöinen; laskettaessa kirjoitamme peräkkäin, peräkkäin, desimaalit. Mutta irrationaaliseen potenssiin nostamiseksi tai logaritmin ottamiseksi (käänteisen ongelman ratkaisemiseksi) tarvitaan sellaista työtä, että edellisen menettelyn soveltaminen ei ole enää helppoa. Pöydät tulevat apuun. Niitä kutsutaan logaritmitaulukoiksi tai tehotaulukoiksi riippuen siitä, mihin ne on tarkoitettu. Ne säästävät aikaa: nostaaksemme luvun irrationaaliseen potenssiin emme laske, vaan käännämme vain sivuja.

Vaikka taulukoihin kerättyjen arvojen laskeminen on puhtaasti tekninen toimenpide, se on kuitenkin mielenkiintoinen asia ja sillä on pitkä historia. Joten katsotaan kuinka se tehdään. Laskemme paitsi x \u003d 10 √2, vaan ratkaisemme myös toisen ongelman: 10 x \u003d 2 tai x \u003d log 10 2. Ratkaisemme näitä tehtäviä, emme löydä uusia lukuja; nämä ovat vain laskentaongelmia. Ratkaisu on irrationaaliset luvut, äärettömät desimaalimurtoluvut, ja on jotenkin hankalaa julistaa niitä uudenlaisiksi luvuiksi.

Mietitään kuinka ratkaista yhtälömme. Yleisidea on hyvin yksinkertainen. Jos lasketaan 10 1 ja 10 1/10 , ja 10 1/100 ja 10 1/1000 jne. ja sitten kerrotaan tulokset, saadaan 10 1,414 ... tai l0 √ 2 Näin tekemällä ratkaisemme mitään sellaista ongelmaa. Kuitenkin 10 1/10 jne. sijasta laskemme 10 1/2 ja 10 1/4 jne. Ennen kuin aloitamme, selitetään, miksi viittaamme numeroon 10 useammin kuin muihin numeroihin. Tiedämme, että logaritmitaulukoiden merkitys menee paljon pidemmälle kuin juurien laskemisen matemaattinen ongelma, koska

Tämän tietävät hyvin kaikki, jotka ovat käyttäneet logaritmitaulukkoa lukujen kertomiseen. Millä perusteella b ottaa logaritmit? Sillä ei ole väliä; Tällaiset laskelmat perustuvat vain logaritmisen funktion periaatteeseen. Kun olet laskenut logaritmit kerran jollekin mielivaltaiselle kantalle, voit siirtyä toisen kantaluvun logaritmeihin kertolaskulla. Jos kerrot yhtälön (22.3) 61:llä, niin se pysyy totta, joten jos kerrot kaikki logaritmitaulukon luvut kantaan b 61:llä, niin myös tällaista taulukkoa voidaan käyttää. Oletetaan, että tiedämme kaikkien lukujen logaritmit kantaan b. Toisin sanoen voimme ratkaista yhtälön b a = c mille tahansa c:lle; sitä varten on pöytä. Ongelmana on, kuinka löytää saman luvun c logaritmi eri kannasta, kuten x. Meidän on ratkaistava yhtälö x a' = c. Tämä on helppo tehdä, koska x voidaan aina esittää muodossa x = b t . t:n löytäminen x:n ja b:n perusteella on yksinkertainen: t = log b x. Korvataan nyt x = b t yhtälöön x a’ = c; se menee tähän yhtälöön: (b t) a’ = b ta’ = c. Toisin sanoen tulo ta' on c:n logaritmi kantaan b. Joten a' = a/t. Siten logaritmit kantaan x ovat yhtä suuret kuin kannan b logaritmien ja vakioluvun l/t tulot. Siksi kaikki logaritmitaulukot vastaavat kertomista luvulla l/log b x. Tämä antaa meille mahdollisuuden valita minkä tahansa pohjan taulukointiin, mutta päätimme, että on kätevintä käyttää perustana numeroa 10. (Voi herätä kysymys: onko vielä jotain luonnollista perustaa, joka saa kaiken näyttämään jotenkin yksinkertaisemmalta? Yritämme vastata tähän kysymykseen myöhemmin, kun taas kaikki logaritmit lasketaan kannassa 10.)

Katsotaan nyt, kuinka logaritmitaulukko kootaan. Työ alkaa 10:n neliöjuuren peräkkäisillä poiminnalla. Tulos näkyy taulukossa. 22.1. Eksponentit kirjoitetaan sen ensimmäiseen sarakkeeseen ja luvut 10 s ovat kolmanteen sarakkeeseen. On selvää, että 10 1 \u003d 10. 10 on helppo nostaa puoleen tehoon - tämä on 10:n neliöjuuri, ja kaikki tietävät kuinka ottaa minkä tahansa luvun neliöjuuri. (Neliöjuuri ei ole parasta ottaa niin kuin koulussa yleensä opetetaan, vaan hieman eri tavalla. Lukon N neliöjuuren poimimiseksi valitsemme luvun, joka on tarpeeksi lähellä vastausta, laske N / a ja keskiarvo a' = 1/2; tämä keskiarvo on uusi luku a, uusi likiarvo N:n juuresta. Tämä prosessi johtaa hyvin nopeasti tavoitteeseen: merkitsevien numeroiden määrä kaksinkertaistuu jokaisen vaiheen jälkeen.) Joten meillä on löysi ensimmäisen neliöjuuren; se on yhtä suuri kuin 3,16228. Mitä se antaa? Antaa jotain. Voimme jo kertoa, mikä 10 0,5 on, ja tiedämme ainakin yhden logaritmin.

Logaritmi 3,16228 on hyvin lähellä 0,50000. Meidän on kuitenkin vielä ponnisteltava: tarvitsemme yksityiskohtaisemman taulukon. Otetaan toinen neliöjuuri ja löydetään 10 1/4, joka on yhtä kuin 1,77828. Nyt tiedämme toisen logaritmin: 1,250 on 17,78:n logaritmi; Lisäksi voimme sanoa, mitä 10 0,75 on yhtä kuin: tämä on loppujen lopuksi 10 (0,5 + 0,25), eli taulukon kolmannen sarakkeen toisen ja kolmannen luvun tulo. 22.1. Jos teet taulukon ensimmäisestä sarakkeesta riittävän pitkän, taulukko sisältää melkein kaikki numerot; kertomalla numerot kolmannesta sarakkeesta, saamme 10 melkein mihin tahansa potenssiin. Tämä on taulukoiden perusidea. Taulukkomme sisältää kymmenen peräkkäistä juuria 10:stä; pääasiallinen työ taulukon laatimisessa panostetaan näiden juurien laskemiseen.

Miksi emme jatka taulukoiden tarkkuuden parantamista? Koska olemme jo huomanneet jotain. Nostamalla 10 erittäin pieneen tehoon, saamme yksikön pienellä lisäyksellä. Tämä tietysti tapahtuu, koska jos korotamme esimerkiksi 10 1/1000 1000. potenssiin, niin saamme taas 10; on selvää, että 10 1/1000 ei voi olla suuri luku: se on hyvin lähellä yhtä. Lisäksi pienet lisäykset yhtenäisyyteen käyttäytyvät ikään kuin ne olisi jaettu kahdella joka kerta; katso tarkemmin taulukkoa: 1815 menee 903:een, sitten 450:een, 225:een jne. Jos siis laskemme vielä yhden, yhdestoista neliöjuuren, se on yhtä suuri kuin 1,00112 suurella tarkkuudella, ja arvasimme tämän tuloksen jopa ennen laskelmaa. Osaatko sanoa, mikä on lisäys yhteen, jos nostat 10:n potenssiin ∆/1024, kun ∆ pyrkii nollaan? Voi. Lisäys on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,0022511∆. Ei tietenkään tarkalleen 0,0022511∆; Laskeakseen tämän lisäyksen tarkemmin, he tekevät seuraavan tempun: vähentävät 10 s:sta yksi ja jakavat erotuksen eksponentilla s. Tällä tavalla saadun osamäärän poikkeamat sen tarkasta arvosta ovat samat mille tahansa s:n potenssille. Voidaan nähdä, että nämä suhteet (taulukko 22.1) ovat suunnilleen samat. Aluksi ne eroavat suuresti, mutta sitten ne tulevat lähemmäksi toisiaan pyrkien selvästi johonkin numeroon. Mikä tämä numero on? Katsotaan kuinka neljännen sarakkeen numerot muuttuvat, jos mennään saraketta alaspäin. Ensin kahden vierekkäisen luvun välinen ero on 0,0211, sitten 0,0104, sitten 0,0053 ja lopuksi 0,0026. Ero pienenee joka kerta puoleen. Ottamalla vielä yhden askeleen, tuomme sen arvoon 0,0013, sitten arvoon 0,0007, 0,0003, 0,0002 ja lopuksi noin 0,0001; meidän on jaettava peräkkäin 26 kahdella. Näin ollen laskemme vielä 26 yksikköä ja löydämme rajaksi 2,3025. (Myöhemmin näemme, että 2.3026 olisi oikeampi, mutta otetaan se, mitä meillä on.) Tämän taulukon avulla voit nostaa 10 mihin tahansa potenssiin, jos sen eksponentti ilmaistaan ​​jollakin tavalla I / I024:n kautta.

Nyt on helppo tehdä logaritmitaulukko, koska olemme jo tallentaneet kaiken tarvittavan tähän. Menettely tähän on esitetty taulukossa. 22.2, ja tarvittavat numerot on otettu taulukon toisesta ja kolmannesta sarakkeesta. 22.1.

Oletetaan, että haluamme tietää luvun 2 logaritmin. Tämä tarkoittaa, että haluamme tietää, mihin potenssiin 10 on nostettava, jotta saadaan 2. Ehkä korotetaan 10 potenssiin 1/2? Ei, se on liian iso. Katsomalla taulukkoa 22.1 voimme sanoa, että tarvitsemamme luku on 1/4 ja 1/2 välillä. Aloitetaan sen etsiminen 1/4; jaa 2 luvulla 1,778…, saamme 1,124…; jakaessa vähennettiin 0,250000 kahden logaritmista, ja nyt meitä kiinnostaa logaritmi 1,124 .... Kun se on löydetty, lisäämme tulokseen 1/4 = 256/1024. Etsitään taulukosta 22.1 luku, joka kolmatta saraketta pitkin ylhäältä alas liikkuessa seisoisi välittömästi 1.124:n takana.... Tämä on 1.074607. Suhde 1,124… ja 1,074607 on 1,046598. Lopuksi edustamme 2:ta taulukon numeroiden tulona. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Viimeiselle tekijälle (1,000573) ei ollut paikkaa taulukossamme; sen logaritmin löytämiseksi on välttämätöntä esittää tämä luku muodossa 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. Tästä on helppo todeta, että ∆ = 0,254. Siten tuotteemme voidaan esittää kymmenellä, joka on korotettu potenssiin 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). Lisäämällä ja jakamalla saadaan haluttu logaritmi: log 10 2 = 0,30103; tämä tulos on oikea viidenteen desimaaliin asti!

Laskimme logaritmit täsmälleen samalla tavalla kuin herra Briggs of Halifax vuonna 1620. Kun hän lopetti, hän sanoi: "Olen laskenut peräkkäin 54 neliöjuurta 10:stä." Itse asiassa hän laski vain ensimmäiset 27 juuria, ja sitten hän teki tempun ∆:llä. 27 kertaa 10:n neliöjuuren laskeminen on itse asiassa hieman vaikeampaa kuin
10 kertaa kuten teimme. Herra Briggs teki kuitenkin paljon enemmän: hän laski juuret kuudennentoista desimaalin tarkkuudella, ja kun hän julkaisi taulukonsa, hän jätti niihin vain 14 desimaalin tarkkuutta pyöristääkseen virheet. Logaritmitaulukoiden laatiminen neljäntoista desimaalin tarkkuudella tällä menetelmällä on erittäin vaikeaa. Mutta jopa 300 vuotta myöhemmin logaritmitaulukoiden laatijat harjoittivat sitä tosiasiaa, että he pienensivät herra Briggsin taulukoita ja heittivät niistä joka kerta eri määrän desimaaleja. Vasta viime aikoina on elektronisten tietokoneiden avulla ollut mahdollista laatia logaritmitaulukoita herra Briggsistä riippumatta. Tässä tapauksessa käytettiin tehokkaampaa laskentamenetelmää, joka perustui logaritmin laajentamiseen sarjaksi.

Taulukoita kootessamme törmäsimme mielenkiintoiseen tosiasiaan; jos eksponentti ε on hyvin pieni, niin 10 ε on erittäin helppo laskea; se on vain 1+2,3025ε. Tämä tarkoittaa, että 10 n/2,3025 = 1 + n hyvin pienelle n:lle. Lisäksi sanoimme alusta asti, että laskemme 10 peruslogaritmin vain siksi, että meillä on 10 sormea ​​käsissämme ja meidän on helpompi laskea kymmenissä. Logaritmit mihin tahansa muuhun kantaan saadaan logaritmeista kantaan 10 yksinkertaisella kertolaskulla. Nyt on aika selvittää, onko olemassa matemaattisesti erottuvaa logaritmien kantaa, joka erotetaan syistä, joilla ei ole mitään tekemistä käden sormien lukumäärän kanssa. Tässä luonnollisessa mittakaavassa logaritmeilla varustettujen kaavojen pitäisi näyttää yksinkertaisemmilta. Tehdään uusi logaritmitaulukko kertomalla kaikki 10 peruslogaritmit luvulla 2,3025…. Tämä vastaa siirtymistä uuteen kantaan - luonnollinen tai kanta e. Huomaa, että log e (l + n) ≈ n tai e n ≈ 1 + n, kun n → 0.

Itse numero e on helppo löytää; se on yhtä suuri kuin 101/2,3025 tai 10 0,4342294... Se on 10 irrationaaliseen potenssiin. Laskettaessa e, voit käyttää 10:n juuritaulukkoa. Esitetään 0,434294 ... ensin 444,73 / 1024 ja tämän murtoluvun osoittaja summana 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 0,73 . Luku e on siis yhtä suuri kuin lukujen tulo
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Lukua 0,73 ei ole taulukossamme, mutta vastaava tulos voidaan esittää muodossa 1 + 2,3025∆/1024 ja laskea arvolla ∆ = 0,73.) Kerrottaessa kaikki 7 tekijää saadaan 2,7184 (by pitäisi itse asiassa olla 2,7183, mutta tämä tulos on hyvä). Tällaisten taulukoiden avulla voit nostaa luvun irrationaaliseen potenssiin ja laskea irrationaalisten lukujen logaritmit. Näin käsittelee irrationaalisuutta!

Ennen laskimien tuloa opiskelijat ja opettajat laskivat neliöjuuret käsin. On olemassa useita tapoja laskea luvun neliöjuuri manuaalisesti. Jotkut niistä tarjoavat vain likimääräisen ratkaisun, toiset antavat tarkan vastauksen.

Askeleet

Alkutekijähajotelma

Kerro juuriluku tekijöiksi, jotka ovat neliölukuja. Riippuen juurinumerosta, saat likimääräisen tai tarkan vastauksen. Neliöluvut ovat lukuja, joista voidaan ottaa koko neliöjuuri. Tekijät ovat lukuja, jotka kerrottuna antavat alkuperäisen luvun. Esimerkiksi luvun 8 tekijät ovat 2 ja 4, koska 2 x 4 = 8, luvut 25, 36, 49 ovat neliölukuja, koska √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Neliötekijät ovat tekijöitä, jotka ovat neliölukuja. Yritä ensin kertoa juuriluku neliötekijöiksi.

• Laske esimerkiksi 400:n neliöjuuri (manuaalisesti). Kokeile ensin laskea 400 neliötekijöiksi. 400 on 100:n kerrannainen, eli jaollinen 25:llä - tämä on neliöluku. Jakamalla 400 luvulla 25, saat 16. Luku 16 on myös neliöluku. Näin ollen 400 voidaan laskea neliötekijöiksi 25 ja 16, eli 25 x 16 = 400.
• Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: √400 = √(25 x 16).

1. Joidenkin termien tulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin kunkin termin neliöjuuren tulo, eli √(a x b) = √a x √b. Käytä tätä sääntöä ja ota kunkin neliötekijän neliöjuuri ja kerro tulokset löytääksesi vastauksen.

   • Ota esimerkissämme neliöjuuri luvuista 25 ja 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jos radikaaliluku ei kerrota kahdeksi neliötekijäksi (ja niin tapahtuu useimmissa tapauksissa), et voi löytää tarkkaa vastausta kokonaislukuna. Mutta voit yksinkertaistaa ongelmaa jakamalla juuriluvun neliötekijäksi ja tavalliseksi tekijäksi (luku, josta ei voida ottaa koko neliöjuurta). Sitten otat neliöjuuren neliötekijästä ja otat tavallisen kertoimen juuren.

   • Laske esimerkiksi luvun 147 neliöjuuri. Lukua 147 ei voi laskea kahteen neliötekijään, mutta se voidaan laskea seuraaviin tekijöihin: 49 ja 3. Ratkaise tehtävä seuraavasti:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Tarvittaessa arvioi juuren arvo. Nyt voit arvioida juuren arvon (etsi likimääräinen arvo) vertaamalla sitä juurilukua lähimpänä (lukuviivan molemmilla puolilla) olevien neliölukujen juurien arvoihin. Saat juuren arvon desimaalilukuna, joka on kerrottava juurimerkin takana olevalla luvulla.

   • Palataanpa esimerkkiimme. Juuriluku on 3. Sitä lähimmät neliöluvut ovat luvut 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Näin ollen √3:n arvo on välillä 1 ja 2. Koska √3:n arvo on todennäköisesti lähempänä 2:ta kuin 1:tä, arviomme on: √3 = 1,7. Kerromme tämän arvon juurimerkin luvulla: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jos teet laskut laskimella, saat 12,13, mikä on melko lähellä vastaustamme.
     • Tämä menetelmä toimii myös suurilla numeroilla. Oletetaan esimerkiksi √35. Juuriluku on 35. Sitä lähimmät neliöluvut ovat luvut 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Näin ollen √35:n arvo on välillä 5 ja 6. Koska √35:n arvo on paljon lähempänä 6:ta kuin se on 5 (koska 35 on vain 1 vähemmän kuin 36), voimme todeta, että √35 on hieman pienempi kuin 6. Laskimella tarkistaminen antaa vastauksen 5,92 - olimme oikeassa.

4. Toinen tapa on hajottaa juuriluku alkutekijöiksi. Alkutekijät ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Kirjoita alkutekijät riville ja etsi identtisten tekijöiden parit. Sellaiset tekijät voidaan ottaa pois juuren merkistä.

   • Laske esimerkiksi 45:n neliöjuuri. Jaamme juuriluvun alkutekijöiksi: 45 \u003d 9 x 5 ja 9 \u003d 3 x 3. Siten √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 voidaan ottaa pois juurimerkistä: √45 = 3√5. Nyt voimme arvioida √5.
   • Harkitse toista esimerkkiä: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sinulla on kolme kerrointa 2s; ota niitä pari ja ota ne pois juuren merkistä.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyt voimme arvioida √2 ja √11 ja löytää likimääräisen vastauksen.

   Laske neliöjuuri manuaalisesti

   Käytä sarakejakoa

   1. Tämä menetelmä sisältää pitkän jaon kaltaisen prosessin ja antaa tarkan vastauksen. Piirrä ensin pystysuora viiva, joka jakaa arkin kahteen puolikkaaseen, ja vedä sitten vaakaviiva oikealle ja hieman arkin yläreunan alapuolelle pystyviivaan. Jaa nyt juuriluku lukupareihin aloittaen desimaalipilkun jälkeisestä murto-osasta. Joten numero 79520789182.47897 kirjoitetaan muodossa "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Lasketaan esimerkiksi luvun 780.14 neliöjuuri. Piirrä kaksi viivaa (kuten kuvassa) ja kirjoita vasemmassa yläkulmassa oleva numero "7 80, 14". On normaalia, että ensimmäinen numero vasemmalta on pariton numero. Vastaus (annetun luvun juuri) kirjoitetaan oikeaan yläkulmaan.

   2. Kun annetaan ensimmäinen numeropari (tai yksi luku) vasemmalta, etsi suurin kokonaisluku n, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin kyseessä oleva lukupari (tai yksi luku). Toisin sanoen etsi neliöluku, joka on lähimpänä, mutta pienempi kuin ensimmäinen numeropari (tai yksittäinen luku) vasemmalta, ja ota neliöjuuri tästä neliöluvusta; saat numeron n. Kirjoita löydetty n oikeaan yläkulmaan ja neliö n oikeaan alakulmaan.

      • Meidän tapauksessamme ensimmäinen numero vasemmalla on numero 7. Seuraavaksi 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Vähennä äsken löytämäsi luvun n neliö ensimmäisestä numeroparista (tai yhdestä luvusta) vasemmalta. Kirjoita laskennan tulos aliosan (luvun n neliön) alle.

      • Esimerkissämme vähennä 4 7:stä saadaksesi 3.

   4. Ota toinen numeropari muistiin ja kirjoita se edellisessä vaiheessa saadun arvon viereen. Tuplaa sitten oikea yläkulman numero ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan, johon on liitetty "_×_=".

      • Esimerkissämme toinen numeropari on "80". Kirjoita 3:n perään "80". Sitten oikeasta yläkulmasta tuplaamalla saadaan 4. Kirjoita oikeasta alakulmasta "4_×_=".

   5. Täytä oikealla olevat kohdat.

      • Jos meidän tapauksessamme laitamme väliviivojen sijasta luvun 8, niin 48 x 8 \u003d 384, mikä on enemmän kuin 380. Siksi 8 on liian suuri luku, mutta 7 on hyvä. Kirjoita 7 väliviivojen sijaan ja saa: 47 x 7 \u003d 329. Kirjoita 7 oikeasta yläkulmasta - tämä on luvun 780.14 halutun neliöjuuren toinen numero.

   6. Vähennä tuloksena oleva luku vasemmalla olevasta nykyisestä numerosta. Kirjoita edellisen vaiheen tulos nykyisen luvun alle vasemmalle, etsi ero ja kirjoita se vähennetyn luvun alle.

      • Esimerkissämme vähennä 329 luvusta 380, joka on yhtä kuin 51.

   7. Toista vaihe 4. Jos purettu lukupari on alkuperäisen luvun murto-osa, laita kokonaisluvun ja murto-osien erotin (pilkku) haluttuun neliöjuureen oikeasta yläkulmasta. Siirrä vasemmalla seuraava numeropari alas. Tuplaa oikea yläkulman numero ja kirjoita tulos oikeaan alakulmaan, johon on liitetty "_×_=".

      • Esimerkissämme seuraava purettava lukupari on luvun 780.14 murto-osa, joten laita kokonaisluvun ja murto-osien erotin haluttuun neliöjuureen ylhäältä oikealta. Pura 14 ja kirjoita ylös vasempaan alakulmaan. Kaksinkertainen yläoikea (27) on 54, joten kirjoita "54_×_=" oikeaan alakulmaan.

   8. Toista vaiheet 5 ja 6. Etsi oikealla olevien väliviivojen sijaan suurin luku (viivoiden sijaan sinun on korvattava sama luku), jotta kertolaskutulos on pienempi tai yhtä suuri kuin nykyinen vasemmalla oleva luku.

      • Esimerkissämme 549 x 9 = 4941, mikä on pienempi kuin nykyinen numero vasemmalla (5114). Kirjoita oikeaan yläkulmaan 9 ja vähennä kertolaskutulos vasemmalla olevasta nykyisestä luvusta: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jos haluat löytää lisää desimaaleja neliöjuurelle, kirjoita nollapari nykyisen numeron viereen vasemmalle ja toista vaiheet 4, 5 ja 6. Toista vaiheet, kunnes saat tarvitsemasi vastauksen tarkkuuden (numero desimaalin tarkkuudella).

      Prosessin ymmärtäminen

      1. Tämän menetelmän hallitsemiseksi kuvittele luku, jonka neliöjuuri sinun on löydettävä neliön S pinta-alaksi. Tässä tapauksessa etsit tällaisen neliön sivun L pituutta. Laske L:n arvo, jolle L² = S.

         Syötä kirjain jokaiselle vastauksesi numerolle. Merkitse A:lla L:n arvon (haluttu neliöjuuri) ensimmäinen numero. B on toinen numero, C kolmas ja niin edelleen.

         Määritä kirjain jokaiselle alkunumeroparille. Merkitään S a:lla arvon S ensimmäinen numeropari, S b:llä toinen numeropari ja niin edelleen.

         Selitä tämän menetelmän yhteys pitkän jaon kanssa. Kuten jakooperaatiossa, jossa joka kerta kun olemme kiinnostuneita vain yhdestä jaettavan luvun seuraavasta numerosta, neliöjuurta laskettaessa työskentelemme numeroparin kanssa peräkkäin (saadaksemme neliöjuuren arvon seuraavan numeron) .

      2. Tarkastellaan luvun S ensimmäistä numeroparia Sa (esimerkissämme Sa = 7) ja etsitään sen neliöjuuri. Tässä tapauksessa haetun neliöjuuren arvon ensimmäinen numero A on sellainen luku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin S a (eli etsimme sellaista A:ta, joka täyttää epäyhtälön A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Oletetaan, että meidän on jaettava 88962 seitsemällä; tässä ensimmäinen vaihe on samanlainen: tarkastelemme jaollisen luvun 88962 ensimmäistä numeroa (8) ja valitsemme suurimman luvun, joka kerrottuna 7:llä antaa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 8. Eli etsimme luku d, jolle epäyhtälö on tosi: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Kuvittele henkisesti neliö, jonka pinta-ala sinun on laskettava. Etsit L:tä eli neliön sivun pituutta, jonka pinta-ala on S. A, B, C ovat numeroita luvussa L. Voit kirjoittaa sen eri tavalla: 10A + B \u003d L (kaksi -numeroinen numero) tai 100A + 10B + C \u003d L (kolminumeroiselle numerolle) ja niin edelleen.

         • Päästää (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Muista, että 10A+B on luku, jonka B tarkoittaa ykkösiä ja A kymmeniä. Jos esimerkiksi A=1 ja B=2, niin 10A+B on yhtä kuin luku 12. (10A+B)² on koko neliön pinta-ala, 100A² on suuren sisäneliön pinta-ala, B² on pienen sisemmän neliön pinta-ala, 10A × B on kummankin suorakulmion pinta-ala. Lisäämällä kuvattujen kuvioiden alueet, löydät alkuperäisen neliön alueen.