Kyllä, kyllä: aritmeettinen progressio ei ole lelu sinulle :)

No, ystävät, jos luet tätä tekstiä, niin sisäinen korkkitodisteet kertovat minulle, että et vieläkään tiedä, mikä aritmeettinen progressio on, mutta todella (ei, näin: SOOOOO!) haluat tietää. Siksi en kiusaa sinua pitkillä esittelyillä ja ryhdyn välittömästi asioihin.

Aluksi pari esimerkkiä. Harkitse useita numerojoukkoja:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mitä yhteistä kaikilla näillä sarjoilla on? Ensi silmäyksellä ei mitään. Mutta itse asiassa on jotain. Nimittäin: jokainen seuraava elementti eroaa edellisestä samalla numerolla.

Tuomari itse. Ensimmäinen sarja on vain peräkkäisiä numeroita, joista jokainen on enemmän kuin edellinen. Toisessa tapauksessa vierekkäisten lukujen välinen ero on jo viisi, mutta tämä ero on edelleen vakio. Kolmannessa tapauksessa juuret ovat yleensä. Kuitenkin $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, kun taas $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ts. jolloin jokainen seuraava elementti yksinkertaisesti kasvaa $\sqrt(2)$ (ja älä pelkää, että tämä luku on irrationaalinen).

Joten: kaikkia tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan vain aritmeettisiksi progressioiksi. Annetaan tiukka määritelmä:

Määritelmä. Lukusarjaa, jossa jokainen seuraava eroaa edellisestä täsmälleen saman verran, kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi. Sitä määrää, jolla numerot eroavat, kutsutaan etenemiseroksi, ja sitä merkitään useimmiten kirjaimella $d$.

Merkintä: $\left(((a)_(n)) \right)$ on itse eteneminen, $d$ on sen erotus.

Ja vain pari tärkeää huomautusta. Ensinnäkin etenemistä tarkastellaan vain järjestyksessä numerosarja: ne saa lukea tiukasti siinä järjestyksessä, jossa ne on kirjoitettu - eikä mitään muuta. Et voi järjestää tai vaihtaa numeroita.

Toiseksi itse sekvenssi voi olla joko äärellinen tai ääretön. Esimerkiksi joukko (1; 2; 3) on ilmeisesti äärellinen aritmeettinen progressio. Mutta jos kirjoitat jotain kuten (1; 2; 3; 4; ...) - tämä on jo ääretön kehitys. Neljän jälkeinen ellipsi ikään kuin vihjaa, että melko monet luvut menevät pidemmälle. Esimerkiksi äärettömän monta. :)

Haluan myös huomauttaa, että edistyminen lisääntyy ja vähenee. Olemme jo nähneet kasvavia - sama joukko (1; 2; 3; 4; ...). Tässä on esimerkkejä etenemisen hidastumisesta:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okei, okei: viimeinen esimerkki saattaa tuntua liian monimutkaiselta. Mutta loput, luulen, että ymmärrät. Siksi otamme käyttöön uusia määritelmiä:

Määritelmä. Aritmeettista progressiota kutsutaan:

1. kasvaa, jos jokainen seuraava elementti on suurempi kuin edellinen;
2. laskeva, jos päinvastoin jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen.

Lisäksi on olemassa niin kutsuttuja "kiinteitä" sekvenssejä - ne koostuvat samasta toistuvasta numerosta. Esimerkiksi (3; 3; 3; ...).

Jäljelle jää vain yksi kysymys: kuinka erottaa kasvava eteneminen laskevasta? Onneksi täällä kaikki riippuu vain luvun $d$ etumerkistä, ts. etenemiserot:

1. Jos $d \gt 0$, niin eteneminen kasvaa;
2. Jos $d \lt 0$, niin eteneminen on ilmeisesti vähenemässä;
3. Lopuksi on tapaus $d=0$ — tässä tapauksessa koko eteneminen pelkistetään identtisten lukujen kiinteään sarjaan: (1; 1; 1; 1; ...) jne.

Yritetään laskea ero $d$ kolmelle yllä olevalle laskevalle progressiolle. Tätä varten riittää, että otat kaksi vierekkäistä elementtiä (esimerkiksi ensimmäinen ja toinen) ja vähennät vasemmanpuoleisen numeron oikeasta numerosta. Se näyttää tältä:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kuten näette, kaikissa kolmessa tapauksessa ero osoittautui todella negatiiviseksi. Ja nyt kun olemme enemmän tai vähemmän selvittäneet määritelmät, on aika selvittää, miten edistymistä kuvataan ja mitä ominaisuuksia niillä on.

Etenemisen ja toistuvan kaavan jäsenet

Koska sekvenssiemme elementtejä ei voida vaihtaa keskenään, ne voidaan numeroida:

\[\vasen(((a)_(n)) \oikea)=\vasen\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \oikea\)\]

Tämän joukon yksittäisiä elementtejä kutsutaan etenemisen jäseniksi. Ne ilmaistaan ​​tällä tavalla numeron avulla: ensimmäinen jäsen, toinen jäsen ja niin edelleen.

Lisäksi, kuten jo tiedämme, etenemisen naapurijäsenet liittyvät toisiinsa kaavalla:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Lyhyesti sanottuna, jotta voit löytää etenemisen $n$:nnen termin, sinun on tiedettävä $n-1$:s termi ja ero $d$. Tällaista kaavaa kutsutaan toistuvaksi, koska sen avulla voit löytää minkä tahansa luvun, kun tiedät vain edellisen (ja itse asiassa kaikki aiemmat). Tämä on erittäin hankalaa, joten on olemassa monimutkaisempi kaava, joka vähentää laskelman ensimmäiseen termiin ja eroon:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\vasen(n-1 \oikea)d\]

Olet luultavasti törmännyt tähän kaavaan aiemmin. He haluavat antaa sen kaikenlaisissa hakuteoksissa ja reshebnikissä. Ja missä tahansa järkevässä matematiikan oppikirjassa se on yksi ensimmäisistä.

Suosittelen kuitenkin harjoittelemaan vähän.

Tehtävä numero 1. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kolme ensimmäistä termiä, jos $((a)_(1))=8,d=-5$.

Päätös. Tiedämme siis ensimmäisen termin $((a)_(1))=8$ ja etenemiseron $d=-5$. Käytetään juuri annettua kaavaa ja korvataan $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasen(1-1 \oikea)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasen(2-1 \oikea)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasen(3-1 \oikea)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(tasaa)\]

Vastaus: (8; 3; -2)

Siinä kaikki! Huomaa, että edistymisemme on hiipumassa.

Tietenkään $n=1$ ei voitu korvata - tiedämme jo ensimmäisen termin. Laitteen vaihtamisella varmistimme kuitenkin, että kaavamme toimii jo ensimmäisellä termillä. Muissa tapauksissa kaikki meni banaaliin aritmetiikkaan.

Tehtävä numero 2. Kirjoita aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä, jos sen seitsemäs termi on −40 ja seitsemästoista termi −50.

Päätös. Kirjoitamme ongelman tilan tavanomaisin ehdoin:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Laitoin järjestelmän merkin, koska nämä vaatimukset on täytettävä samanaikaisesti. Ja nyt huomaamme, että jos vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä (meillä on oikeus tehdä tämä, koska meillä on järjestelmä), saamme tämän:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(1))+16d-\vasen(((a)_(1))+6d \oikea)=-50-\vasen(-40 \oikea); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(tasaa)\]

Juuri näin, löysimme etenemiseron! On vielä korvattava löydetty luku missä tahansa järjestelmän yhtälössä. Esimerkiksi ensimmäisessä:

\[\begin(matriisi) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriisi)\]

Nyt, kun tiedät ensimmäisen termin ja eron, on vielä löydettävä toinen ja kolmas termi:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(tasaa)\]

Valmis! Ongelma ratkaistu.

Vastaus: (-34; -35; -36)

Kiinnitä huomiota havaitsemamme etenemisen omituiseen ominaisuuteen: jos otamme $n$th- ja $m$th-termit ja vähennämme ne toisistaan, niin saadaan etenemisen erotus kerrottuna luvulla $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Yksinkertainen mutta erittäin hyödyllinen ominaisuus, joka sinun pitäisi ehdottomasti tietää - sen avulla voit nopeuttaa merkittävästi monien etenemisongelmien ratkaisemista. Tässä on malliesimerkki tästä:

Tehtävä numero 3. Aritmeettisen progression viides termi on 8,4 ja kymmenes termi 14,4. Etsi tämän etenemisen viidestoista termi.

Päätös. Koska $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ja meidän on löydettävä $((a)_(15))$, huomioimme seuraavat:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(tasaa)\]

Mutta ehdolla $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, eli $5d=6$, mistä saamme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(tasaa)\]

Vastaus: 20.4

Siinä kaikki! Meidän ei tarvinnut muodostaa yhtälöjärjestelmiä ja laskea ensimmäistä termiä ja erotusta - kaikki ratkesi vain parilla rivillä.

Tarkastellaan nyt toisenlaista ongelmaa - etenemisen negatiivisten ja positiivisten jäsenten etsimistä. Ei ole salaisuus, että jos eteneminen kasvaa, vaikka sen ensimmäinen termi on negatiivinen, niin ennemmin tai myöhemmin positiivisia termejä ilmestyy siihen. Ja päinvastoin: vähenevän etenemisen ehdot muuttuvat ennemmin tai myöhemmin negatiivisiksi.

Samanaikaisesti ei ole läheskään aina mahdollista löytää tätä hetkeä "otsasta" lajittelemalla elementtejä peräkkäin. Usein tehtävät suunnitellaan niin, että kaavoja tuntematta laskelmat veisisivat useita arkkeja - nukahdimme vain, kunnes löytäisimme vastauksen. Siksi yritämme ratkaista nämä ongelmat nopeammin.

Tehtävä numero 4. Kuinka monta negatiivista termiä aritmeettisessa progressiossa -38,5; -35,8; …?

Päätös. Joten $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, josta löydämme heti eron:

Huomaa, että ero on positiivinen, joten eteneminen lisääntyy. Ensimmäinen termi on negatiivinen, joten todellakin jossain vaiheessa törmäämme positiivisiin lukuihin. Ainoa kysymys on, milloin tämä tapahtuu.

Yritetään selvittää: kuinka kauan (eli mihin luonnolliseen numeroon $n$ asti) ehtojen negatiivisuus säilyy:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Nuoli oikealle ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \oikea. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Oikea nuoli ((n)_(\max ))=15. \\ \end(tasaa)\]

Viimeinen rivi kaipaa selvennystä. Tiedämme siis, että $n \lt 15\frac(7)(27)$. Toisaalta vain luvun kokonaislukuarvot sopivat meille (lisäksi: $n\in \mathbb(N)$), joten suurin sallittu luku on juuri $n=15$, eikä missään tapauksessa 16.

Tehtävä numero 5. Aritmeettisessa progressiossa $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Etsi tämän etenemisen ensimmäisen positiivisen termin numero.

Tämä olisi täsmälleen sama ongelma kuin edellinen, mutta emme tiedä $((a)_(1))$. Mutta viereiset termit tunnetaan: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, joten voimme helposti löytää etenemiseron:

Lisäksi yritetään ilmaista viides termi ensimmäisen ja eron suhteen vakiokaavalla:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(tasaa)\]

Jatketaan nyt analogisesti edellisen ongelman kanssa. Selvitämme, missä vaiheessa sarjaamme positiiviset luvut ilmestyvät:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(tasaa)\]

Tämän epäyhtälön pienin kokonaislukuratkaisu on luku 56.

Huomaa, että viimeisessä tehtävässä kaikki oli pelkistetty tiukkaan epätasa-arvoon, joten vaihtoehto $n=55$ ei sovi meille.

Nyt kun olemme oppineet ratkaisemaan yksinkertaisia ​​ongelmia, siirrytään monimutkaisempiin. Mutta ensin opitaan toinen erittäin hyödyllinen aritmeettisen progression ominaisuus, joka säästää meiltä paljon aikaa ja epätasaisia ​​soluja tulevaisuudessa. :)

Aritmeettinen keskiarvo ja yhtäläiset sisennykset

Tarkastellaan useita peräkkäisiä termejä kasvavasta aritmeettisesta etenemisestä $\left(((a)_(n)) \right)$. Yritetään merkitä ne numeroriville:

Aritmeettisen progression jäsenet numeroviivalla

Huomasin erityisesti mielivaltaiset jäsenet $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, en mitään $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Koska sääntö, jonka kerron nyt, toimii samoin kaikille "segmenteille".

Ja sääntö on hyvin yksinkertainen. Muistetaan rekursiivinen kaava ja kirjoitetaan se muistiin kaikille merkityille jäsenille:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(tasaa)\]

Nämä yhtäläisyydet voidaan kuitenkin kirjoittaa eri tavalla:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(tasaa)\]

No, mitä sitten? Mutta se tosiasia, että termit $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ ovat samalla etäisyydellä $((a)_(n)) $ . Ja tämä etäisyys on yhtä suuri kuin $d$. Samaa voidaan sanoa termeistä $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ - ne on myös poistettu termistä $((a)_(n) )$ samalla etäisyydellä kuin $2d$. Voit jatkaa loputtomiin, mutta kuva havainnollistaa tarkoituksen hyvin

Progression jäsenet sijaitsevat samalla etäisyydellä keskustasta

Mitä tämä tarkoittaa meille? Tämä tarkoittaa, että voit löytää $((a)_(n))$, jos naapuriluvut ovat tiedossa:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Olemme päättäneet upean väitteen: jokainen aritmeettisen progression jäsen on yhtä suuri kuin viereisten jäsenten aritmeettinen keskiarvo! Lisäksi voimme poiketa $((a)_(n))$:sta vasemmalle ja oikealle, ei yhden askeleen, vaan $k$ askeleen - ja silti kaava on oikea:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Nuo. voimme helposti löytää $((a)_(150))$, jos tiedämme $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, koska $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä tosiasia ei anna meille mitään hyödyllistä. Käytännössä monet tehtävät on kuitenkin "teroitettu" erityisesti aritmeettisen keskiarvon käyttöä varten. Katso:

Tehtävä numero 6. Etsi kaikki $x$:n arvot siten, että luvut $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ ovat peräkkäisiä jäseniä aritmeettinen progressio (määritetyssä järjestyksessä).

Päätös. Koska nämä luvut ovat progression jäseniä, aritmeettisen keskiarvon ehto täyttyy niille: keskuselementti $x+1$ voidaan ilmaista vierekkäisillä alkioilla:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(tasaa)\]

Tuloksena on klassinen toisen asteen yhtälö. Sen juuret: $x=2$ ja $x=-3$ ovat vastaukset.

Vastaus: -3; 2.

Tehtävä numero 7. Etsi $$:n arvot siten, että luvut $-1;4-3;(()^(2))+1$ muodostavat aritmeettisen progression (tässä järjestyksessä).

Päätös. Jälleen ilmaistamme keskitermin viereisten termien aritmeettisen keskiarvon avulla:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(tasaa)\]

Toinen toisen asteen yhtälö. Ja taas kaksi juuria: $x=6$ ja $x=1$.

Vastaus: 1; 6.

Jos ongelman ratkaisemisen aikana saat raakoja numeroita tai et ole täysin varma löydettyjen vastausten oikeellisuudesta, on upea temppu, jonka avulla voit tarkistaa: ratkaisimmeko ongelman oikein?

Oletetaan, että tehtävässä 6 saimme vastaukset -3 ja 2. Kuinka voimme tarkistaa, että nämä vastaukset ovat oikein? Kytketään ne alkuperäiseen tilaan ja katsotaan mitä tapahtuu. Muistutan, että meillä on kolme numeroa ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), joiden pitäisi muodostaa aritmeettinen progressio. Korvaa $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tasaa)\]

Saimme numerot -54; −2; 50, joka eroaa 52:lla, on epäilemättä aritmeettinen progressio. Sama tapahtuu $x=2$:lle:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tasaa)\]

Taas eteneminen, mutta erolla 27. Siten ongelma on ratkaistu oikein. Halukkaat voivat itse tarkistaa toisen tehtävän, mutta sanon heti: kaikki on sielläkin oikein.

Yleisesti ottaen viimeisiä ongelmia ratkoessamme törmäsimme toiseen mielenkiintoiseen tosiasiaan, joka on myös muistettava:

Jos kolme lukua ovat sellaisia, että toinen on ensimmäisen ja viimeisen keskiarvo, nämä luvut muodostavat aritmeettisen progression.

Tulevaisuudessa tämän lausunnon ymmärtäminen antaa meille mahdollisuuden kirjaimellisesti "konstruoida" tarvittavat etenemiset ongelman tilan perusteella. Mutta ennen kuin ryhdymme tällaiseen "rakenteeseen", meidän tulee kiinnittää huomiota vielä yhteen tosiasiaan, joka seuraa suoraan jo tarkastelusta.

Elementtien ryhmittely ja summa

Palataan taas numeroriville. Huomaamme siellä useita jäseniä etenemisestä, joiden välillä ehkä. monien muiden jäsenten arvoinen:

6 numeroriville merkittyä elementtiä

Yritetään ilmaista "vasen häntä" sanoilla $((a)_(n))$ ja $d$ ja "oikea häntä" sanoilla $((a)_(k))$ ja $ d$. Se on hyvin yksinkertainen:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(tasaa)\]

Huomaa nyt, että seuraavat summat ovat yhtä suuret:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tasaa)\]

Yksinkertaisesti sanottuna, jos otetaan alkuun kaksi etenemisen elementtiä, jotka yhteensä ovat yhtä suuria kuin jokin luku $S$, ja sitten alamme astua näistä elementeistä vastakkaisiin suuntiin (toisiaan kohti tai päinvastoin siirtyäksesi pois), sitten myös niiden elementtien summat, joihin törmäämme, ovat yhtä suuret$S$. Tämä voidaan parhaiten esittää graafisesti:

Samat sisennykset antavat yhtä suuret summat

Tämän tosiasian ymmärtäminen antaa meille mahdollisuuden ratkaista ongelmat, jotka ovat olennaisesti monimutkaisempia kuin ne, joita tarkastelimme edellä. Esimerkiksi nämä:

Tehtävä numero 8. Määritä aritmeettisen progression ero, jossa ensimmäinen termi on 66 ja toisen ja kahdennentoista termin tulo on pienin mahdollinen.

Päätös. Kirjataan ylös kaikki, mitä tiedämme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(tasaa)\]

Emme siis tiedä etenemisen $d$ eroa. Itse asiassa koko ratkaisu rakennetaan eron ympärille, koska tuote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\begin(tasaista) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\vasen(66+d \oikea)\cpiste \vasen(66+11d \oikea)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(tasaa)\]

Säiliössä oleville: Olen ottanut yhteisen kertoimen 11 pois toisesta kiinnikkeestä. Siten haluttu tulo on neliöfunktio muuttujan $d$ suhteen. Siksi harkitse funktiota $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - sen kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska jos avaamme sulut, saamme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kuten näette, kerroin, jolla on korkein termi, on 11 - tämä on positiivinen luku, joten kyseessä on todella paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin:

toisen asteen funktion kaavio - paraabeli

Huomaa: tämä paraabeli saa minimiarvonsa kärjestään abskissalla $((d)_(0))$. Voimme tietysti laskea tämän abskissan vakiokaavan mukaan (on kaava $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mutta olisi paljon järkevämpää huomaa, että haluttu kärki sijaitsee paraabelin akselisymmetrialla, joten piste $((d)_(0))$ on yhtä kaukana yhtälön $f\left(d \right)=0$ juurista:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(tasaa)\]

Siksi minulla ei ollut kiire avata sulkuja: alkuperäisessä muodossaan juuret olivat erittäin, erittäin helppo löytää. Siksi abskissa on yhtä suuri kuin lukujen −66 ja −6 aritmeettinen keskiarvo:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mikä antaa meille löydetyn numeron? Sen avulla vaadittu tuote saa pienimmän arvon (muuten, emme laskeneet $((y)_(\min ))$ - tätä ei meiltä vaadita). Samalla tämä luku on alkuvaiheen erotus, ts. löysimme vastauksen. :)

Vastaus: -36

Tehtävä numero 9. Lisää kolme numeroa lukujen $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ väliin siten, että ne muodostavat yhdessä annettujen lukujen kanssa aritmeettisen progression.

Päätös. Itse asiassa meidän on tehtävä viiden luvun sarja, joista ensimmäinen ja viimeinen numero ovat jo tiedossa. Merkitse puuttuvat luvut muuttujilla $x$, $y$ ja $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Huomaa, että luku $y$ on sekvenssimme "keskiosa" - se on yhtä kaukana luvuista $x$ ja $z$ sekä luvuista $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac. (1)(6)$. Ja jos emme tällä hetkellä saa $y$ luvuista $x$ ja $z$, niin tilanne on erilainen etenemisen päiden kanssa. Muista aritmeettinen keskiarvo:

Nyt, kun tiedämme $y$, löydämme loput luvut. Huomaa, että $x$ on välillä $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ juuri löydetty. Niin

Väittelemällä samalla tavalla, löydämme jäljellä olevan luvun:

Valmis! Löysimme kaikki kolme numeroa. Kirjoitetaan ne vastaukseen siinä järjestyksessä, jossa ne tulee lisätä alkuperäisten numeroiden väliin.

Vastaus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tehtävä numero 10. Syötä lukujen 2 ja 42 väliin useita lukuja, jotka yhdessä annettujen lukujen kanssa muodostavat aritmeettisen progression, jos tiedetään, että ensimmäisen, toisen ja viimeisen lisätyn luvun summa on 56.

Päätös. Vielä vaikeampi tehtävä, joka kuitenkin ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin edelliset - aritmeettisen keskiarvon kautta. Ongelmana on, että emme tiedä tarkalleen kuinka monta numeroa lisätään. Siksi oletamme varmuuden vuoksi, että lisäyksen jälkeen tulee täsmälleen $n$ lukuja, joista ensimmäinen on 2 ja viimeinen 42. Tässä tapauksessa haluttu aritmeettinen eteneminen voidaan esittää seuraavasti:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \oikea\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Huomaa kuitenkin, että luvut $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadaan numeroista 2 ja 42, jotka seisovat reunoilla yhden askeleen päässä toisiaan kohti. , eli . sekvenssin keskelle. Ja tämä tarkoittaa sitä

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mutta sitten yllä oleva lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(tasaa)\]

Kun tiedämme $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, voimme helposti löytää etenemiseron:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\vasen(3-1 \oikea)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Nuoli oikealle d=5. \\ \end(tasaa)\]

On vain löydettävä jäljellä olevat jäsenet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(tasaa)\]

Siten jo 9. vaiheessa tulemme sekvenssin vasempaan päähän - numeroon 42. Yhteensä vain 7 numeroa piti lisätä: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Vastaus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstitehtävät etenemisellä

Lopuksi haluaisin tarkastella muutamaa suhteellisen yksinkertaista ongelmaa. No, yksinkertaisina: useimmille opiskelijoille, jotka opiskelevat matematiikkaa koulussa eivätkä ole lukeneet yllä kirjoitettua, nämä tehtävät voivat tuntua eleeltä. Juuri tällaisia ​​tehtäviä tulee kuitenkin vastaan ​​OGE:ssä ja matematiikan USE:ssa, joten suosittelen, että tutustut niihin.

Tehtävä numero 11. Ryhmä valmisti tammikuussa 62 osaa ja jokaisessa seuraavassa kuussa 14 osaa enemmän kuin edellisessä. Kuinka monta osaa prikaati valmisti marraskuussa?

Päätös. On selvää, että kuukausittain maalattujen osien määrä on kasvava aritmeettinen progressio. Ja:

\[\begin(tasaa) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Marraskuu on vuoden 11. kuukausi, joten meidän on löydettävä $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Siksi 202 osaa valmistetaan marraskuussa.

Tehtävä numero 12. Kirjansidontapaja sidoi tammikuussa 216 kirjaa ja joka kuukausi 4 kirjaa enemmän kuin edellisessä kuussa. Kuinka monta kirjaa työpaja sidoi joulukuussa?

Päätös. Aivan sama:

$\begin(tasaa) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Joulukuu on vuoden viimeinen, 12. kuukausi, joten etsimme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tämä on vastaus – joulukuussa sidotaan 260 kirjaa.

No, jos olet lukenut tähän asti, kiirehdin onnittelemaan sinua: olet suorittanut menestyksekkäästi "nuorten taistelijoiden kurssin" aritmeettisessa progressiossa. Voimme turvallisesti siirtyä seuraavalle oppitunnille, jossa tutkimme etenemissummakaavaa sekä sen tärkeitä ja erittäin hyödyllisiä seurauksia.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Oppitunnin tavoitteet:

• laajentaa ja syventää opiskelijoiden käsitystä aritmeettisella progressiolla ratkaistavista tehtävistä; opiskelijoiden hakutoiminnan järjestäminen johdettaessa kaavaa aritmeettisen progression n ensimmäisen jäsenen summalle;
• taitojen kehittäminen hankkia itsenäisesti uutta tietoa, käyttää jo hankittua tietoa tehtävän saavuttamiseksi;
• halu ja tarve yleistää saatuja tosiasioita, itsenäisyyden kehittyminen.

Tehtävät:

• yleistää ja systematisoi olemassa olevaa tietoa aiheesta "Aritmeettinen progressio";
• johtaa kaavat aritmeettisen progression n ensimmäisen jäsenen summan laskemiseksi;
• opettaa käyttämään saatuja kaavoja erilaisten ongelmien ratkaisemisessa;
• kiinnittää opiskelijoiden huomio menetelmään numeerisen lausekkeen arvon löytämiseksi.

Laitteet:

• kortteja, joissa on tehtäviä ryhmä- ja parityöskentelyyn;
• arviointipaperi;
• esittely"Aritmeettinen progressio".

I. Perustiedon toteuttaminen.

1. Itsenäinen työskentely pareittain.

1. vaihtoehto:

Määrittele aritmeettinen progressio. Kirjoita muistiin rekursiivinen kaava, joka määrittää aritmeettisen etenemisen. Anna esimerkki aritmeettisesta etenemisestä ja osoita sen ero.

2. vaihtoehto:

Kirjoita muistiin aritmeettisen progression n:nnen termin kaava. Etsi aritmeettisen progression 100. termi ( a n}: 2, 5, 8 …
Tällä hetkellä kaksi taulun takana olevaa opiskelijaa valmistelevat vastauksia samoihin kysymyksiin.
Opiskelijat arvioivat kumppanin työtä vertaamalla sitä tauluun. (Vastauksia sisältävät esitteet luovutetaan).

2. Pelihetki.

Harjoitus 1.

Opettaja. Ajattelin jonkin verran aritmeettista progressiota. Kysy minulta vain kaksi kysymystä, jotta vastausten jälkeen voit nopeasti nimetä tämän etenemisen 7. jäsenen. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Kysymyksiä opiskelijoilta.

1. Mikä on etenemisen kuudes termi ja mikä on ero?
2. Mikä on etenemisen kahdeksas termi ja mikä on ero?

Jos kysymyksiä ei ole enempää, opettaja voi stimuloida niitä - "kielto" d:lle (ero), eli ei saa kysyä, mikä ero on. Voit kysyä kysymyksiä: mikä on etenemisen 6. termi ja mikä on etenemisen 8. termi?

Tehtävä 2.

Taululle on kirjoitettu 20 numeroa: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Opettaja seisoo selkä taulua vasten. Oppilaat sanovat numeron numeron ja opettaja soittaa välittömästi itse numeroon. Selitä, miten voin tehdä sen?

Opettaja muistaa n:nnen termin kaavan a n \u003d 3n - 2 ja korvaamalla annetut n:n arvot, löytää vastaavat arvot a n .

II. Selvitys koulutustehtävästä.

Ehdotan ratkaisemaan vanhan ongelman, joka juontaa juurensa 2. vuosituhannella eKr. ja joka löytyy egyptiläisistä papyruksista.

Tehtävä:"Sanotaan teille: jaa 10 mittaa ohraa 10 hengelle, ero kunkin ihmisen ja hänen naapurinsa välillä on 1/8 mittasta."

• Miten tämä ongelma liittyy aritmeettisen edistymisen aiheeseen? (Jokainen seuraava saa 1/8 mittaa enemmän, joten ero on d=1/8, 10 henkilöä, joten n=10.)
• Mitä luku 10 mielestäsi tarkoittaa? (Kaikkien etenemisen jäsenten summa.)
• Mitä muuta sinun on tiedettävä, jotta ohran jakaminen ongelman tilan mukaan on helppoa ja yksinkertaista? (Etsimisen ensimmäinen termi.)

Oppitunnin tavoite- saadaan etenemisen ehtojen summan riippuvuus niiden lukumäärästä, ensimmäisestä termistä ja erotuksesta ja tarkistetaan, ratkaistiinko ongelma muinaisina aikoina oikein.

Ennen kuin johdat kaavan, katsotaan kuinka muinaiset egyptiläiset ratkaisivat ongelman.

Ja he ratkaisivat sen näin:

1) 10 mittaa: 10 = 1 mitta - keskimääräinen osuus;
2) 1 mitta ∙ = 2 mittaa - kaksinkertainen keskiverto Jaa.
kaksinkertaistunut keskiverto osuus on 5. ja 6. henkilön osuuden summa.
3) 2 mittaa - 1/8 mittaa = 1 7/8 mittaa - kaksi kertaa viidennen henkilön osuus.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - viidennen osuus; ja niin edelleen, voit löytää kunkin edellisen ja seuraavan henkilön osuuden.

Saamme sarjan:

III. Tehtävän ratkaisu.

1. Työskentele ryhmissä

1. ryhmä: Etsi 20 peräkkäisen luonnollisen luvun summa: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Yleisesti

II ryhmä: Etsi luonnollisten lukujen summa välillä 1-100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Johtopäätös:

III ryhmä: Etsi luonnollisten lukujen summa välillä 1-21.

Ratkaisu: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Johtopäätös:

IV ryhmä: Etsi luonnollisten lukujen summa välillä 1 - 101.

Johtopäätös:

Tätä menetelmää tarkasteltujen ongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan "Gauss-menetelmäksi".

2. Jokainen ryhmä esittelee taululle ongelman ratkaisun.

3. Yleistys ehdotetuista ratkaisuista mielivaltaiselle aritmeettiselle progressiolle:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2, a n-1, a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Löydämme tämän summan väittelemällä samalla tavalla:

4. Olemmeko ratkaisseet tehtävän?(Joo.)

IV. Saatujen kaavojen ensisijainen ymmärtäminen ja soveltaminen tehtävien ratkaisussa.

1. Vanhan tehtävän ratkaisun tarkistaminen kaavalla.

2. Kaavan soveltaminen erilaisten ongelmien ratkaisemiseen.

3. Harjoitukset kaavan soveltamiskyvyn muodostamiseksi tehtävien ratkaisussa.

A) nro 613

Annettu :( ja n) - aritmeettinen progressio;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Löytää: S 1500

Päätös: , ja 1 = 1 ja 1500 = 1500,

B) Annettu: ( ja n) - aritmeettinen progressio;
(ja n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Löytää: n
Päätös:

V. Itsenäinen työ molemminpuolisella tarkastuksella.

Denis meni töihin kuriirina. Ensimmäisenä kuukautena hänen palkkansa oli 200 ruplaa, jokaisena seuraavana kuukautena se nousi 30 ruplaa. Kuinka paljon hän ansaitsi vuodessa?

Annettu :( ja n) - aritmeettinen progressio;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Löytää: S 12
Päätös:

Vastaus: Denis sai 4380 ruplaa vuodelta.

VI. Kotitehtävien opetus.

1. s. 4.3 - opettele kaavan johtaminen.
2. №№ 585, 623 .
3. Laadi tehtävä, joka ratkaistaan ​​aritmeettisen edistyksen n ensimmäisen ehdon summan kaavalla.

VII. Yhteenveto oppitunnista.

1. Pisteet

2. Jatka lauseita

• Tänään tunnilla opin...
• Opittuja kaavoja...
• Luulen että …

3. Löydätkö lukujen summan välillä 1-500? Mitä menetelmää aiot käyttää ratkaistaksesi tämän ongelman?

Bibliografia.

1. Algebra, 9. luokka. Oppikirja oppilaitoksille. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskova: Enlightenment, 2009.

Lukiossa (9. luokka) algebraa opiskellessa yksi tärkeimmistä aiheista on numeeristen sekvenssien opiskelu, joka sisältää progressioita - geometriaa ja aritmetiikkaa. Tässä artikkelissa tarkastelemme aritmeettista etenemistä ja esimerkkejä ratkaisuineen.

Mikä on aritmeettinen progressio?

Tämän ymmärtämiseksi on tarpeen antaa tarkasteltavan etenemisen määritelmä sekä antaa peruskaavat, joita käytetään edelleen ongelmien ratkaisemisessa.

Aritmeettinen tai algebrallinen progressio on sellainen joukko järjestettyjä rationaalilukuja, joiden jokainen jäsen eroaa edellisestä jollain vakiomäärällä. Tätä arvoa kutsutaan erotukseksi. Eli kun tiedät minkä tahansa järjestetyn numerosarjan jäsenen ja eron, voit palauttaa koko aritmeettisen etenemisen.

Otetaan esimerkki. Seuraava numerosarja on aritmeettinen progressio: 4, 8, 12, 16, ..., koska ero tässä tapauksessa on 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mutta lukujoukkoa 3, 5, 8, 12, 17 ei voida enää lukea tarkasteltavana olevan etenemisen tyypin mukaan, koska sen ero ei ole vakioarvo (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Tärkeitä kaavoja

Annamme nyt peruskaavat, joita tarvitaan ongelmien ratkaisemiseen aritmeettisen progression avulla. Olkoon a n sekvenssin n:ttä jäsentä, missä n on kokonaisluku. Ero on merkitty latinalaisella kirjaimella d. Sitten seuraavat lausekkeet pitävät paikkansa:

1. N:nnen termin arvon määrittämiseen sopii kaava: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Ensimmäisen n ehdon summan määrittämiseksi: S n = (a n + a 1)*n/2.

Ymmärtääkseen esimerkit aritmeettisesta etenemisestä luokan 9 ratkaisulla riittää, että muistat nämä kaksi kaavaa, koska kaikki kyseessä olevan tyyppiset ongelmat rakentuvat niiden käyttöön. Älä myöskään unohda, että etenemisero määräytyy kaavalla: d = a n - a n-1 .

Esimerkki 1: Tuntemattoman jäsenen löytäminen

Annamme yksinkertaisen esimerkin aritmeettisesta progressiosta ja kaavoista, joita täytyy käyttää ratkaisemiseen.

Olkoon jono 10, 8, 6, 4, ... annettu, siitä on löydettävä viisi termiä.

Tehtävän ehdoista jo seuraa, että ensimmäiset 4 termiä tunnetaan. Viides voidaan määritellä kahdella tavalla:

1. Lasketaan ensin ero. Meillä on: d = 8 - 10 = -2. Samalla tavalla voitaisiin ottaa mitkä tahansa kaksi muuta termiä, jotka seisovat vierekkäin. Esimerkiksi d = 4 - 6 = -2. Koska tiedetään, että d \u003d a n - a n-1, niin d \u003d a 5 - a 4, mistä saamme: a 5 \u003d a 4 + d. Korvaamme tunnetut arvot: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Toinen menetelmä vaatii myös tietoa kyseessä olevan etenemisen erosta, joten sinun on ensin määritettävä se, kuten yllä on esitetty (d = -2). Kun tiedämme, että ensimmäinen termi a 1 = 10, käytämme sekvenssin n-luvun kaavaa. Meillä on: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Korvaamalla n = 5 viimeiseen lausekkeeseen, saadaan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kuten näet, molemmat ratkaisut johtavat samaan tulokseen. Huomaa, että tässä esimerkissä etenemisen ero d on negatiivinen. Tällaisia ​​sekvenssejä kutsutaan laskeviksi, koska jokainen peräkkäinen termi on pienempi kuin edellinen.

Esimerkki 2: etenemisero

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman, anna esimerkki kuinka

Tiedetään, että joissakin 1. termi on yhtä suuri kuin 6 ja 7. termi on 18. On tarpeen löytää ero ja palauttaa tämä sekvenssi 7. termiin.

Määritetään tuntematon termi kaavalla: a n = (n - 1) * d + a 1 . Korvaamme siihen ehdosta tunnetut tiedot, eli luvut a 1 ja a 7, meillä on: 18 \u003d 6 + 6 * d. Tästä lausekkeesta voit helposti laskea eron: d = (18 - 6) / 6 = 2. Siten tehtävän ensimmäinen osa on vastattu.

Jos haluat palauttaa sekvenssin 7. jäseneen, sinun tulee käyttää algebrallisen etenemisen määritelmää, eli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ja niin edelleen. Tämän seurauksena palautamme koko sekvenssin: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ja 7 = 18.

Esimerkki 3: edistyminen

Monimutkaistakaamme ongelman tilaa entisestään. Nyt sinun on vastattava kysymykseen, kuinka löytää aritmeettinen progressio. Voimme antaa seuraavan esimerkin: annetaan kaksi lukua, esimerkiksi 4 ja 5. On tarpeen tehdä algebrallinen progressio, jotta näiden väliin mahtuu vielä kolme termiä.

Ennen kuin aloitat tämän ongelman ratkaisemisen, on ymmärrettävä, mikä paikka annetut numerot vievät tulevassa etenemisessä. Koska niiden välillä on vielä kolme termiä, sitten 1 \u003d -4 ja 5 \u003d 5. Kun tämä on selvitetty, siirrymme tehtävään, joka on samanlainen kuin edellinen. Jälleen n:nnelle termille käytämme kaavaa, saamme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Alkaen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tässä ero ei ole kokonaisluku, vaan se on rationaalinen luku, joten algebrallisen etenemisen kaavat pysyvät samoina.

Lisätään nyt löydetty ero 1:een ja palautetaan etenemisen puuttuvat jäsenet. Saamme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d mikä osui yhteen ongelman tilan kanssa.

Esimerkki 4: Jakson ensimmäinen jäsen

Jatkamme esimerkkien antamista aritmeettisesta etenemisestä ratkaisun kanssa. Kaikissa aiemmissa tehtävissä tunnettiin algebrallisen etenemisen ensimmäinen numero. Tarkastellaan nyt erityyppistä tehtävää: annetaan kaksi lukua, joissa a 15 = 50 ja a 43 = 37. On selvitettävä, mistä numerosta tämä sarja alkaa.

Tähän asti käytetyissä kaavoissa oletetaan a 1:n ja d:n tuntemista. Näistä numeroista ei tiedetä ongelman tilassa mitään. Kirjoitetaan kuitenkin lausekkeet jokaiselle termille, josta meillä on tietoa: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saimme kaksi yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta määrää (a 1 ja d). Tämä tarkoittaa, että ongelma rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.

Määritetty järjestelmä on helpoin ratkaista, jos ilmaiset 1:n jokaisessa yhtälössä ja vertaat sitten saatuja lausekkeita. Ensimmäinen yhtälö: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; toinen yhtälö: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Yhtälöimällä nämä lausekkeet, saamme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, josta ero d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (vain 3 desimaalin tarkkuutta annetaan).

Kun tiedät d:n, voit käyttää mitä tahansa yllä olevista kahdesta lausekkeesta 1:lle. Esimerkiksi ensin: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jos tuloksesta on epäilyksiä, voit tarkistaa sen, esimerkiksi määrittää etenemisen 43. jäsenen, joka on määritelty ehdossa. Saamme: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Pieni virhe johtuu siitä, että laskelmissa käytettiin pyöristystä tuhannesosaan.

Esimerkki #5: Summa

Katsotaanpa nyt joitain esimerkkejä ratkaisuista aritmeettisen progression summalle.

Olkoon seuraavan muotoinen numeerinen eteneminen: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuinka laskea näiden lukujen 100 summa?

Tietotekniikan kehityksen ansiosta tämä ongelma voidaan ratkaista, eli laskea peräkkäin kaikki numerot, minkä tietokone tekee heti, kun henkilö painaa Enter-näppäintä. Ongelma voidaan kuitenkin ratkaista henkisesti, jos huomioi, että esitetty lukusarja on algebrallinen progressio ja sen ero on 1. Summan kaavaa soveltamalla saadaan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

On mielenkiintoista huomata, että tätä ongelmaa kutsutaan "Gaussiseksi", koska 1700-luvun alussa kuuluisa saksalainen, vielä vain 10-vuotiaana, pystyi ratkaisemaan sen mielessään muutamassa sekunnissa. Poika ei tiennyt algebrallisen progression summan kaavaa, mutta hän huomasi, että jos lisäät sarjan reunoilla sijaitsevia lukupareja, saat aina saman tuloksen, eli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ja koska nämä summat ovat täsmälleen 50 (100 / 2), niin oikean vastauksen saamiseksi riittää kertoa 50 101: llä.

Esimerkki #6: termien summa n:stä m:ään

Toinen tyypillinen esimerkki aritmeettisen progression summasta on seuraava: annettuna lukusarja: 3, 7, 11, 15, ..., sinun on selvitettävä, mikä on sen ehtojen summa 8 - 14.

Ongelma ratkaistaan ​​kahdella tavalla. Ensimmäinen niistä sisältää tuntemattomien termien etsimisen 8-14 ja sitten niiden yhteenvedon peräkkäin. Koska termejä on vähän, tämä menetelmä ei ole tarpeeksi työläs. Tästä huolimatta ehdotetaan tämän ongelman ratkaisemista toisella menetelmällä, joka on yleismaailmallisempi.

Ajatuksena on saada kaava termien m ja n välisen algebrallisen etenemisen summalle, missä n > m ovat kokonaislukuja. Molemmissa tapauksissa kirjoitamme summalle kaksi lauseketta:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Koska n > m, on selvää, että 2 summa sisältää ensimmäisen. Viimeinen johtopäätös tarkoittaa, että jos otetaan näiden summien välinen erotus ja lisätään siihen termi a m (eron ottamisen tapauksessa se vähennetään summasta S n), niin saadaan tarvittava vastaus ongelmaan. Meillä on: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1 - m / 2). Tämä lauseke on välttämätöntä korvata kaavoilla n ja m. Sitten saadaan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Tuloksena oleva kaava on hieman hankala, mutta summa S mn riippuu vain arvoista n, m, a 1 ja d. Meidän tapauksessamme a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Korvaamalla nämä luvut saadaan: S mn = 301.

Kuten yllä olevista ratkaisuista voidaan nähdä, kaikki tehtävät perustuvat n:nnen termin lausekkeen ja ensimmäisten termien summan kaavan tuntemiseen. Ennen kuin aloitat näiden ongelmien ratkaisemisen, on suositeltavaa lukea ehto huolellisesti, ymmärtää selvästi, mitä haluat löytää, ja vasta sitten jatkaa ratkaisua.

Toinen vinkki on pyrkiä yksinkertaisuuteen, eli jos voit vastata kysymykseen käyttämättä monimutkaisia ​​matemaattisia laskelmia, sinun on tehtävä juuri niin, koska tässä tapauksessa virheen todennäköisyys on pienempi. Esimerkiksi esimerkissä aritmeettisesta progressiosta ratkaisulla nro 6 voitaisiin pysähtyä kaavaan S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja jaa yleinen tehtävä erillisiin alitehtäviin (etsi tässä tapauksessa ensin termit a n ja a m).

Jos saavutetun tuloksen suhteen on epäilyksiä, on suositeltavaa tarkistaa se, kuten joissakin annetuissa esimerkeissä tehtiin. Kuinka löytää aritmeettinen progressio, selvisi. Kun sen tajuaa, se ei ole niin vaikeaa.

Esimerkiksi sekvenssi \(2\); \(5\); \(kahdeksan\); \(yksitoista\); \(14\)… on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava alkio eroaa edellisestä kolmella (voidaan saada edellisestä lisäämällä kolme):

Tässä etenemisessä ero \(d\) on positiivinen (yhtä kuin \(3\)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia ​​kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.

\(d\) voi kuitenkin olla myös negatiivinen luku. esimerkiksi, aritmeettisessa progressiossa \(16\); \(kymmenen\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… etenemisero \(d\) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.

Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.

Aritmeettinen etenemismerkintä

Edistyminen on merkitty pienellä latinalaisella kirjaimella.

Progression muodostavia lukuja kutsutaan nimellä jäsenet(tai elementtejä).

Ne on merkitty samalla kirjaimella kuin aritmeettinen eteneminen, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.

Esimerkiksi aritmeettinen progressio \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koostuu elementeistä \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja niin edelleen.

Toisin sanoen etenemiselle \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Tehtävän ratkaiseminen aritmeettisella progressiolla

Periaatteessa yllä oleva tieto riittää jo ratkaisemaan lähes minkä tahansa aritmeettisen progression ongelman (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla \(b_1=7; d=4\). Etsi \(b_5\).
Päätös:

Vastaus: \(b_5=23\)

Esimerkki (OGE). Aritmeettisen progression kolme ensimmäistä termiä on annettu: \(62; 49; 36…\) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo.
Päätös:

	Meille annetaan sekvenssin ensimmäiset elementit ja tiedämme, että se on aritmeettinen progressio. Eli jokainen elementti eroaa viereisestä samalla numerolla. Selvitä kumpi vähentämällä edellinen seuraavasta elementistä: \(d=49-62=-13\).
	Nyt voimme palauttaa etenemisemme haluttuun (ensimmäiseen negatiiviseen) elementtiin.
	Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen.

Vastaus: \(-3\)

Esimerkki (OGE). Aritmeettiselle progressiolle annetaan useita peräkkäisiä elementtejä: \(...5; x; 10; 12.5...\) Etsi kirjaimella \(x\) merkitty elementin arvo.
Päätös:

	Löytääksemme \(x\) meidän on tiedettävä kuinka paljon seuraava elementti eroaa edellisestä, toisin sanoen etenemisero. Etsitään se kahdesta tunnetusta viereisestä elementistä: \(d=12.5-10=2.5\).
	Ja nyt löydämme etsimämme ilman ongelmia: \(x=5+2.5=7.5\).
	Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen.

Vastaus: \(7,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen saadaan seuraavilla ehdoilla: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Päätös:

	Meidän on löydettävä etenemisen kuuden ensimmäisen ehdon summa. Mutta emme tiedä niiden merkityksiä, meille annetaan vain ensimmäinen elementti. Siksi laskemme ensin arvot vuorotellen käyttämällä meille annettua: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ja kun olemme laskeneet tarvitsemamme kuusi elementtiä, löydämme niiden summan.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Pyydetty summa on löytynyt.

Vastaus: \(S_6=9\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettisessa progressiossa \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Etsi tämän etenemisen ero.
Päätös:

Vastaus: \(d=7\).

Tärkeitä aritmeettisia etenemiskaavoja

Kuten näette, monet aritmeettiset etenemisongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen eteneminen on lukujen ketju ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen (ero etenemisestä).

Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa on erittäin hankalaa ratkaista "otsassa". Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \(b_5\), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \(b_(386)\). Mikä se on, me \ (385 \) kertaa lisäämme neljä? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Laskeminen on hämmentävää...

Siksi ne eivät tällaisissa tapauksissa ratkaise "otsalla", vaan käyttävät erityisiä aritmeettiseen etenemiseen johdettuja kaavoja. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava ensimmäisten termien summalle \(n\).

Kaava \(n\):nnelle jäsenelle: \(a_n=a_1+(n-1)d\), missä \(a_1\) on etenemisen ensimmäinen jäsen;
\(n\) – vaaditun elementin numero;
\(a_n\) on etenemisen jäsen numerolla \(n\).

Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää ainakin kolmen sadasosan, jopa miljoonasosan, tietäen vain ensimmäisen ja etenemiseron.

Esimerkki. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Etsi \(b_(246)\).
Päätös:

Vastaus: \(b_(246)=1850\).

Ensimmäisen n ehdon summan kaava on: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), jossa

\(a_n\) on viimeinen summatermi;

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla \(a_n=3,4n-0,6\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(25\) termien summa.
Päätös:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Kahdenkymmenenviiden ensimmäisen elementin summan laskemiseksi meidän on tiedettävä ensimmäisen ja kahdennenkymmenennenviidennen termin arvo. Etenemisemme annetaan n:nnen termin kaavalla sen lukumäärästä riippuen (katso yksityiskohdat). Lasketaan ensimmäinen elementti korvaamalla \(n\) yhdellä.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Etsitään nyt kahdeskymmenesviides termi korvaamalla kaksikymmentäviisi \(n\) sijaan.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		No, nyt laskemme tarvittavan määrän ilman ongelmia.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Vastaus on valmis.

Vastaus: \(S_(25)=1090\).

Ensimmäisten ehtojen summalle \(n\) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) sijaan korvaa sen kaava \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saamme:

Ensimmäisen n termin summan kaava on: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), jossa

\(S_n\) – ensimmäisten elementtien vaadittu summa \(n\);
\(a_1\) on ensimmäinen termi, joka summataan;
\(d\) – etenemisero;
\(n\) - summan elementtien lukumäärä.

Esimerkki. Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(33\)-ex termien summa: \(17\); \(15,5\); \(neljätoista\)…
Päätös:

Vastaus: \(S_(33)=-231\).

Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat

Nyt sinulla on kaikki tiedot, joita tarvitset lähes minkä tahansa aritmeettisen etenemisongelman ratkaisemiseen. Lopetetaan aihe pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse vain soveltaa kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)

Esimerkki (OGE). Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \(-19.3\); \(-yhdeksäntoista\); \(-18,7\)…
Päätös:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tehtävä on hyvin samanlainen kuin edellinen. Aloitamme ratkaisemisen samalla tavalla: etsimme ensin \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Nyt korvaamme summan kaavassa \(d\) ... ja tästä tulee pieni vivahde - emme tiedä \(n\). Toisin sanoen emme tiedä, kuinka monta termiä on lisättävä. Kuinka selvittää? Mietitään. Lopetamme elementtien lisäämisen, kun pääsemme ensimmäiseen positiiviseen elementtiin. Eli sinun on selvitettävä tämän elementin numero. Miten? Kirjataan ylös kaava minkä tahansa aritmeettisen progression elementin laskemiseksi: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meidän tapauksessamme.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Arvon \(a_n\) on oltava suurempi kuin nolla. Selvitetään, miksi \(n\) tämä tapahtuu.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Jaamme epäyhtälön molemmat puolet \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Siirrämme miinus yksi, unohtamatta vaihtaa kylttejä
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Lasketaan...
\(n>65 333…\)		…ja käy ilmi, että ensimmäisellä positiivisella elementillä on numero \(66\). Vastaavasti viimeisellä negatiivisella arvolla on \(n=65\). Tarkastellaanpa sitä varmuuden vuoksi.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Siksi meidän on lisättävä ensimmäiset \(65\)-elementit.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Vastaus on valmis.

Vastaus: \(S_(65)=-630,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdoilla: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Etsi summa \(26\)th - \(42\) elementti mukaan lukien.
Päätös:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Tässä tehtävässä sinun on myös löydettävä elementtien summa, mutta alkaen ei ensimmäisestä, vaan \(26\)th:sta. Meillä ei ole kaavaa tälle. Miten päättää? Helppo - saadaksesi summan \(26\):nnesta \(42\):nneksi, sinun on ensin löydettävä summa \(1\):nnestä \(42\):nneksi ja vähennettävä siitä summa ensimmäisestä \ (25 \) th (katso kuva).
	Etenemisellemme \(a_1=-33\) ja erolle \(d=4\) (lisäämme loppujen lopuksi neljä edelliseen elementtiin löytääksemme seuraavan). Kun tiedämme tämän, löydämme ensimmäisten \(42\)-uh-elementtien summan.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nyt ensimmäisen \(25\):nnen elementin summa.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ja lopuksi laskemme vastauksen.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Vastaus: \(S=1683\).

Aritmeettista progressiota varten on useita muita kaavoja, joita emme ole tarkastelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.

Mikä on kaavan ydin?

Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Tietenkin sinun on tiedettävä ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.

Ei riitä, että muistat (tai huijaat) tämän kaavan. On tarpeen omaksua sen olemus ja soveltaa kaavaa erilaisiin ongelmiin. Kyllä, ja älä unohda oikeaan aikaan, kyllä ​​...) Miten ei unohda- Minä en tiedä. Ja täällä kuinka muistaa Tarvittaessa annan vinkkejä. Niille, jotka hallitsevat oppitunnin loppuun asti.)

Käsitellään siis aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavaa.

Mikä on kaava yleensä - kuvittelemme.) Mikä on aritmeettinen progressio, jäsennumero, etenemisero - kerrotaan selvästi edellisellä oppitunnilla. Katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. Jää selville mitä n:s jäsen.

Yleisesti eteneminen voidaan kirjoittaa numerosarjana:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - alkaen a 120.

Miten määritellään yleisesti minkä tahansa aritmeettisen progression jäsen, s minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:

a n

Sitä se on aritmeettisen progression n:s jäsen. Kirjaimen n alle piilotetaan kaikki jäsenmäärät kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajattele vain, että numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjeen ...

Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisten progressioiden käsittelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja joukko tehtäviä ratkaistavaksi. Näet lisää.

Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavassa:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen jäsen;

n- jäsennumero.

Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d ja n. Kaikki palapelit pyörivät näiden parametrien ympärillä.

N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Esimerkiksi tehtävässä voidaan sanoa, että eteneminen on annettu ehdolla:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tällainen ongelma voi jopa hämmentää ... Ei ole sarjaa, ei eroa ... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo selvittää, että tässä etenemisessä a 1 \u003d 5 ja d \u003d 2.

Ja se voi olla vielä vihaisempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, kyllä, avaa sulut ja anna samanlaiset? Saamme uuden kaavan:

an = 3 + 2n.

Tämä on Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä on sudenkuoppa. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen jäsen on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisen muunnetun kaavan kanssa.

Etenemistehtävissä on toinen merkintä - a n+1. Arvasit sen, että tämä on etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi, jos otamme jonkin ongelman a n siis viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.

Useimmiten nimitys a n+1 esiintyy rekursiivisissa kaavoissa. Älä pelkää tätä kauheaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression termi edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen progressio tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Ja kuinka laskea heti, sano kahdeskymmenes termi, a 20? Mutta ei mitenkään!) Vaikka 19. termiä ei tunneta, 20. ei voida laskea. Tämä on perustavanlaatuinen ero rekursiivisen kaavan ja n:nnen termin kaavan välillä. Rekursiivinen toimii vain kautta Edellinen termi ja n:nnen termin kaava - kautta ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Ei lasketa koko numerosarjaa järjestyksessä.

Aritmeettisessa progressiossa rekursiivinen kaava voidaan helposti muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava tavalliseen muotoon ja työskentele sen kanssa. GIA:ssa tällaisia ​​​​tehtäviä löytyy usein.

Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavan soveltaminen.

Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:

Annettu aritmeettinen progressio (a n). Etsi 121, jos a 1 = 3 ja d = 1/6.

Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää, kyllä ​​lisää... Tunti tai kaksi.)

Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Me päätämme.

Ehdot tarjoavat kaikki tiedot kaavan käyttöön: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Nähtäväksi jää mitä n. Ei ongelmaa! Meidän on löydettävä a 121. Täällä kirjoitetaan:

Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä tulee olemaan meidän n. Se on tämä merkitys n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaa kaikki luvut kaavassa ja laske:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Siinä kaikki. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen jäsenen ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja harkitsemme.

Haluan muistuttaa sinua olemuksesta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettisen progression termi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Ratkaistaan ​​ongelma viisaammin. Oletetaan, että meillä on seuraava ongelma:

Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.

Jos sinulla on vaikeuksia, ehdotan ensimmäistä vaihetta. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistikirjaasi:

a n = a 1 + (n-1)d

Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Kaikki? Jos luulet, että siinä on kaikki, et voi ratkaista ongelmaa, kyllä...

Meillä on myös numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi vaihtoehtoa. Tämä on sekä seitsemännentoista jäsenen arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkujuttu" liukuu usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä", ei päätä!) Ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka ... ja myös ilman päätä.)

Nyt voimme vain typerästi korvata tietomme kaavaan:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, laitetaan se sisään:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Siinä on pohjimmiltaan kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea. Saat vastauksen: a 1 = 6.

Tällainen tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - auttaa paljon yksinkertaisissa tehtävissä. No, sinun täytyy tietysti osata ilmaista muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei voi opiskella ollenkaan ...

Toinen suosittu ongelma:

Laske aritmeettisen progression (a n) ero, jos a 1 =2; a 15 = 12.

Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)

a n = a 1 + (n-1)d

Mieti, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (erityinen kohokohta!) n = 15. Voit vapaasti korvata kaavan:

12=2 + (15-1)d

Tehdään aritmetiikka.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tämä on oikea vastaus.

Tehtävät siis a n, a 1 ja d päättänyt. Vielä on opittava löytämään numero:

Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.

Korvaamme tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:

a n = 12 + (n-1) 3

Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n on joku numeron etenemisen jäsen n... Ja tämä jäsen etenemisen me tiedämme! Se on 99. Emme tiedä hänen numeroaan. n, joten tämä numero on myös löydettävä. Korvaa etenemistermi 99 kaavaan:

99 = 12 + (n-1) 3

Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.

Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):

Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, eikö vaihtoehtoja ole? Hm... Miksi tarvitsemme silmiä?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen jäsenen? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 \u003d -3,6. Ero d voidaan määrittää sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Kyllä, teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä sitä... Kuinka olla!? No, miten olla, miten olla... Ota luovat kykysi käyttöön!)

Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä-kyllä!)) ja korvaamme numeromme:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:

Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen teemme? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain 101. ja 102. jäsenen välillä. Jos luku osoittautui luonnolliseksi, ts. positiivinen kokonaisluku, niin luku olisi etenemisen jäsen löydetyn luvun kanssa. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: ei.

Tehtävä perustuu GIA:n todelliseen versioon:

Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:

a n \u003d -4 + 6,8n

Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.

Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.

Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaavaa on muutettu. Aritmeettisen progression ensimmäinen termi siinä piilotettu. Ei mitään, löydämme sen nyt.)

Kuten edellisissäkin tehtävissä, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!

Samoin etsimme kymmenennen termiä:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Siinä kaikki.

Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)

Oletetaan, että GIA:n tai Unified State Exam:n vaikeassa taistelutilanteessa olet unohtanut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen hyödyllisen kaavan. Jotain tulee mieleen, mutta jotenkin epävarma... Onko n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?

Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukka, mutta varmasti riittävä itseluottamukseen ja oikeaan päätökseen!) Johtopäätökseksi riittää, että muistat aritmeettisen etenemisen alkeismerkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.

Piirrämme numeerisen akselin ja merkitsemme sille ensimmäisen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomioi ero d jäsenten välillä. Kuten tämä:

Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mikä on toinen termi? Toinen yksi d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mikä on kolmas termi? Kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ymmärrätkö? En laita lihavoituja sanoja turhaan. Okei, vielä yksi askel.)

Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon asti n, aukkojen lukumäärä tahtoa n-1. Joten kaava on (ei vaihtoehtoja!):

a n = a 1 + (n-1)d

Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin ... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää koko tehokkaan matematiikan arsenaalin ratkaisuun - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi laittaa kuvaa yhtälöön...

Tehtävät itsenäiseen päätökseen.

Lämmittelyä varten:

1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Etsi 3.

Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa ... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma on ratkaistu sekä kuvan että kaavan avulla. Tunne erilaisuus!)

Ja tämä ei ole enää lämmittely.)

2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .

Mitä, haluttomuus piirtää kuvaa?) Silti! Se on parempi kaavassa, kyllä...

3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.

Tässä tehtävässä eteneminen annetaan toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin asti... Kaikki eivät voi tehdä sellaista suoritusta.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!

4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.

5. Etsi tehtävän 4 ehdon mukaisesti etenemisen pienimpien positiivisten ja suurimpien negatiivisten jäsenten summa.

6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdestoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.

Ei helpoin tehtävä, kyllä...) Tässä menetelmä "sormilla" ei toimi. Sinun täytyy kirjoittaa kaavoja ja ratkaista yhtälöitä.

Vastaukset (sekaisin):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Tapahtui? Se on kiva!)

Eikö kaikki suju? Se tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelmaa luettaessa vaaditaan tarkkaavaisuutta. Ja logiikkaa.

Kaikkien näiden ongelmien ratkaisua käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen hetki kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavan ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on maalattu. Suositella.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.