6. kaareva liike. Kehon kulmasiirtymä, kulmanopeus ja kiihtyvyys. Polku ja siirtymä kehon kaarevan liikkeen aikana.

Kaareva liike- tämä on liike, jonka liikerata on kaareva viiva (esimerkiksi ympyrä, ellipsi, hyperbola, paraabeli). Esimerkki kaarevasta liikkeestä on planeettojen liike, kellon osoittimen pää kellotaulussa jne. Yleisesti kaareva nopeus koon ja suunnan muutoksia.

Materiaalin pisteen kaareva liike katsotaan tasaiseksi liikkeeksi, jos moduuli nopeus vakio (esimerkiksi tasainen liike ympyrässä) ja tasaisesti kiihtyvä, jos moduuli ja suunta nopeus muutokset (esimerkiksi horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liike).

Riisi. 1.19. Liikerata ja siirtymävektori kaarevassa liikkeessä.

Kun liikutaan kaarevaa polkua pitkin siirtymävektori suunnattu jännettä pitkin (kuva 1.19), ja l- pituus lentoradat . Kappaleen hetkellinen nopeus (eli kappaleen nopeus tietyssä liikeradan pisteessä) on suunnattu tangentiaalisesti siihen pisteeseen, jossa liikkuva kappale sillä hetkellä sijaitsee (kuva 1.20).

Riisi. 1.20. Hetkellinen nopeus käyräviivaisessa liikkeessä.

Kaareva liike on aina kiihdytettyä liikettä. Tuo on kaareva kiihtyvyys on aina olemassa, vaikka nopeuden moduuli ei muutu, vaan vain nopeuden suunta muuttuu. Nopeuden muutos aikayksikköä kohti on tangentiaalinen kiihtyvyys :

tai

Missä v τ , v 0 ovat nopeudet tällä hetkellä t 0 + Δt ja t 0 vastaavasti.

Tangentiaalinen kiihtyvyys Tietyssä liikeradan pisteessä suunta osuu yhteen kappaleen nopeuden suunnan kanssa tai on sitä vastakkainen.

Normaali kiihtyvyys on nopeuden muutos suunnassa aikayksikköä kohti:

Normaali kiihtyvyys suunnattu liikeradan kaarevuussädettä pitkin (pyörimisakselia kohti). Normaali kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeuden suuntaan.

keskipitkä kiihtyvyys on normaali kiihtyvyys tasaiselle ympyräliikkeelle.

Täysi kiihtyvyys yhtä vaihtelevalla kehon kaarevalla liikkeellä vastaa:

Kappaleen liike kaarevaa liikerataa pitkin voidaan likimäärin esittää liikkeenä joidenkin ympyröiden kaaria pitkin (kuva 1.21).

Riisi. 1.21. Kehon liike kaarevan liikkeen aikana.

Kaareva liike

Kaarevalinjaiset liikkeet- liikkeet, joiden liikeradat eivät ole suoria, vaan kaarevia linjoja. Planeetat ja jokien vedet liikkuvat kaarevia lentoratoja pitkin.

Kaareva liike on aina liikettä, jossa on kiihtyvyys, vaikka nopeuden itseisarvo olisi vakio. Kaareva liikettä vakiokiihtyvyydellä tapahtuu aina siinä tasossa, jossa kiihtyvyysvektorit ja pisteen alkunopeudet sijaitsevat. Käyräviivaisen liikkeen tapauksessa tasaisella kiihtyvyydellä tasossa xOy ennusteita v x ja v y sen nopeus akselilla Härkä ja Oy ja koordinaatit x ja y pisteitä milloin tahansa t määritetään kaavojen mukaan

Kaarevalinjaisen liikkeen erikoistapaus on ympyräliike. Ympyräliike, jopa tasainen, on aina kiihdytettyä liikettä: nopeusmoduuli on aina suunnattu tangentiaalisesti lentoradalle, jatkuvasti muuttuvassa suunnassa, joten ympyräliikettä tapahtuu aina keskikiihtyvyydellä missä r on ympyrän säde.

Kiihtyvyysvektori liikkuessaan ympyrää pitkin on suunnattu kohti ympyrän keskustaa ja kohtisuorassa nopeusvektoriin nähden.

Kaarevassa liikkeessä kiihtyvyys voidaan esittää normaalin ja tangentiaalisen komponentin summana:

Normaali (keskipetaalinen) kiihtyvyys on suunnattu kohti liikeradan kaarevuuskeskusta ja kuvaa nopeuden muutosta suunnassa:

v- hetkellinen nopeus, r on liikeradan kaarevuussäde tietyssä pisteessä.

Tangentiaalinen (tangentiaalinen) kiihtyvyys on suunnattu tangentiaalisesti lentoradalle ja se kuvaa nopeuden modulon muutosta.

Kokonaiskiihtyvyys, jolla aineellinen piste liikkuu, on yhtä suuri kuin:

Keskeisen kiihtyvyyden lisäksi ympyrän tasaisen liikkeen tärkeimmät ominaisuudet ovat pyörimisjakso ja -taajuus.

Kiertojakso on aika, joka keholta kuluu yhden kierroksen suorittamiseen .

Ajankohta on merkitty kirjaimella T c) ja se määritetään kaavalla:

missä t- läpimenoaika P- tänä aikana tehtyjen kierrosten lukumäärä.

Liikkeen taajuus- tämä on numeerisesti yhtä suuri kuin aikayksikköä kohti tehtyjen kierrosten lukumäärä.

Taajuus on merkitty kreikkalaisella kirjaimella (nu) ja se löytyy kaavasta:

Taajuus mitataan 1/s.

Jakso ja taajuus ovat keskenään käänteisiä suureita:

Jos kappale liikkuu ympyrässä nopeudella v, tekee yhden kierroksen, niin tämän kappaleen kulkema polku voidaan löytää kertomalla nopeus v yhdelle kierrokselle:

l = vT. Toisaalta tämä polku on yhtä suuri kuin ympärysmitta 2π r. Siksi

vT= 2π r,

missä w(alkaen -1) - kulmanopeus.

Vakiolla pyörimistaajuudella keskikiihtyvyys on suoraan verrannollinen etäisyyteen liikkuvasta hiukkasesta pyörimiskeskukseen.

Kulmanopeus (w) on arvo, joka on yhtä suuri kuin sen säteen kiertokulman suhde, jolla pyörimispiste sijaitsee, aikaväliin, jonka aikana tämä kierto tapahtui:

.

Lineaaristen ja kulmanopeuksien välinen suhde:

Kappaleen liikettä voidaan pitää tunnetuksi vain, kun tiedetään, miten jokainen sen piste liikkuu. Jäykkien kappaleiden yksinkertaisin liike on translaatiota. Käännös kutsutaan jäykän kappaleen liikkeeksi, jossa mikä tahansa tähän kappaleeseen piirretty suora liikkuu yhdensuuntaisesti itsensä kanssa.

Tiedämme, että mikä tahansa kaareva liike tapahtuu voiman vaikutuksesta, joka on suunnattu kulmassa nopeuteen nähden. Tasaisen liikkeen tapauksessa ympyrässä tämä kulma on oikea. Todellakin, jos esimerkiksi pyöritetään köyteen sidottua palloa, niin pallon nopeuden suunta milloin tahansa on kohtisuorassa köyteen nähden.

Köyden vetovoima, joka pitää palloa ympyrässä, suuntautuu köyttä pitkin kohti pyörimiskeskusta.

Newtonin toisen lain mukaan tämä voima saa kehon kiihtymään samaan suuntaan. Kiihtyvyyttä, joka on suunnattu pitkin sädettä kohti pyörimiskeskusta, kutsutaan keskipitkä kiihtyvyys .

Johdetaan kaava keskikiihtyvyyden arvon määrittämiseksi.

Ensinnäkin huomaamme, että liike ympyrässä on monimutkainen liike. Keskipitkän voiman vaikutuksesta kappale liikkuu kohti pyörimiskeskusta ja samalla inertialla siirtyy pois tästä keskustasta ympyrän tangenttia pitkin.

Olkoon kappale, joka liikkuu tasaisesti nopeudella v, siirtyä D:stä E:hen ajassa t. Oletetaan, että sillä hetkellä, kun kappale on pisteessä D, sen keskivoima lakkaa vaikuttamasta siihen. Sitten ajassa t se siirtyisi pisteeseen K, joka sijaitsee tangentilla DL. Jos kappale olisi alkuhetkellä vain yhden keskivoiman vaikutuksen alaisena (se ei liikkunut inertialla), niin se liikkuisi tasaisesti kiihdytettynä ajassa t suoralla DC olevaan pisteeseen F. Näiden kahden liikkeen summauksen tuloksena ajassa t saadaan tuloksena oleva liike kaaria DE pitkin.

Keskihakuvoima

Voimaa, joka pitää pyörivän kappaleen ympyrässä ja joka on suunnattu kohti pyörimiskeskusta, kutsutaan keskihakuvoima .

Kaavan saamiseksi keskivoiman suuruuden laskemiseksi on käytettävä Newtonin toista lakia, jota voidaan soveltaa kaikkiin kaareviin liikkeisiin.

Korvaamalla kaavassa F \u003d ma keskikiihtyvyyden arvon a \u003d v 2 / R, saamme kaavan keskivoimalle:

F = mv 2 / R

Keskipetaalivoiman suuruus on yhtä suuri kuin kehon massan ja lineaarisen nopeuden neliön tulo jaettuna säteellä.

Jos kappaleen kulmanopeus on annettu, on helpompi laskea keskipitkävoima kaavalla: F = m? 2R missä? 2 R – keskikiihtyvyys.

Ensimmäisestä kaavasta voidaan nähdä, että samalla nopeudella, mitä pienempi ympyrän säde on, sitä suurempi on keskipitkävoima. Eli liikkuvan kappaleen (juna, auto, polkupyörä) tien käännöksissä mitä suurempi voiman tulisi vaikuttaa kaarevuuskeskipisteeseen, sitä jyrkempi käännös eli sitä pienempi kaarevuussäde.

Keskipitkävoima riippuu lineaarisesta nopeudesta: nopeuden kasvaessa se kasvaa. Se on kaikkien luistelijoiden, hiihtäjien ja pyöräilijöiden tiedossa: mitä nopeammin liikut, sitä vaikeampaa on kääntyä. Kuljettajat tietävät erittäin hyvin, kuinka vaarallista on kääntää autoa jyrkästi suurella nopeudella.

Linjan nopeus

Keskipakomekanismit

Horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kehon liike

Heitetään joku ruumis kulmaan horisonttiin nähden. Sen liikkeen jälkeen huomaamme, että keho ensin nousee, liikkuen käyrää pitkin, sitten myös putoaa alas käyrää pitkin.

Jos suuntaat vesisuihkun eri kulmissa horisonttiin, voit nähdä, että aluksi kulman kasvaessa suihku osuu yhä kauemmas. 45 °:n kulmassa horisonttiin nähden (jos et ota huomioon ilmanvastusta) kantama on suurin. Kun kulma kasvaa edelleen, kantama pienenee.

Horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liikeradan muodostamiseksi piirretään vaakasuora viiva OA ja viiva OS siihen tietyssä kulmassa.

Piirrämme valitun asteikon käyttöjärjestelmäviivalle segmentit, jotka vastaavat heittosuuntaan kuljettuja polkuja (0–1, 1–2, 2–3, 3–4). Pisteistä 1, 2, 3 jne. laskemme kohtisuorat kohti OA:ta ja asetamme sivuun segmentit, jotka ovat numeerisesti yhtä suuria kuin vapaasti putoavan kappaleen kulkemat polut 1 sek (1–I), 2 s (2–II), 3 sek (3–III) jne. Yhdistämme pisteet 0, I, II, III, IV jne. tasaisella käyrällä.

Kehon liikerata on symmetrinen pisteen IV kautta kulkevan pystysuoran linjan suhteen.

Ilmanvastus pienentää sekä lentoetäisyyttä että korkeinta lentokorkeutta ja lentorata muuttuu epäsymmetriseksi. Tällaisia ​​ovat esimerkiksi ammusten ja luotien liikeradat. Kuvassa solid-käyrä esittää kaavamaisesti ammuksen liikeradan ilmassa ja katkokäyrä ilmattomassa tilassa. Kuinka paljon ilmanvastus muuttaa lentoetäisyyttä voidaan nähdä seuraavasta esimerkistä. Ilman vastuksen puuttuessa 76 mm:n aseen ammus, joka ammuttiin 20°:n kulmassa horisonttiin nähden, lentää 24 km. Ilmassa tämä ammus lentää noin 7 km.

Newtonin kolmas laki

Vaakasuoraan heitetyn kehon liike

Liikkeiden riippumattomuus

Mikä tahansa kaareva liike on monimutkainen liike, joka koostuu liikkeestä hitaudesta ja liikkeestä voiman vaikutuksesta, joka on suunnattu kulmassa kehon nopeuteen nähden. Tämä voidaan osoittaa seuraavassa esimerkissä.

Oletetaan, että pallo liikkuu tasaisesti ja suorassa linjassa pöydällä. Kun pallo rullaa pois pöydältä, sen paino ei enää tasapainotu pöydän paineen voimalla ja hitaudesta, samalla kun se säilyttää tasaisen ja suoraviivaisen liikkeen, se alkaa samalla pudota. Liikkeiden lisäyksen seurauksena - tasaisesti suoraviivaisesti inertialla ja tasaisesti kiihdytettynä painovoiman vaikutuksesta - pallo liikkuu kaarevaa linjaa pitkin.

Voidaan osoittaa kokeellisesti, että nämä liikkeet ovat toisistaan ​​riippumattomia.

Kuvassa on jousi, joka vasaran iskun vaikutuksesta taipuessaan saa yhden pallon liikkeelle vaakasuunnassa ja samalla vapauttaa toisen pallon niin, että molemmat alkavat liikkua samalla hetkellä : ensimmäinen käyrää pitkin, toinen pystysuoraan alaspäin. Molemmat pallot osuvat lattiaan samaan aikaan; siksi molempien pallojen putoamisaika on sama. Tästä voidaan päätellä, että pallon liike painovoiman vaikutuksesta ei riipu siitä, oliko pallo levossa alkuhetkellä vai liikkuiko se vaakasuunnassa.

Tämä kokemus havainnollistaa mekaniikan erittäin tärkeää periaatetta nimeltä liikkeen riippumattomuuden periaate.

Tasainen pyöreä liike

Yksi yksinkertaisimmista ja yleisimmistä kaarevista liikkeistä on kappaleen tasainen liike ympyrässä. Ympyrässä esimerkiksi vauhtipyörien osat liikkuvat, pisteet maan pinnalla Maan päivittäisen pyörimisen aikana jne.

Otetaan käyttöön tätä liikettä kuvaavia suureita. Siirrytään piirustukseen. Olkoon kappaleen pyörimisen aikana yksi sen pisteistä siirtymässä pisteestä A paikkaan B ajassa t. Kääntyykö säde, joka yhdistää pisteen A ympyrän keskipisteeseen, samalla kulman verran? (kreikaksi "fi"). Voidaanko pisteen pyörimisnopeutta luonnehtia kulman suhteen arvolla? aikaan t, eli ? /t.

Kulmanopeus

Liikkuvan pisteen pyörimispisteeseen yhdistävän säteen kiertokulman suhdetta aikaväliin, jonka aikana tämä pyöriminen tapahtuu, on ns. kulmanopeus.

Merkitäänkö kulmanopeus kreikkalaisella kirjaimella? ("omega"), voit kirjoittaa:

? = ? /t

Kulmanopeus on numeerisesti yhtä suuri kuin kiertokulma aikayksikköä kohti.

Tasaisella liikkeellä ympyrässä kulmanopeus on vakioarvo.

Kulmanopeutta laskettaessa kiertokulma mitataan yleensä radiaaneina. Radiaani on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin kaaren säde.

Kappaleiden liike nopeuteen nähden kulmassa suunnatun voiman vaikutuksesta

Suoraviivaista liikettä tarkasteltaessa tuli tiedoksi, että jos voima vaikuttaa kappaleeseen liikkeen suunnassa, niin kehon liike pysyy suoraviivaisena. Vain nopeus muuttuu. Lisäksi, jos voiman suunta osuu yhteen nopeuden suunnan kanssa, liike on suoraviivaista ja kiihdytettyä. Voiman vastakkaisessa suunnassa liike on suoraviivaista ja hidasta. Tällaisia ​​ovat esimerkiksi pystysuoraan alaspäin heitetyn kappaleen liike ja pystysuunnassa ylöspäin heitetyn kappaleen liike.

Tarkastellaan nyt kuinka kappale liikkuu nopeuden suuntaan kulmassa olevan voiman vaikutuksesta.

Katsotaan ensin kokemuksia. Luodaan teräspallon liikerata magneetin ympärille. Huomaamme heti, että magneetista poispäin pallo liikkui suorassa linjassa, magneettia lähestyttäessä pallon liikerata oli kaareva ja pallo liikkui käyrää pitkin. Sen nopeuden suunta muuttui jatkuvasti. Syynä tähän oli magneetin vaikutus palloon.

Voimme saada suorassa linjassa liikkuvan kappaleen liikkumaan käyrää pitkin, jos työnnämme sitä, vedämme siihen kiinnitettyä lankaa ja niin edelleen, kunhan voima kohdistuu kulmassa kappaleen nopeuteen nähden.

Joten kehon kaareva liike tapahtuu voiman vaikutuksesta, joka on suunnattu kulmassa kehon nopeuden suuntaan.

Kehoon vaikuttavan voiman suunnasta ja suuruudesta riippuen kaarevat liikkeet voivat olla hyvin erilaisia. Yksinkertaisimpia kaarevia liikkeitä ovat ympyrä-, paraboliset ja ellipsiliikkeet.

Esimerkkejä keskivoiman vaikutuksesta

Joissakin tapauksissa keskipitkävoima on kahden ympyrässä liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan voiman tulos.

Katsotaanpa muutamia tällaisia ​​esimerkkejä.

1. Auto liikkuu koveraa siltaa pitkin nopeudella v, auton massa on m, sillan kaarevuussäde on R. Mikä on auton sillalle aiheuttama painevoima sen alimmassa kohdassa?

Selvitetään ensin, mitkä voimat vaikuttavat autoon. Tällaisia ​​voimia on kaksi: auton paino ja sillan puristusvoima autoon. (Emme huomioida kitkavoimaa tässä ja kaikissa myöhemmissä palkinnon voittajissa).

Kun auto on paikallaan, nämä voimat, jotka ovat samansuuruisia ja suunnattu vastakkaisiin suuntiin, tasapainottavat toisiaan.

Kun auto liikkuu siltaa pitkin, siihen, kuten kaikkiin ympyrässä liikkuviin kappaleisiin, vaikuttaa keskipitkävoima. Mikä on tämän voiman lähde? Tämän voiman lähde voi olla vain sillan vaikutus autoon. Voiman Q, jolla silta painaa liikkuvaa autoa, ei tarvitse ainoastaan ​​tasapainottaa korin P painoa, vaan myös pakottaa se liikkumaan ympyrässä, jolloin syntyy tähän tarvittava keskipitkävoima F. Voima F voi olla vain voimien P ja Q resultantti, koska se on seurausta liikkuvan auton ja sillan vuorovaikutuksesta.

Tämän oppitunnin avulla voit opiskella itsenäisesti aihetta "Suoraviivainen ja kaareva liike. Kappaleen liike ympyrässä vakiomoduulinopeudella. Ensin luonnehdimme suoraviivaista ja kaarevaa liikettä pohtimalla, kuinka tämän tyyppisessä liikkeessä nopeusvektori ja kehoon kohdistettu voima liittyvät toisiinsa. Seuraavaksi tarkastellaan erikoistapausta, jossa kappale liikkuu ympyrää pitkin vakiomoduulinopeudella.

Edellisellä oppitunnilla pohdimme yleismaailmallisen gravitaatiolakiin liittyviä kysymyksiä. Tämän päivän oppitunnin aihe liittyy läheisesti tähän lakiin, siirrymme kehon yhtenäiseen liikkeeseen ympyrässä.

Aiemmin sanoimme sen liikenne - tämä on muutos kehon sijainnissa avaruudessa suhteessa muihin kappaleisiin ajan myötä. Liikkeelle ja liikesuunnalle on ominaista muun muassa nopeus. Nopeuden muutos ja itse liikkeen tyyppi liittyvät voiman toimintaan. Jos voima vaikuttaa kehoon, keho muuttaa nopeuttaan.

Jos voima suunnataan samansuuntaisesti kehon liikkeen kanssa, sellainen liike on suoraviivaista(Kuva 1).

Riisi. 1. Suoraviivainen liike

kaareva tällainen liike tapahtuu, kun kappaleen nopeus ja tähän kappaleeseen kohdistuva voima suunnataan suhteessa toisiinsa tietyssä kulmassa (kuva 2). Tässä tapauksessa nopeus muuttaa suuntaa.

Riisi. 2. Kaareva liike

Joten, klo suoraviivaista liikettä nopeusvektori on suunnattu samaan suuntaan kuin kehoon kohdistettu voima. MUTTA kaareva liike on sellainen liike, kun nopeusvektori ja kehoon kohdistettu voima sijaitsevat jossain kulmassa toisiinsa nähden.

Tarkastellaan kaarevan liikkeen erikoistapausta, kun kappale liikkuu ympyrässä vakionopeudella absoluuttisesti mitattuna. Kun kappale liikkuu ympyrässä vakionopeudella, vain nopeuden suunta muuttuu. Modulo se pysyy vakiona, mutta nopeuden suunta muuttuu. Tällainen nopeuden muutos johtaa kiihtyvyyden esiintymiseen kehossa, jota kutsutaan keskipitkän.

Riisi. 6. Liikkuminen kaarevaa polkua pitkin

Jos kehon liikkeen liikerata on käyrä, se voidaan esittää joukona liikkeitä pitkin ympyränkaareja, kuten kuvassa 2 on esitetty. 6.

Kuvassa Kuva 7 näyttää kuinka nopeusvektorin suunta muuttuu. Nopeus tällaisen liikkeen aikana on suunnattu tangentiaalisesti ympyrään, jonka kaarta pitkin kappale liikkuu. Siksi sen suunta muuttuu jatkuvasti. Vaikka modulonopeus pysyy vakiona, nopeuden muutos johtaa kiihtyvyyteen:

Tässä tapauksessa kiihtyvyys suunnataan kohti ympyrän keskustaa. Siksi sitä kutsutaan keskipitkäksi.

Miksi keskikiihtyvyys on suunnattu keskustaan?

Muista, että jos kappale liikkuu kaarevaa polkua pitkin, sen nopeus on tangentiaalinen. Nopeus on vektorisuure. Vektorilla on numeerinen arvo ja suunta. Nopeus kehon liikkuessa muuttaa jatkuvasti suuntaansa. Eli nopeuksien ero eri ajankohtina ei ole yhtä suuri kuin nolla (), toisin kuin suoraviivaisessa tasaisessa liikkeessä.

Meillä on siis muutos nopeudessa tietyn ajan kuluessa. Suhde on kiihtyvyys. Tulemme siihen johtopäätökseen, että vaikka nopeus ei itseisarvossa muuttuisi, kappaleella, joka suorittaa tasaista liikettä ympyrässä, on kiihtyvyys.

Mihin tämä kiihtyvyys on suunnattu? Harkitse fig. 3. Jotkin kappaleet liikkuvat kaarevasti (kaari). Kappaleen nopeus pisteissä 1 ja 2 on tangentiaalinen. Kappale liikkuu tasaisesti, eli nopeuksien moduulit ovat yhtä suuret: , mutta nopeuksien suunnat eivät ole samat.

Riisi. 3. Kehon liike ympyrässä

Vähennä nopeus luvusta ja hanki vektori . Tätä varten sinun on yhdistettävä molempien vektorien alku. Samanaikaisesti siirrämme vektoria vektorin alkuun. Rakennamme kolmion. Kolmion kolmas sivu on nopeuserovektori (kuva 4).

Riisi. 4. Nopeuserovektori

Vektori on suunnattu ympyrää kohti.

Tarkastellaan nopeusvektorien ja erovektorin muodostamaa kolmiota (kuva 5).

Riisi. 5. Nopeusvektorien muodostama kolmio

Tämä kolmio on tasakylkinen (nopeusmoduulit ovat yhtä suuret). Joten kulmat pohjassa ovat yhtä suuret. Kirjoitetaan yhtälö kolmion kulmien summalle:

Selvitä, mihin kiihtyvyys suuntautuu liikeradan tietyssä pisteessä. Tätä varten alamme tuoda pistettä 2 lähemmäksi pistettä 1. Tällaisella rajoittamattomalla huolellisuudella kulma pyrkii olemaan 0 ja kulma - kohtaan. Nopeudenmuutosvektorin ja itse nopeusvektorin välinen kulma on . Nopeus on suunnattu tangentiaalisesti ja nopeudenmuutosvektori on suunnattu kohti ympyrän keskustaa. Tämä tarkoittaa, että myös kiihtyvyys on suunnattu kohti ympyrän keskustaa. Siksi tätä kiihtyvyyttä kutsutaan keskipitkän.

Kuinka löytää keskipetaalinen kiihtyvyys?

Harkitse liikerataa, jota pitkin keho liikkuu. Tässä tapauksessa tämä on ympyrän kaari (kuva 8).

Riisi. 8. Kehon liike ympyrässä

Kuvassa on kaksi kolmiota: nopeuksien muodostama kolmio ja säteiden ja siirtymävektorin muodostama kolmio. Jos pisteet 1 ja 2 ovat hyvin lähellä, niin siirtymävektori on sama kuin polkuvektori. Molemmat kolmiot ovat tasakylkisiä, joilla on samat kärkikulmat. Joten kolmiot ovat samanlaisia. Tämä tarkoittaa, että kolmioiden vastaavat sivut ovat samassa suhteessa:

Siirtymä on yhtä suuri kuin nopeuden ja ajan tulo: . Korvaamalla tämän kaavan saat seuraavan lausekkeen keskikiihtyvyydelle:

Kulmanopeus merkitty kreikkalaisella kirjaimella omega (ω), se osoittaa, missä kulmassa keho pyörii aikayksikköä kohti (kuva 9). Tämä on kaaren suuruus asteina, jonka keho kulkee jonkin ajan kuluessa.

Riisi. 9. Kulmanopeus

Huomaa, että jos jäykkä kappale pyörii, tämän kappaleen minkä tahansa pisteen kulmanopeus on vakioarvo. Piste on lähempänä kiertokeskusta tai kauempana - sillä ei ole väliä, eli se ei riipu säteestä.

Mittayksikkö on tässä tapauksessa joko astetta sekunnissa () tai radiaania sekunnissa (). Usein sanaa "radiaani" ei kirjoiteta, vaan yksinkertaisesti kirjoitetaan. Selvitetään esimerkiksi mikä on Maan kulmanopeus. Maa tekee täyden kierroksen yhdessä tunnissa, ja tässä tapauksessa voimme sanoa, että kulmanopeus on yhtä suuri:

Kiinnitä myös huomiota kulma- ja lineaarinopeuksien väliseen suhteeseen:

Lineaarinen nopeus on suoraan verrannollinen säteeseen. Mitä suurempi säde, sitä suurempi on lineaarinen nopeus. Siten siirtyessämme pois kiertokeskipisteestä lisäämme lineaarista nopeuttamme.

On huomattava, että liike ympyrässä vakionopeudella on liikkeen erikoistapaus. Pyöreä liike voi kuitenkin olla myös epätasaista. Nopeus voi muuttua paitsi suunnassa ja pysyä samana absoluuttisesti, myös muuttua arvossaan, eli suunnan muuttamisen lisäksi myös nopeusmoduulissa on muutos. Tässä tapauksessa puhumme niin sanotusta kiihdytetystä ympyräliikkeestä.

Mikä on radiaani?

Kulmien mittaamiseen on kaksi yksikköä: asteet ja radiaanit. Fysiikassa kulman radiaanimitta on pääsääntöisesti tärkein.

Muodostetaan keskikulma , joka perustuu pituuteen .

Suoraviivaisella liikkeellä opimme enemmän tai vähemmän työskentelemään edellisillä tunneilla, nimittäin ratkaisemaan tämän tyyppisen liikkeen mekaniikan pääongelma.

On kuitenkin selvää, että todellisessa maailmassa on useimmiten kyse kaarevasta liikkeestä, kun liikerata on kaareva viiva. Esimerkkejä sellaisesta liikkeestä ovat horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liikerata, Maan liike Auringon ympäri ja jopa silmiesi liikerata, jotka nyt seuraavat tätä abstraktia.

Tämä oppitunti on omistettu kysymykselle, kuinka mekaniikan pääongelma ratkaistaan ​​kaarevan liikkeen tapauksessa.

Aluksi selvitetään, mitä perustavanlaatuisia eroja kaarevalla liikkeellä (kuva 1) on suoraviivaiseen liikkeeseen verrattuna ja mihin nämä erot johtavat.

Riisi. 1. Kaarevalinjaisen liikkeen liikerata

Puhutaan siitä, kuinka on kätevää kuvata kehon liikettä kaarevan liikkeen aikana.

Voit jakaa liikkeen erillisiin osiin, joissa jokaisessa liikettä voidaan pitää suoraviivaisena (kuva 2).

Riisi. 2. Kaarevaviivaisen liikkeen jakaminen translaatioliikkeiksi

Seuraava lähestymistapa on kuitenkin kätevämpi. Esitämme tämän liikkeen sarjana useista liikkeistä ympyräkaareja pitkin (katso kuva 3.). Huomaa, että tällaisia ​​osioita on vähemmän kuin edellisessä tapauksessa, lisäksi liike ympyrää pitkin on kaarevaa. Lisäksi esimerkit ympyrässä liikkumisesta luonnossa ovat hyvin yleisiä. Tästä voimme päätellä:

Kaarevalinjaisen liikkeen kuvaamiseksi on opittava kuvaamaan liikettä ympyrässä ja sitten esitettävä mielivaltainen liike joukkona liikkeitä pitkin ympyrän kaaria.

Riisi. 3. Kaarevalinjaisen liikkeen jakaminen ympyrän kaarien mukaisiksi liikkeiksi

Joten aloitetaan kaarevan liikkeen tutkimus yhtenäisen liikkeen tutkimuksella ympyrässä. Katsotaanpa, mitkä ovat perustavanlaatuiset erot kaarevan ja suoraviivaisen liikkeen välillä. Aluksi muista, että yhdeksännellä luokalla tutkimme sitä, että kappaleen nopeus liikkuessaan ympyrää pitkin suuntautuu tangentiaalisesti lentoradalle. Voit muuten havaita tämän tosiasian käytännössä, jos katsot kuinka kipinät liikkuvat hiomakiveä käytettäessä.

Tarkastellaan kappaleen liikettä ympyrässä (kuva 4).

Riisi. 4. Kehon nopeus ympyrässä liikkuessa

Huomaa, että tässä tapauksessa kehon nopeuden moduuli pisteessä A on yhtä suuri kuin kehon nopeuden moduuli pisteessä B.

Vektori ei kuitenkaan ole sama kuin vektori . Joten meillä on nopeuserovektori (katso kuva 5).

Riisi. 5. Nopeusero pisteissä A ja B.

Lisäksi nopeuden muutos tapahtui hetken kuluttua. Siten saamme tutun yhdistelmän:

,

se ei ole muuta kuin nopeuden muutos tietyn ajan kuluessa tai kehon kiihtyvyys. Voimme tehdä erittäin tärkeän johtopäätöksen:

Liike kaarevaa polkua pitkin kiihtyy. Tämän kiihtyvyyden luonne on jatkuva muutos nopeusvektorin suunnassa.

Jälleen kerran todetaan, että vaikka sanotaan, että kappale liikkuu tasaisesti ympyrässä, se tarkoittaa, että kehon nopeusmoduuli ei muutu, mutta tällainen liike kiihtyy aina, koska nopeuden suunta muuttuu.

Yhdeksännellä luokalla opit, mitä tämä kiihtyvyys on ja miten se suunnataan (katso kuva 6). Keskisuuntainen kiihtyvyys on aina suunnattu sen ympyrän keskustaan, jota pitkin keho liikkuu.

Riisi. 6. Keskipistekiihtyvyys

Keskikiihtyvyyden moduuli voidaan laskea kaavalla

Siirrymme kuvaukseen kehon yhtenäisestä liikkeestä ympyrässä. Sovitaan, että nopeutta, jota käytit kuvaillessasi translaatioliikettä, kutsutaan nyt lineaariseksi nopeudeksi. Ja lineaarisella nopeudella ymmärrämme hetkellisen nopeuden pyörivän kappaleen liikeradan pisteessä.

Riisi. 7. Levypisteiden liike

Harkitse levyä, joka varmuuden vuoksi pyörii myötäpäivään. Merkitsemme sen säteelle kaksi pistettä A ja B. Ja tarkastelemme niiden liikettä. Jonkin ajan kuluttua nämä pisteet liikkuvat ympyrän kaaria pitkin ja niistä tulee pisteitä A' ja B'. On selvää, että piste A on liikkunut enemmän kuin piste B. Tästä voidaan päätellä, että mitä kauempana piste on pyörimisakselista, sitä suuremmalla lineaarisella nopeudella se liikkuu.

Jos kuitenkin tarkastellaan tarkasti pisteitä A ja B, voidaan todeta, että kulma, jolla ne kääntyivät suhteessa pyörimisakseliin O, pysyi muuttumattomana. Kulmaominaisuuksien avulla kuvataan liikettä ympyrässä. Huomaa, että voit kuvata ympyrän liikettä käyttämällä kulma ominaisuudet. Ensinnäkin muistamme kulmien radiaanimitan käsitteen.

1 radiaanin kulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Siten on helppo nähdä, että esimerkiksi kulma on yhtä suuri kuin radiaani. Ja vastaavasti voit muuntaa minkä tahansa asteina annetun kulman radiaaneiksi kertomalla sen ja jakamalla sen. Pyörimiskulma pyörivässä liikkeessä on samanlainen kuin translaatioliikkeessä. Huomaa, että radiaani on dimensioton suure:

siksi nimitys "rad" jätetään usein pois.

Aloitetaan ympyrän liikkeen tarkastelu yksinkertaisimmalla tapauksella - tasaisella liikkeellä ympyrässä. Muista, että tasainen translaatioliike on liike, jossa keho tekee samat siirtymät millä tahansa yhtä pitkällä aikavälillä. Samoin

Tasainen liike ympyrässä on liikettä, jossa kappale pyörii samojen kulmien läpi minkä tahansa yhtäjaksoisen ajan.

Samoin kuin lineaarisen nopeuden käsite, otetaan käyttöön kulmanopeuden käsite.

Kulmanopeus on fysikaalinen suure, joka on yhtä suuri kuin kappaleen kääntymiskulman suhde aikaan, jonka aikana tämä käännös tapahtui.

Kulmanopeus mitataan radiaaneina sekunnissa tai yksinkertaisesti käänteissekunteina.

Etsitään pisteen kulmanopeuden ja tämän pisteen lineaarinopeuden välinen suhde.

Riisi. 9. Kulma- ja lineaarinopeuden välinen suhde

Piste A pyörii kaaren, jonka pituus on S, läpi kääntyen samalla kulman φ läpi. Kulman radiaanimitan määritelmästä voimme kirjoittaa sen

Jaa yhtälön vasen ja oikea osa aikavälillä, jolle liike tehtiin, ja käytä sitten kulma- ja lineaarinopeuksien määritelmää

.

Huomaa, että mitä kauempana piste on pyörimisakselista, sitä suurempi on sen kulma- ja lineaarinopeus. Ja pyörimisakselilla sijaitsevat pisteet ovat kiinteitä. Esimerkki tästä on karuselli: mitä lähempänä olet karusellin keskustaa, sitä helpompi sinun on pysyä siinä.

Muista, että aiemmin otimme käyttöön jakson ja kiertotaajuuden käsitteet.

Kiertojakso on yhden täydellisen kierroksen aika. Pyörimisjakso on merkitty kirjaimella ja se mitataan sekunneissa SI-järjestelmässä:

Pyörimistaajuus - kierrosten määrä aikayksikköä kohti. Taajuus ilmaistaan ​​kirjaimella ja mitataan käänteissekunteina:

Ne liittyvät:

Kehon kulmanopeuden ja pyörimistaajuuden välillä on suhde. Jos muistamme, että täysi kierros on , on helppo nähdä, että kulmanopeus on:

Lisäksi, jos muistamme, kuinka määritimme radiaanin käsitteen, käy selväksi, kuinka kappaleen lineaarinen nopeus voidaan suhteuttaa kulmaiseen:

.

Kirjataan myös ylös keskikiihtyvyyden ja näiden suureiden välinen suhde:

.

Näin ollen tiedämme ympyrän tasaisen liikkeen kaikkien ominaisuuksien välisen suhteen.

Tehdään yhteenveto. Tällä oppitunnilla aloimme kuvata kaarevaa liikettä. Ymmärsimme kuinka kaareva liike yhdistetään ympyräliikkeeseen. Ympyräliikettä kiihdytetään aina, ja kiihtyvyyden olemassaolo aiheuttaa sen, että nopeus muuttaa aina suuntaaan. Tällaista kiihtyvyyttä kutsutaan keskipisteiseksi. Lopuksi muistimme joitain ympyrän liikkeen ominaisuuksia (lineaarinopeus, kulmanopeus, pyörimisjakso ja -taajuus) ja löysimme niiden välisen suhteen.

Bibliografia:

1. G. Ya. Myakishev, B. B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky. Fysiikka 10. - M .: Koulutus, 2008.
2. A. P. Rymkevich. Fysiikka. Ongelmakirja 10-11. – M.: Bustard, 2006.
3. O. Ya. Savtšenko. Ongelmia fysiikassa. – M.: Nauka, 1988.
4. A. V. Pyoryshkin, V. V. Krauklis. Fysiikan kurssi. T. 1. - M .: Tila. oh.-ped. toim. min. RSFSR:n koulutus, 1957.

1. Tietosanakirja ().
2. Ayp.ru ().
3. Wikipedia ().

Kotitehtävät:

Ratkaisemalla tämän oppitunnin tehtävät pystyt valmistautumaan GIA:n kysymyksiin 1 ja yhtenäisen valtiokokeen kysymyksiin A1, A2.

1. Tehtävät 92, 94, 98, 106, 110 sb. Ongelmat A. P. Rymkevich toim. kymmenen ()
2. Laske kellon minuutti-, sekunti- ja tuntiosoittimien kulmanopeus. Laske näiden nuolien kärkiin vaikuttava keskipetaalinen kiihtyvyys, jos kunkin säde on yksi metri.
3. Mieti seuraavia kysymyksiä ja vastauksia niihin:

Kysymys: Onko maan pinnalla pisteitä, joissa Maan päivittäiseen pyörimiseen liittyvä kulmanopeus on nolla?

Vastaus: On. Nämä pisteet ovat maantieteellisiä napoja. Nopeus näissä pisteissä on nolla, koska näissä pisteissä olet pyörimisakselilla.

Liike jaetaan liikeradan muodosta riippuen suoraviivaiseen ja kaarevaan. Reaalimaailmassa käsittelemme useimmiten kaarevaa liikettä, kun liikerata on kaareva viiva. Esimerkkejä tällaisesta liikkeestä ovat horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liikerata, Maan liike Auringon ympäri, planeettojen liike, kellon osoittimen pää kellotaulussa jne.

Kuva 1. Liikerata ja siirtymä kaarevassa liikkeessä

Määritelmä

Kaareva liike on liike, jonka liikerata on kaareva viiva (esimerkiksi ympyrä, ellipsi, hyperbola, paraabeli). Kun liikutaan kaarevaa liikerataa pitkin, siirtymävektori $\overrightarrow(s)$ on suunnattu jännettä pitkin (kuva 1), ja l on liikeradan pituus. Kappaleen hetkellinen nopeus (eli kappaleen nopeus tietyssä lentoradan pisteessä) on suunnattu tangentiaalisesti siihen pisteeseen, jossa liikkuva kappale sillä hetkellä sijaitsee (kuva 2).

Kuva 2. Hetkellinen nopeus kaarevan liikkeen aikana

Seuraava lähestymistapa on kuitenkin kätevämpi. Voit kuvitella tämän liikkeen yhdistelmänä useista liikkeistä ympyrän kaaria pitkin (katso kuva 4.). Tällaisia ​​osioita tulee olemaan vähemmän kuin edellisessä tapauksessa, lisäksi liike ympyrää pitkin on itsessään kaarevaa.

Kuva 4. Kaarevalinjaisen liikkeen jakaminen liikkeiksi ympyräkaareilla

Johtopäätös

Kaarevalinjaisen liikkeen kuvaamiseksi on opittava kuvaamaan liikettä ympyrässä ja sitten esitettävä mielivaltainen liike joukkona liikkeitä pitkin ympyrän kaaria.

Aineellisen pisteen kaarevan liikkeen tutkimisen tehtävänä on laatia kinemaattinen yhtälö, joka kuvaa tätä liikettä ja jonka avulla voidaan määrättyjen alkuehtojen mukaisesti määrittää tämän liikkeen kaikki ominaisuudet.