Työtyyppi: 7

Kunto

Kuvassa on kaavio y \u003d f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka on määritetty välille (-4; 10). Etsi pienenevän funktion f (x) intervallit. Vastauksessasi , ilmoittaa niistä suurimman pituus.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuten tiedät, funktio f (x) pienenee niillä aikaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä derivaatta f "(x) on pienempi kuin nolla. Ottaen huomioon, että on tarpeen löytää niistä suurimman pituus, kolme tällaista väliä eroavat luonnollisesti kuviosta: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Niistä suurimman pituus - (5; 9) on yhtä suuri kuin 4.

Vastaus

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen ja piirtämiseen

Kunto

Kuvassa on kaavio y \u003d f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka on määritelty intervallilla (-8; 7). Etsi funktion f (x) maksimipisteiden lukumäärä, joka kuuluu väliin [-6; -2].

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kaavio osoittaa, että funktion f (x) derivaatta f "(x) muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen (tällaisissa pisteissä on maksimi) täsmälleen yhdessä pisteessä (välillä -5 ja -4) väliltä [ -6; -2 Siksi välissä [-6;-2] on täsmälleen yksi maksimipiste.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen ja piirtämiseen

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritetty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin 0 .

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Jos derivaatta pisteessä on nolla, niin tähän pisteeseen piirretyn funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme sellaisia ​​pisteitä, joissa funktiokaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, on 5 ääripistettä.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen ja piirtämiseen

Kunto

Kuvassa on funktio y=f(x) ja merkityt pisteet -6, -1, 1, 4 x-akselilla. Missä näistä pisteistä derivaatan arvo on pienin? Mainitse tämä kohta vastauksessasi.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Piirretään tangentit funktion kuvaajaan pisteisiin, joissa on osoitetut abskissat. Määritämme, missä kulmassa ne ovat kallistuneet Ox-akselin positiiviseen suuntaan. Kuten tiedät, määritellyn kulman tangentin arvo on derivaatan arvo määritetyissä pisteissä.

Pisteissä -1 ja 4 tangentit ovat vinossa terävässä kulmassa, joten derivaatan arvo on negatiivinen näissä pisteissä. Ottaen huomioon, että pisteessä x=-6 tangentti on kalteva pienemmässä tylpässä kulmassa (lähempänä pystysuoraa linjaa), derivaatan arvo on tässä pisteessä pienin.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen ja piirtämiseen

Kunto

Kuvassa on kaavio y \u003d f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka on määritetty välille (-9; 4). Etsi funktion f (x) kasvuvälit. Vastaa, ilmoita niistä suurimman pituus.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuten tiedät, funktio f (x) kasvaa niillä aikaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä derivaatta f "(x) on suurempi kuin nolla. Ottaen huomioon, että on tarpeen löytää niistä suurimman pituus, kolme tällaista väliä eroavat luonnollisesti kuviosta: (-9; -8) ; (-5; -1); (1; 4).

Suurimman niistä (-5; -1) pituus on 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Derivaatan soveltaminen funktioiden tutkimukseen ja piirtämiseen

Kunto

Kuvassa on kaavio y \u003d f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka on määritelty välissä (-8; 7). Selvitä funktion f (x) minimipisteiden lukumäärä. väliin [-4; 3].

Jos jollain aikavälillä funktion kuvaaja on jatkuva viiva, toisin sanoen sellainen viiva, joka voidaan vetää ilman kynää paperiarkilta, niin tällaista funktiota kutsutaan jatkuvaksi tällä välillä. On myös toimintoja, jotka eivät ole jatkuvia. Esimerkkinä tarkastellaan funktion kuvaajaa, joka intervalleilla ja [c; b] on jatkuva, mutta pisteessä
x = c on epäjatkuva eikä siksi ole jatkuva koko segmentillä. Kaikki funktiot, joita opiskelemme koulun matematiikan kurssilla, ovat jatkuvia funktioita kullakin välillä, jolle ne määritellään.

Huomaa, että jos funktiolla on derivaatta jollain aikavälillä, se on jatkuva tällä välillä.

Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Funktion, joka on jatkuva tietyllä aikavälillä, ei välttämättä ole derivaatta joissain välin kohdissa. Esimerkiksi funktio
y = |log 2 x| on jatkuva välillä x > 0, mutta pisteessä x = 1 sillä ei ole derivaattia, johtuen siitä, että tässä pisteessä funktion kuvaajalla ei ole tangenttia.

Harkitse kuvaajien piirtämistä derivaatan avulla.

Piirrä funktio f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

Ratkaisu.

1) Tämä funktio on määritelty kaikille x ∈ R.

2) Etsi derivaatan avulla tarkasteltavan funktion ja sen ääripisteen monotonisuusvälit. Derivaata on f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Etsi stationaariset pisteet:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, mistä x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

Derivaatan etumerkin määrittämiseksi jaamme neliötrinomin 3x 2 - 4x + 1 tekijöiksi:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Siksi aikaväleillä x< 1/3 и х >1 derivaatta on positiivinen; joten funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Johdannainen on negatiivinen 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Piste x 1 \u003d 1/3 on maksimipiste, koska funktio pienenee tämän pisteen oikealle puolelle ja kasvaa vasemmalle. Tässä vaiheessa funktion arvo on f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Minimipiste on piste x 2 \u003d 1, koska funktio pienenee tämän pisteen vasemmalle puolelle ja kasvaa oikealle; sen arvo tässä minimipisteessä on f(1) = 0.

3) Kuvaajaa rakennettaessa graafin leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa yleensä löydetään. Koska f(0) = 0, kuvaaja kulkee origon kautta. Ratkaisemalla yhtälön f(0) = 0, löydämme kuvaajan ja x-akselin leikkauspisteet:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, mistä x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Tarkempaa kuvaajaa varten etsitään funktion arvot kahdesta muusta pisteestä: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Rakennamme funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x kaavion käyttämällä tutkimuksen tuloksia (kohdat 1 - 4).

Funktion piirtämiseksi yleensä ensin tutkitaan tämän funktion ominaisuuksia sen derivaatan avulla samanlaisen kaavion mukaisesti kuin tehtävän 1 ratkaisussa.

Siten funktion ominaisuuksia tutkittaessa on löydettävä:

1) sen määritelmän alue;

2) johdannainen;

3) kiinteät pisteet;

4) nousu- ja laskuvälit;

5) ääripisteet ja funktioarvot näissä kohdissa.

Tutkimuksen tulokset kirjataan kätevästi taulukon muodossa. Rakenna sitten funktiosta kaavio taulukon avulla. Tarkempaa piirtämistä varten löydetään yleensä sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa ja tarvittaessa vielä muutama kuvaajan piste.

Jos kohtaamme parillisen tai parittoman funktion, niin for Kun muodostat sen graafin, riittää tutkia ominaisuuksia ja rakentaa sen kuvaaja x\u003e 0:lle ja sitten heijastaa se symmetrisesti y-akselin ympäri (alkuperä). Esimerkiksi analysoimalla funktiota f(x) = x + 4/x, tulemme siihen tulokseen, että tämä funktio on pariton: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x) = -f(x). Kun kaikki suunnitelman kohdat on suoritettu, rakennamme funktion kaavion x\u003e 0:lle ja tämän funktion kaavion x:lle< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 suhteessa alkuperään.

Piirustusfunktioiden ongelmien ratkaisemisen lyhyyden vuoksi suurin osa perusteluista tehdään suullisesti.

Huomaa myös, että joitain tehtäviä ratkottaessa saatamme kohdata tarpeen tutkia funktiota ei koko määritelmäalueelta, vaan vain tietyltä aikaväliltä, ​​esimerkiksi jos sinun on piirrettävä esimerkiksi funktio f (x) = 1 + 2x 2 - x 4 segmentissä [-1; 2].

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Muuttujaa kutsutaan toiminto muuttuja , jos jokainen kelvollinen arvo vastaa yhtä arvoa . muuttuja sitä kutsutaan itsenäinen muuttuja tai Perustelu toimintoja.

Kutsutaan kaikkien argumenttiarvojen joukko, joille funktio ottaa tietyt todelliset arvot määritelmän alue tämä toiminto. Kutsutaan funktion kaikkien arvojen joukko sen valikoima.

Toiminnon laajuus ja laajuus f symboloi
ja
vastaavasti. Verkkotunnus
nimeltään symmetrinen setti jos yhdessä jokaisen elementin kanssa se sisältää myös vastakkaisen elementin (
).

Tutki, onko funktio parillinen vai pariton.

Toiminto
nimeltään jopa

kaikille
.

Toiminto f nimeltään outo, jos sen verkkotunnus on
on symmetrinen joukko ja tasa-arvo
kaikille
.

Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen OY, ja parittoman funktion kuvaaja on suhteessa origoon. Siksi, jos tutkittava funktio on parillinen tai pariton, riittää sen tutkiminen argumentin positiivisille arvoille sen määritelmän alueelta.

Tutki, onko funktio jaksollinen.

Paljon
nimeltään jaksoittain T-jakson kanssa (
), jos yhtään
suoritettu
ja
.

Toiminto f nimeltään kausijulkaisu jaksolla T, jos
- jaksollinen sarja jaksolla T ja mille tahansa
tasa-arvo
.

Jaksokaavio jaksolla T toiminto siirtyy itsestään, kun sitä siirretään T x-akselia pitkin.

Suoraan
pinnalla
nimeltään vertikaalinen asymptootti toimintoja
, jos jokin yksipuolisista rajoista
tai
on yhtä suuri
.

Näin ollen suora
on funktion vertikaalinen asymptootti
jos kohta - funktion toisen tyyppinen murtumispiste
.

Tutki funktion käyttäytymistä äärettömässä ja löydä sen vaaka- ja vinoasymptootit.

Suoraan
nimeltään vino asymptootti funktiokaavio
klo
(
), jos
klo
(
).

Lause 1. Vinon asymptootin olemassaolosta
klo
toimintoja
tarpeellinen ja riittävä
ehdot täyttyivät:

1.
,
,

2.
,
.

Etsi funktion ääripisteet ja kasvu- ja vähennysvälit.

Toiminto
nimeltään kasvaa(hiipumassa) päällä
, jos jollekin
eriarvoisuudesta
seuraa eriarvoisuutta
(
).

Kasvavia ja pienentäviä funktioita kutsutaan yksitoikkoinen.

Lause 2(riittävä edellytys monotonisuuteen). Anna toiminnon
määritelty ja jatkuva
ja erotettavissa
. Jos
(
), sitten
kasvaa (vähenee)
.

Piste
nimeltään maksimipiste (minimipiste) toiminnot
jos kaikissa kohdissa , riittävän lähellä pistettä
(
).

Kutsutaan funktion arvo maksimipisteessä (minimi). enimmäismäärä (minimi) toimintoja.

Piste
nimeltään tiukka maksimipiste (tiukka minimi) toiminnot
jos kaikissa kohdissa , riittävän lähellä pistettä ja siitä eroava epätasa-arvo
(
).

Toiminnon arvo pisteessä nimeltään tiukka maksimi (tiukka minimi) toimintoja.

Maksimi- ja minimipisteet kutsutaan ääripisteet, ja niissä olevat funktioarvot ovat ääripäät toimintoja.

Lause 3(tarvittava ääripään kunto). Jos toiminto
on pisteessä ääriarvo, niin funktion derivaatta tässä pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Piste nimeltään paikallaan oleva piste toimintoja
, jos
. Piste nimeltään Kriittinen piste toimintoja
, jos
tai ei ole olemassa.

Lauseesta 3 seuraa, että vain kriittiset pisteet voivat olla ääripisteitä. Käänteinen ei ole aina totta.

Lause 4(Riittävä ehto ääripäälle. Ensimmäinen sääntö). Anna pisteessä
funktion derivaatta
katoaa ja vaihtaa merkkiä kulkiessaan tämän pisteen, sitten pisteen läpi on funktion ääripiste, ja jos:

1)
klo
ja
klo
, sitten
- tiukka enimmäispiste;

2)
klo
ja
klo
, sitten
on tiukka minimipiste.

Lause 5(Riittävä ehto ääripäälle. Toinen sääntö). Jos pisteessä
funktion ensimmäinen derivaatta
on yhtä suuri kuin nolla, ja toinen derivaatta ei ole nolla - ääripiste ja:

1) on maksimipiste, jos
;

2) on minimipiste, jos
.

Algoritmi ääripisteiden löytämiseksi funktiolle, joka on jatkuvasti päällä
:

Etsitään kriittisiä kohtia
toimintoja
päällä
. Järjestetään ne nousevaan järjestykseen: He jakavat
väliajoin
,
,…,
. Jokaisessa niistä
, se on vakiomerkki (positiivinen tai negatiivinen). Derivaatan etumerkin määrittämiseksi intervallissa on tarpeen määrittää sen etumerkki missä tahansa välin kohdassa. Sitten muuttamalla derivaatan etumerkkiä siirtyessä intervallista toiseen, määritetään ääripisteet Lauseen 4 mukaisesti.

Funktiograafin ja käännepisteiden kuperuussuuntien määrittäminen.

Anna toiminnon
erotettavissa
. Sitten funktion kuvaajalla on tangentti
milloin tahansa
,
, ja nämä tangentit eivät ole yhdensuuntaisia ​​akselin kanssa
.

Toiminto
nimeltään kupera ylöspäin (tie alas) päällä
jos funktion kuvaaja on sisällä
ei ole minkään tangentin yläpuolella (ei alapuolella).

Lause 6(riittävä ehto kuperuudelle). Anna toiminnon
kaksinkertaisesti erotettavissa
. Sitten jos
(
) päällä
, niin funktio on kupera alas (ylös) päällä
.

Piste nimeltään käännekohta toimintoja
jos funktion kuperuuden suunta muuttuu kulkiessaan tämän pisteen läpi
.

Lause 7(tarvittava taivutusehto). Jos käännekohdassa toimintoja
toinen derivaatta on olemassa ja on jatkuva, niin se on tässä pisteessä nolla.

Lause 8(riittävä ehto taivutus). Jos
ja

1)
vaihtaa merkkiä läpikulkeessaan , sitten - funktion käännepiste
;

2)
ei vaihda merkkiä läpikulkeessaan , sitten ei ole funktion käännepiste
.

Funktiograafin piirtäminen.

ajoittaa toimintoja
on joukko tason pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät annetun toiminnallisen riippuvuuden.

Esimerkki 7.1. Tutustu toimintoon

Ratkaisu.

, koska tämä funktio on polynomi.

Tutkimme monotonisuuden funktiota, löydämme ääripisteet.

Etsitään ensin funktion kriittiset pisteet.

, koska derivaatta on myös polynomi.


tai
, tai
. Näin ollen
,
,
ovat funktion kriittisiä pisteitä.

H sijoitetaan funktion kriittiset pisteet reaaliviivalle ja määritetään etumerkit johdannainen

Välissä
,
toiminto pienenee intervalleilla
,
toiminto lisääntyy.

pisteitä
ja
ovat funktion minimipisteet, .

Piste
on funktion maksimipiste,
.

Tutkimme kuperuuden suunnan funktiota, löydämme käännepisteet.



.

Laitetaan pisteitä X 1 ja X 2 numeroviivalla ja määritä merkit toinen johdannainen jokaisessa tuloksena olevissa intervalleissa.

H ja siltä väliltä
ja
funktio on kupera alaspäin välissä
funktio on kupera ylöspäin. pisteitä
ja
ovat käännepisteitä.

Esimerkki 7.2. Tutustu toimintoon
monotonisuudesta ja kuperuuden suunnasta etsi ääri- ja käännepisteet.

Ratkaisu.

Etsi funktion toimialue.

:

 .

2. Tutkimme monotonisuuden funktiota, etsimme ääripisteet.

, .



. Näin ollen
– toiminnon kriittinen piste.

Piirrämme funktion toimialueen ja kriittisen pisteen todelliselle suoralle. Määritetään derivaatan etumerkit kullakin tuloksena olevalla aikavälillä.

H ja siltä väliltä
,
funktio pienenee, välissä
toiminto lisääntyy. Piste
- maksimipiste,
.

3. Määritä funktion kuvaajan kuperuuden suunta ja löydä käännepisteet.



.

T pisteitä
- mahdollinen käännekohta. Määritetään toisen derivaatan merkit intervalleissa
,
,
.

Välissä
,
funktio on kupera ylöspäin, välissä
funktio on kupera alaspäin. Piste
- käännekohta.

Esimerkki 7.3. Suorita täydellinen toimintatutkimus
ja piirtää sen.

Ratkaisu. 1.
.

2. Funktio ei ole parillinen eikä pariton.

3. Toiminto ei ole jaksollinen.

4. Etsi kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden ja vakiovälien kanssa. O-akseli X kaavio ei leikkaa, koska
kaikille
. O-akseli klo:
,
.

klo
,
klo
.

5. Funktio on jatkuva määritelmäalueella, koska se on alkeis-
- murtumispiste. Tutkitaan aukon luonnetta:

,
.

Näin ollen
– toisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste, suora viiva
on funktion kaavion pystysuora asymptootti.

6. Tutkimme funktion käyttäytymistä for
ja klo
:

,
. Siis suora viiva
on funktion at kaavion vaaka-asymptootti
.

Koska
, sitten muut vinot asymptootit klo
ei.

Selvitä, onko olemassa vinoja asymptootteja
:

. Siksi milloin
ei ole vinoja asymptootteja.

7. Tutkimme monotonisuuden ja ääripään funktiota.

,

- minimipiste
-minimi.

8. Tarkastellaan konveksiteetti- ja taivutussuunnan funktiota.

=

.

päällä
,ei ole olemassa pisteessä
.Käännepisteitä ei ole.

9. Rakennetaan funktiosta kaavio (kuva 4).

Kuva 4 - Esimerkki 7.3.

Esimerkki 7.4. Tutustu toimintoon
ja piirtää sen.

Ratkaisu. Tutkitaanpa tätä ominaisuutta.

,
.

Tutkimme funktion käyttäytymistä äärettömässä ja löydämme vaaka- ja vinoasymptootit:

Koska
, silloin ei ole vaakasuuntaisia ​​asymptootteja.

,

Siten on olemassa ainutlaatuinen vino asymptootti

Tutkimme monotonisuuden funktiota ja löydämme ääripäät:

.

From
pitäisi
, missä
,
.

Välissä

, siksi funktio kasvaa tällä aikavälillä; sisään

, eli toiminto pienenee. Siksi pointti
on maksimipiste:
. Välissä

, siksi funktio pienenee tällä aikavälillä; sisään

eli toiminto kasvaa. Pisteessä
meillä on minimi:
.

Tarkastellaan funktion kuvaajaa kuperuuden suunnalle ja määritetään käännepisteet. Tätä varten löydämme

Ilmeisesti välissä

, siksi tällä välillä käyrä on kupera ylöspäin; välissä

, eli tällä välillä käyrä on kupera alaspäin. Klo
funktiota ei ole määritelty, silloin ei ole käännepistettä.

Funktion kaavio on esitetty kuvassa. 5.

Kuva 5 - Esimerkki 7.3.

Algoritmi funktiograafin piirtämisongelman ratkaisemiseksi.

1. Etsi funktion toimialue.

2. Etsi funktion derivaatta.

3.Etsi paikallaan olevia pisteitä.

4. Määritä derivaatan etumerkki saaduista intervalleista.

5. Määritä monotonisuuden välit.

6. määritä ääripisteet ja löydä funktion arvo näistä pisteistä.

7. Tee pöytä.

8. Etsi lisäpisteitä.

9. Piirrä funktio.

Esimerkiksi. Tutki funktiota derivaatan avulla ja piirrä sen kaavio.

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , funktio kasvaa;

Silloin toiminto pienenee;

Tämä toiminto kasvaa;

6. - maksimipiste, koska derivaatta muutti etumerkin +:sta - ;

Minimipiste, koska Derivaata muutti merkin -:stä +:ksi.

X
	+		-		+

8. Lisäkohdat:

9. Kaavion rakentaminen.

2.3 . Ohjaustoimien muunnelmia.

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-1

a ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

b) ;

sisään) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)= 2x cosx,

a) f(x) = 5 3x-4;

b) f(x) = sin(4x-7);

d) f (x) \u003d ln (x 3 + 5x).

3. Etsi funktion f (x) \u003d 4 - x 2 kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d -3.

Pisteessä, jossa abskissa x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d -2.

6. Kehon liikeyhtälö on muotoa s(t) = 2.5t 2 + 1.5t. Selvitä kehon nopeus 4 sekuntia liikkeen alkamisen jälkeen.

7.

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-2

a ) f(x)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

b) ;

sisään) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f (x) \u003d 4 2 x -1;

b) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Etsi funktion f (x) \u003d - x 4 + x 3 kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d - 1.

4. Missä pisteessä on funktion kuvaajan tangentti

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 x-akselin suuntaisesti?

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d 2.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. Millä ajanhetkellä kehon nopeus on 20? (koordinaatit mitataan metreinä, aika - sekunteina).

7. Tutustu funktioon derivaatan avulla ja rakenna kaavio:

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-3

1. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0

a ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

b) ;

sisään) f(x)

G ) f(x)= 3x sinx,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f (x) \u003d 2 5 x +3;

b) f(x) = сos(0,5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Etsi funktion f (x) \u003d 2x 2 + x kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d -2.

4. Missä kohdassa funktion f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 kaavion tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa?

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d -1.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 3t 2 + t + 4. Millä ajanhetkellä kehon nopeus on 7? (koordinaatti on metreissä, aika sekunneissa)

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-4

1. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0

a ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

b) ;

sisään) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f(x) = 34 x-1;

b) f(x) = 2sin (2,5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. Etsi funktion f (x) \u003d 0,5x 2 + 1 kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d 3.

4. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma pisteessä, jossa abskissa x 0 = 1.

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f(x) = x 2 +2x+1 kohdassa c

abskissa x 0 = -2.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 4t + t 2 - . Selvitä sen nopeus hetkellä t=2 (koordinaatti mitataan metreissä, aika sekunneissa.)

7. Tutki funktiota derivaatan avulla ja rakenna kaavio:

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-5

1. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0

a ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

b) ;

sisään) f(x)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f(x) = 2 3x-4;

b) f (x) \u003d sin (3x 2 - 2);

d) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. Etsi funktion f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d -1.

4. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma

f (x) \u003d pisteessä, jossa abskissa on x 0 \u003d - 1.

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d - 2.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 3t 3 +2t+1. Laske sen nopeus hetkellä t = 2 (koordinaatti on metreissä, aika sekunneissa.)

7. Tutki funktiota derivaatan avulla ja rakenna kaavio:

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-6

1. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0

a ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

b) ;

sisään) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sin5x,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f(x)= 2 3 x+ 5,

b) f(x) = сos(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 pisteessä x 0 \u003d 2.

4. Missä kohdassa funktion f (x) \u003d x 3 -3x + 1 kaavion tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa?

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d -1.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 3t 2 -2t+4. Millä ajanhetkellä kehon nopeus on 4? (koordinaatti on metreissä, aika sekunneissa)

7. Tutki funktiota derivaatan avulla ja rakenna kaavio:

Tentti nro 3 aiheesta "Johdannainen" B-7

1. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0

a ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

b) ;

sisään) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f(x) = 3 4 x + 2;

b) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3 x 2 - x).

3. Etsi funktion f (x) \u003d 0,5x 2 -1 kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d - 3.

4. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma pisteessä, jossa abskissa x 0 = -1.

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d - 2.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 4t - t 2 + . Laske sen nopeus hetkellä t = 2 (koordinaatti on metreissä, aika sekunneissa.)

7. Tutki funktiota derivaatan avulla ja rakenna kaavio:

Tentti nro 1 aiheesta "Johdannainen" B-8

1. Etsi derivaatan arvo pisteestä x 0

a ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 = 2;

b) ;

sisään) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Etsi funktion derivaatta:

a) f (x) \u003d 5 2 x +3,

b) f(x) = cos(5x2 +1);

d) f(x) = +5x.

3. Etsi funktion f (x) \u003d x 4 -x 2 kaavion tangentin kaltevuus pisteessä x 0 \u003d 1.

4. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma

f (x) \u003d pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d 2.

5. Kirjoita funktion kuvaajaan tangentin yhtälö

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x pisteessä, jossa on abskissa x 0 \u003d 2.

6. Piste liikkuu suoraviivaisen lain mukaan x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Laske kappaleen nopeus hetkellä t = 4 (koordinaatti mitataan metreissä, aika sekunneissa).

7. Tutki funktiota derivaatan avulla ja rakenna kaavio:

Tekijän tiedot

Osiptsova Galina Petrovna

Työpaikka, asema:

Viipurin kaupungin MBOU "Secondary school No. 12", matematiikan opettaja.

Leningradin alue

Oppitunnin ominaisuudet (luokat)

Koulutuksen taso:

Keskiasteen (täydellinen) yleinen koulutus

Kohdeyleisö:

Opettaja (opettaja)

Luokat):

Tuote(t):

Algebra

Tuote(t):

Matematiikka

Oppitunnin tarkoitus:

Muodostaa kyky soveltaa derivaatta funktioiden tutkimiseen ja piirtämiseen.

Kehitä loogista ajattelua, analysointikykyä, kykyä esittää ongelma, ratkaista se.

Kasvata halua ilmaista mielipiteesi.

Oppitunnin tyyppi:

Opiskelutunti ja uuden tiedon ensisijainen lujittaminen

Luokan oppilaat:

Käytetyt oppikirjat ja tutoriaalit:

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin

Käytetty metodologinen kirjallisuus:

M.K. Potapov, A.V. Shevkin "Algebra ja matemaattisen analyysin alku, 10". Kirja opettajalle. M: "Enlightenment" 2010.

Käytetyt varusteet:

Tietokone, dokumenttikamera, taulukko funktiontutkimusalgoritmilla, tehtäväkortit.

Lyhyt kuvaus:

1. Systeemiaktiivinen lähestymistapa algebratunnin rakentamiseen ja aloitti analysoinnin 11. luokalla.

Algebratunti ja aloitin analysoinnin 11. luokalla

(UMK: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

Oppitunnin aihe: "Dirivaatan soveltaminen funktioiden kuvaajien rakentamiseen"

Oppitunnin päätavoitteet:

muodostaa kyky soveltaa derivaatta funktioiden tutkimiseen ja piirtämiseen;

kehittää kykyä esittää ongelma, ratkaista se, loogista ajattelua, kykyä analysoida;

kasvattaa halua ilmaista mielipiteensä.

Laitteet ja monisteet: tietokone, dokumenttikamera, taulukko funktiotutkimusalgoritmilla, tehtäväkortit.

Tuntien aikana

Koulutustoiminnan motivaatio.

Hei kaverit.

Mitä olet oppinut edellisillä tunneilla? (miten derivaatan avulla löydetään kriittiset pisteet, kasvuvälit, funktion pieneneminen, sen ääriarvot, suurin (pienin) arvo).

Tällä oppitunnilla jatkamme funktioiden tutkimista derivaatan avulla.

Tiedon päivitys.

Näet näytöllä funktion kaavion y=f(x):

Mitkä funktion ominaisuudet voidaan määrittää graafista? Nimeä ne.

Vastaus: 1) D(f) = R;

2) funktio on jatkuva

3) Funktio kasvaa segmentillä [-2; 0,5] ja välissä ja on , ja siksi f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

funktion maksimipisteet: x minimipisteitä : x=-2 x = 3;

4) funktion suurinta arvoa ei ole olemassa, pienin on -2, kun = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Kuinka löytää funktion ääripisteet? (Jos derivaatta muuttaa kriittisen pisteen läpi kulkiessaan etumerkkiä "+":sta "-", niin tämä piste on maksimipiste, jos derivaatta muuttaa kriittisen pisteen läpi kulkiessaan etumerkkiä

“-” arvoon “+”, tämä piste on minimipiste, jos derivaatta ei muuta etumerkkiä kulkiessaan kriittisen pisteen läpi, niin tämä kriittinen piste ei ole ääripiste.

− Muotoile algoritmi funktion kasvu-, lasku- ja ääriarvovälien löytämiseksi klo = f(x) annettuna analyyttisesti.

Opiskelijat muotoilevat, algoritmin vaiheet avautuvat peräkkäin näytölle.

Algoritmi.

1. Etsi funktion toimialue.

2. Etsi funktion derivaatta.

3. Etsi kriittiset kohdat.

4. Merkitse reaaliviivalle määritelmäalue ja kriittiset pisteet. Määritä saatujen intervallien derivaatan etumerkit yleisellä intervallimenetelmällä.

5. Etsi funktion kasvu-, lasku- ja äärivälit riittävällä merkillä.

Tarkastellaan nyt funktiota f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Opettaja kirjoittaa taululle oppilaiden ohjeiden mukaan. Oppilaat työskentelevät vihkoissa.

1. D(f) = R, f(x) on jatkuva kohdassa D(f).

   Funktio ei ole parillinen eikä pariton, ei-jaksollinen.

Risteyspisteet

x-akselilla: (0; 0) ja (-3; 0), koska

f(x) = 0, eli ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x(x² + 6x + 9) = 0

⅓x (x + 3)² = 0

y-akselilla: (0; 0).

Johdannainen funktiosta: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

kriittiset pisteet: f "(x) \u003d 0 x \u003d -3, x \u003d -1.

Merkitsemme kriittiset pisteet numeroviivalle ja määritämme derivaatan merkit tuloksena oleville intervalleille:

f "(x) > 0 päällä (-∞; -3) ja päällä (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

f max= 0 x = -3, f min= -4 kohdassa x = -1

4) Funktiolla ei ole enimmäis- ja minimiarvoja.

Mitä toistit?

Mikä on mielestäsi seuraava tehtävä, jonka tarjoan sinulle?

Olet siis tehnyt ominaisuustutkimuksesi. Ja nyt sinun on tutkimuksen tulosten perusteella piirrettävä funktio f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x.

Onko sinulla vaikeuksia?

3. Vaikeuksien, ongelmien tunnistaminen

Opettaja pyytää useita oppilaita kertomaan vaikeuksista.

Mikä tehtävä sinun piti suorittaa? (Tee funktiosta kaavio tutkimusaineiston avulla).

Miksi sinulla on vaikeuksia? (Emme osaa piirtää kaavioita funktion tutkimuksen mukaan).

Mitä käytät ominaisuustutkimuksessa? (johdannainen).

4. Projektin rakentaminen vaikeuksista selviämiseksi.

Kerro toimintasi tarkoitus. (Opi piirtämään kuvaaja käyttämällä funktioiden tutkimusta derivaatan avulla).

Muotoile oppitunnin aihe. (Käyttämällä derivaatta funktiokaavioiden piirtämiseen).

Oppitunnin aihe näkyy taululla.

Joten sinulla on vaikeuksia piirtää funktiokaaviota. Mitä olet käyttänyt funktiokaavioiden piirtämiseen aiemmin? (taulukot, joissa on joitain kaavioon kuuluvia pisteitä).

Mutta usein pisteet eivät anna objektiivista kuvaa kaaviosta. Ja nyt, kun tiedät funktiotutkimusalgoritmin, mitä tietoja syötät taulukkoon? (sinun on syötettävä funktion tutkimuksen tulokset taulukkoon ja piirrettävä sitten kaavio taulukosta).

5. Rakennetun hankkeen toteuttaminen

Taululle avautuu tyhjä pöytä:

Olet tutkinut funktiota f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Luettele vaiheet, jotka olet suorittanut tutkiaksesi toimintoa. (Taulukko täyttyy edetessäsi)

Taulukossa saadut tulokset siirretään koordinaattitasolle.

Mitä muuta voidaan tehdä kaavion tarkentamiseksi? (Voit löytää useita lisäpisteitä, jotka kuuluvat funktion kuvaajaan).

Taululle tulee kuvaaja funktiosta f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Olet piirtänyt funktion.

Miten teit tuon? (Olemme luoneet graafisen algoritmin). (Puhutaan vielä kerran funktion tutkimisen ja sen graafin muodostamisen vaiheista).

Algoritmi graafin piirtämiseksi derivaatta käyttäen..

1. D (f), f(x:n) jatkuvuus;
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) ei ole olemassa;

lisäpisteitä;

6. Hankitun tiedon ensisijainen konsolidointi.

Mitä nyt pitää tehdä? (sinun on opittava käyttämään algoritmia kaavioiden rakentamiseen).

Piirrä nyt funktion kaavio. f(x) = X + .

Yksi opiskelija työskentelee taululla ja kommentoi toimintaansa, loput työskentelevät vihkoissa.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) on jatkuva kohdassa D (f).
2. Funktiojohdannainen: f "(x) \u003d 1 - 4 / x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Kriittiset pisteet: \u003d 0 x \u003d 2 ja x \u003d -2, ei ole pisteitä, joissa f "() ei ole olemassa.

5. Lisäkohdat:

6. Kaaviofunktio:

Yritä piirtää kaavio itse.

Näyttöön tulee kaavio vahvistusta varten.

7. Itsenäinen työskentely ja itsetutkiskelu otoksen mukaan

Ja nyt tarkistetaan, kuinka kukin teistä ymmärsi, kuinka rakennettua algoritmia käytetään.

	Vaihtoehto 1. Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio Vaihtoehto 2. Muodosta osittain suoritetun tutkimuksen mukaan funktion kuvaaja

Opiskelijat suorittavat tehtävän itse, työn suorittamisen jälkeen opiskelijat vertaavat työtään yksityiskohtaiseen otokseen:

Vaihtoehto 1 .

1) D(f)=R, toiminto on jatkuva.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D(f | ) = R

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

Vaihtoehto 2.

1) D(f)=R, toiminto on jatkuva.

2) y¢ = 6 x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D(f | ) = R

X 1 = − 1; X 2 = 1

Kenen tehtävä vaikeutti?

− Missä algoritmin vaiheessa?

- Mikä on ongelman syy?

- Kuka teki tehtävän oikein?

8. Sisällyttäminen tiedon ja toiston järjestelmään.

Katsotaan nyt, missä tentin tehtävissä voit soveltaa saatuja tietoja.

Ratkaista ongelmia:

1. Etsi funktioarvojen joukko.

2. Millä parametrin arvoilla R yhtälö = s onko 2 juuria, 1 juuri, ei juuria?

1) Vastaus: (− ¥; − 4] U )