Argumenttia x kutsutaan jaksolliseksi, jos on olemassa sellainen luku T, että millä tahansa x:llä F(x + T) = F(x). Tätä lukua T kutsutaan funktion jaksoksi.

Voi olla useita jaksoja. Esimerkiksi funktio F = const saa saman arvon mille tahansa argumentin arvolle, ja siksi mitä tahansa lukua voidaan pitää sen jaksona.

Yleensä sinua kiinnostaa funktion pienin nollasta poikkeava jakso. Lyhyyden vuoksi sitä kutsutaan yksinkertaisesti jaksoksi.

Klassinen esimerkki jaksollisista funktioista on trigonometrinen: sini, kosini ja tangentti. Niiden jakso on sama ja yhtä suuri kuin 2π, eli sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) ja niin edelleen. Trigonometriset funktiot eivät kuitenkaan tietenkään ole ainoita jaksollisia.

Yksinkertaisten perusfunktioiden osalta ainoa tapa määrittää, ovatko ne jaksollisia vai ei-jaksollisia, on laskutoimitus. Mutta monimutkaisille toiminnoille on jo olemassa useita yksinkertaisia ​​sääntöjä.

Jos F(x) on jaksolla T ja sille on määritelty derivaatta, niin tämä derivaatta f(x) = F'(x) on myös jaksollinen funktio jaksolla T. Loppujen lopuksi derivaatan arvo pisteessä x on yhtä suuri kuin sen antiderivaatan graafin tangenttikulman tangentti tässä pisteessä x-akseliin nähden, ja koska antiderivaata toistuu määräajoin, derivaatan on myös toistettava. Esimerkiksi funktion sin(x) derivaatta on yhtä suuri kuin cos(x), ja se on jaksollinen. Ottamalla cos(x):n derivaatan saat –sin(x). Taajuus pysyy ennallaan.

Päinvastainen ei kuitenkaan aina pidä paikkaansa. Siten funktio f(x) = const on jaksollinen, mutta sen antiderivaata F(x) = const*x + C ei ole.

Jos F(x) on jaksollinen funktio, jonka jakso on T, niin G(x) = a*F(kx + b), missä a, b ja k ovat vakioita ja k ei ole yhtä suuri kuin nolla - on myös jaksollinen funktio , ja sen jakso on T/k. Esimerkiksi sin(2x) on jaksollinen funktio ja sen jakso on π. Tämä voidaan esittää visuaalisesti seuraavasti: kertomalla x jollain luvulla, näytät tiivistävän funktion kaavion vaakasuunnassa täsmälleen niin monta kertaa

Jos F1(x) ja F2(x) ovat jaksollisia funktioita ja niiden jaksot ovat vastaavasti T1 ja T2, niin näiden funktioiden summa voi olla myös jaksollinen. Sen jakso ei kuitenkaan ole pelkkä jaksojen T1 ja T2 summa. Jos jaon T1/T2 tulos on rationaaliluku, niin funktioiden summa on jaksollinen ja sen jakso on yhtä suuri kuin jaksojen T1 ja T2 pienin yhteinen kerrannainen (LCM). Jos esimerkiksi ensimmäisen funktion jakso on 12 ja toisen jakso on 15, niin niiden summan jakso on yhtä suuri kuin LCM (12, 15) = 60.

Tämä voidaan esittää visuaalisesti seuraavasti: funktioilla on erilaisia ​​"askelleveyksiä", mutta jos niiden leveyssuhde on rationaalinen, niin ennemmin tai myöhemmin (tai pikemminkin juuri askelmien LCM:n kautta) niistä tulee jälleen yhtä suuria, ja niiden summa aloittaa uuden kauden.

Kuitenkin, jos jaksojen suhde on irrationaalinen, kokonaisfunktio ei ole ollenkaan jaksollinen. Olkoon esimerkiksi F1(x) = x mod 2 (jäännös, kun x jaetaan kahdella) ja F2(x) = sin(x). T1 on tässä yhtä suuri kuin 2 ja T2 on yhtä suuri kuin 2π. Jaksojen suhde on yhtä suuri kuin π - irrationaalinen luku. Siksi funktio sin(x) + x mod 2 ei ole jaksollinen.

eriarvoisuusjärjestelmän tyydyttäminen:

b) Tarkastellaan lukujonoa lukuja, jotka täyttävät epäyhtälöjärjestelmän:

Etsi tämän joukon muodostavien osien pituuksien summa.

§ 7. Yksinkertaisimmat kaavat

Pykälässä 3 määritimme seuraavan kaavan teräville kulmille α:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Sama kaava			kun,
				kun α on mikä tahansa			itse asiassa
				le, olkoon M piste trigonometriassa
				vastaava ympyrä
				numero α (kuva 7.1). Sitten		M:llä on mukana
				ordinaatit x = cos α, y
				Kuitenkin jokainen piste (x; y) makaa
				yksikön säteen ympyrä keskipisteen kanssa
				trome alkuperässä, tyydyttävä
				täyttää yhtälön x2 + y2		1, mistä
				cos2 α + sin2 α = 1 tarpeen mukaan.

Ympyrän yhtälöstä seuraa siis kaava cos2 α + sin2 α = 1. Saattaa näyttää siltä, ​​että olemme siten antaneet uuden todisteen tälle teräväkulman kaavalle (verrattuna §:ssä 3 esitettyyn, jossa käytimme Pythagoraan lausetta). Ero on kuitenkin puhtaasti ulkoinen: ympyrän x2 + y2 = 1 yhtälöä johdettaessa käytetään samaa Pythagoraan lausetta.

Teräville kulmille saimme esimerkiksi muita kaavoja

Symbolin mukaan oikea puoli on aina ei-negatiivinen, kun taas vasen puoli voi hyvinkin olla negatiivinen. Jotta kaava olisi totta kaikille α:lle, se on neliötettävä. Tuloksena oleva yhtälö on: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Osoittakaamme, että tämä kaava on tosi kaikille α:1

1/(1 + tan2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Ongelma 7.1. Johda kaikki alla olevat kaavat määritelmistä ja kaavasta sin2 α + cos2 α = 1 (olemme jo todistaneet osan niistä):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg a · ctg a = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

synti2

Näiden kaavojen avulla, kun tiedetään jonkin tietyn luvun trigonometrisista funktioista, voidaan melkein löytää kaikki loput.

Uusi Oletetaan esimerkiksi, että sin x = 1/2. Sitten cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, joten cos x on joko 3/2 tai − 3/2. Saadaksesi selville, kumpi näistä kahdesta luvusta cos x on yhtä suuri, tarvitaan lisätietoja.

Ongelma 7.2. Näytä esimerkein, että molemmat yllä olevat tapaukset ovat mahdollisia.

Ongelma 7.3. a) Olkoon tan x = −1. Etsi synti x. Kuinka monta vastausta tähän ongelmaan on?

b) Tiedämme kohdan a) ehtojen lisäksi, että sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Jolle tan α on määritelty, eli cos α 6 = 0.

Ongelma 7.4. Olkoon sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Etsi tg x.

Ongelma 7.5. Olkoon tan x = 3, cos x > sin x. Etsi cos x, sin x.

Ongelma 7.6. Olkoon tg x = 3/5. Etsi sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Ongelma 7.7. Todista henkilöllisyydet:

tan α − sin α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Ongelma 7.8. Yksinkertaista ilmaisut:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Trigonometristen funktioiden jaksot

Numerot x, x+2π, x−2π vastaavat samaa trigonometrisen ympyrän pistettä (jos kävelet ylimääräistä ympyrää trigonometristä ympyrää pitkin, palaat takaisin sinne, missä olit). Tämä tarkoittaa seuraavia identiteettejä, joista keskusteltiin jo § 5:ssä:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Näiden identiteettien yhteydessä olemme jo käyttäneet termiä "kausi". Antakaamme nyt tarkat määritelmät.

Määritelmä. Lukua T 6= 0 kutsutaan funktion f jaksoksi, jos kaikille x yhtälöt f(x − T) = f(x + T) = f(x) ovat tosia (oletetaan, että x + T ja x − T sisältyvät funktion määritelmäalueeseen, jos se sisältää x). Funktiota kutsutaan jaksolliseksi, jos sillä on jakso (ainakin yksi).

Jaksottaiset funktiot syntyvät luonnollisesti kuvattaessa värähtelyprosesseja. Yhtä sellaisista prosesseista on jo käsitelty § 5:ssä. Tässä on lisää esimerkkejä:

1) Olkoon ϕ = ϕ(t) kellon heiluvan heilurin poikkeama pystysuorasta hetkellä t. Silloin ϕ on t:n jaksollinen funktio.

2) Jännite ("potentiaaliero", kuten fyysikko sanoisi) vaihtovirtapistorasian kahden pistorasian välillä on

pidetäänkö sitä ajan funktiona, on jaksollinen funktio1.

3) Kuunnellaan musiikillista ääntä. Tällöin ilmanpaine tietyssä pisteessä on jaksollinen ajan funktio.

Jos funktiolla on jakso T, niin tämän funktion jaksot ovat myös numerot −T, 2T, −2T. . . - sanalla kaikki luvut nT, jossa n on kokonaisluku, joka ei ole nolla. Tarkastetaanpa esimerkiksi, että f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Määritelmä. Funktion f pienin positiivinen jakso on - sanojen kirjaimellisen merkityksen mukaisesti - positiivinen luku T siten, että T on f:n jakso eikä mikään T:tä pienempi positiivinen luku ole f:n jakso.

Jaksottaisella funktiolla ei vaadita pienintä positiivista jaksoa (esimerkiksi vakiofunktiolla on minkä tahansa luvun jakso, joten sillä ei ole pienintä positiivista jaksoa). Voimme myös antaa esimerkkejä epävakioista jaksollisista funktioista, joilla ei ole pienintä positiivista jaksoa. Siitä huolimatta mielenkiintoisimmissa tapauksissa jaksollisten funktioiden pienin positiivinen jakso on olemassa.

1 Kun sanotaan "verkon jännite on 220 volttia", he tarkoittavat sen "rms-arvoa", josta puhumme kohdassa 21. Itse jännite muuttuu koko ajan.

Riisi. 8.1. Tangentin ja kotangentin jakso.

Erityisesti sekä sinin että kosinin pienin positiivinen jakso on 2π. Todistetaan tämä esimerkiksi funktiolle y = sin x. Olkoon, toisin kuin väitämme, sinillä on jakso T siten, että 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Värähtelyjä kuvaavan funktion pienintä positiivista jaksoa (kuten esimerkeissämme 1–3) kutsutaan yksinkertaisesti näiden värähtelyjen jaksoksi.

Koska 2π on sinin ja kosinin jakso, se on myös tangentin ja kotangentin jakso. Näille funktioille 2π ei kuitenkaan ole pienin jakso: tangentin ja kotangentin pienin positiivinen jakso on π. Itse asiassa trigonometrisen ympyrän lukuja x ja x + π vastaavat pisteet ovat diametraalisesti vastakkaisia: pisteestä x pisteeseen x + 2π täytyy kulkea matka π, joka on täsmälleen puolet ympyrästä. Jos nyt käytetään tangentin ja kotangentin määritelmää tangenttien ja kotangenttien akseleilla, yhtälöt tg(x + π) = tan x ja ctg(x + π) = ctg x tulevat ilmeisiksi (kuva 8.1). On helppo tarkistaa (ehdotamme tämän tekemistä tehtävissä), että π on todellakin tangentin ja kotangentin pienin positiivinen jakso.

Yksi huomautus terminologiasta. Sanoja "funktion jakso" käytetään usein tarkoittamaan "pienintä positiivista jaksoa". Joten jos sinulta kysytään kokeessa: "Onko 100π sinifunktion jakso?", älä kiirehdi vastaamaan, vaan selvitä, tarkoitatko pienintä positiivista jaksoa vai vain yhtä jaksoista.

Trigonometriset funktiot ovat tyypillinen esimerkki jaksollisista funktioista: mikä tahansa "ei kovin huono" jaksollinen funktio voidaan jossain mielessä ilmaista trigonometrisinä funktioina.

Ongelma 8.1. Etsi funktioiden pienimmät positiiviset jaksot:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos(1,01x).

Ongelma 8.2. Vaihtovirtaverkon jännitteen riippuvuus ajasta saadaan kaavalla U = U0 sin ωt (tässä t on aika, U on jännite, U0 ja ω ovat vakioita). Vaihtovirran taajuus on 50 hertsiä (tämä tarkoittaa, että jännite tekee 50 värähtelyä sekunnissa).

a) Etsi ω olettaen, että t mitataan sekunneissa;

b) Etsi U:n (pienin positiivinen) jakso t:n funktiona.

Ongelma 8.3. a) Osoita, että kosinin pienin positiivinen jakso on 2π;

b) Osoita, että tangentin pienin positiivinen jakso on yhtä suuri kuin π.

Ongelma 8.4. Olkoon funktion f pienin positiivinen jakso T. Osoita, että sen kaikki muut jaksot ovat muotoa nT joillekin kokonaisluvuille n.

Ongelma 8.5. Osoita, että seuraavat funktiot eivät ole jaksollisia.

>> Funktioiden jaksollisuus y = sin x, y = cos x

§ 11. Funktioiden jaksollisuus y = sin x, y = cos x

Edellisissä kappaleissa käytimme seitsemää ominaisuutta toimintoja: määritelmäalue, parillinen tai pariton, monotonisuus, rajallisuus, suurimmat ja pienimmät arvot, jatkuvuus, funktion arvoalue. Käytimme näitä ominaisuuksia joko funktion graafin rakentamiseen (tämä tapahtui esimerkiksi § 9:ssä) tai rakennetun graafin lukemiseen (tämä tapahtui esimerkiksi § 10:ssä). Nyt on sopiva hetki ottaa käyttöön vielä yksi (kahdeksas) funktioiden ominaisuus, joka näkyy selvästi yllä olevista rakenteista. kaavioita funktiot y = sin x (katso kuva 37), y = cos x (katso kuva 41).

Määritelmä. Funktiota kutsutaan jaksolliseksi, jos siinä on nollasta poikkeava luku T siten, että mille tahansa joukon x:lle kaksoisehto pätee: tasa-arvo:

Lukua T, joka täyttää määritetyn ehdon, kutsutaan funktion y = f(x) jaksoksi.
Tästä seuraa, että koska minkä tahansa x:n yhtälöt ovat voimassa:

silloin funktiot y = sin x, y = cos x ovat jaksollisia ja luku on 2 P toimii jaksona molemmille toiminnoille.
Funktion jaksollisuus on funktioiden luvattu kahdeksas ominaisuus.

Katso nyt funktion y = sin x kuvaajaa (kuva 37). Siniaallon rakentamiseksi riittää, että piirretään yksi sen aalloista (segmentille ja sitten siirretään tämä aalto x-akselia pitkin. Tämän seurauksena yhden aallon avulla rakennamme koko graafin.

Katsotaanpa samasta näkökulmasta funktion y = cos x kuvaajaa (kuva 41). Näemme, että tässä kaavion piirtämiseksi riittää, että ensin piirretään yksi aalto (esimerkiksi segmentille

Ja sitten siirrä sitä x-akselia pitkin
Yhteenvetona teemme seuraavan johtopäätöksen.

Jos funktiolla y = f(x) on jakso T, niin funktion graafin rakentamiseksi on ensin rakennettava kaavion haara (aalto, osa) mille tahansa pituiselle T intervallelle (useimmiten otetaan väli, jolla on loppuja pisteissä ja siirrä sitten tätä haaraa x-akselia pitkin oikealle ja vasemmalle kohtiin T, 2T, ZT jne.
Jaksottaisella funktiolla on äärettömän monta jaksoa: jos T on jakso, niin 2T on jakso ja ZT on jakso ja -T on jakso; Yleensä jakso on mikä tahansa luku muotoa KT, jossa k = ±1, ±2, ± 3... Yleensä yritetään mahdollisuuksien mukaan eristää pienin positiivinen jakso, sitä kutsutaan pääjaksoksi.
Joten mikä tahansa luku muotoa 2pk, jossa k = ±1, ± 2, ± 3, on funktioiden y = sinn x, y = cos x jakso; 2n on molempien funktioiden pääjakso.

Esimerkki. Etsi toiminnon pääjakso:

A) Olkoon T funktion y = sin x pääjakso. Laitetaan

Jotta luku T olisi funktion jakso, identiteetti Mutta koska puhumme pääjakson löytämisestä, saamme
b) Olkoon T funktion pääjakso y = cos 0,5x. Laitetaan f(x)=cos 0,5x. Sitten f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).

Jotta luku T olisi funktion jakso, identiteetin cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x on oltava voimassa.

Tämä tarkoittaa 0,5t = 2pp. Mutta koska puhumme pääjakson löytämisestä, saamme 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Esimerkissä saatujen tulosten yleistys on seuraava lause: funktion pääjakso

A.G. Mordkovich Algebra 10. luokka

Oppitunnin sisältö oppituntimuistiinpanot tukevat kehystunnin esityksen kiihdytysmenetelmiä interaktiivisia tekniikoita Harjoitella tehtävät ja harjoitukset itsetestaus työpajat, koulutukset, tapaukset, tehtävät kotitehtävät keskustelukysymykset retoriset kysymykset opiskelijoilta Kuvituksia ääni, videoleikkeet ja multimedia valokuvat, kuvat, grafiikat, taulukot, kaaviot, huumori, anekdootit, vitsit, sarjakuvat, vertaukset, sanonnat, ristisanatehtävät, lainaukset Lisäosat abstrakteja artikkelit temppuja uteliaille pinnasängyt oppikirjat perus- ja lisäsanakirja muut Oppikirjojen ja oppituntien parantaminenkorjata oppikirjan virheet fragmentin päivittäminen oppikirjaan, innovaatioelementit oppitunnilla, vanhentuneen tiedon korvaaminen uudella Vain opettajille täydellisiä oppitunteja kalenterisuunnitelma vuodelle, menetelmäsuositukset, keskusteluohjelmat Integroidut oppitunnit

Trigonometrinen toimintoja määräajoin, eli ne toistetaan tietyn ajan kuluttua. Tämän seurauksena riittää, että tutkitaan funktiota tällä aikavälillä ja ulotetaan löydetyt ominaisuudet kaikkiin muihin jaksoihin.

Ohjeet

1. Jos sinulle annetaan primitiivinen lauseke, jossa on vain yksi trigonometrinen funktio (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) ja funktion sisällä olevaa kulmaa ei kerrota millään luvulla, eikä sitä itse nosteta mihinkään teho - käytä määritelmää. Lausekkeille, jotka sisältävät sin, cos, sec, cosec, aseta rohkeasti pisteeksi 2P, ja jos yhtälö sisältää tg, ctg, niin P. Oletetaan, että funktiolle y=2 sinx+5 jakso on yhtä suuri kuin 2P .

2. Jos trigonometrisen funktion etumerkin alla oleva kulma x kerrotaan jollakin luvulla, jaa tyypillinen jakso tällä luvulla saadaksesi selville tämän funktion jakson. Oletetaan, että sinulle annetaan funktio y = sin 5x. Tyypillinen sinin jakso on 2P; jakamalla sen viidellä, saat 2P/5 - tämä on tämän lausekkeen haluttu jakso.

3. Jos haluat löytää potenssiin korotetun trigonometrisen funktion periodin, arvioi potenssin pariteetti. Tasaisen asteen saavuttamiseksi lyhennä tyypillistä ajanjaksoa puoleen. Oletetaan, että jos sinulle annetaan funktio y = 3 cos^2x, tyypillinen jakso 2P pienenee 2 kertaa, joten jakso on yhtä suuri kuin P. Huomaa, että funktiot tg, ctg ovat jaksollisia P:lle jokaiselle tutkinnon.

4. Jos saat yhtälön, joka sisältää kahden trigonometrisen funktion tulon tai osamäärän, etsi ensin jakso kaikille niille erikseen. Etsi tämän jälkeen pienin luku, joka sisältäisi molempien jaksojen kokonaisluvun. Oletetaan, että funktio y=tgx*cos5x on annettu. Tangentille jakso on P, kosinille 5x jakso on 2P/5. Vähimmäismäärä, johon molemmat jaksot voidaan sijoittaa, on 2P, joten haluttu jakso on 2P.

5. Jos sinun on vaikea tehdä se ehdotetulla tavalla tai epäilet tulosta, yritä tehdä se määritelmän mukaan. Otetaan T funktion jaksoksi; se on suurempi kuin nolla. Korvaa lauseke (x + T) x:n sijaan yhtälöön ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö ikään kuin T olisi parametri tai luku. Tämän seurauksena löydät trigonometrisen funktion arvon ja pystyt löytämään pienimmän jakson. Oletetaan, että helpotuksen tuloksena saat identiteettisin (T/2) = 0. T:n pienin arvo, jolla se suoritetaan, on 2P, tämä on tehtävän tulos.

Jaksollinen funktio on funktio, joka toistaa arvonsa jonkin nollasta poikkeavan jakson jälkeen. Funktion jakso on luku, joka lisättynä funktion argumenttiin ei muuta funktion arvoa.

Tarvitset

• Perusmatematiikan tuntemus ja peruskatsauksen tuntemus.

Ohjeet

1. Merkitään funktion f(x) jaksoa luvulla K. Tehtävämme on löytää tämä K:n arvo. Kuvittele tätä varten, että funktio f(x) jaksollisen funktion määritelmää käyttäen rinnastetaan f(x+K)=f(x).

2. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön tuntemattoman K:n suhteen ikään kuin x olisi vakio. K:n arvosta riippuen vaihtoehtoja on useita.

3. Jos K>0 – tämä on funktiosi jakso. Jos K=0 – funktio f(x) ei ole jaksollinen Jos yhtälön f(x+K)=f(x) ratkaisua ei ole olemassa jos mikä tahansa K ei ole nolla, niin tällaista funktiota kutsutaan jaksottaiseksi ja sillä ei myöskään ole jaksoa.

Video aiheesta

Huomautus!
Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia ja kaikki polynomifunktiot, joiden aste on suurempi kuin 2, ovat aperiodisia.

Hyödyllinen neuvo
Kahdesta jaksollisesta funktiosta koostuvan funktion jakso on näiden funktioiden jaksojen pienin universaali kerrannainen.

Trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattoman argumentin trigonometrisiä funktioita (esimerkiksi: 5sinx-3cosx =7). Jotta voit oppia ratkaisemaan ne, sinun on tiedettävä joitain tapoja tehdä tämä.

Ohjeet

1. Tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen koostuu kahdesta vaiheesta, joista ensimmäinen on yhtälön uudistaminen yksinkertaisimman muodon saamiseksi. Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat: Sinx=a; Cosx=a jne.

2. Toinen on yksinkertaisimman saadun trigonometrisen yhtälön ratkaisu. On olemassa perusmenetelmiä tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen: Ratkaisu algebrallisesti. Tämä menetelmä tunnetaan tunnetusti koulusta, algebran kurssista. Muuten kutsutaan muuttujan korvaamisen ja korvaamisen menetelmäksi. Muunnamme pelkistyskaavoja käyttämällä, teemme substituution ja etsimme sitten juuret.

3. Yhtälön faktorointi. Ensin siirrämme kaikki ehdot vasemmalle ja laskemme ne.

4. Yhtälön pelkistäminen homogeeniseksi. Yhtälöitä kutsutaan homogeenisiksi yhtälöiksi, jos kaikki termit ovat samanasteisia ja sini ja kosini saman kulman, sen ratkaisemiseksi sinun tulee: ensin siirtää kaikki sen termit oikealta puolelta vasemmalle puolelle; siirrä kaikki yleiset tekijät pois suluista; vertaa tekijät ja hakasulkeet nollaan; yhtälölliset hakasulkeet antavat homogeenisen alemman asteen yhtälön, joka tulisi jakaa cos:lla (tai sinillä) korkeimpaan asteeseen; ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö koskien tan.

5. Seuraava tapa on siirtyä puolikulmaan. Sano, ratkaise yhtälö: 3 sin x – 5 cos x = 7. Siirrytään puolikulmaan: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , jonka jälkeen vähennämme kaikki termit yhdeksi osaksi (mieluiten oikealle puolelle) ja ratkaisemme yhtälön.

6. Apukulman sisääntulo. Kun korvaamme kokonaisluvun arvon cos(a) tai sin(a). Merkki "a" on apukulma.

7. Menetelmä tuotteen muuttamiseksi summaksi. Tässä sinun on käytettävä sopivia kaavoja. Oletetaan annettuna: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Ratkaise se muuttamalla vasen puoli summaksi, eli cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Viimeistä menetelmää kutsutaan monitoimikorvausmenetelmäksi. Muunnamme lausekkeen ja teemme muutoksen, sanomme Cos(x/2)=u, ja ratkaisemme sitten yhtälön parametrilla u. Kun ostat kokonaissumman, muunnamme arvon päinvastaiseksi.

Video aiheesta

Jos tarkastelemme ympyrän pisteitä, niin pisteet x, x + 2π, x + 4π jne. osuvat yhteen. Eli trigonometrinen toimintoja suoralla linjalla määräajoin toistaa niiden merkityksen. Jos aikakausi on kuuluisa toimintoja, on mahdollista rakentaa funktio tälle jaksolle ja toistaa se muille.

Ohjeet

1. Jakso on luku T siten, että f(x) = f(x+T). Jakson löytämiseksi ratkaise vastaava yhtälö, korvaamalla argumenttina x ja x+T. Tässä tapauksessa he käyttävät funktioille jo hyvin tunnettuja jaksoja. Sini- ja kosinifunktioille jakso on 2π ja tangentti- ja kotangenttifunktioille π.

2. Olkoon funktio f(x) = sin^2(10x) annettu. Tarkastellaan lauseketta sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Käytä kaavaa pienentääksesi astetta: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Sitten saat 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) tai cos 20x = cos (20x+20T). Tietäen, että kosinin jakso on 2π, 20T = 2π. Tämä tarkoittaa, että T = π/10. T on pienin oikea jakso, ja toiminto toistetaan 2T:n jälkeen ja 3T:n jälkeen ja toiseen suuntaan akselia pitkin: -T, -2T jne.

Hyödyllinen neuvo
Käytä kaavoja pienentääksesi funktion astetta. Jos tiedät jo joidenkin funktioiden jaksot, yritä pienentää olemassa oleva funktio tunnetuiksi.

Funktion tasaisuuden ja parittomuuden tutkiminen auttaa rakentamaan funktiosta kaavion ja ymmärtämään sen käyttäytymisen luonteen. Tätä tutkimusta varten sinun on verrattava tätä funktiota, joka on kirjoitettu argumentille “x” ja argumentille “-x”.

Ohjeet

1. Kirjoita tutkittava funktio muistiin muodossa y=y(x).

2. Korvaa funktion argumentti "-x":llä. Korvaa tämä argumentti funktionaalisella lausekkeella.

3. Yksinkertaista ilmaisu.

4. Näin ollen sinulla on sama funktio kirjoitettuna argumenteille “x” ja “-x”. Katso näitä kahta merkintää. Jos y(-x)=y(x), niin se on parillinen funktio. Jos y(-x)=-y(x), niin se on pariton funktio. Jos se on mahdotonta sanotaan funktiosta, että y (-x)=y(x) tai y(-x)=-y(x), niin pariteetin ominaisuudella tämä on universaalin muodon funktio. Eli se ei ole parillinen eikä pariton.

5. Kirjoita löydösi ylös. Nyt voit käyttää niitä funktion kaavion muodostamisessa tai tulevassa funktion ominaisuuksien analyyttisessä tutkimuksessa.

6. Voidaan puhua funktion tasaisuudesta ja parittomuudesta myös siinä tapauksessa, että funktion kuvaaja on jo annettu. Oletetaan, että kuvaaja toimi fysikaalisen kokeen tuloksena. Jos funktion kuvaaja on symmetrinen ordinaatta-akselin suhteen, niin y(x) on parillinen funktio. Jos funktion kuvaaja on symmetrinen abskissa-akselin suhteen, niin x(y) on parillinen funktio. x(y) on funktion y(x) käänteisfunktio Jos funktion kuvaaja on symmetrinen origon (0,0) suhteen, niin y(x) on pariton funktio. Käänteisfunktio x(y) on myös pariton.

7. On tärkeää muistaa, että ajatus funktion tasaisuudesta ja parittomuudesta on suorassa yhteydessä funktion määrittelyalueeseen. Jos esimerkiksi parillinen tai pariton funktio ei ole olemassa kohdassa x=5, niin sitä ei ole olemassa kohdassa x=-5, mitä ei voida sanoa universaalin muodon funktiosta. Kun määrität parillisen ja parittoman pariteetin, kiinnitä huomiota funktion toimialueeseen.

8. Tasaisuuden ja parittomuuden funktion löytäminen korreloi funktion arvojen joukon löytämisen kanssa. Parillisen funktion arvojen joukon löytämiseksi riittää, kun katsot puolta funktiosta, oikealla tai vasemmalla nollasta. Jos kohdassa x>0 parillinen funktio y(x) saa arvot A:sta B:hen, se ottaa samat arvot kohdassa x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 pariton funktio y(x) ottaa arvoalueen A:sta B:hen, sitten kohdassa x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrisiä" alettiin aikoinaan kutsua funktioiksi, jotka määräytyvät suorakulmaisen kolmion terävien kulmien riippuvuuden perusteella sen sivujen pituuksista. Tällaisia ​​funktioita ovat ensinnäkin sini ja kosini, toiseksi näiden funktioiden käänteisarvo, sekantti ja kosekantti, niiden derivaatat tangentti ja kotangentti sekä käänteisfunktiot arkosiini, arkosiini jne. On positiivisempaa olla puhumatta tällaisten funktioiden ”ratkaisusta”, vaan niiden ”laskennasta”, eli numeerisen arvon löytämisestä.

Ohjeet

1. Jos trigonometrisen funktion argumenttia ei tunneta, sen arvo voidaan laskea epäsuoralla menetelmällä näiden funktioiden määritelmien perusteella. Tätä varten sinun on tiedettävä kolmion sivujen pituudet, jonka yhden kulman trigonometrinen funktio on laskettava. Oletetaan, että määritelmän mukaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on tätä kulmaa vastapäätä olevan jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Tästä seuraa, että kulman sinin löytämiseksi riittää, että tietää näiden kahden sivun pituudet. Samanlainen määritelmä sanoo, että terävän kulman sini on tämän kulman vieressä olevan jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen. Terävän kulman tangentti voidaan laskea jakamalla vastakkaisen haaran pituus viereisen jalan pituudella, ja kotangentti vaatii viereisen haaran pituuden jakamisen vastakkaisen jalan pituudella. Akuutin kulman sekantin laskemiseksi sinun on löydettävä hypotenuusan pituuden suhde vaaditun kulman vieressä olevan jalan pituuteen, ja kosekantti määräytyy hypotenuusan pituuden suhteesta pituuteen. vastakkaisesta jalasta.

2. Jos trigonometrisen funktion argumentti on oikea, sinun ei tarvitse tietää kolmion sivujen pituuksia - voit käyttää arvotaulukoita tai trigonometristen funktioiden laskimia. Tällainen laskin sisältyy Windows-käyttöjärjestelmän vakioohjelmiin. Voit käynnistää sen painamalla Win + R -näppäinyhdistelmää, antamalla calc-komennon ja napsauttamalla "OK" -painiketta. Laajenna ohjelman käyttöliittymässä "Näytä"-osio ja valitse "Insinööri" tai "Tutkija". Tämän jälkeen on mahdollista esittää trigonometrisen funktion argumentti. Laskeaksesi funktiot sini, kosini ja tangentti, klikkaa mieluummin arvon syöttämisen jälkeen vastaavaa käyttöliittymäpainiketta (sin, cos, tg), ja löytääksesi niiden käänteisen arksinin, arkosinin ja arktosiinin, sinun tulee tarkistaa Inv-valintaruutu etukäteen.

3. On myös vaihtoehtoisia menetelmiä. Yksi niistä on mennä hakukoneen Nigman tai Googlen verkkosivuille ja syöttää hakukyselyksi haluttu funktio ja sen argumentti (esim. sin 0,47). Näissä hakukoneissa on sisäänrakennetut laskimet, joten tällaisen pyynnön lähettämisen jälkeen saat antamasi trigonometrisen funktion arvon.

Video aiheesta

Vihje 7: Kuinka selvittää trigonometristen funktioiden arvo

Trigonometriset funktiot ilmestyivät ensin työkaluina suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien terävien kulmien arvojen riippuvuuksien abstrakteihin matemaattisiin laskelmiin. Nyt niitä käytetään laajalti sekä tieteellisillä että teknisillä ihmisen toiminnan aloilla. Trigonometristen funktioiden utilitaristisiin laskelmiin annetuista argumenteista voit käyttää erilaisia ​​työkaluja - useita niistä, jotka ovat erityisen helposti käytettävissä, on kuvattu alla.

Ohjeet

1. Käytä esimerkiksi käyttöjärjestelmän kanssa oletusarvoisesti asennettua laskinohjelmaa. Se avautuu valitsemalla "Laskin"-kohdan "Palvelu"-kansiosta "Typical"-alaosiosta, joka sijaitsee "Kaikki ohjelmat" -osiossa. Tämä osio löytyy avaamalla käyttöjärjestelmän päävalikko napsauttamalla "Käynnistä" -painiketta. Jos käytät Windows 7 -versiota, kirjoitat todennäköisesti vain sanan "Laskin" päävalikon "Discover programs and files" -kenttään ja napsautat sitten vastaavaa linkkiä hakutuloksissa.

2. Syötä kulman arvo, jolle haluat laskea trigonometrisen funktion, ja napsauta sitten tätä funktiota vastaavaa painiketta - sin, cos tai tan. Jos olet huolissasi käänteisistä trigonometrisista funktioista (kaarisini, kaarikosini tai arctangentti), napsauta ensin Inv-painiketta - se kääntää laskimen opaspainikkeille määritetyt funktiot.

3. Käyttöjärjestelmän aiemmissa versioissa (esim. Windows XP) trigonometristen toimintojen käyttämiseksi sinun on avattava "Näytä" -osio laskimen valikossa ja valittava "Engineering" -rivi. Lisäksi Inv-painikkeen sijasta ohjelman vanhempien versioiden käyttöliittymässä on valintaruutu, jossa on sama merkintä.

4. Voit pärjätä ilman laskinta, jos sinulla on Internet-yhteys. Internetissä on monia palveluita, jotka tarjoavat eri tavoin järjestettyjä trigonometrisiä funktiolaskimia. Yksi erityisen kätevistä vaihtoehdoista on sisäänrakennettu Nigma-hakukoneeseen. Kun siirryt sen pääsivulle, kirjoita vain sinua huolestuttava arvo hakukyselykenttään - esimerkiksi "kaaritangentti 30 astetta". Kun olet napsauttanut "Tunnista!" -painiketta Hakukone laskee ja näyttää laskennan tuloksen - 0.482347907101025.

Video aiheesta

Trigonometria on matematiikan haara funktioiden ymmärtämiseksi, jotka ilmaisevat suorakulmaisen kolmion sivujen erilaisia ​​riippuvuuksia hypotenuusan terävien kulmien arvoista. Tällaisia ​​toimintoja kutsuttiin trigonometrisiksi, ja niiden kanssa työskentelyn helpottamiseksi johdettiin trigonometriset funktiot identiteetit .

Esitys identiteetit matematiikassa se tarkoittaa yhtäläisyyttä, joka täyttyy siihen sisältyvien funktioiden argumenttien kaikille arvoille. Trigonometrinen identiteetit ovat trigonometristen funktioiden yhtäläisyyksiä, jotka on vahvistettu ja hyväksytty trigonometristen kaavojen yksinkertaistamiseksi Trigonometrinen funktio on perusfunktio suorakulmaisen kolmion yhden haaran riippuvuudesta hypotenuusan terävän kulman arvosta. Kuusi yleisimmin käytettyä trigonometrista perusfunktiota ovat sin (sini), cos (kosini), tg (tangentti), ctg (kotangentti), sec (sekantti) ja cosec (kosekantti). Näitä funktioita kutsutaan suoriksi funktioiksi, on myös käänteisiä funktioita, esimerkiksi sini - arcsini, kosini - arkosiini jne. Aluksi trigonometriset funktiot heijastuivat geometriaan, jonka jälkeen ne levisivät muille tieteenaloille: fysiikkaan, kemiaan, maantieteeseen, optiikka, todennäköisyysteoria sekä akustiikka, musiikin teoria, fonetiikka, tietokonegrafiikka ja monet muut. Nykyään on vaikea kuvitella matemaattisia laskelmia ilman näitä funktioita, vaikka kaukaisessa menneisyydessä niitä käytettiin vain tähtitieteessä ja arkkitehtuurissa. identiteetit käytetään yksinkertaistamaan työskentelyä pitkillä trigonometrisilla kaavoilla ja pelkistämään ne sulavaan muotoon. Pääasiallisia trigonometrisiä identiteettejä on kuusi, ne liittyvät suoriin trigonometrisiin funktioihin: tg ? = sin?/cos?; synti^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = synti ?. Nämä identiteetit helppo vahvistaa suorakulmaisen kolmion sivujen ja kulmien suhteen ominaisuuksista: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Ensimmäinen identiteetti tg ? = synti ?/cos ? seuraa kolmion sivujen suhteesta ja sivun c poissulkemisesta (hypotenuusa) jaettaessa sin cos:lla. Identiteetti ctg ? määritellään samalla tavalla. = cos ?/sin ?, koska ctg ? = 1/tg ?. Pythagoraan lauseen mukaan a^2 + b^2 = c^2. Jaetaan tämä yhtälö c^2:lla, saadaan toinen identiteetti: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Kolmas ja neljäs identiteetit saadaan jakamalla vastaavasti b^2:lla ja a^2:lla: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/sin^ ? vai 1 + ctg^2? = 1/sin^2 ?. Viides ja kuudes perus identiteetit todistetaan määrittämällä suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa, joka on 90° tai?/2. Vaikeampi trigonometrinen identiteetit: kaavat argumenttien, kaksois- ja kolmoiskulmien lisäämiseen, asteiden pienentämiseen, funktioiden summan tai tulon reformoimiseen sekä trigonometristen korvausten kaavat, nimittäin trigonometristen perusfunktioiden lausekkeet puolikulman tg:n kautta: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Tarve löytää minimi merkitys matemaattinen toimintoja on todellista kiinnostavaa sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa, esimerkiksi taloustieteessä. Valtava merkitys tappioiden minimoiminen on elintärkeää liiketoiminnalle.

Ohjeet

1. Löytääkseen minimin merkitys toimintoja, on tarpeen määrittää millä argumentin x0 arvolla epäyhtälö y(x0) täyttyy? y(x), missä x? x0. Kuten tavallista, tämä ongelma ratkaistaan ​​tietyllä aikavälillä tai jokaisella arvoalueella toimintoja, jos sellaista ei ole määritetty. Yksi ratkaisun puoli on kiinteiden pisteiden löytäminen.

2. Kiinteää pistettä kutsutaan merkitys argumentti, jossa johdannainen toimintoja menee nollaan. Fermatin lauseen mukaan, jos differentioituva funktio ottaa äärimmäisen merkitys jossain vaiheessa (tässä tapauksessa paikallinen minimi), tämä piste on paikallaan.

3. Minimi merkitys funktio saa usein juuri tämän pisteen, mutta sitä ei voida määrittää poikkeuksetta. Lisäksi ei aina ole mahdollista sanoa tarkasti, mikä on minimi toimintoja tai hän hyväksyy äärettömän pienen merkitys. Sitten, kuten tavallista, he löytävät rajan, johon se pyrkii laskeessaan.

4. Minimimäärän määrittämiseksi merkitys toimintoja, sinun on suoritettava toimintosarja, joka koostuu neljästä vaiheesta: määrittelyalueen löytäminen toimintoja, kiinteiden pisteiden hankinta, yleiskatsaus arvoihin toimintoja näissä kohdissa ja raon päissä, havaitsee minimin.

5. Osoittautuu, että jokin funktio y(x) on annettu intervallilla, jonka rajat ovat pisteissä A ja B. Etsi sen määritelmän alue ja selvitä, onko väli sen osajoukko.

6. Laske johdannainen toimintoja. Yhdistä tuloksena oleva lauseke nollaan ja etsi yhtälön juuret. Tarkista, jäävätkö nämä kiinteät pisteet rakoon. Jos ei, niitä ei oteta huomioon myöhemmässä vaiheessa.

7. Tutki aukkoa rajojen tyypin mukaan: avoin, suljettu, monimutkainen vai mittaamaton. Tämä määrittää, kuinka haet minimiä merkitys. Oletetaan, että jana [A, B] on suljettu väli. Kytke ne funktioon ja laske arvot. Tee sama kiinteällä pisteellä. Valitse pienin kokonaissumma.

8. Avoimilla ja mittaamattomilla väleillä tilanne on hieman vaikeampi. Täällä sinun on etsittävä yksipuolisia rajoja, jotka eivät aina anna yksiselitteistä tulosta. Sanotaan, että välille, jossa on yksi suljettu ja yksi reikäraja [A, B), pitäisi löytää funktio kohdasta x = A ja yksipuolinen raja lim y kohdassa x? B-0.

Tavoite: tiivistää ja systematisoida opiskelijoiden tiedot aiheesta "Funktioiden jaksollisuus"; kehittää taitoja jaksollisen funktion ominaisuuksien soveltamisessa, funktion pienimmän positiivisen periodin löytämisessä, jaksollisten funktioiden kuvaajien muodostamisessa; edistää kiinnostusta matematiikan opiskeluun; kehittää tarkkaavaisuutta ja tarkkuutta.

Varusteet: tietokone, multimediaprojektori, tehtäväkortit, diat, kellot, koristetaulukot, kansankäsityön elementtejä

"Matematiikan avulla ihmiset hallitsevat luontoa ja itseään."
A.N. Kolmogorov

Tuntien aikana

I. Organisaatiovaihe.

Oppilaiden valmiuden tarkistaminen oppitunnille. Kerro oppitunnin aihe ja tavoitteet.

II. Kotitehtävien tarkistaminen.

Tarkistamme läksyt näytteiden avulla ja keskustelemme vaikeimmista kohdista.

III. Tiedon yleistäminen ja systematisointi.

1. Suullinen frontaalityö.

Teoriaongelmia.

1) Muodosta funktion ajanjakson määritelmä
2) Nimeä funktioiden y=sin(x), y=cos(x) pienin positiivinen jakso
3). Mikä on funktioiden y=tg(x), y=ctg(x) pienin positiivinen jakso
4) Todista suhteiden oikeellisuus ympyrän avulla:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Kuinka piirtää jaksollinen funktio?

Suun harjoitukset.

1) Todista seuraavat suhteet

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Osoita, että 540º kulma on yksi funktion y= cos(2x) jaksoista.

3. Osoita, että 360º kulma on yksi funktion y=tg(x) jaksoista.

4. Muunna nämä lausekkeet niin, että niihin sisältyvät kulmat eivät ylitä 90º absoluuttisena arvona.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Mistä törmäsit sanoihin PERIOD, PERIODICITY?

Opiskelija vastaa: Musiikin jakso on rakenne, jossa esitetään enemmän tai vähemmän täydellinen musiikillinen ajatus. Geologinen ajanjakso on osa aikakautta, ja se on jaettu aikakausiin, joiden ajanjakso on 35–90 miljoonaa vuotta.

Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika. Jaksollinen murto-osa. Aikakauslehdet ovat painettuja julkaisuja, jotka ilmestyvät tiukasti määritellyissä määräajoissa. Mendelejevin jaksollinen järjestelmä.

6. Kuvat esittävät osia jaksollisten funktioiden kuvaajista. Määritä funktion jakso. Määritä funktion jakso.

Vastaus: T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Missä elämässäsi olet törmännyt toistuvien elementtien rakentamiseen?

Opiskelijan vastaus: Koriste-elementit, kansantaide.

IV. Kollektiivinen ongelmanratkaisu.

(Ongelmien ratkaiseminen dioissa.)

Tarkastellaan yhtä tapaa tutkia funktiota jaksollisuudelle.

Tällä menetelmällä vältetään vaikeudet, jotka liittyvät sen osoittamiseen, että tietty jakso on pienin, ja eliminoi myös tarpeen käsitellä kysymyksiä jaksollisten funktioiden aritmeettisista operaatioista ja monimutkaisen funktion jaksotuksesta. Päättely perustuu vain jaksollisen funktion määritelmään ja seuraavaan tosiasiaan: jos T on funktion jakso, niin nT(n?0) on sen jakso.

Tehtävä 1. Etsi funktion f(x)=1+3(x+q>5) pienin positiivinen jakso

Ratkaisu: Oletetaan, että tämän funktion T-jakso. Sitten f(x+T)=f(x) kaikille x € D(f), ts.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Laitetaan x=-0.25 saamme

(T) = 0<=>T=n, n € Z

Olemme saaneet, että kaikki kyseessä olevan funktion jaksot (jos niitä on) ovat kokonaislukujen joukossa. Valitaan näistä numeroista pienin positiivinen luku. Tämä 1 . Katsotaan, tuleeko siitä todella kausi 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Koska (T+1)=(T) mille tahansa T:lle, niin f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), ts. 1 – jakso f. Koska 1 on pienin kaikista positiivisista kokonaisluvuista, niin T=1.

Tehtävä 2. Osoita, että funktio f(x)=cos 2 (x) on jaksollinen ja etsi sen pääjakso.

Tehtävä 3. Etsi funktion pääjakso

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Oletetaan funktion T-jakso, sitten mille tahansa X suhde on voimassa

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Jos x = 0, niin

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jos x=-T, niin

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Kun se lisätään, saadaan:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Valitaan kaikista "epäilyttävistä" luvuista pienin positiivinen luku jaksolle ja tarkistetaan, onko se jakso f:lle. Tämä numero

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Tämä tarkoittaa, että tämä on funktion f pääjakso.

Tehtävä 4. Tarkistetaan, onko funktio f(x)=sin(x) jaksollinen

Olkoon T funktion f jakso. Sitten mille tahansa x:lle

sin|x+Т|=sin|x|

Jos x=0, niin sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Oletetaan. Että joillekin n:lle luku π n on jakso

tarkasteltavana oleva funktio π n>0. Sitten sin|π n+x|=sin|x|

Tämä tarkoittaa, että n:n on oltava sekä parillinen että pariton luku, mutta tämä on mahdotonta. Siksi tämä toiminto ei ole jaksollinen.

Tehtävä 5. Tarkista, onko funktio jaksollinen

f(x)=

Olkoon T sitten f:n jakso

, joten sinT=0, Т=π n, n € Z. Oletetaan, että jollekin n:lle luku π n on todellakin tämän funktion jakso. Silloin luku 2π n on jakso

Koska osoittajat ovat yhtä suuret, niiden nimittäjät ovat siis yhtä suuret

Tämä tarkoittaa, että funktio f ei ole jaksollinen.

Työ ryhmissä.

Tehtävät ryhmälle 1.

Tehtävät ryhmälle 2.

Tarkista, onko funktio f jaksollinen ja etsi sen perusjakso (jos se on olemassa).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Tehtävät ryhmälle 3.

Työnsä päätteeksi ryhmät esittelevät ratkaisunsa.

VI. Yhteenveto oppitunnista.

Heijastus.

Opettaja antaa opiskelijoille piirroksia sisältäviä kortteja ja pyytää heitä värittämään osan ensimmäisestä piirroksesta sen mukaan, missä määrin he luulevat hallitsevansa funktion jaksollisuuden tutkimisen menetelmät, ja osan toisesta piirroksesta - oman näkemyksensä mukaan. panos oppitunnin työhön.

VII. Kotitehtävät

1). Tarkista, onko funktio f jaksollinen ja etsi sen perusjakso (jos se on olemassa)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funktiolla y=f(x) on jakso T=2 ja f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]. Etsi lausekkeen -2f(-3)-4f(3.5) arvo

Kirjallisuus/

1. Mordkovich A.G. Algebra ja analyysin alkeet syvällisellä tutkimuksella.
2. Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ja alkuanalyysi luokille 10-11.