Pyörivän kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin kappaleen kaikkien hiukkasten liike-energioiden summa:

Minkä tahansa hiukkasen massa, sen lineaarinen (kehä)nopeus, verrannollinen tämän hiukkasen etäisyyteen pyörimisakselista. Korvaamalla tämän lausekkeen ja poistamalla kaikkien hiukkasten yhteisen kulmanopeuden summan merkistä saadaan:

Tämä pyörivän kappaleen kineettisen energian kaava voidaan pelkistää muotoon, joka on samanlainen kuin translaatioliikkeen kineettisen energian lauseke, jos otetaan käyttöön kappaleen ns. hitausmomentin arvo. Aineellisen pisteen hitausmomentti on pisteen massan ja sen etäisyyden pyörimisakselista neliön tulo. Kehon hitausmomentti on kehon kaikkien aineellisten pisteiden hitausmomenttien summa:

Joten pyörivän kappaleen kineettinen energia määräytyy seuraavalla kaavalla:

Kaava (2) eroaa kaavasta, joka määrittää kappaleen kineettisen energian translaatioliikkeessä siten, että kehon massan sijaan tulee tähän hitausmomentti I ja nopeuden sijaan ryhmänopeus

Pyörivän vauhtipyörän suurta kineettistä energiaa käytetään tekniikassa ylläpitämään koneen tasaisuutta äkillisesti muuttuvan kuormituksen alla. Aluksi suurella hitausmomentilla olevan vauhtipyörän saattaminen pyörimään vaatii paljon työtä, mutta kun suuri kuorma äkillisesti käynnistetään, kone ei pysähdy ja toimii vauhtipyörän liike-energiareservin vuoksi.

Erityisen massiivisia vauhtipyöriä käytetään sähkömoottorilla toimivissa valssaamoissa. Tässä on kuvaus yhdestä pyörästä: "Pyörä on halkaisijaltaan 3,5 m ja painaa Normaalilla nopeudella 600 rpm pyörän liike-energia on sellainen, että pyörän valssaushetkellä pyörä antaa myllylle voimaa 20 000 litraa. kanssa. Laakereiden kitka on minimoitu satulla paineen alaisena ja keskipakohitausvoimien haitallisen vaikutuksen välttämiseksi pyörä tasapainotetaan siten, että pyörän ympärysmittaan kohdistuva kuorma nostaa sen levosta.

Esitämme (ilman laskelmia) joidenkin kappaleiden hitausmomenttien arvot (oletetaan, että jokaisella näistä kappaleista on sama tiheys kaikissa osissaan).

Ohuen renkaan hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevan ja sen tasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri (kuva 55):

Pyöreän kiekon (tai sylinterin) hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevan ja sen tasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri (kiekon napainen hitausmomentti; kuva 56):

Ohuen pyöreän kiekon hitausmomentti akselin ympäri, joka osuu yhteen sen halkaisijan kanssa (kiekon ekvatoriaalinen hitausmomentti; kuva 57):

Pallon hitausmomentti pallon keskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen:

Ohuen pallomaisen kerroksen hitausmomentti, jonka säde on keskustan läpi kulkevan akselin ympäri:

Paksun pallomaisen kerroksen (ontto pallon, jolla on ulkopinnan säde ja onkalosäde) hitausmomentti keskustan läpi kulkevan akselin ympäri:

Kappaleiden hitausmomenttien laskenta suoritetaan integraalilaskulla. Saadaksemme käsityksen tällaisten laskelmien kulusta, löydämme tangon hitausmomentin suhteessa siihen kohtisuoraan akseliin (kuva 58). Olkoon sauvan osa, tiheys. Erottelemme tangosta alkeellisesti pienen osan, jolla on pituus ja joka sijaitsee etäisyydellä x pyörimisakselista. Sitten sen massa Koska se on etäisyydellä x pyörimisakselista, niin sen hitausmomentti Integroimme nollasta I:hen:

Suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön hitausmomentti symmetria-akselin ympäri (kuva 59)

Rengasmaisen toruksen hitausmomentti (kuva 60)

Tarkastellaanpa, kuinka tasoa pitkin vierivän (liukumatta) kappaleen pyörimisenergia liittyy tämän kappaleen translaatioliikkeen energiaan,

Vierivän kappaleen translaatioliikkeen energia on , missä on kappaleen massa ja translaatioliikkeen nopeus. Olkoon vierivän kappaleen pyörimiskulmanopeus ja kappaleen säde. On helppo ymmärtää, että ilman liukumista vierivän kappaleen translaatioliikkeen nopeus on yhtä suuri kuin kappaleen kehänopeus kappaleen kosketuspisteissä tason kanssa (sinä aikana, kun kappale tekee yhden kierroksen, kehon painopiste siirtyy etäisyyden verran, joten

Täten,

Pyörimisenergia

siten,

Korvaamalla tässä yllä olevat hitausmomenttien arvot, huomaamme, että:

a) vierintävanteen pyörimisliikkeen energia on yhtä suuri kuin sen translaatioliikkeen energia;

b) vierivän homogeenisen kiekon pyörimisenergia on yhtä suuri kuin puolet translaatioliikkeen energiasta;

c) vierivän homogeenisen pallon pyörimisenergia on translaatioliikkeen energia.

Hitausmomentin riippuvuus pyörimisakselin asennosta. Anna tangon (kuva 61), jonka painopiste on pisteessä C, kiertyä kulmanopeudella (o akselin O ympäri, kohtisuorassa piirustuksen tasoon nähden. Oletetaan, että se siirtyi tietyn ajan kuluessa paikasta A B paikkaan A B ja painopiste kuvasi kaaria. Tätä liiketankoa voidaan pitää ikään kuin sauva siirtyisi ensin translaatiosuunnassa (eli pysyy samansuuntaisesti itsensä kanssa) asentoon ja kierrettiin sitten C:n ympäri asentoon. Merkitään (keskipisteen etäisyys painovoima pyörimisakselista) a:lla ja kulma a:lla Kun sauva siirtyy asennosta Ja In-asennosta, jokaisen sen hiukkasen siirtymä on sama kuin painopisteen siirtymä, eli se on yhtä suuri kuin tai To saada tangon todellinen liike, voidaan olettaa, että nämä molemmat liikkeet suoritetaan samanaikaisesti.O:n läpi kulkevan akselin ympäri voidaan jakaa kahteen osaan.

Määritetään kiinteän akselin ympäri pyörivän jäykän kappaleen liike-energia. Jaetaan tämä kappale n materiaalipisteeseen. Jokainen piste liikkuu lineaarisella nopeudella υ i =ωr i, sitten pisteen liike-energia

tai

Pyörivän jäykän kappaleen kineettinen kokonaisenergia on yhtä suuri kuin sen kaikkien materiaalipisteiden liike-energioiden summa:

(3.22)

(J - kappaleen hitausmomentti pyörimisakselin suhteen)

Jos kaikkien pisteiden liikeradat ovat yhdensuuntaisissa tasoissa (kuten sylinteri vierii alas kaltevaa tasoa, jokainen piste liikkuu omassa tasossa kuva), tämä on tasainen liike. Eulerin periaatteen mukaan tasoliike voidaan aina jakaa äärettömällä monella tavalla translaatio- ja pyöriväksi liikkeeksi. Jos pallo putoaa tai liukuu kaltevaa tasoa pitkin, se liikkuu vain eteenpäin; kun pallo pyörii, se myös pyörii.

Jos kappale suorittaa translaatio- ja pyörimisliikkeitä samanaikaisesti, niin sen kokonaiskineettinen energia on yhtä suuri kuin

(3.23)

Translaatio- ja pyörimisliikkeiden kineettisen energian kaavojen vertailusta voidaan nähdä, että inertian mitta pyörivän liikkeen aikana on kappaleen hitausmomentti.

§ 3.6 Ulkoisten voimien työ jäykän kappaleen pyörimisen aikana

Kun jäykkä kappale pyörii, sen potentiaalinen energia ei muutu, joten ulkoisten voimien perustyö on yhtä suuri kuin kehon liike-energian lisäys:

dA = dE tai

Ottaen huomioon, että Jβ = M, ωdr = dφ, meillä on kappaleen α äärellisessä kulmassa φ on yhtä suuri

(3.25)

Kun jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, ulkoisten voimien työ määräytyy näiden voimien momentin vaikutuksesta tietyn akselin ympäri. Jos voimien momentti akselin ympäri on nolla, nämä voimat eivät tuota työtä.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 2.1. vauhtipyörän massam= 5kg ja säder= 0,2 m pyörii vaaka-akselin ympäri taajuudellaν 0 =720 min -1 ja pysähtyy jarrutettaessat= 20 s. Selvitä jarrutusmomentti ja kierrosten lukumäärä ennen pysähtymistä.

Jarrutusmomentin määrittämiseksi käytämme pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälöä

missä I=mr 2 on levyn hitausmomentti; Δω \u003d ω - ω 0 ja ω \u003d 0 on lopullinen kulmanopeus, ω 0 \u003d 2πν 0 on alkunopeus. M on levyyn vaikuttavien voimien jarrutusmomentti.

Kun kaikki suuret tiedetään, on mahdollista määrittää jarrutusmomentti

herra 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Pyörimisliikkeen kinematiikasta pyörimiskulma levyn pyörimisen aikana pysähtymiseen voidaan määrittää kaavalla

(3)

missä β on kulmakiihtyvyys.

Tehtävän ehdon mukaan: ω = ω 0 - βΔt, koska ω=0, ω 0 = βΔt

Sitten lauseke (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Esimerkki 2.2. Kaksi vauhtipyörää levyjen muodossa, joilla oli sama säde ja massa, pyöritettiin pyörimisnopeuteenn= 480 rpm ja jätetään itselleen. Laakereihin kohdistuvien akselien kitkavoimien vaikutuksesta ensimmäinen pysähtyi sen jälkeent\u003d 80 s, ja toinen tekiN= 240 kierrosta pysähtymiseen. Missä vauhtipyörässä akselien kitkavoimien momentti laakereihin oli suurempi ja kuinka monta kertaa.

Löydämme ensimmäisen vauhtipyörän piikkien M 1 voimien momentin käyttämällä pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälöä

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

missä Δt on kitkavoiman momentin vaikutusaika, I \u003d mr 2 - vauhtipyörän hitausmomentti, ω 1 \u003d 2πν ja ω 2 \u003d 0 ovat vauhtipyörän alku- ja loppukulmanopeudet

Sitten

Toisen vauhtipyörän kitkavoimien momentti M 2 ilmaistaan ​​kitkavoimien työn A ja sen liike-energian muutoksen ΔE k välisen suhteen kautta:

missä Δφ = 2πN on pyörimiskulma, N on vauhtipyörän kierrosten lukumäärä.

Sitten missä

O suhde tulee olemaan

Toisen vauhtipyörän kitkamomentti on 1,33 kertaa suurempi.

Esimerkki 2.3. Homogeenisen kiinteän kiekon massa m, kuormien massat m 1 ja m 2 (kuva 15). Sylinterin akselilla ei ole kierteen liukumista ja kitkaa. Selvitä massojen kiihtyvyys ja kierteiden kireyden suhdeliikkeen prosessissa.

Kierre ei luista, joten kun m 1 ja m 2 tekevät translaatioliikettä, sylinteri pyörii pisteen O läpi kulkevan akselin ympäri. Oletetaan varmuuden vuoksi, että m 2 > m 1.

Sitten kuorma m 2 lasketaan ja sylinteri pyörii myötäpäivään. Kirjataan muistiin järjestelmään kuuluvien kappaleiden liikeyhtälöt

Kaksi ensimmäistä yhtälöä on kirjoitettu kappaleille, joiden massat ovat m 1 ja m 2 ja jotka suorittavat translaatioliikettä, ja kolmas yhtälö on pyörivälle sylinterille. Kolmannessa yhtälössä vasemmalla on sylinteriin vaikuttavien voimien kokonaismomentti (voimamomentti T 1 otetaan miinusmerkillä, koska voima T 1 pyrkii kääntämään sylinteriä vastapäivään). Oikealla I on sylinterin hitausmomentti akselin O ympäri, joka on yhtä kuin

jossa R on sylinterin säde; β on sylinterin kulmakiihtyvyys.

Koska lanka ei lipsu,
. Kun otetaan huomioon lausekkeet I:lle ja β:lle, saadaan:

Lisäämällä järjestelmän yhtälöt saadaan yhtälö

Täältä löydämme kiihtyvyyden a rahti

Tuloksena olevasta yhtälöstä voidaan nähdä, että kierteiden kireydet ovat samat, ts. =1, jos sylinterin massa on paljon pienempi kuin painojen massa.

Esimerkki 2.4. Onton pallon, jonka massa on m = 0,5 kg, ulkosäde R = 0,08 m ja sisäsäde r = 0,06 m. Pallo pyörii sen keskustan läpi kulkevan akselin ympäri. Tietyllä hetkellä palloon alkaa vaikuttaa voima, jonka seurauksena pallon pyörimiskulma muuttuu lain mukaan
. Määritä kohdistetun voiman momentti.

Ratkaisemme ongelman käyttämällä pyörivän liikkeen dynamiikan perusyhtälöä
. Suurin vaikeus on määrittää onton pallon hitausmomentti, ja kulmakiihtyvyys β saadaan
. Onton pallon hitausmomentti I on yhtä suuri kuin säteisen R pallon ja säteisen r pallon hitausmomenttien erotus:

missä ρ on pallon materiaalin tiheys. Löydämme tiheyden tietäen onton pallon massa

Tästä määritämme pallon materiaalin tiheyden

Voiman momentille M saadaan seuraava lauseke:

Esimerkki 2.5. Ohut sauva, jonka massa on 300 g ja pituus 50 cm, pyörii kulmanopeudella 10 s -1 vaakatasossa tangon keskiosan läpi kulkevan pystyakselin ympärillä. Selvitä kulmanopeus, jos sauva liikkuu samalla tasolla pyöriessä niin, että pyörimisakseli kulkee tangon pään läpi.

Käytämme liikemäärän säilymislakia

(1)

(J i - tangon hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin).

Eristetylle kappalejärjestelmälle liikemäärän vektorisumma pysyy vakiona. Koska tangon massan jakauma suhteessa pyörimisakseliin muuttuu, myös tangon hitausmomentti muuttuu kohdan (1) mukaisesti:

J0ω1 = J2ω2. (2)

Tiedetään, että tangon hitausmomentti massakeskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri on kohtisuorassa sauvaan nähden

J 0 \u003d mℓ 2/12. (3)

Steiner-lauseen mukaan

J = J 0 + m a 2

(J on tangon hitausmomentti mielivaltaisen pyörimisakselin ympärillä; J 0 on hitausmomentti massakeskuksen läpi kulkevan yhdensuuntaisen akselin ympärillä; a- etäisyys massakeskipisteestä valittuun pyörimisakseliin).

Etsitään hitausmomentti akselin ympärillä, joka kulkee sen pään läpi ja on kohtisuorassa sauvaan nähden:

J 2 \u003d J 0 +m a 2, J2 = mℓ2/12 +m(l/2)2 = mℓ2/3. (4)

Korvataan kaavat (3) ja (4) kaavaksi (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5s -1

Esimerkki 2.6 . massa miesm= 60 kg, seisoo lavan reunalla, massa M = 120 kg, pyörii hitaudella kiinteän pystyakselin ympäri taajuudella ν 1 = 12 min -1 , menee sen keskustaan. Kun katsot alustaa pyöreänä homogeenisena kiekkona ja henkilöä pistemassana, määritä millä taajuudella ν 2 alusta pyörii sitten.

Annettu: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Löytää: v 1

Päätös: Ongelman tilanteen mukaan taso, jossa on henkilö, pyörii hitaudella, ts. kaikkien pyörivään järjestelmään kohdistettujen voimien tuloksena oleva momentti on nolla. Siksi "alusta-mies" -järjestelmässä liikemäärän säilymisen laki täyttyy

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

missä
- järjestelmän hitausmomentti, kun henkilö seisoo laiturin reunalla (otimme huomioon, että lavan hitausmomentti on yhtä suuri kuin (R on säde p
lava), henkilön hitausmomentti lavan reunalla on mR 2).

- järjestelmän hitausmomentti, kun henkilö seisoo lavan keskellä (otimme huomioon, että lavan keskellä seisovan henkilön momentti on nolla). Kulmanopeus ω 1 = 2π ν 1 ja ω 1 = 2π ν 2 .

Korvaamalla kirjoitetut lausekkeet kaavaan (1) saadaan

mistä haluttu pyörimisnopeus

Vastaus: v 2 = 24 min -1.

Aloitetaan ottamalla huomioon kappaleen pyöriminen kiinteän akselin ympäri, jota kutsumme z-akseliksi (kuva 41.1). Alkuainemassan lineaarinen nopeus on missä on massan etäisyys akselista. Siksi alkuainemassan kineettiselle energialle saadaan lauseke

Kehon kineettinen energia koostuu sen osien liike-energioista:

Tämän suhteen oikealla puolella oleva summa on kappaleen 1 hitausmomentti pyörimisakselin suhteen. Siten kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen liike-energia on

Anna sisäisen voiman ja ulkoisen voiman vaikuttaa massaan (katso kuva 41.1). (20.5) mukaan nämä voimat toimivat ajan kuluessa

Suorittamalla tekijöiden syklinen permutaatio vektorien sekatuloissa (katso (2.34)), saamme:

missä N on sisäisen voiman momentti suhteessa pisteeseen O, N on ulkoisen voiman analoginen momentti.

Summaamalla lauseke (41.2) kaikkien alkuainemassojen päälle saadaan keholle ajan dt aikana suoritettu alkeistyö:

Sisäisten voimien momenttien summa on nolla (katso (29.12)). Näin ollen, merkitsemällä ulkoisten voimien kokonaismomenttia N:n kautta, saavutamme lausekkeen

(käytimme kaavaa (2.21)).

Lopuksi, kun otetaan huomioon, että on olemassa kulma, jonka läpi keho pyörii ajassa, saamme:

Teoksen etumerkki riippuu etumerkistä eli vektorin N projektiosta vektorin suuntaan

Joten, kun keho pyörii, sisäiset voimat eivät tee työtä, kun taas ulkoisten voimien työ määräytyy kaavan (41.4) mukaan.

Kaava (41.4) saadaan käyttämällä sitä tosiasiaa, että kaikkien kehoon kohdistuvien voimien tekemä työ lisää sen liike-energiaa (katso (19.11)). Kun otetaan tasa-arvon molempien puolten differentiaali (41.1), saadaan relaatio

Yhtälön (38.8) mukaan siis korvaamalla kautta päästään kaavaan (41.4).

Taulukko 41.1

Taulukossa. Kuvassa 41.1 pyörimisliikkeiden mekaniikan kaavoja verrataan vastaaviin translaatioliikkeen mekaniikan kaavoihin (pisteen mekaniikka). Tästä vertailusta on helppo päätellä, että kaikissa tapauksissa massan roolia esittää hitausmomentti, voiman roolia voimamomenttia, liikemäärän roolia liikemomentti jne.

Kaava. (41.1) saimme tapaukseen, jossa kappale pyörii runkoon kiinnitetyn kiinteän akselin ympäri. Oletetaan nyt, että kappale pyörii mielivaltaisesti kiinteän pisteen ympäri, joka osuu yhteen sen massakeskuksen kanssa.

Yhdistäkäämme jäykästi karteesinen koordinaattijärjestelmä kappaleeseen, jonka origo sijoitetaan kehon massakeskipisteeseen. i:nnen perusmassan nopeus on Siksi kehon kineettiselle energialle voidaan kirjoittaa lauseke

missä on vektorien välinen kulma. Korvataan läpimeno ja otetaan huomioon, mitä saamme:

Kirjoitamme skalaaritulot vektorien projektioiden perusteella kehoon liittyvän koordinaattijärjestelmän akseleille:

Lopuksi yhdistämällä termit samoihin kulmanopeuden komponenttien tuloihin ja poistamalla nämä tulot summien etumerkeistä saadaan: niin kaava (41.7) saa muodon (vrt. (41.1)). Kun mielivaltainen kappale pyörii yhden päähitausakselin ympäri, sanotaan, että akselit ja kaava (41.7) menee kohtaan (41.10.

Täten. pyörivän kappaleen liike-energia on yhtä suuri kuin puolet hitausmomentin ja kulmanopeuden neliön tulosta kolmessa tapauksessa: 1) kappaleelle, joka pyörii kiinteän akselin ympäri; 2) kappaleelle, joka pyörii yhden päähitausakselin ympäri; 3) pallopäälle. Muissa tapauksissa kineettinen energia määräytyy monimutkaisemmilla kaavoilla (41.5) tai (41.7).

Tarkastellaan ensin jäykkää kappaletta, joka pyörii kiinteän akselin OZ ympäri kulmanopeudella ω (kuva 5.6). Jaetaan keho alkeismassoiksi. Alkuainemassan lineaarinen nopeus on , missä on sen etäisyys pyörimisakselista. Kineettinen energia i- että alkeismassa on yhtä suuri

.

Koko kehon liike-energia koostuu siis sen osien liike-energioista

.

Kun otetaan huomioon, että tämän suhteen oikealla puolella oleva summa edustaa kappaleen hitausmomenttia pyörimisakselin suhteen, saadaan lopulta

. (5.30)

Pyörivän kappaleen kineettisen energian kaavat (5.30) ovat samanlaiset kuin vastaavat kappaleen translaatioliikkeen liike-energian kaavat. Ne saadaan jälkimmäisestä muodollisella korvauksella .

Yleisessä tapauksessa jäykän kappaleen liike voidaan esittää liikkeiden summana - translaatio nopeudella, joka on yhtä suuri kuin kappaleen massakeskuksen nopeus, ja pyöriminen kulmanopeudella kappaleen läpi kulkevan hetkellisen akselin ympäri. massan keskipiste. Tässä tapauksessa kehon kineettisen energian ilmaisu saa muodon

.

Etsitään nyt työ, jonka tekee ulkoisten voimien momentti jäykän kappaleen pyörimisen aikana. Ulkoisten voimien alkeistyö ajassa dt on yhtä suuri kuin kehon liike-energian muutos

Ottaen differentiaalin pyörivän liikkeen kineettisestä energiasta, löydämme sen lisäyksen

.

Pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälön mukaisesti

Nämä suhteet huomioon ottaen pelkistetään lauseke alkeistyö muotoon

missä on ulkoisten voimien tuloksena olevan momentin projektio pyörimisakselin suuntaan OZ, on kappaleen pyörimiskulma tarkasteltuna ajanjaksona.

Integroimalla (5.31) saadaan kaava pyörivään kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien työlle

Jos , niin kaava on yksinkertaistettu

Siten ulkoisten voimien työ jäykän kappaleen pyöriessä kiinteän akselin ympäri määräytyy näiden voimien momentin projektion vaikutuksesta tietylle akselille.

Gyroskooppi

Gyroskooppi on nopeasti pyörivä symmetrinen kappale, jonka pyörimisakseli voi muuttaa suuntaaan avaruudessa. Jotta gyroskoopin akseli voi pyöriä vapaasti avaruudessa, gyroskooppi asetetaan ns. kardaaniripustukseen (kuva 5.13). Gyroskoopin vauhtipyörä pyörii sisemmässä rengasmaisessa häkissä sen painopisteen kautta kulkevan C 1 C 2 -akselin ympäri. Sisähäkki puolestaan ​​voi pyöriä ulkohäkissä akselin B1B2 ympäri, joka on kohtisuorassa C1C2:een nähden. Lopuksi ulkokehä voi pyöriä vapaasti joustinlaakereissa akselin A 1 A 2 ympäri, joka on kohtisuorassa akseleihin C 1 C 2 ja B 1 B 2 nähden. Kaikki kolme akselia leikkaavat jossain kiinteässä pisteessä O, jota kutsutaan jousituksen keskipisteeksi tai gyroskoopin tukipisteeksi. Gibaalissa olevalla gyroskoopilla on kolme vapausastetta, ja siksi se voi pyörittää minkä tahansa gimbalin keskustan ympäri. Jos gyroskoopin ripustuskeskus osuu yhteen sen painopisteen kanssa, tuloksena oleva gyroskoopin kaikkien osien painopiste suhteessa ripustuskeskukseen on nolla. Tällaista gyroskooppia kutsutaan tasapainoiseksi.

Tarkastellaan nyt gyroskoopin tärkeimpiä ominaisuuksia, jotka ovat löytäneet sille laajan sovelluksen eri aloilla.

1) Kestävyys.

Kun tasapainotettua gyroskooppitelinettä pyöritetään, sen pyörimisakseli pysyy samassa suunnassa laboratorion vertailukehykseen nähden. Tämä johtuu siitä, että kaikkien ulkoisten voimien momentti, joka on yhtä suuri kuin kitkavoimien momentti, on hyvin pieni eikä käytännössä aiheuta muutosta gyroskoopin kulmamomentissa, ts.

Koska kulmamomentti on suunnattu pitkin gyroskoopin pyörimisakselia, sen suuntauksen tulee pysyä muuttumattomana.

Jos ulkoinen voima vaikuttaa lyhyen aikaa, niin kulmamomentin lisäyksen määräävä integraali on pieni

. (5.34)

Tämä tarkoittaa, että jopa suurten voimien lyhytaikaisissa vaikutuksissa tasapainoisen gyroskoopin liike muuttuu vain vähän. Gyroskooppi ikään kuin vastustaa kaikkia yrityksiä muuttaa sen kulmamomentin suuruutta ja suuntaa. Tähän liittyy se huomattava vakaus, jonka gyroskoopin liike saa sen jälkeen kun se on saatettu nopeaan pyörimiseen. Tätä gyroskoopin ominaisuutta käytetään laajalti lentokoneiden, laivojen, rakettien ja muiden ajoneuvojen liikkeen automaattiseen ohjaamiseen.

Jos gyroskooppiin kuitenkin kohdistuu pitkään suuntavakio ulkoisten voimien momentti, niin gyroskoopin akseli asettuu lopulta ulkoisten voimien momentin suuntaan. Tätä ilmiötä käytetään gyrokompassissa. Tämä laite on gyroskooppi, jonka akseli voi pyöriä vapaasti vaakatasossa. Maan päivittäisestä pyörimisestä ja keskipakovoimien vaikutuksesta johtuen gyroskoopin akseli pyörii niin, että ja välissä oleva kulma tulee minimaaliseksi (kuva 5.14). Tämä vastaa gyroskoopin akselin sijaintia meridiaanitasolla.

2). Gyroskooppinen vaikutus.

Jos pyörivään gyroskooppiin kohdistetaan voimien pari, joka pyrkii pyörittämään sitä pyörimisakseliin nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri, se pyörii kolmannen akselin ympäri, kohtisuorassa kahteen ensimmäiseen nähden (kuva 5.15). Tätä gyroskoopin epätavallista käyttäytymistä kutsutaan gyroskooppiseksi efektiksi. Se selittyy sillä, että voimaparin momentti on suunnattu pitkin O 1 O 1 -akselia ja vektorin muutoksella arvon verran ajan myötä on sama suunta. Tämän seurauksena uusi vektori pyörii O 2 O 2 -akselin ympäri. Siten gyroskoopin näennäisesti luonnoton käyttäytyminen vastaa täysin pyörivän liikkeen dynamiikan lakeja

3). Gyro-precessio.

Gyroskoopin precessio on sen akselin kartiomaista liikettä. Se tapahtuu, kun ulkoisten voimien momentti, joka pysyy suuruudeltaan vakiona, pyörii samanaikaisesti gyroskoopin akselin kanssa muodostaen sen kanssa koko ajan suoran kulman. Precession havainnollistamiseksi voi toimia nopeasti pyörivällä pidennetyllä akselilla varustettu polkupyörän pyörä (kuva 5.16).

Jos pyörä on ripustettu akselin jatkettuun päähän, sen akseli alkaa kulkea pystyakselin ympäri oman painonsa vaikutuksesta. Nopeasti pyörivä yläosa voi myös toimia osoituksena precessiosta.

Ota selvää gyroskoopin precession syistä. Tarkastellaan epätasapainoista gyroskooppia, jonka akseli voi pyöriä vapaasti tietyn pisteen O ympäri (kuva 5.16). Gyroskooppiin kohdistettu painovoima on suuruudeltaan yhtä suuri

missä on gyroskoopin massa, on etäisyys pisteestä O gyroskoopin massakeskipisteeseen, on gyroskoopin akselin muodostama kulma pystysuoran kanssa. Vektori on suunnattu kohtisuoraan gyroskoopin akselin läpi kulkevaan pystytasoon nähden.

Tämän hetken vaikutuksesta gyroskoopin kulmaliikemäärä (sen alku on pisteessä O) saa ajassa lisäyksen ja gyroskoopin akselin läpi kulkeva pystytaso pyörii kulman verran. Vektori on aina kohtisuorassa kohtaan, joten ilman suuruusmuutoksia vektori vain muuttaa suuntaa. Tässä tapauksessa jonkin ajan kuluttua vektorien ja suhteellinen sijainti on sama kuin alkuhetkellä. Tämän seurauksena gyroskoopin akseli pyörii jatkuvasti pystysuoran ympäri, mikä kuvaa kartiota. Tätä liikettä kutsutaan precessioksi.

Määritetään precession kulmanopeus. Kuvan 5.16 mukaan kartion akselin ja gyroskoopin akselin läpi kulkevan tason kiertokulma on yhtä suuri kuin

missä on gyroskoopin kulmaliikemäärä ja sen kasvu ajan myötä.

Jakamalla :lla, ottaen huomioon yllä olevat suhteet ja muunnokset, saadaan precession kulmanopeus

. (5.35)

Tekniikassa käytettävillä gyroskoopeilla precession kulmanopeus on miljoonia kertoja pienempi kuin gyroskoopin pyörimisnopeus.

Lopuksi toteamme, että precessioilmiö havaitaan myös atomeissa elektronien kiertoradan liikkeen vuoksi.

Esimerkkejä dynamiikan lakien soveltamisesta

Pyöriessään

1. Tarkastellaan joitain esimerkkejä liikemäärän säilymislaista, joka voidaan toteuttaa Zhukovsky-penkillä. Yksinkertaisimmassa tapauksessa Zhukovsky-penkki on kiekon muotoinen alusta (tuoli), joka voi pyöriä vapaasti pystyakselin ympäri kuulalaakereilla (kuva 5.17). Mielenosoittaja istuu tai seisoo penkillä, minkä jälkeen se saatetaan kiertoliikkeeseen. Koska laakereiden käytöstä johtuvat kitkavoimat ovat hyvin pieniä, penkistä ja demonstraattorista koostuvan järjestelmän kulmamomentti pyörimisakselin ympäri ei voi muuttua ajassa, jos järjestelmä jätetään omaan arvoonsa. Jos mielenosoittaja pitää raskaita käsipainoja käsissään ja levittää kätensä sivuille, niin hän lisää järjestelmän hitausmomenttia, ja siksi pyörimiskulman nopeuden on pienennettävä niin, että kulmamomentti pysyy muuttumattomana.

Liikemäärän säilymislain mukaan muodostamme yhtälön tälle tapaukselle

missä on henkilön ja penkin hitausmomentti ja ensimmäisessä ja toisessa asennossa olevien käsipainojen hitausmomentti ja ovat järjestelmän kulmanopeudet.

Järjestelmän pyörimiskulmanopeus, kun käsipainoja kasvatetaan sivulle, on yhtä suuri

.

Ihmisen käsipainoja liikuttaessa tekemä työ voidaan määrittää järjestelmän liike-energian muutoksen kautta

2. Tehdään vielä yksi kokeilu Žukovskin penkillä. Esittelijä istuu tai seisoo penkillä ja saa nopeasti pyörivän pyörän, jonka akseli on suunnattu pystysuoraan (kuva 5.18). Demonstraattori kääntää sitten pyörää 180 0 . Tällöin pyörän kulmamomentin muutos siirtyy kokonaan penkkiin ja demonstraattoriin. Seurauksena on, että penkki yhdessä demonstraattorin kanssa pyörii liikemäärän säilymislain perusteella määrätyllä kulmanopeudella.

Järjestelmän kulmamomentti alkutilassa määräytyy vain pyörän kulmamomentin mukaan ja on yhtä suuri kuin

missä on pyörän hitausmomentti, on sen pyörimisen kulmanopeus.

Kun pyörää on käännetty 180 0 kulmassa, järjestelmän liikemäärä määräytyy jo henkilön kanssa olevan penkin liikemäärän ja pyörän liikemäärän momentin summana. Ottaen huomioon sen tosiasian, että pyörän liikemäärävektori on muuttanut suuntansa päinvastaiseksi ja sen projektio pystyakselilla on muuttunut negatiiviseksi, saadaan

,

missä on "mies-lava" -järjestelmän hitausmomentti, on penkin kulmanopeus henkilön kanssa.

Liikemäärän säilymislain mukaan

ja .

Tuloksena löydämme penkin pyörimisnopeuden

3. Ohut sauvamassa m ja pituus l pyörii kulmanopeudella ω=10 s -1 vaakatasossa tangon keskiosan läpi kulkevan pystyakselin ympäri. Jatkaen pyörimistä samassa tasossa, sauva liikkuu niin, että pyörimisakseli kulkee nyt tangon pään läpi. Etsi kulmanopeus toisessa tapauksessa.

Tässä ongelmassa johtuen siitä, että tangon massan jakautuminen suhteessa pyörimisakseliin muuttuu, myös tangon hitausmomentti muuttuu. Eristetyn järjestelmän liikemäärän säilymislain mukaisesti meillä on

Tässä - tangon hitausmomentti tangon keskiosan läpi kulkevan akselin ympäri; - sauvan hitausmomentti sen pään läpi kulkevan akselin ympäri, joka löytyy Steinerin lauseesta.

Korvaamalla nämä lausekkeet liikemäärän säilymislakiin, saamme

,

.

4. Tangon pituus L= 1,5 m ja paino m 1=10 kg on saranoitu yläpäässä. Luoti osuu tangon keskelle massalla m2=10 g, lentää vaakasuunnassa nopeudella =500 m/s ja juuttuu sauvaan. Missä kulmassa sauva poikkeaa törmäyksen jälkeen?

Kuvitellaan kuvassa. 5.19. vuorovaikutuksessa olevien kappaleiden järjestelmä "sauva-luoti". Ulkoisten voimien (painovoima, akselireaktio) momentit törmäyshetkellä ovat nolla, joten voimme käyttää liikemäärän säilymislakia

Järjestelmän kulmamomentti ennen törmäystä on yhtä suuri kuin luodin kulmamomentti suhteessa ripustuskohtaan

Järjestelmän kulmamomentti joustamattoman iskun jälkeen määritetään kaavalla

,

missä on tangon hitausmomentti suhteessa ripustuspisteeseen, on luodin hitausmomentti, on tangon kulmanopeus luodin kanssa välittömästi törmäyksen jälkeen.

Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön substituution jälkeen löydämme

.

Käytetään nyt mekaanisen energian säilymisen lakia. Yhdistäkäämme sauvan kineettistä energiaa luodin osumisen jälkeen sen potentiaalienergiaan nousun korkeimmassa kohdassa:

,

missä on annetun järjestelmän massakeskuksen korkeus.

Tehtyään tarvittavat muutokset, saamme

Tangon taipumakulma on suhteessa arvoon suhteella

.

Tehtyään laskelmat saadaan =0,1p=18 0 .

5. Määritä Atwood-koneen kappaleiden kiihtyvyys ja langan kireys olettaen, että (kuva 5.20). Lohkon hitausmomentti pyörimisakselin ympäri on minä, lohkon säde r. Jätä huomioimatta langan massa.

Järjestetään kaikki kuormiin ja lohkoon vaikuttavat voimat ja laaditaan niille dynamiikkayhtälöt

Jos kierre ei luista lohkoa pitkin, niin lineaari- ja kulmakiihtyvyys liittyvät suhteeseen

Ratkaisemalla nämä yhtälöt saamme

Sitten löydämme T 1 ja T 2 .

6. Oberbeck-ristin hihnapyörään (kuva 5.21) on kiinnitetty lanka, johon massakuorma M= 0,5 kg. Määritä, kuinka kauan kuorman putoaminen korkealta kestää h=1 m ala-asentoon. Hihnapyörän säde r\u003d 3 cm Neljä massapainoa m= 250g kukin etäisyydellä R= 30 cm akselistaan. Jätä huomioimatta itse ristin ja hihnapyörän hitausmomentti painojen hitausmomenttiin verrattuna.

Kineettinen energia on additiivinen määrä. Siksi mielivaltaisella tavalla liikkuvan kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin kaikkien n aineellisen pisteen kineettisten energioiden summa, joihin tämä keho voidaan jakaa henkisesti:

Jos kappale pyörii kiinteän akselin z ympäri kulmanopeudella , niin i:nnen pisteen lineaarinopeus , Ri on etäisyys pyörimisakselista. Siten,

Vertailemalla voidaan nähdä, että kappaleen I hitausmomentti on hitausmitta pyörivän liikkeen aikana, aivan kuten massa m on hitausmitta translaatioliikkeen aikana.

Yleisessä tapauksessa jäykän kappaleen liike voidaan esittää kahden liikkeen summana - translaationopeudella vc ja pyörivän kulmanopeudella ω hitauskeskuksen läpi kulkevan hetkellisen akselin ympäri. Sitten tämän kehon kokonaiskineettinen energia

Tässä Ic on hitausmomentti hitauskeskuksen läpi kulkevan hetkellisen pyörimisakselin suhteen.

Pyörimisliikkeen dynamiikan perussääntö.

Pyörimisdynamiikka

Pyörimisliikkeen dynamiikan perussääntö:

tai M = Je, missä M on voimamomentti M = [ r F ] , J - hitausmomentti on kappaleen liikemäärä.

jos M(ulkoinen)=0 - liikemäärän säilymislaki. - Pyörivän kappaleen liike-energia.

kiertotyötä.

Liikemäärän säilymislaki.

Aineellisen pisteen A kulmaliikemäärä (liikemäärä) suhteessa kiinteään pisteeseen O on fysikaalinen suure, jonka määrittää vektoritulo:

missä r on pisteestä O pisteeseen A piirretty sädevektori, p=mv on materiaalipisteen liikemäärä (kuva 1); L on pseudovektori, jonka suunta on sama kuin oikeanpuoleisen ruuvin translaatioliikkeen suunta sen pyöriessä r:stä p:hen.

Momenttivektorin moduuli

missä α on vektorien r ja p välinen kulma, l on vektorin p olake pisteen O suhteen.

Kulmamomentti suhteessa kiinteään akseliin z on skalaariarvo Lz, joka on yhtä suuri kuin tämän akselin mielivaltaisen pisteen O suhteen määritelty liikemäärävektorin projektio tälle akselille. Kulmamomentti Lz ei riipu pisteen O sijainnista z-akselilla.

Kun ehdottoman jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin z ympäri, kappaleen jokainen piste liikkuu ympyrää, jonka säde on vakio, nopeudella vi. Nopeus vi ja liikemäärä mivi ovat kohtisuorassa tähän säteeseen nähden, eli säde on vektorin mivi käsivarsi. Joten voimme kirjoittaa, että yksittäisen hiukkasen kulmamomentti on

ja se on suunnattu akselia pitkin oikean ruuvin säännön määräämään suuntaan.

Jäykän kappaleen liikemäärä suhteessa akseliin on yksittäisten hiukkasten liikemäärän summa:

Kaavalla vi = ωri saadaan

Siten jäykän kappaleen kulmamomentti akselin ympäri on yhtä suuri kuin kappaleen hitausmomentti saman akselin ympärillä kerrottuna kulmanopeudella. Erotetaan yhtälö (2) ajan suhteen:

Tämä kaava on toinen muoto jäykän kappaleen pyörimisliikkeen dynamiikan yhtälöstä kiinteän akselin ympäri: jäykän kappaleen kulmamomentin derivaatta akselin ympäri on yhtä suuri kuin saman akselin ympärillä olevien voimien momentti.

Voidaan osoittaa, että vektorin yhtäläisyys pätee

Suljetussa järjestelmässä ulkoisten voimien momentti on M = 0 ja mistä

Lauseke (4) on liikemäärän säilymislaki: suljetun järjestelmän liikemäärä säilyy, eli se ei muutu ajan myötä.

Liikemäärän säilymislaki sekä energian säilymislaki ovat luonnon peruslaki. Se liittyy avaruuden symmetriaominaisuuteen - sen isotropiaan eli fysikaalisten lakien muuttumattomuuteen suhteessa vertailujärjestelmän koordinaattiakselien suunnan valintaan (suhteessa suljetun järjestelmän pyörimiseen avaruudessa mikä tahansa kulma).

Tässä esittelemme liikemäärän säilymislakia Zhukovsky-penkillä. Penkillä istuvaa, pystyakselin ympäri pyörivää henkilöä, joka pitää käsipainoja ojennetuissa käsissä (kuva 2), pyöritetään ulkoisella mekanismilla, jonka kulmanopeus on ω1. Jos henkilö painaa käsipainot vartaloon, järjestelmän hitausmomentti pienenee. Mutta ulkoisten voimien momentti on nolla, järjestelmän kulmamomentti säilyy ja pyörimisen kulmanopeus ω2 kasvaa. Samoin voimistelija, hyppääessään päänsä yli, vetää kätensä ja jalkojaan lähelle vartaloa vähentääkseen hitausmomenttiaan ja siten lisätäkseen pyörimiskulman nopeutta.

Paine nesteessä ja kaasussa.

Kaoottista, kaoottista liikettä tekeviä kaasumolekyylejä ei sido tai sido vuorovaikutusvoimat melko heikosti, minkä vuoksi ne liikkuvat lähes vapaasti ja törmäysten seurauksena siroavat kaikkiin suuntiin täyttäen samalla koko niille tarjotun tilavuuden. eli kaasun tilavuuden määrää kaasun käyttämä tilavuusastia.

Ja neste, jolla on tietty tilavuus, on muodoltaan astia, johon se on suljettu. Mutta toisin kuin nesteiden kaasut, molekyylien välinen keskimääräinen etäisyys pysyy keskimäärin vakiona, joten nesteen tilavuus on lähes muuttumaton.

Nesteiden ja kaasujen ominaisuudet ovat monella tapaa hyvin erilaisia, mutta useissa mekaanisissa ilmiöissä niiden ominaisuudet määräytyvät samoilla parametreilla ja identtisillä yhtälöillä. Tästä syystä hydroaeromekaniikka on mekaniikan haara, joka tutkii kaasujen ja nesteiden tasapainoa ja liikettä, niiden välistä vuorovaikutusta sekä niiden ympärillä virtaavien kiinteiden kappaleiden, ts. Nesteiden ja kaasujen tutkimuksessa sovelletaan yhtenäistä lähestymistapaa.

Mekaniikassa nesteitä ja kaasuja pidetään suurella tarkkuudella jatkuvina, jatkuvasti jakautuvina niiden miehittämään tilaan. Kaasuissa tiheys riippuu merkittävästi paineesta. Kokemuksesta perustettu. että nesteen ja kaasun kokoonpuristuvuus voidaan usein jättää huomioimatta ja on suositeltavaa käyttää yhtä käsitettä - nesteen kokoonpuristumattomuus - kaikkialla saman tiheyden omaavaa nestettä, joka ei muutu ajan myötä.

Asetamme sen ohuelle levylle levossa, minkä seurauksena osat nesteestä, jotka sijaitsevat levyn vastakkaisilla puolilla, vaikuttavat jokaiseen sen elementtiin ΔS voimilla ΔF, jotka ovat itseisarvoltaan yhtä suuret ja suunnattu kohtisuoraan kohtaan. ΔS, riippumatta paikan suunnasta, muuten tangentiaalisten voimien läsnäolo saattaisi nesteen hiukkaset liikkeelle (kuva 1)

Fysikaalista määrää, jonka määrittää nesteen (tai kaasun) sivulta pinta-alayksikköä kohti vaikuttava normaalivoima, kutsutaan paineeksi p / neste (tai kaasu): p=ΔF / ΔS.

Paineen yksikkö on pascal (Pa): 1 Pa on yhtä suuri kuin 1 N:n voiman aiheuttama paine, joka jakautuu tasaisesti sitä kohtisuoraan 1 m2:n pinta-alalle (1 Pa = 1 N/m2).

Nesteiden (kaasujen) tasapainopaine noudattaa Pascalin lakia: paine missä tahansa levossa olevan nesteen paikassa on sama kaikkiin suuntiin, ja paine välittyy tasaisesti koko levossa olevan nesteen miehittämän tilavuuden läpi.

Tutkitaan nesteen painon vaikutusta paineen jakautumiseen paikallaan kokoonpuristumattoman nesteen sisällä. Kun neste on tasapainossa, paine millä tahansa vaakaviivalla on aina sama, muuten tasapainoa ei olisi. Tämä tarkoittaa, että levossa olevan nesteen vapaa pinta on aina vaakasuora (emme ota huomioon nesteen vetovoimaa suonen seinillä). Jos neste on kokoonpuristumaton, nesteen tiheys on riippumaton paineesta. Tällöin nestepatsaan poikkileikkauksella S, sen korkeudella h ja tiheydellä ρ, paino on P=ρgSh, kun taas paine alapohjaan on: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

eli paine muuttuu lineaarisesti korkeuden mukaan. Painetta ρgh kutsutaan hydrostaattiseksi paineeksi.

Kaavan (1) mukaan painevoima nesteen alempiin kerroksiin on suurempi kuin ylempiin, joten Arkhimedesin lain määräämä voima vaikuttaa nesteeseen (kaasuun) upotettuun kappaleeseen: ylöspäin kelluva voima, joka on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän nesteen (kaasun) paino: FA = ρgV, missä ρ on nesteen tiheys, V on nesteeseen upotetun kappaleen tilavuus.