Tehdään joitain yksinkertaisia muunnoksia kaavoilla. Newtonin toisen lain mukaan voima voidaan löytää: F=m*a. Kiihtyvyys saadaan seuraavasti: a=v⁄t. Siten saamme: F= m*v/t.
Kehon liikemäärän määritys: kaava
Osoittautuu, että voimalle on ominaista massan ja nopeuden tuotteen muutos ajan myötä. Jos merkitsemme tätä tuotetta tietyllä suurella, saamme tämän määrän muutoksen ajan myötä voiman ominaisuutena. Tätä määrää kutsutaan kehon liikemääräksi. Kehon liikemäärä ilmaistaan kaavalla:
missä p on kappaleen liikemäärä, m on massa, v on nopeus.
Momentti on vektorisuure, ja sen suunta on aina sama kuin nopeuden suunta. Impulssin yksikkö on kilogramma metriä kohti sekunnissa (1 kg*m/s).
Mikä on kehon impulssi: kuinka ymmärtää?
Yritetään ymmärtää yksinkertaisella tavalla "sormilla", mikä kehon impulssi on. Jos keho on levossa, sen liikemäärä on nolla. Looginen. Jos kehon nopeus muuttuu, niin keho saa tietyn impulssin, joka luonnehtii siihen kohdistuvan voiman suuruutta.
Jos kehoon ei ole vaikutusta, mutta se liikkuu tietyllä nopeudella, eli sillä on tietty impulssi, niin sen impulssi tarkoittaa sitä, mitä vaikutusta tämä keho voi vaikuttaa vuorovaikutuksessa toisen kehon kanssa.
Impulssikaava sisältää kehon massan ja sen nopeuden. Eli mitä enemmän massaa ja/tai nopeutta keholla on, sitä suurempi vaikutus sillä voi olla. Tämä on selvää elämänkokemuksesta.
Pienen massan kappaleen liikuttamiseen tarvitaan pieni voima. Mitä suurempi ruumiinpaino, sitä enemmän on ponnisteltava. Sama pätee kehoon kohdistuvaan nopeuteen. Jos keho itse vaikuttaa toiseen, impulssi osoittaa myös sen suuruuden, jolla keho pystyy vaikuttamaan muihin kappaleisiin. Tämä arvo riippuu suoraan alkuperäisen kappaleen nopeudesta ja massasta.
Impulssi kehojen vuorovaikutuksen aikana
Toinen kysymys herää: mitä tapahtuu kehon liikemäärälle, kun se on vuorovaikutuksessa toisen kehon kanssa? Kappaleen massa ei voi muuttua, jos se pysyy ehjänä, mutta nopeus voi muuttua helposti. Tässä tapauksessa kehon nopeus muuttuu sen massan mukaan.
Itse asiassa on selvää, että kun kappaleet, joiden massat ovat hyvin erilaiset, törmäävät, niiden nopeus muuttuu eri tavalla. Jos suurella nopeudella lentävä jalkapallopallo osuu valmistautumattomaan henkilöön, esimerkiksi katsojaan, katsoja voi pudota, eli se saa jonkin verran pientä nopeutta, mutta ei varmasti lennä kuin pallo.
Ja kaikki siksi, että katsojan massa on paljon suurempi kuin pallon massa. Mutta samaan aikaan näiden kahden kappaleen kokonaisliikemäärä pysyy ennallaan.
Liikemäärän säilymislaki: kaava
Tämä on liikemäärän säilymisen laki: kun kaksi kappaletta ovat vuorovaikutuksessa, niiden kokonaisliikemäärä pysyy muuttumattomana. Liikemäärän säilymislaki toimii vain suljetussa järjestelmässä, eli järjestelmässä, jossa ulkoiset voimat eivät vaikuta tai niiden kokonaisvaikutus on nolla.
Todellisuudessa kehojärjestelmä on lähes aina ulkoisen vaikutuksen alainen, mutta kokonaisimpulssi, kuten energia, ei katoa mihinkään eikä synny tyhjästä, vaan se jakautuu kaikkien vuorovaikutuksen osallistujien kesken.
22-kaliiperisen luodin massa on vain 2 g. Jos joku heittää sellaisen luodin, hän saa sen helposti kiinni myös ilman käsineitä. Jos yrität saada kiinni sellaisen luodin, joka lentää suusta 300 m/s nopeudella, edes käsineet eivät auta.
Jos lelukärry vierii sinua kohti, voit pysäyttää sen varpaasi. Jos kuorma-auto vierii sinua kohti, sinun tulee siirtää jalkasi pois sen tieltä.
Tarkastellaan ongelmaa, joka osoittaa voimapulssin ja kappaleen liikemäärän muutoksen välisen yhteyden.
Esimerkki. Pallon massa on 400 g, pallon törmäyksen jälkeen saavuttama nopeus on 30 m/s. Voima, jolla jalka vaikutti palloon, oli 1500 N ja iskuaika oli 8 ms. Etsi pallon voimapulssi ja kehon liikemäärän muutos.
Muutos kehon vauhdissa
Esimerkki. Arvioi lattian keskimääräinen voima, joka vaikuttaa palloon törmäyksen aikana.
1) Iskun aikana palloon vaikuttaa kaksi voimaa: maareaktiovoima, painovoima.
Reaktiovoima muuttuu iskuajan aikana, joten on mahdollista löytää lattian keskimääräinen reaktiovoima.
2) Muutos vauhdissa 
kuvassa näkyvä runko
3) Newtonin toisesta laista
Tärkein asia muistaa
1) Kehon impulssin, voiman impulssin kaavat;
2) impulssivektorin suunta;
3) Etsi kehon liikemäärän muutos
Newtonin toisen lain johtaminen yleisessä muodossa
Kuvaaja F(t). Muuttuva voima
Voimaimpulssi on numeerisesti yhtä suuri kuin kaavion F(t) alla olevan kuvan pinta-ala.
Jos voima ei ole vakio ajan myötä, se esimerkiksi kasvaa lineaarisesti F=kt, niin tämän voiman liikemäärä on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala. Voit korvata tämän voiman vakiovoimalla, joka muuttaa kehon liikemäärää samalla määrällä samassa ajassa
Keskimääräinen tuloksena oleva voima
MOMENTUMIN SÄILYTYMISLAKI
Testaus verkossa
Suljettu kehojärjestelmä
Tämä on kehojen järjestelmä, jotka ovat vuorovaikutuksessa vain toistensa kanssa. Ulkoisia vuorovaikutusvoimia ei ole.
Reaalimaailmassa tällaista järjestelmää ei voi olla olemassa; kaikkea ulkoista vuorovaikutusta ei voida poistaa. Suljettu kappalejärjestelmä on fyysinen malli, aivan kuten materiaalipiste on malli. Tämä on malli kappaleiden järjestelmästä, joiden oletetaan olevan vuorovaikutuksessa vain toistensa kanssa; ulkoisia voimia ei oteta huomioon, ne jätetään huomiotta.
Liikemäärän säilymisen laki
Suljetussa kehojärjestelmässä vektori kappaleiden momenttien summa ei muutu, kun kappaleet ovat vuorovaikutuksessa. Jos yhden kappaleen liikemäärä on kasvanut, se tarkoittaa, että sillä hetkellä jonkin muun kappaleen (tai useamman kappaleen) liikemäärä on laskenut täsmälleen saman verran.
Tarkastellaanpa tätä esimerkkiä. Tyttö ja poika luistelevat. Suljettu kehojärjestelmä - tyttö ja poika (jätämme huomiotta kitkan ja muut ulkoiset voimat). Tyttö seisoo paikallaan, hänen vauhtinsa on nolla, koska nopeus on nolla (katso kappaleen liikemäärän kaava). Kun tietyllä nopeudella liikkuva poika törmää tyttöön, hänkin alkaa liikkua. Nyt hänen ruumiillaan on vauhtia. Tytön vauhdin numeerinen arvo on täsmälleen sama kuin kuinka paljon pojan vauhti väheni törmäyksen jälkeen.
Yksi kappale, jonka massa on 20 kg, liikkuu nopeudella, toinen kappale, jonka massa on 4 kg, liikkuu samaan suuntaan nopeudella. Mitkä ovat kunkin kehon impulssit? Mikä on järjestelmän vauhti?
Kehojärjestelmän impulssi on kaikkien järjestelmään kuuluvien kappaleiden momenttien vektorisumma. Esimerkissämme tämä on kahden vektorin summa (koska otetaan huomioon kaksi kappaletta), jotka on suunnattu samaan suuntaan, joten
Lasketaan nyt kappalejärjestelmän liikemäärä edellisestä esimerkistä, jos toinen kappale liikkuu vastakkaiseen suuntaan.
Koska kappaleet liikkuvat vastakkaisiin suuntiin, saadaan monisuuntaisten impulssien vektorisumma. Lue lisää vektorin summasta.
Tärkein asia muistaa
1) Mikä on suljettu kehojen järjestelmä;
2) Liikemäärän säilymislaki ja sen soveltaminen
Tutkittuamme Newtonin lakeja näemme, että niiden avulla on mahdollista ratkaista mekaniikan perusongelmat, jos tunnemme kaikki kehoon vaikuttavat voimat. On tilanteita, joissa näiden arvojen määrittäminen on vaikeaa tai jopa mahdotonta. Tarkastellaanpa useita tällaisia tilanteita.Kun kaksi biljardipalloa tai autoa törmäävät toisiinsa, voimme väittää vaikuttavista voimista, että tämä on niiden luonne; tässä vaikuttavat elastiset voimat. Emme kuitenkaan pysty määrittämään tarkasti niiden moduuleja emmekä niiden suuntaa, varsinkin kun näiden voimien toiminta-aika on erittäin lyhyt.Rakettien ja suihkukoneiden liikkuessa voimme myös sanoa vähän voimista, jotka saattavat nämä kappaleet liikkeelle.Tällaisissa tapauksissa käytetään menetelmiä, joiden avulla voidaan välttää liikeyhtälöiden ratkaisemista ja käyttää välittömästi näiden yhtälöiden seurauksia. Tässä tapauksessa otetaan käyttöön uusia fyysisiä suureita. Tarkastellaan yhtä näistä määristä, jota kutsutaan kehon liikemääräksi
Jousesta ammuttu nuoli. Mitä pidempään merkkijonon kosketus nuolen kanssa jatkuu (∆t), sitä suurempi on muutos nuolen liikemäärässä (∆) ja siten sen loppunopeus.
Kaksi törmäävää palloa. Kun pallot ovat kosketuksissa, ne vaikuttavat toisiinsa samansuuruisin voimin, kuten Newtonin kolmas laki opettaa. Tämä tarkoittaa, että myös niiden momenttien muutosten on oltava suuruudeltaan yhtä suuria, vaikka pallojen massat eivät olisi yhtä suuret.
Kaavojen analysoinnin jälkeen voidaan tehdä kaksi tärkeää johtopäätöstä:
1. Saman ajanjakson ajan vaikuttavat identtiset voimat aiheuttavat samat liikemäärän muutokset eri kappaleissa, riippumatta niiden massasta.
2. Sama muutos kappaleen liikemäärässä voidaan saavuttaa joko toimimalla pienellä voimalla pitkän ajan kuluessa tai toimimalla lyhyesti suurella voimalla samaan kappaleeseen.
Newtonin toisen lain mukaan voimme kirjoittaa:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Kappaleen liikemäärän muutoksen suhde ajanjaksoon, jonka aikana tämä muutos tapahtui, on yhtä suuri kuin kehoon vaikuttavien voimien summa.
Analysoituamme tämän yhtälön näemme, että Newtonin toinen laki sallii meidän laajentaa ratkaistavien ongelmien luokkaa ja sisällyttää siihen ongelmat, joissa kappaleiden massa muuttuu ajan myötä.
Jos yritämme ratkaista vaihtelevan massan kappaleita Newtonin toisen lain tavanomaisella muotoilulla:
silloin tällaisen ratkaisun yrittäminen johtaisi virheeseen.
Esimerkkinä tästä on jo mainittu suihkukone tai avaruusraketti, joka polttaa polttoainetta liikkuessaan, ja palamistuotteet vapautuvat ympäröivään tilaan. Luonnollisesti lentokoneen tai raketin massa pienenee polttoaineen kulutuksen myötä.
Huolimatta siitä, että Newtonin toinen laki muodossa "resultanttivoima on yhtä suuri kuin kappaleen massan ja sen kiihtyvyyden tulo" antaa meille mahdollisuuden ratkaista melko laajan luokan ongelmia, on kappaleiden liiketapauksia, joita ei voida kuvataan täysin tällä yhtälöllä. Tällaisissa tapauksissa on tarpeen soveltaa toisen lain toista muotoilua, joka yhdistää kehon liikemäärän muutoksen tuloksena olevan voiman impulssiin. Lisäksi on useita ongelmia, joissa liikeyhtälöiden ratkaiseminen on matemaattisesti erittäin vaikeaa tai jopa mahdotonta. Tällaisissa tapauksissa meidän on hyödyllistä käyttää liikemäärän käsitettä.
Käyttämällä liikemäärän säilymislakia sekä voiman liikemäärän ja kappaleen liikemäärän välistä suhdetta voimme johtaa Newtonin toisen ja kolmannen lain.
Newtonin toinen laki on johdettu voiman impulssin ja kappaleen liikemäärän välisestä suhteesta.
Voiman impulssi on yhtä suuri kuin kehon liikemäärän muutos:
Tehtyään asianmukaiset siirrot saadaan voiman riippuvuus kiihtyvyydestä, koska kiihtyvyys määritellään nopeuden muutoksen suhteeksi aikaan, jonka aikana tämä muutos tapahtui:
Korvaamalla arvot kaavaamme, saamme Newtonin toisen lain kaavan:
Newtonin kolmannen lain johtamiseksi tarvitsemme liikemäärän säilymisen lain.
Vektorit korostavat nopeuden vektoriluonnetta, eli sitä tosiasiaa, että nopeus voi muuttua suunnassa. Muutosten jälkeen saamme:
Koska aika suljetussa järjestelmässä oli vakioarvo molemmille kappaleille, voimme kirjoittaa:
Olemme saaneet Newtonin kolmannen lain: kaksi kappaletta vuorovaikuttavat toistensa kanssa voimilla, jotka ovat yhtä suuret ja vastakkaiset. Näiden voimien vektorit on suunnattu toisiaan kohti, näiden voimien moduulit ovat samanarvoisia.
Bibliografia
- Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Fysiikka (perustaso) - M.: Mnemosyne, 2012.
- Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. Fysiikka 10 luokka. - M.: Mnemosyne, 2014.
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fysiikka - 9, Moskova, koulutus, 1990.
Kotitehtävät
- Määrittele kehon impulssi, voiman impulssi.
- Miten kehon impulssi liittyy voimapulssiin?
- Mitä johtopäätöksiä voidaan tehdä kehon impulssin ja voiman impulssin kaavoista?
- Internet-portaali Questions-physics.ru ().
- Internet-portaali Frutmrut.ru ().
- Internet-portaali Fizmat.by ().
Pulssi (Liikkeen määrä) on fyysinen vektorisuure, joka on kappaleen mekaanisen liikkeen mitta. Klassisessa mekaniikassa kappaleen liikemäärä on yhtä suuri kuin massan tulo m tämän kehon nopeudella v, impulssin suunta on sama kuin nopeusvektorin suunta:
Järjestelmän impulssi hiukkaset on yksittäisten hiukkasten momenttien vektorisumma: p=(summa) p i, Missä p i on i:nnen hiukkasen liikemäärä.
Lause järjestelmän liikemäärän muutoksesta: järjestelmän kokonaisliikemäärää voidaan muuttaa vain ulkoisten voimien vaikutuksesta: Fext=dp/dt(1), ts. järjestelmän liikemäärän derivaatta ajan suhteen on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmän hiukkasiin vaikuttavien ulkoisten voimien vektorisumma. Kuten yhden hiukkasen tapauksessa, lauseesta (1) seuraa, että järjestelmän liikemäärän lisäys on yhtä suuri kuin kaikkien ulkoisten voimien resultantin liikemäärä vastaavan ajanjakson aikana:
p2-p1 = t & 0 F ext dt.
Klassisessa mekaniikassa täydellinen impulssi Materiaalipisteiden järjestelmää kutsutaan vektorisuureeksi, joka on yhtä suuri kuin materiaalipisteiden massojen ja niiden nopeuden tulojen summa:
vastaavasti määrää kutsutaan yhden materiaalipisteen liikemääräksi. Tämä on vektorisuure, joka on suunnattu samaan suuntaan kuin hiukkasen nopeus. Kansainvälisen yksikköjärjestelmän (SI) impulssiyksikkö on kilometriä sekunnissa(kg m/s).
Jos kyseessä on äärellisen kokoinen kappale, joka ei koostu erillisistä ainepisteistä, sen liikemäärän määrittämiseksi on välttämätöntä hajottaa kappale pieniksi osiin, joita voidaan pitää aineellisina pisteinä ja summata niiden päälle, jolloin saadaan:
Järjestelmän impulssi, johon ulkoiset voimat eivät vaikuta (tai niitä kompensoidaan) tallennettu ajallaan:
Liikemäärän säilyminen seuraa tässä tapauksessa Newtonin toisesta ja kolmannesta laista: kirjoittamalla Newtonin toinen laki jokaiselle järjestelmän muodostavalle aineelliselle pisteelle ja summaamalla kaikki järjestelmän muodostavat aineelliset pisteet, saadaan Newtonin kolmannen lain nojalla tasa-arvo (* ).
Relativistisessa mekaniikassa ei-vuorovaikutteisten materiaalipisteiden järjestelmän kolmiulotteinen liikemäärä on määrä
Missä m i-paino i aineellinen kohta.
Tämä arvo säilyy ei-vuorovaikutteisten materiaalipisteiden suljetussa järjestelmässä. Kolmiulotteinen liikemäärä ei kuitenkaan ole relativistisesti invariantti suure, koska se riippuu viitekehyksestä. Merkittävämpi suure on neliulotteinen liikemäärä, joka määritetään yhdelle materiaalipisteelle
Käytännössä käytetään usein seuraavia hiukkasen massan, liikemäärän ja energian välisiä suhteita:
Periaatteessa ei-vuorovaikutteisten materiaalipisteiden järjestelmässä niiden 4 momenttia lasketaan yhteen. Vuorovaikutteisten hiukkasten suhteen relativistisessa mekaniikassa on kuitenkin otettava huomioon paitsi järjestelmän muodostavien hiukkasten liikemäärä, myös niiden välisen vuorovaikutuskentän liikemäärä. Siksi relativistisessa mekaniikassa paljon merkityksellisempi suure on energia-momenttitensori, joka täyttää täysin säilymislait.
Impulssin ominaisuudet
· Additiivisuus. Tämä ominaisuus tarkoittaa, että materiaalipisteistä koostuvan mekaanisen järjestelmän liikemäärä on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään kuuluvien aineellisten pisteiden liikemäärän summa.
· Invarianssi vertailujärjestelmän kiertoon nähden.
· Säilytys. Vauhti ei muutu vuorovaikutuksissa, jotka muuttavat vain järjestelmän mekaanisia ominaisuuksia. Tämä ominaisuus on invariantti Galilean muunnoksissa Kineettisen energian säilymisen, liikemäärän säilymisen ja Newtonin toisen lain ominaisuudet riittävät johtamaan liikemäärän matemaattinen kaava.
Liikemäärän säilymisen laki (liikemäärän säilymisen laki)- järjestelmän kaikkien kappaleiden impulssien vektorisumma on vakioarvo, jos järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien vektorisumma on nolla.
Klassisessa mekaniikassa liikemäärän säilymislaki johdetaan yleensä Newtonin lakien seurauksena. Newtonin laeista voidaan osoittaa, että liikkuessa tyhjässä tilassa liikemäärä säilyy ajassa ja vuorovaikutuksen läsnä ollessa sen muutosnopeus määräytyy kohdistettujen voimien summan mukaan.
Kuten mikä tahansa perussäilytyslaki, liikemäärän säilymislaki liittyy Noetherin lauseen mukaan yhteen perussymmetrioista - avaruuden homogeenisuuteen.
Kappaleen liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin kaikkien kehoon vaikuttavien voimien resultantin liikemäärä. Tämä on Newtonin toisen lain erilainen muotoilu
Yhtenäisen valtiontutkinnon kodifioinnin aiheet: kappaleen liikemäärä, kappalejärjestelmän liikemäärä, liikemäärän säilymisen laki.
Pulssi kappale on vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin kehon massan ja sen nopeuden tulo:
Impulssin mittaamiseen ei ole erityisiä yksiköitä. Liikemäärä on yksinkertaisesti massan ja nopeuden mittasuhteen tulo:
Miksi liikemäärän käsite on mielenkiintoinen? Osoittautuu, että sen avulla voit antaa Newtonin toiselle laille hieman erilaisen, myös erittäin hyödyllisen muodon.
Newtonin toinen laki impulssimuodossa
Antaa olla massakappaleeseen kohdistettujen voimien resultantti. Aloitamme tavallisella Newtonin toisen lain merkinnällä:
Ottaen huomioon, että kappaleen kiihtyvyys on yhtä suuri kuin nopeusvektorin derivaatta, Newtonin toinen laki kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:
Esittelemme vakion derivaatan alle:
Kuten näet, impulssin derivaatta saadaan vasemmalla puolella:
. ( 1 )
Suhde (1) on uusi muoto Newtonin toisen lain kirjoittamiseen.
Newtonin toinen laki impulssimuodossa. Kappaleen liikemäärän derivaatta on kappaleeseen kohdistuvien voimien resultantti.
Voimme sanoa näin: kehoon vaikuttava voima on yhtä suuri kuin kehon liikemäärän muutosnopeus.
Kaavan (1) derivaatta voidaan korvata lopullisten lisäysten suhteella:
. ( 2 )
Tässä tapauksessa kehoon vaikuttaa keskimääräinen voima ajanjakson aikana. Mitä pienempi arvo, sitä lähempänä suhde on derivaatta, ja sitä lähempänä keskimääräinen voima on sen hetkellistä arvoa tietyllä hetkellä.
Tehtävissä aikaväli on yleensä melko pieni. Tämä voi olla esimerkiksi aika, jolloin pallo osuu seinään, ja sitten - keskimääräinen voima, joka vaikuttaa palloon seinästä iskun aikana.
Relaation (2) vasemmalla puolella olevaa vektoria kutsutaan impulssin muutos aikana . Liikemäärän muutos on ero lopullisen ja alkumomenttivektorin välillä. Nimittäin, jos on kappaleen liikemäärä jollain alkuajanhetkellä, on kappaleen liikemäärä tietyn ajanjakson jälkeen, niin liikemäärän muutos on ero:
Korostetaan vielä kerran, että liikemäärän muutos on vektorien välinen ero (kuva 1):
Antaa esimerkiksi pallon lentää kohtisuorassa seinään nähden (vauhti ennen iskua on yhtä suuri kuin ) ja pomppia takaisin nopeutta menettämättä (vauhti törmäyksen jälkeen on yhtä suuri kuin ). Huolimatta siitä, että impulssi ei ole muuttunut absoluuttisessa arvossa (), impulssissa tapahtuu muutos:
Geometrisesti tämä tilanne on esitetty kuvassa. 2:
Liikemäärän muutosmoduuli, kuten näemme, on yhtä suuri kuin kaksi kertaa pallon alkuimpulssin moduuli: .
Kirjoitetaan kaava (2) uudelleen seuraavasti:
, ( 3 )
tai kuvaamalla vauhdin muutosta, kuten edellä:
Määrää kutsutaan voiman impulssi. Voimaimpulssille ei ole olemassa erityistä mittayksikköä; voimaimpulssin mitta on yksinkertaisesti voiman ja ajan mittojen tulo:
(Huomaa, että tämä on toinen mahdollinen kehon liikemäärän mittayksikkö.)
Tasa-arvon sanallinen muoto (3) on seuraava: kappaleen liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin kappaleeseen tietyn ajanjakson aikana vaikuttavan voiman liikemäärä. Tämä on tietysti jälleen Newtonin toinen laki liikemäärämuodossa.
Esimerkki voiman laskemisesta
Esimerkkinä Newtonin toisen lain soveltamisesta impulssimuodossa, tarkastellaan seuraavaa ongelmaa.
Tehtävä.
Vaakasuoraan nopeudella m/s lentävä pallo, jonka massa on g, osuu tasaiseen pystysuoraan seinään ja pomppaa siitä pois nopeutta menettämättä. Pallon tulokulma (eli pallon liikesuunnan ja seinään nähden kohtisuoran välinen kulma) on yhtä suuri kuin . Isku kestää s. Etsi keskimääräinen voima,
vaikuttaa palloon törmäyksen aikana.
Ratkaisu. Osoitetaan ensin, että heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma, eli pallo pomppii seinästä samassa kulmassa (kuva 3).
Kohdan (3) mukaan meillä on: . Tästä seuraa, että liikemäärän muutosvektori ohjattu yhdessä vektorilla, toisin sanoen suunnattu kohtisuoraan seinää vastaan pallon pomppiman suuntaan (kuva 5).
 |
| Riisi. 5. Tehtävään |
Vektorit ja
yhtä suuri moduulissa
(koska pallon nopeus ei ole muuttunut). Siksi kolmio koostuu vektoreista , Ja , on tasakylkinen. Tämä tarkoittaa, että vektorien ja välinen kulma on yhtä suuri kuin , eli heijastuskulma on todella yhtä suuri kuin tulokulma.
Huomaa nyt lisäksi, että tasakylkisessä kolmiossamme on kulma (tämä on tulokulma); siksi tämä kolmio on tasasivuinen. Täältä:
Ja sitten haluttu palloon vaikuttava keskimääräinen voima on:
Kehojärjestelmän impulssi
Aloitetaan yksinkertaisesta kahden kehon järjestelmän tilanteesta. Eli olkoon keho 1 ja kappale 2 impulsseina ja vastaavasti. Näiden kappaleiden järjestelmän impulssi on kunkin kappaleen impulssien vektorisumma:
Osoittautuu, että kappalejärjestelmän liikemäärälle on olemassa kaava, joka on samanlainen kuin Newtonin toinen laki muodossa (1). Johdetaan tämä kaava.
Kutsumme kaikkia muita esineitä, joiden kanssa tarkastelemamme kappaleet 1 ja 2 ovat vuorovaikutuksessa ulkoiset elimet. Voimia, joilla ulkoiset kappaleet vaikuttavat kappaleisiin 1 ja 2, kutsutaan ulkoisten voimien vaikutuksesta. Olkoon kappaleeseen 1 vaikuttava resultantti ulkoinen voima. Samaten olkoon kappaleeseen 2 vaikuttava resultantti ulkoinen voima (kuva 6).
Lisäksi kappaleet 1 ja 2 voivat olla vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Anna kappaleen 2 vaikuttaa kappaleeseen 1 voimalla. Sitten kappale 1 vaikuttaa kappaleeseen 2 voimalla. Newtonin kolmannen lain mukaan voimat ovat suuruudeltaan yhtä suuret ja suunnaltaan vastakkaiset: . Voimia ja on sisäiset voimat, toimivat järjestelmässä.
Kirjoita kullekin kappaleelle 1 ja 2 Newtonin toinen laki muodossa (1):
, ( 4 )
. ( 5 )
Lisätään yhtäläisyydet (4) ja (5):
Tuloksena olevan yhtälön vasemmalla puolella on derivaattojen summa, joka on yhtä suuri kuin vektorien ja . Oikealla puolella meillä on Newtonin kolmannen lain nojalla:
Mutta - tämä on kappaleiden 1 ja 2 järjestelmän impulssi. Merkitään myös - tämä on järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien resultantti. Saamme:
. ( 6 )
Täten, kappalejärjestelmän liikemäärän muutosnopeus on järjestelmään kohdistuvien ulkoisten voimien resultantti. Halusimme saavuttaa tasa-arvon (6), joka toimii Newtonin toisen lain roolina kappalejärjestelmälle.
Kaava (6) johdettiin kahden kappaleen tapaukselle. Yleistetään nyt päättelymme tapaukseen, jossa järjestelmässä on mielivaltainen määrä kappaleita.
Kehojärjestelmän impulssi kappaleet on kaikkien järjestelmään kuuluvien kappaleiden momenttien vektorisumma. Jos järjestelmä koostuu kappaleista, tämän järjestelmän liikemäärä on yhtä suuri:
Sitten kaikki tehdään täsmälleen samalla tavalla kuin yllä (vain teknisesti näyttää hieman monimutkaisemmalta). Jos jokaiselle kappaleelle kirjoitetaan yhtäläisyydet (4) ja (5) ja sitten lisätään kaikki nämä yhtälöt, niin vasemmalla puolella saadaan jälleen järjestelmän liikemäärän derivaatta, ja oikealle puolelle jää vain ulkoisten voimien summa (sisäiset voimat pareittain yhteenlaskettuna antavat nollan Newtonin kolmannen lain vuoksi). Näin ollen tasa-arvo (6) pysyy voimassa yleisessä tapauksessa.
Liikemäärän säilymisen laki
Kehojen järjestelmää kutsutaan suljettu, jos ulkoisten kappaleiden vaikutukset tietyn järjestelmän kehoihin ovat joko merkityksettömiä tai kompensoivat toisiaan. Näin ollen suljetun kappalejärjestelmän tapauksessa vain näiden kappaleiden vuorovaikutus keskenään, mutta ei minkään muun kappaleen kanssa, on olennaista.
Suljettuun järjestelmään kohdistettujen ulkoisten voimien resultantti on yhtä suuri kuin nolla: . Tässä tapauksessa kohdasta (6) saadaan:
Mutta jos vektorin derivaatta menee nollaan (vektorin muutosnopeus on nolla), itse vektori ei muutu ajan myötä:
Liikemäärän säilymisen laki. Suljetun kappalejärjestelmän liikemäärä pysyy ajan mittaan vakiona kaikissa tässä järjestelmässä olevien kappaleiden vuorovaikutuksessa.
Yksinkertaisimmat liikemäärän säilymislain ongelmat ratkaistaan vakiokaavion mukaisesti, jonka nyt näytämme.
Tehtävä. Kappale, jonka massa on g, liikkuu nopeudella m/s tasaisella vaakapinnalla. Kappale, jonka massa on g, liikkuu sitä kohti nopeudella m/s. Tapahtuu ehdottoman joustamaton isku (kappaleet tarttuvat yhteen). Selvitä kappaleiden nopeus törmäyksen jälkeen.
Ratkaisu. Tilanne on esitetty kuvassa. 7. Ohjataan akseli ensimmäisen kappaleen liikkeen suuntaan.
 |
| Riisi. 7. Tehtävään |
Koska pinta on sileä, ei ole kitkaa. Koska pinta on vaakasuora ja liikettä tapahtuu sitä pitkin, painovoima ja tuen reaktio tasapainottavat toisiaan:
Siten näiden kappaleiden järjestelmään kohdistettujen voimien vektorisumma on yhtä suuri kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että kehojen järjestelmä on suljettu. Siksi liikemäärän säilymislaki täyttyy sille:
. ( 7 )
Järjestelmän impulssi ennen törmäystä on kappaleiden impulssien summa:
Joustamattoman iskun jälkeen saadaan yksi massakappale, joka liikkuu halutulla nopeudella:
Liikemäärän säilymisen laista (7) meillä on:
Täältä löydämme iskun jälkeen muodostuneen kehon nopeuden:
Siirrytään projektioihin akselille:
Ehdolla meillä on: m/s, m/s, niin
Miinusmerkki osoittaa, että yhteen tarttuneet kappaleet liikkuvat akselia vastakkaiseen suuntaan. Vaadittu nopeus: m/s.
Liikemäärän projektion säilymislaki
Seuraava tilanne esiintyy usein ongelmissa. Kappalejärjestelmä ei ole suljettu (järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien vektorisumma ei ole yhtä suuri kuin nolla), mutta on olemassa sellainen akseli, ulkoisten voimien projektioiden summa akselille on nolla milloin tahansa. Silloin voidaan sanoa, että tällä akselilla kappalejärjestelmämme käyttäytyy suljettuna ja järjestelmän liikemäärän projektio akselille säilyy.
Näytä tämä tiukemmin. Projisoidaan tasa-arvo (6) akselille:
Jos resultanttien ulkoisten voimien projektio häviää, niin
Siksi projektio on vakio:
Liikemäärän projektion säilymislaki. Jos järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien summan projektio akselille on nolla, niin järjestelmän liikemäärän projektio ei muutu ajan kuluessa.
Katsotaanpa esimerkkiä tietystä ongelmasta nähdäksemme kuinka liikemäärän projektion säilymislaki toimii.
Tehtävä. Luistimilla sileällä jäällä seisova massapoika heittää massakiveä kulmassa vaakatasoon nähden. Selvitä nopeus, jolla poika rullaa takaisin heiton jälkeen.
Ratkaisu. Tilanne on esitetty kaavamaisesti kuvassa. 8. Poika on kuvattu suoranauhaisena.
 |
| Riisi. 8. Tehtävään |
"Poika + kivi" -järjestelmän vauhti ei säily. Tämä näkyy siitä, että heiton jälkeen ilmaantuu järjestelmän liikemäärän pystykomponentti (eli kiven liikemäärän pystykomponentti), jota ei ollut ennen heittoa.
Siksi pojan ja kiven muodostama järjestelmä ei ole suljettu. Miksi? Tosiasia on, että ulkoisten voimien vektorisumma ei ole yhtä suuri kuin nolla heiton aikana. Arvo on suurempi kuin summa, ja tämän ylityksen takia järjestelmän liikemäärän pystykomponentti ilmestyy.
Ulkoiset voimat vaikuttavat kuitenkin vain pystysuunnassa (kitkaa ei ole). Siksi impulssin projektio vaaka-akselille säilyy. Ennen heittoa tämä projektio oli nolla. Suuntaamalla akselin heiton suuntaan (niin, että poika meni negatiivisen puoliakselin suuntaan), saamme.
