Kaikkia sulkuja sisältäviä yhtälöitä ei ratkaista samalla tavalla. Useimmiten heidän on tietysti avattava hakasulkeet ja annettava vastaavat termit (hakasulkeiden avaustavat kuitenkin vaihtelevat). Mutta joskus sinun ei tarvitse avata sulkuja. Tarkastellaan kaikkia näitä tapauksia erityisillä esimerkeillä:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2. 2x - 3(x + 5) = -12.
3. (x + 1) (7x - 21) = 0.

Yhtälöiden ratkaiseminen suluissa

Tämä yhtälöiden ratkaisumenetelmä on yleisin, mutta vaikka sen näennäinen universaalisuus on, se on jaettu alalajeihin sen mukaan, kuinka sulut avataan.

1) Yhtälön 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16) ratkaisu.

Tässä yhtälössä suluissa on miinus- ja plusmerkit. Sulujen avaamiseksi ensimmäisessä tapauksessa, jossa niitä edeltää miinusmerkki, kaikki suluissa olevat merkit on käännettävä. Toista sulkuparia edeltää plusmerkki, joka ei vaikuta suluissa oleviin merkkeihin, joten ne voidaan yksinkertaisesti jättää pois. Saamme:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Siirrämme termit x:llä yhtälön vasemmalle puolelle ja loput oikealle (siirrettyjen termien merkit muuttuvat päinvastaisiksi):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Löytääksesi tuntemattoman tekijän x jaa tulo 18 tunnetulla kertoimella 6:

x \u003d 18/6 \u003d 3.

2) Yhtälön 2x - 3(x + 5) = -12 ratkaisu.

Tässä yhtälössä sinun on myös ensin avattava sulut, mutta käyttämällä distributiivista ominaisuutta: kertoaksesi -3 summalla (x + 5), sinun tulee kertoa -3 jokaisella suluissa olevalla termillä ja lisätä tuloksena saadut tulot:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Yhtälöiden ratkaiseminen avaamatta sulkeita

Kolmas yhtälö (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 voidaan ratkaista myös avaamalla hakasulkuja, mutta kertolaskuominaisuutta on tällöin paljon helpompi käyttää: tulo on nolla, kun yksi tekijöistä on nolla . Keinot:

x + 1 = 0 tai 7x - 21 = 0.

Hakasulkeiden päätehtävä on muuttaa toimintojen järjestystä arvoja laskettaessa. esimerkiksi, numeerisessa lausekkeessa \(5 3+7\) lasketaan ensin kertolasku ja sitten yhteenlasku: \(5 3+7 =15+7=22\). Mutta lausekkeessa \(5·(3+7)\) lasketaan ensin yhteenlasku suluissa ja vasta sitten kertolasku: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Esimerkki. Laajenna kiinnike: \(-(4m+3)\).
Päätös : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Esimerkki. Laajenna hakasulku ja anna vastaavat termit \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Päätös : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Esimerkki. Laajenna sulut \(5(3-x)\).
Päätös : Meillä on \(3\) ja \(-x\) suluissa ja viisi suluissa. Tämä tarkoittaa, että jokainen hakasulkeen jäsen kerrotaan luvulla \ (5 \) - Muistutan, että luvun ja hakasulkujen välistä kertomerkkiä matematiikassa ei kirjoiteta tietueiden koon pienentämiseksi.

Esimerkki. Laajenna sulut \(-2(-3x+5)\).
Päätös : Kuten edellisessä esimerkissä, hakasulkeet \(-3x\) ja \(5\) kerrotaan \(-2\).

Esimerkki. Yksinkertaista lauseke: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Päätös : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Jäljelle jää viimeinen tilanne.

Kun sulut kerrotaan suluilla, jokainen ensimmäisen sulkeen termi kerrotaan toisen jokaisen termillä:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Esimerkki. Laajenna sulut \((2-x)(3x-1)\).
Päätös : Meillä on sulujen tuote ja se voidaan avata välittömästi yllä olevan kaavan avulla. Mutta jotta se ei hämmentyisi, tehdään kaikki askel askeleelta.
Vaihe 1. Poista ensimmäinen kiinnike - jokainen sen jäsen kerrotaan toisella kiinnikkeellä:

Vaihe 2. Laajenna hakasulkujen tuotteet edellä kuvatulla kertoimella:
- ensimmäinen ensin...

Sitten toinen.

Vaihe 3. Nyt kerromme ja tuomme samanlaiset termit:

Kaikkia muunnoksia ei tarvitse maalata yksityiskohtaisesti, voit kertoa heti. Mutta jos opettelet vain avaamaan hakasulkeet - kirjoita yksityiskohtaisesti, virheen tekemisen mahdollisuus on pienempi.

Huomautus koko jaksoon. Itse asiassa sinun ei tarvitse muistaa kaikkia neljää sääntöä, sinun täytyy muistaa vain yksi, tämä: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miksi? Koska jos korvaamme yhden c:n sijaan, saamme säännön \((a-b)=a-b\) . Ja jos korvataan miinus yksi, saadaan sääntö \(-(a-b)=-a+b\) . No, jos korvaat toisen hakasulkeen c:n sijaan, saat viimeisen säännön.

suluissa suluissa

Käytännössä toisinaan on ongelmia muiden hakasulkeiden sisällä sisäkkäisissä suluissa. Tässä on esimerkki tällaisesta tehtävästä: yksinkertaistaa lauseketta \(7x+2(5-(3x+y))\).

Menestyäksesi näissä tehtävissä sinun tulee:
- ymmärrä huolellisesti sulujen sisäkkäisyys - mikä niistä on missä;
- avaa kiinnikkeet peräkkäin aloittaen esimerkiksi sisimmästä.

Se on tärkeää avattaessa jokin kiinnikkeistä älä koske muuhun ilmaisuun, kirjoita se uudelleen sellaisenaan.
Otetaan esimerkkinä yllä oleva tehtävä.

Esimerkki. Avaa sulut ja anna vastaavat termit \(7x+2(5-(3x+y))\).
Päätös:

Esimerkki. Laajenna sulut ja anna vastaavat termit \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Päätös :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Tämä on kolminkertainen sulkeiden sisäkkäisyys. Aloitamme sisimmästä (korostettu vihreällä). Sulujen edessä on plus, joten se yksinkertaisesti poistetaan.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Nyt sinun on avattava toinen kiinnike, väli. Mutta ennen sitä yksinkertaistamme lauseketta lisäämällä samankaltaisia ​​termejä tähän toiseen hakasulkeeseen.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nyt avaamme toisen hakasulkeen (korostettu sinisellä). Sulujen edessä on kerroin - joten jokainen suluissa oleva termi kerrotaan sillä.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Ja avaa viimeinen sulkumerkki. Ennen hakasulkua miinus - joten kaikki merkit ovat käänteisiä.

Hakasulkeiden avaaminen on matematiikan perustaito. Ilman tätä taitoa on mahdotonta saada yli kolmea arvosanaa 8 ja 9. Siksi suosittelen tämän aiheen hyvää ymmärtämistä.

Yhtälö, jossa on yksi tuntematon, joka hakasulkeiden avaamisen ja vastaavien termien pienentämisen jälkeen saa muodon

ax + b = 0, jossa a ja b ovat mielivaltaisia ​​lukuja, kutsutaan lineaarinen yhtälö yhden tuntemattoman kanssa. Tänään selvitetään kuinka ratkaista nämä lineaariset yhtälöt.

Esimerkiksi kaikki yhtälöt:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineaarinen.

Tuntemattoman arvoa, joka muuttaa yhtälön todelliseksi tasa-arvoksi, kutsutaan päätös tai yhtälön juuri .

Jos esimerkiksi yhtälössä 3x + 7 \u003d 13 korvaamme luvun 2 tuntemattoman x:n sijasta, niin saadaan oikea yhtälö 3 2 + 7 \u003d 13. Tämä tarkoittaa, että arvo x \u003d 2 on ratkaisu tai yhtälön juuri.

Ja arvo x \u003d 3 ei muuta yhtälöä 3x + 7 \u003d 13 todelliseksi yhtälöksi, koska 3 2 + 7 ≠ 13. Siksi arvo x \u003d 3 ei ole yhtälön ratkaisu tai juuri.

Minkä tahansa lineaarisen yhtälön ratkaisu pelkistetään muotoa olevien yhtälöiden ratkaisuksi

ax + b = 0.

Siirrämme vapaan termin yhtälön vasemmalta puolelta oikealle, samalla kun vaihdamme b:n edessä olevan merkin päinvastaiseksi, saamme

Jos a ≠ 0, niin x = – b/a .

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö 3x + 2 =11.

Siirrämme 2 yhtälön vasemmalta puolelta oikealle, samalla kun vaihdamme 2:n edessä olevan merkin päinvastaiseksi, saamme
3x \u003d 11 - 2.

Tehdään sitten vähennyslasku
3x = 9.

Löytääksesi x, sinun on jaettava tulo tunnetulla kertoimella, eli
x = 9:3.

Joten arvo x = 3 on yhtälön ratkaisu tai juuri.

Vastaus: x = 3.

Jos a = 0 ja b = 0, niin saadaan yhtälö 0x \u003d 0. Tällä yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, koska kun mikä tahansa luku kerrotaan 0:lla, saadaan 0, mutta b on myös 0. Tämän yhtälön ratkaisu on mikä tahansa luku.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Laajennamme sulkuja:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Tässä samanlaisia ​​jäseniä:
0x = 0.

Vastaus: x on mikä tahansa luku.

Jos a = 0 ja b ≠ 0, niin saadaan yhtälö 0x = - b. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska kun mikä tahansa luku kerrotaan 0:lla, saadaan 0, mutta b ≠ 0.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö x + 8 = x + 5.

Ryhmittelemme vasemmalle puolelle tuntemattomia sisältävät termit ja oikealle vapaat termit:
x - x \u003d 5 - 8.

Tässä samanlaisia ​​jäseniä:
0x = -3.

Vastaus: ei ratkaisuja.

Käytössä Kuvio 1 esitetään kaavio lineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi

Tehdään yleinen kaavio yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla. Harkitse esimerkin 4 ratkaisua.

Esimerkki 4 Ratkaistaan ​​yhtälö

1) Kerro kaikki yhtälön ehdot nimittäjien pienimmällä yhteisellä kerrannaisella, joka on yhtä suuri kuin 12.

2) Vähennyksen jälkeen saamme
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Erota tuntemattomia ja vapaita jäseniä sisältävät jäsenet avaamalla sulut:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Ryhmittelemme yhteen osaan tuntemattomia sisältävät termit ja toiseen - vapaat termit:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Tässä on samanlaisia ​​jäseniä:
- 22x = - 154.

6) Jakamalla - 22, saamme
x = 7.

Kuten näet, yhtälön juuri on seitsemän.

Yleensä sellainen yhtälöt voidaan ratkaista seuraavasti:

a) tuo yhtälö kokonaislukumuotoon;

b) avoimet sulut;

c) ryhmittele termit, jotka sisältävät tuntemattoman yhtälön toiseen osaan ja vapaat termit toiseen;

d) tuoda samanlaisia ​​jäseniä;

e) ratkaise yhtälö, jonka muoto on aх = b, joka saatiin samanlaisten termien tuomisen jälkeen.

Tätä kaaviota ei kuitenkaan vaadita jokaiselle yhtälölle. Kun ratkaistaan ​​monia yksinkertaisempia yhtälöitä, ei tarvitse aloittaa ensimmäisestä, vaan toisesta ( Esimerkki. 2), kolmas ( Esimerkki. kolmetoista) ja jopa viidennestä vaiheesta, kuten esimerkissä 5.

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö 2x = 1/4.

Löydämme tuntemattoman x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Harkitse joidenkin päävaltiokokeessa havaittujen lineaaristen yhtälöiden ratkaisua.

Esimerkki 6 Ratkaise yhtälö 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Vastaus: - 0,125

Esimerkki 7 Ratkaise yhtälö - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = -7 +30

Vastaus: 2.3

Esimerkki 8 Ratkaise yhtälö

3 (3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Esimerkki 9 Etsi f(6), jos f (x + 2) = 3 7's

Päätös

Koska meidän on löydettävä f(6), ja tiedämme f (x + 2),
sitten x + 2 = 6.

Ratkaisemme lineaarisen yhtälön x + 2 = 6,
saamme x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Jos x = 4, niin
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Vastaus: 27.

Jos sinulla on vielä kysyttävää, on halu käsitellä yhtälöiden ratkaisua perusteellisemmin, ilmoittaudu tunneilleni AIKATAULUSTA. Autan sinua mielelläni!

TutorOnline suosittelee myös katsomaan ohjaajamme Olga Alexandrovnan uuden opetusvideon, joka auttaa sinua ymmärtämään sekä lineaarisia yhtälöitä että muita.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Sulkuja käytetään osoittamaan järjestys, jossa toiminnot suoritetaan numeerisissa ja aakkosellisissa lausekkeissa sekä lausekkeissa, joissa on muuttujia. On kätevää siirtyä hakasulkeista lausekkeesta identtiseen yhtäläiseen lausekkeeseen ilman sulkuja. Tätä tekniikkaa kutsutaan sulkujen avaamiseksi.

Hakasulkeiden laajentaminen tarkoittaa näiden sulujen ilmaisun poistamista.

Toinen seikka ansaitsee erityistä huomiota, joka koskee kirjoitusratkaisujen erityispiirteitä sulkuja avattaessa. Alkulauseke voidaan kirjoittaa suluilla ja hakasulkujen avaamisen jälkeen saatu tulos tasa-arvoksi. Esimerkiksi sulkujen avaamisen jälkeen lausekkeen sijaan
3−(5−7) saadaan lauseke 3−5+7. Voimme kirjoittaa molemmat lausekkeet yhtälöksi 3−(5−7)=3−5+7.

Ja vielä yksi tärkeä kohta. Matematiikassa merkintöjen vähentämiseksi on tapana olla kirjoittamatta plusmerkkiä, jos se on lausekkeen ensimmäinen tai suluissa. Jos esimerkiksi lisäämme kaksi positiivista lukua, esimerkiksi seitsemän ja kolme, emme kirjoita +7 + 3, vaan yksinkertaisesti 7 + 3, huolimatta siitä, että seitsemän on myös positiivinen luku. Vastaavasti, jos näet esimerkiksi lausekkeen (5 + x) - tiedä, että hakasulkeen edessä on plus, jota ei kirjoiteta, ja sen edessä on plus + (+5 + x). viisi.

Kiinnikkeen laajennussääntö lisäystä varten

Jos sulkuja avattaessa on plusmerkki ennen sulkuja, tämä plus jätetään pois sulkien mukana.

Esimerkki. Avaa sulut lausekkeessa 2 + (7 + 3) Ennen sulkeita plus tarkoittaa, että suluissa olevien numeroiden edessä olevat merkit eivät muutu.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Hakasulkeiden laajentamisen sääntö vähennettäessä

Jos ennen sulkuja on miinus, tämä miinus jätetään pois suluissa, mutta suluissa olleet termit muuttavat merkkinsä päinvastaiseksi. Merkin puuttuminen ennen ensimmäistä termiä suluissa tarkoittaa +-merkkiä.

Esimerkki. Avaa sulut lausekkeessa 2 − (7 + 3)

Ennen sulkeita on miinus, joten sinun on vaihdettava merkit ennen suluissa olevia numeroita. Ennen numeroa 7 ei ole merkkiä suluissa, mikä tarkoittaa, että seitsemän on positiivinen, katsotaan, että +-merkki on sen edessä.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Sulkeja avattaessa poistamme esimerkistä miinusmerkin, joka oli ennen sulkuja, ja itse sulut 2 − (+ 7 + 3), ja muutamme suluissa olleet merkit vastakkaisiin.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Sulkujen laajentaminen kertolaskussa

Jos hakasulkeiden edessä on kertomerkki, jokainen suluissa oleva luku kerrotaan suluissa olevalla kertoimella. Samaan aikaan miinuksen kertominen miinuksella antaa plussan ja miinuksen kertominen plussalla, kuten plussan kertominen miinuksella, antaa miinuksen.

Siten tulojen sulkeita laajennetaan kertolaskun jakautumisominaisuuden mukaisesti.

Esimerkki. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Kun sulut kerrotaan suluilla, jokainen ensimmäisen sulussa oleva termi kerrotaan jokaisella toisen sulkeen termillä.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Itse asiassa kaikkia sääntöjä ei tarvitse muistaa, riittää, että muistat vain yhden, tämän: c(a−b)=ca−cb. Miksi? Koska jos korvaamme yhden c:n sijaan, saamme säännön (a−b)=a−b. Ja jos korvataan miinus yksi, saadaan sääntö −(a−b)=−a+b. No, jos korvaat toisen hakasulkeen c:n sijaan, saat viimeisen säännön.

Laajenna sulut jakaessasi

Jos hakasulkeiden jälkeen on jakomerkki, niin jokainen hakasulkujen sisällä oleva luku on jaollinen hakasulkujen jälkeisellä jakajalla ja päinvastoin.

Esimerkki. (9 + 6) : 3 = 9: 3 + 6: 3

Sisäkkäisten sulkeiden laajentaminen

Jos lauseke sisältää sisäkkäisiä sulkeita, ne laajennetaan järjestyksessä alkaen ulkoisesta tai sisäisestä.

Samanaikaisesti, kun avaat yhden suluista, on tärkeää olla koskematta muihin suluihin, vaan kirjoita ne uudelleen sellaisina kuin ne ovat.

Esimerkki. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Lineaariset yhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt eivät ole koulumatematiikan vaikein aihe. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Selvitetäänkö se?)

Lineaarinen yhtälö määritellään yleensä yhtälöksi, jonka muoto on:

kirves + b = 0 missä a ja b- mitkä tahansa numerot.

2x + 7 = 0. Tässä a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tässä a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tässä a=12, b = 1/2

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja"... Ja jos huomaat, mutta ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi, jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos vaikkapa a=0, a b = 5, siitä tulee jotain aivan absurdia:

Mikä rasittaa ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä ​​...) Varsinkin kokeissa. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme kuinka se tehdään. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö ulkonäöltään? Se riippuu ulkonäöstä.) Temppu on, että lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain muodon yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka on pelkistetty tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, vähennetäänkö sitä vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Sanotaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain tuntemattomia ensimmäisessä asteessa, kyllä ​​numerot. Ja yhtälö ei murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murto-osa - siinä se! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä, eikä nimittäjissä ole x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö

ei voida kutsua lineaariksi. Tässä x:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta siellä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön ja toisen asteen yhtälön ja mitä tahansa.

Osoittautuu, että on mahdotonta löytää lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin melkein ratkaiset sen. Se on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävissä yhtälöt ovat järjestyksessä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu identtisistä yhtälöiden muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat ratkaisujen taustalla kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen päätös minkä tahansa Yhtälö alkaa samoilla muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) näiden muunnosten kohdalla päättyy täysimittaiseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö.

x - 3 = 2 - 4x

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisellä potenssilla, X:llä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa emme välitä, mikä yhtälö on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki, jossa on x:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman x:iä (numeroita) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä - 4x vasemmalle puolelle, tietysti merkin vaihdolla, mutta - 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Joten he eivät seuranneet linkkiä, mutta turhaan ...) Saamme:

x + 4x = 2 + 3

Annamme samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme ollaksemme täysin onnellisia? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme yhtälön molemmat osat viidellä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin täällä identtiset muunnokset? OK. Tartumme härkää sarvista.) Päätetään jotain vaikuttavampaa.

Tässä on esimerkiksi tämä yhtälö:

Mistä aloitamme? X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Ja voit heti, universaalilla ja tehokkaalla tavalla. Ellei tietenkään arsenaalissasi ole identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä tässä yhtälössä eniten?

95 ihmistä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Aloitamme siis heti toinen identtinen muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? 4:llä. Mutta matematiikka antaa meille mahdollisuuden kertoa molemmat puolet sama numero. Miten pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten kolme pienenee ja neljä. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:

Hakasulkeiden laajentaminen:

Huomautus! Osoittaja (x+2) Otin suluissa! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan kokonaisuudella, kokonaan! Ja nyt voit pienentää murtolukuja ja vähentää:

Loput sulkeet avataan:

Ei esimerkki, vaan puhdas ilo!) Nyt muistamme loitsun alemmista luokista: x:llä - vasemmalle, ilman x:tä - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Tässä muutamia kuten:

Ja jaamme molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:

Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön miellyttävään muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identtisiä muunnoksia- käännös vasen-oikea etumerkin muutoksella ja yhtälön kerto-jakalla samalla luvulla. Tämä on universaali tapa! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti mikä tahansa. Siksi toistan näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä identtisten muunnosten avulla, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat tässä laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta... Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa vahvaan umpikujaan...) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Yllätys ensin.

Oletetaan, että törmäät perusyhtälöön, kuten:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Hieman tylsistyneenä siirrymme X:llä vasemmalle, ilman X:llä - oikealle ... Etumerkin vaihdolla kaikki on leuka-chinaaria ... Saamme:

2x-5x+3x=5-2-3

Me uskomme, ja ... voi! Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Nolla on todella nolla. Mutta X on poissa! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mikä x on yhtä suuri. Muuten ratkaisua ei lasketa, kyllä...) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Se tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on oikea tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, missä oikein?! On vielä selvitettävä, millä x:llä tämä saadaan. Millä x:n arvoilla voidaan korvata alkuperäinen yhtälö, jos nämä x:t vieläkin kutistuu nollaan?Älä viitsi?)

Joo!!! X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitä haluat. Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa x-arvot alkuperäinen yhtälö ja laske. Koko ajan saadaan puhdas totuus: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x on mikä tahansa luku.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Yllätys kakkosena.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

2x+1=5x+5 - 3x -2

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaistiin lineaarinen yhtälö, saatiin outo yhtälö. Matemaattisesti sanottuna meillä on väärä tasa-arvo. Ja yksinkertaisesti sanottuna tämä ei ole totta. Rave. Mutta tästä huolimatta tämä hölynpöly on varsin hyvä syy yhtälön oikeaan ratkaisuun.)

Ajattelemme jälleen yleisten sääntöjen pohjalta. Mitä x, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille oikea tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​x:iä ei ole olemassa. Mitä tahansa korvaatkin, kaikki vähenee, hölynpölyä jää.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin pätevä vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia esiintyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että x:n menetys minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisemisessa ei häiritse sinua ollenkaan. Asia on tuttu.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki lineaaristen yhtälöiden sudenkuopat, on järkevää ratkaista ne.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.