Tarkastellaan pisteiden projektioita kahdelle tasolle, joille otetaan kaksi kohtisuoraa tasoa (kuva 4), joita kutsutaan vaakasuuntaisiksi frontaaliksi ja tasoiksi. Näiden tasojen leikkausviivaa kutsutaan projektioakseliksi. Projisoimme yhden pisteen A tarkasteltaville tasoille tasaisen projektion avulla. Tätä varten on tarpeen laskea kohtisuorat Aa ja A annetusta pisteestä tarkasteltaville tasoille.

Projisointia vaakatasolle kutsutaan suunnittelunäkymä pisteitä MUTTA, ja projektio a? etutasossa kutsutaan edestä projektio.

Kuvaavassa geometriassa projisoitavat pisteet on yleensä merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla. A, B, C. Pieniä kirjaimia käytetään osoittamaan pisteiden vaakasuuntaisia ​​projektioita. a, b, c... Frontaaliset ulkonemat on merkitty pienillä kirjaimilla ja viivalla yläosassa a?, b?, c?…

Pisteiden merkintää roomalaisilla numeroilla I, II, ... käytetään myös ja niiden projektioissa - arabialaisilla numeroilla 1, 2 ... ja 1?, 2? ...

Kun vaakatasoa käännetään 90°, saadaan piirustus, jossa molemmat tasot ovat samassa tasossa (kuva 5). Tämä kuva on ns pisteen juoni.

kohtisuorien viivojen kautta Ah ja Ah? piirrä taso (kuva 4). Tuloksena oleva taso on kohtisuorassa etu- ja vaakatasoon nähden, koska se sisältää kohtisuorat näihin tasoihin nähden. Siksi tämä taso on kohtisuorassa tasojen leikkausviivaa vastaan. Tuloksena oleva suora leikkaa vaakatason suorassa linjassa aa x ja etutaso - suorassa linjassa häh? X. Suoraan aah ja häh? x ovat kohtisuorassa tasojen leikkausakseliin nähden. Tuo on Aaah? on suorakulmio.

Kun yhdistät vaaka- ja etuprojektiotasot a ja a? sijaitsee kohtisuorassa tasojen leikkausakseliin nähden, koska kun vaakataso pyörii, segmenttien kohtisuora aa x ja häh? x ei ole rikki.

Saamme sen projektiokaaviosta a ja a? jokin kohta MUTTA sijaitsevat aina samalla kohtisuorassa tasojen leikkausakseliin nähden.

Kaksi projektiota a ja a? jonkin pisteen A voi yksiselitteisesti määrittää sijaintinsa avaruudessa (kuva 4). Tämän vahvistaa se tosiasia, että kun rakennetaan kohtisuora projektiosta a vaakatasoon, se kulkee pisteen A läpi. Samoin projektiosta tuleva kohtisuora a? etutasoon kulkee pisteen läpi MUTTA, eli piste MUTTA sijaitsee kahdella määrätyllä linjalla samanaikaisesti. Piste A on niiden leikkauspiste, eli se on määrätty.

Harkitse suorakulmiota Aaa X a?(Kuva 5), ​​joille seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

1) Pisteetäisyys MUTTA etutasosta on yhtä suuri kuin sen vaakaprojektion a etäisyys tasojen leikkausakselista, ts.

Ah? = aa X;

2) pisteetäisyys MUTTA projektioiden vaakatasosta on yhtä suuri kuin sen etuprojektion etäisyys a? tasojen leikkausakselilta, ts.

Ah = häh? X.

Toisin sanoen, jopa ilman itse pistettä kuvaajalla, käyttämällä vain sen kahta projektiota, voit selvittää, millä etäisyydellä kustakin projektiotasosta tämä piste sijaitsee.

Kahden projektiotason leikkauspiste jakaa avaruuden neljään osaan, joita kutsutaan neljännekset(Kuva 6).

Tasojen leikkausakseli jakaa vaakatason kahteen neljännekseen - etu- ja takaosaan ja etutason - ylempään ja alempaan neljännekseen. Etutason yläosa ja vaakatason etuosa katsotaan ensimmäisen neljänneksen rajoihin.

Kun kaavio on vastaanotettu, vaakataso pyörii ja osuu yhteen etutason kanssa (kuva 7). Tässä tapauksessa vaakatason etuosa osuu yhteen etutason alaosan kanssa ja vaakatason takaosa etutason yläosan kanssa.

Kuvissa 8-11 on esitetty pisteet A, B, C, D, jotka sijaitsevat avaruuden eri neljänneksissä. Piste A on ensimmäisellä neljänneksellä, piste B on toisella, piste C on kolmannella ja piste D on neljännellä.

Kun pisteet sijaitsevat niiden ensimmäisellä tai neljännellä neljänneksellä vaakasuuntaiset projektiot sijaitsevat vaakatason etuosassa, ja kaaviossa ne sijaitsevat tasojen leikkausakselin alapuolella. Kun piste sijaitsee toisella tai kolmannella neljänneksellä, sen vaakasuora projektio on vaakasuoran tason takana, ja kuvaajalla se on tasojen leikkausakselin yläpuolella.

Etuprojektiot pisteet, jotka sijaitsevat ensimmäisellä tai toisella neljänneksellä, sijaitsevat etutason yläosassa, ja kaaviossa ne sijaitsevat tasojen leikkausakselin yläpuolella. Kun piste sijaitsee kolmannella tai neljännellä neljänneksellä, sen etuprojektio on tasojen leikkausakselin alapuolella.

Useimmiten todellisissa rakenteissa hahmo sijoitetaan tilan ensimmäiseen neljännekseen.

Joissakin erityistapauksissa kohta ( E) voi olla vaakatasossa (kuva 12). Tässä tapauksessa sen vaakasuora projektio e ja itse piste kohtaavat. Tällaisen pisteen etuprojektio on tasojen leikkauspisteen akselilla.

Siinä tapauksessa, että kohta Vastaanottaja sijaitsee etutasolla (kuva 13), sen vaakasuora projektio k sijaitsee tasojen ja etuosan leikkausakselilla k? näyttää pisteen todellisen sijainnin.

Tällaisten pisteiden kohdalla merkki siitä, että se sijaitsee jollakin projektiotasolla, on, että yksi sen projektioista on tasojen leikkausakselilla.

Jos piste sijaitsee projektiotasojen leikkausakselilla, se ja sen molemmat projektiot osuvat yhteen.

Kun piste ei ole projektiotasoilla, sitä kutsutaan yleisen kannan piste. Jatkossa, jos erityisiä merkkejä ei ole, tarkasteltavana oleva kohta on yleisasema.

2. Projektioakselin puute

Selittääksesi, kuinka mallissa saadaan pisteen projektiot kohtisuoraan projektiotasolle (kuva 4), on otettava pala paksua paperia pitkänomaisen suorakulmion muodossa. Se on taivutettava ulokkeiden välillä. Taittoviiva kuvaa tasojen leikkauspisteen akselia. Jos sen jälkeen taivutettua paperia suoristetaan uudelleen, saadaan samanlainen kaavio kuin kuvassa.

Yhdistämällä kaksi projektiotasoa piirustustason kanssa et voi näyttää taittoviivaa, eli älä piirrä tasojen leikkausakselia kaavioon.

Kun rakennat kaavioon, sinun tulee aina sijoittaa projektiot a ja a? piste A yhdellä pystysuoralla viivalla (kuva 14), joka on kohtisuorassa tasojen leikkausakselia vastaan. Siksi, vaikka tasojen leikkausakselin sijainti jää määrittelemättömäksi, mutta sen suunta on määritetty, tasojen leikkausakseli voi olla vain kohtisuorassa kaaviossa olevaan suoraan nähden Ah?.

Jos pistekaaviossa ei ole projektioakselia, kuten ensimmäisessä kuvassa 14a, voit kuvitella tämän pisteen sijainnin avaruudessa. Voit tehdä tämän piirtämällä mihin tahansa kohtaan, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan Ah? projektioakselilla, kuten toisessa kuvassa (kuva 14), ja taivuta piirustus tätä akselia pitkin. Jos palautamme kohtisuorat pisteisiin a ja a? ennen kuin ne leikkaavat, voit saada pisteen MUTTA. Projektioakselin paikkaa muutettaessa saadaan eri pisteen paikkoja suhteessa projektiotasoihin, mutta projektioakselin sijainnin epävarmuus ei vaikuta useiden pisteiden tai kuvioiden suhteelliseen asemaan avaruudessa.

3. Pisteen projektiot kolmelle projektiotasolle

Harkitse projektioiden profiilitasoa. Projektit kahdessa kohtisuorassa tasossa määrittävät yleensä kuvion sijainnin ja mahdollistavat sen todellisten mittojen ja muodon selvittämisen. Mutta on aikoja, jolloin kaksi projektiota ei riitä. Käytä sitten kolmannen projektion rakennetta.

Kolmas projektiotaso suoritetaan siten, että se on kohtisuorassa molempiin projektiotasoihin samanaikaisesti (kuva 15). Kolmas kone on nimeltään profiili.

Tällaisissa rakenteissa kutsutaan vaaka- ja etutason yhteistä linjaa akseli X , vaaka- ja profiilitason yhteinen viiva - akseli klo , ja etu- ja profiilitason yhteinen suora - akseli z . Piste O, joka kuuluu kaikkiin kolmeen tasoon, kutsutaan lähtöpisteeksi.

Kuva 15a esittää pisteen MUTTA ja kolme sen projektiota. Projektio profiilitasoon ( a??) kutsutaan profiilin projektio ja merkitsee a??.

Saadaksesi kaavion pisteestä A, joka koostuu kolmesta projektiosta a, a a, on tarpeen leikata kaikkien y-akselin tasojen muodostama kolmio (kuva 15b) ja yhdistää kaikki nämä tasot frontaalisen projektion tasoon. Vaakatasoa on käännettävä akselin ympäri X, ja profiilitaso on lähellä akselia z kuvan 15 nuolen osoittamaan suuntaan.

Kuva 16 näyttää ulokkeiden sijainnin ah, häh? ja a?? pisteitä MUTTA, joka saadaan yhdistämällä kaikki kolme tasoa piirustustason kanssa.

Leikkauksen seurauksena y-akseli esiintyy kaaviossa kahdessa eri paikassa. Vaakatasossa (kuva 16) se ottaa pystyasennon (suoraan akseliin nähden). X), ja profiilitasolla - vaakasuora (suoraan akseliin nähden z).

Kuvassa 16 on kolme projektiota ah, häh? ja a?? pisteillä A on tiukasti määritelty sijainti kaaviossa ja niihin sovelletaan yksiselitteisiä ehtoja:

a ja a? tulee aina sijaita yhdellä pystysuoralla linjalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden X;

a? ja a?? tulee aina sijaita samalla vaakaviivalla, joka on kohtisuorassa akseliin nähden z;

3) vedettynä vaakaprojektion ja vaakaviivan läpi, mutta profiiliprojektion läpi a??- pystysuora suora, rakennetut viivat leikkaavat välttämättä projektioakseleiden välisen kulman puolittajalla, koska kuva Oa klo a 0 a n on neliö.

Kun rakennetaan kolme pisteen projektiota, on tarpeen tarkistaa kunkin pisteen kaikkien kolmen ehdon täyttyminen.

4. Pistekoordinaatit

Pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää käyttämällä kolmea numeroa, joita kutsutaan pisteeksi koordinaatit. Jokainen koordinaatti vastaa pisteen etäisyyttä jostakin projektiotasosta.

Pisteetäisyys MUTTA profiilitasolle on koordinaatti X, jossa X = häh?(Kuva 15), etäisyys etutasosta - koordinaatilla y, ja y = häh?, ja etäisyys vaakatasoon on koordinaatti z, jossa z = aA.

Kuvassa 15 piste A on suorakaiteen muotoisen laatikon leveydellä ja tämän laatikon mitat vastaavat tämän pisteen koordinaatteja, eli kukin koordinaateista on esitetty kuvassa 15 neljä kertaa, eli:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Kaaviossa (kuva 16) x- ja z-koordinaatit esiintyvät kolme kertaa:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Kaikki segmentit, jotka vastaavat koordinaattia X(tai z) ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Koordinaatti klo esitetty kahdesti pystyakselilla:

y \u003d Oa y \u003d a x a

ja kahdesti - sijoitettu vaakasuoraan:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Tämä ero ilmeni siitä, että y-akseli on kaaviossa kahdessa eri paikassa.

On huomattava, että kunkin projektion sijainti määritetään kaaviossa vain kahdella koordinaatilla, nimittäin:

1) vaaka - koordinaatit X ja klo,

2) frontaalinen - koordinaatit x ja z,

3) profiili - koordinaatit klo ja z.

Koordinaattien käyttö x, y ja z, voit rakentaa pisteen projektiot kaavioon.

Jos piste A on annettu koordinaateilla, niiden tietue määritellään seuraavasti: A ( X; y; z).

Pisteprojektioita rakennettaessa MUTTA seuraavat ehdot on tarkistettava:

1) vaaka- ja etuulokkeet a ja a? X X;

2) etu- ja profiiliulokkeet a? ja a? tulee sijoittaa samaan kohtisuoraan akseliin nähden z, koska niillä on yhteinen koordinaatti z;

3) vaakaprojektio ja myös poistettu akselilta X, kuten profiilin projektio a poispäin akselista z, koska projektio ah? ja häh? niillä on yhteinen koordinaatti klo.

Jos piste sijaitsee jossakin projektiotasossa, niin yksi sen koordinaateista on nolla.

Kun piste on projektioakselilla, sen kaksi koordinaattia ovat nolla.

Jos piste sijaitsee origossa, kaikki sen kolme koordinaattia ovat nollia.

PISTEIDEN PROJEKTIOT.

ORTOGONAALINEN JÄRJESTELMÄ KAHDEN PROJEKTIOTASOJEN JÄRJESTELMÄSTÄ.

Ortogonaalisen projektiomenetelmän olemus on siinä, että kohde heijastetaan kahdelle keskenään kohtisuoralle tasolle säteet, jotka ovat kohtisuorassa (pystysuorassa) näihin tasoihin nähden.

Yksi projektiotasoista H on sijoitettu vaakasuoraan ja toinen V on asetettu pystysuoraan. Tasoa H kutsutaan projektioiden vaakatasoksi, V - frontaaliksi. Tasot H ja V ovat äärettömiä ja läpinäkymättömiä. Projektitasojen leikkausviivaa kutsutaan koordinaattiakseliksi ja sitä merkitään HÄRKÄ. Projektiotasot jakavat avaruuden neljään dihedraaliseen kulmaan - neljänneksiin.

Kun otetaan huomioon ortogonaaliset projektiot, oletetaan, että havainnoija on ensimmäisellä neljänneksellä äärettömän suurella etäisyydellä projektiotasoista. Koska nämä tasot ovat läpinäkymättömiä, vain ne pisteet, viivat ja luvut, jotka sijaitsevat samalla ensimmäisellä neljänneksellä, näkyvät tarkkailijalle.

Projektioita rakennettaessa on syytä muistaa tämä pisteen ortogonaalinen projektiotasossa kutsutaan tietystä pisteestä pudonneen kohtisuoran kantaatähän koneeseen.

Kuvassa näkyy piste MUTTA ja sen ortogonaaliset projektiot a 1 ja a 2.

kohta a 1 nimeltään suunnittelunäkymä pisteitä MUTTA, kohta a 2- hänen edestä projektio. Jokainen niistä on pisteestä pudotetun kohtisuoran kanta MUTTA vastaavasti lentokoneessa H ja V.

Se voidaan todistaa pisteen projektioaina suorilla viivoilla, kohtisuorassakulmainen akseliVAI NIIN ja ylittää tämän akselinsamassa kohdassa. Todellakin, projisoivat säteet MUTTAa 1 ja MUTTAa 2 määritellä taso, joka on kohtisuorassa projektiotasoja ja niiden leikkausviivoja vastaan ​​- akselit VAI NIIN. Tämä taso leikkaa H ja V suorissa linjoissa a 1 ax ja a 1 ax, jotka muodostuvat akselin kanssa HÄRKÄ ja toistensa kanssa suorat kulmat huippupisteen kanssa pisteessä ax.

Myös päinvastoin, ts. jos projektiotasoilla on pisteeta 1 ja a 2 , sijaitsevat risteävillä suorilla viivoilla akseli HÄRKÄtässä vaiheessa suorassa kulmassa,niin ne ovat joidenkin ennusteitapisteet A. Tämä piste määräytyy pisteistä muodostettujen kohtisuorien leikkauspisteestä a 1 ja a 2 lentokoneisiin H ja V.

Huomaa, että projektiotasojen sijainti avaruudessa voi olla erilainen. Esimerkiksi molemmat tasot, jotka ovat keskenään kohtisuorassa, voivat olla pystysuorat, mutta tässä tapauksessa yllä oleva oletus pisteiden vastakkaisten projektioiden suunnasta suhteessa akseliin pysyy voimassa.

Saadaksesi tasaisen piirustuksen, joka koostuu yllä olevista projektioista, taso H kohdistettu pyörittämällä akselin ympäri HÄRKÄ lentokoneen kanssa V kuten kuvan nuolet osoittavat. Tämän seurauksena etupuolitaso H kohdistetaan alemman puolitason kanssa V, ja takapuolitaso H- ylemmällä puolitasolla V.

Projektiopiirustus, jossa projektiotasot ja kaikki niillä kuvattu on yhdistetty tietyllä tavalla toisiinsa, on ns. kaavio(ranskasta epure - piirustus). Kuvassa on kaavio pisteestä MUTTA.

Tällä tasojen yhdistämismenetelmällä H ja V ennusteita a 1 ja a 2 sijoitetaan samaan kohtisuoraan akseliin nähden HÄRKÄ. Samaan aikaan etäisyys a 1 x — pisteen vaakaprojektiosta akselille HÄRKÄ MUTTA koneeseen asti V ja etäisyys a 2 x — pisteen etuprojektiosta akselille HÄRKÄ yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä MUTTA koneeseen asti H.

Suorat viivat, jotka yhdistävät kaavion pisteen vastakkaiset projektiot, suostumme kutsumaan projektioviestintälinjat.

Pisteiden projektioiden sijainti kaaviossa riippuu neljänneksestä, jossa annettu piste sijaitsee. Joten jos pointti AT sijaitsee toisella neljänneksellä, sitten tasojen kohdistuksen jälkeen molemmat projektiot ovat akselin yläpuolella HÄRKÄ.

Jos kohta FROM on kolmannella neljänneksellä, silloin sen vaakaprojektio tasojen yhdistämisen jälkeen on akselin yläpuolella ja etuprojektio on akselin alapuolella HÄRKÄ. Lopuksi, jos kohta D sijaitsee neljännellä neljänneksellä, niin sen molemmat ennusteet ovat akselin alla HÄRKÄ. Kuvassa näkyy pisteet M ja N makaa projektiotasoilla. Tässä asennossa piste osuu yhteen projektionsa kanssa, kun taas sen toinen projektio osoittautuu makaavaksi akselilla HÄRKÄ. Tämä ominaisuus näkyy myös nimeämisessä: lähellä projektiota, jonka kanssa piste itse osuu yhteen, kirjoitetaan iso kirjain ilman indeksiä.

On myös huomattava, että tapaus, jossa pisteen molemmat projektiot osuvat yhteen. Tämä tapahtuu, jos piste on toisella tai neljännellä neljänneksellä samalla etäisyydellä projektiotasoista. Molemmat projektiot yhdistetään itse pisteeseen, jos jälkimmäinen sijaitsee akselilla HÄRKÄ.

KOLMEN PROJEKTIOTASOJEN ORTOGONAALINEN JÄRJESTELMÄ.

Edellä on osoitettu, että pisteen kaksi projektiota määrää sen sijainnin avaruudessa. Koska jokainen kuvio tai kappale on kokoelma pisteitä, voidaan väittää, että esineen kaksi ortogonaalista projektiota (kirjainmerkintöjen läsnä ollessa) määräävät täysin sen muodon.

Käytännössä rakennusrakenteiden, koneiden ja erilaisten teknisten rakenteiden kuvaamisessa on kuitenkin tarpeen luoda lisäprojekteja. He tekevät tämän vain tehdäkseen projektiopiirroksen selkeämmän ja luettavamman.

Kolmen projektiotason malli on esitetty kuvassa. Kolmas taso, kohtisuorassa ja H ja V, merkitty kirjaimella W ja soitti profiili.

Tämän tason pisteiden projektioita kutsutaan myös profiiliksi, ja ne on merkitty isoilla kirjaimilla tai numeroilla indeksillä 3 (ah,bh,ch,...1h, 2h, 33...).

Projektitasot, jotka leikkaavat pareittain, määrittelevät kolme akselia: OX, OY ja OZ, jota voidaan pitää suorakaiteen muotoisten suorakulmaisten koordinaattien järjestelmänä avaruudessa, jonka origo on pisteessä O. Kuvassa esitetty merkkijärjestelmä vastaa "oikeaa" koordinaattijärjestelmää.

Kolme projektiotasoa jakaa avaruuden kahdeksaan kolmikulmaiseen kulmaan - nämä ovat ns oktantit. Oktanttien numerointi on esitetty kuvassa.

Saadaksesi juoni lentokoneesta H ja W pyöritä kuvan osoittamalla tavalla, kunnes se on linjassa tason kanssa V. Kierron seurauksena etupuolitaso H osoittautuu kohdakkain alemman puolitason kanssa V, ja takapuolitaso H- ylemmällä puolitasolla V. Kierrettynä 90° akselin ympäri OZ etupuolitaso W osuu yhteen oikean puolitason kanssa V, ja takapuolitaso W- vasemmalla puolitasolla V.

Lopullinen kuva kaikista yhdistetyistä projektiotasoista on esitetty kuvassa. Tässä piirustuksessa akselit OX ja OZ, makaa kiinteässä tasossa V, näytetään vain kerran ja akseli OY näytetään kahdesti. Tämä selittyy sillä, että pyöriminen koneen mukana H, akseli OY kaaviossa on linjassa akselin kanssa OZ, pyöriessään koneen kanssa W, sama akseli on kohdistettu akselin kanssa OX.

Jatkossa kaavion akseleita määritettäessä negatiiviset puoliakselit (- OX, — OY, — OZ) ei ilmoiteta.

KOLME KOORDINAATTIA JA KOLME PISTEEN JA SEN SÄTEVEKTORIN PROJEKTIOT.

Koordinaatit ovat numeroitalaita kirjeenvaihto määritettävän pisteen kanssaniya sen sijainnista avaruudessa tai sen päälläpinnat.

Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen sijainti asetetaan suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien avulla x, y ja z.

Koordinaatti X nimeltään abskissa, klo— ordinaattinen ja z — applikointi. Abskissa X määrittää etäisyyden tietystä pisteestä tasoon W, ordinaatit y - koneeseen asti V ja applikointi z - koneeseen asti H. Otettuaan käyttöön kuvassa esitetyn järjestelmän pisteen koordinaattien laskemiseksi, laadimme taulukon koordinaattien etumerkeistä kaikissa kahdeksassa oktantissa. Mikä tahansa piste avaruudessa MUTTA, Koordinaateilla annettuna, merkitään seuraavasti: A(x, y,z).

Jos x = 5, y = 4 ja z = 6, merkintä on seuraavanlainen MUTTA(5, 4, 6). Tämä kohta MUTTA, joiden kaikki koordinaatit ovat positiivisia, on ensimmäisessä oktantissa

Pistekoordinaatit MUTTA ovat samalla sen sädevektorin koordinaatit

OA koordinaattien alkuperän suhteen. Jos i, j, k ovat yksikkövektoreita, jotka on suunnattu vastaavasti koordinaattiakseleita pitkin x, y,z(kuva) siis

OA =OA x i+OAyj + OAzk , missä OA X, OA U, OA g - vektorin koordinaatit OA

On suositeltavaa rakentaa kuva itse pisteestä ja sen projektioista tilamalliin (kuvaan) käyttämällä koordinaattisuorakulmaista suuntaissärmiötä. Ensinnäkin koordinaattiakseleilla pisteestä O lykätä segmenttejä vastaavasti yhtä suureksi 5, 4 ja 6 pituusyksiköitä. Näillä segmenteillä (Ox , Oa y , Oa z ), kuten reunoihin, rakenna suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö. Sen kärki, vastapäätä origoa, määrittää annetun pisteen MUTTA. Se on helppo nähdä pisteen määrittämiseksi MUTTA riittää, että esimerkiksi suuntaissärmiöstä rakennetaan vain kolme reunaa Ox , a x a 1 ja a 1 MUTTA tai Oa y , a y a 1 ja a 1 A ja niin edelleen Nämä reunat muodostavat koordinaattipolylinjan, jonka kunkin linkin pituus määräytyy pisteen vastaavan koordinaatin mukaan.

Suuntaissärmiön rakentaminen antaa meille kuitenkin mahdollisuuden määrittää paitsi pisteen MUTTA, mutta myös kaikki kolme sen ortogonaalista projektiota.

Säteet projisoivat pisteen tasossa H, V, W ovat suuntaissärmiön kolme reunaa, jotka leikkaavat pisteessä MUTTA.

Jokainen pisteen ortogonaalinen projektio MUTTA, on tasossa, määräytyy vain kahdella koordinaatilla.

Kyllä, vaakasuora projektio a 1 määräytyy koordinaateista X ja y, edestä projektio a 2 - koordinaatit x jaz, profiilin projektio a 3 — koordinaatit klo ja z. Mutta mitkä tahansa kaksi projektiota määrätään kolmella koordinaatilla. Siksi pisteen määrittäminen kahdella projektiolla vastaa pisteen määrittämistä kolmella koordinaatilla.

Kaaviossa (kuvassa), jossa kaikki projektiotasot on yhdistetty, projektiot a 1 ja a 2 on samalla kohtisuorassa akseliin nähden OX, ja ennusteet a 2 ja a 3 — yksi kohtisuorassa akseliin nähden oz.

Mitä tulee ennusteisiin a 1 ja a 3 , sitten ne yhdistetään suorilla viivoilla a 1 a y ja a 3 a y , kohtisuorassa akseliin nähden OY. Mutta koska tällä akselilla on kaksi asemaa kaaviossa, segmentti a 1 a y ei voi olla jatkoa segmentille a 3 a y .

Pisteprojektioiden rakentaminen A (5, 4, 6) kaaviossa annetuissa koordinaateissa ne suoritetaan seuraavassa järjestyksessä: ensinnäkin abskissa-akselille origosta lasketaan segmentti Ox = x(meidän tapauksessamme x =5), sitten pisteen kautta x piirrä kohtisuoraan akseliin nähden OX, jossa merkit huomioon ottaen lykkäämme segmenttejä a x a 1 = y(saamme a 1 ) ja a x a 2 = z(saamme a 2 ). Jäljelle jää pisteen profiiliprojektio a 3 . Koska pisteen profiilin ja etuprojektion tulee sijaita samalla kohtisuorassa akseliin nähden oz , sitten läpi a 3 suoraan a 2 a z ^ oz.

Lopuksi herää viimeinen kysymys: millä etäisyydellä akselista OZ pitäisi olla 3?

Ottaen huomioon koordinaattilaatikon (katso kuva), jonka reunat a z a 3 = O a y = a x a 1 = y päättelemme, että haluttu etäisyys a z a 3 on yhtä suuri y. Jana a z a 3 aseta sivuun OZ-akselin oikealle puolelle, jos y>0, ja vasemmalle, jos y

Katsotaan mitä muutoksia kaaviossa tapahtuu, kun piste alkaa muuttaa sijaintiaan avaruudessa.

Otetaan esimerkiksi piste A (5, 4, 6) liikkuu suorassa linjassa kohtisuorassa tasoon nähden V. Tällaisella liikkeellä vain yksi koordinaatti muuttuu y, näyttää etäisyyden pisteestä tasoon V. Koordinaatit pysyvät vakiona. x jaz , ja näiden koordinaattien määrittämän pisteen projektio, ts. a 2 ei muuta asemaansa.

Mitä tulee ennusteisiin a 1 ja a 3 , niin ensimmäinen alkaa lähestyä akselia OX, toinen - akselille OZ. Kuvissa pisteen uusi sijainti vastaa merkintöjä a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Kun piste on lentokoneessa V(y = 0), kaksi kolmesta projektiosta ( a 1 2 ja a 3 2 ) makaa akseleilla.

Muutettuaan minä oktantti sisään II, piste alkaa siirtyä poispäin koneesta V, koordinoida klo muuttuu negatiiviseksi, sen absoluuttinen arvo kasvaa. Tämän pisteen vaakasuora projektio, joka sijaitsee takapuolitasolla H, tontilla on akselin yläpuolella OX, ja profiiliprojektio, joka on takapuolitasossa W, kaaviossa on akselin vasemmalla puolella OZ. Kuten aina, leikkaa a za 3 3 = y.

Seuraavissa kaavioissa emme merkitse kirjaimilla koordinaattiakselien leikkauspisteitä projektioyhteyden linjojen kanssa. Tämä yksinkertaistaa piirustusta jossain määrin.

Tulevaisuudessa on kaavioita ilman koordinaattiakseleita. Tämä tehdään käytännössä esineitä kuvattaessa, milloin vain itse kuva on olennainenesinettä, ei sen sijaintia suhteessaprojektiotasot.

Projektitasot määritetään tässä tapauksessa tarkkuudella vain yhdensuuntaiseen siirtoon asti (kuva). Yleensä niitä siirretään rinnakkain itsensä kanssa siten, että kaikki kohteen pisteet ovat tason yläpuolella. H ja koneen edessä V. Koska X 12 -akselin sijainti osoittautuu määrittelemättömäksi, kaavion muodostusta ei tässä tapauksessa tarvitse liittää tasojen kiertoon koordinaattiakselin ympäri. Kun vaihdat tasokuvaan H ja V yhdistetään siten, että pisteiden vastakkaiset projektiot sijaitsevat pystysuoralla viivalla.

Pisteiden A ja B akseliton kuvaaja(kuva) eimäärittää heidän asemansa avaruudessa,mutta antaa meille mahdollisuuden arvioida heidän suhteellista suuntautumistaan. Jana △x kuvaa siis pisteen siirtymää MUTTA suhteessa asiaan AT H- ja V-tason suuntaisesti eli △x osoittaa kuinka paljon piste on MUTTA sijaitsee pisteen vasemmalla puolella AT. Pisteen suhteellinen siirtymä V-tasoa vastaan ​​kohtisuorassa suunnassa määräytyy janalla △y, eli pisteellä Ja sisään esimerkissämme lähempänä tarkkailijaa kuin pistettä AT, etäisyys, joka on yhtä suuri kuin △y.

Lopuksi jana △z näyttää pisteen ylityksen MUTTA pisteen yli AT.

Kuvailevan geometrian kurssin akselittoman tutkimuksen kannattajat huomauttavat perustellusti, että monien ongelmien ratkaisemisessa voidaan tehdä ilman koordinaattiakseleita. Niiden täydellistä hylkäämistä ei kuitenkaan voida pitää tarkoituksenmukaisena. Kuvaava geometria on suunniteltu valmistelemaan tulevaa insinööriä paitsi piirustusten pätevään suorittamiseen, myös erilaisten teknisten ongelmien ratkaisemiseen, joiden joukossa tilastatiikan ja mekaniikan ongelmat eivät ole viimeinen paikka. Ja tätä varten on tarpeen kehittää kykyä suunnata tämä tai toinen esine suhteessa karteesisiin koordinaattiakseleihin. Nämä taidot ovat välttämättömiä myös kuvailevan geometrian osien kuten perspektiivin ja aksonometrian opiskelussa. Siksi useisiin tämän kirjan kaavioihin tallennamme kuvia koordinaattiakseleista. Tällaiset piirustukset eivät määritä vain kohteen muotoa, vaan myös sen sijaintia suhteessa projektiotasoihin.

Kuvien rakentamiseksi useista yksityiskohdista on välttämätöntä pystyä löytämään yksittäisten pisteiden projektiot. Esimerkiksi kuvassa 2 esitetystä osasta on vaikea piirtää ylhäältä katsottuna. 139 rakentamatta pisteiden A, B, C, D, E, F jne vaakasuuntaisia ​​projektioita.

Ongelma pisteiden projektioiden löytämisestä annetulla objektin pinnalla ratkaistaan ​​seuraavasti. Ensin löydetään pinnan projektiot, jolla piste sijaitsee. Sitten piirretään liitosviiva projektioon, jossa pintaa edustaa viiva, löydetään pisteen toinen projektio. Kolmas projektio sijaitsee tietoliikennelinjojen leikkauskohdassa.

Harkitse esimerkkiä.

Osasta on annettu kolme projektiota (kuva 140, a). Näkyvällä pinnalla olevan pisteen A vaakasuora projektio a on annettu. Meidän on löydettävä muut tämän kohdan ennusteet.

Ensinnäkin sinun on piirrettävä apuviiva. Jos annetaan kaksi näkymää, niin apuviivan paikka piirustuksessa valitaan mielivaltaisesti, yläkuvan oikealle puolelle siten, että vasemmanpuoleinen näkymä on halutulla etäisyydellä päänäkymästä (kuva 141).

Jos kolme näkymää on jo rakennettu (kuva 142, a), apulinjan paikkaa ei voi valita mielivaltaisesti; sinun on löydettävä piste, jonka läpi se kulkee. Tätä varten riittää, että jatketaan symmetria-akselin vaaka- ja profiiliprojektioiden keskinäiseen leikkauspisteeseen ja piirretään tuloksena olevan pisteen k läpi (kuva 142, b) 45 ° kulmassa oleva suora segmentti, joka on apusuora.

Jos symmetriaakseleita ei ole, jatketaan pisteen k 1 leikkauspisteeseen asti minkä tahansa pinnan vaaka- ja profiiliprojektiot, jotka on projisoitu suorien viivasegmenttien muodossa (kuva 142, b).

Piirrettyään apusuoran he alkavat rakentaa pisteen projektioita (katso kuva 140, b).

Pisteen A etuprojektioiden a" ja profiilin a" tulee sijaita vastaavissa pinnan projektioissa, johon piste A kuuluu. Nämä projektiot löytyvät. Kuvassa 140, b ne on korostettu värein. Piirrä tietoliikennelinjat nuolien osoittamalla tavalla. Yhteyslinjojen ja pinnan projektioiden leikkauspisteistä löytyy halutut projektiot a" ja a".

Pisteiden B, C, D projektioiden rakenne on esitetty kuvassa. 140, viestintälinjoissa nuolilla. Annetut pisteiden projektiot ovat värillisiä. Yhteysviivat piirretään projektioon, jossa pinta on kuvattu viivana, ei kuviona. Siksi ensin löydetään frontaaliprojektio pisteestä C. Profiiliprojektio pisteestä C määräytyy tietoliikennelinjojen leikkauspisteestä.

Jos pintaa ei ole kuvattu viivalla missään projektiossa, niin pisteiden projektioiden muodostamiseen on käytettävä aputasoa. Esim. on annettu pisteen A frontaaliprojektio d, joka sijaitsee kartion pinnalla (kuva 143, a). Aputaso piirretään pohjan kanssa yhdensuuntaisen pisteen läpi, joka leikkaa kartion ympyrässä; sen etuprojektio on suoraviivainen segmentti ja sen vaakaprojektio on ympyrä, jonka halkaisija on yhtä suuri kuin tämän segmentin pituus (kuva 143, b). Piirtämällä yhteysviiva tähän ympyrään pisteestä a saadaan pisteen A vaakasuora projektio.

Pisteen A profiiliprojektio a" löytyy tavalliseen tapaan viestintälinjojen risteyksestä.

Samalla tavalla voidaan löytää esimerkiksi pyramidin tai pallon pinnalla olevan pisteen projektiot. Kun pyramidin leikkaa pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, joka kulkee tietyn pisteen läpi, muodostuu kantaa vastaava kuvio. Annetun pisteen projektiot ovat tämän kuvan projektioissa.

Vastaa kysymyksiin

1. Missä kulmassa apuviiva vedetään?

2. Mihin piirretään apuviiva, jos etu- ja ylänäkymä on annettu, mutta sinun on rakennettava näkymä vasemmalta?

3. Kuinka määrittää apulinjan paikka kolmen tyypin läsnä ollessa?

4. Millä menetelmällä pisteen projektiot muodostetaan tietyn mukaisesti, jos jokin kohteen pinnoista on esitetty suoralla?

5. Mille geometrisille kappaleille ja missä tapauksissa niiden pinnalla olevan pisteen projektiot löydetään aputason avulla?

Tehtävät § 20:een

Harjoitus 68

Kirjoita työkirjaan, mitkä näkymien numeroilla merkittyjen pisteiden projektiot vastaavat opettajan sinulle osoittaman esimerkin (kuva 144, a-d) visuaalisen kuvan kirjaimilla merkittyjä pisteitä.

Harjoitus 69

Kuvassa 145, kirjaimet a-b osoittavat vain yhden projektion joistakin pisteistä. Etsi opettajan sinulle antamasta esimerkistä näiden kärkien jäljellä olevat projektiot ja merkitse ne kirjaimilla. Muodosta jossakin esimerkissä kohteen reunoilla annettujen pisteiden puuttuvat projektiot (kuva 145, d ja e). Korosta värillä niiden reunojen projektiot, joilla pisteet sijaitsevat. Suorita tehtävä läpinäkyvälle paperille, levittämällä se oppikirjan sivulle Ei tarvitse piirtää uudelleen Kuva 145.

Harjoitus 70

Etsi yhden projektion antamat puuttuvat pisteiden projektiot kohteen näkyville pinnoille (kuva 146). Merkitse ne kirjaimilla. Korosta annetut pisteiden projektiot väreillä. Visuaalinen kuva auttaa sinua ratkaisemaan ongelman. Tehtävän voi suorittaa sekä työkirjassa että läpinäkyvälle paperille peittämällä se oppikirjan sivulla. Jälkimmäisessä tapauksessa piirrä kuva uudelleen. 146 ei ole välttämätön.

Harjoitus 71

Piirrä opettajan sinulle antamassa esimerkissä kolme tyyppiä (kuva 147). Rakenna esineen näkyville pinnoille annettujen pisteiden puuttuvat projektiot. Korosta annetut pisteiden projektiot väreillä. Merkitse kaikki pisteprojektiot. Käytä apusuoraa pisteiden projektioiden rakentamiseen. Tee tekninen piirustus ja merkitse siihen annetut kohdat.

Kuvailevan geometrian lyhyt kurssi

Luennot on tarkoitettu tekniikan ja tekniikan erikoisalojen opiskelijoille

Mongen menetelmä

Jos tietoa pisteen etäisyydestä projektiotasoon nähden ei anneta numeerisen merkin avulla, vaan pisteen toisen projektion avulla, joka on rakennettu toiselle projektiotasolle, niin piirustusta kutsutaan kaksi- kuva tai kompleksi. Tällaisten piirustusten rakentamisen perusperiaatteet on esittänyt G. Monge.
Mongen esittämä menetelmä - ortogonaalisen projektion menetelmä, ja kaksi projektiota otetaan kahdelle keskenään kohtisuoralle projektiotasolle - joka tarjoaa tasossa olevien kohteiden kuvien ilmaisukykyä, tarkkuutta ja luettavuutta, oli ja pysyy päämenetelmänä teknisten piirustusten laatimiseen.

Kuva 1.1 Piste kolmen projektiotason järjestelmässä

Kolmen projektiotason malli on esitetty kuvassa 1.1. Kolmas taso, joka on kohtisuorassa sekä P1:een että P2:een nähden, on merkitty kirjaimella P3 ja sitä kutsutaan profiilitasoksi. Tämän tason pisteiden projektiot on merkitty isoilla kirjaimilla tai numeroilla indeksillä 3. Pareittain leikkaavat projektiotasot määrittävät kolme akselia 0x, 0y ja 0z, joita voidaan pitää suorakulmaisten koordinaattien järjestelmänä avaruudessa origon kanssa. pisteessä 0. Kolme projektiotasoa jakaa avaruuden kahdeksaan kolmikulmaiseen kulmaan - oktanttiin. Kuten aiemmin, oletamme, että kohdetta katseleva katsoja on ensimmäisessä oktantissa. Kaavion saamiseksi P1- ja P3-tasojen kolmen projektiotason järjestelmän pisteitä kierretään, kunnes ne osuvat yhteen P2-tason kanssa. Kun akseleita merkitään kaaviossa, negatiivisia puoliakseleita ei yleensä ilmoiteta. Jos vain itse kohteen kuva on merkittävä, ei sen sijainti suhteessa projektiotasoihin, kaavion akseleita ei näytetä. Koordinaatit ovat numeroita, jotka vastaavat pistettä määrittämään sen sijainnin avaruudessa tai pinnalla. Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen sijainti asetetaan käyttämällä suorakulmaisia ​​suorakulmaisia ​​koordinaatteja x, y ja z (abskissa, ordinaatit ja applikaatiot).

Suoran viivan sijainnin määrittämiseksi avaruudessa on olemassa seuraavat menetelmät: 1. Kaksi pistettä (A ja B). Tarkastellaan kahta pistettä avaruudessa A ja B (kuva 2.1). Näiden pisteiden kautta voimme piirtää suoran, saamme janan. Tämän segmentin projektioiden löytämiseksi projektiotasolla on tarpeen löytää pisteiden A ja B projektiot ja yhdistää ne suoralla viivalla. Kukin segmentin projektio projektiotasolla on pienempi kuin segmentti itse:<; <; <.

Kuva 2.1 Suoran sijainnin määrittäminen kahdesta pisteestä

2. Kaksi tasoa (a; b). Tämä asetustapa määräytyy sen perusteella, että kaksi ei-rinnakkaista tasoa leikkaavat avaruudessa suorassa linjassa (tätä menetelmää käsitellään yksityiskohtaisesti alkeistogeometrian aikana).

3. Piste ja kaltevuuskulmat projektiotasoihin nähden. Kun tiedät suoraan kuuluvan pisteen koordinaatit ja sen kaltevuuskulman projektiotasoihin nähden, voit löytää suoran sijainnin avaruudessa.

Riippuen suoran sijainnista suhteessa projektiotasoihin, se voi olla sekä yleisessä että erityisessä asemassa. 1. Suoraa, joka ei ole yhdensuuntainen minkään projektiotason kanssa, kutsutaan suoraksi yleisasennossa (kuva 3.1).

2. Projektitasojen suuntaiset suorat ovat tietyssä paikassa avaruudessa ja niitä kutsutaan tasoviivoiksi. Sen mukaan, minkä projektiotason kanssa annettu suora on yhdensuuntainen, on olemassa:

2.1. Vaakatason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan vaaka- tai ääriviivaviivoiksi (kuva 3.2).

Kuva 3.2 Vaakasuora viiva

2.2. Frontaalitason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan frontaaleiksi tai frontaaleiksi (kuva 3.3).

Kuva 3.3 Etusuora

2.3. Profiilitason suuntaisia ​​suoria projektioita kutsutaan profiiliprojekteiksi (kuva 3.4).

Kuva 3.4 Profiili suora

3. Projisointitasoihin nähden kohtisuorassa olevia suoria viivoja kutsutaan projektioiksi. Suora, joka on kohtisuorassa yhtä projektiotasoa vastaan, on yhdensuuntainen kahden muun kanssa. Riippuen siitä, mihin projektiotasoon tutkittava suora on kohtisuorassa, on:

3.1. Edestä ulkoneva suora - AB (kuva 3.5).

Kuva 3.5 Etuprojektioviiva

3.2. Profiilin ulkoneva suora viiva - AB (kuva 3.6).

Kuva 3.6 Profiilin projisointiviiva

3.3. Vaakasuuntainen suora viiva - AB (kuva 3.7).

Kuva 3.7 Vaakasuoraan ulkoneva viiva

Taso on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä tason käsite otetaan yleensä yhdeksi alkukäsitteistä, jonka geometrian aksioomat määräävät vain epäsuorasti. Joitakin tason tunnusomaisia ​​ominaisuuksia: 1. Taso on pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sen pisteen yhdistävän suoran; 2. Taso on joukko pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana kahdesta annetusta pisteestä.

Tasojen graafisen määrittelyn tapoja Tason sijainti avaruudessa voidaan määrittää:

1. Kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla (kuva 4.1).

Kuva 4.1 Taso, jonka määrittää kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla

2. Suora ja piste, joka ei kuulu tähän suoraan (kuva 4.2).

Kuva 4.2 Taso, jonka määrittää suora ja piste, joka ei kuulu tähän suoraan

3. Kaksi leikkaavaa suoraa (kuva 4.3).

Kuva 4.3 Kahden leikkaavan suoran määrittelemä taso

4. Kaksi yhdensuuntaista viivaa (kuva 4.4).

Kuva 4.4 Kahden yhdensuuntaisen suoran määrittelemä taso

Tason eri sijainti suhteessa projektiotasoihin

Riippuen tason sijainnista projektiotasoihin nähden, se voi olla sekä yleisessä että erityisessä asemassa.

1. Tasoa, joka ei ole kohtisuorassa mihinkään projektiotasoon nähden, kutsutaan yleisasennon tasoksi. Tällainen taso leikkaa kaikki projektiotasot (sillä on kolme jälkeä: - vaakasuuntainen S 1; - frontaalinen S 2; - profiili S 3). Geneerisen tason jäljet ​​leikkaavat pareittain akseleilla pisteissä ax,ay,az. Näitä pisteitä kutsutaan katoamispisteiksi, niitä voidaan pitää annetun tason muodostamien kolmikulmaisten kulmien kärjenä kahdella kolmesta projektiotasosta. Kukin tason jälki on sama kuin sen samanniminen projektio, ja kaksi muuta vastakkaisten nimien projektiota ovat akseleilla (kuva 5.1).

2. Tasot, jotka ovat kohtisuorassa projektiotasoja vastaan ​​- ovat tietyssä paikassa avaruudessa ja niitä kutsutaan projektioiksi. Sen mukaan, mihin projektiotasoon annettu taso on kohtisuorassa, on olemassa:

2.1. Tasoa, joka on kohtisuorassa vaakasuuntaiseen projektiotasoon (S ^ П1) nähden, kutsutaan vaakasuoraan projektiotasolle. Tällaisen tason vaakasuora projektio on suora, joka on myös sen vaakasuuntainen viiva. Minkä tahansa tämän tason kuvioiden kaikkien pisteiden vaakasuora projektio osuu vaakasuuntaisen jäljen kanssa (kuva 5.2).

Kuva 5.2 Vaakasuora projektiotaso

2.2. Taso, joka on kohtisuorassa projektioiden etutasoon (S ^ P2) nähden, on etuprojektiotaso. Tason S frontaaliprojektio on suora, joka osuu yhteen jäljen S 2 kanssa (kuva 5.3).

Kuva 5.3 Etuprojektiotaso

2.3. Profiilitasoon nähden kohtisuorassa oleva taso (S ^ П3) on profiilin projisointitaso. Tällaisen tason erikoistapaus on puolittajataso (kuva 5.4).

Kuva 5.4 Profiilin projisointitaso

3. Tasot, jotka ovat yhdensuuntaiset projektiotasojen kanssa - miehittävät tietyn sijainnin avaruudessa ja niitä kutsutaan tasotasoiksi. Riippuen minkä tason kanssa tutkittava taso on yhdensuuntainen, on olemassa:

3.1. Vaakasuora taso - vaakasuuntaisen projektiotason (S //P1) - (S ^P2, S ^P3) suuntainen taso. Mikä tahansa tämän tason kuvio heijastetaan tasolle P1 ilman vääristymiä ja tasolle P2 ja P3 suoriksi - tason S 2 ja S 3 jäljet ​​(kuva 5.5).

Kuva 5.5 Vaakasuora taso

3.2. Frontaalinen taso - taso, joka on yhdensuuntainen etuprojektiotason kanssa (S //P2), (S ^P1, S ^ P3). Mikä tahansa tämän tason kuvio heijastetaan tasolle P2 ilman vääristymiä ja tasolle P1 ja P3 suoriksi viivoiksi - tason S 1 ja S 3 jäljet ​​(kuva 5.6).

Kuva 5.6 Etutaso

3.3. Profiilitaso - projektioiden profiilitason (S //P3), (S ^P1, S ^P2) suuntainen taso. Mikä tahansa tämän tason kuvio projisoidaan tasolle P3 ilman vääristymiä ja tasolle P1 ja P2 suoriksi viivoiksi - tason S 1 ja S 2 jäljet ​​(kuva 5.7).

Kuva 5.7 Profiilitaso

Lentokoneen jälkiä

Tason jälki on tason leikkausviiva projektiotasojen kanssa. Sen mukaan, minkä projektiotasoista annettu leikkaa, ne erottavat: tason vaaka-, etu- ja profiilijäljet.

Jokainen tason jälki on suora, jonka rakentamista varten on tiedettävä kaksi pistettä tai yksi piste ja suoran suunta (kuten minkä tahansa suoran rakentamisessa). Kuva 5.8 esittää tason S (ABC) etsintäjäljet. Tason S2 frontaaliviiva on muodostettu linjaksi, joka yhdistää kaksi pistettä 12 ja 22, jotka ovat tasoon S kuuluvien vastaavien viivojen etuviivaa. Vaakaviiva S1 on suora, joka kulkee suoran AB ja S x vaakasuuntaisen jäljen läpi. Profiilijälki S 3 - suora viiva, joka yhdistää vaaka- ja etujäljen leikkauspisteet (Sy ja S z) akseleiden kanssa.

Kuva 5.8 Tasojälkien rakentaminen

Suoran ja tason suhteellisen sijainnin määrittäminen on paikkaongelma, jonka ratkaisemiseen käytetään apuleikkaustasojen menetelmää. Menetelmän ydin on seuraava: piirretään aputaso Q suoran läpi ja asetetaan kahden suoran a ja b suhteellinen sijainti, joista viimeinen on apusekanttitason Q ja tämän tason T leikkausviiva ( kuva 6.1).

Kuva 6.1 Apuleikkaustasomenetelmä

Kukin kolmesta mahdollisesta tapauksesta näiden viivojen suhteellisesta sijainnista vastaa samanlaista tapausta linjan ja tason keskinäisestä sijainnista. Joten jos molemmat suorat ovat samat, niin suora a on tasossa T, suorien yhdensuuntaisuus osoittaa suoran ja tason yhdensuuntaisuuden ja lopuksi suorien leikkauspiste vastaa tapausta, jossa suora a leikkaa taso T. Siten on olemassa kolme tapausta suoran ja tason suhteellisesta sijainnista: kuuluu tasoon; Viiva on yhdensuuntainen tason kanssa; Suora leikkaa tason, erikoistapaus - suora on kohtisuorassa tasoon nähden. Harkitse jokaista tapausta.

Koneeseen kuuluva suora viiva

Aksiooma 1. Suora kuuluu tasoon, jos sen kaksi pistettä kuuluvat samaan tasoon (kuva 6.2).

Tehtävä. Annettu taso (n,k) ja yksi suoran m2 projektio. Suoran m puuttuvat projektiot on löydettävä, jos tiedetään sen kuuluvan leikkaavien suorien n ja k antamaan tasoon. Suoran m2 projektio leikkaa suorat n ja k pisteissä B2 ja C2, puuttuvien suoran projektioiden löytämiseksi on löydettävä pisteiden B ja C puuttuvat projektiot suorina n ja k sijaitsevina pisteinä. , vastaavasti. Siten pisteet B ja C kuuluvat leikkaavien suorien n ja k antamaan tasoon ja suora m kulkee näiden pisteiden kautta, mikä tarkoittaa, että aksiooman mukaan suora kuuluu tähän tasoon.

Aksiooma 2. Suora kuuluu tasoon, jos sillä on yksi yhteinen piste tason kanssa ja se on yhdensuuntainen minkä tahansa tässä tasossa sijaitsevan suoran kanssa (kuva 6.3).

Tehtävä. Piirrä pisteen B kautta suora m, jos sen tiedetään kuuluvan n ja k leikkaavien viivojen antamaan tasoon. Olkoon B:n suora n, joka on leikkaussuorien n ja k antamassa tasossa. Projektion B2 kautta piirretään suoran m2 projektio, joka on yhdensuuntainen suoran k2 kanssa, jotta löydettäisiin suoran puuttuvat projektiot, on tarpeen rakentaa pisteen B1 projektio pisteeksi, joka sijaitsee suoran n1 projektiossa ja piirrä sen läpi kulkevan suoran m1 projektio yhdensuuntaisesti projektion k1 kanssa. Siten pisteet B kuuluvat leikkaavien suorien n ja k antamaan tasoon ja suora m kulkee tämän pisteen kautta ja on yhdensuuntainen suoran k kanssa, mikä tarkoittaa, että aksiooman mukaan suora kuuluu tähän tasoon.

Kuva 6.3 Suoralla on yksi yhteinen piste tason kanssa ja se on yhdensuuntainen tässä tasossa olevan suoran kanssa

Päälinjat tasossa

Tasoon kuuluvien suorien viivojen joukossa erityinen paikka on suorilla viivoilla, jotka ovat tietyssä paikassa avaruudessa:

1. Vaakasuuntaiset h - suorat viivat, jotka sijaitsevat tietyssä tasossa ja ovat yhdensuuntaisia ​​projektioiden vaakatason kanssa (h / / P1) (kuva 6.4).

Kuva 6.4 Vaaka

2. Frontaalit f - suorat viivat, jotka sijaitsevat tasossa ja ovat yhdensuuntaisia ​​projektioiden etutason kanssa (f / / P2) (kuva 6.5).

Kuva 6.5 Etuosa

3. Profiilisuorat p - suorat viivat, jotka ovat tietyssä tasossa ja yhdensuuntaiset projektioiden profiilitason kanssa (p / / P3) (kuva 6.6). On huomattava, että koneen jälkiä voidaan myös liittää päälinjoihin. Vaakasuora viiva on tason vaakasuora, frontaali on etuosa ja profiili on tason profiiliviiva.

Kuva 6.6 Profiili suora

4. Suurimman kaltevuuden viiva ja sen vaakasuora projektio muodostavat lineaarisen kulman j, joka mittaa tämän tason muodostaman dihedraalisen kulman ja projektioiden vaakatason (kuva 6.7). On selvää, että jos suoralla ei ole kahta yhteistä pistettä tason kanssa, se on joko yhdensuuntainen tason kanssa tai leikkaa sen.

Kuva 6.7 Suurimman rinteen viiva

Pisteen ja tason keskinäinen sijainti

Pisteen ja tason keskinäiseen järjestelyyn on kaksi vaihtoehtoa: joko piste kuuluu tasoon tai ei. Jos piste kuuluu tasoon, vain yksi kolmesta projektiosta, jotka määräävät pisteen sijainnin avaruudessa, voidaan asettaa mielivaltaisesti. Tarkastellaan esimerkkiä (kuva 6.8): Kahden rinnakkaisen suoran a(a//b) antamaan yleiseen asematasoon kuuluvan pisteen A projektion rakentaminen.

Tehtävä. Annettu: taso T(a,b) ja pisteen A2 projektio. Projektio A1 on rakennettava, jos tiedetään, että piste A on tasossa c,a. Pisteen A2 kautta piirretään suoran m2 projektio, joka leikkaa suorien a2 ja b2 projektiot pisteissä C2 ja B2. Kun on rakennettu pisteiden C1 ja B1 projektiot, jotka määrittävät m1:n sijainnin, löydämme pisteen A vaakaprojektion.

Kuva 6.8. Koneeseen kuuluva piste

Kaksi avaruudessa olevaa tasoa voivat olla joko keskenään yhdensuuntaisia, tietyssä tapauksessa yhteneväisiä keskenään tai leikkaavat toisiaan. Toisiaan kohtisuorat tasot ovat leikkaustasojen erikoistapaus.

1. Yhdensuuntaiset tasot. Tasot ovat yhdensuuntaisia, jos yhden tason kaksi leikkaavaa suoraa ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​toisen tason kahden leikkaavan suoran kanssa. Tätä määritelmää havainnollistaa hyvin tehtävä pisteen B kautta piirtää taso, joka on yhdensuuntainen kahden leikkaavan suoran ab antaman tason kanssa (kuva 7.1). Tehtävä. Annettu: kahden leikkaavan suoran ab ja pisteen B antama taso yleisasemassa. Pisteen B kautta on piirrettävä tason ab kanssa yhdensuuntainen taso ja määriteltävä se kahdella leikkaavalla suoralla c ja d. Määritelmän mukaan, jos yhden tason kaksi leikkaavaa suoraa ovat vastaavasti yhdensuuntaisia ​​toisen tason kahden leikkaavan suoran kanssa, niin nämä tasot ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Yhdensuuntaisten viivojen piirtämiseksi kaavioon on käytettävä rinnakkaisen projektion ominaisuutta - yhdensuuntaisten viivojen projektiot ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Kuva 7.1. Yhdensuuntaiset tasot

2. Leikkaavat tasot, erikoistapaus - keskenään kohtisuorat tasot. Kahden tason leikkausviiva on suora, jonka rakentamiseen riittää, että määritetään sen kaksi molemmille tasoille yhteistä pistettä tai yksi piste ja tasojen leikkausviivan suunta. Tarkastellaan kahden tason leikkausviivan rakennetta, kun toinen niistä ulkonee (kuva 7.2).

Tehtävä. Annettu: yleisasemassa oleva taso on annettu kolmiolla ABC, ja toinen taso on vaakasuoraan projektio T. Tasojen leikkausviiva on rakennettava. Tehtävän ratkaisuna on löytää kaksi näille tasoille yhteistä pistettä, joiden läpi voidaan vetää suora. Kolmion ABC määrittelemä taso voidaan esittää suorina (AB), (AC), (BC). Suoran (AB) leikkauspiste tason T kanssa - piste D, suora (AC) -F. Jana määrittelee tasojen leikkauslinjan. Koska T on vaakatasossa projektio, projektio D1F1 osuu yhteen tason T1 jäljen kanssa, joten jää vain rakentaa puuttuvat projektiot P2:lle ja P3:lle.

Kuva 7.2. Yleistason leikkauspiste vaakasuunnassa ulkonevan tason kanssa

Siirrytään yleiseen tapaukseen. Olkoon kaksi geneeristä tasoa a(m,n) ja b (ABC) avaruudessa (kuva 7.3).

Kuva 7.3. Tasojen leikkauspiste yleisessä asennossa

Tarkastellaan tasojen a(m//n) ja b(ABC) leikkausviivan konstruointisarjaa. Analogisesti edellisen tehtävän kanssa näiden tasojen leikkausviivan löytämiseksi piirretään apuviivat g ja d. Etsitään näiden tasojen leikkausviivat tarkasteltavien tasojen kanssa. Taso g leikkaa tason a pitkin suoraa (12) ja tason b - pitkin suoraa (34). Piste K - näiden viivojen leikkauspiste kuuluu samanaikaisesti kolmeen tasoon a, b ja g, ollen piste, joka kuuluu tasojen a ja b leikkausviivaan. Taso d leikkaa tasot a ja b pitkin viivoja (56) ja (7C), vastaavasti, niiden leikkauspiste M sijaitsee samanaikaisesti kolmessa tasossa a, b, d ja kuuluu tasojen a ja b leikkaussuoraan. Siten löydetään kaksi pistettä, jotka kuuluvat tasojen a ja b leikkausviivaan - suora (KM).

Jonkin verran yksinkertaistamista tasojen leikkausviivan rakentamisessa voidaan saavuttaa, jos apuseikkaustasot vedetään tason määrittävien suorien läpi.

Toisiaan kohtisuorat tasot. Stereometriasta tiedetään, että kaksi tasoa ovat keskenään kohtisuorassa, jos toinen niistä kulkee kohtisuoran läpi toiseen nähden. Pisteen A kautta voit piirtää joukon tasoja, jotka ovat kohtisuorassa annettuun tasoon a (f, h). Nämä tasot muodostavat avaruudessa tasokimpun, jonka akseli on pisteestä A tasoon a pudonnut kohtisuora. Jotta piirretään taso, joka on kohtisuorassa pisteestä A kahden leikkaavan suoran hf antamaan tasoon nähden, on piirrettävä suora n, joka on kohtisuorassa tasoon hf nähden pisteestä A (vaakaprojektio n on kohtisuorassa pisteen A tasoon hf nähden vaakasuora h, frontaaliprojektio n on kohtisuorassa frontaalin f). Mikä tahansa suoran n läpi kulkeva taso on kohtisuorassa tasoon hf nähden, joten tason asettamiseksi pisteiden A kautta piirrämme mielivaltaisen suoran m. Kahden leikkaavan suoran mn antama taso on kohtisuorassa hf-tasoon nähden (kuva 7.4).

Kuva 7.4. Toisiaan kohtisuorat tasot

Taso-rinnakkaisliikemenetelmä

Projisoidun kohteen ja projektiotasojen suhteellisen sijainnin muuttaminen taso-rinnakkaisliikkeen menetelmällä suoritetaan muuttamalla geometrisen kohteen sijaintia siten, että sen pisteiden liikerata on yhdensuuntaisissa tasoissa. Liikkuvien pisteiden lentoratojen kantotasot ovat yhdensuuntaisia ​​minkä tahansa projektiotason kanssa (kuva 8.1). Rata on mielivaltainen viiva. Geometrisen kohteen rinnakkaisessa siirrossa suhteessa projektiotasoihin kuvan projektio, vaikka se muuttaa sijaintiaan, pysyy yhteneväisenä kuvion projektion kanssa sen alkuperäisessä asennossa.

Kuva 8.1 Segmentin luonnollisen koon määritys tasosuuntaisen liikkeen menetelmällä

Taso-rinnakkaisliikkeen ominaisuudet:

1. Pisteiden missä tahansa liikkeessä tason P1 suuntaisessa tasossa sen frontaaliprojektio liikkuu x-akselin suuntaista suoraa pitkin.

2. Jos piste liikkuu mielivaltaisesti P2:n suuntaisessa tasossa, sen vaakasuora projektio liikkuu x-akselin suuntaista suoraa pitkin.

Kiertomenetelmä projektiotasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri

Pisteiden liikeratojen kantotasot ovat yhdensuuntaiset projektiotason kanssa. Liikerata - ympyrän kaari, jonka keskipiste sijaitsee akselilla, joka on kohtisuorassa projektiotasoon nähden. Janan luonnollisen koon määrittämiseksi yleisasennossa AB (kuva 8.2) valitaan kiertoakseli (i), joka on kohtisuorassa vaakasuoraan projektiotasoon nähden ja kulkee B1:n läpi. Kierretään segmenttiä niin, että se on yhdensuuntainen etuprojektiotason kanssa (janan vaakaprojektio on yhdensuuntainen x-akselin kanssa). Tässä tapauksessa piste A1 siirtyy kohtaan A "1, eikä piste B muuta sijaintiaan. Pisteen A" 2 sijainti on pisteen A liikeradan etuprojektion leikkauspisteessä (suora yhdensuuntainen viiva x-akselille) ja tietoliikenneviiva, joka on vedetty A:sta "1. Tuloksena oleva projektio B2 A "2 määrittää itse segmentin todellisen koon.

Kuva 8.2 Janan luonnollisen koon määrittäminen kiertämällä projektioiden vaakatasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri

Kiertomenetelmä projektiotason kanssa yhdensuuntaisen akselin ympäri

Harkitse tätä menetelmää käyttämällä esimerkkiä, jossa määritetään risteävien viivojen välinen kulma (kuva 8.3). Tarkastellaan kahta projektiota risteävistä suorista a ja jotka leikkaavat pisteessä K. Näiden suorien välisen kulman luonnollisen arvon määrittämiseksi on tarpeen muuttaa ortogonaaliset projektiot siten, että suorat tulevat yhdensuuntaisiksi projektiotason kanssa. Käytetään kiertomenetelmää tasoviivan ympäri - vaaka. Piirretään mielivaltainen Ox-akselin suuntainen frontaaliprojektio vaakasuuntaiselle h2:lle, joka leikkaa viivat pisteissä 12 ja 22. Kun projektiot 11 ja 11 on määritelty, rakennamme vaakasuuntaisen h1:n vaakaprojektion. Kaikkien pisteiden liikerata vaakatason ympäri kiertämisen aikana on ympyrä, joka projisoidaan P1-tasolle suorana viivana, joka on kohtisuorassa vaakatason vaakaprojektioon nähden.

Kuva 8.3 Leikkaavien viivojen välisen kulman määrittäminen, kierto vaakasuuntaisen projektiotason kanssa yhdensuuntaisen akselin ympäri

Siten pisteen K1 liikeradan määrittää suora K1O1, piste O on ympyrän keskipiste - pisteen K liikeradat. Tämän ympyrän säteen löytämiseksi löydämme janan KO luonnollisen arvon. Piste K "1 vastaa pistettä K, kun suorat a ja b ovat tasossa, joka on yhdensuuntainen P1:n kanssa ja vedetty vaakasuuntaisen kiertoakselin läpi. Tätä silmällä pitäen vedämme suoria viivoja pisteen K "1 ja pisteiden 11 ja 21 kautta, jotka ovat nyt P1:n suuntaisessa tasossa, ja siksi kulma phi on suorien a ja b välisen kulman luonnollinen arvo.

Menetelmä projektiotasojen korvaamiseksi

Projisoidun kuvan ja projektiotasojen suhteellisen sijainnin muuttaminen projektiotasoja muuttamalla saadaan aikaan korvaamalla P1- ja P2-tasot uusilla P4-tasoilla (kuva 8.4). Uudet tasot valitaan kohtisuorassa vanhoihin nähden. Jotkut projektiomuunnokset vaativat projektiotasojen kaksinkertaisen korvaamisen (kuva 8.5). Peräkkäinen siirtyminen projektiotasojärjestelmästä toiseen on suoritettava noudattamalla seuraavaa sääntöä: etäisyyden uudesta pisteprojektiosta uuteen akseliin on oltava yhtä suuri kuin etäisyys korvatusta pisteprojektiosta korvattuun akseliin.

Tehtävä 1: Määritä suoran janan AB todellinen koko yleisasemassa (kuva 8.4). Yhdensuuntaisen projektion ominaisuudesta tiedetään, että segmentti projisoidaan tasolle täysikokoisena, jos se on yhdensuuntainen tämän tason kanssa. Valitaan uusi projektiotaso P4, yhdensuuntainen janan AB kanssa ja kohtisuorassa tasoon P1 nähden. Esittelemällä uuden tason siirrymme tasojärjestelmästä P1P2 järjestelmään P1P4 ja uudessa tasojärjestelmässä janan A4B4 projektio on janan AB luonnollinen arvo.

Kuva 8.4. Suoran janan luonnollisen koon määritys korvaamalla projektiotasoja

Tehtävä 2: Määritä etäisyys pisteestä C janan AB (kuva 8.5) antamaan yleisasemaan olevaan suoraan.

Kuva 8.5. Suoran janan luonnollisen koon määritys korvaamalla projektiotasoja

Pisteen sijainti avaruudessa voidaan määrittää sen kahdella ortogonaalisella projektiolla, esimerkiksi vaaka- ja frontaali-, frontaali- ja profiiliprojektiolla. Minkä tahansa kahden ortogonaalisen projektion yhdistelmän avulla voit selvittää pisteen kaikkien koordinaattien arvon, rakentaa kolmannen projektion ja määrittää oktantin, jossa se sijaitsee. Tarkastellaan joitain tyypillisiä tehtäviä kuvailevan geometrian kurssilta.

Annetun pisteiden A ja B monimutkaisen piirustuksen mukaan on välttämätöntä:

Määritetään ensin pisteen A koordinaatit, jotka voidaan kirjoittaa muotoon A (x, y, z). Pisteen A vaakasuora projektio on piste A ", jonka koordinaatit x, y. Piirrä pisteestä A" kohtisuorat x-, y-akseleita vastaan ​​ja löydä vastaavasti A x, A y. Pisteen A x-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan A x O pituus plusmerkillä, koska A x sijaitsee positiivisten x-akselin arvojen alueella. Piirustuksen mittakaava huomioon ottaen saadaan x \u003d 10. Y-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan A y O pituus miinusmerkillä, koska t. A y on negatiivisten y-akselin arvojen alueella . Piirustuksen mittakaavassa y = -30. Pisteen A frontaaliprojektiolla - pisteellä A"" on x- ja z-koordinaatit. Pudotetaan kohtisuora kohdasta A"" z-akselille ja etsitään A z . Pisteen A z-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan A z O pituus miinusmerkillä, koska A z on z-akselin negatiivisten arvojen alueella. Piirustuksen mittakaavassa z = -10. Siten pisteen A koordinaatit ovat (10, -30, -10).

Pisteen B koordinaatit voidaan kirjoittaa muodossa B (x, y, z). Tarkastellaan pisteen B - pisteen B vaakaprojektiota. "Koska se on x-akselilla, niin B x \u003d B" ja koordinaatti B y \u003d 0. Pisteen B abskissa x on yhtä suuri kuin janan pituus B x O plusmerkillä. Ottaen huomioon piirustuksen mittakaava, x = 30. Pisteen B - pisteen B˝ frontaaliprojektiolla on koordinaatit x, z. Piirrä kohtisuora kohdasta B"" z-akseliin ja löydä näin B z . Pisteen B soveltaminen z on yhtä suuri kuin janan B z O pituus miinusmerkillä, koska B z sijaitsee z-akselin negatiivisten arvojen alueella. Ottaen huomioon piirustuksen mittakaavan määritämme arvon z = -20. Joten B-koordinaatit ovat (30, 0, -20). Kaikki tarvittavat rakenteet on esitetty alla olevassa kuvassa.

Pisteiden projektioiden rakentaminen

P 3 -tason pisteillä A ja B on seuraavat koordinaatit: A""" (y, z); B""" (y, z). Tässä tapauksessa A"" ja A""" ovat samassa kohtisuorassa z-akseliin nähden, koska niillä on yhteinen z-koordinaatti. Samalla tavalla B"" ja B""" ovat yhteisessä kohtisuorassa z-akselille. Löytääksemme t. A:n profiiliprojektion, laitamme sivuun y-akselilla aiemmin löydetyn vastaavan koordinaatin arvon. Kuvassa tämä tehdään ympyrän kaarella, jonka säde on A y O. Sen jälkeen piirretään kohtisuora pisteestä A y pisteestä A "" z-akselille palautetun kohtisuoran leikkauspisteeseen. Näiden kahden kohtisuoran leikkauspiste määrittää A""":n sijainnin.

Piste B""" on z-akselilla, koska tämän pisteen y-ordinaatta on nolla. Pisteen B profiiliprojektion löytämiseksi tässä tehtävässä tarvitsee vain piirtää kohtisuora pisteestä B"" z:hen Tämän kohtisuoran leikkauspiste z-akselin kanssa on B """.

Pisteiden sijainnin määrittäminen avaruudessa

Kuvittelemalla visuaalisesti tila-asetelma, joka koostuu projektiotasoista P 1, P 2 ja P 3, oktanttien sijainnista sekä asettelun muunnosjärjestyksestä kaavioiksi, voit määrittää suoraan, että t. A sijaitsee oktantissa III, ja t. B on tasossa P2.

Toinen vaihtoehto tämän ongelman ratkaisemiseksi on poikkeusmenetelmä. Esimerkiksi pisteen A koordinaatit ovat (10, -30, -10). Positiivinen abskissa x antaa mahdollisuuden päätellä, että piste sijaitsee neljässä ensimmäisessä oktantissa. Negatiivinen y-ordinaatta osoittaa, että piste on toisessa tai kolmannessa oktantissa. Lopuksi z:n negatiivinen aplikaatio osoittaa, että piste A on kolmannessa oktantissa. Annettu perustelu on selkeästi havainnollistettu seuraavassa taulukossa.

Oktantti	Koordinaattimerkit
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Pisteen B koordinaatit (30, 0, -20). Koska t:n B ordinaatta on nolla, tämä piste sijaitsee projektiotasolla П 2 . Positiivinen abskissa ja negatiivinen pisteen B aplikaatti osoittavat, että se sijaitsee kolmannen ja neljännen oktantin rajalla.

Visuaalisen kuvan rakentaminen pisteistä tasojärjestelmässä P 1, P 2, P 3

Frontaalisen isometrisen projektion avulla rakensimme kolmannen oktantin spatiaalisen asettelun. Se on suorakaiteen muotoinen kolmio, jonka pinnat ovat tasot P 1, P 2, P 3 ja kulma (-y0x) on 45 º. Tässä järjestelmässä segmentit x-, y- ja z-akseleita pitkin piirretään täysikokoisina ilman vääristymiä.

Visuaalisen kuvan rakentaminen pisteestä A (10, -30, -10) alkaa sen vaakaprojektiosta A". Kun vastaavat koordinaatit on jätetty sivuun abskissaa ja ordinaatteja pitkin, löydämme pisteet A x ja A y. A x:sta ja A y:stä x- ja y-akselille palautettujen kohtisuorien leikkauskohta määrittää pisteen A". Asettamalla A":sta yhdensuuntaisesti z-akselin kanssa kohti sen negatiivisia arvoja jana AA", jonka pituus on 10, löydämme pisteen A sijainnin.

Pisteestä B (30, 0, -20) muodostetaan visuaalinen kuva samalla tavalla - P 2 -tasossa vastaavat koordinaatit on piirrettävä x- ja z-akseleita pitkin. B x:stä ja B z:stä rekonstruoitujen kohtisuorien leikkauskohta määrittää pisteen B sijainnin.