Avoin matematiikan tunti "Bernoulli-kaavio. Tehtäväratkaisu Bernoullin ja Laplacen kaavalla"
Didaktinen: hankitaan taitoja ja kykyjä työskennellä Bernoulli-kaavion kanssa todennäköisyyksien laskemiseksi.
Kehitetään: tiedon soveltamisen taitojen kehittäminen käytännössä, opiskelijoiden toiminnallisen ajattelun muodostuminen ja kehittäminen, vertailu-, analysointi- ja synteesitaitojen kehittäminen, parityöskentelyn taidot, ammattisanaston laajentaminen.
Kuinka pelata tätä peliä:
Kasvatus: kiinnostuksen lisääminen aihetta kohtaan teorian käytännön soveltamisen avulla, opiskelijoiden oppimateriaalin tietoisen omaksumisen saavuttaminen, ryhmätyökyvyn muodostuminen, tietokonetermien oikea käyttö, kiinnostus tieteeseen, luonnontieteiden kunnioittaminen tulevaisuuden ammatti.
Tieteellinen tieto: B
Oppitunnin tyyppi: yhdistetty oppitunti:
- aiempien luokkien kattaman aineiston yhdistäminen;
- temaattinen, tieto-ongelmatekniikka;
- tällä oppitunnilla opitun materiaalin yleistäminen ja konsolidointi.
Opetusmenetelmä: selittävä - havainnollistava, ongelmallinen.
Tiedonhallinta: frontaalinen kysely, ongelmanratkaisu, esittely.
Oppitunnin materiaalit ja tekniset laitteet. tietokone, multimediaprojektori.
Metodologinen tuki: hakumateriaalit, esitys oppitunnin aiheesta, ristisanatehtävä.
Tuntien aikana
1. Organisaatiohetki: 5 min.
(tervehdys, ryhmän valmius oppitunnille).
2. Tietojen tarkistus:
Tarkista kysymykset suoraan dioista: 10 min.
- "Todennäköisyysteoria"-osion määritelmät
- osion "Todennäköisyysteoria" pääkonsepti
- mitä tapahtumia "todennäköisyysteoria" tutkii
- satunnaiselle tapahtumalle ominaista
- todennäköisyyksien klassinen määritelmä
Yhteenveto. 5 minuuttia.
3. Tehtävien ratkaiseminen riveissä: 5 min.
Tehtävä 1. Heitetään noppaa. Mikä on todennäköisyys saada parillinen luku, joka on pienempi kuin 5?
Tehtävä 2. Laatikossa on yhdeksän identtistä radioputkea, joista kolme oli käytössä. Työpäivän aikana päällikön täytyi viedä kaksi radioputkea laitteiden korjaamiseen. Millä todennäköisyydellä molempia lamppuja käytettiin?
Tehtävä 3. Kolmessa elokuvateatterissa on kolme erilaista elokuvaa. Todennäköisyys, että 1. salin lipunmyynnissä on lippuja tietylle tunnille, on 0,3, 2. salin lipunmyynnissä - 0,2 ja 3. salin lipunmyynnissä - 0,4. Millä todennäköisyydellä tietyllä tunnilla on mahdollista ostaa lippu ainakin yhteen elokuvaan?
4. Tarkista taululta, kuinka ongelmia ratkaistaan. Käyttö 1. 5 min.
5. johtopäätös ongelmien ratkaisemisesta:
Tapahtuman todennäköisyys on sama jokaisessa tehtävässä: m ja n - const
6. Tavoitteen asettaminen tehtävän läpi: 5 min.
Tehtävä. Kaksi samanarvoista shakinpelaajaa pelaa shakkia. Mikä on todennäköisyys voittaa kaksi peliä neljästä?
Mikä on todennäköisyys voittaa kolme peliä kuudesta (tasapeliä ei oteta huomioon)?
Kysymys. Ajattele ja nimeä ero tämän ongelman kysymysten ja edellisten ongelmien välillä?
Päättelemällä, vertaamalla, saavuta vastaus: kysymyksissä m ja n ovat erilaisia.
7. Oppitunnin aihe:
Tapahtuman esiintymistodennäköisyyden laskeminen k kertaa n:stä kokeesta p-constilla.
Jos tehdään kokeita, joissa tapahtuman A esiintymistodennäköisyys kussakin kokeessa ei riipu muiden kokeiden tuloksista, niin tällaisia kokeita kutsutaan tapahtuman A suhteen riippumattomiksi. Kokeilut, joissa jokaisessa kokeen esiintymistodennäköisyys tapahtuma on sama.
Bernoullin kaava. Todennäköisyys, että n riippumattomassa kokeessa, joissa kussakin tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin p (0 tai liite 2 Bernoullin kaava, jossa k,n-pieniä lukuja missä q = 1-p Ratkaisu: Tasapuoliset shakinpelaajat pelaavat, joten voiton todennäköisyys on p=1/2; näin ollen myös q:n menettämisen todennäköisyys on 1/2. Koska voiton todennäköisyys on vakio kaikissa peleissä ja sillä ei ole väliä missä järjestyksessä pelit voitetaan, voidaan soveltaa Bernoullin kaavaa. 5 minuuttia Laske todennäköisyys, että kaksi peliä neljästä voitetaan: Laske todennäköisyys, että kolme kuudesta pelistä voitetaan: Koska P4 (2) > P6 (3), se voittaa todennäköisemmin kaksi peliä neljästä kuin kolme peliä kuudesta. Laske todennäköisyys, että tapahtuma A toistuu täsmälleen 70 kertaa 243 kokeessa, jos tämän tapahtuman todennäköisyys kussakin kokeessa on 0,25. k=70, n=243 Tämä tarkoittaa, että k ja n ovat suuria lukuja. Tämä tarkoittaa, että Bernoullin kaavan mukaan laskeminen on vaikeaa. Tällaisissa tapauksissa käytetään paikallista Laplacen kaavaa: Lisäys 3 x:n positiivisille arvoille on lisäyksessä 4; x:n negatiivisille arvoille käytä samaa taulukkoa ja = . Osa 2. Kaavojen looginen vastaavuus. Normaalit muodot lausealgebrakaavoille Ekvivalenssisuhde Totuustaulukoiden avulla voidaan määrittää, minkä syöttömuuttujien totuusarvojoukon alla kaava saa oikean tai väärän arvon (sekä lauseen, jolla on vastaava looginen rakenne), mitkä kaavat ovat tautologioita tai ristiriitoja, ja myös selvittää, onko kaksi annettua kaavaa vastaava. Logiikassa kahden lauseen sanotaan olevan ekvivalentteja, jos ne ovat molemmat tosia tai molemmat vääriä. Sana "samanaikaisesti" tässä lauseessa on moniselitteinen. Joten lauseille "Huomenna on tiistai" ja "eilen oli sunnuntai" tällä sanalla on kirjaimellinen merkitys: maanantaina ne ovat molemmat tosia, ja muina viikkoina ne ovat molemmat vääriä. yhtälöille" x = 2" ja " 2x = 4» "samanaikaisesti" tarkoittaa "muuttujan samoilla arvoilla". Ennusteet "Huomenna sataa" ja "Ei ole totta, että huomenna ei sataa" vahvistetaan samanaikaisesti (osuutuvat todeksi) tai eivät vahvista (osoita vääräksi). Pohjimmiltaan tämä on sama ennuste ilmaistuna kahdessa eri muodossa, jotka voidaan esittää kaavoilla X ja . Nämä kaavat ottavat samanaikaisesti arvon "true" tai arvon "false". Tarkistaaksesi riittää tehdä totuustaulukko: Näemme, että totuusarvot ensimmäisessä ja viimeisessä sarakkeessa ovat samat. Tällaisia kaavoja ja niitä vastaavia lauseita pidetään luonnollisesti vastaavina. Kaavoja F 1 ja F 2 kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niiden ekvivalentti on tautologia. Kahden kaavan vastaavuus kirjoitetaan seuraavasti: (lue: kaava F1 vastaa kaavaa F2). On kolme tapaa tarkistaa, ovatko kaavat ekvivalentit: 1) tee niiden ekvivalentti ja tarkista totuustaulukon avulla, onko kyseessä tautologia; 2) tee jokaiselle kaavalle totuustaulukko ja vertaa lopullisia tuloksia; jos sarakkeissa samoille muuttujaarvoille
molempien kaavojen totuusarvot ovat yhtä suuret, silloin kaavat ovat ekvivalentteja; 3) vastaavien muunnosten avulla. Esimerkki 2.1: Selvitä ovatko kaavat ekvivalentit: 1) , ; 2) , . 1) Määritetään ekvivalenssi ensimmäisellä menetelmällä, eli selvitetään onko kaavojen ekvivalenssi tautologia. Tehdään kaavoille ekvivalenssi: . Tuloksena oleva kaava sisältää kaksi eri muuttujaa ( MUTTA ja AT) ja 6 operaatiota: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Tämä tarkoittaa, että vastaavassa totuustaulukossa on 5 riviä ja 8 saraketta: Totuustaulukon viimeisestä sarakkeesta voidaan nähdä, että koottu ekvivalenssi on tautologia ja siksi . 2) Selvittääksemme ovatko kaavat ja vastaavat, käytämme toista menetelmää, eli laadimme kullekin kaavalle totuustaulukon ja vertaamme lopullisia sarakkeita. ( Kommentti. Jotta toista menetelmää voitaisiin käyttää tehokkaasti, on välttämätöntä, että kaikki käännetyt totuustaulukot alkavat samalla tavalla, eli muuttujien arvojen joukot olivat samat vastaavilla riveillä
.) Kaavassa on kaksi eri muuttujaa ja 2 operaatiota, mikä tarkoittaa, että vastaavassa totuustaulukossa on 5 riviä ja 4 saraketta: Kaavassa on kaksi eri muuttujaa ja 3 operaatiota, mikä tarkoittaa, että vastaavassa totuustaulukossa on 5 riviä ja 5 saraketta: Vertaamalla koottujen totuustaulukoiden viimeisiä sarakkeita (koska taulukot alkavat samalla tavalla, voimme jättää huomioimatta muuttujien arvot), huomaamme, että ne eivät täsmää ja siksi kaavat eivät ole ekvivalentteja (). Lauseke ei ole kaava (koska symboli " " ei viittaa mihinkään loogiseen toimintoon). Se ilmaisee asenne kaavojen välillä (samoin kuin lukujen välinen yhtäläisyys, suorien välinen yhdensuuntaisuus jne.). Lause ekvivalenssirelaation ominaisuuksista pätee: Lause 2.1. Ekvivalenssisuhde lausealgebrakaavojen välillä: 1) refleksiivisesti: ; 2) symmetrisesti: jos , niin ; 3) transitiivisesti: jos ja , sitten . Logiikan lait Propositiologiikan kaavojen ekvivalenssit ovat usein ns logiikan lakeja. Listaamme niistä tärkeimmät: 1. - identiteetin laki. 2. - poissuljetun keskikohdan laki 3. - ristiriitalaki 4. - disjunktio nollan kanssa 5. - konjunktio nollan kanssa 6. - disjunktio yksikön kanssa 7. - yhdessä yksikön kanssa 8. - kaksoisnegaation laki 9. - konjunktion kommutatiivisuus 10. – disjunktion kommutatiivisuus 11. - konjunktion assosiatiivisuus 12. - disjunktion assosiaatio 13. – konjunktion distributiivisuus 14. – disjunktio 15. - idempotenssin lait 16. 17. 18. 19. 20. - lait, jotka ilmaisevat ekvivalenssia muiden loogisten operaatioiden kautta Logiikkalakeja käytetään yksinkertaistamaan monimutkaisia kaavoja ja osoittamaan, että kaavat ovat identtisesti tosia tai vääriä. Vastaavat muunnokset. Yksinkertaistavat kaavat Jos ekvivalenteissa kaavoissa kaikkialla korvataan sama kaava jonkin muuttujan sijasta, niin myös uudet kaavat osoittautuvat korvaussäännön mukaisesti vastaaviksi. Tällä tavalla jokaisesta ekvivalenssista voidaan saada mikä tahansa määrä uusia ekvivalentteja. Esimerkki 1: Jos De Morganin laissa sen sijaan X korvike, sijasta Y korvike , niin saamme uuden ekvivalenssin . Saadun ekvivalenssin oikeellisuus on helppo tarkistaa totuustaulukon avulla. Jos jokin kaava on osa kaavaa F, korvataan kaavalla, joka vastaa kaavaa , niin tuloksena oleva kaava vastaa kaavaa F. Sitten esimerkin 2 kaavalle voimme tehdä seuraavat korvaukset: - kaksoisnegaation laki; - De Morganin laki; - kaksoisnegaation laki; – assosiatiivisuuden laki; Ekvivalenssirelaation transitiivisuuden ominaisuudella voimme väittää, että Kaavan korvaamista toisella, sitä vastaavalla, kutsutaan vastaava muunnos
kaavat. Alla yksinkertaistaminen
kaavat, jotka eivät sisällä implikaatio- ja ekvivalenssimerkkejä, ymmärtävät ekvivalentin muunnoksen, joka johtaa kaavaan, joka ei sisällä ei-alkeiskaavojen negaatioita (erityisesti kaksoisnegatiota) tai sisältää yhteensä vähemmän konjunktio- ja disjunktiomerkkejä kuin alkuperäinen yksi. Esimerkki 2.2: Yksinkertaistetaan kaavaa Ensimmäisessä vaiheessa sovelsimme lakia, joka muuttaa implikation disjunktioksi. Toisessa vaiheessa sovellettiin kommutatiivista lakia. Kolmannessa vaiheessa sovellettiin idempotenssin lakia. Neljännellä - De Morganin laki. Ja viidennellä - kaksoisnegaation laki. Huomautus 1. Jos tietty kaava on tautologia, niin mikä tahansa sitä vastaava kaava on myös tautologia. Siten ekvivalentteja muunnoksia voidaan käyttää myös tiettyjen kaavojen identtisen totuuden todistamiseen. Tätä varten tämä kaava on pelkistettävä vastaavilla muunnoksilla yhteen kaavoista, jotka ovat tautologioita. Huomautus 2. Jotkut tautologiat ja ekvivalenssit yhdistetään pareiksi (ristiriitalaki ja vaihtoehtoisten lakien, kommutatiivisten, assosiatiivisten lakien jne.). Näissä kirjeenvaihdossa ns kaksinaisuuden periaate
. Kutsutaan kahta kaavaa, jotka eivät sisällä implikaatio- ja ekvivalenssimerkkejä kaksinkertainen
, jos jokainen niistä voidaan saada toiselta korvaamalla merkit vastaavasti -merkillä. Kaksinaisuuden periaate sanoo seuraavaa: Lause 2.2: Jos kaksi kaavaa, jotka eivät sisällä implikaatio- ja ekvivalenssimerkkejä, ovat ekvivalentteja, niin myös niiden kaksoiskaavat ovat ekvivalentteja. normaaleja muotoja normaali muoto on syntaktisesti yksiselitteinen tapa kirjoittaa kaava, joka toteuttaa tietyn funktion. Tunnettuja logiikan lakeja käyttämällä mikä tahansa kaava voidaan muuntaa muodon vastaavaksi kaavaksi Esimerkki 2.3: Suurissa kaavoissa tai useilla muunnoksilla on tapana jättää pois konjunktiomerkki (analogisesti kertomerkin kanssa): . Näemme, että suoritettujen muunnosten jälkeen kaava on kolmen konjunktion disjunktio. Tätä muotoa kutsutaan disjunktiivinen normaalimuoto
(DNF). Yksittäistä DNF:n elementtiä kutsutaan alkeisyhdistys
tai osayksikkö. Samalla tavalla mikä tahansa kaava voidaan pelkistää vastaavaksi kaavaksi, joka on elementtien konjunktio, joista jokainen on loogisten muuttujien disjunktio negatiivisella merkillä tai ilman. Toisin sanoen jokainen kaava voidaan pelkistää muodon vastaavaksi kaavaksi Esimerkki 2.4: Yksittäistä CNF:n elementtiä kutsutaan alkeellinen disjunktio
tai nollan ainesosa. On selvää, että jokaisessa kaavassa on äärettömän monta DNF:ää ja CNF:ää. Esimerkki 2.5: Etsitään useita DNF:itä kaavalle Täydelliset normaalit muodot SDNF (täydellinen DNF) on sellainen DNF, jossa jokainen alkeiskonjunktio sisältää kaikki alkeislausekkeet tai niiden negaatiot kerran, alkeiskonjunktioita ei toisteta. SKNF (täydellinen CNF) on sellainen CNF, jossa jokainen alkeisdisjunktio sisältää kaikki elementaariset lauseet tai niiden negaatiot kerran, alkeisdisjunktiot eivät toistu. Esimerkki 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF Muotoilkaamme SDNF:n (SKNF) ominaispiirteet. 1) Kaikki disjunktion (konjunktion) jäsenet ovat erilaisia; 2) Kunkin konjunktion (disjunktion) kaikki jäsenet ovat erilaisia; 3) Mikään konjunktio (disjunktio) ei sisällä sekä muuttujaa että sen negaatiota; 4) Jokainen konjunktio (disjunktio) sisältää kaikki alkuperäiseen kaavaan sisältyvät muuttujat. Kuten näemme, ominaisuudet (mutta eivät muodot!) täyttävät kaksinaisuuden määritelmän, joten riittää, että ymmärtää yhden muodon, jotta voidaan oppia saamaan molemmat. SDNF (SKNF) on helppo saada DNF:stä (CNF) vastaavien muunnosten avulla. Koska myös täydellisten normaalimuotojen saamisen säännöt ovat kaksijakoisia, analysoimme yksityiskohtaisesti SMNF:n saamisen sääntöä ja muotoilemme säännön SKNF:n hankkimiseksi itsenäisesti käyttämällä kaksinaisuuden määritelmää. Yleinen sääntö kaavan pelkistämiseksi SDNF:ksi käyttämällä vastaavia muunnoksia on:
Antaakseen kaavan F, joka ei ole identtisesti väärä, SDNF:lle, riittää: 1) tuoda se jollekin DNF:lle; 2) poista disjunktion jäsenet, jotka sisältävät muuttujan negaatioineen (jos sellaisia on); 3) samoista disjunktion jäsenistä (jos sellaisia on), poista kaikki paitsi yksi; 4) poista kaikki paitsi yksi kunkin konjunktion identtiset jäsenet (jos sellaisia on); 5) jos jokin konjunktio ei sisällä muuttujaa alkuperäisen kaavan muuttujista, lisää tähän konjunktioon termi ja soveltaa vastaavaa distributiivista lakia; 6) jos tuloksena oleva disjunktio sisältää samat termit, käytä reseptiä 3. Tuloksena oleva kaava on tämän kaavan SDNF. Esimerkki 2.7: Etsitään SDNF ja SKNF kaavalle Koska tämän kaavan DNF on jo löydetty (katso esimerkki 2.5), aloitamme hankkimalla SDNF:n: 2) tuloksena olevassa disjunktiossa ei ole muuttujia negaatioineen; 3) disjunktiossa ei ole identtisiä jäseniä; 4) missään konjunktiossa ei ole identtisiä muuttujia; 5) ensimmäinen alkeiskonjunktio sisältää kaikki alkuperäiseen kaavaan sisältyvät muuttujat ja toisesta alkeiskonjunktiosta puuttuu muuttuja z, joten lisätään termi siihen ja sovelletaan distributiivista lakia: ; 6) on helppo nähdä, että samat termit esiintyivät disjunktiossa, joten poistamme yhden (resepti 3); 3) poista yksi identtisistä disjunktioista: 4) muissa disjunktioissa ei ole identtisiä termejä; 5) mikään alkeisdisjunktioista ei sisällä kaikkia alkuperäiseen kaavaan sisältyviä muuttujia, joten täydennämme niitä kutakin konjunktiolla : ; 6) tuloksena olevassa konjunktiossa ei ole identtisiä disjunktioita, joten löydetty konjunktiivimuoto on täydellinen. Koska SKNF:n ja SDNF:n aggregaatissa kaavat F 8 jäsentä, niin todennäköisesti ne löytyvät oikein. Jokaisessa tyydyttävässä (kiistämättömässä) kaavassa on yksi SDNF ja yksi SKNF. Tautologialla ei ole SKNF:ää, ja ristiriidalla ei ole SDNF:ää. 1. Kaksi tasavertaista pelaajaa pelaa peliä, jossa tasapeliä ei oteta huomioon. Mikä on todennäköisyys, että ensimmäinen pelaaja voittaa: a) yksi peli kahdesta? b) kaksi neljästä? c) kolme kuudesta? Vastaus: a) ; b) ; sisään) 3. Leikkaa AB erotettuna pisteellä Kanssa suhteessa 2:1. Neljä pistettä heitetään satunnaisesti tälle segmentille. Laske todennäköisyys, että kaksi niistä on pisteen C vasemmalla puolella ja kaksi oikealla. Vastaus: 4. Laske todennäköisyys, että tapahtuma A toistuu täsmälleen 70 kertaa 243 kokeessa, jos tämän tapahtuman todennäköisyys kussakin kokeessa on 0,25. Vastaus: . 5. Todennäköisyys saada poika on 0,515. Laske todennäköisyys, että 100 vastasyntyneen pojat ja tytöt jakautuvat tasan. Vastaus: 0,0782 6. Myymälä vastaanotti 500 pulloa lasiastioissa. Todennäköisyys, että jokin pulloista rikkoutuu kuljetuksen aikana, on 0,003. Laske todennäköisyys, että kauppa saa rikkoutuneita pulloja: a) tasan kaksi; b) vähemmän kuin kaksi; c) vähintään kaksi; d) vähintään yksi. Vastaus: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95 7. Autotehdas valmistaa 80 % autoista ilman merkittäviä vikoja. Millä todennäköisyydellä tehtaalta autopörssiin tulleen 600 auton joukossa on vähintään 500 autoa ilman merkittäviä vikoja? Vastaus: 0,02. 8. Kuinka monta kertaa kolikkoa on käännettävä, jotta todennäköisyydellä 0,95 voit olettaa vaakunan suhteellisen tiheyden poikkeavan todennäköisyydestä R\u003d 0,5 vaakunan ulkonäkö yhdellä kolikonheitolla enintään 0,02? Vastaus: n ≥ 2401. 9. Tapahtuman todennäköisyys jokaisessa 100 riippumattomassa tapahtumassa on vakio ja yhtä suuri kuin p=0,8. Laske tapahtuman todennäköisyys: a) vähintään 75 kertaa ja enintään 90 kertaa; b) vähintään 75 kertaa; c) enintään 74 kertaa. Vastaus: a B C) . 10. Tapahtuman todennäköisyys kussakin riippumattomassa kokeessa on 0,2. Selvitä, mikä tapahtuman suhteellisen esiintymistiheyden poikkeama sen todennäköisyydestä voidaan odottaa todennäköisyydellä 0,9128 5000 kokeessa. Vastaus: 11. Kuinka monta kertaa kolikkoa pitää heittää, jotta todennäköisyydellä 0,6 voidaan olettaa, että vaakunan esiintymistiheyden suhteellinen poikkeama todennäköisyydestä p=0,5 on korkeintaan 0,01 absoluuttisena arvona. Vastaus: n = 1764. 12. Tapahtuman todennäköisyys jokaisessa 10 000 riippumattomassa kokeessa on 0,75. Laske todennäköisyys, että tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys poikkeaa sen todennäköisyydestä itseisarvossa enintään 0,01. Vastaus: . 13. Tapahtuman todennäköisyys kussakin riippumattomassa kokeessa on 0,5. Selvitä kokeiden lukumäärä n, jossa todennäköisyydellä 0,7698 voidaan olettaa, että tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys poikkeaa sen absoluuttisen arvon todennäköisyydestä enintään 0,02.8. Tehtävä.
9. Laadi algoritmi tehtävän ratkaisemiseksi: 5 min.
10. Tehtävän ratkaiseminen analyysillä taululla. Liite 5. 10 min.
11. Yhteenveto oppitunnin tiedoista esitysten avulla
X
1
0
1
0
1
0
MUTTA
AT
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
MUTTA
AT
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
MUTTA
AT
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- absorptiolainsäädäntö
; 
- De Morganin lait
on laki, joka ilmaisee vaikutuksen disjunktion kautta
- vastaasetuksen laki
on idempotenssin laki.
.
.
, jossa ja jokainen on joko muuttuja tai muuttujan negaatio tai muuttujien tai niiden negatiivisten konjunktio. Toisin sanoen mikä tahansa kaava voidaan pelkistää yksinkertaisen vakiomuodon vastaavaksi kaavaksi, joka on elementtien disjunktio, joista jokainen on erillisten erilaisten loogisten muuttujien konjunktio joko negatiivisella merkillä tai ilman.
, jossa ja jokainen on joko muuttuja tai muuttujan negaatio tai muuttujien tai niiden negaatioiden disjunktio. Tätä muotoa kutsutaan konjunktiivinen normaalimuoto
(KNF).
.
.
;
