Aloitetaan siitä ykseyden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus on suoraviivainen: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää edellä mainitut ehdot a>0 ja a≠1 , niin logaritmin määritelmästä seuraa välittömästi todettavissa oleva yhtäläisyys log a 1=0.
Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0 , lg1=0 ja .
Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: kantaa vastaavan luvun logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, tuo on, log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin logaritmin määritelmän mukaan log a a=1 .
Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ja lne=1 .
Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja 
.
Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistakaamme tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y , niin log a x a log a y =x y . Siten log a x+log a y =x y , josta logaritmin määritelmä seuraa vaadittua yhtälöä.
Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja 
.
Tulon logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tämä tasa-arvo on helposti todistettavissa.
Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata lukujen 4, e ja kolmen luonnollisen logaritmin summalla.
Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien välinen ero. Osamäärälogaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0 , a≠1 , x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys todistetaan kuten tuotteen logaritmin kaava: koska 
, sitten logaritmin määritelmän mukaan.
Tässä on esimerkki tämän logaritmin ominaisuuden käyttämisestä: 
.
Jatketaan asteen logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoitamme tämän asteen logaritmin ominaisuuden kaavan muodossa: log a b p =p log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia lukuja, että b p:n aste on järkevä ja b p >0.
Todistamme ensin tämän ominaisuuden positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssiominaisuudesta johtuen yhtä suuri kuin a p log a b . Saavutetaan siis yhtälö b p =a p log a b , josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p log a b .
On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| p . Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, josta log a b p =p log a |b| .
Esimerkiksi, 
ja ln(-3)4 =4 ln|-3|=4 ln3.
Se seuraa edellisestä ominaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen asteen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murtoluvun 1/n tulo ja juurilausekkeen logaritmi, eli 
, jossa a>0, a≠1, n on yhtä suurempi luonnollinen luku, b>0.
Todistus perustuu yhtälöön (katso ), joka pätee mille tahansa positiiviselle b :lle ja asteen logaritmin ominaisuuteen: 
.
Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: 
.
Nyt todistetaan muunnoskaava logaritmin uuteen kantaan kiltti 
. Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , sitten log c b = log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b = log a b log c a. Siten yhtälö log c b=log a b log c a on todistettu, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.
Näytämme pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden soveltamisesta: ja 
.
Uuteen perustaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi siirtymiseen luonnollisiin tai desimaalilogaritmiin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muilla kantaluvuilla ovat tiedossa.
Usein käytetään kaavan erikoistapausta siirtymiseksi uuteen logaritmin kantaan muodon c=b:lle 
. Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esimerkiksi, 
.
Usein käytetään myös kaavaa 
, joka on hyödyllinen logaritmiarvojen löytämisessä. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme kuinka lomakkeen logaritmin arvo lasketaan sen avulla. Meillä on 
. Todistamaan kaavan 
riittää, että käytetään siirtymäkaavaa logaritmin a uuteen kantaan: 
.
On vielä todistettava logaritmien vertailuominaisuudet.
Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2 , b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1 Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Todistamme vain sen ensimmäisen osan, eli todistamme, että jos a 1 >1 , a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Muut lausumat tästä logaritmien ominaisuudesta todistetaan samanlaisella periaatteella. Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 >1, 2 >1 ja 1 1 log a 1 b≤log a 2 b on totta. Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 
ja 
vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien perusteella yhtäläisyydet b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on täytettävä, eli a 1 ≥a 2 . Siten olemme päätyneet ristiriidaan ehdon a 1 kanssa
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).
Luvun logaritmi N syystä a kutsutaan eksponenttia X , johon sinun täytyy nostaa a saadaksesi numeron N
Edellyttäen että 
,
,
Logaritmin määritelmästä seuraa, että 
, eli
- tämä yhtälö on logaritmisen perusidentiteetti.
Logaritmeja 10 kantaan kutsutaan desimaalilogaritmeiksi. Sijasta 
kirjoittaa 
.
peruslogaritmit e
kutsutaan luonnollisiksi ja merkitään 
.
Logaritmien perusominaisuudet.
Minkä tahansa kantayksikön yksikkölogaritmi on nolla
Tuloksen logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa.
3) Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus
Tekijä 
kutsutaan siirtymämoduuliksi logaritmista kantapäässä a
logaritmeihin pohjassa b
.
Ominaisuuksia 2-5 käyttämällä on usein mahdollista pelkistää kompleksisen lausekkeen logaritmi yksinkertaisten logaritmien aritmeettisten operaatioiden tulokseksi.
Esimerkiksi, 
Tällaisia logaritmin muunnoksia kutsutaan logaritmeiksi. Logaritmien käänteismuunnoksia kutsutaan potentioinniksi.
Luku 2. Korkeamman matematiikan elementit.
1. Rajoitukset
toimintoraja 
on äärellinen luku A jos pyrittäessä xx
0
jokaiselle ennalta määrätylle 
, on sellainen numero 
että heti kun 
, sitten 
.
Funktio, jolla on raja, eroaa siitä äärettömän pienellä määrällä: 
, jossa - b.m.w., eli 
.
Esimerkki. Harkitse toimintoa 
.
Kun yritetään 
, toiminto y
menee nollaan: 
1.1. Peruslauseita rajoista.
Vakioarvon raja on yhtä suuri kuin tämä vakioarvo
.
Äärillisen määrän funktioiden summan (eron) raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen summa (ero).
Äärillisen määrän funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen tulo.
Kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen osamäärä, jos nimittäjän raja ei ole nolla.
Merkittävät rajat
,
, missä 
1.2. Esimerkkejä rajan laskemisesta
Kaikkia rajoja ei kuitenkaan lasketa niin helposti. Useammin rajan laskeminen rajoittuu tyyppiepävarmuuden paljastamiseen: 
tai .
.
2. Funktion johdannainen
Tehdään funktio 
, jatkuva segmentillä 
.
Perustelu 
sai vähän vauhtia 
. Sen jälkeen toimintoa kasvatetaan 
.
Argumentin arvo 
vastaa funktion arvoa 
.
Argumentin arvo 
vastaa funktion arvoa.
Tämän seurauksena,.
Etsitään tämän suhteen raja kohdasta 
. Jos tämä raja on olemassa, sitä kutsutaan annetun funktion derivaatiksi.
Tietyn funktion 3derivaatan määrittäminen 
argumentin perusteella 
kutsutaan rajaksi funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen, kun argumentin lisäys mielivaltaisesti pyrkii nollaan.
Funktiojohdannainen 
voidaan merkitä seuraavasti:
;
;
;
.
Määritelmä 4 Kutsutaan funktion derivaatan löytämistä erilaistuminen.
2.1. Johdannan mekaaninen merkitys.
Tarkastellaan jonkin jäykän kappaleen tai materiaalipisteen suoraviivaista liikettä.
Anna jossain vaiheessa 
liikkuva piste 
oli etäällä 
lähtöasennosta 
.
Jonkin ajan kuluttua 
hän siirtyi kauemmaksi 
. Asenne 
=
- materiaalipisteen keskinopeus 
. Etsitään tämän suhteen raja ottaen se huomioon 
.
Näin ollen aineellisen pisteen hetkellisen nopeuden määritys pelkistyy polun ajan suhteen derivaatan löytämiseen.
2.2. Derivaatan geometrinen arvo
Oletetaan, että meillä on graafisesti määritelty jokin funktio 
.
Riisi. 1. Derivaatan geometrinen merkitys
Jos 
, sitten se pointti 
, liikkuu käyrää pitkin lähestyen pistettä 
.
Näin ollen 
, eli argumentin tietyn arvon derivaatan arvo 
on numeerisesti yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti, jonka tangentti muodostaa tietyssä pisteessä akselin positiivisen suunnan kanssa 
.
2.3. Taulukko perusdifferointikaavoista.
Virtatoiminto
|
|
|
|
|
|
|
Eksponentti funktio
|
|
|
|
|
logaritminen funktio
|
|
|
|
|
trigonometrinen funktio
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Käänteinen trigonometrinen funktio
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Erottamisen säännöt.
Johdannainen 
Toimintojen summan (eron) derivaatta
Kahden funktion tulon johdannainen
Kahden funktion osamäärän derivaatta
2.5. Monimutkaisen funktion johdannainen.
Olkoon funktio annettu 
sellaisena, että se voidaan esittää
ja 
, jossa muuttuja 
on siis väliargumentti 
Kompleksifunktion derivaatta on yhtä suuri kuin annetun funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla x:n suhteen.
Esimerkki1. 
Esimerkki2. 
3. Toimintoero.
Anna olla 
, erottuu tietyllä aikavälillä 
Anna olla klo
tällä funktiolla on derivaatta
,
sitten voit kirjoittaa
(1),
missä 
- äärettömän pieni määrä,
koska klo 
Kerrotaan kaikki yhtäläisyyden ehdot (1) luvulla 
meillä on:
Missä 
- b.m.v. ylempi määräys.
Arvo 
kutsutaan funktion differentiaaliksi 
ja merkitty 
.
3.1. Differentiaalin geometrinen arvo.
Olkoon funktio annettu 
.
Kuva 2. Differentiaalin geometrinen merkitys.
.
Ilmeisesti funktion ero 
on yhtä suuri kuin tangentin ordinaatin lisäys annetussa pisteessä.
3.2. Johdannaiset ja differentiaalit eri luokista.
Jos on 
, sitten 
kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi.
Ensimmäisen derivaatan derivaatta kutsutaan toisen asteen derivaataksi ja se kirjoitetaan 
.
Johdannainen funktion n:nnestä kertaluvusta 
kutsutaan (n-1) luvun derivaatiksi ja kirjoitetaan:
.
Funktion differentiaalin differentiaalia kutsutaan toisen asteen differentiaaliksi tai toisen asteen differentiaaliksi.
.
.
3.3 Biologisten ongelmien ratkaiseminen eriyttämisen avulla.
Tehtävä 1. Tutkimukset ovat osoittaneet, että mikro-organismipesäkkeen kasvu noudattaa lakia 
, missä N
– mikro-organismien lukumäärä (tuhansina), t
– aika (päiviä).
b) Kasvaako vai väheneekö siirtokunnan väestö tänä aikana?
Vastaus. Pesäkkeen koko kasvaa.
Tehtävä 2. Järven vesi testataan ajoittain patogeenisten bakteerien pitoisuuden hallitsemiseksi. Kautta t päivää testauksen jälkeen bakteeripitoisuus määritetään suhteella
.
Milloin järveen tulee pienin bakteeripitoisuus ja siinä on mahdollista uida?
Ratkaisu Funktio saavuttaa max tai min, kun sen derivaatta on nolla.
,
Määritetään maksimi- tai minimiarvo 6 päivän kuluttua. Tätä varten otamme toisen derivaatan.
Vastaus: 6 päivän kuluttua bakteeripitoisuus on pieni.
Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.
Henkilötietojen kerääminen ja käyttö
Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.
Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.
Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.
Mitä henkilötietoja keräämme:
- Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.
Kuinka käytämme henkilötietojasi:
- Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
- Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
- Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
- Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.
Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille
Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.
Poikkeukset:
- Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
- Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.
Henkilötietojen suojaaminen
Ryhdymme varotoimiin – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – suojellaksemme henkilökohtaisia tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.
Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla
Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.
Tänään puhumme aiheesta logaritmikaavat ja antaa esittelyn ratkaisuesimerkkejä.
Ne merkitsevät itsessään ratkaisukuvioita logaritmien perusominaisuuksien mukaisesti. Ennen kuin käytät logaritmikaavoja ratkaisuun, muistamme ensin kaikki ominaisuudet:
Nyt näytämme näiden kaavojen (ominaisuuksien) perusteella esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta.
Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta kaavojen perusteella.
Logaritmi positiivinen luku b kannassa a (merkitty log a b) on eksponentti, johon a on nostettava, jotta saadaan b, kun b > 0, a > 0 ja 1.
Määritelmän mukaan log a b = x, mikä vastaa a x = b, joten log a a x = x.
logaritmit, esimerkkejä:
log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8
loki 7 49 = 2, koska 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, koska 5-1 = 1/5
Desimaalilogaritmi on tavallinen logaritmi, jonka kanta on 10. Merkitään lg.
log 10 100 = 2, koska 10 2 = 100
luonnollinen logaritmi- myös tavallinen logaritmilogaritmi, mutta kanta e (e \u003d 2,71828 ... - irrationaalinen luku). Kutsutaan nimellä ln.
Logaritmien kaavat tai ominaisuudet on hyvä muistaa, koska niitä tarvitaan myöhemmin ratkottaessa logaritmeja, logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Käydään jokainen kaava läpi uudelleen esimerkkien avulla.
- Peruslogaritminen identiteetti
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Tuloksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Logaritmiskelpoisen luvun asteen ja logaritmin kannan ominaisuudet
Logaritmiluvun eksponentti log a b m = mlog a b
Logaritmin kantaluvun eksponentti log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jos m = n, saadaan log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Siirtyminen uudelle perustalle
log a b = log c b / log c a,jos c = b, saadaan log b b = 1
sitten log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kuten näet, logaritmikaavat eivät ole niin monimutkaisia kuin miltä ne näyttävät. Nyt, kun olemme tarkastelleet esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta, voimme siirtyä logaritmiin yhtälöihin. Tarkastelemme esimerkkejä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisesta yksityiskohtaisemmin artikkelissa: "". Älä missaa!
Jos sinulla on vielä kysyttävää ratkaisusta, kirjoita ne artikkelin kommentteihin.
Huomaa: päätti hankkia toisen luokan koulutuksen ulkomailla vaihtoehtona.
Meillä on siis kahden voimat. Jos otat numeron alimmalta riviltä, voit helposti löytää tehon, johon sinun on nostettava kaksi saadaksesi tämän numeron. Esimerkiksi saadaksesi 16, sinun on korotettava kaksi neljänteen potenssiin. Ja saadaksesi 64, sinun on korotettava kaksi kuudenteen potenssiin. Tämä näkyy taulukosta.
Ja nyt - itse asiassa logaritmin määritelmä:
Argumentin x logaritmi kantaan a on potenssi, johon luku a on nostettava, jotta saadaan luku x .
Merkintä: log a x \u003d b, missä a on kanta, x on argumentti, b on itse asiassa logaritmi.
Esimerkiksi 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8:n kanta-2 logaritmi on kolme, koska 2 3 = 8). Voisi yhtä hyvin kirjata 2 64 = 6, koska 2 6 = 64.
Operaatiota luvun logaritmin löytämiseksi tiettyyn kantaan kutsutaan logaritmiksi. Lisätään siis uusi rivi taulukkoomme:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Valitettavasti kaikkia logaritmeja ei oteta huomioon niin helposti. Yritä esimerkiksi löytää loki 2 5 . Numero 5 ei ole taulukossa, mutta logiikka sanelee, että logaritmi on jossain segmentissä. Koska 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tällaisia lukuja kutsutaan irrationaalisiksi: desimaalipilkun jälkeisiä lukuja voidaan kirjoittaa loputtomasti, eivätkä ne koskaan toistu. Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, on parempi jättää se näin: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
On tärkeää ymmärtää, että logaritmi on lauseke, jossa on kaksi muuttujaa (kanta ja argumentti). Aluksi monet ihmiset sekoittavat, missä on perusta ja missä on argumentti. Välttääksesi ärsyttäviä väärinkäsityksiä, katso vain kuvaa:
Edessämme ei ole muuta kuin logaritmin määritelmä. Muistaa: logaritmi on teho, jolle sinun on nostettava perusta saadaksesi argumentin. Se on pohja, joka nostetaan tehoon - kuvassa se on korostettu punaisella. Osoittautuu, että pohja on aina pohjassa! Kerron tämän ihanan säännön oppilailleni heti ensimmäisellä oppitunnilla - eikä ole hämmennystä.
Selvitimme määritelmän - on vielä opittava laskemaan logaritmeja, ts. päästä eroon "tuki"-merkistä. Aluksi huomautamme, että määritelmästä seuraa kaksi tärkeää tosiasiaa:
- Argumentin ja kantaluvun on aina oltava suurempi kuin nolla. Tämä seuraa asteen määrittelystä rationaalisen eksponentin avulla, johon logaritmin määritelmä pelkistyy.
- Kanta on eri kuin yksikkö, koska yksikkö mihin tahansa tehoon on silti yksikkö. Tästä johtuen kysymys ”mihin valtaan yksi on nostettava saadakseen kaksi” on merkityksetön. Sellaista tutkintoa ei ole!
Tällaisia rajoituksia kutsutaan voimassa oleva alue(ODZ). Osoittautuu, että logaritmin ODZ näyttää tältä: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Huomaa, että luvulle b (logaritmin arvo) ei ole rajoituksia. Esimerkiksi logaritmi voi hyvinkin olla negatiivinen: log 2 0,5 \u003d -1, koska 0,5 = 2-1.
Nyt tarkastelemme kuitenkin vain numeerisia lausekkeita, joissa ei vaadita logaritmin ODZ:n tuntemista. Ongelman laatijat ovat jo ottaneet kaikki rajoitukset huomioon. Mutta kun logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt tulevat peliin, DHS:n vaatimuksista tulee pakollisia. Pohjassa ja argumentissa voi todellakin olla erittäin vahvoja rakenteita, jotka eivät välttämättä vastaa yllä olevia rajoituksia.
Harkitse nyt yleistä logaritmien laskentajärjestelmää. Se koostuu kolmesta vaiheesta:
- Ilmaise kanta a ja argumentti x potenssina, jonka pienin mahdollinen kanta on suurempi kuin yksi. Matkan varrella on parempi päästä eroon desimaalimurtoluvuista;
- Ratkaise muuttujan b yhtälö: x = a b ;
- Tuloksena oleva luku b on vastaus.
Siinä kaikki! Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, se nähdään jo ensimmäisessä vaiheessa. Vaatimus, jonka mukaan kanta on suurempi kuin yksi, on erittäin tärkeä: tämä vähentää virheen todennäköisyyttä ja yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti. Samoin desimaalilukujen kanssa: jos muutat ne heti tavallisiksi, virheitä tulee monta kertaa vähemmän.
Katsotaanpa, kuinka tämä malli toimii erityisillä esimerkeillä:
Tehtävä. Laske logaritmi: log 5 25
- Esitetään kanta ja argumentti viiden potenssina: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Sain vastauksen: 2.
Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Tehtävä. Laske logaritmi:
Tehtävä. Laske logaritmi: log 4 64
- Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Sain vastauksen: 3.
Tehtävä. Laske logaritmi: log 16 1
- Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Sai vastauksen: 0.
Tehtävä. Laske logaritmi: log 7 14
- Esitetään kanta ja argumentti seitsemän potenssina: 7 = 7 1 ; 14 ei ole esitetty seitsemän potenssina, koska 7 1< 14 < 7 2 ;
- Edellisestä kappaleesta seuraa, että logaritmia ei oteta huomioon;
- Vastaus ei muutu: loki 7 14.
Pieni huomautus viimeiseen esimerkkiin. Kuinka varmistaa, että luku ei ole toisen luvun tarkka potenssi? Hyvin yksinkertaista - hajota se vain päätekijöiksi. Jos laajennuksessa on vähintään kaksi erillistä tekijää, luku ei ole tarkka teho.
Tehtävä. Selvitä ovatko luvun tarkat potenssit: 8; 48; 81; 35; neljätoista.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tarkka tutkinto, koska on vain yksi kerroin;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ei ole tarkka potenssi, koska siinä on kaksi tekijää: 3 ja 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tarkka tutkinto;
35 = 7 5 - ei taaskaan tarkka tutkinto;
14 \u003d 7 2 - ei taaskaan tarkkaa tutkintoa;
Huomaa myös, että alkuluvut itsessään ovat aina itsensä tarkkoja tehoja.
Desimaalilogaritmi
Jotkut logaritmit ovat niin yleisiä, että niillä on erityinen nimi ja nimitys.
X-argumentin desimaalilogaritmi on 10 kantalogaritmi, ts. teho, johon sinun täytyy nostaa numero 10 saadaksesi luvun x. Nimitys: lg x .
Esimerkiksi log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.
Tästä lähtien, kun oppikirjassa esiintyy lause, kuten "Etsi lg 0.01", tiedä, että tämä ei ole kirjoitusvirhe. Tämä on desimaalilogaritmi. Jos et kuitenkaan ole tottunut sellaiseen nimitykseen, voit aina kirjoittaa sen uudelleen:
log x = log 10 x
Kaikki mikä on totta tavallisille logaritmeille, pätee myös desimaaleille.
luonnollinen logaritmi
On toinen logaritmi, jolla on oma merkintätapansa. Tietyssä mielessä se on jopa tärkeämpi kuin desimaali. Tämä on luonnollinen logaritmi.
X:n luonnollinen logaritmi on e-kantalogaritmi, ts. teho, johon luku e on nostettava, jotta saadaan luku x. Nimitys: ln x .
Monet kysyvät: mikä muu on numero e? Tämä on irrationaalinen luku, sen tarkkaa arvoa ei voida löytää ja kirjoittaa ylös. Tässä vain ensimmäiset numerot:
e = 2,718281828459...
Emme ota kantaa siihen, mikä tämä numero on ja miksi sitä tarvitaan. Muista vain, että e on luonnollisen logaritmin kanta:
ln x = log e x
Siten ln e = 1 ; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Toisaalta ln 2 on irrationaalinen luku. Yleensä minkä tahansa rationaaliluvun luonnollinen logaritmi on irrationaalinen. Paitsi tietysti yhtenäisyys: ln 1 = 0.
Luonnollisille logaritmeille pätevät kaikki säännöt, jotka pätevät tavallisille logaritmeille.
