Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Satunnaiset muuttujat".
Tehtävä 1 . Arvonnassa jaetaan 100 lippua. Pelattiin yksi voitto 50 USD. ja kymmenen 10 dollarin voittoa. Etsi arvon X jakautumislaki - mahdollisen voiton hinta.
Ratkaisu. X:n mahdolliset arvot: x 1 = 0; x 2 = 10 ja x 3 = 50. Koska "tyhjiä" lippuja on 89, niin s 1 = 0,89, voiton todennäköisyys on 10 c.u. (10 lippua) – s 2 = 0,10 ja voitosta 50 c.u. -s 3 = 0,01. Tällä tavalla:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Helppo hallita: .
Tehtävä 2. Todennäköisyys, että ostaja on tutustunut tuotteen ilmoitukseen etukäteen, on 0,6 (p = 0,6). Mainonnan valikoiva laadunvalvonta suoritetaan ostajakyselyllä ennen ensimmäistä ilmoitukseen tutustunutta. Tee sarja jakauma haastateltujen ostajien määrästä.
Ratkaisu. Tehtävän ehdon mukaan p = 0,6. Alkaen: q=1 -p = 0,4. Korvaamalla nämä arvot, saamme: ja muodosta jakelusarja:
|
pi |
0,24 |
Tehtävä 3. Tietokone koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä: järjestelmäyksiköstä, näytöstä ja näppäimistöstä. Yhdellä jyrkällä jännitteen nousulla kunkin elementin vian todennäköisyys on 0,1. Laadi Bernoullin jakauman perusteella jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle verkon tehopiikin aikana.
Ratkaisu. Harkitse Bernoullin jakelu(tai binomi): todennäköisyys, että sisään n testit, tapahtuma A näkyy tarkalleen k yhden kerran: 
, tai:
|
q n |
s n |
AT palataan tehtävään.
X:n mahdolliset arvot (vikojen määrä):
x 0 =0 - mikään elementeistä ei epäonnistunut;
x 1 =1 - yhden elementin vika;
x 2 =2 - kahden elementin vika;
x 3 =3 - kaikkien elementtien vika.
Koska ehdon mukaan p = 0,1, niin q = 1 – p = 0,9. Bernoullin kaavalla saamme
, ,
, .
Ohjaus: .
Siksi haluttu jakelulaki:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Tehtävä 4. Valmistettu 5000 kierrosta. Todennäköisyys, että yksi kasetti on viallinen 
. Millä todennäköisyydellä koko erässä on täsmälleen 3 viallista patruunaa?
Ratkaisu. Sovellettava Poisson-jakauma: tätä jakaumaa käytetään määrittämään todennäköisyys, että erittäin suuri
kokeiden määrä (massakokeet), joissa kussakin tapahtuman A todennäköisyys on hyvin pieni, tapahtuma A tapahtuu k kertaa: 
, missä .
Tässä n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Löydämme sitten halutun todennäköisyyden: 
.
Tehtävä 5. Ammuttaessa ennen ensimmäistä osumaa osuman todennäköisyydellä p = 0,6 laukausta varten, sinun on löydettävä todennäköisyys, että osuma tapahtuu kolmannella laukauksella.
Ratkaisu. Käytetään geometristä jakaumaa: suoritetaan riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumalla A on todennäköisyys p:n (ja ei-toistumisen q = 1 - p) esiintymiselle. Kokeilut päättyvät heti, kun tapahtuma A tapahtuu.
Tällaisissa olosuhteissa todennäköisyys, että tapahtuma A tapahtuu k:nnessä testissä, määritetään kaavalla: . Tässä p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Siksi .
Tehtävä 6. Olkoon satunnaismuuttujan X jakautumislaki annettu:
Etsi matemaattinen odotus.
Ratkaisu. .
Huomaa, että matemaattisen odotuksen todennäköisyysmerkitys on satunnaismuuttujan keskiarvo.
Tehtävä 7. Etsi satunnaismuuttujan X varianssi seuraavalla jakautumissäännöllä:
Ratkaisu. Tässä .
X:n neliön jakautumislaki 2 :
|
X 2 |
|||
Vaadittu varianssi: .
Dispersio kuvaa satunnaismuuttujan poikkeaman (sironta) astetta sen matemaattisesta odotuksesta.
Tehtävä 8. Anna satunnaismuuttuja jakauman avulla:
|
10 m |
|||
Etsi sen numeeriset ominaisuudet.
Ratkaisu: m, m 2 ,
M 2 , m.
Satunnaismuuttujasta X voidaan sanoa joko - sen matemaattinen odotus on 6,4 m ja varianssi 13,04 m 2 , tai - sen matemaattinen odotusarvo on 6,4 m ja poikkeama m. Toinen muotoilu on selvästi selkeämpi.
Tehtävä 9.
Satunnainen arvo X jakautumisfunktion antama: 
.
Määritä todennäköisyys, että arvo X saa testin tuloksena intervallin sisältämän arvon 
.
Ratkaisu. Todennäköisyys, että X ottaa arvon tietystä intervallista, on yhtä suuri kuin integraalifunktion inkrementti tässä välissä, ts. . Meidän tapauksessamme ja siksi
.
Tehtävä 10. Diskreetti satunnaismuuttuja X jakelulain mukaan:
Etsi jakelufunktio F(x ) ja rakentaa sen kaavio.
Ratkaisu. Jakelufunktiosta lähtien
varten 
, sitten
osoitteessa ;
osoitteessa ;
osoitteessa ;
osoitteessa ;
Asiaankuuluva kaavio:
Tehtävä 11. Jatkuva satunnaismuuttuja X differentiaalijakaumafunktion antama: 
.
Selvitä osumisen todennäköisyys X väliin
Ratkaisu. Huomaa, että tämä on eksponentiaalisen jakauman lain erikoistapaus.
Käytetään kaavaa: 
.
Tehtävä 12. Etsi jakaumalain antaman diskreetin satunnaismuuttujan X numeeriset ominaisuudet:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
on Laplace-funktio.Määritelmä.Dispersio (sironta) Diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi satunnaismuuttujan neliöidystä poikkeamasta sen matemaattisesta odotuksesta:
Esimerkki. Yllä olevasta esimerkistä löydämme
Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on:
Neliön poikkeaman mahdolliset arvot:
; 
;
Hajautus on:
Käytännössä tämä varianssin laskentamenetelmä on kuitenkin hankala, koska johtaa hankalia laskelmiin suurelle määrälle satunnaismuuttujan arvoja. Siksi käytetään toista menetelmää.
Varianssilaskenta
Lause. Varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan X neliön matemaattisen odotuksen ja sen matemaattisen odotuksen neliön välinen ero:
Todiste. Kun otetaan huomioon se tosiasia, että matemaattinen odotus ja matemaattisen odotuksen neliö ovat vakioarvoja, voimme kirjoittaa:
Sovelletaan tätä kaavaa yllä olevaan esimerkkiin:
| X | ||||||
| x2 | ||||||
| s | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Dispersion ominaisuudet
1) Vakioarvon hajonta on nolla:
2) Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkistä neliöimällä se:
.
3) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin näiden muuttujien varianssien summa:
4) Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan eron varianssi on yhtä suuri kuin näiden muuttujien varianssien summa:
Tämän tasa-arvon pätevyys seuraa ominaisuudesta 2.
Lause. Tapahtuman A esiintymistodennäköisyyden varianssi n riippumattomassa kokeessa, joissa kussakin tapahtuman todennäköisyys on vakio, on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän tulo tapahtuman todennäköisyydellä ja tapahtuman todennäköisyydellä ei esiinny jokaisessa kokeessa:
Esimerkki. Tehdas tuottaa 96 % ensimmäisen luokan tuotteista ja 4 % toisen luokan tuotteista. 1000 tuotetta valitaan sattumanvaraisesti. Päästää X- tämän näytteen ensimmäisen luokan tuotteiden lukumäärä. Etsi satunnaismuuttujan jakautumislaki, matemaattinen odotus ja varianssi.
Jakaumalakia voidaan siis pitää binomiaalisena.
Esimerkki. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan varianssi X– tapahtuman esiintymisten määrä MUTTA kahdessa riippumattomassa kokeessa, jos tämän tapahtuman esiintymistodennäköisyydet kussakin kokeessa ovat yhtä suuret ja tiedetään, että
Koska satunnainen arvo X jaettu binomiaalilain mukaan
Esimerkki. Riippumattomat testit suoritetaan samalla tapahtuman todennäköisyydellä MUTTA jokaisessa testissä. Selvitä tapahtuman todennäköisyys MUTTA jos tapahtuman esiintymismäärän varianssi kolmessa riippumattomassa kokeessa on 0,63.
Binomilain dispersiokaavan mukaan saamme:
;
Esimerkki. Testataan neljästä itsenäisesti toimivasta laitteesta koostuvaa laitetta. Jokaisen laitteen vian todennäköisyys on sama ; ; . Etsi viallisten laitteiden lukumäärän matemaattinen odotus ja varianssi.
Kun otetaan viallisten laitteiden lukumäärä satunnaismuuttujaksi, näemme, että tämä satunnaismuuttuja voi saada arvot 0, 1, 2, 3 tai 4.
Jakaumalain laatimiseksi tälle satunnaismuuttujalle on tarpeen määrittää vastaavat todennäköisyydet. Otetaan vastaan.
1) Yksikään laite ei epäonnistunut:
2) Yksi laitteista epäonnistui.
Satunnaismuuttuja Suureksi kutsutaan sitä, joka samoissa olosuhteissa suoritettujen kokeiden tuloksena saa yleisesti ottaen erilaisia arvoja, riippuen satunnaisista tekijöistä, joita ei oteta huomioon. Esimerkkejä satunnaismuuttujista: noppaa pudonneiden pisteiden määrä, viallisten esineiden määrä erässä, ammuksen iskupisteen poikkeama kohteesta, laitteen käyttöaika jne. Erottele diskreetti ja jatkuva satunnaismuuttujia. Diskreetti Kutsutaan satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot muodostavat laskettavan joukon, äärellisen tai äärettömän (eli joukon, jonka alkiot voidaan numeroida).
jatkuva Kutsutaan satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot täyttävät jatkuvasti jonkin numeerisen akselin äärellisen tai äärettömän välin. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvojen määrä on aina ääretön.
Satunnaismuuttujat merkitään latinalaisten aakkosten lopun isoilla kirjaimilla: X, Y, . ; satunnaismuuttujan arvot - pienillä kirjaimilla: X, y. . Tällä tavalla, X Tarkoittaa satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen koko joukkoa ja X - Jotain erityistä merkitystä.
jakelulaki Diskreetti satunnaismuuttuja on missä tahansa muodossa annettu vastaavuus satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välillä.
Olkoon satunnaismuuttujan mahdolliset arvot X ovat . Testin tuloksena satunnaismuuttuja saa jonkin näistä arvoista, ts. Yksi tapahtuma kokonaisesta pareittain yhteensopimattomien tapahtumien ryhmästä tapahtuu.
Olkoon myös näiden tapahtumien todennäköisyydet tiedossa:
Satunnaismuuttujan jakautumislaki X Se voidaan kirjoittaa taulukon muodossa nimeltä Lähellä jakelua Diskreetti satunnaismuuttuja:
satunnaismuuttujia. Diskreetti satunnaismuuttuja.
Odotettu arvo
Toinen jakso päällä todennäköisyysteoria omistettu satunnaismuuttujia , joka näkymättömästi seurasi meitä kirjaimellisesti jokaisessa aihetta käsittelevässä artikkelissa. Ja on tullut aika ilmaista selkeästi, mikä se on:
Satunnainen nimeltään arvo, joka testin tuloksena kestää yksi ja ainoa numeerinen arvo, joka riippuu satunnaisista tekijöistä ja jota ei voida ennustaa etukäteen.
Satunnaismuuttujat ovat yleensä nimetä kautta * , ja niiden arvot vastaavilla pienillä kirjaimilla alaindeksien kanssa, esimerkiksi .
* Joskus käytetään sekä kreikkalaisia kirjaimia
Löysimme esimerkin ensimmäinen oppitunti todennäköisyysteoriassa, jossa tarkastelimme itse asiassa seuraavaa satunnaismuuttujaa:
- pisteiden määrä, jotka putoavat nopan heiton jälkeen.
Tämä testi johtaa yksi ja ainoa linja, joka ei ole ennustettavissa (temppuja ei oteta huomioon); tässä tapauksessa satunnaismuuttuja voi saada jonkin seuraavista arvoista:
- poikien määrä 10 vastasyntyneen joukossa.
On aivan selvää, että tätä lukua ei tiedetä etukäteen, ja seuraavan kymmenen lapsen aikana saattaa syntyä:
Tai pojat - yksi ja ainoa luetelluista vaihtoehdoista.
Ja pysyäksesi kunnossa, vähän fyysistä koulutusta:
-pituushypyn matka (joissakin yksiköissä).
Edes urheilun mestari ei osaa ennustaa sitä 🙂
Mutta mitkä ovat hypoteesisi?
Niin pian kuin joukko reaalilukujaääretön, silloin satunnaismuuttuja voi kestää äärettömän monta arvot jostain väliltä. Ja tämä on sen perustavanlaatuinen ero aiemmista esimerkeistä.
Tällä tavalla, on suositeltavaa jakaa satunnaismuuttujat 2 suureen ryhmään:
1) Diskreetti (ajoittainen) satunnaismuuttuja - ottaa erikseen otettuja, eristettyjä arvoja. Näiden arvojen määrä varmasti tai ääretön mutta laskettava.
... käsittämättömiä termejä on laadittu? Toista kiireesti algebran perusteet!
2) Jatkuva satunnaismuuttuja - ottaa kaikki numeeriset arvot joltain äärettömältä tai äärettömältä alueelta.
Merkintä : lyhenteet DSV ja NSV ovat suosittuja oppikirjallisuudessa
Analysoidaan ensin diskreetti satunnaismuuttuja, sitten - jatkuva.
Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki
- Tämä on vaatimustenmukaisuus tämän suuren mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välillä. Useimmiten laki kirjoitetaan taulukkoon:
Termi on melko yleinen rivi
jakelu, mutta joissain tilanteissa se kuulostaa epäselvältä, ja siksi noudatan "lakia".
Ja nyt erittäin tärkeä kohta: koska satunnaismuuttuja välttämättä hyväksyy yksi arvoista, sitten vastaavat tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä ja niiden esiintymistodennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:
tai jos kirjoitetaan taitettuna:
Joten esimerkiksi lailla noppien pisteiden todennäköisyyksien jakautumisesta on seuraava muoto:
Saatat ajatella, että diskreetti satunnaismuuttuja voi saada vain "hyviä" kokonaislukuja. Hävitetään illuusio – ne voivat olla mitä tahansa:
Joillakin peleillä on seuraava voittojakelulaki:
…luultavasti olet haaveillut sellaisista tehtävistä pitkään 🙂 Kerron sinulle salaisuuden - minä myös. Varsinkin työn päätyttyä kenttäteoria.
Ratkaisu: koska satunnaismuuttuja voi ottaa vain yhden kolmesta arvosta, vastaavat tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä, mikä tarkoittaa, että niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:
Paljastamme "partisaanin":
– siis todennäköisyys voittaa tavanomaisia yksiköitä on 0,4.
Hallinta: mitä sinun on varmistettava.
Vastaus:
Ei ole harvinaista, että jakelulaki on laadittava itsenäisesti. Tähän käyttöön klassinen todennäköisyyden määritelmä, tapahtumatodennäköisyyksien kerto-/lisäyslauseet ja muut sirut tervera:
Laatikossa on 50 arpalippua, joista 12 voittaa, ja 2 niistä voittaa 1000 ruplaa kukin ja loput - 100 ruplaa kukin. Piirrä satunnaismuuttujan jakautumislaki - voittojen suuruus, jos laatikosta nostetaan satunnaisesti yksi lippu.
Ratkaisu: kuten huomasit, on tapana sijoittaa satunnaismuuttujan arvot nousevassa järjestyksessä. Siksi aloitamme pienimmistä voitoista, nimittäin ruplista.
Yhteensä tällaisia lippuja on 50 - 12 = 38 kappaletta ja sen mukaan klassinen määritelmä:
on todennäköisyys, että satunnaisesti arvottu lippu ei voita.
Loput tapaukset ovat yksinkertaisia. Ruplavoiton todennäköisyys on:
Ja varten:
Tarkistaminen: - ja tämä on erityisen miellyttävä hetki tällaisissa tehtävissä!
Vastaus: vaadittu maksunjakolaki:
Seuraava tehtävä itsenäistä päätöstä varten:
Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, on . Tee jakautumislaki satunnaismuuttujalle - osumien määrä 2 laukauksen jälkeen.
... Tiesin, että sinulla oli ikävä häntä 🙂 Muistamme kerto- ja yhteenlaskulauseet. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.
Jakaumalaki kuvaa täysin satunnaismuuttujan, mutta käytännössä on hyödyllistä (ja joskus hyödyllisempää) tietää vain osa siitä. numeeriset ominaisuudet .
Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus
Yksinkertaisesti sanottuna tämä keskimääräinen odotusarvo toistuvalla testauksella. Ottaa satunnaismuuttujan arvot vastaavasti todennäköisyyksien kanssa. Sitten tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin töiden summa kaikki sen arvot vastaavilla todennäköisyyksillä:
tai taitettuna:
Lasketaan esimerkiksi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus - noppaan pudonneiden pisteiden määrä:
Mikä on saadun tuloksen todennäköisyys? Jos heittää noppaa tarpeeksi monta kertaa tarkoittaa putoavat pisteet ovat lähellä 3,5 - ja mitä enemmän testejä teet, sitä lähempänä. Itse asiassa puhuin tästä vaikutuksesta yksityiskohtaisesti oppitunnissa tilastollinen todennäköisyys.
Muistetaan nyt hypoteettinen pelimme:
Herää kysymys: onko tämän pelin pelaaminen edes kannattavaa? ... kenellä on vaikutelmia? Joten et voi sanoa "suoraan"! Mutta tähän kysymykseen voidaan helposti vastata laskemalla matemaattinen odotus, pohjimmiltaan - painotettu keskiarvo voiton todennäköisyys:
Näin ollen tämän pelin matemaattiset odotukset häviämässä.
Älä luota vaikutelmiin - luota numeroihin!
Kyllä, täällä voit voittaa 10 tai jopa 20-30 kertaa peräkkäin, mutta pitkällä aikavälillä olemme väistämättä pilalla. Ja en neuvoisi sinua pelaamaan tällaisia pelejä 🙂 No, ehkä vain huvin vuoksi.
Kaikesta yllä olevasta seuraa, että matemaattinen odotus EI OLE SATUnnainen arvo.
Luova tehtävä itsenäiseen tutkimukseen:
Mr X pelaa eurooppalaista rulettia seuraavan järjestelmän mukaisesti: hän panostaa jatkuvasti 100 ruplaa punaiselle. Laadi satunnaismuuttujan jakautumislaki - sen voitto. Laske matemaattinen voitto-odotus ja pyöristä se kopeikoihin. Miten keskiverto häviääkö pelaaja jokaisesta sadaspanoksesta?
Viite : Eurooppalainen ruletti sisältää 18 punaista, 18 mustaa ja 1 vihreä sektori ("nolla"). Jos "punainen" putoaa, pelaajalle maksetaan tuplaveto, muuten se menee kasinon tuloihin
On monia muita rulettijärjestelmiä, joille voit luoda omia todennäköisyystaulukoita. Mutta tämä on tilanne, kun emme tarvitse jakelulakeja ja -taulukoita, koska on varmaa, että pelaajan matemaattiset odotukset ovat täsmälleen samat. Vain muutokset järjestelmästä toiseen dispersio, josta opimme oppitunnin osassa 2.
Mutta ennen sitä on hyödyllistä venytellä sormesi laskimen näppäimillä:
Satunnaismuuttuja saadaan omalla todennäköisyysjakaumalakillaan:
Selvitä, onko se tiedossa. Suorita tarkistus.
Sitten siirrytään opiskeluun diskreetin satunnaismuuttujan dispersio ja jos mahdollista, JUURI NYT!!- jotta et menetä aiheen lankaa.
Ratkaisut ja vastaukset:
Esimerkki 3 Ratkaisu: ehdon mukaan - todennäköisyys osua kohteeseen. Sitten:
on väliin jäämisen todennäköisyys.
Tehdään - laki osumien jakautumisesta kahdella laukauksella:
- ei yhtään osumaa. Tekijä: riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause:
- yksi osuma. Tekijä: yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlasku- ja kertolaskulauseet:
- kaksi osumaa. Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseen mukaan:
Tarkista: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Vastaus :
Merkintä : nimityksiä oli mahdollista käyttää - tämä ei ole tärkeää.
Esimerkki 4 Ratkaisu: pelaaja voittaa 100 ruplaa 18 tapauksessa 37:stä, ja siksi hänen voittonsa jakautumislaki on seuraavanlainen:
Lasketaan matemaattinen odotus:
Näin ollen jokaista sataa panostettua pelaajaa kohden pelaaja menettää keskimäärin 2,7 ruplaa.
Esimerkki 5 Ratkaisu: matemaattisen odotuksen määritelmän mukaan:
Vaihdetaan osia ja tehdään yksinkertaistuksia:
täten:
Tarkistetaan:
, joka oli tarkistettava.
Vastaus :
(Siirry etusivulle)
Laadukasta työtä ilman plagiointia - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Diskreetit satunnaismuuttujat
Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka jokaisen testin tuloksena saa yhden aiemmin tuntemattoman arvon, riippuen satunnaisista syistä. Satunnaismuuttujat merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Satunnaismuuttujat voivat olla tyypiltään diskreetti ja jatkuva.
Diskreetti satunnaismuuttuja- tämä on sellainen satunnaismuuttuja, jonka arvot eivät voi olla enempää kuin laskettavia, eli joko äärellisiä tai laskettavia. Lasketettavuus tarkoittaa, että satunnaismuuttujan arvot voidaan laskea.
Esimerkki 1 . Otetaan esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista:
a) osumien määrä maaliin $n$ laukauksella, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) kolikkoa heitettäessä pudonneiden vaakunoiden määrä, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) alukselle saapuneiden alusten lukumäärä (laskettavissa oleva arvosarja).
d) keskukseen saapuvien puheluiden määrä (laskettavissa oleva arvosarja).
1. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman laki.
Diskreetti satunnaismuuttuja $X$ voi saada arvot $x_1,\pisteet ,\ x_n$ todennäköisyyksillä $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Näiden arvojen ja niiden todennäköisyyksien välistä vastaavuutta kutsutaan Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki. Tämä vastaavuus määritellään pääsääntöisesti taulukolla, jonka ensimmäisellä rivillä on $x_1,\dots ,\ x_n$ arvot ja toisella rivillä näitä arvoja vastaavat todennäköisyydet ovat $ p_1,\pisteet ,\ p_n$.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pisteet & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pisteet & p_n \\
\hline
\end$
Esimerkki 2 . Olkoon satunnaismuuttuja $X$ noppaa heitettyjen pisteiden lukumäärä. Tällainen satunnaismuuttuja $X$ voi saada seuraavat arvot $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Kaikkien näiden arvojen todennäköisyys on yhtä suuri kuin $1/6$. Sitten satunnaismuuttujan $X$ todennäköisyysjakauman laki:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Kommentti. Koska tapahtumat $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumislaissa, todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi, eli $\sum
2. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.
Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus määrittää sen "keskiarvon". Diskreetille satunnaismuuttujalle matemaattinen odotus lasketaan arvojen $x_1,\pisteet ,\ x_n$ ja näitä arvoja vastaavien todennäköisyyksien $p_1,\pisteet ,\ p_n$ tulojen summana, eli: $M\left(X\right)=\summa ^n_
Odotusominaisuudet$M\vasen(X\oikea)$:
- $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ja suurimman arvon välissä.
- Vakion matemaattinen odotus on sama kuin itse vakio, ts. $M\left(C\oikea)=C$.
- Vakiotekijä voidaan ottaa pois odotusmerkistä: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Esimerkki 3 . Etsitään satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus esimerkistä $2$.
Voimme huomata, että $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ($1$) ja suurimman ($6$) arvojen välissä.
Esimerkki 4 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $3X+5$ matemaattinen odotus.
Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Esimerkki 5 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=4$. Etsi satunnaismuuttujan $2X-9$ matemaattinen odotus.
Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio.
Satunnaismuuttujien mahdolliset arvot, joilla on samat matemaattiset odotukset, voivat hajaantua eri tavalla keskiarvojensa ympärille. Esimerkiksi kahdessa opiskelijaryhmässä todennäköisyysteorian tentin keskiarvoksi muodostui 4, mutta yhdessä ryhmässä kaikki osoittautuivat hyviksi opiskelijoiksi ja toisessa ryhmässä vain C-opiskelijoita ja erinomaisia opiskelijoita. Siksi tarvitaan sellainen satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus, joka näyttäisi satunnaismuuttujan arvojen leviämisen sen matemaattisen odotuksen ympärille. Tämä ominaisuus on dispersio.
Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio$X$ on:
Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään merkintää $V\left(X\right),\Var\left(X\right)$. Hyvin usein varianssi $D\left(X\right)$ lasketaan kaavalla $D\left(X\right)=\sum^n_
Dispersion ominaisuudet$D\vasen(X\oikea)$:
- Dispersio on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Dispersio vakiosta on yhtä suuri kuin nolla, ts. $D\left(C\oikea)=0$.
- Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkistä, jos se on neliöity, ts. $D\left(CX\oikea)=C^2D\left(X\oikea)$.
- Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Riippumattomien satunnaismuuttujien eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Esimerkki 6 . Lasketaan satunnaismuuttujan $X$ varianssi esimerkistä $2$.
Esimerkki 7 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $4X+1$ varianssi.
Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\vasen(X\oikea)=16\cdot 2=32$.
Esimerkki 8 . Tiedetään, että $X$:n varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=3$. Etsi satunnaismuuttujan $3-2X$ varianssi.
Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\vasen(X\oikea)=4\cdot 3=12$.
4. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio.
Diskreetin satunnaismuuttujan esittämismenetelmä jakaumasarjan muodossa ei ole ainoa, ja mikä tärkeintä, se ei ole universaali, koska jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voida määrittää jakaumasarjan avulla. On toinenkin tapa esittää satunnaismuuttuja - jakaumafunktio.
jakelutoiminto satunnaismuuttuja $X$ on funktio $F\left(x\right)$, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon, joka on pienempi kuin jokin kiinteä arvo $x$, eli $F\left(x\ oikea)$ )=P\left(X 6$, sitten $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left( X=3 \oikea)+P\vasen(X=4\oikea)+P\vasen(X=5\oikea)+P\vasen(X=6\oikea)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Jakaumafunktion kaavio $F\left(x\right)$:
Jakelun peruslaki
1. Binomijakauman laki.
Binomijakauman laki kuvaa tapahtuman A todennäköisyyttä m kertaa n riippumattomassa kokeessa edellyttäen, että tapahtuman A esiintymistodennäköisyys p kussakin kokeessa on vakio.
Esimerkiksi rautakaupan myyntiosasto saa keskimäärin yhden televisioiden ostotilauksen 10 puhelulla. Kirjoita todennäköisyysjakauman laki m televisioiden ostolle. Muodosta monikulmio todennäköisyysjakaumasta.
Taulukossa m on yrityksen saamien television ostotilausten määrä. C n m on m TV:n yhdistelmien lukumäärä n:llä, p on tapahtuman A esiintymistodennäköisyys, ts. tilattaessa TV, q on todennäköisyys, että tapahtuma A ei tapahdu, ts. ei tilaa televisiota, P m,n on todennäköisyys tilata m televisiota n:stä. Kuvassa 1 on esitetty todennäköisyysjakauman monikulmio.
2. Geometrinen jakautuminen.
Satunnaismuuttujan geometrinen jakauma on seuraavanlainen:
P m on tapahtuman A esiintymistodennäköisyys koenumerossa m.
p on tapahtuman A esiintymistodennäköisyys yhdessä kokeessa.
q = 1 - s
Esimerkki. Kodinkonekorjaamo sai 10 pesukoneen vaihtoyksikön erän. On tapauksia, joissa erä sisältää 1 viallisen lohkon. Tarkastus suoritetaan, kunnes viallinen lohko löytyy. Tarkastettujen lohkojen lukumäärälle on laadittava jakelulaki. Todennäköisyys, että lohko saattaa olla viallinen, on 0,1. Muodosta monikulmio todennäköisyysjakaumasta.
Taulukosta voidaan nähdä, että m-luvun kasvaessa todennäköisyys, että viallinen lohko havaitaan, pienenee. Viimeinen rivi (m=10) yhdistää kaksi todennäköisyyttä: 1 - että kymmenes lohko osoittautui vialliseksi - 0,038742049, 2 - että kaikki tarkastetut lohkot osoittautuivat käyttökelpoisiksi - 0,34867844. Koska lohkon epäonnistumisen todennäköisyys on suhteellisen pieni (p=0,1), viimeisimmän tapahtuman Pm (10 testattua lohkoa) todennäköisyys on suhteellisen korkea. Kuva 2.
3. Hypergeometrinen jakauma.
Satunnaismuuttujan hypergeometrinen jakauma on seuraavanlainen:
Esimerkiksi 7 arvatun luvun 49:stä jakautumislain laatimiseksi. Tässä esimerkissä kokonaisluvut N=49, n=7 numeroa poistettiin, M on kokonaisluvut, joilla on tietty ominaisuus, ts. oikein arvatut luvut, m on oikein arvattujen numeroiden lukumäärä poistettujen joukossa.
Taulukko osoittaa, että todennäköisyys arvata yksi luku m=1 on suurempi kuin silloin, kun m=0. Silloin todennäköisyys alkaa kuitenkin pienentyä nopeasti. Näin ollen neljän luvun arvaamisen todennäköisyys on jo pienempi kuin 0,005 ja 5 on mitätön.
4. Poisson-jakauman laki.
Satunnaismuuttujalla X on Poisson-jakauma, jos sen jakautumislaki on muotoa:
Np = vakio
n on äärettömyyteen pyrkivien kokeiden lukumäärä
p on tapahtuman todennäköisyys, joka pyrkii nollaan
m on tapahtuman A esiintymisten lukumäärä
Esimerkiksi tv-yhtiö saa keskimäärin noin 100 puhelua päivässä. Todennäköisyys tilata A-merkkinen televisio on 0,08; B - 0,06 ja C - 0,04. Laadi A-, B- ja C-merkkisten televisioiden ostotilausten jakautumislaki. Muodosta todennäköisyysjakauman polygoni.
Ehdosta meillä on: m=100, ? 1 = 8, ? 2 = 6, ? 3 = 4 (? 10)
(taulukko ei ole täydellinen)
Jos n on tarpeeksi suuri mennäkseen äärettömään ja p:n arvo menee nollaan, niin että tulo np menee vakiolukuun, tämä laki on likimääräinen binomijakauman laki. Kaaviosta voidaan nähdä, että mitä suurempi todennäköisyys p, sitä lähempänä m-akselia käyrä on, ts. lempeämpi. (Kuva 4)
On huomattava, että binomiaalinen, geometrinen, hypergeometrinen ja Poisson-jakauman lait ilmaisevat diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman.
5. Yhtenäinen jakelulaki.
Jos todennäköisyystiheys? (x) on vakioarvo tietyllä aikavälillä, niin jakautumislakia kutsutaan yhtenäiseksi. Kuvassa 5 on kaaviot todennäköisyysjakaumafunktiosta ja yhtenäisen jakauman lain todennäköisyystiheydestä.
6. Normaalijakauman laki (Gaussin laki).
Jatkuvien satunnaismuuttujien jakauman laeista yleisin on normaalijakauman laki. Satunnaismuuttuja jakautuu normaalijakauman lain mukaan, jos sen todennäköisyystiheys on muotoa:
missä
a on satunnaismuuttujan matemaattinen odotus
? — keskihajonta
Normaalijakaumalain mukaisen satunnaismuuttujan todennäköisyystiheyden kuvaaja on symmetrinen suoran x=a suhteen, eli x on yhtä suuri kuin matemaattinen odotus. Siten, jos x=a, käyrän maksimi on yhtä suuri:
Kun matemaattisen odotuksen arvo muuttuu, käyrä siirtyy Ox-akselia pitkin. Kaavio (kuva 6) osoittaa, että kohdassa x=3 käyrällä on maksimi, koska matemaattinen odotusarvo on 3. Jos matemaattinen odotus saa eri arvon, esimerkiksi a=6, käyrän maksimi on kohdassa x=6. Keskihajonnasta puheen ollen, kuten kaaviosta nähdään, mitä suurempi keskihajonna on, sitä pienempi on satunnaismuuttujan todennäköisyystiheyden maksimiarvo.
Funktio, joka ilmaisee satunnaismuuttujan jakauman välillä (-?, x) ja jolla on normaalijakauman laki, ilmaistaan Laplacen funktiolla seuraavan kaavan mukaan:
Nuo. satunnaismuuttujan X todennäköisyys koostuu kahdesta osasta: todennäköisyys, jossa x ottaa arvot miinus äärettömästä a:han, joka on yhtä suuri kuin 0,5, ja toinen osa on a:sta x. (Kuva 7)
Yhdessä oppiminen
Hyödyllisiä materiaaleja opiskelijoille, tutkinto- ja tutkintotyöt tilauksesta
Oppitunti: diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki
Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välinen vastaavuus. Se voidaan määrittää taulukkomuodossa, graafisesti ja analyyttisesti.
Mikä on satunnaismuuttuja, käsitellään tässä oppitunnissa.
Taulukkoasetuksella taulukon ensimmäinen rivi sisältää mahdolliset arvot ja toinen niiden todennäköisyydet, eli
Tätä määrää kutsutaan jakaumasarjaksi. diskreetti satunnaismuuttuja.
X=x1, X=x2, X=xn muodostavat täydellisen ryhmän, koska yhdessä kokeessa satunnaismuuttuja saa yhden ja vain yhden mahdollisen arvon. Siksi niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi, eli p1 + p2 + pn = 1 tai
Jos X:n arvojen joukko on ääretön, niin 
Esimerkki 1. Käteisarpajaisissa jaetaan 100 lippua. Pelataan yksi voitto 1000 ruplaa ja 10 ruplaa 100 ruplaa. Etsi satunnaismuuttujan X jakautumislaki - yhden arpalipun omistajan mahdollisen voiton hinta.
Halutun jakelulain muoto on:
valvonta; 0,01+0,1+0,89=1.
Graafisella jakaumalain asettamismenetelmällä pisteet rakennetaan koordinaattitasolle (Xi: Pi) ja sitten ne yhdistetään suorilla janoilla. Tuloksena olevaa katkoviivaa kutsutaan jakelupolygoni. Esimerkiksi 1, jakelupolygoni on esitetty kuvassa 1.
Jakaumalain asettamisen analyyttisessä menetelmässä esitetään kaava, joka suhteuttaa satunnaismuuttujan todennäköisyydet sen mahdollisiin arvoihin.
Esimerkkejä diskreeteistä jakaumista
Binomijakauma
Tehdään n koetta, joissa jokaisessa tapahtuma A tapahtuu vakiotodennäköisyydellä p, joten ei tapahdu vakiotodennäköisyydellä q = 1- s. Harkitse satunnaismuuttujaa X- tapahtuman A esiintymisten määrä näissä n kokeessa. X:n mahdolliset arvot ovat x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n . Todennäköisyys, että nämä ovat mahdollisia
Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislakia kutsutaan Windows XP Word 2003 Excel 2003 Diskreettien satunnaismuuttujien jakauman lait Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on mikä tahansa suhde, joka määrittää suhteen satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen välille. ja […]
Kuten tiedetään, Satunnaismuuttuja kutsutaan muuttujaksi, joka voi ottaa tietyt arvot tapauksesta riippuen. Satunnaismuuttujat on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla (X, Y, Z) ja niiden arvot - vastaavilla pienillä kirjaimilla (x, y, z). Satunnaismuuttujat jaetaan epäjatkuviin (diskreetteihin) ja jatkuviin.
Diskreetti satunnaismuuttuja kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka ottaa vain äärellisen tai äärettömän (laskettavissa olevan) arvojoukon tietyillä nollasta poikkeavilla todennäköisyyksillä.
Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on funktio, joka yhdistää satunnaismuuttujan arvot niitä vastaaviin todennäköisyyksiin. Jakelulaki voidaan määrittää jollakin seuraavista tavoista.
1 . Jakelulaki voidaan antaa taulukosta:
jossa λ>0, k = 0, 1, 2, … .
sisään) käyttämällä jakaumafunktio F(x) , joka määrittää kullekin arvolle x todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa arvon, joka on pienempi kuin x, ts. F(x) = P(X< x).
F(x) funktion ominaisuudet
3 . Jakelulaki voidaan asettaa graafisesti – jakautumispolygoni (polygon) (katso tehtävä 3).
Huomaa, että joidenkin ongelmien ratkaisemiseksi ei ole välttämätöntä tuntea jakelulakia. Joissakin tapauksissa riittää, että tietää yhden tai useamman luvun, jotka kuvastavat jakelulain tärkeimpiä piirteitä. Se voi olla luku, joka tarkoittaa satunnaismuuttujan "keskiarvoa", tai luku, joka osoittaa satunnaismuuttujan keskimääräisen poikkeaman keskiarvosta. Tällaisia lukuja kutsutaan satunnaismuuttujan numeerisiksi ominaisuuksiksi.
Diskreetin satunnaismuuttujan numeeriset perusominaisuudet :
- Matemaattinen odotus
diskreetin satunnaismuuttujan (keskiarvo). M(X) = Σ x i p i.
Binomijakaumalla M(X)=np, Poisson-jakaumalla M(X)=λ - Dispersio
diskreetti satunnaismuuttuja D(X) = M2 tai D(X) = M(X 2) − 2. Erotusta X–M(X) kutsutaan satunnaismuuttujan poikkeamaksi sen matemaattisesta odotuksesta.
Binomijakaumalla D(X)=npq, Poisson-jakaumalla D(X)=λ - Standardipoikkeama (keskipoikkeama) σ(X)=√D(X).
Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki"
Tehtävä 1.
1000 arpalippua on jaettu: 5 niistä voittaa 500 ruplaa, 10 voittaa 100 ruplaa, 20 voittaa 50 ruplaa ja 50 voittaa 10 ruplaa. Määritä satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman laki - voitot per lippu.
Ratkaisu. Ongelman ehdon mukaan seuraavat satunnaismuuttujan X arvot ovat mahdollisia: 0, 10, 50, 100 ja 500.
Lippujen määrä ilman voittoa on 1000 - (5+10+20+50) = 915, sitten P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Samalla tavalla löydämme kaikki muut todennäköisyydet: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Esitämme tuloksena olevan lain taulukon muodossa:
Laske X:n matemaattinen odotus: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Tehtävä 3.
Laite koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä. Jokaisen elementin epäonnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa on 0,1. Piirrä jakautumislaki epäonnistuneiden elementtien lukumäärälle yhdessä kokeessa, rakenna jakautumispolygoni. Etsi jakaumafunktio F(x) ja piirrä se. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.
Ratkaisu. 1. Diskreetillä satunnaismuuttujalla X= (epäonnistuneet elementit yhdessä kokeessa) on seuraavat mahdolliset arvot: x 1 =0 (mikään laitteen elementeistä ei epäonnistunut), x 2 =1 (yksi elementti epäonnistui), x 3 =2 ( kaksi elementtiä epäonnistui ) ja x 4 \u003d 3 (kolme elementtiä epäonnistui).
Elementtien viat ovat toisistaan riippumattomia, kunkin elementin epäonnistumistodennäköisyydet ovat keskenään yhtä suuret, joten sitä voidaan soveltaa Bernoullin kaava
. Kun otetaan huomioon, että ehdon mukaan n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, määritämme arvojen todennäköisyydet:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Tarkista: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Siten halutulla binomijakauman lailla X on muoto:
Abskissa-akselille piirretään mahdolliset arvot x i ja ordinaatta-akselille vastaavat todennäköisyydet р i . Muodostetaan pisteet M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Yhdistämällä nämä pisteet janoilla saamme halutun jakautumispolygonin.
3. Etsi jakaumafunktio F(x) = P(X
Kun x ≤ 0, meillä on F(x) = P(X<0) = 0;hintaan 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1:lle< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2:lle< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3:lle se on F(x) = 1, koska tapahtuma on varma.
 |
Funktion F(x) kuvaaja
4.
Binomijakauma X:
- matemaattinen odotus М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersio D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- keskihajonta σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
