Hei! Tässä artikkelissa tarkastelemme palloihin liittyviä ongelmia. Pikemminkin tässä tulee olemaan kappaleiden yhdistelmä: pallo tai toisin sanoen pallon lähellä kuvattu sylinteri (joka on sama asia) ja palloon kaiverrettu kuutio.

Blogissa on jo harkittu joukko tehtäviä palloilla, . Esitetyissä tehtävissä puhutaan ilmoitettujen kappaleiden tilavuuden ja pinta-alan löytämisestä.sinun pitää tietää!

Pallon tilavuuskaava:

Pallon pinta-alan kaava on:

Sylinterin tilavuuden kaava on:

Sylinterin pinta-alan kaava on:

Lisää sylinterin sivupinta-alasta:

Se on suorakulmio, joka on "kierretty" sylinteriksi, jonka toinen puoli on yhtä suuri kuin pohjan ympärysmitta - tämä on 2ПiR, toinen puoli on yhtä suuri kuin sylinterin korkeus - tämä on N.

Mitä tulee huomioida esitetyissä tehtävissä?

1. Jos pallo on kaiverrettu sylinteriin, niillä on yhteinen säde.

2. Pallon ympärille piirretyn sylinterin korkeus on yhtä suuri kuin kaksi sen sädettä (tai halkaisijaa).

3. Jos kuutio on piirretty palloon, niin tämän kuution lävistäjä on yhtä suuri kuin pallon halkaisija.

245348. Sylinteri on kuvattu pallon lähellä. Sylinterin tilavuus on 33. Laske pallon tilavuus.

Pallon tilavuuskaava:

Meidän on löydettävä pallon säde.

Pallolla ja sylinterillä on yhteinen säde. Sylinterin pohja on ympyrä, jonka säde on R, sylinterin korkeus on yhtä suuri kuin kaksi sädettä. Joten sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla:

Korvaa ehdossa annettu tilavuus kaavaan ja ilmaise säde:

Jätetään lauseke tähän muotoon, sädettä ei tarvitse ilmaista (poistaa kolmannen asteen juuri), koska tarvitsemme täsmälleen R 3 .

Siten pallon tilavuus on yhtä suuri kuin:

Vastaus: 22

245349. Sylinteri on kuvattu pallon lähellä. Pallon tilavuus on 24. Laske sylinterin tilavuus.

Tämä tehtävä on päinvastainen kuin edellinen.

Pallon tilavuuskaava:

Sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla:

Koska pallon tilavuus tunnetaan, voimme ilmaista säteen ja sitten löytää sylinterin tilavuuden:

Tällä tavalla:

Vastaus: 36

316557. Pallo on kaiverrettu sylinteriin. Pallon pinta-ala on 111. Laske sylinterin kokonaispinta-ala.

Pallon pinnan kaava:

Sylinterin pintakaava:

Yksinkertaistetaan:

Koska pallon pinta-ala on annettu meille, voimme ilmaista säteen:

Vastaus: 166,5

SYLINTERISTA JA KARTIOA KOSKEVA PALLO on nimeltään (a), jos kartion yläosa on pallon pinnalla ja kartion pohja on pallon leikkaus. Pallo voidaan aina rajata lähelle oikeanpuoleista ympyräkartiota. Läheltä kartion rajatun pallon keskipiste on kartion korkeudella. Kartion lähellä kuvatun pallon keskipiste voi olla sekä kartion sisällä että ulkopuolella, ja se voi myös olla sama kuin pohjan keskusta.

kutsutaan), jos sylinterin pohjat ovat pallon osia. (a Oikea pyöreä sylinteri voidaan rajata. Sylinterin ympärille piirretyn pallon keskipiste on sylinterin korkeudella.

Kolmion ympyrän keskipiste on kolmion sivujen kohtisuorien puolittajien leikkauspiste. Kolmion ympyrän keskipiste voi olla kolmion ulkopuolella Säännöllinen kolmio: R= Ympyrän keskipiste suorakulmainen kolmio on hypotenuusan keskipiste. Säännöllinen nelikulmio: R = sivu; R on piirretyn ympyrän säde

Nro 645. Sylinteri on kaiverrettu palloon. Selvitä sylinterin kokonaispinnan pinta-alan suhde pallon pinta-alaan, jos sylinterin korkeus on yhtä suuri kuin pohjan halkaisija. R R Annettu: pallo, jonka keskipiste on O, sylinteri on kaiverrettu, h=2 R Etsi: R Olosuhteiden analyysi: O R

Pallo voidaan rajata lähellä pyramidia, jos ja vain, jos ympyrä voidaan rajata lähellä sen kantaa.

Tämän pallon keskikohdan O rakentamiseksi tarvitset:

1. Etsi keskus O, ympyrä, joka on rajattu lähelle kantaa.

2. Piirrä pisteen O kautta suora viiva, joka on kohtisuorassa kannan tasoon nähden.

3. Piirrä pyramidin minkä tahansa sivureunan keskeltä taso, joka on kohtisuorassa tätä reunaa vastaan.

4. Etsi muodostetun suoran ja tason leikkauspiste O.

Erikoistapaus: pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret. Sitten:

palloa voidaan kuvata;

pallon keskipiste O on pyramidin korkeudella;

Missä on rajatun pallon säde; - sivujousto; H on pyramidin korkeus.

5.2. pallo ja prisma

Pallo voidaan rajata lähellä prismaa, jos ja vain jos prisma on suora ja ympyrä voidaan rajata lähellä sen kantaa.

Pallon keskipiste on sen segmentin keskikohta, joka yhdistää kuvattujen ympyröiden keskipisteet lähellä kantaa.

missä on rajatun pallon säde; on rajatun ympyrän säde lähellä kantaa; H on prisman korkeus.

5.3. pallo ja sylinteri

Palloa voidaan aina kuvata sylinterin lähellä. Pallon keskipiste on sylinterin aksiaalisen leikkauksen symmetriakeskus.

5.4. pallo ja kartio

Palloa voidaan aina kuvata lähellä kartiota. pallon keskipiste; toimii kartion aksiaalisen leikkauksen ympärille rajatun ympyrän keskipisteenä.

Ympäröivä maailma, huolimatta esineiden ja niiden kanssa tapahtuvien ilmiöiden moninaisuudesta, on täynnä harmoniaa luonnonlakien selkeän toiminnan ansiosta. Sen näennäisen vapauden takana, jolla luonto piirtää ääriviivat ja luo asioiden muotoja, on selkeät säännöt ja lait, jotka tahtomattaan viittaavat jonkin korkeamman voiman läsnäoloon luomisprosessissa. Pragmaattisen tieteen partaalla, joka kuvaa tapahtuvia ilmiöitä matemaattisten kaavojen ja teosofisten maailmankatsomusten näkökulmasta, on maailma, joka antaa meille kokonaisen joukon tunteita ja vaikutelmia sen täyttävistä asioista ja niiden mukana tapahtuvista tapahtumista.

Pallo on tavallisin luonnossa esiintyvä muoto fyysisille kehoille. Suurin osa makro- ja mikrokosmoksen kappaleista on pallon muotoisia tai pyrkii lähestymään sitä. Itse asiassa pallo on esimerkki ihanteellisesta muodosta. Pallon yleisesti hyväksytty määritelmä on seuraava: se on geometrinen kappale, joukko (joukko) kaikista avaruuden pisteistä, jotka sijaitsevat etäisyydellä keskustasta, joka ei ylitä annettua. Geometriassa tätä etäisyyttä kutsutaan säteeksi, ja tiettyyn kuvioon nähden sitä kutsutaan pallon säteeksi. Toisin sanoen pallon tilavuus sisältää kaikki pisteet, jotka sijaitsevat etäisyydellä keskustasta, joka ei ylitä säteen pituutta.

Palloa pidetään myös puoliympyrän pyörimisen tuloksena halkaisijansa ympäri, joka samalla pysyy liikkumattomana. Tässä tapauksessa sellaisiin elementteihin ja ominaisuuksiin kuin pallon säde ja tilavuus lisätään pallon akseli (kiinteä halkaisija), ja sen päitä kutsutaan pallon navoiksi. Pallon pintaa kutsutaan palloksi. Jos kyseessä on suljettu pallo, se sisältää tämän pallon, jos avoimen pallon kanssa, se sulkee sen pois.

Kun otetaan huomioon palloon liittyvät lisämääritelmät, on sanottava leikkaustasoista. Pallon keskustan läpi kulkevaa leikkaustasoa kutsutaan suureksi ympyräksi. Muissa pallon litteissä osissa on tapana käyttää nimeä "pienet ympyrät". Näiden osien pinta-aloja laskettaessa käytetään kaavaa πR².

Laskeessaan pallon tilavuutta matemaatikot kohtasivat melko kiehtovia kuvioita ja erityispiirteitä. Kävi ilmi, että tämä arvo joko toistaa kokonaan tai on määritysmenetelmässä hyvin lähellä pallon ympärillä kuvatun pyramidin tai sylinterin tilavuutta. Osoittautuu, että pallon tilavuus on yhtä suuri, jos sen pohjalla on sama pinta-ala kuin pallon pinnalla ja korkeus on yhtä suuri kuin pallon säde. Jos tarkastellaan pallon ympärillä kuvattua sylinteriä, voimme laskea kuvion, jonka mukaan pallon tilavuus on puolitoista kertaa pienempi kuin tämän sylinterin tilavuus.

Houkutteleva ja omaperäinen on tapa poistaa pallo Cavalieri-periaatteella. Se koostuu minkä tahansa kuvion tilavuuden löytämisestä lisäämällä sen poikkileikkauksella saadut pinta-alat äärettömällä luvulla. Otetaan lopuksi puolipallo, jonka säde on R, ja sylinteri, jonka korkeus on R ja jonka kantaympyrä on säde R ( puolipallon ja sylinterin pohjat sijaitsevat samassa tasossa). Tässä sylinterissä syötetään kartio, jonka kärki on sen alemman pohjan keskellä. Todistettuamme, että puolipallon tilavuus ja sylinterin kartion ulkopuolella olevat osat ovat yhtä suuret, voimme helposti laskea pallon tilavuuden. Sen kaava on seuraavanlainen: neljä kolmasosaa säteen ja π:n kuution tulosta (V= 4/3R^3×π). Tämä on helppo todistaa piirtämällä yhteinen leikkaustaso puolipallon ja sylinterin läpi. Pienen ympyrän ja ulkopuolelta sylinterin ja kartion sivujen rajaaman renkaan pinta-alat ovat yhtä suuret. Ja Cavalieri-periaatteen avulla on helppo päästä pääkaavan todistukseen, jonka avulla määritämme pallon tilavuuden.

Mutta ei vain luonnonkappaleiden tutkimisen ongelma liity keinojen löytämiseen niiden erilaisten ominaisuuksien ja ominaisuuksien määrittämiseksi. Tällaista stereometriaa pallona käytetään erittäin laajalti käytännön ihmisen toiminnassa. Teknisten laitteiden massassa on suunnittelussaan yksityiskohtia paitsi pallomaisia, myös palloelementtejä. Ihanteellisten luonnollisten ratkaisujen kopioiminen ihmisen toiminnassa antaa laadukkaimmat tulokset.

Kun tehtävässä annetaan palloon kaiverrettu pyramidi, seuraavat teoreettiset tiedot ovat hyödyllisiä sen ratkaisemisessa.

Jos pyramidi on kirjoitettu palloon, niin kaikki sen kärjet sijaitsevat tämän pallon pinnalla (pallolla), vastaavasti, etäisyydet pallon keskustasta kärkiin ovat yhtä suuret kuin pallon säde.

Jokainen palloon piirretyn pyramidin pinta on monikulmio, joka on piirretty johonkin ympyrään. Pallon keskipisteestä kasvojen tasolle pudotettujen kohtisuorien kantat ovat näiden rajattujen ympyröiden keskipisteet. Siten pyramidin lähellä kuvatun pallon keskipiste on pyramidin pintojen kohtisuorien leikkauspiste, joka on piirretty pintojen lähellä kuvattujen ympyröiden keskipisteiden läpi.

Useimmiten pyramidin lähellä kuvatun pallon keskipisteen katsotaan olevan pohjaan lähelle rajatun ympyrän keskipisteen kautta piirretyn kohtisuoran ja sivureunaan nähden kohtisuoran puolittajan leikkauspiste (pystysuoran puolittaja on tämän sivureunan ja ensimmäisen kohtisuoran läpi kulkevassa tasossa (pohjaan piirretty). Jos ympyrää ei voida piirtää lähelle pyramidin kantaa, niin tätä pyramidia ei voida piirtää palloon. Tästä seuraa, että pallo voi aina olla Kolmion muotoisen pyramidin lähelle kaiverretulla nelikulmaisella pyramidilla, jonka pohjaan on piirretty suuntaviiva, voi olla suorakulmio tai neliöpohja.

Pyramidin lähellä kuvatun pallon keskipiste voi sijaita pyramidin sisällä, pyramidin pinnalla (sivupinnalla, pohjalla) ja pyramidin ulkopuolella. Jos ongelman tila ei kerro tarkalleen missä kuvatun pallon keskipiste sijaitsee, on suositeltavaa pohtia, kuinka erilaiset sen sijainnin vaihtoehdot voivat vaikuttaa ratkaisuun.

Minkä tahansa säännöllisen pyramidin lähellä voidaan kuvata pallo. Sen keskipiste on pyramidin korkeuden ja sivureunaan nähden kohtisuoran puolittajan sisältävän viivan leikkauspiste.

Kun ratkaistaan ​​palloon piirretyn pyramidin tehtäviä, otetaan useimmiten huomioon joitain kolmioita.

Aloitetaan kolmiosta SO1C. Se on tasakylkinen, koska sen kaksi sivua ovat yhtä suuret kuin pallon säteet: SO1=O1C=R. Siksi O1F on sen korkeus, mediaani ja puolittaja.

Suorakulmaiset kolmiot SOC ja SFO1 ovat samanlaisia ​​terävässä kulmassa S. Tästä syystä

SO=H on pyramidin korkeus, SC=b on sivureunan pituus, SF=b/2, SO1=R, OC=r on ympyrän säde, joka on piirretty lähellä pyramidin kantaa.

Suorakulmaisessa kolmiossa OO1C hypotenuusa on O1C=R, jalat OC=r, OO1=H-R. Pythagoraan lauseen mukaan:

Jos jatkamme korkeutta SO, saamme halkaisijan SM. Kolmio SCM on suorakulmainen (koska sisäänkirjoitettu kulma SCM perustuu halkaisijaan). Siinä OC on hypotenuusaan piirretty korkeus, SO ja OM ovat jalkojen SC ja CM projektiot hypotenuusalle. Suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien mukaan