Matematiikassa on erikoistekniikoita, joilla monet toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista hyvin nopeasti ja ilman eroja. Lisäksi asianmukaisella koulutuksella monet alkavat ratkaista toisen asteen yhtälöitä suullisesti, kirjaimellisesti "ensi silmäyksellä".

Valitettavasti nykyaikaisessa koulumatematiikan kurssissa tällaisia ​​tekniikoita ei juuri tutkita. Mutta sinun täytyy tietää! Ja tänään tarkastelemme yhtä näistä tekniikoista - Vietan lausetta. Ensin esitellään uusi määritelmä.

Toisen yhtälön muotoa x 2 + bx + c = 0 kutsutaan pelkistetyksi. Huomaa, että x 2:n kerroin on 1. Kertoimille ei ole muita rajoituksia.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 on pelkistetty toisen asteen yhtälö;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - myös pelkistetty;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - mutta tätä ei anneta ollenkaan, koska x 2:n kerroin on 2.

Tietenkin mitä tahansa neliöyhtälöä, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, voidaan pienentää - jaa vain kaikki kertoimet luvulla a. Voimme aina tehdä tämän, koska toisen asteen yhtälön määritelmä tarkoittaa, että a ≠ 0.

Totta, nämä muunnokset eivät aina ole hyödyllisiä juurien löytämisessä. Alla varmistamme, että tämä tulee tehdä vain, kun neliön antamassa lopullisessa yhtälössä kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Katsotaanpa nyt yksinkertaisimpia esimerkkejä:

Tehtävä. Muunna toisen asteen yhtälö pelkistetyksi yhtälöksi:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Jaetaan jokainen yhtälö muuttujan x 2 kertoimella. Saamme:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - jaettuna kaikki 3:lla;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - jaettuna −4:llä;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - jaettuna 1,5:llä, kaikista kertoimista tuli kokonaislukuja;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - jaettuna 2:lla. Tässä tapauksessa ilmaantui murtokertoimia.

Kuten näet, yllä olevilla toisen asteen yhtälöillä voi olla kokonaislukukertoimia, vaikka alkuperäinen yhtälö sisältäisi murto-osia.

Muotoilkaamme nyt päälause, jota varten itse asiassa otettiin käyttöön pelkistetyn toisen asteen yhtälön käsite:

Vietan lause. Tarkastellaan pelkistettyä toisen asteen yhtälöä muotoa x 2 + bx + c = 0. Oletetaan, että tällä yhtälöllä on reaalijuuret x 1 ja x 2. Tässä tapauksessa seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

1. x 1 + x 2 = −b. Toisin sanoen annetun toisen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin muuttujan x kerroin päinvastaisella etumerkillä otettuna;
2. x 1 x 2 = c. Neliöyhtälön juurten tulo on yhtä suuri kuin vapaa kerroin.

Esimerkkejä. Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme vain yllä olevia toisen asteen yhtälöitä, jotka eivät vaadi lisämuunnoksia:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; juuret: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = -15; juuret: x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = 4; juuret: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietan lause antaa meille lisätietoa toisen asteen yhtälön juurista. Ensi silmäyksellä tämä saattaa tuntua vaikealta, mutta jopa minimaalisella harjoittelulla opit "näkemään" juuret ja kirjaimellisesti arvaamaan ne muutamassa sekunnissa.

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälö:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Yritetään kirjoittaa kertoimet Vietan lauseella ja "arvata" juuret:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 on pelkistetty toisen asteen yhtälö.
   Vietan lauseella meillä on: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. On helppo nähdä, että juuret ovat luvut 2 ja 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - myös vähennetty.
   Vietan lauseen mukaan: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Tästä syystä juuret: 3 ja 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - tätä yhtälöä ei pelkistetä. Mutta korjataan tämä nyt jakamalla yhtälön molemmat puolet kertoimella a = 3. Saadaan: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Ratkaisemme käyttämällä Vietan lausetta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ juuret: −10 ja −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - taas kerran x 2:n kerroin ei ole yhtä suuri kuin 1, ts. yhtälöä ei annettu. Jaamme kaiken luvulla a = −7. Saamme: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Vietan lauseen mukaan: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Näistä yhtälöistä on helppo arvata juuret: 5 ja 6.

Yllä olevasta päättelystä käy selväksi, kuinka Vietan lause yksinkertaistaa toisen asteen yhtälöiden ratkaisua. Ei monimutkaisia ​​laskelmia, ei aritmeettisia juuria ja murtolukuja. Emmekä edes tarvinneet diskriminanttia (katso oppitunti "Keskinen yhtälöiden ratkaiseminen").

Lähdimme tietysti kaikissa pohdiskeluissamme kahdesta tärkeästä olettamuksesta, jotka eivät yleisesti ottaen aina täyty todellisissa ongelmissa:

1. Neliöyhtälö pelkistyy, ts. kerroin x 2:lle on 1;
2. Yhtälöllä on kaksi eri juurta. Algebrallisesta näkökulmasta tässä tapauksessa diskriminantti on D > 0 - itse asiassa oletamme aluksi, että tämä epäyhtälö on totta.

Tyypillisissä matemaattisissa ongelmissa nämä ehdot kuitenkin täyttyvät. Jos laskenta johtaa ”huonoon” toisen asteen yhtälöön (kerroin x 2 on eri kuin 1), tämä voidaan helposti korjata - katso esimerkkejä oppitunnin alussa. Olen yleensä hiljaa juurista: mikä tämä ongelma on, johon ei ole vastausta? Juuret ovat tietysti olemassa.

Siten yleinen kaavio toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Vietan lauseella on seuraava:

1. Pienennä toisen asteen yhtälö annettuun, ellei tätä ole jo tehty tehtävälausekkeessa;
2. Jos kertoimet yllä olevassa toisen asteen yhtälössä ovat murto-osia, ratkaisemme käyttämällä diskriminanttia. Voit jopa palata alkuperäiseen yhtälöön työskennelläksesi "kätevämpien" numeroiden kanssa;
3. Kokonaislukukertoimien tapauksessa ratkaisemme yhtälön käyttämällä Vietan lausetta;
4. Jos et pysty arvaamaan juuria muutamassa sekunnissa, unohda Vietan lause ja ratkaise käyttämällä diskriminanttia.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Joten meillä on edessämme yhtälö, jota ei pelkistetä, koska kerroin a = 5. Jaetaan kaikki 5:llä, saadaan: x 2 − 7x + 10 = 0.

Kaikki toisen asteen yhtälön kertoimet ovat kokonaislukuja - yritetään ratkaista se Vietan lauseella. Meillä on: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Tässä tapauksessa juuret on helppo arvata - ne ovat 2 ja 5. Diskriminantilla ei tarvitse laskea.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Katsotaan: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - tätä yhtälöä ei pelkistetä, jaetaan molemmat puolet kertoimella a = −5. Saamme: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - yhtälö murtokertoimilla.

On parempi palata alkuperäiseen yhtälöön ja laskea erottimen kautta: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Tehtävä. Ratkaise yhtälö: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Jaetaan ensin kaikki kertoimella a = 2. Saadaan yhtälö x 2 + 5x − 300 = 0.

Tämä on pelkistetty yhtälö, Vietan lauseen mukaan meillä on: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Tässä tapauksessa on vaikea arvata toisen asteen yhtälön juuria - henkilökohtaisesti olin vakavasti jumissa tämän ongelman ratkaisemisessa.

Sinun on etsittävä juuret diskriminantin kautta: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Jos et muista erottimen juuria, huomautan vain, että 1225: 25 = 49. Siksi 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Nyt kun diskriminantin juuri tiedetään, yhtälön ratkaiseminen ei ole vaikeaa. Saamme: x 1 = 15; x 2 = -20.

Tällä luennolla tutustumme toisen asteen yhtälön juurien ja sen kertoimien välisiin omituisiin suhteisiin. Nämä suhteet löysi ensimmäisenä ranskalainen matemaatikko François Viète (1540-1603).

Esimerkiksi yhtälölle 3x 2 - 8x - 6 = 0, etsimättä sen juuria, voit Vietan lauseella sanoa heti, että juurien summa on yhtä suuri kuin , ja juurten tulo on yhtä suuri
eli - 2. Ja yhtälölle x 2 - 6x + 8 = 0 päätämme: juurien summa on 6, juurten tulo on 8; Muuten, ei ole vaikea arvata, mitä juuret ovat: 4 ja 2.
Todistus Vietan lauseesta. Neliöyhtälön ax 2 + bx + c = 0 juuret x 1 ja x 2 löydetään kaavoilla

Missä D = b 2 - 4ac on yhtälön diskriminantti. Kun nämä juuret on yhdistetty,
saamme

Lasketaan nyt juurien x 1 ja x 2 tulo. Meillä on

Toinen suhde on todistettu:
Kommentti. Vietan lause pätee myös siinä tapauksessa, että toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri (eli kun D = 0), tässä tapauksessa oletetaan yksinkertaisesti, että yhtälöllä on kaksi identtistä juuria, joihin sovelletaan yllä olevia suhteita.
Todistetut suhteet pelkistetylle toisen asteen yhtälölle x 2 + px + q = 0 ovat erityisen yksinkertaisessa muodossa.

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
nuo. pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen vastakkaisella etumerkillä otettu kerroin, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.
Vietan lauseen avulla voit saada muita suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välille. Olkoon esimerkiksi x 1 ja x 2 pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 + px + q = 0 juuret.

Vietan lauseen päätarkoitus ei kuitenkaan ole se, että se ilmaisee joitain suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välillä. Paljon tärkeämpää on, että Vietan lausetta käyttäen johdetaan kaava toisen asteen trinomin laskemiseksi, jota emme tule toimeen ilman jatkossa.

Todiste. Meillä on

Esimerkki 1. Kerroin neliöllinen trinomi 3x 2 - 10x + 3.
Ratkaisu. Ratkaistuamme yhtälön 3x 2 - 10x + 3 = 0, löydämme neliötrinomin 3x 2 - 10x + 3 juuret: x 1 = 3, x2 = .
Lauseen 2 avulla saamme

Sen sijaan on järkevää kirjoittaa 3x - 1. Sitten saadaan lopulta 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Huomaa, että annettu neliöllinen trinomi voidaan kertoa ilman Lauseen 2 soveltamista ryhmittelymenetelmällä:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Mutta kuten näette, tällä menetelmällä menestys riippuu siitä, pystymmekö löytämään onnistuneen ryhmittelyn vai emme, kun taas ensimmäisellä menetelmällä menestys on taattu.
Esimerkki 1. Pienennä fraktiota

Ratkaisu. Yhtälöstä 2x 2 + 5x + 2 = 0 löydämme x 1 = - 2,

Yhtälöstä x2 - 4x - 12 = 0 löydämme x 1 = 6, x 2 = -2. Siksi
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Pienennetään nyt annettua murtolukua:

Esimerkki 3. Kertokaa ilmaisut:
a)x4 + 5x2 +6; b)2x+-3
Ratkaisu a) Otetaan käyttöön uusi muuttuja y = x2. Näin voit kirjoittaa annetun lausekkeen uudelleen neliöllisen trinomin muodossa muuttujan y suhteen, nimittäin muodossa y 2 + bу + 6.
Ratkaistuamme yhtälön y 2 + bу + 6 = 0, löydämme toisen asteen trinomin y 2 + 5у + 6 juuret: y 1 = - 2, y 2 = -3. Käytetään nyt Lause 2; saamme

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Pitää muistaa, että y = x 2, eli palaa annettuun lausekkeeseen. Niin,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Otetaan käyttöön uusi muuttuja y = . Näin voit kirjoittaa annetun lausekkeen uudelleen neliöllisen trinomin muodossa suhteessa muuttujaan y, nimittäin muodossa 2y 2 + y - 3. Yhtälön ratkaistua
2y 2 + y - 3 = 0, etsi neliötrinomin 2y 2 + y - 3 juuret:
y 1 = 1, y 2 = . Seuraavaksi saamme Lauseen 2 avulla:

Pitää muistaa, että y = , eli palaa annettuun lausekkeeseen. Niin,

Jakson lopussa - hieman päättelyä, joka liittyy jälleen Vietan lauseeseen, tai pikemminkin käänteiseen lausuntoon:
jos luvut x 1, x 2 ovat sellaisia, että x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, niin nämä luvut ovat yhtälön juuria
Tämän lauseen avulla voit ratkaista monia toisen asteen yhtälöitä suullisesti ilman hankalia juurikaavoja ja myös muodostaa toisen asteen yhtälöitä annetuilla juurilla. Annetaan esimerkkejä.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tässä x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. On helppo arvata, että x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tässä x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. On helppo arvata, että x 1 = -5, x 2 = -6.
Huomaa, että jos yhtälön valetermi on positiivinen luku, niin molemmat juuret ovat joko positiivisia tai negatiivisia; Tämä on tärkeää ottaa huomioon juuria valittaessa.

3) x 2 + x - 12 = 0. Tässä x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. On helppo arvata, että x 1 = 3, x2 = -4.
Huomaa: jos yhtälön vapaa termi on negatiivinen luku, niin juurilla on eri etumerkit; Tämä on tärkeää ottaa huomioon juuria valittaessa.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. On helppo nähdä, että x = 1 täyttää yhtälön, ts. x 1 = 1 on yhtälön juuri. Koska x 1 x 2 = - ja x 1 = 1, saadaan, että x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tässä x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Jos kiinnität huomiota siihen, että 2830 = 283. 10 ja 293 = 283 + 10, niin käy selväksi, että x 1 = 283, x 2 = 10 (kuvittele nyt, mitä laskelmia olisi suoritettava tämän toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi standardikaavojen avulla).

6) Muodostetaan toisen asteen yhtälö siten, että sen juuret ovat luvut x 1 = 8, x 2 = - 4. Yleensä tällaisissa tapauksissa muodostetaan pelkistetty toisen asteen yhtälö x 2 + px + q = 0.
Meillä on x 1 + x 2 = -p, joten 8 - 4 = -p, eli p = -4. Seuraavaksi x 1 x 2 = q, so. 8 «(-4) = q, josta saamme q = -32. Joten p = -4, q = -32, mikä tarkoittaa, että vaadittava toisen asteen yhtälö on muotoa x 2 -4x-32 = 0.

Mikä tahansa täydellinen toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0 voidaan tuoda mieleen x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jos jaat ensin jokaisen termin kertoimella a ennen x 2. Ja jos otamme käyttöön uusia merkintöjä (b/a) = p Ja (c/a) = q, niin meillä on yhtälö x 2 + px + q = 0, jota matematiikassa kutsutaan annettu toisen asteen yhtälö.

Vähennetyn toisen asteen yhtälön juuret ja kertoimet s Ja q kytketty toisiinsa. Se on vahvistettu Vietan lause, nimetty 1500-luvun lopulla asuneen ranskalaisen matemaatikon Francois Vietan mukaan.

Lause. Vähennetyn toisen asteen yhtälön juurien summa x 2 + px + q = 0 yhtä suuri kuin toinen kerroin s, otettu päinvastaisella merkillä, ja juurien tulo - vapaa termi q.

Kirjoitetaan nämä suhteet seuraavassa muodossa:

Antaa x 1 Ja x 2 annetun yhtälön eri juuret x 2 + px + q = 0. Vietan lauseen mukaan x 1 + x 2 = -p Ja x 1 x 2 = q.

Tämän todistamiseksi korvataan yhtälöön kukin juurista x 1 ja x 2. Saamme kaksi todellista tasa-arvoa:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Vähennetään toinen ensimmäisestä yhtälöstä. Saamme:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Laajennamme kaksi ensimmäistä termiä käyttämällä neliöiden erotuskaavaa:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

Ehdon mukaan juuret x 1 ja x 2 ovat erilaisia. Siksi voimme pienentää yhtälön arvoon (x 1 – x 2) ≠ 0 ja ilmaista p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Ensimmäinen tasa-arvo on todistettu.

Todistaaksemme toisen yhtälön korvaamme ensimmäisen yhtälön

x 1 2 + px 1 + q = 0 kertoimen p sijaan, yhtä suuri luku on (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Muuntamalla yhtälön vasenta puolta saamme:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, mikä oli todistettava.

Vietan lause on hyvä, koska Jopa tietämättä toisen asteen yhtälön juuria, voimme laskea niiden summan ja tulon .

Vietan lause auttaa määrittämään tietyn toisen asteen yhtälön kokonaislukujuuret. Mutta monille opiskelijoille tämä aiheuttaa vaikeuksia, koska he eivät tiedä selkeää toiminta-algoritmia, varsinkin jos yhtälön juurilla on erilaiset merkit.

Yllä oleva toisen asteen yhtälö on muotoa x 2 + px + q = 0, missä x 1 ja x 2 ovat sen juuret. Vietan lauseen mukaan x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q.

Tästä voidaan tehdä seuraava johtopäätös.

Jos yhtälön viimeistä termiä edeltää miinusmerkki, niin juurilla x 1 ja x 2 on eri etumerkit. Lisäksi pienemmän juuren etumerkki osuu yhteen yhtälön toisen kertoimen etumerkin kanssa.

Perustuen siihen, että kun lisäät lukuja eri etumerkeillä, niiden moduulit vähennetään ja tuloksena olevaa tulosta edeltää suuremman luvun etumerkki absoluuttisesti, sinun tulee toimia seuraavasti:

1. määritä luvun q tekijät siten, että niiden ero on yhtä suuri kuin luku p;
2. laita yhtälön toisen kertoimen etumerkki tuloksena olevista luvuista pienemmän eteen; toisella juurella on päinvastainen merkki.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä.

Esimerkki 1.

Ratkaise yhtälö x 2 – 2x – 15 = 0.

Ratkaisu.

Yritetään ratkaista tämä yhtälö käyttämällä yllä ehdotettuja sääntöjä. Sitten voimme sanoa varmasti, että tällä yhtälöllä on kaksi eri juurta, koska D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Nyt valitaan kaikista luvun 15 tekijöistä (1 ja 15, 3 ja 5) ne, joiden ero on 2. Näistä tulee luvut 3 ja 5. Laitetaan miinusmerkki pienemmän luvun eteen, ts. yhtälön toisen kertoimen etumerkki. Siten saamme yhtälön x 1 = -3 ja x 2 = 5 juuret.

Vastaus. x 1 = -3 ja x 2 = 5.

Esimerkki 2.

Ratkaise yhtälö x 2 + 5x – 6 = 0.

Ratkaisu.

Tarkastetaan, onko tällä yhtälöllä juuria. Tätä varten löydämme erottimen:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Yhtälöllä on kaksi eri juurta.

Luvun 6 mahdolliset tekijät ovat 2 ja 3, 6 ja 1. Ero on 5 parilla 6 ja 1. Tässä esimerkissä toisen termin kertoimella on plusmerkki, joten pienemmällä luvulla on sama etumerkki. . Mutta ennen toista numeroa tulee miinusmerkki.

Vastaus: x 1 = -6 ja x 2 = 1.

Vietan lause voidaan kirjoittaa myös täydelliselle toisen asteen yhtälölle. Joten, jos toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0 on juuret x 1 ja x 2, silloin yhtälöt pätevät niille

x 1 + x 2 = -(b/a) Ja x 1 x 2 = (c/a). Kuitenkin tämän lauseen soveltaminen täydellisessä toisen asteen yhtälössä on melko ongelmallista, koska jos juuria on, ainakin yksi niistä on murtoluku. Ja fraktioiden valitseminen on melko vaikeaa. Mutta silti on tie ulos.

Tarkastellaan täydellistä toisen asteen yhtälöä ax 2 + bx + c = 0. Kerro sen vasen ja oikea puoli kertoimella a. Yhtälö saa muotoa (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Otetaan nyt käyttöön uusi muuttuja, esimerkiksi t = ax.

Tässä tapauksessa tuloksena oleva yhtälö muuttuu pelkistetyksi toisen asteen yhtälöksi muotoa t 2 + bt + ac = 0, jonka juuret t 1 ja t 2 (jos niitä on) voidaan määrittää Vietan lauseella.

Tässä tapauksessa alkuperäisen toisen asteen yhtälön juuret ovat

x 1 = (t 1/a) ja x 2 = (t 2/a).

Esimerkki 3.

Ratkaise yhtälö 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Ratkaisu.

Luodaan apuyhtälö. Kerrotaan jokainen yhtälön termi 15:llä:

15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.

Teemme korvauksen t = 15x. Meillä on:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Vietan lauseen mukaan tämän yhtälön juuret ovat t 1 = 5 ja t 2 = 6.

Palataan korvaavaan t = 15x:

5 = 15x tai 6 = 15x. Joten x 1 = 5/15 ja x 2 = 6/15. Vähennämme ja saamme lopullisen vastauksen: x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.

Vastaus. x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.

Opiskelijoiden tulee harjoitella niin paljon kuin mahdollista, jotta he hallitsevat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen Vietan lauseella. Tämä on juuri menestyksen salaisuus.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, on linkki lähteeseen.

2.5 Vieta-kaava korkeampien asteiden polynomeille (yhtälöille).

Vièten johdetut kaavat toisen asteen yhtälöille pätevät myös korkeamman asteen polynomeille.

Olkoon polynomi

P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … +a n

Siinä on n eri juurta x 1, x 2..., x n.

Tässä tapauksessa sillä on muotoa:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)

Jaetaan tämän yhtälön molemmat puolet 0 ≠ 0:lla ja avataan sulut ensimmäisessä osassa. Saamme tasa-arvon:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n) x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Mutta kaksi polynomia ovat identtisesti yhtä suuret, jos ja vain, jos samojen potenssien kertoimet ovat yhtä suuret. Siitä seuraa, että tasa-arvo

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Esimerkiksi kolmannen asteen polynomeille

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Meillä on identiteettiä

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Mitä tulee toisen asteen yhtälöihin, tätä kaavaa kutsutaan Vietan kaavoiksi. Näiden kaavojen vasemmat puolet ovat symmetrisiä polynomeja tämän yhtälön juurista x 1, x 2 ..., x n, ja oikeat puolet ilmaistaan ​​polynomin kertoimella.

2.6 Toisen asteen yhtälöt (kaksikvadraattiset)

Neljännen asteen yhtälöt pelkistetään toisen asteen yhtälöiksi:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kutsutaan kaksikvadraattisiksi ja a ≠ 0.

Riittää, että tähän yhtälöön laitetaan x 2 = y, joten

ay² + by + c = 0

Etsitään tuloksena olevan toisen asteen yhtälön juuret

y 1,2 =

Jos haluat löytää juuret x 1, x 2, x 3, x 4 välittömästi, korvaa y x:llä ja saat

x² =

x 1,2,3,4 = .

Jos neljännen asteen yhtälöllä on x 1, niin sillä on myös juuri x 2 = -x 1,

Jos on x 3, niin x 4 = - x 3. Tällaisen yhtälön juurien summa on nolla.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Korvataan yhtälö bikvadraattisten yhtälöiden juurien kaavaan:

x 1,2,3,4 = ,

kun tiedät, että x 1 = -x 2 ja x 3 = -x 4, niin:

x 3,4 =

Vastaus: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Bikvadraattisten yhtälöiden tutkimus

Otetaan bikvadraattinen yhtälö

ax 4 + bx 2 + c = 0,

missä a, b, c ovat reaalilukuja ja a > 0. Esittämällä aputuntemattoman y = x², tutkimme tämän yhtälön juuria ja syötämme tulokset taulukkoon (katso liite nro 1)

2.8 Cardano-kaava

Jos käytämme modernia symboliikkaa, Cardanon kaavan johtaminen voi näyttää tältä:

x =

Tämä kaava määrittää yleisen kolmannen asteen yhtälön juuret:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Tämä kaava on erittäin hankala ja monimutkainen (se sisältää useita monimutkaisia ​​radikaaleja). Se ei aina päde, koska... erittäin vaikea täyttää.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Listaa tai valitse mielenkiintoisimmat paikat 2-3 tekstistä. Olemme siis tarkastelleet valinnaisten kurssien luomisen ja suorittamisen yleisiä säännöksiä, jotka otetaan huomioon kehitettäessä algebran vapaasti valittavaa kurssia arvosanalle 9 "Kvadraattiset yhtälöt ja epäyhtälöt parametrin kanssa". Luku II. Valinnaisen opintojakson ”Kvadraattiset yhtälöt ja epäyhtälöt parametrin kanssa” suorittamisen metodologia 1.1. Ovat yleisiä...

Ratkaisut numeerisista laskentamenetelmistä. Yhtälön juurten määrittämiseen ei vaadita Abelin, Galoisin, Lie jne. ryhmien teorioiden tuntemusta ja erityisten matemaattisten terminologioiden käyttöä: renkaat, kentät, ihanteet, isomorfismit jne. N:nnen asteen algebrallisen yhtälön ratkaisemiseksi tarvitset vain kyvyn ratkaista toisen asteen yhtälöitä ja erottaa juuret kompleksiluvusta. Juuret voidaan määrittää ...

Fyysisten suureiden mittayksiköillä MathCAD-järjestelmässä? 11. Kuvaile yksityiskohtaisesti teksti-, graafiset ja matemaattiset lohkot. Luento nro 2. Lineaarialgebratehtävät ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen MathCAD-ympäristössä Lineaarialgebra-tehtävissä on lähes aina tarve suorittaa erilaisia ​​operaatioita matriiseilla. Käyttöpaneeli matriiseineen sijaitsee Math-paneelissa. ...

Vietan lause (tarkemmin sanottuna lause, joka on käänteinen Vietan lauseelle) mahdollistaa toisen asteen yhtälöiden ratkaisun lyhentämisen. Sinun tarvitsee vain osata käyttää sitä. Kuinka oppia ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä Vietan lauseen avulla? Se ei ole vaikeaa, jos sitä vähän ajattelee.

Nyt puhutaan vain pelkistetyn toisen asteen yhtälön ratkaisemisesta Vietan lauseella. Pelkistetty toisen asteen yhtälö on yhtälö, jossa a eli x²:n kerroin on yhtä. On myös mahdollista ratkaista toisen asteen yhtälöitä, joita ei ole annettu Vietan lauseella, mutta ainakin yksi juurista ei ole kokonaisluku. Niitä on vaikeampi arvata.

Vietan lauseen käänteislause sanoo: jos luvut x1 ja x2 ovat sellaisia, että

silloin x1 ja x2 ovat toisen asteen yhtälön juuria

Kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö Vietan lauseella, vain 4 vaihtoehtoa on mahdollista. Jos muistat päättelyn, voit oppia löytämään kokonaisia ​​juuria hyvin nopeasti.

I. Jos q on positiivinen luku,

tämä tarkoittaa, että juuret x1 ja x2 ovat samanmerkkisiä lukuja (koska vain lukujen kertominen samoilla etumerkeillä tuottaa positiivisen luvun).

I.a. Jos -p on positiivinen luku, (vastaavasti s<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jos -p on negatiivinen luku, (vastaavasti p>0), niin molemmat juuret ovat negatiivisia lukuja (lisäsimme samanmerkkiset luvut ja saimme negatiivisen luvun).

II. Jos q on negatiivinen luku,

tämä tarkoittaa, että juurilla x1 ja x2 on eri etumerkit (lukuja kerrottaessa saadaan negatiivinen luku vain, kun tekijöiden etumerkit ovat erilaiset). Tässä tapauksessa x1 + x2 ei ole enää summa, vaan ero (loppujen lopuksi, kun lisäämme lukuja eri etumerkeillä, vähennämme pienemmän suuremmasta absoluuttisesti). Siksi x1+x2 näyttää kuinka paljon juuret x1 ja x2 eroavat toisistaan, eli kuinka paljon yksi juuri on suurempi kuin toinen (absoluuttisesti mitattuna).

II.a. Jos -p on positiivinen luku, (eli s<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jos -p on negatiivinen luku, (p>0), niin suurempi (modulo) juuri on negatiivinen luku.

Harkitsemme toisen asteen yhtälöiden ratkaisemista Vietan lauseen avulla esimerkkien avulla.

Ratkaise annettu toisen asteen yhtälö Vietan lauseella:

Tässä q=12>0, joten juuret x1 ja x2 ovat samanmerkkisiä lukuja. Niiden summa on -p=7>0, joten molemmat juuret ovat positiivisia lukuja. Valitsemme kokonaisluvut, joiden tulo on 12. Nämä ovat 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Parin 3 ja 4 summa on 7. Tämä tarkoittaa, että 3 ja 4 ovat yhtälön juuret.

Tässä esimerkissä q=16>0, mikä tarkoittaa, että juuret x1 ja x2 ovat samanmerkkisiä lukuja. Niiden summa on -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tässä q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, niin suurempi luku on positiivinen. Joten juuret ovat 5 ja -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.