Tänään puhumme aiheesta logaritmikaavat ja antaa esittelyn ratkaisuesimerkkejä.

Ne merkitsevät itsessään ratkaisukuvioita logaritmien perusominaisuuksien mukaisesti. Ennen kuin käytät logaritmikaavoja ratkaisuun, muistamme ensin kaikki ominaisuudet:

Nyt näytämme näiden kaavojen (ominaisuuksien) perusteella esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta kaavojen perusteella.

Logaritmi positiivinen luku b kannassa a (merkitty log a b) on eksponentti, johon a on nostettava, jotta saadaan b, kun b > 0, a > 0 ja 1.

Määritelmän mukaan log a b = x, mikä vastaa a x = b, joten log a a x = x.

Logaritmit, esimerkkejä:

log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8

loki 7 49 = 2, koska 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, koska 5-1 = 1/5

Desimaalilogaritmi on tavallinen logaritmi, jonka kanta on 10. Merkitään lg.

log 10 100 = 2, koska 10 2 = 100

luonnollinen logaritmi- myös tavallinen logaritmilogaritmi, mutta kantaluvulla e (e \u003d 2,71828 ... - irrationaalinen luku). Kutsutaan nimellä ln.

Logaritmien kaavat tai ominaisuudet on hyvä muistaa, koska niitä tarvitaan myöhemmin ratkottaessa logaritmeja, logaritmia yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Käydään jokainen kaava läpi uudelleen esimerkkien avulla.

• Peruslogaritminen identiteetti
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Tuloksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Logaritmiskelpoisen luvun asteen ja logaritmin kannan ominaisuudet

  Logaritmiluvun eksponentti log a b m = mlog a b

  Logaritmin kantaluvun eksponentti log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jos m = n, saadaan log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Siirtyminen uudelle perustalle
  log a b = log c b / log c a,

  jos c = b, saadaan log b b = 1

  sitten log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kuten näet, logaritmikaavat eivät ole niin monimutkaisia ​​kuin miltä ne näyttävät. Nyt, kun olemme tarkastelleet esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta, voimme siirtyä logaritmiin yhtälöihin. Tarkastelemme esimerkkejä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisesta yksityiskohtaisemmin artikkelissa: "". Älä missaa!

Jos sinulla on vielä kysyttävää ratkaisusta, kirjoita ne artikkelin kommentteihin.

Huomaa: päätin hankkia toisen luokan koulutuksen ulkomailla vaihtoehtona.

Yhteiskunnan kehittyessä tuotannon monimutkaisuuden myötä myös matematiikka kehittyi. Liikkeet yksinkertaisesta monimutkaiseen. Tavanomaisesta yhteen- ja vähennyslaskumenetelmästä toistuvalla toistolla he päätyivät kerto- ja jakolaskujaan. Kerran toistetun operaation vähentämisestä tuli eksponentioimisen käsite. Intialainen matemaatikko Varasena laati ensimmäiset taulukot lukujen riippuvuudesta kantaan ja eksponentioluvusta 800-luvulla. Niistä voit laskea logaritmien esiintymisajan.

Historiallinen ääriviiva

Euroopan elpyminen 1500-luvulla vauhditti myös mekaniikan kehitystä. T vaati paljon laskentaa liittyy moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin. Vanhat pöydät tekivät hyvää palvelua. Ne mahdollistivat monimutkaisten toimintojen korvaamisen yksinkertaisemmilla - yhteen- ja vähennyslaskulla. Iso askel eteenpäin oli matemaatikko Michael Stiefelin vuonna 1544 julkaistu työ, jossa hän toteutti monien matemaatikoiden ajatuksen. Tämä mahdollisti taulukoiden käytön asteille alkulukujen muodossa, vaan myös mielivaltaisille rationaalisille lukuille.

Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti näitä ajatuksia ja esitteli ensimmäisen kerran uuden termin "luvun logaritmi". Sinien ja kosinien logaritmien sekä tangenttien laskemiseen tehtiin uusia kompleksisia taulukoita. Tämä vähensi suuresti tähtitieteilijöiden työtä.

Uusia taulukoita alkoi ilmestyä, joita tutkijat käyttivät menestyksekkäästi kolmen vuosisadan ajan. Kului paljon aikaa ennen kuin uusi algebran operaatio sai lopullisen muotonsa. Logaritmi määriteltiin ja sen ominaisuuksia tutkittiin.

Vasta 1900-luvulla, laskimen ja tietokoneen tultua käyttöön, ihmiskunta hylkäsi muinaiset taulukot, jotka olivat toimineet menestyksekkäästi läpi 1200-luvun.

Nykyään kutsumme b:n logaritmia perustaa a lukua x, joka on a:n potenssi, jotta saadaan luku b. Tämä kirjoitetaan kaavana: x = log a(b).

Esimerkiksi log 3(9) on yhtä suuri kuin 2. Tämä on ilmeistä, jos noudatat määritelmää. Jos korotamme 3:n potenssiin 2, saamme 9.

Näin ollen muotoiltu määritelmä asettaa vain yhden rajoituksen, numeroiden a ja b on oltava todellisia.

Logaritmien lajikkeet

Klassista määritelmää kutsutaan todelliseksi logaritmiksi ja se on itse asiassa yhtälön a x = b ratkaisu. Vaihtoehto a = 1 on rajallinen, eikä sillä ole merkitystä. Huomaa: 1 mihin tahansa potenssiin on 1.

Logaritmin todellinen arvo määritellään vain, jos kanta ja argumentti ovat suurempia kuin 0 ja kantaluku ei saa olla yhtä suuri kuin 1.

Erityinen paikka matematiikan alalla pelaa logaritmeja, jotka nimetään niiden perustan arvon mukaan:

Säännöt ja rajoitukset

Logaritmien perusominaisuus on sääntö: tulon logaritmi on yhtä suuri kuin logaritminen summa. log abp = log a(b) + log a(p).

Tämän lausunnon muunnelmana se on: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), osamääräfunktio on yhtä suuri kuin funktioiden ero.

Kahdesta edellisestä säännöstä on helppo nähdä, että: log a(b p) = p * log a(b).

Muita ominaisuuksia ovat:

Kommentti. Älä tee yleistä virhettä - summan logaritmi ei ole sama kuin logaritmien summa.

Useiden vuosisatojen ajan logaritmin löytäminen oli melko aikaa vievä tehtävä. Matemaatikot käyttivät tunnettua logaritmisen teorian kaavaa polynomilaajennuksesta:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), jossa n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, mikä määrittää laskennan tarkkuuden.

Logaritmit muiden kantalukujen kanssa laskettiin käyttämällä lausetta siirtymisestä kantasta toiseen ja tuotteen logaritmin ominaisuuteen.

Koska tämä menetelmä on erittäin työläs ja kun ratkaistaan ​​käytännön ongelmia vaikea toteuttaa, he käyttivät valmiiksi laadittuja logaritmitaulukoita, mikä nopeutti huomattavasti koko työtä.

Joissakin tapauksissa käytettiin erityisesti koottuja logaritmien kuvaajia, jotka antoivat vähemmän tarkkuutta, mutta nopeuttavat merkittävästi halutun arvon hakua. Useampaan pisteeseen rakennettu funktion y = log a(x) käyrä mahdollistaa tavanomaisen viivaimen avulla funktion arvojen löytämisen mistä tahansa muusta pisteestä. Insinöörit käyttivät pitkään ns. kaaviopaperia näihin tarkoituksiin.

1600-luvulla ilmestyivät ensimmäiset analogiset apulaskentaolosuhteet, jotka 1800-luvulle mennessä olivat saaneet valmiin muodon. Menestynein laite oli nimeltään slidesääntö. Laitteen yksinkertaisuudesta huolimatta sen ulkonäkö nopeuttaa merkittävästi kaikkien teknisten laskelmien prosessia, ja tätä on vaikea yliarvioida. Tällä hetkellä vain harvat tuntevat tämän laitteen.

Laskimien ja tietokoneiden tulo teki turhaksi käyttää muita laitteita.

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Seuraavia kaavoja käytetään erilaisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen logaritmeilla:

• Siirtyminen emäksestä toiseen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Edellisen version seurauksena: log a(b) = 1 / log b(a).

Eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää:

• Logaritmin arvo on positiivinen vain, jos sekä kanta että argumentti ovat molemmat suurempia tai pienempiä kuin yksi; jos ainakin yksi ehto rikotaan, logaritmin arvo on negatiivinen.
• Jos logaritmifunktiota sovelletaan epäyhtälön oikealle ja vasemmalle puolelle ja logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, epäyhtälömerkki säilyy; muuten se muuttuu.

Tehtäväesimerkkejä

Harkitse useita logaritmien ja niiden ominaisuuksien käyttövaihtoehtoja. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta:

Harkitse vaihtoehtoa logaritmin sijoittamiseksi asteeseen:

• Tehtävä 3. Laske 25^log 5(3). Ratkaisu: tehtävän olosuhteissa merkintätapa on samanlainen kuin (5^2)^log5(3) tai 5^(2 * log 5(3)). Kirjoitetaan se toisin: 5^log 5(3*2), tai luvun neliö funktion argumenttina voidaan kirjoittaa itse funktion neliöksi (5^log 5(3))^2. Käyttämällä logaritmien ominaisuuksia tämä lauseke on 3^2. Vastaus: laskennan tuloksena saamme 9.

Käytännöllinen käyttö

Puhtaasti matemaattisena työkaluna näyttää olevan kaukana todellisesta elämästä, että logaritmilla on yhtäkkiä tullut suuri merkitys todellisen maailman esineiden kuvaamisessa. On vaikea löytää tiedettä, jossa sitä ei käytetä. Tämä pätee täysin ei vain luonnollisiin, vaan myös humanistisiin tietoihin.

Logaritmiset riippuvuudet

Tässä on esimerkkejä numeerisista riippuvuuksista:

Mekaniikka ja fysiikka

Historiallisesti mekaniikka ja fysiikka ovat aina kehittyneet käyttämällä matemaattisia tutkimusmenetelmiä ja samalla toimineet kannustimena matematiikan, myös logaritmien, kehitykselle. Useimpien fysiikan lakien teoria on kirjoitettu matematiikan kielellä. Annamme vain kaksi esimerkkiä fysikaalisten lakien kuvauksesta logaritmin avulla.

On mahdollista ratkaista ongelma sellaisen monimutkaisen suuren kuin raketin nopeuden laskemisessa käyttämällä Tsiolkovsky-kaavaa, joka loi perustan avaruustutkimuksen teorialle:

V = I * ln(M1/M2), missä

• V on lentokoneen lopullinen nopeus.
• Minä olen moottorin erityinen impulssi.
• M 1 on raketin alkumassa.
• M 2 - lopullinen massa.

Toinen tärkeä esimerkki- Tämä on toisen suuren tiedemiehen Max Planckin kaavassa, joka toimii termodynamiikan tasapainotilan arvioinnissa.

S = k * ln (Ω), missä

• S on termodynaaminen ominaisuus.
• k on Boltzmannin vakio.
• Ω on eri tilojen tilastollinen paino.

Kemia

Vähemmän ilmeistä olisi logaritmien suhteen sisältävien kaavojen käyttö kemiassa. Tässä on vain kaksi esimerkkiä:

• Nernstin yhtälö, väliaineen redox-potentiaalin ehto suhteessa aineiden aktiivisuuteen ja tasapainovakioon.
• Sellaisten vakioiden kuin autoprolyysiindeksin ja liuoksen happamuuden laskenta ei myöskään ole täydellinen ilman toimintoamme.

Psykologia ja biologia

Ja on täysin käsittämätöntä, mitä tekemistä psykologialla on sen kanssa. Osoittautuu, että tämä funktio kuvaa hyvin tunteen voimakkuutta ärsykkeen intensiteettiarvon käänteisenä suhteena alemman intensiteetin arvoon.

Yllä olevien esimerkkien jälkeen ei ole enää yllättävää, että logaritmien teemaa käytetään laajasti myös biologiassa. Logaritmisia spiraaleja vastaavista biologisista muodoista voidaan kirjoittaa kokonaisia ​​niteitä.

Muut alueet

Näyttää siltä, ​​​​että maailman olemassaolo on mahdotonta ilman yhteyttä tähän tehtävään, ja se hallitsee kaikkia lakeja. Varsinkin kun luonnonlait liittyvät geometriseen etenemiseen. Kannattaa katsoa MatProfin nettisivuja, joista on monia esimerkkejä seuraavilla toiminta-alueilla:

Lista voisi olla loputon. Kun olet oppinut tämän toiminnon peruslait, voit sukeltaa äärettömän viisauden maailmaan.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisen edun mukaisiin tarkoituksiin.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Mikä on logaritmi?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia valmistuneita. Perinteisesti logaritmien aihetta pidetään monimutkaisena, käsittämättömänä ja pelottavana. Erityisesti - yhtälöt logaritmeilla.

Tämä ei todellakaan ole totta. Ehdottomasti! Etkö usko? Hyvä. Nyt noin 10-20 minuuttia sinä:

1. Ymmärrä mikä on logaritmi.

2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponentiaaliyhtälöitä. Vaikka et ole heistä kuullutkaan.

3. Opi laskemaan yksinkertaisia ​​logaritmeja.

Lisäksi tätä varten sinun tarvitsee vain tietää kertotaulukko ja kuinka luku nostetaan potenssiin ...

Minusta tuntuu, että epäilet... No, pidä aikaa! Mennä!

Ratkaise ensin mielessäsi seuraava yhtälö:

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Aloitetaan siitä ykseyden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus on suoraviivainen: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää yllä olevat ehdot a>0 ja a≠1 , niin todistettu yhtäläisyys log a 1=0 seuraa välittömästi logaritmin määritelmästä.

Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0 , lg1=0 ja .

Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: kantaa vastaavan luvun logaritmi on yhtä suuri kuin yksi eli log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin logaritmin määritelmän mukaan log a a=1 .

Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ja lne=1 .

Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja .

Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistakaamme tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y , niin log a x a log a y =x y . Siten log a x+log a y =x y , josta logaritmin määritelmä seuraa vaadittua yhtälöä.

Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja .

Tulon logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tämä tasa-arvo on helposti todistettavissa.

Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata lukujen 4, e ja kolmen luonnollisen logaritmin summalla.

Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien välinen ero. Osamäärälogaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0, a≠1, x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys todistetaan kuten tuotteen logaritmin kaava: koska , sitten logaritmin määritelmän mukaan.

Tässä on esimerkki tämän logaritmin ominaisuuden käyttämisestä: .

Jatketaan asteen logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoitamme tämän asteen logaritmin ominaisuuden kaavan muodossa: log a b p =p log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia ​​lukuja, että b p:n aste on järkevä ja b p >0.

Todistamme ensin tämän ominaisuuden positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssiominaisuudesta johtuen yhtä suuri kuin a p log a b . Saavutetaan siis yhtälö b p =a p log a b , josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p log a b .

On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| p . Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, josta log a b p =p log a |b| .

Esimerkiksi, ja ln(-3)4 =4 ln|-3|=4 ln3.

Se seuraa edellisestä omaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen asteen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murto-osan 1/n tulo ja juurilausekkeen logaritmi, eli , jossa a>0, a≠1, n on yhtä suurempi luonnollinen luku, b>0.

Todistus perustuu yhtälöön (katso ), joka pätee mille tahansa positiiviselle b:lle, ja asteen logaritmin ominaisuuteen: .

Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: .

Nyt todistetaan muunnoskaava logaritmin uuteen kantaan ystävällinen . Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b, sitten log c b=log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b = log a b log c a. Siten yhtälö log c b=log a b log c a on todistettu, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.

Otetaan pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden soveltamisesta: ja .

Uuteen kantaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sen avulla voidaan esimerkiksi vaihtaa luonnollisiin tai desimaalilogaritmiin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muilla kantaluvuilla ovat tiedossa.

Usein käytetään kaavan erikoistapausta muodon c=b:n logaritmin uuteen kantaan siirtymiselle . Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esimerkiksi, .

Usein käytetään myös kaavaa , josta on hyötyä logaritmiarvojen löytämisessä. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme kuinka lomakkeen logaritmin arvo lasketaan sen avulla. Meillä on . Todistamaan kaavan riittää, että käytetään siirtymäkaavaa logaritmin a uuteen kantaan: .

On vielä todistettava logaritmien vertailuominaisuudet.

Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2 , b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1

Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Todistamme vain sen ensimmäisen osan, eli todistamme, että jos a 1 >1 , a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Muut lausumat tästä logaritmien ominaisuudesta todistetaan samanlaisella periaatteella.

Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 >1, 2 >1 ja 1 1 log a 1 b≤log a 2 b on totta. Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ja vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien perusteella yhtäläisyydet b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on täytettävä, eli a 1 ≥a 2 . Siten olemme päätyneet ristiriidaan ehdon a 1 kanssa

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).