Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot

matemaattisen analyysin käsitteet. Arvoa, jonka funktio on ottanut jossain kohdassa joukossa, jossa tämä funktio on määritetty, kutsutaan tämän joukon suurimmaksi (pienimmäksi) arvoksi, jos funktiolla ei ole suurempaa (pienempää) arvoa missään muussa joukon kohdassa. N. ja n. h. f. sen arvoihin verrattuna kaikkia riittävän lähellä olevia pisteitä kutsutaan funktion ääripäiksi (vastaavasti maksimit ja minimit). N. ja n. h. f., annettu janalle, voidaan saavuttaa joko pisteissä, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, tai pisteissä, joissa sitä ei ole, tai janan päissä. Janalle annettu jatkuva funktio saavuttaa välttämättä maksimi- ja minimiarvonsa; jos jatkuvaa funktiota tarkastellaan välissä (eli segmentissä, jossa on poissuljetut päät), niin sen arvojen joukossa tällä välillä ei välttämättä ole maksimi- tai minimiarvoa. Esimerkiksi funktio klo = x, annettu väliltä , saavuttaa suurimman ja pienimmän arvon, vastaavasti, klo x= 1 ja x= 0 (eli segmentin päissä); jos tarkastelemme tätä funktiota välillä (0; 1), niin sen arvojen joukossa tällä välillä ei ole suurinta eikä pienintä, koska jokaiselle x0 tämän välin piste on aina oikealla (vasemmalla) x0, ja siten, että funktion arvo tässä vaiheessa on suurempi (vastaavasti pienempi) kuin pisteessä x0. Samanlaiset lauseet pätevät useiden muuttujien funktioille. Katso myös Extreme.

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mitä "funktion suurimmat ja pienimmät arvot" ovat muissa sanakirjoissa:

Suuri tietosanakirja

Matemaattisen analyysin käsitteet. Arvoa, jonka funktio on ottanut jossain joukossa, jossa tämä funktio on annettu, kutsutaan tämän joukon suurimmaksi (pienimmäksi), jos funktiolla ei missään muussa pisteessä ole suurempi (pienempi) ... ... tietosanakirja

Matematiikan käsitteet. analyysi. Arvo, jonka funktio ottaa tietyssä joukon pisteessä, pa rum tämä funktio annetaan, kutsutaan. suurin (pienin) tässä joukossa, jos funktiolla ei missään muussa kohdassa ole suurempaa (pienempää) arvoa... Luonnontiede. tietosanakirja

MAKSIMI- JA MINIMITOIMINTO- vastaavasti funktion suurin ja pienin arvo verrattuna sen arvoihin kaikissa riittävän lähellä olevissa pisteissä. Korkeat ja matalat kohdat kutsutaan ääripisteiksi... Suuri ammattikorkeakoulun tietosanakirja

Reaaliarvoja ottavan funktion suurimmat ja vastaavasti pienimmät arvot. Kutsutaan kyseessä olevan funktion määritelmäalueen piste, jossa se ottaa maksimin tai minimin. vastaavasti maksimipiste tai minimipiste ..... Matemaattinen tietosanakirja

Kolmiosainen funktio funktionaalisten järjestelmien ja ternaarisen logiikan teoriassa on tyypin funktio, jossa on kolmiosainen joukko ja ei-negatiivinen kokonaisluku, jota kutsutaan funktion arityksi tai paikallisudeksi. Sarjan elementit ovat digitaalisia ... ... Wikipedia

Boolen funktioiden esitys normaalimuodoilla (katso Boolen funktioiden normaalimuodot). yksinkertaisin jonkin monimutkaisuuden suhteen. Yleensä normaalimuodon monimutkaisuus ymmärretään siinä olevien kirjainten lukumääränä. Tässä tapauksessa yksinkertaisinta muotoa kutsutaan ...... Matemaattinen tietosanakirja

Funktio, joka saa äärettömän pieniä lisäyksiä argumentin kasvaessa äärettömästi. Yksiarvoista funktiota f (x) kutsutaan jatkuvaksi argumentin x0 arvolle, jos kaikille argumentin x arvoille, jotka eroavat riittävän vähän x0:sta ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

- (Latinalainen maksimi ja minimi, kirjaimellisesti suurin ja pienin) (Math.), funktion suurin ja pienin arvo verrattuna sen arvoihin riittävän lähellä olevissa pisteissä. Kuvassa funktiolla y \u003d f (x) on maksimi pisteissä x1 ja x3 ja pisteessä x2 ... ... tietosanakirja

- (latinalaisesta maksimista ja minimistä, suurin ja pienin) (matemaattinen), funktion suurimmat ja pienimmät arvot verrattuna sen arvoihin riittävän lähellä olevissa pisteissä. Korkeat ja matalat kohdat kutsutaan ääripisteiksi... Nykyaikainen tietosanakirja

Joskus tehtävissä B15 on "huonoja" funktioita, joille on vaikea löytää derivaatta. Aikaisemmin tämä oli vain luotain, mutta nyt nämä tehtävät ovat niin yleisiä, että niitä ei voi enää jättää huomiotta tähän tenttiin valmistautuessa.

Tässä tapauksessa muut temput toimivat, joista yksi on - yksitoikkoinen.

Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti kasvavaksi janalla, jos jollekin tämän janan pisteille x 1 ja x 2 on totta:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti pieneneväksi janalla, jos jollekin tämän janan pisteille x 1 ja x 2 on totta:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Toisin sanoen, mitä suurempi x on, sitä suurempi on f(x). Pienevälle funktiolle asia on päinvastoin: mitä enemmän x , sitä pienempi f(x).

Esimerkiksi logaritmi kasvaa monotonisesti, jos kanta a > 1 ja pienenee monotonisesti, jos 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmeettinen neliöjuuri (eikä vain neliöjuuri) kasvaa monotonisesti koko määritelmän alueella:

Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa, kun a > 1 ja pienenee kun 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Lopuksi asteet negatiivisella eksponentilla. Voit kirjoittaa ne murtolukuna. Heillä on taukopiste, jossa yksitoikkoisuus katkeaa.

Kaikkia näitä toimintoja ei koskaan löydy puhtaassa muodossaan. Niihin lisätään polynomeja, murtolukuja ja muuta hölynpölyä, minkä vuoksi derivaatan laskeminen tulee vaikeaksi. Mitä tässä tapauksessa tapahtuu - nyt analysoimme.

Paraabelin kärjen koordinaatit

Useimmiten funktion argumentti korvataan arvolla neliön trinomi muotoa y = ax 2 + bx + c . Sen kaavio on vakioparaabeli, josta olemme kiinnostuneita:

1. Paraabelihaarat - voivat mennä ylös (> 0) tai alas (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Paraabelin kärki on neliöfunktion ääripiste, jossa tämä funktio saa pienimmän (> 0) tai suurimman (a)< 0) значение.

Suurin kiinnostus on paraabelin huippu, jonka abskissa lasketaan kaavalla:

Joten olemme löytäneet neliöfunktion ääripisteen. Mutta jos alkuperäinen funktio on monotoninen, sille piste x 0 on myös ääripiste. Joten muotoilemme avainsäännön:

Neliön trinomin ääripisteet ja kompleksifunktio, johon se tulee, ovat samat. Siksi voit etsiä x 0 neliötrinomia ja unohtaa funktion.

Yllä olevasta päättelystä jää epäselväksi, millaisen pisteen saamme: maksimin vai minimin. Tehtävät on kuitenkin suunniteltu erityisesti niin, ettei sillä ole väliä. Tuomari itse:

1. Ongelmatilanteessa ei ole segmenttiä. Siksi f(a):ta ja f(b:tä) ei tarvitse laskea. Jäljelle jää vain ääripisteiden huomioiminen;
2. Mutta on vain yksi sellainen piste - tämä on paraabelin x 0 huippu, jonka koordinaatit lasketaan kirjaimellisesti suullisesti ja ilman johdannaisia.

Siten ongelman ratkaisu yksinkertaistuu huomattavasti ja rajoittuu kahteen vaiheeseen:

1. Kirjoita paraabeliyhtälö y = ax 2 + bx + c ja etsi sen kärki kaavalla: x 0 = −b /2a;
2. Etsi alkuperäisen funktion arvo tässä pisteessä: f (x 0). Jos lisäehtoja ei ole, tämä on vastaus.

Ensi silmäyksellä tämä algoritmi ja sen perustelut voivat tuntua monimutkaisilta. En tarkoituksella julkaise "paljasta" ratkaisusuunnitelmaa, koska tällaisten sääntöjen ajattelematon soveltaminen on täynnä virheitä.

Harkitse matematiikan koekokeen todellisia tehtäviä - tässä tämä tekniikka on yleisin. Samalla varmistamme, että tällä tavalla monet B15:n ongelmat muuttuvat melkein sanallisiksi.

Juuren alla on neliöfunktio y \u003d x 2 + 6x + 13. Tämän funktion kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska kerroin a \u003d 1\u003e 0.

Paraabelin huippu:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Koska paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin, pisteessä x 0 \u003d −3, funktio y \u003d x 2 + 6x + 13 saa pienimmän arvon.

Juuri kasvaa monotonisesti, joten x 0 on koko funktion minimipiste. Meillä on:

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritmin alla on jälleen neliöfunktio: y \u003d x 2 + 2x + 9. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska a = 1 > 0.

Paraabelin huippu:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Joten pisteessä x 0 = −1 neliöfunktio saa pienimmän arvon. Mutta funktio y = log 2 x on monotoninen, joten:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponentti on neliöfunktio y = 1 − 4x − x 2 . Kirjoitetaan se uudelleen normaalimuotoon: y = −x 2 − 4x + 1.

Ilmeisesti tämän funktion kuvaaja on paraabeli, joka haarautuu alaspäin (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Alkuperäinen funktio on eksponentiaalinen, se on monotoninen, joten suurin arvo on löydetyssä pisteessä x 0 = −2:

Huomaavainen lukija huomaa varmasti, että emme kirjoittaneet juuren ja logaritmin sallittujen arvojen aluetta. Mutta tätä ei vaadittu: sisällä on toimintoja, joiden arvot ovat aina positiivisia.

Seuraukset funktion laajuudesta

Joskus tehtävän B15 ratkaisemiseksi ei riitä, että etsitään vain paraabelin kärki. Haluttu arvo voi olla jakson lopussa, mutta ei ääripisteessä. Jos tehtävä ei määritä segmenttiä ollenkaan, katso toleranssialue alkuperäinen toiminto. Nimittäin:

Kiinnitä jälleen huomiota: nolla voi hyvinkin olla juuren alla, mutta ei koskaan murtoluvun logaritmissa tai nimittäjässä. Katsotaanpa, miten se toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Etsi funktion suurin arvo:

Juuren alla on jälleen neliöfunktio: y \u003d 3 - 2x - x 2. Sen kuvaaja on paraabeli, mutta haarautuu alaspäin, koska a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Kirjoitamme sallittujen arvojen alueen (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; yksi]

Etsi nyt paraabelin kärki:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Piste x 0 = −1 kuuluu ODZ-segmenttiin - ja tämä on hyvä. Nyt tarkastelemme funktion arvoa pisteessä x 0 sekä ODZ:n päissä:

y(−3) = y(1) = 0

Joten, saimme luvut 2 ja 0. Meitä pyydetään löytämään suurin - tämä on numero 2.

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritmin sisällä on neliöfunktio y \u003d 6x - x 2 - 5. Tämä on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin, mutta logaritmissa ei voi olla negatiivisia lukuja, joten kirjoitamme ODZ: n:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Huomaa: epätasa-arvo on tiukka, joten päät eivät kuulu ODZ: lle. Tällä tavalla logaritmi eroaa juuresta, jossa segmentin päät sopivat meille varsin hyvin.

Etsitään paraabelin kärkeä:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Paraabelin huippu sopii ODZ:tä pitkin: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Mutta koska segmentin päät eivät kiinnosta meitä, huomioimme funktion arvon vain pisteessä x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Funktion suurin ja pienin arvo

Funktion suurinta arvoa kutsutaan suurimmaksi, pienin arvo on pienin sen arvoista.

Funktiolla voi olla vain yksi suurin ja vain yksi pienin arvo tai sitä ei voi olla ollenkaan. Jatkuvien funktioiden suurimman ja pienimmän arvojen löytäminen perustuu näiden funktioiden seuraaviin ominaisuuksiin:

1) Jos jossain välissä (äärellinen tai ääretön) funktio y=f(x) on jatkuva ja sillä on vain yksi ääripää, ja jos tämä on maksimi (minimi), se on funktion suurin (pienin) arvo tässä välissä.

2) Jos funktio f(x) on jatkuva jollakin segmentillä , niin sillä on välttämättä suurimmat ja pienimmät arvot tässä segmentissä. Nämä arvot saavutetaan joko segmentin sisällä olevissa ääripisteissä tai tämän segmentin rajoilla.

Segmentin suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi on suositeltavaa käyttää seuraavaa kaaviota:

1. Etsi derivaatta.

2. Etsi kriittiset pisteet funktiolle, jossa =0 tai ei ole olemassa.

3. Etsi funktion arvot kriittisistä pisteistä ja janan päistä ja valitse niistä suurin f max ja pienin f min.

Sovellettavia tehtäviä, erityisesti optimointitehtäviä ratkaistaessa ovat tärkeitä funktion suurimman ja pienimmän arvojen (globaalimaksimi ja globaali minimi) löytäminen väliltä X. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi tulee ehdon perusteella , valitse itsenäinen muuttuja ja ilmaise tutkittava arvo tämän muuttujan kautta. Etsi sitten tuloksena olevan funktion haluttu maksimi- tai minimiarvo. Tässä tapauksessa riippumattoman muuttujan, joka voi olla äärellinen tai ääretön, muutosväli määräytyy myös tehtävän ehdosta.

Esimerkki. Säiliö, joka on suorakaiteen muotoinen, neliömäinen, ylhäältä avoin, suuntaissärmiö, on tinattava sisältä tinalla. Mitkä pitäisi olla säiliön mitat, joiden tilavuus on 108 litraa. vettä niin, että sen tinauskustannukset ovat vähiten?

Päätös. Säiliön tinapinnoituskustannukset ovat alhaisimmat, jos sen pinta on tietyllä kapasiteetilla minimaalinen. Merkitse a dm - pohjan sivu, b dm - säiliön korkeus. Silloin sen pinnan pinta-ala S on yhtä suuri kuin

Ja

Tuloksena oleva suhde määrittää suhteen säiliön pinta-alan S (funktio) ja pohjan a sivun (argumentti) välillä. Tutkimme funktiota S ääripäälle. Etsi ensimmäinen derivaatta, vertaa se nollaan ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö:

Tästä syystä a = 6. (a) > 0, jos a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo välissä.

Päätös: Määritetty funktio on jatkuva koko lukuakselilla. Funktiojohdannainen

Johdannainen osoitteessa ja . Lasketaan funktion arvot näissä kohdissa:

.

Annetun intervallin päissä olevat funktioarvot ovat yhtä suuria kuin . Siksi funktion suurin arvo on , funktion pienin arvo on .

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten

1. Muotoile L'Hopitalin sääntö lomakkeen epävarmuustekijöiden paljastamisesta. Listaa erityyppiset epävarmuustekijät, joihin L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää.

2. Muotoile toiminnan lisääntymisen ja vähenemisen merkkejä.

3. Määritä funktion enimmäis- ja minimiarvo.

4. Muotoile välttämätön ehto ääripään olemassaololle.

5. Mitä argumentin arvoja (mitä kohtia) kutsutaan kriittisiksi? Kuinka löytää nämä pisteet?

6. Mitkä ovat riittävät merkit funktion ääripään olemassaolosta? Piirrä kaavio ääripään funktion tutkimiseksi käyttämällä ensimmäistä derivaatta.

7. Piirrä kaavio ääripään funktion tutkimiseksi käyttämällä toista derivaatta.

8. Määrittele käyrän kuperaus, koveruus.

9. Mikä on funktiokaavion käännepiste? Määritä, kuinka nämä kohdat löydät.

10. Muotoile tarvittavat ja riittävät merkit käyrän kuperuudesta ja koveruudesta tietylle segmentille.

11. Määritä käyrän asymptootti. Kuinka löytää funktiokaavion pysty-, vaaka- ja vinoasymptootit?

12. Piirrä yleinen kaavio funktion tutkimisesta ja sen graafin muodostamisesta.

13. Muotoile sääntö funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi tietyltä segmentiltä.

Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?

Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:

1 . Löydämme ODZ-toiminnot.

2 . Funktion derivaatan löytäminen

3 . Yhdistä derivaatta nollaan

4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:

Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="(!LANG:f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.

Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.

5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.

AT funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".

AT funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".

6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,

• sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
• tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja Valitse niistä pienin, jos haluat löytää funktion pienimmän arvon

Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.

Harkitse toimintoa . Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Tarkastellaan useita esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta Open Task Bank for

yksi . Tehtävä B15 (#26695)

Leikkauksessa.

1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.

Vastaus: 5.

2 . Tehtävä B15 (nro 26702)

Etsi funktion suurin arvo segmentillä.

1.ODZ-toiminto title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:

Siksi title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .

Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Vastaus: 5.

3. Tehtävä B15 (#26708)

Etsi funktion pienin arvo väliltä .

1. ODZ-funktiot: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.

Väli sisältää kaksi numeroa: ja

Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: . Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:

Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi segmentin funktion pienimmän arvon, sinun on verrattava funktion arvoja minimipiste ja janan vasemmassa päässä, .

Ja sen ratkaisemiseksi tarvitset vain vähän tietoa aiheesta. Seuraava lukuvuosi on loppumassa, kaikki haluavat lähteä lomalle, ja tämän hetken tuomiseksi lähemmäksi ryhdyn heti hommiin:

Aloitetaan alueesta. Ehdossa mainittu alue on rajoitettu suljettu pisteiden joukko tasossa. Esimerkiksi joukko pisteitä, joita rajoittaa kolmio, mukaan lukien KOKO kolmio (jos alkaen rajoja"Työtä ulos" vähintään yksi piste, niin aluetta ei enää suljeta). Käytännössä on myös suorakaiteen muotoisia, pyöreitä ja hieman monimutkaisempia alueita. On huomattava, että matemaattisen analyysin teoriassa annetaan tiukat määritelmät rajoitukset, eristyneisyys, rajat jne., mutta luulen, että kaikki ovat tietoisia näistä käsitteistä intuitiivisella tasolla, eikä enempää nyt tarvita.

Tasaista aluetta merkitään tavallisesti kirjaimella , ja se annetaan yleensä analyyttisesti - useilla yhtälöillä (ei välttämättä lineaarinen); harvemmin eriarvoisuutta. Tyypillinen sanallinen vaihtuvuus: "suljettu alue, jota rajoittavat rivit".

Olennainen osa käsiteltävää tehtävää on alueen rakentaminen piirustukseen. Kuinka tehdä se? On tarpeen piirtää kaikki luetellut viivat (tässä tapauksessa 3 suoraan) ja analysoida mitä tapahtui. Haluttu alue on yleensä varjostettu kevyesti ja sen reuna on korostettu lihavoidulla viivalla:


Sama alue voidaan asettaa lineaariset epätasa-arvot: , jotka jostain syystä kirjoitetaan useammin luettelona, ​​mutta eivät järjestelmä.
Koska raja kuuluu alueelle, kaikki epätasa-arvot tietysti ei-tiukka.

Ja nyt asian ydin. Kuvittele, että akseli menee suoraan sinulle koordinaattien origosta. Harkitse toimintoa, joka jatkuva jokaisessa alueen piste. Tämän funktion kaavio on pinta-, ja pieni onni on se, että tämän päivän ongelman ratkaisemiseksi meidän ei tarvitse tietää ollenkaan, miltä tämä pinta näyttää. Se voi sijaita yläpuolella, alapuolella, ylittää tason - kaikki tämä ei ole tärkeää. Ja seuraava on tärkeää: mukaan Weierstrassin lauseet, jatkuva sisään rajoitetusti suljettu alueella, toiminto saavuttaa maksiminsa ("korkeimmasta") ja vähiten ("alhaisimmista") arvot löytyvät. Nämä arvot saavutetaan tai sisään kiinteitä pisteitä, alueelle kuuluviaD , tai pisteissä, jotka sijaitsevat tämän alueen rajalla. Tästä seuraa yksinkertainen ja läpinäkyvä ratkaisualgoritmi:

Esimerkki 1

Rajoitetulla suljetulla alueella

Päätös: Ensinnäkin sinun on kuvattava alue piirustuksessa. Valitettavasti minun on teknisesti vaikeaa tehdä vuorovaikutteista mallia ongelmasta, ja siksi annan heti lopullisen kuvauksen, joka näyttää kaikki tutkimuksen aikana löydetyt "epäilyttävät" kohdat. Yleensä ne laitetaan alas yksi toisensa jälkeen, kun niitä löydetään:

Johdanto-osan perusteella päätös voidaan kätevästi jakaa kahteen kohtaan:

I) Etsitään kiinteät pisteet. Tämä on vakiotoiminto, jonka olemme suorittaneet toistuvasti oppitunnilla. useiden muuttujien ääripäistä:

Löytyi paikallaan oleva piste kuuluu alueet: (merkitse piirustukseen), mikä tarkoittaa, että meidän pitäisi laskea funktion arvo tietyssä pisteessä:

- kuten artikkelissa Segmentin funktion suurin ja pienin arvo, Korostan tärkeät tulokset lihavoituna. Muistikirjassa niitä on kätevää ympyröidä lyijykynällä.

Kiinnitä huomiota toiseen onneemme - ei ole mitään järkeä tarkistaa riittävä kunto ääripäälle. Miksi? Vaikka siinä kohdassa funktio saavuttaa esim. paikallinen minimi, tämä EI TARKOITA, että tuloksena oleva arvo on minimaalinen koko alueella (katso oppitunnin alku ehdottomista ääripäistä) .

Entä jos paikallaan oleva piste EI kuulu alueelle? Melkein ei mitään! On huomattava, että ja siirry seuraavaan kappaleeseen.

II) Tutkimme alueen rajaa.

Koska reunus koostuu kolmion sivuista, tutkimus on kätevää jakaa kolmeen alakohtaan. Mutta parempi on olla tekemättä sitä mitenkään. Minun näkökulmastani on aluksi edullisempaa tarkastella koordinaattiakseleiden suuntaisia ​​segmenttejä ja ennen kaikkea itse akseleilla olevia segmenttejä. Ymmärtääksesi koko toimien järjestyksen ja logiikan, yritä tutkia loppua "yhdessä hengityksessä":

1) Käsitellään kolmion alasivua. Tätä varten korvaamme suoraan funktioon:

Vaihtoehtoisesti voit tehdä sen seuraavasti:

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että koordinaattitaso (joka saadaan myös yhtälöstä)"leikata" pois pinnat"tilallinen" paraabeli, jonka huippu joutuu välittömästi epäilyyn. Otetaan selvää missä hän on:

- tuloksena oleva arvo "osui" alueella, ja se voi hyvinkin olla siinä kohdassa (merkki piirustukseen) funktio saavuttaa suurimman tai pienimmän arvon koko alueella. Joka tapauksessa, tehdään laskelmat:

Muut "ehdokkaat" ovat tietysti segmentin päätteitä. Laske funktion arvot pisteissä (merkki piirustukseen):

Täällä muuten voit suorittaa suullisen minitarkistuksen "riisoidulle" versiolle:

2) Kolmion oikean puolen tutkimiseksi korvaamme sen funktiolla ja "saamme asiat siellä järjestykseen":

Täällä suoritamme välittömästi karkean tarkistuksen "soittamalla" segmentin jo käsiteltyä loppua:
, täydellinen.

Geometrinen tilanne liittyy edelliseen kohtaan:

- tuloksena oleva arvo "pääsi myös kiinnostuksen kohteidemme piiriin", mikä tarkoittaa, että meidän on laskettava, mikä funktio on sama kuin ilmestyneessä kohdassa:

Tarkastellaan segmentin toista päätä:

Toiminnon käyttäminen , tarkistetaan:

3) Kaikki luultavasti tietävät kuinka tutkia jäljellä olevaa puolta. Korvaamme toimintoon ja teemme yksinkertaistuksia:

Linja päättyy on jo tutkittu, mutta luonnoksesta tarkistamme silti, löysimmekö toiminnon oikein :
– osui yhteen ensimmäisen alakohdan tuloksen kanssa;
– osui yhteen toisen alakohdan tuloksen kanssa.

On vielä selvitettävä, onko segmentissä jotain mielenkiintoista:

- on! Korvaamalla yhtälöön suoran, saamme tämän "mielenkiintoisuuden" ordinaatin:

Merkitsemme piirustukseen pisteen ja löydämme funktion vastaavan arvon:

Ohjataan laskelmia "budjetti"-version mukaan :
, Tilaus.

Ja viimeinen vaihe: Selaa huolellisesti kaikki "rasvat" numerot, suosittelen jopa aloittelijoille yhden luettelon tekemistä:

joista valitsemme suurimmat ja pienimmät arvot. Vastaus Kirjoita etsimisongelman tyyliin funktion suurin ja pienin arvo välissä:

Varmuuden vuoksi kommentoin vielä kerran tuloksen geometrista merkitystä:
– tässä on alueen korkein kohta;
- Tässä on pinnan alin kohta alueella.

Analysoidusta ongelmasta löytyi 7 ”epäilyttävää” pistettä, mutta niiden määrä vaihtelee tehtävästä toiseen. Kolmionmuotoisen alueen vähimmäis "tutkimusjoukko" koostuu kolmesta pisteestä. Tämä tapahtuu, kun toiminto esimerkiksi asetetaan kone- on melko selvää, että paikallaan olevia pisteitä ei ole, ja funktio voi saavuttaa maksimi-/minimiarvot vain kolmion huipuissa. Mutta sellaisia ​​esimerkkejä ei ole kerran, kahdesti - yleensä sinun täytyy käsitellä jonkinlaista toisen asteen pinta.

Jos ratkaiset tällaisia ​​​​tehtäviä vähän, kolmiot voivat saada pääsi pyörimään, ja siksi olen valmistellut sinulle epätavallisia esimerkkejä, jotta voit tehdä siitä neliön :))

Esimerkki 2

Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella, jota rajaavat viivat

Esimerkki 3

Etsi funktion suurin ja pienin arvo rajoitetulla suljetulla alueella.

Kiinnitä erityistä huomiota alueen rajan tutkimisen järkevään järjestykseen ja tekniikkaan sekä välitarkastusten ketjuun, joka välttää lähes kokonaan laskentavirheet. Yleisesti ottaen voit ratkaista sen haluamallasi tavalla, mutta joissakin ongelmissa, esimerkiksi samassa esimerkissä 2, on kaikki mahdollisuudet vaikeuttaa elämääsi merkittävästi. Likimääräinen esimerkki tehtävien viimeistelystä oppitunnin lopussa.

Systematisoimme ratkaisualgoritmin, muuten se hämähäkin ahkeruudellani jotenkin eksyi 1. esimerkin pitkään kommenttiketjuun:

- Ensimmäisessä vaiheessa rakennamme alueen, se on toivottavaa varjostaa ja korostaa reunaa paksulla viivalla. Ratkaisun aikana ilmestyy pisteitä, jotka on laitettava piirustukseen.

– Etsi kiinteät pisteet ja laske funktion arvot vain niissä, jotka kuuluvat alueelle . Saadut arvot on korostettu tekstissä (esimerkiksi ympyröity kynällä). Jos paikallaan oleva piste EI kuulu alueelle, merkitsemme tämän tosiasian kuvakkeella tai suullisesti. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole ollenkaan, teemme kirjallisen johtopäätöksen, että ne puuttuvat. Joka tapauksessa tätä kohtaa ei voi ohittaa!

– Raja-alueen tutkiminen. Ensinnäkin on edullista käsitellä suoria viivoja, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattiakseleiden kanssa (jos sellaisia ​​on). Myös "epäilyttävissä" kohdissa lasketut funktioarvot korostetaan. Yllä olevasta ratkaisutekniikasta on puhuttu paljon ja jotain muuta sanotaan alla - lue, lue uudelleen, syvenny!

- Valitse valituista numeroista suurin ja pienin arvo ja anna vastaus. Joskus käy niin, että toiminto saavuttaa tällaiset arvot useissa kohdissa kerralla - tässä tapauksessa kaikkien näiden pisteiden tulisi näkyä vastauksessa. Olkoon esim. ja kävi ilmi, että tämä on pienin arvo. Sitten kirjoitamme sen

Viimeiset esimerkit on omistettu muille hyödyllisille ideoille, joista on hyötyä käytännössä:

Esimerkki 4

Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella .

Olen säilyttänyt kirjoittajan sanamuodon, jossa alue on annettu kaksois-epäyhtälönä. Tämä ehto voidaan kirjoittaa vastaavassa järjestelmässä tai perinteisemmässä muodossa tälle ongelmalle:

Muistutan sinua siitä epälineaarinen kohtasimme eriarvoisuuksia ja jos et ymmärrä merkinnän geometrista merkitystä, älä viivyttele ja selvennä tilannetta heti ;-)

Päätös, kuten aina, alkaa alueen rakentamisesta, joka on eräänlainen "pohja":

Hmm, joskus joudut närästämään tieteen graniitin lisäksi...

I) Etsi kiinteät pisteet:

Idiootin unelmajärjestelmä :)

Kiinteä piste kuuluu alueelle, eli sijaitsee sen rajalla.

Ja niin, ei se mitään... hauska oppitunti meni - sitähän se oikean teen juominen tarkoittaa =)

II) Tutkimme alueen rajaa. Aloitetaan ilman pitkiä puheita x-akselista:

1) Jos , niin

Selvitä, missä paraabelin huippu on:
- Arvosta sellaisia ​​hetkiä - "lyö" suoraan siihen pisteeseen, josta kaikki on jo selvää. Mutta älä unohda tarkistaa:

Lasketaan funktion arvot segmentin päissä:

2) Käsittelemme "pohjan" alaosaa "yhdellä istumalla" - korvaamme sen toimintoon ilman komplekseja, ja lisäksi olemme kiinnostuneita vain segmentistä:

Kontrolli:

Nyt tämä tuo jo piristystä yksitoikkoiseen ajoon uurretulla radalla. Etsitään kriittiset kohdat:

Me päätämme toisen asteen yhtälö muistatko tämän? ... Muista kuitenkin, että muuten et olisi lukenut näitä rivejä =) Jos kahdessa edellisessä esimerkissä desimaalimurtolaskutoimitus oli kätevää (mikä on muuten harvinaista), niin tässä odotellaan tavallisia tavallisia murtolukuja. Löydämme "x"-juuret ja määritämme yhtälön avulla "ehdokas"-pisteiden vastaavat "pelin" koordinaatit:


Lasketaan funktion arvot löydetyistä pisteistä:

Tarkista toiminto itse.

Nyt tutkimme huolellisesti voitetut pokaalit ja kirjoitamme ylös vastaus:

Tässä ovat "ehdokkaat", joten "ehdokkaat"!

Itsenäinen ratkaisu:

Esimerkki 5

Etsi funktion pienin ja suurin arvo suljetulla alueella

Merkintä, jossa on kiharat aaltosulkeet, kuuluu näin: "joukko pisteitä, niin että".

Joskus he käyttävät tällaisissa esimerkeissä Lagrangen kerroinmenetelmä, mutta todellista tarvetta käyttää sitä ei todennäköisesti esiinny. Joten esimerkiksi, jos annetaan funktio, jolla on sama alue "de", niin sen korvaamisen jälkeen - derivaatalla, jolla ei ole vaikeuksia; Lisäksi kaikki on piirretty "yhdelle riville" (kylteillä) ilman, että ylempää ja alempaa puoliympyrää tarvitsee tarkastella erikseen. Mutta tietysti on monimutkaisempia tapauksia, joissa ei ole Lagrange-toimintoa (jossa esimerkiksi on sama ympyräyhtälö) siitä on vaikea selviytyä - kuinka vaikeaa onkaan tulla toimeen ilman hyvää lepoa!

Kaikkea hyvää istunnon läpäisemiseen ja nähdään pian ensi kaudella!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Päätös: piirrä alue piirustukseen: