Koska jollekin predikaatin määritelmäalueen muuttujaarvojoukolle se muuttuu lauseeksi, predikaattijoukolle määritellään samat loogiset toiminnot kuin lauseille. Samalla predikaattien sisältö abstraktoituu. Predikaatteja tarkastellaan vain niiden merkityksen perusteella. Toisin sanoen vastaavat predikaatit eivät eroa toisistaan.

Määritelmä 1: Kiellä - paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
, nimeltään uusi - samassa joukossa määritetty paikallinen predikaatti. Osoittaa:
. Siinä lukee: "Se ei ole totta
" Predikaatti
arvo on tosi vain niille argumenteille, joille predikaatin arvo
on "valhe" ja päinvastoin. Toisin sanoen predikaatti
tyydyttävät ne ja vain ne argumentit, jotka eivät täytä annettua predikaattia
.

Kaksoispredikaatti
arvo on tosi niille ja vain niille muuttujan arvoille
predikaatin määritelmäalueelta, jolle predikaatti
ottaa arvon "false", eli

Määritelmä 2: Yhdessä - paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
, Ja
- paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
, nimeltään uusi
- joukkoon määritetty paikallinen predikaatti
, merkitty Siinä lukee: "
Ja
" Tämä predikaatti evaluoituu todeksi vain niille argumenttiarvoille, joille predikaatit
Ja
ota samanaikaisesti arvo "true".

Jos esim.
- joukkoon määritetty kaksipaikkainen predikaatti
, A
- joukolle määritetty unaarinen predikaatti , sitten näiden predikaattien konjunktio
joukkoon on määritelty kolmipaikkainen predikaatti
. Tämä uusi predikaatti arvioi todeksi sellaisille elementtikolmoille
,
,
,
, mille
Ja
.

Predikaattien disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi määritellään samalla tavalla. Predikaattien arvot annetuille vapaiden muuttujien arvoille määritetään tiettyjen loogisten operaatioiden mukaisesti. Toiminnot
voidaan soveltaa myös predikaatteihin, joilla on yhteisiä muuttujia. Tässä tapauksessa tuloksena olevan yhdistepredikaatin muuttujien lukumäärä on yhtä suuri kuin eri muuttujien lukumäärä sen jäsenissä. Varsinkin jos operaatioita
sovelletaan kahteen - paikalliset predikaatit samoista muuttujista riippuen, niin loogisten operaatioiden soveltamisen tuloksena saamme - paikallinen predikaatti, joka riippuu samoista muuttujista.

Antaa
Ja
-kaksi - paikalliset predikaatit samoista muuttujista riippuen. Sitten:

a) konjunktion totuusjoukko on yhtä suuri kuin sen jäsenten totuusjoukkojen leikkauspiste;

b) disjunktion totuusjoukko on yhtä suuri kuin sen jäsenten totuusjoukkojen liitto.

Ei ole vaikeaa osoittaa, että kahden predikaatin konjunktio on identtinen, jos ja vain jos molemmat annetut predikaatit ovat identtisiä. Kahden predikaatin disjunktio on tyydyttävä, jos ja vain jos vähintään yksi niistä on tyydyttävä. Kahden predikaatin disjunktio on identtisesti epätosi, jos ja vain jos molemmat annetut predikaatit ovat identtisesti epätosi. Kahden implikaatio - lokaalipredikaatit, jotka riippuvat samoista argumenteista, on identtisesti totta, jos ja vain jos sen johtopäätös on premissien seuraus. Kahden vastaavuus - samoista muuttujista riippuvat paikalliset predikaatit ovat identtisiä, jos ja vain jos molemmat predikaatit ovat ekvivalentteja.

Mikä tahansa yhtälö (epäyhtälö), joka sisältää muuttujia, on samalle joukolle määritetty predikaatti, jolle yhtälö (epäyhtälö) on annettu. Yhtälön ratkaisujoukko (epäyhtälö) ei ole muuta kuin predikaatin totuusjoukko. Tämä tarkoittaa, että kun yhtälön juuret (tai epäyhtälön ratkaisut) korvataan tuntemattomien sijaan, saadaan tosi väitteitä. Jos yhtälöön (epäyhtälö) korvataan muuttujien sijasta lukuja, jotka eivät ole ratkaisuja, niin saadaan vääriä väitteitä. Mitä tahansa yhtälöjärjestelmää (epäyhtälöä) voidaan pitää predikaattien konjunktiona. Järjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa predikaattien konjunktion totuusalueen löytämistä. Yhtälösarja (epäyhtälöt) ei ole muuta kuin predikaattien disjunktio. Yhtälöiden (epäyhtälöiden) ekvivalenssi tarkoittaa vastaavien predikaattien ekvivalenssia.

Jos
, sitten he sanovat, että väite
täyttää tämän predikaatin. Esimerkiksi numero 3 täyttää predikaatin
, ja numero 1 ei tyydytä häntä.

Matemaattisessa logiikassa on predikaattien loogisten operaatioiden lisäksi operaatioita kvantifiointi , jotka tekevät predikaattilogiikasta sisällöltään paljon rikkaamman kuin propositionaalisen logiikan. Tässä tapauksessa, kuten yksinkertaisimpien operaatioiden tapauksessa, predikaatteja tarkastellaan vain niiden merkityksen kannalta, ts. vastaavat predikaatit eivät eroa toisistaan. Tärkeimmät kvantorioperaatiot ovat: yleinen kvantori ja olemassaolokvantori, jotka ovat kaksoisarvoja keskenään.

Määritelmä 3: Antaa
- ei-tyhjälle joukolle määritetty unaarinen predikaatti

lausuntoon:
(lukee: " kenelle tahansa suoritettu
"), nimeltään yleinen kvantori (tai yleismaailmallinen lausunto). lausunto
tosi jos ja vain jos annettu predikaatti
identtisesti totta (eli predikaatin totuusalue
sopii sarjaan
).

Symboli kutsutaan yleiseksi kvantoriksi muuttujan suhteen , siinä lukee: "Kaikille " tai "kaikille " He sanovat, että sanonta
on tulos yleisen kvantorin soveltamisesta predikaattiin
. Symboli tulee englannin sanasta "All" (käännettynä "kaikki").

Esimerkiksi predikaateille "
"ja"
", joka on määritetty reaalilukujoukolle, vastaavat yleislausekkeet ovat muotoa:
– "jokainen reaaliluku on yhtä suuri kuin itsensä" (tosi) ja
– "jokainen reaaliluku on suurempi kuin 2" (väärä).

Lause 1: Jos
- yksipaikkainen predikaatti, joka on määritelty äärelliselle joukolle, joka koostuu
elementtejä ,,…,, silloin vastaava yleislause vastaa konjunktiota
sanonnat:

Todiste. Itse asiassa yleisen kvantisaattorin määritelmän mukaan lause

aivan yhtä totta, ts. kun kaikki on totta
lauseet, jotka on saatu annetusta predikaatista korvaamalla muuttuja argumentteja ,,…,vastaavasti. Viimeinen huomautus on mahdollinen jos ja vain, jos näiden yhdistelmä
lausunnot. Nuo. ekvivalenssitermit ovat sekä tosi että epätosi, ja siksi vastaavuus on todistettu.

Lause osoittaa, että äärelliselle joukolle määritetyille predikaateille yleisen kvantorin soveltamistoiminto voidaan ilmaista konjunktion kautta. Äärettömälle joukolle määritetyille predikaateille tämä ei ole mahdollista, vaan tässä tapauksessa yleisen kvantisoijan soveltamistoiminto on täysin uusi.

Määritelmä 4: Antaa
- joukolle määritetty unaarinen predikaatti
. Operaatio, joka muuttaa predikaatin
lausuntoon
(lukee: "On , joka täyttää predikaatin
"), nimeltään olemassaolon kvantori (tai eksistentiaalinen lausunto). lausunto
on totta, jos ja vain jos predikaatti
suoritettava. Tämä väite on väärä, jos predikaatti
identtisesti vääriä.

Symboli kutsutaan eksistentiaaliseksi kvantoriksi muuttujan suhteen . Se voidaan lukea: "On sellasta
", tai "sellaisia ​​tulee olemaan , Mitä
" Symboli tulee englannin sanasta "exist" (exists).

Lause 2: Jos
– yksipaikkainen predikaatti, joka on määritetty äärelliselle joukolle
elementtejä ,,…,, silloin vastaava eksistentiaalinen lause on yhtä suuri kuin disjunktio
sanonnat:

Todiste: Määritelmä: lausunto
on vääriä, jos ja vain jos kaikki ovat vääriä
lauseet, jotka saadaan tietystä predikaatista korvaamalla muuttuja argumentteja ,,…,vastaavasti. Viimeinen huomautus on mahdollinen, jos ja vain, jos nämä disjunktio
lausunnot. Nuo. ekvivalenssitermit ovat sekä tosi että epätosi, joten ekvivalenssi on tosi.

Tämä lause sanoo, että äärellisille joukoille määritellyille predikaateille eksistentiaalisen kvantisoijan käyttö voidaan ilmaista disjunktiona. Tätä ei voi tehdä äärettömille joukoille määritetyille predikaateille. Eksistentiaalisen kvantorin soveltamistoiminto on silloin täysin uutta.

On muistettava, että jokaiselle predikaatille
, määritelty sarjassa
ilmaisuja
Ja
Nämä ovat väitteitä, eivät predikaatteja. Muuttujan läsnäolo tässä on puhtaasti ulkoista, joka liittyy merkintätapaan. Siksi muuttuja , sisältyvät lausekkeisiin
Ja
, nimeltään liittyvä muuttuja, toisin kuin predikaattiin sisältyvä muuttuja
, jossa muuttujaa kutsutaan vapaa. Jos soveltamme "riippuvien" kvantorien operaatiota kaksipaikkaiseen predikaattiin
jollakin muuttujalla, niin seurauksena kaksipaikkainen predikaatti muuttuu yksipaikkaiseksi predikaatiksi, jossa on yksi vapaa muuttuja. Samanlainen päättely voidaan tehdä toiselle muuttujalle. Kutsutaan muuttujaa, johon kvantisoijaa käytettiin yhteyshenkilö muuttuja. Jos sovellamme kvantorioperaatiota kohtaan - paikallinen predikaatti jonkin muuttujan suhteen, niin se muuttuu
- paikallinen predikaatti.

Jos jossakin predikaatissa kaikki muuttujat liittyvät toisiinsa, tämä predikaatti on lause. Harkitse esimerkiksi predikaattia
, määritelty jossain numerojoukossa. Tehdään lausunto
. Tämä on väärä väite, joka väittää, että tällainen luku on olemassa , joka on suurempi kuin mikään luku (- yksikkönumero kaikille ). Vaihtamalla kvantisoijat saamme uuden lauseen:
. Tässä lausunnossa todetaan, että mille tahansa numerolle voit valita tällaisen numeron , että eriarvoisuus pätee
(jokaiselle on numero ). Tämä väite on totta. Voidaan nähdä, että kun kvantisoijat järjestetään uudelleen, lauseen merkitys muuttuu. Täten, uudelleenjärjestely toisin kuin kvantisoijat ei ole hyväksyttävä toimenpide. Samannimiset kvantisoijat voidaan vaihtaa keskenään. Lisäksi samannimiset kvantoijat voidaan yhdistää yhdeksi, esimerkiksi: . On myös mahdotonta käyttää useita kvantisoijia samalle muuttujalle, esimerkiksi:
.

Määritelmä 5: Yleismaailmallisella lausunnolla , vastaava - paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa

johdonmukainen soveltaminen muuttujien yleisyyden kvantisoijat
missä tahansa järjestyksessä.

Tämä lausunto on nimetty ja luettava lyhyesti seuraavasti: "Kaikille
suoritettu
».

Määritelmä 6: Eksistentiaalisen lausunnon avulla asiaankuuluvaa - paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
, on osoitteesta saatu lausunto
johdonmukainen soveltaminen olemassaolon kvantisoijat muuttujien yli
missä tahansa järjestyksessä.

Tuloksena oleva eksistentiaalinen lausunto merkitään ja luetaan seuraavasti: "On olemassa sellainen joukko
, joka suoritetaan
».

Esimerkiksi kaksipaikkaiselle predikaatille "
» vastaavat lausunnot ovat muodossa:
– "millä tahansa kahdella reaaliluvulla: ensimmäinen on suurempi kuin toinen" (väärä), ja
– "on kaksi reaalilukua, joista ensimmäinen on suurempi kuin toinen" (tosi).

Lause 3: (Kvantifioidun predikaatin identtisen totuuden ehto).

-paikallinen predikaatti johdettu - paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
, soveltamalla yleistä kvantoijaa mihin tahansa muuttujaan, on identtisesti totta, jos ja vain jos annettu predikaatti
- aivan yhtä totta.

Todiste: Todellakin, annetaan se
- paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
. Määritelmän mukaan tämä predikaatti on identtisesti tosi, jos ja vain jos sen arvo mielivaltaisille argumenttien arvoille on "tosi". Tämä tarkoittaa, että universaali väite on totta

, määritelty sarjassa
. Viimeinen huomautus on mahdollinen, jos ja vain predikaatti
– aivan totta, mutta koska argumentteja
valittiin mielivaltaisesti, tämä vastaa annetun identtistä totuutta - paikallinen predikaatti
. Lause on todistettu.

Lause 4: (Kvantifioidun predikaatin identtisen vääryyden ehto).

-paikallinen predikaatti johdettu - paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
, soveltamalla eksistentiaalista kvantoijaa johonkin muuttujaan, on identtisesti epätosi silloin ja vain, jos annettu predikaatti on identtisesti epätosi.

Todiste: Anna meidän olla
- paikallinen predikaatti
, määritelty sarjassa
. Se on identtisesti epätosi, jos ja vain jos sen arvo on mielivaltaisesti valituille argumenteille
siellä on "valhe". Tämä tarkoittaa, että eksistentiaalinen väite on väärä
, joka vastaa unaaripredikaattia
, määritelty sarjassa
. Jälkimmäinen on mahdollista jos ja vain jos predikaatti
on identtisesti väärä, ja siitä lähtien argumentteja
valittiin satunnaisesti, sitten tämä - paikallinen predikaatti
on identtisesti väärä. Q.E.D.

Toistaiseksi olemme vastanneet predikaatteja propositioihin. On kuitenkin kätevämpää laskea lausunnot 0 - paikalliset predikaatit. Tällöin mitä tahansa kahta oikeaa ja kahta väärää väitettä tulisi pitää toistensa vastaavina.

Predikaatin käsite

Määritelmä 1

Predikaatti- lauseke, joka sisältää muuttujia, jotka ottavat arvon $1$ tai $0$ (tosi tai epätosi) muuttujien arvoista riippuen.

Esimerkki 1

Esimerkiksi lauseke $x=x^5$ on predikaatti, koska se on tosi arvoille $x=0$ tai $x=1$ ja epätosi kaikille muille arvon $x$ arvoille.

Määritelmä 2

Joukkoa, jossa predikaatti hyväksyy vain todelliset arvot, kutsutaan predikaatin totuusjoukko$I_p$.

Predikaattia kutsutaan yhtä totta, jos se on jossain argumenttijoukossa tosi:

$P (x_1, \pisteet, x_n) = 1$

Predikaattia kutsutaan identtisesti vääriä, jos se arvioi jossakin argumenttijoukossa epätosi:

$P (x_1, \pisteet, x_0) = 0 $

Predikaattia kutsutaan mahdollinen, jos sen arvo on tosi ainakin yhdessä argumenttijoukossa.

Koska predikaatit voivat ottaa vain kaksi arvoa (tosi/epätosi tai $0/1$), jolloin niihin voidaan soveltaa kaikkia loogisen algebran operaatioita: negaatio, konjunktio, disjunktio jne.

Esimerkkejä predikaateista

Olkoon predikaatti $R(x, y)$: $“x = y”$ yhtälösuhdetta, jossa $x$ ja $y$ kuuluvat kokonaislukujen joukkoon. Tässä tapauksessa predikaatti R on tosi kaikille yhtäläisille $x$ ja $y$.

Toinen esimerkki predikaatista on WORKS($x, y, z$) suhteelle "$x$ toimii kaupungissa y yrityksessä $z$".

Toinen esimerkki predikaatista on LIKE($x, y$) "x tykkää y:stä" arvoille $x$ ja $y$, jotka kuuluvat $M$ - kaikkien ihmisten joukkoon.

Siten predikaatti on kaikki, mikä vahvistetaan tai kielletään tuomion aiheesta.

Operaatiot predikaateille

Tarkastellaan loogisten algebran operaatioiden soveltamista predikaatteihin.

Loogiset operaatiot:

Määritelmä 3

Kahden predikaatin konjunktio $A(x)$ ja $B(x)$ ovat predikaatti, joka saa todellisen arvon niille ja vain niille $x$ arvoille $T$:sta, joille kukin predikaateista saa todellisen arvon ja väärä arvo aina, kaikissa muissa tapauksissa. Predikaatin totuusjoukko $T$ on predikaattien $A(x)$ ja $B(x)$ totuusjoukkojen leikkauspiste. Esimerkiksi: predikaatti $A(x)$: "$x$ on parillinen luku", predikaatti $B(x)$: "$x$ on jaollinen $5$:lla." Siten predikaatti olisi "$x$ on parillinen luku ja jaollinen luvulla $5$" tai "$x$ on jaollinen luvulla $10$".

Määritelmä 4

Kahden predikaatin disjunktio $A(x)$ ja $B(x)$ ovat predikaatti, joka evaluoituu epätosi niille ja vain niille $x$ arvoille $T$:sta, joille kukin predikaateista evaluoituu epätosi ja arvoksi tosi kaikki muut tapaukset. Predikaatin totuusjoukko on predikaattien $A(x)$ ja $B(x)$ totuusalueiden liitto.

Määritelmä 5

Predikaatin kieltäminen $A(x)$ on predikaatti, joka evaluoituu todeksi kaikille $x$:n arvoille $T$:ssa, joille $A(x)$ arvioi epätosi ja päinvastoin. Predikaatin $A(x)$ totuusjoukko on $T"$:n komplementti joukkoon $T$ joukossa $x$.

Määritelmä 6

Predikaattiimplikaatio $A(x)$ ja $B(x)$ ovat predikaatti, joka on epätosi niille ja vain niille arvon $x$ arvoille $T$, joille $A(x)$ on tosi ja $B( x )$ on epätosi, ja sen arvo on tosi kaikissa muissa tapauksissa. Siinä lukee: "Jos $A(x)$, niin $B(x)$."

Esimerkki 2

Olkoon $A(x)$: "Luonnollinen luku $x$ on jaollinen $3$:lla";

$B(x)$: "Luonnollinen luku $x$ on jaollinen $4$:lla."

Luodaan predikaatti: "Jos luonnollinen luku $x$ on jaollinen $3$:lla, niin se on myös jaollinen $4$:lla."

Predikaatin totuusjoukko on predikaatin $B(x)$ totuusjoukon ja predikaatin $A(x)$ totuusjoukon komplementin liitto.

Loogisten operaatioiden lisäksi kvanttioperaatioita voidaan suorittaa predikaateille: yleisen kvantorin käytölle, olemassaolon kvantorille jne.

Kvantifioijat

Määritelmä 7

Kvantifioijat-- loogiset operaattorit, joiden soveltaminen predikaatteihin muuttaa ne vääriksi tai tosi väitteiksi.

Määritelmä 8

Kvantifioija-- loogiset operaatiot, jotka rajoittavat predikaatin totuusaluetta ja luovat lausunnon.

Yleisimmin käytetyt kvantaattorit ovat:

yleinen kvantori (merkitty symbolilla $\forall x$) - lauseke "kaikkiin $x$" ("kaikkiin $x$");

olemassaolon kvantori (merkitty symbolilla $\exists x$) - lauseke "on olemassa $x$ sellainen, että...";

ainutlaatuisuus ja olemassaolon kvantori (merkitty $\exists !x$) - lauseke "on tasan yksi $x$ sellainen, että...".

Matemaattisessa logiikassa on käsite sitominen tai kvantifiointi, jotka ilmaisevat kvantorin osoittamista kaavaan.

Esimerkkejä kvantorien käytöstä

Olkoon predikaatti "$x$ on $7$:n kerrannainen".

Universaalin kvantorin avulla voimme kirjoittaa seuraavat väärät väitteet:

mikä tahansa luonnollinen luku on jaollinen $7$:lla;

jokainen luonnollinen luku on jaollinen $7$:lla;

kaikki luonnolliset luvut ovat jaollisia $7$:lla;

joka näyttää tältä:

Kuva 1.

Käytämme oikeiden väitteiden kirjoittamiseen olemassaolon kvantori:

on luonnollisia lukuja, jotka ovat jaollisia $7$:lla;

on luonnollinen luku, joka on jaollinen $7$:lla;

ainakin yksi luonnollinen luku on jaollinen $7$:lla.

Merkintä näyttää tältä:

Kuva 2.

Annetaan predikaatti alkulukujen joukkoon $x$: "Alkuluku on pariton." Laittamalla sana "mikä tahansa" predikaatin eteen, saamme väärän lausunnon: "Jokainen alkuluku on pariton" (esimerkiksi $2$ on alkuluku parillinen).

Laitamme sanan "olemassa" predikaatin eteen ja saamme tosi väitteen: "On alkuluku, joka on pariton" (esimerkiksi $x=3$).

Näin ollen predikaatti voidaan muuttaa lauseeksi asettamalla kvantori predikaatin eteen.

Toiminnot kvantittoreille

Kvantoijia sisältävien lauseiden negaation rakentamiseen käytämme kvantifioijien negaatiosääntö:

Kuva 3.

Tarkastellaan lauseita ja valitaan niistä predikaatteja, jotka osoittavat kunkin niistä totuusalueen.

1 . Kielteinen operaatio.

Kieltäminen predikaatti P(x), annettu sarjassa X, on samalle joukolle määritetty predikaatti, joka pitää paikkansa niille ja vain niille arvoille XX, jonka alla predikaatti P(x) saa valheen merkityksen.

2 . Konjunktion toiminta.

Yhteys predikaatit P(x) Ja Q(x), määritelty sarjassa X, kutsutaan predikaatiksi P(x)Q(x), joka on annettu samassa joukossa ja muuttuu todeksi niille ja vain niille arvoille XX, jossa molemmat predikaatit ottavat totuusarvoja.

Jos nimetään TR P(x), TK- predikaatin totuusjoukko Q(x), ja niiden yhteyden totuusjoukko TPÙQ, sitten ilmeisesti TPÙQ = TP Ç T.Q.

Todistetaan tämä tasa-arvo.

1. Anna A X ja se tiedetään AÎ TPÙQ . Totuusjoukon määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että predikaatti P(x)Q(x) muuttuu todeksi, kun x = a, eli lausunto R(a)K(a) on totta. Koska tämä lause on konjunktio, konjunktion määritelmällä saadaan, että jokainen lause R(a) Ja Q(a) myös totta. Se tarkoittaa sitä ATR Ja ATQ. Olemme siis osoittaneet sen TPÙQ Ì TRÇ TQ.

2. Todistetaan käänteinen väite. Antaa A- joukon mielivaltainen elementti X ja se tiedetään AÎ TP Ç TQ. Joukkojen leikkauksen määritelmän mukaan tämä tarkoittaa sitä ATR Ja ATQ, mistä sen saamme R(a) Ja Q(a)- tosi väitteet, siis väitteiden konjunktio R(a)K(a) on myös totta. Tämä tarkoittaa, että elementti A kuuluu predikaatin totuusjoukkoon P(x)Q(x), eli AÎ TPÙQ .

1:stä ja 2:sta seuraa yhtäläisten joukkojen määritelmän perusteella, että yhtäläisyys TPÙQ =TRÇ TQ, mikä oli todistettava.

Tämä voidaan kuvata visuaalisesti seuraavasti.

3. Disjunktion toiminta.

Disjunktio predikaatit P(x) Ja Q(x) kutsutaan predikaatiksi P(x)Q(x X ja muuttuu oikeaksi lausumaksi niille ja vain niille arvoille XX, jolle ainakin yksi predikaateista saa totuuden arvon P(x) tai Q(x).

Samoin se on todistettu TPÚQ = TP È T.Q.

4 .Implikaation toiminta.

Epäsuorasti predikaatit P(x) Ja Q(x), määritelty sarjassa X, kutsutaan predikaatiksi P(x)Q(x), määritelty samassa sarjassa X ja muuttuu vääräksi väitteeksi niille ja vain niille arvoille XX, jossa P(x) saa totuuden arvon, ja Q(x)- valheiden merkitys.

5 .Ekvivalenssitoiminto.

Vastaavuus predikaatit P(x) Ja Q(x), määritelty sarjassa X, kutsutaan predikaatiksi P(x)Q(x), määritelty samassa sarjassa X ja hyväksyä totuuden arvo niille ja vain niille arvoille XX, joille kunkin predikaatin arvot ovat joko tosi tai epätosi. Totuus tässä tapauksessa näyttää tältä:

TPÛQ = .

Esimerkki. Kuvauksissa M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} predikaatit annetaan: Vai niin)- "numero X ei jaettavissa 5 », B(x) - « X- numero on parillinen", C(x) - « X- luku on alkuluku", D(x)- "numero X useita 3 " Etsi seuraavien predikaattien totuusjoukko:

a) Vai niin)B(x); b) Kirves); c) C(x)A(x); d) B(x)D(x) ja kuvaa ne Euler-Venn-kaavioilla.

Ratkaisu: a) Etsi predikaattien totuusjoukko.

A(x): T = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19);

B(x): T = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

Totuusjoukko konjunktiosta Vai niin)B(x) on totuuksia T Ja T .

Epämuodollisesti predikaatti voidaan määritellä tietyksi lauseeksi, jonka merkitys riippuu joukon objektiivisten muuttujien arvoista M, jolle predikaatti on määritelty.

a) P(x): “x on alkuluku”;

(Tässä ja seuraavassa predikaatin määrittämiseksi käytämme lyhyttä merkintämuotoa, joka on kuvattu yksityiskohtaisesti seuraavasti: " x on alkuluku.")

b) D(x,y) : “x on täysin jaollinen y”;

c) R(x,y): “x > y”.

Mitä tahansa numeerista joukkoa voidaan pitää aihejoukkona näille esimerkeille, erityisesti esimerkeissä a), b) – M= Í ja kohdassa c) – M= Ñ .

Tarkemmin predikaatti voidaan määritellä kartoitukseksi n joukon teho M, jota kutsutaan predikaatin paikkakunnaksi tai arityksi kaksialkioiseen joukkoon B = {1, 0}

Kun korvataan predikaattiin arvoasetusten aihemuuttujien sijaan saamme loogisen lauseen (niin , a ). Siten predikaatti on muuttujalausunto (tai lausuntojärjestelmä), jonka totuus määräytyy aihemuuttujien eri arvojen korvaamisella.

Koska predikaatit ottavat arvot joukosta B , silloin niille määritellään loogiset operaatiot ~. Lisäksi predikaateille esitellään operaatiot universaalisuuden väittämisestä ja olemassaolon väittämisestä.

Universaalisuuden vahvistamisen operaatio saattaa vastaavuuden ilmaisumuodon P(x) lausunto (lukea P(x) totta kaikille x monilta M, jolle predikaatti on määritelty). Väite on tosi, jos ja vain jos väite P(a) totta mille tahansa elementille.

Operaatio olemassaolon väittäminen asettaa vastaavuuteen ekspressiivisen muodon P(x) lausunto (lue, että sellainen on olemassa x monilta M, jolle lausunto P(x) totta). Väite on tosi, jos ja vain jos väite P(a) totta ainakin yhdelle elementille.

Merkkejä " ja $ kutsutaan universaalisuuden ja olemassaolon kvantoriksi (kvantifieri latinasta käännettynä - määrän määrittäminen). Siirtyminen ekspressiivisestä muodosta P(x) lauseisiin tai sitä kutsutaan kvantorin liittämiseksi tai muuttujan sitomiseksi x(joskus muuttujan kvantifioimalla x). Muuttujaa, jolla on kvantori, kutsutaan sidottuksi, sitomatonta vapaaksi. Sidottujen ja vapaiden muuttujien merkitys predikaattilausekkeissa on erilainen. Vapaa muuttuja on tavallinen muuttuja, joka voi saada eri arvoja M, ja ilmaisu P(x)– muuttuva lauseke merkityksen mukaan x. Lausekkeet ja eivät ole riippuvaisia ​​muuttujasta x ja kiinteästi P Ja M niillä on hyvin selvä merkitys. Muuttujia, jotka liittyvät olennaisesti toisiinsa, ei löydy vain matemaattisesta logiikasta. Esimerkiksi lausekkeissa tai muuttujassa x kytketty, kiinteästi f ensimmäinen lauseke on yhtä suuri kuin tietty luku, ja toinen on funktio a Ja b.

Näin ollen lausunnot eivät puhu joukon yksittäisten elementtien ominaisuuksista M, vaan itse joukon ominaisuuksista M. Näiden väittämien totuus tai virheellisyys ei riipu siitä, miten niihin sisältyvä subjektimuuttuja on nimetty, ja se voidaan korvata millä tahansa muulla aihemuuttujalla, esim. y, ja hanki väitteitä ja , joilla on sama merkitys ja samat totuusarvot kuin alkuperäisillä väitteillä.

Yleensä varten n-aarinen predikaatti, jos , universaalisuuden tai olemassaolon väittämisoperaatiot voidaan suorittaa k kertaa (muuttujien valintajärjestys, joille kvantori on määritetty, voi olla mikä tahansa, lukuun ottamatta niiden toistoa) ja hanki lauseke

missä tarkoittaa universaalisuuden tai olemassaolon kvantifiointia. Lausuntomuodossa (1) olevat muuttujat ovat sidottuja ja vapaita.

Tilaussuhde. Tilatut setit

Määritelmä. Asenne R sarjassa X kutsutaan järjestysrelaatioksi, jos se on transitiivinen ja epäsymmetrinen tai antisymmetrinen.

Määritelmä. Asenne R sarjassa X kutsutaan tiukan järjestyksen suhteeksi, jos se on transitiivinen ja epäsymmetrinen.

Esimerkkejä tiukan järjestyksen suhteet: "enemmän" luonnollisten lukujen joukossa, "korkeampi" ihmisten joukossa jne.

Määritelmä. Asenne R sarjassa X kutsutaan ei-tiukan järjestyksen relaatioksi, jos se on transitiivinen ja antisymmetrinen.

Esimerkkejä ei-tiukan järjestyksen suhteet: "ei enää" reaalilukujen joukossa, "ole jakaja" luonnollisten lukujen joukossa jne.

Määritelmä. Joukko X kutsutaan tilatuksi, jos sille on määritetty tilaussuhde.

Esimerkki. Kuvauksissa X= (1; 2; 3; 4; 5) on annettu kaksi relaatiota: " X £ klo"ja" X-jakaja klo».

Näillä molemmilla suhteilla on refleksiivisuuden, antisymmetrian ja transitiivisuuden ominaisuuksia (konstruoi graafit ja tarkista ominaisuudet itse), ts. ovat ei-tiukkoja suhteita. Mutta ensimmäisellä suhteella on yhteysominaisuus, kun taas toisella ei ole.

Määritelmä. Tilaussuhde R sarjassa X kutsutaan lineaarisen järjestyksen relaatioksi, jos sillä on yhteysominaisuus.

Peruskoulussa tutkitaan monia järjestyssuhteita. Jo ensimmäisellä luokalla on suhteita "vähemmän", "enemmän" luonnollisten lukujen joukossa, "lyhyempi", "pidempi" segmenttien joukossa jne.

Kontrollikysymykset

1. Määrittele joukon binäärirelaatio X.

2. Kuinka kirjoittaa lausunto, että elementit X Ja klo ovat suhteessa R?

3. Listaa tapoja määritellä suhteita.

4. Muotoile ominaisuudet, joita suhteilla voi olla. Miten nämä ominaisuudet näkyvät kaaviossa?

5. Mitä ominaisuuksia relaatiolla tulee olla, jotta se olisi ekvivalenssirelaatio?

6. Miten ekvivalenssisuhde liittyy joukon jakamiseen luokkiin?

7. Mitä ominaisuuksia suhteella tulee olla, jotta se olisi järjestysrelaatio?

Luku 5. Predikaatit ja lauseet

Matematiikassa on usein lauseita, jotka sisältävät yhden tai useamman muuttujan, esimerkiksi: " X+ 2 = 7", "kaupunki sijaitsee Volgalla". Nämä lauseet eivät ole lausuntoja, koska niistä on mahdotonta sanoa, ovatko ne totta vai tarua. Kuitenkin, kun muuttuja korvataan tietyillä arvoilla X ne muuttuvat oikeiksi tai vääriksi väitteiksi. Joten ensimmäisessä esimerkissä kanssa X= 5 saamme oikean väitteen ja milloin X= 3 – väärä väite.

Määritelmä. Muuttujia sisältävää lausetta, joka muuttujien määrätyillä arvoilla muuttuu lauseeksi, kutsutaan lausemuodoksi tai predikaatiksi.

Predikaattiin sisältyvien muuttujien lukumäärän perusteella ne erotetaan yksittäisiksi, kaksoisiksi jne. predikaatit ja denotit A(X), SISÄÄN(x;y)…

Esimerkki: A(X): « X on jaollinen 2":lla - yksipaikkainen predikaatti, SISÄÄN(X; klo): "suoraan X kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan klo" on kaksipaikkainen predikaatti.

On syytä muistaa, että predikaatti voi sisältää muuttujia implisiittisesti: "luku on jaollinen kahdella", "oppilas sai erinomaisen arvosanan matematiikan kokeesta".

Predikaatin määrittäminen sisältää pääsääntöisesti myös joukon määrittämisen, josta valitaan predikaatin sisältämien muuttujien arvot.

Määritelmä. Predikaatin määritelmän joukko (domain) on joukko X, joka koostuu kaikista muuttujien arvoista, kun se korvataan predikaatilla, jälkimmäinen muuttuu lauseeksi.

Eli predikaatti " X> 2" voidaan pitää luonnollisten lukujen tai reaalilukujen joukossa.

Jokainen predikaatti A(X), X Î X määrittelee joukon TÌ X, joka koostuu elementeistä, jotka substituoituna predikaattiin A(X) sijaan X se osoittautuu oikeaksi väitteeksi.

Määritelmä. Joukkoa, joka koostuu kaikista niistä arvoista, joiden korvaaminen predikaatilla tuottaa tosi väitteen, kutsutaan predikaatin totuusjoukoksi (merkitty T).

Esimerkki. Harkitse predikaattia A(X): « X < 5», заданный на множестве натуральных чисел. T = {1; 2; 3; 4}.

Predikaatit, kuten lausunnot, voivat olla elementaarisia tai yhdistelmiä. Yhdistetyt predikaatit muodostetaan alkeispredikaateista loogisten konnektiivien avulla.

Antaa T A A(X), T V– predikaatin totuusalue SISÄÄN(X).

Määritelmä. Predikaattien konjunktio A(X) Ja SISÄÄN(X) kutsutaan predikaatiksi A(X) Ù SISÄÄN(X X Î X, jolle molemmat predikaatit ovat tosia.

Näytä se T A Ù SISÄÄN = T AÇ T V.

Todiste. 1) Anna A Î T A Ù SISÄÄN Þ A(A) Ù SISÄÄN(A) on totta väite. Konjunktion määritelmän mukaan meillä on: A(A) - totta, SISÄÄN(A) – totta Þ A Î T AÙ A Î T VÞ A Î T AÇ T VÞ T A Ù SISÄÄN Ì T AÇ T V.

2) Anna bÎ T AÇ T VÞ b Î T AÙ b Î T VÞ A(b) - totta, SISÄÄN(b) – tosi Þ konjunktion määritelmän mukaan A(b) Ù SISÄÄN(b) – oikea väite Þ b Î T A Ù SISÄÄN Þ T AÇ T VÌ T A Ù SISÄÄN .

Koska T A Ù SISÄÄN Ì T AÇ T V Ja T AÇ T VÌ T A Ù SISÄÄN, sitten joukkojen yhtäläisyyden ominaisuudella T A Ù SISÄÄN = T AÇ T V, mikä oli todistettava.

Huomaa, että tuloksena oleva sääntö pätee myös predikaateille, jotka sisältävät useamman kuin yhden muuttujan.

Esimerkki. Katsotaanpa predikaatteja A(X): « X < 10», SISÄÄN(X): « X A(X) Ù SISÄÄN(X): « X < 10 и делится на 3».

T A= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, T V= (3; 6; 9; 12; 15; …), sitten T A Ù SISÄÄN = {3; 6; 9}.

Määritelmä. Predikaattidisjunktio A(X) Ja SISÄÄN(X) kutsutaan predikaatiksi A(X) Ú SISÄÄN(X), mikä koskee niitä ja vain näitä arvoja X Î X, jolle ainakin yksi predikaateista on tosi.

Voit todistaa sen (omillasi). T A Ú SISÄÄN = T AÈ T V.

Esimerkki. Katsotaanpa predikaatteja A(X): « X jaollinen 2", SISÄÄN(X): « X on jaollinen 3:lla, joka on annettu luonnollisten lukujen joukossa. Etsitään predikaatin totuusalue A(X) Ú SISÄÄN(X): « X jaollinen kahdella tai kolmella."

T A= {2; 4; 6; 8; 10;…}, T V= {3; 6; 9; 12; 15; …}, T A Ú SISÄÄN = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

Määritelmä. Predikaatin kieltäminen A(X) kutsutaan predikaatiksi . Se on totta niille ja vain niille arvoille X Î X, jolle predikaatti A(X) on väärä ja päinvastoin.

Huomaa, että = .

Määritelmä. Predikaattien mukaan A(X) Ja SISÄÄN(X) kutsutaan predikaatiksi A(X) Þ SISÄÄN(X) (lue: "Jos A(X), Tuo SISÄÄN(X)"). Se muuttuu vääräksi väitteeksi noille arvoille X Î X, jolle predikaatti A(X) on totta, ja predikaatti SISÄÄN(X) on väärä.

Määritelmästä saamme tuon predikaatin A(X) Þ SISÄÄN(X) on väärä kuvauksissa T AÇ , ja siksi se on totta tämän joukon täydennyksessä. Käyttäen joukkojen operaatiolakeja, meillä on: .

Kontrollikysymykset

1. Mitä kutsutaan ekspressiiviseksi muodoksi tai predikaatiksi?

2. Mitkä predikaatit erottuvat niihin sisältyvien muuttujien lukumäärästä? Antaa esimerkkejä.

3. Mitä joukkoa kutsutaan predikaatin määritelmäalueeksi?

4. Mitä joukkoa kutsutaan predikaatin totuusjoukoksi?

5. Mitä kutsutaan predikaattien konjunktioksi? Todista yhtäläisyys, joka yhdistää predikaattien konjunktion totuusalueen näiden predikaattien totuusalueisiin.

6. Määritä predikaattien disjunktio, negaatio ja implikaatio. Kirjoita ylös yhtäläisyydet, jotka yhdistävät predikaattien konjunktion totuusalueet näiden predikaattien totuusalueisiin.